LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE

LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE
Prof. Giovanni Ianne
Prof Giovanni Ianne
1/22
IL PROBLEMA DELLA TANGENTE
Come si determina la retta tangente
a una curva in un punto P ?
Per una circonferenza, la tangente è la
retta che interseca la curva solo in P.
Ma, in generale, questa definizione non
basta. Un esempio è dato nella figura a
destra: la retta t è tangente alla curva
nel punto P, ma la interseca anche nel
punto P1 .
La tangente dipende dalle proprietà locali della curva in un intorno di P.
DEFINIZIONE
Retta tangente a una curva
La retta tangente t a una curva in un punto
P è la posizione limite, se esiste, della
secante PQ al tendere (sia da destra sia da
sinistra) di Q a P.
Prof Giovanni Ianne
2/22
IL RAPPORTO INCREMENTALE
DEFINIZIONE
Rapporto incrementale
Dati una funzione y = f (x), definita in un
intervallo [a; b] , e due numeri reali c e c + h
interni all’intervallo,
si chiama rapporto incrementale
di f (relativo a c) il numero:
.
Il rapporto incrementale di f relativo a c è il coefficiente angolare della
retta passante per A e B.
Prof Giovanni Ianne
3/22
LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE
DEFINIZIONE
Derivata di una funzione
Data una funzione y = f (x), definita in un
intervallo [a; b],
si chiama derivata della funzione nel
punto c interno all’intervallo, e si indica
con f ' (c),
il limite, se esiste ed è finito, per h che
tende a 0, del rapporto incrementale di f
relativo a c:
.
m  f 1 c   tg dove  è l' angolo
formato dalla retta tangente di equazione
y  mx  q nella posizione limite con
l' asse delle x.
La derivata di una funzione in un punto c rappresenta il coefficiente
angolare della retta tangente al grafico della funzione nel suo punto di
Prof Giovanni Ianne
4/22
ascissa c.
In generale, data la funzione y  f(x), l' equazione
della retta tangente al grafico di f nel punto (x 0 ; y0 ),
se tale retta esiste e non è parallela all' asse y, è :
1
y - y 0  f ( x0 )  ( x  x0 )
Prof Giovanni Ianne
5/22
Condizione di esistenza della
derivata
La derivata di f esiste in c se:
- la funzione è definita in un
intorno di c;
- esiste il limite del rapporto
incrementale per h tendente a 0;
Rapporto incrementale e derivata
Nel processo di limite il rapporto
incrementale diventa il coefficiente
angolare della retta tangente.
- il limite è un numero finito.
Prof Giovanni Ianne
6/22
DEFINIZIONE
Derivata destra
La derivata destra di una funzione in un punto c è
.
DEFINIZIONE
Derivata sinistra
La derivata sinistra di una funzione in un punto c è
.
Una funzione è derivabile in c se la derivata destra e la
derivata sinistra esistono finite in c e sono uguali.
Prof Giovanni Ianne
7/22
LA CONTINUITA’ E LA DERIVABILITA’
TEOREMA
f : X  R  R, x 0  X , x 0 sia d' accumulazi one per X
Se f(x) è derivabile
nel punto x 0    f ( x) è continua nel punto x 0 
• Il teorema afferma che la derivabilità di una funzione implica la continuità,
mentre il viceversa non vale. Pertanto, la continuità è una condizione
necessaria, ma non è sufficiente per la derivabilità, poiché una funzione
può essere continua in un punto senza che sia derivabile nello stesso punto.
• Nei punti di discontinuità una funzione non può ammettere derivata.
Prof Giovanni Ianne
8/22
LE DERIVATE FONDAMENTALI
Teorema
Sia f ( x)  k , dove k è una costante .
Dk  0
La derivata di una funzione costante è zero.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------Teorema
Sia f ( x )  x.
Dx  1
La derivata della variabile indipendente è uguale a 1.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------Teorema
Sia f ( x)  x n , con n  N - 0 .

Dx n  nx n 1
(Derivata di una potenza con esponente intero e positivo)
Prof Giovanni Ianne
9/22
LE DERIVATE FONDAMENTALI
Teorema
Sia f ( x)  x , con   R e x

