Programma di Analisi Matematica 1 – CdS Ing. Industriale – 12 CFU
AA 2014/2015 – Prof. Francesco Calabrò
Assiomi dei numeri. Teoria degli insiemi. Notazioni. Connettori Logici Numeri Interi, Razionali, Reali,
Assioma di separazione Principio di induzione. Massimo, minimo, Estremo superiore ed inferiore
Numeri Complessi. Forma algebrica, trigonometrica ed esponenziale. Parte reale ed immaginaria,
complesso coniugato, modulo, potenze e radici n-esime. Rappresentazione dei numeri sul piano di Gauss
Generalità sulle funzioni: definizione di funzione; immagine e grafico di una funzione; restrizione di una
funzione; funzione iniettiva, suriettiva, bigettiva; funzione inversa; funzione identità; funzione composta.
Funzioni reali di variabile reale ( funzioni (strett.) crescenti e (strett. ) decrescenti; funzioni monotone;
max, min, sup ed inf di una funzione e relative caratterizzazioni; funzioni limitate) .
Generalità sulle funzioni: esempi ed esercizi. Dominio e codominio, immagine e controimmagine di un
insieme, funzioni inverse; Funzioni Elementari: funzioni potenza ad esponente intero positivo, ad
esponente intero negativo, ad esponente reale non intero; funzioni radice; funzioni polinomio; funzioni
razionali; funzione esponenziale; funzione logaritmo; definizioni e proprietà delle funzioni trigonometriche
e delle funzioni trigonometriche inverse.
Successioni di numeri reali: definizone di successione; esempi; idea intuitiva e definizone rigorosa di limite
di una successione; successioni convergenti, divergenti, non regolari; teorema di unicità del limite.
Successioni di numeri reali: successioni limitate, teorema di limitatezza e osservazioni; teorema della
permanenza del segno; operazioni con i limiti; teorema del confronto; teorema dei carabinieri; teorema del
prodotto di una successione limitata per una infinitesima; criterio di divergenza per la somma; criterio di
non regolarità; forme indeterminate. Limiti notevoli. Definizione del numero di Nepero e sue proprietà.
Regola del rapporto e confronto di infiniti.
Limiti di funzioni (teorema del confronto; teorema dei carabinieri; limite destro e sinistro di una funzione;
caratterizzazione del limite mediante limite destro e sinistro; teorema fondamentale sul limite delle
funzioni monotone). Limiti di funzioni: definizione epsilon delta e teorema ponte. Linite destro e sinistro.
Continuità: caratterizzazione delle discontinuità. Limiti notevoli. Infinitesimi, infiniti e confronti; equivalenze
notevoli.
Funzioni continue: teoremi sul codominio; continuità delle funzioni composte; Invertibiltà delle funzioni
monotone continue ; Definizione di derivata: significato geometrico. Operazioni con le derivate, Regole di
derivazione, Derivate delle funzioni elementari. Definizione di derivata; derivata destra e sisnistra;
caratterizzazione della derivata; relazione tra continuità e derivabilità; significato fisico e geometrico della
derivata; punti a tangente verticale; punti angolosi; punti di cuspide. Derivate fondamentali delle funzioni
elementari; regole di derivazione rispetto ad operazioni tra funzioni; teorema sulla derivata della funzione
composta; teorema sulla derivata della funzione inversa.
Proprietà delle funzioni derivabili. Definizione di massimo e minimo relativi; definizione di massimo e
minimo assoluti; Teorema di Fermat; Definizione di punti stazionari; Teorema di Rolle e sua interpretazione
geometrica; Teorema di Lagrange e sua interpretazione geometrica. Conseguenze del Teorema di Lagrange;
Test di monotonia per funzioni derivabili in un intervallo; Test di riconoscimento dei punti stazionari;
Caratterizzazione delle funzioni costanti; proprietà dei valori intermedi per le derivate; considerazioni sulla
funzione esponenziale e la legge di crescita. Teorema di de L'Hopital e sue applicazioni. Definizioni di
funzioni concave e convesse e relative interpretazioni geometriche. Criteri di convessità e concavità.
Definizione di punti di flesso e loro caratterizzazione. Considerazioni sullo studio qualitativo del grafico di
una funzione.
Formula di Taylor: Introduzione al problema; Definizione di "o piccolo" e relative proprietà; polinomi di
Taylor e di McLaurin; Formula di Taylor con resto di Peano; osservazioni e conseguenze. Sviluppi di
McLaurin di funzioni notevoli; Applicazioni della formula di Taylor al calcolo dei limiti.
Calcolo Integrale (Introduzione al problema, definizione di primitive, funzioni integrabili secondo Riemann:
definizione di suddivisione di un intervallo, definizione di somme integrali inferiori e superiori e relative
proprietà, definizione di funzioni integrabili secondo Riemann, integrale definito ) Integrale definito;
osservazioni e proprietà (linearità, additività rispetto all'intervallo, confronto). Caratterizzazione delle
funzioni integrabili. Integrabilità delle funzioni continue, Integrabilità delle funzioni continue a tratti;
Integrabilità delle funzioni monotone. Definizione di area di figure piane; definizione di media integrale,
Teorema della media integrale e sua interpretazione geometrica. Definzione di funzione integrale e
osservazioni, Teorema fondamentale del calcolo integrale; Definzione di integrale indefinito e osservazioni;
Secondo teorema fondamentale del calcolo integrale Integrali di funzioni elementari. Metodi di
Integrazione: Integrazione per decomposizione in somma ed esempi relativi; Integrazione di funzioni
razionali. Integrali impropri
Serie numeriche: introduzione del problema; definizione di serie numerica; carattere di una serie;
condizione necessaria per la convergenza; criterio di Cauchy per le serie; utili proprietà. Esempi di
applicazione della condizione necessaria e osservazioni; esempio notevole: studio della serie geometrica;
Serie a termini positivi: teorema sul carattere delle serie a termini positivi; criterio di confronto; criterio di
confronto asintotico; criterio di condensazione; criterio del rapporto; criterio della radice. Serie numeriche:
studio della serie armonica e della serie armonica generalizzata; esempi di applicazione dei vari criteri per le
serie a termini positivi. Serie a termini di segno qualunque; serie a termini di segno alterno: il criterio di
Leibinitz ed esempi di applicazione; convergenza assoluta e sua relazione con la convergenza semplice.
Serie di funzioni, serie di potenze (cenni).
Libro di testo consigliato:
P.Marcellini-C.Sbordone- Analisi Matematica I- Ed. Liguori
P.Marcellini-C.Sbordone- Esercitazioni di Analisi Matematica I- Parte I e Parte II
