Macchina di Atwood

Macchina di Atwood
La macchina di Atwood è stata inventata da George Atwood nel 1784.
La inventò per poter studiare le leggi del moto utilizzando diverse
accelerazioni, minori dell’accelerazione di gravità g.
Consideriamo quindi una macchina di Atwood costituita da una
carrucola a cui sono appese tramite una fune inestensibile due corpi,
rispettivamente di massa m ed M (M>m).
Adesso prendiamo in esame il corpo di massa M. Esso è sottoposto a
due forze, una diretta verso il basso, uguale alla forza peso, e una
esercitata dalla fune (la tensione). Possiamo quindi scrivere:
𝑀𝑎 = 𝑀𝑔 − 𝑇
Dove abbiamo eguagliato le forze. Infatti il primo membro indica la forza
totale che il corpo “sente”.
Ripetiamo lo stesso ragionamento per l’altra massa:
−𝑚𝑎 = 𝑚𝑔 − 𝑇
Questa volta la forza è negativa: infatti la massa più piccola sale, e noi abbiamo preso come
verso positivo il basso (infatti la massa grande scenderà, e la forza l’abbiamo considerata
positiva).
Abbiamo quindi due equazioni e due incognite (infatti l’accelerazione è la stessa – la fune
è inestensibile). Le mettiamo a sistema:
𝑀𝑎 = 𝑀𝑔 − 𝑇
{
−𝑚𝑎 = 𝑚𝑔 − 𝑇
Risolvendo rispetto a T e ad a:
{
𝑀𝑎 = 𝑀𝑔 − 𝑇
𝑇 = 𝑀𝑔 − 𝑀𝑎
𝑇 = 𝑀𝑔 − 𝑀𝑎
𝑇 = 𝑀𝑔 − 𝑀𝑎
→{
→{
→{
→
−𝑚𝑎 = 𝑚𝑔 − 𝑇
𝑇 = 𝑚𝑎 + 𝑚𝑔
𝑀𝑔 − 𝑀𝑎 = 𝑚𝑎 + 𝑚𝑔
𝑀𝑔 − 𝑚𝑔 = 𝑚𝑎 + 𝑀𝑎
𝑇 = 𝑀𝑔 − 𝑀𝑎
→
→
𝑔(𝑀 − 𝑚) = 𝑎(𝑚 + 𝑀)
{
(𝑀 − 𝑚)
2𝑚𝑀
𝑇=
(𝑀 + 𝑚)
𝑀+𝑚
→
(𝑀 − 𝑚)
(𝑀 − 𝑚)
𝑎=𝑔
𝑎=𝑔
(𝑀 + 𝑚)
{
(𝑀 + 𝑚)
𝑇 = 𝑀𝑔 − 𝑀𝑔
{
Quindi in definitiva la nostra tensione e la nostra accelerazione saranno:
𝑇=
2𝑚𝑀
𝑀+𝑚
𝑎=𝑔
(𝑀 − 𝑚)
(𝑀 + 𝑚)
Notare come per masse uguali (M=m) la tensione risulti banalmente 2M, mentre
l’accelerazione è, ovviamente, nulla (la macchina è infatti in equilibrio.
Caso più interessante è quando la carrucola non è ideale, ovvero ha una certa massa e un
certo raggio. Il problema però diventa più complicato.
Anche il caso della fune elastica è molto interessante, ma questo è ancora più complesso!!