16 Settembre - Sezione di Fisica

Esame Scritto di Fisica 1 per Biotecnologie - 16 Settembre 2010
Il tempo a disposizione è di tre ore. E’ ammesso l’uso di calcolatrici. Non è ammesso l’uso di appunti, libri, computer,
telefoni, altri dispositivi di comunicazione. Un libro di testo è a disposizione per consultazione. Costanti utili:
accelerazione di gravità g = 9.81 m/s2 . Si raccomanda di spiegare in modo conciso ma chiaro il procedimento seguito.
Ogni domanda sarà valutata fino a 4 punti.
Problema 1
Sotto l’effetto della forza di gravità, una particella di massa m scivola su di
una calotta sferica di raggio r, priva di attrito, partendo dal punto più alto con
velocità nulla.
1. Scrivere velocità e accelerazioni radiali, tangenziali, angolari (rispetto ad un opportuno asse), in funzione
dell’angolo θ fra il raggio vettore dal centro alla particella e la verticale (si assuma che la particella resti sulla
superficie della calotta sferica; non occorre risolvere le equazioni del moto).
2. Ad un certo angolo critico θ0 , si osserva che la particella si stacca dalla superficie della calotta sferica (perchè?).
Con che traiettoria la particella continua il suo moto (trascurando la resistenza dell’aria)?
3. Determinare l’angolo θ0 (non occorre risolvere le equazioni del moto).
Problema 2
Un piatto di bilancia di massa m = 0.5 kg è appeso ad una molla. All’equilibrio la molla presenta un’elongazione
x0 = 2cm dalla sua posizione di riposo.
1. Quanto vale la costante k della molla?
2. Si appoggia delicatamente una massa M = 5 kg sul piatto e si lascia il sistema libero di oscillare. Qual è
l’ampiezza di oscillazione?
(trascurare attriti, resistenza dell’aria, massa della molla, etc.)
Problema 3
Due cariche puntiformi di carica Q sono mantenute fisse a distanza 2d. Una
terza carica puntiforme q viene posta sulla perpendicolare alla congiungente le
due cariche passante per il punto di mezzo (vedi figura). Indicando con x la
distanza della carica q dalla congiungente delle due cariche, determinare:
1. direzione e modulo della forza elettrostatica che agisce sulla carica q, in funzione di x;
2. il valore di x in corrispondenza del quale tale forza è massima.
Problema 4
Si considerano i due circuiti a sinistra in figura, dove R1 = 100Ω, R2 = 39Ω.
1. Quanto vale la resistenza equivalente fra i punti a e b per il circuito 1 e per il circuito 2?
2. Si consideri ora il circuito a destra in figura, ottenuta ripetendo indefinitamente il circuito 1. Quanto vale la
resistenza equivalente fra i punti a e b? (NB: la soluzione non richiede operazioni matematiche complesse né
procedure di limite, ma solo il ragionamento giusto per ricondursi ad un sistema equivalente facilmente risolubile)
1
Soluzione
Problema 1
1. Il moto si svolge in un piano (diciamo il piano yz). La velocità è sempre tangente alla traiettoria: v = vt ,
componente tangenziale, mentre p
la componente radiale vr = 0. Per la conservazione dell’energia, vale mv 2 /2 =
2(1 − cos θ)gr. Conviene calcolare la velocità angolare rispetto ad un asse
(1 − cos θ)mgr, ovvero v(θ) =
ortogonale
al
piano
in
cui
si
svolge
il moto e passante per il centro della calotta (diciamo l’asse x): ω = v/r =
p
2(1 − cos θ)g/r. L’accelerazione ha una componente radiale ar e una tangenziale, at . La prima è centripeta
(da cui il segno negativo) e vale ar = −v 2 /r = −ω 2 r = 2(cos θ − 1)g. La seconda vale at = dv/dt, dove v è il
modulo, non il vettore velocità. L’accelerazione angolare è data da α = dω/dt; vale at = αr.
