PROGRAMMA DI GEOMETRIA AA 2005-2006 CORSO DI

PROGRAMMA DI GEOMETRIA A.A. 2005-2006
CORSO DI LAUREA IN FISICA
Dott. A. Miranda
IL LINGUAGGIO DEGLI INSIEMI Insiemi. Operazioni tra insiemi. Unione. Intersezione.
Complemento. Leggi De Morgan. Prodotto cartesiano.
RELAZIONI E APPLICAZIONI Relazioni. Applicazioni. Iniettivitá. Suriettivitá. Biiettivitá.
Prodotto (o composizione) di applicazioni. Comportamento delle proprietá di iniettivitá, suriettivitá, biiettivitá nel passaggio al prodotto e viceversa. Invertibilitá. Condizione necessaria e sufficiente affinché un’applicazione sia invertibile.
RELAZIONI SU UN INSIEME Relazioni d’ordine. Relazioni di equivalenza. Esempi. Esempi
notevoli: la relazione di equipollenza nell’insieme dei vettori applicati, la relazione di
congruenza modulo un numero intero p.
OPERAZIONI E STRUTTURE ALGEBRICHE Operazioni su un insieme. Proprietá. Associativitá del prodotto di applicazioni. Non commutativitá del prodotto di applicazioni.
Elemento neutro. Invertibiltá (o simmetrizzabilitá) di un elemento. Strutture algebriche: gruppi, anelli, campi. Esempi.
MATRICI Definizione di matrice su un campo. Operazioni tra matrici: somma, prodotto righe
per colonne. Il gruppo additivo delle matrici di ordine (m,n) su un campo. Associativitá
del prodotto righe per colonne. Non commutativitá del prodotto righe per colonne.
Invertibilitá (o non singolaritá) di una matrice. Esistenza di matrici non invertibili.
L’anello delle matrici quadrate di ordine n su un campo. Matrici diagonali. Matrici
triangolari. Matrici simmetriche. Operazioni elementari. Operazioni elementari e
matrici elementari.
DETERMINANTI Definizione assiomatica. Conseguenze degli assiomi. Il determinante di una
matrice diagonale. Teorema di unicitá per i determinanti. Esistenza per i determinanti.
Formule per lo sviluppo dei determinanti. La formula di Laplace. Il determinante della
matrice trasposta. Il determinante di una matrice a blocchi. La formula del prodotto
(Teorema di Binet). Il determinante della matrice inversa di una matrice invertibile.
Minori e cofattori. La matrice cofattore. La matrice cofattore ed il determinante.
Formula per il calcolo della matrice inversa. Condizione necessaria e sufficiente affinché
una matrice quadrata sia invertibile. Calcolo del determinante con il metodo di GaussJordan. Calcolo della matrice inversa con il metodo di Gauss-Jordan. Il rango di una
matrice. Operazioni elementari e rango. Teorema degli orlati (solo enunciato). Sistemi
lineari. Compatibilita.́ Equivalenza. Sistemi omogenei. Sistemi parametrici. Teorema
di Rouché Capelli (solo enunciato). Metodo di eliminazione di Gauss. Teorema di
Cramer.
SPAZI VETTORIALI NUMERICI Lo spazio vettoriale delle n-ple di numeri reali, Rn . Prodotto
scalare standard. Proprietá. Norma o lunghezza di un vettore. Disuguaglianza di
Cauchy-Schwartz. Distanza tra vettori. Angolo tra due vettori. Ortogonalitá. Vettori liberi (o geometrici). Interpretazione geometrica di nozioni definite in Rn per
n = 2, 3: prodotto scalare, lunghezza di un vettore, angolo tra due vettori, perpendicolaritá. Spazio vettoriale generato da un insieme finito di vettori numerici. Indipendenza
lineare. Basi. Basi ortogonali. La base dei versori (o base canonica). Operazioni elementari e indipendenza lineare. Rango di una matrice e indipendenza lineare dei vettori
riga (Teorema di Kronecker).