Dx  x
Se
 0. (Derivata di una potenza con esponente reale)
 1
m
  con n  0
n
m
n
m
Dx  D x 
n
m
n
n x
nm
(Derivata di una radice)
In particolare per n = 2 ed m = 1 risulta:
D x
1
2 x
Prof Giovanni Ianne
10/22
LE DERIVATE FONDAMENTALI
Teorema
Sia f ( x)  senx, con x espresso in radianti.
.
Dsenx  cos x
La derivata della funzione seno.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------Teorema
Sia f ( x)  cosx, con x espresso in radianti.
D cos x  senx
La derivata della funzione coseno.
Prof Giovanni Ianne
11/22
LE DERIVATE FONDAMENTALI
Teorema
x
Sia f ( x)  a , con a
 0 e a  1 e x  R.
Da  a ln a
x
x
In particolare, quando a = e,
De  e
x
(Derivata della funzione esponenziale)
ln e  1
risulta:
x
Prof Giovanni Ianne
12/22
LE DERIVATE FONDAMENTALI
Teorema
Sia f ( x)  log a
x, con a  0 e a  1 e x  0.
1
D log a x  log a e
x
(Derivata della funzione logaritmica)
In particolare, quando a = e, log e e  1 risulta:
1
D ln x 
x
Prof Giovanni Ianne
13/22
I TEOREMI SUL CALCOLO DELLE DERIVATE
Teorema (La derivata del prodotto di una costante per una funzione)
La derivata del prodotto di una costante per una funzione derivabile è
uguale al prodotto della costante per la derivata della funzione:
Dk  f ( x)  k  f ( x)
1
--------------------------------------------------------------------------------------------------Teorema (La derivata della somma di funzioni)
La derivata della somma algebrica di due o più funzioni derivabili è uguale
alla somma delle derivate delle funzioni stesse:
D f ( x)  g ( x)  f ( x)  g ( x)
1
Prof Giovanni Ianne
1
14/22
I TEOREMI SUL CALCOLO DELLE DERIVATE
Teorema (La derivata del prodotto di funzioni)
La derivata del prodotto di due funzioni derivabili è uguale alla somma
della derivata della prima funzione moltiplicata per la seconda non
derivata e della derivata della seconda funzione moltiplicata per la prima
non derivata:
D f ( x)  g ( x)  f ( x)  g ( x)  f ( x)  g ( x)
1
1
--------------------------------------------------------------------------------------------------Teorema (La derivata del reciproco di una funzione)
La derivata del reciproco di una funzione derivabile non nulla è uguale a
una frazione in cui:
• il numeratore è l’ opposto della derivata della funzione;
• il denominatore è il quadrato della funzione.
1
1
f ( x)
D
  2 , con f(x)  0.
f ( x)
f ( x)
Prof Giovanni Ianne
15/22
I TEOREMI SUL CALCOLO DELLE DERIVATE
Teorema (La derivata del quoziente di due funzioni)
La derivata del quoziente di due funzioni derivabili (con funzione divisore
non nulla) è uguale a una frazione che ha:
• per numeratore la differenza fra la derivata del dividendo moltiplicata per
il divisore non derivato e il dividendo non derivato moltiplicato per la
derivata del divisore;
• per denominatore il quadrato del divisore.
f ( x) f ( x)  g ( x)  f ( x)  g ( x)
D

, con g(x)  0.
2
g ( x)
g ( x)
1
Casi particolari:
1
1
2
Dtgx 
oppure
Dtgx

1

tg
x
2
cos x
1
2
Dcotgx   Prof Giovanni
oppure
Dcotgx


(
1

co
tg
Ianne
16/22x )
2
sen x
LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE COMPOSTA
Teorema
Se la funzione f è derivabile nel punto x e la funzione g è derivabile nel
punto z = f(x), allora la funzione composta y = g(f(x)) è derivabile in x e la
sua derivata è il prodotto delle derivate di g rispetto a z e di f rispetto a x:
Dg ( f ( x))  g 1 ( f ( x))  f 1 ( x)
Prof Giovanni Ianne
17/22
LE DERIVATE DELLE FUNZIONI COMPOSTE
La derivata della funzione potenza composta:
D f ( x)    f ( x)

 1
 f 1 ( x)
La derivata della funzione radice composta:
D f ( x) 
n
m
m  f ( x)
1
n f
n
nm
( x)
La derivata della funzione seno composta:
Dsen f(x)   cos f(x)  f ( x)
1
Prof Giovanni Ianne
18/22
LE DERIVATE DELLE FUNZIONI COMPOSTE
La derivata della funzione coseno composta:
Dcos f(x)   sen f(x)  f ( x)
1
La derivata della funzione tangente composta:

1

f ( x)
2
1
Dtg f(x)  
 1  tg f ( x)  f ( x)
2
cos f ( x)
La derivata della funzione cotangente composta:

1

f ( x)
2
1
Dcotg f(x)   
  1  cot g f(x)  f ( x)
2
sen f ( x)
Prof Giovanni Ianne
19/22
LE DERIVATE DELLE FUNZIONI COMPOSTE
La derivata della funzione esponenziale composta:
f ( x)
f ( x)
1
a
Da
 f ( x)  ln a
In particolare, quando a = e,
De
f ( x)
e
f ( x)
ln e  1
risulta:
 f ( x)
1
---------------------------------------------------------------------------------------------------------La derivata della funzione logaritmica composta:
1
f ( x)
D log a f ( x) 
 log a e
f ( x)
In particolare, quando a = e, log e e  1 risulta:
1
f ( x)
D ln f ( x) 
f ( x)
Prof Giovanni Ianne
20/22
TEOREMA SULLE FUNZIONI DERIVABILI
a; b
TEOREMA DI DE L’HOSPITAL
Siano f(x) e g(x) due funzioni definite nell’ intervallo
e sia
punto dell’ intervallo.
Supponiamo che siano verificate le seguenti condizioni:
1) f(x) e g(x) siano derivabili in
escluso al più il punto
a; b
un
x0
x
2)
3)
le funzioni si annullino entrambe nel punto 0 , cioè
in un intorno di
, g ( x)  0 e g1 ( x)  0
4)
le derivate di f(x) e di g(x) siano continue
x0
x0
f ( x0 )  g ( x0 )  0
f 1 ( x)
esista il lim
5)
g 1 ( x)
x  x0
allora esiste anche il limite del rapporto delle due funzioni ed è:
f ( x)
f 1 ( x)
lim
 lim
g ( x)
g 1 ( x)
x  x0
x Prof
Giovanni
x 0Ianne
21/22
REGOLA DI DE L’ HOSPITAL PER IL CALCOLO DI ALCUNI LIMITI
Dal teorema di De L’ Hospital scende la regola di De L’ Hospital:
Il limite del rapporto di due funzioni che si presenta sotto la forma indeterminata
del tipo
0
 
oppure
 0 
  
è uguale al limite del rapporto delle loro derivate, nell’ ipotesi che le due funzioni
soddisfino alle proprietà precedentemente esposte.
Prof Giovanni Ianne
22/22