Facoltativo: il calcolo esplicito della derivata dà α = (g/r) sin θ, ricordando che ω = dθ/dt.
2. La particella si staccherà dalla calotta quando la forza di gravità lungo la direzione radiale non sarà più sufficiente
a fornire l’accelerazione centripeta necessaria per un moto circolare. Nel punto y0 = r(1 − cos θ0 ), z0 = r sin θ0
la particella avrà velocità vy = v(θ0 ) cos θ0 e vz = −v(θ0 ) sin θ0 . Il suo moto proseguirà in direzione y come
y(t) = y0 + vy t, in direzione z come z(t) = z0 + vz t − gt2 /2 (assumendo t = 0 al momento del distacco).
3. La forza agente sulla pallina lungo la direzione radiale e’ Fr = −mg cos θ + N , dove N è la forza di reazione
vincolare (necessariamente diretta verso l’esterno: N ≥ 0). La condizione ar = −v 2 /r = −Fr non vale più se
θ > θ0 , dove θ0 è l’angolo per il quale N = 0, ovvero: mv 2 (θ0 )/r = mg cos θ0 , cioè cos θ0 = 2/3.
Problema 2
1. All’equilibrio, mg = kx0 , da cui k = mg/x0 = 0.5kg · 9.81m/s2 /0.02m = 245N/m.
2. Conviene usare la conservazione dell’energia. Prendiamo l’origine delle coordinate nel punto più basso raggiunto
dall’oscillazione (ampiezza A). Nello stato iniziale, l’energia meccanica è solo potenziale (la velocità iniziale è
nulla): Ui = kx20 /2 + (m + M )gA (attenzione: la molla è allungata!). Quando il sistema raggiunge il punto
inferiore di oscillazione, l’energia cinetica è di nuovo nulla, l’energia meccanica vale Uf = k(x0 + A)2 /2. Quindi:
kx20 /2 + (m + M )gA = k(x0 + A)2 /2, ovvero kA2 /2 = [(m + M )g − kx0 ]A, ovvero A = 2[(m + M )g − kx0 )/k =
2(5.5kg · 9.81 − 4.9)m/s2 /245N/m = 0.40 m.
Problema 3
1. La forza agente sulla carica q è data dalla somma vettoriale delle forze esercitate dalle due cariche Q. Dalla
simmetria del sistema si vede subito che solo la componente (x) ortogonale all’asse delle due cariche è non nulla.
Sommiamo le componenti x delle due forze (che per simmetria sono uguali):
F (x) = F1x + F2x = 2
1
qQ
cos θ,
4π0 d2 + x2
cos θ = √
x
.
+ x2
d2
2. Notare come per x = 0, F = 0; per x → ∞, f → 0. Cerchiamo il valore di x per cui dF (x)/dx = 0. La derivata
dà il seguente risultato:
qQ d2 − 2x2
dF (x)
=2
dx
4π0 (d2 + x2 )5/2
√
√
ovvero dF (x)/dx = 0 per x = d/ 2, ovvero per un angolo θ con cos θ = 1/ 3. Il massimo valore di |F (x)| è
dunque
|qQ| 1 2
√ .
|F |max = 2
4π0 d2 3 3
Problema 4
1. Per il circuito 1, la resistenza equivalente è ovviamente Req,1 = R1 + R2 = 139Ω. Per il circuito 2: Req,2 =
R1 + R2 Req,1 /(R2 + Req,1 ) = 130.45Ω
2. Supponiamo di conoscere Req per il circuito infinito. Se aggiungiamo un’altra coppia di resistenze R1 e R2 alla
sinistra del circuito, la resistenza equivalente
p rimane la stessa, cioè: R1 + R2 Req /(R2 + Req ) = Req , ovvero
2
Req − Req R1 − R1 R2 , ovvero Req = (R1 + R12 + 4R1 R2 )/2 = 130Ω (l’altra soluzione è negativa e va scartata).
2