APPLICAZIONI DELL’ALGEBRA DI Rn ALLA GEOMETRIA ANALITICA Rette in Rn . Retta
passante per un punto ed avente un assegnato vettore di direzione. Equazione vettoriale. Proprietá delle rette. I vettori di direzione non sono univocamente determinati.
Parallelismo. Teorema di unicitá della parallela. Retta passante per due punti distinti.
Equazioni parametriche scalari. Equazione cartesiana. Proiezione di un vettore. Distanza di un punto da una retta. Piani in Rn . Piano passante per un punto ed avente
due assegnati vettori di direzione indipendenti. Equazione vettoriale. Proprietá dei piani. I vettori di direzione non sono univocamente determinati. Parallelismo. Teorema
di unicitá del piano parallelo. Piano passante per tre punti non allineati . Equazioni
parametriche scalari. Equazione cartesiana. Vettori normali ai piani. Prodotto vettoriale(per n=3). Equazione cartesiana (X − P ) · N = 0. Distanza di un punto da un
piano. Distanza tra due piani. Angolo tra due piani. Posizioni reciproche tra rette in
R2 . Posizioni reciproche tra rette, tra rette e piani, tra piani in R3 .
SPAZI VETTORIALI Definizione assiomatica. Esempi: spazio vettoriale numerico, spazi di
matrici, spazi di polinomi, spazi di funzioni. Sottospazi. Combinazione lineare. Spazio
vettoriale generato da un insieme di vettori. Dipendenza e indipendenza lineare. Basi.
Spazio vettoriale generato da k vettori indipendenti. Lunghezza comune alle basi di uno
spazio vettoriale. Dimensione. Completamento ad una base. Unicitá delle componenti.
SPAZI AFFINI
Definizione. Esempi. Sottospazi affini. Esempi: rette e piani
SPAZI EUCLIDEI Prodotto scalare. Prodotto scalare euclideo. Spazi euclidei reali o complessi. Norma. Disuguaglianza di Cauchy-Schwartz. Angolo. Ortogonalitá ed ortonormalitá in uno spazio euclideo. Indipendenza di un sistema di vettori ortogonali non
nulli. Componenti di un vettore rispetto ad una base ortogonale. Procedimento di
ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. Definizione di matrice ortogonale. Matrici ortogonali e basi ortonormali.
TRASFORMAZIONI LINEARI E MATRICI Definizione. Esempi. Nucleo e immagine. Nucleo come spazio delle soluzioni di un sistema omogeneo. Teorema ’nullitá piú rango’.
Conseguenze. Dimensione dello spazio delle soluzioni di un sistema omogeneo. Caratterizzazione della iniettivitá di una trasformazione lineare mediante il nucleo. Conservazione della indipendenza di un sistema di vettori mediante una trasformazione
lineare iniettiva. Spazio delle trasformazioni lineari. Matrice associata ad una trasformazione lineare rispetto a basi fissate nel dominio e nel codominio. Equazione di una
trasformazione. Isomorfismo tra uno spazio di trasformazioni lineari ed uno spazio di
matrici.
AUTOVALORI E AUTOVETTORI Il problema di diagonalizzare un operatore. Autovalori
e autovettori. Esempi. Condizione necessaria e sufficiente per la diagonalizzabilitá
di un operatore. Indipendenza di autovettori corrispondenti ad autovalori distinti.
Definizione di autospazio. Autospazi e diagonalizzabilitá. Polinomio caratteristico.
Legame tra matrici associate allo stesso operatore. Matrici simili. Matrici simili e determinante. Matrici simili e polinomio caratteristico. Matrici diagonalizzabili. Matrici
ortogonalmente diagonalizzabili. Operatori ortogonalmente diagonalizzabili. Teorema
spettrale (solo enunciato).
TESTI CONSIGLIATI
• T. M. Apostol, Calcolo, volume secondo, GEOMETRIA, Ed. Bollati Boringhieri.
• L. Lomonaco, Un’introduzione all’algebra lineare, Ed. Aracne.