Programma del Corso
annuncio pubblicitario
ANALISI MATEMATICA I FACOLTA’ DI INGEGNERIA DELL’INFORMAZIONE Programma del Corso ed elenco delle dimostrazioni 1) Insiemi; insiemi numerici; numeri reali; numeri complessi Il concetto di insieme; operazioni tra insiemi e loro proprietà. Insiemi numerici; numeri razionali; numeri reali; numeri complessi. Rappresentazione sulla retta reale degli insiemi numerici e delle operazioni. Insiemi limitati; maggiorante, minorante; massimo, minimo; estremo superiore e inferiore. 2) Funzioni Funzioni numeriche. Generalità. Funzioni elementari. Iniettività, suriettività, monotonia. Funzioni composte e inverse. 3) Successioni Limiti di successioni. Successioni limitate. Successioni monotone. Il numero e. Confronto asintotico. 4) Funzioni. Limiti e continuità Topologia di R. Limiti. Continuità. Punti di discontinuità. Algebra dei limiti; forme di indeterminazione. Calcolo di limiti. I limiti fondamentali trigonometrici ed esponenziali. Teorema di permanenza del segno. Teorema di limitatezza locale. Teoremi del confronto e loro corollari. Continuità e limiti di funzioni composte. Proprietà globali delle funzioni continue: teorema di Weierstrass, teorema di esistenza degli zeri. Teoremi sull’immagine di funzioni continue. Teorema dei valori intermedi. Continutà della funzione inversa. Confronto locale. I simboli di Landau. Principio di eliminazione dei termini trascurabili. Infinitesimi e infiniti. Ordine di infinitesimo e di infinito, rispetto a un campione. Parte principale, rispetto a un campione. Asintoticità ed equivalenza. Asintoti obliqui. 5) Calcolo differenziale Derivata in un punto. Prima formula degli incrementi finiti. Derivabilità e continuità. Derivate laterali, punti di non derivabilità. Derivate delle funzioni elementari. Regole di derivazione. Derivata di funzioni composte. Derivata di funzioni inverse. Funzione derivata. Derivate di ordine superiore. Teorema di Fermat. Teorema di Rolle. Teorema di Lagrange. Conseguenze del teorema di Lagrange: seconda formula degli incrementi finiti; caratterizzazione delle funzioni costanti; relazione tra monotonia e segno di f 0 ; riconoscimento dei punti critici . Convessità e concavità in un punto e in un intervallo. Convessità e segno di f 00 . Flessi e zeri di f 00 . Teorema di De L’Hospital e corollari. Formula di Taylor: come ci si arriva a partire dalla prima formula degli incrementi finiti. Formula di McLaurin di alcune funzioni notevoli. Operazioni con gli sviluppi di Taylor. Resto di Lagrange; applicazioni al calcolo approssimato. Applicazioni della formula di Taylor per riconoscere i punti di estremo relativo e i punti di flesso. 6) Calcolo integrale Primitiva e primitiva generalizzata. Integrale indefinito di f su I. Caratterizzazione dell’insieme delle primitive. Proprietà dell’integrale indefinito. Regole di integrazione per parti e per sostituzione. Integrazione di funzioni razionali e ad esse riconducibili mediante sostituzioni. Integrale definito: definizione e proprietà. Media integrale; teorema della media integrale. Funzione integrale. Teorema fondamentale del calcolo integrale e suoi corollari. Formula fondamentale del calcolo integrale. 7) Integrali impropri Integrale improprio di f su un intervallo limitato e illimitato. Integrali impropri delle potenze degli infiniti e infinitesimi campioni standard. Integrali impropri di funzioni di segno costante; criteri di convergenza. Integrali impropri assolutamente e semplicemente convergenti; criterio di convergenza assoluta. 7) Equazioni differenziali Equazioni Equazioni Equazioni Equazioni differenziali differenziali differenziali differenziali lineari del primo ordine. a variabili separabili. omogenee. lineari a coefficienti costanti. Elenco delle DIMOSTRAZIONI √ Irrazionalità di 2 Teorema del doppio confronto Teorema di permanenza del segno Teoremi sull’immagine di funzioni continue Teorema dei valori intermedi Limiti notevoli trigonometrici Teorema sulla relazione tra derivabilità e continuità Teorema di Fermat Teorema di Rolle Teorema di Lagrange Legame tra il segno della derivata e la monotonia (Test di monotonia) Caratterizzazione delle funzioni a derivata nulla Formula di Taylor Caratterizzazione dell’insieme delle primitive Teorema della media integrale Teorema fondamentale del calcolo integrale e suoi corollari Teoremi sulla convergenza degli integrali impropri Formula risolutiva per le equazioni differenziali lineari del primo ordine
