ANALISI MATEMATICA I
FACOLTA’ DI INGEGNERIA DELL’INFORMAZIONE
Programma del Corso ed elenco delle dimostrazioni
1) Insiemi; insiemi numerici; numeri reali; numeri complessi
Il concetto di insieme; operazioni tra insiemi e loro proprietà.
Insiemi numerici; numeri razionali; numeri reali; numeri complessi.
Rappresentazione sulla retta reale degli insiemi numerici e delle operazioni.
Insiemi limitati; maggiorante, minorante; massimo, minimo; estremo superiore e inferiore.
2) Funzioni
Funzioni numeriche. Generalità. Funzioni elementari.
Iniettività, suriettività, monotonia.
Funzioni composte e inverse.
3) Successioni
Limiti di successioni.
Successioni limitate. Successioni monotone. Il numero e.
Confronto asintotico.
4) Funzioni. Limiti e continuità
Topologia di R.
Limiti. Continuità. Punti di discontinuità.
Algebra dei limiti; forme di indeterminazione.
Calcolo di limiti. I limiti fondamentali trigonometrici ed esponenziali.
Teorema di permanenza del segno. Teorema di limitatezza locale.
Teoremi del confronto e loro corollari.
Continuità e limiti di funzioni composte.
Proprietà globali delle funzioni continue: teorema di Weierstrass, teorema di esistenza degli zeri.
Teoremi sull’immagine di funzioni continue. Teorema dei valori intermedi.
Continutà della funzione inversa.
Confronto locale. I simboli di Landau.
Principio di eliminazione dei termini trascurabili.
Infinitesimi e infiniti.
Ordine di infinitesimo e di infinito, rispetto a un campione. Parte principale, rispetto a un campione.
Asintoticità ed equivalenza. Asintoti obliqui.
5) Calcolo differenziale
Derivata in un punto.
Prima formula degli incrementi finiti. Derivabilità e continuità.
Derivate laterali, punti di non derivabilità.
Derivate delle funzioni elementari. Regole di derivazione.
Derivata di funzioni composte. Derivata di funzioni inverse.
Funzione derivata. Derivate di ordine superiore.
Teorema di Fermat. Teorema di Rolle. Teorema di Lagrange.
Conseguenze del teorema di Lagrange: seconda formula degli incrementi finiti; caratterizzazione delle
funzioni costanti; relazione tra monotonia e segno di f 0 ; riconoscimento dei punti critici .
Convessità e concavità in un punto e in un intervallo.
Convessità e segno di f 00 . Flessi e zeri di f 00 .
Teorema di De L’Hospital e corollari.
Formula di Taylor: come ci si arriva a partire dalla prima formula degli incrementi finiti.
Formula di McLaurin di alcune funzioni notevoli.
Operazioni con gli sviluppi di Taylor.
Resto di Lagrange; applicazioni al calcolo approssimato.
Applicazioni della formula di Taylor per riconoscere i punti di estremo relativo e i punti di flesso.
6) Calcolo integrale
Primitiva e primitiva generalizzata. Integrale indefinito di f su I.
Caratterizzazione dell’insieme delle primitive.
Proprietà dell’integrale indefinito.
Regole di integrazione per parti e per sostituzione.
Integrazione di funzioni razionali e ad esse riconducibili mediante sostituzioni.
Integrale definito: definizione e proprietà.
Media integrale; teorema della media integrale.
Funzione integrale. Teorema fondamentale del calcolo integrale e suoi corollari. Formula fondamentale
del calcolo integrale.
7) Integrali impropri
Integrale improprio di f su un intervallo limitato e illimitato.
Integrali impropri delle potenze degli infiniti e infinitesimi campioni standard.
Integrali impropri di funzioni di segno costante; criteri di convergenza.
Integrali impropri assolutamente e semplicemente convergenti; criterio di convergenza assoluta.
7) Equazioni differenziali
Equazioni
Equazioni
Equazioni
Equazioni
differenziali
differenziali
differenziali
differenziali
lineari del primo ordine.
a variabili separabili.
omogenee.
lineari a coefficienti costanti.
Elenco delle DIMOSTRAZIONI
√
Irrazionalità di 2
Teorema del doppio confronto
Teorema di permanenza del segno
Teoremi sull’immagine di funzioni continue
Teorema dei valori intermedi
Limiti notevoli trigonometrici
Teorema sulla relazione tra derivabilità e continuità
Teorema di Fermat
Teorema di Rolle
Teorema di Lagrange
Legame tra il segno della derivata e la monotonia (Test di monotonia)
Caratterizzazione delle funzioni a derivata nulla
Formula di Taylor
Caratterizzazione dell’insieme delle primitive
Teorema della media integrale
Teorema fondamentale del calcolo integrale e suoi corollari
Teoremi sulla convergenza degli integrali impropri
Formula risolutiva per le equazioni differenziali lineari del primo ordine
