asintoti di una funzione

Prof. Barbara Buono
ASINTOTI DI UNA FUNZIONE
FUNZIONI CONTINUE:
Una funzione
y  f (x)
si dice continua in un punto
P xP , yP  se
a. ESISTE IN QUEL PUNTO
b.
f ( x)  lim f ( x)  yP
lim
x x
x x

P

P
x
P.
cioè se man mano che la variabile
avvicinarsi sempre più al punto
( x  xP significa che x assume
valori leggermente più piccoli di x P )
si avvicina al valore di
xP
il grafico della funzione tende ad
In altre parole una funzione è continua in un punto se :
a. Esiste in quel punto
b. Posso disegnarla passando con la linea per quel punto SENZA INTERRUZIONI
cioè senza staccare la penna dal foglio
ASINTOTO:
y  f (x) è una retta a cui il grafico della funzione si avvicina
mano a mano che la variabile x tende ad assumere un determinato valore ( finito o infinito)
L’asintoto di una funzione
Una funzione può avere:

ASINTOTI VERTICALI oppure PUNTI DI DISCONTINUITA’

ASINTOTI ORIZZONTALI oppure asintoti OBLIQUI
Prof. Barbara Buono
A
ASSIIN
NT
TO
OT
TII V
VE
ER
RT
TIIC
CA
AL
LII ee//oo PPU
UN
NT
TII D
DII D
DIISSC
CO
ON
NT
TIIN
NU
UIIT
TA
A’’
y  f (x) trovo dei valori di x
Quando determino il DOMINIO di
esiste
ESEMPIO:
y
3x
x  2x
DOMINIO
2
x2  2x  0
dove la funzione non
x x  2   0
x0
x2
Quindi in corrispondenza di tali valori la funzione NON è CONTINUA
La funzione presenta un ASINTOTO VERTICALE se in corrispondenza di tali valori
lim f ( x)  
x n
Se in corrispondenza di tali valori
lim f ( x)  l
xn
la funzione presenta un PUNTO DI DISCONTINUITA’
Pn, l 
ESEMPIO: (dal precedente)
1. dal
DOMINIO
x0
x0
è un asintoto verticale?
oppure
in corrispondenza di x  0 c’è un punto di discontinuità?
a. Per verificarlo devo calcolare
lim
x 0
3x
0

x  2x 0
2
forma indeterminata
scompongo in fattori
lim
x 0
3x
3x
3
3
 lim
 lim

x  2 x x 0 x  x  2  x 0  x  2 
2
2
il risultato del limite viene un
numero finito l
3

b. Allora in corrispondenza di x  0 c’è un PUNTO DI DISCONTINUITA’ P 0, 
2

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2. dal
DOMINIO
x  2 è un asintoto verticale?
x2
oppure
in corrispondenza di x  0 c’è un punto di discontinuità?
a. Per verificarlo devo calcolare
lim
x2
3x
6


x2  2x 0
b. Allora la retta
x2
E’ UN ASINTOTO verticale
Il grafico della funzione analizzata è il seguente
x2
3

P 0,  PUNTO DI
2  DISCONTINUITA’

ASINTOTO
verticale
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ESERCIZIO:
 2x  3 

2
 x  2x  3 
Determinare gli asintoti verticali e/o i punti di discontinuità della funzione y  ln
a. Trovo il DOMINIO
2x  3
0
x  2x  3
N
2
2x  3  0
x
3
2
D
x
x 2  2x  3  0
2  4  12 3

1
2
x  1 x  3

DOMINIO:

1  x 
b. Quindi quando x  1
x


3
2
x3
3
2
x  3 la funzione non esiste e perciò
NON è CONTINUA
c. Calcolo i LIMITI per x che tende a questi numeri per scoprire se ci sono asintoti e/o
punti di discontinuità




x  1

lim  ln
2x  3 
5

ln
 ln()  

x2  2x  3 
0
quindi x  1 è un ASINTOTO VERTICALE
2x  3 
0

ln

ln
 ln(0)  


lim3
2
15
x

2
x

3
x


3
2
quindi x 
4
2


lim  ln
x 3
è un ASINTOTO VERTICALE
2x  3 
3

ln
 ln()  

x2  2x  3 
0
quindi x  3
Questa funzione NON HA PUNTI DI DISCONTINUITA’
è un ASINTOTO VERTICALE
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A
ASSIIN
NT
TO
OT
TII O
OR
RIIZ
ZZ
ZO
ON
NT
TA
AL
LII ooppppuurree O
OB
BL
LIIQ
QU
UII
Per determinare questi tipi di asintoti si deve analizzare il comportamento della funzione
quando x  
quindi NON SERVE determinare il DOMINIO di
Se
y  f (x)
lim f ( x)  l
x
la funzione presenta un ASINTOTO ORIZZONTALE di equazione
ESEMPIO: determina se la funzione y 
y l
x2
ha asintoti orizzontali
2x  3
Calcolo il limite
lim
x 
x2 
x
  lim

2 x  3  x  2 x
1
2
quindi y 
Il grafico della precedente funzione è
y
1
2
ASINTOTO
ORIZZONTALE
1
è un ASINTOTO
2
ORIZZONTALE
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Se
lim f ( x)  
x
la funzione presenta un ASINTOTO OBLIQUO di equazione y  mx  q
1

m  lim   f ( x) 
x 
x

dove
e
q  lim  f ( x)  mx 
x 
se tali limiti hanno come risultato un numero finito
x3  2
ESEMPIO: determina se la funzione y 
ha asintoti obliqui
x2  3


Calcolo il limite
x3  2 
x3
lim
  lim   quindi la funz. può avere asintoti obliqui
x 
x 2  3  x  x 2
Trovo m:
3
x3  2 
x3
1 x  2
m  lim   2
  lim 3  1
  lim 3
x 
x  x  3 x
x
x

3
 x x


m=1

Trono q:
3
x3  2  x3  3
5
x 2

q  lim  2
 1x   lim

0
lim
x 
x  
x 3  3x
 x 3
 x
q=0

Allora la funzione ha come ASINTOTO OBLIQUO la retta
Il grafico della precedente funzione è
y  x ASINTOTO
OBLIQUO
yx
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EES
SEERRCCIIZ
ZIIO
O ::
Determina tutti gli asintoti di
y
2x  4
4  x2
1. ASINTOTI VERTICALI
 DOMINIO
2x  4
0
4  x2
N
2x  4  0
x  2
D 4  x2  0
x  2
2 x  2
x  2 con
x  2




LIMITI :
lim
x 2
2x  4
8


2
4x
0
lim
x 2
2x  4
0
2( x  2)
forma indet.  lim


2
x 2
4 x
0
(2  x)(2  x)
quindi
x = 2 è un ASINTOTO VERTICALE
2
1

4
2


quindi P  2, 1  è un PUNTO DI DISCONTINUITA’
2

2. ASINTOTI ORIZZONTALI
lim
x 

2x  4 
2x
  lim

2
x 
4x

 x2
2
0

quindi
y = 0 è un ASINTOTO
ORIZZONTALE
Quindi la funzione non ha asintoti obliqui
Per capire vedi il grafico
x = 2 è un ASINTOTO
VERTICALE
P (-2,√½) è un PUNTO
di DISCONTIN.
-2
y = 0 è un ASINTOTO
ORIZZONTALE
2