Capitolo 6. I poligoni
Perimetro
La misura della lunghezza della poligonale si chiama perimetro del
poligono.
Quindi è la somma delle lunghezze dei lati.
Due poligoni che hanno lo stesso perimetro si chiamano isoperimetrici.
Evitiamo di far studiare le formule; piuttosto invitiamoli a crearle da soli.
Capitolo 6. I poligoni
R. N. INValSI del 2013/2014 della II primaria.
Il perimetro viene rappresentato riportando su una retta,
consecutivamente, i lati del poligono.
Capitolo 6. I poligoni
Attività. Costruzione di poligoni sul geopiano, dato il perimetro.
Costruisci con gli elastici (lati orizzontali/verticali):
poligoni di perimetro 10 (quanti sono?);
quadrilateri di perimetro 10 (quanti sono?);
I ...
Attività. Costruisci con gli elastici (lati qualsiasi):
I il quadrilatero di perimetro minimo;
I il pentagono di perimetro minimo;
I un triangolo equilatero (?);
I un triangolo che racchiuda esattamente un chiodo (oltre ai vertici);
I un quadrilatero che racchiuda esattamente un chiodo (oltre ai
vertici) (quanti sono?).
I
I
Capitolo 6. I poligoni
Attività. Il pastore Dario vuole scegliere un recinto sicuro in cui
rinchiudere le sue pecore.
I
Tra i recinti disegnati, quali gli consiglieresti di scegliere? Perché?
I
Tra i recinti A, C, D e H, quale richiede meno filo per la recinzione?
I
E tra i recinti B ed F?
I
Per alcuni recinti occorre la stessa quantità di file spinato: quali?
Capitolo 6. I poligoni
Quanto misura il perimetro del pentagono ABCDE ?
Capitolo 6. I poligoni
Ci sono figure geometriche di area finita e perimetro infinito...
Capitolo 6. I poligoni
6.2 I triangoli
6.2 I triangoli
Un triangolo è un poligono di tre lati.
Riassumiamo le proprietà generali di un triangolo:
Capitolo 6. I poligoni
6.2 I triangoli
I
I
la somma degli angoli interni misura 180◦ ;
non ha diagonali (perché i vertici sono sempre a due a due
consecutivi);
I
la lunghezza di ogni lato è minore della somma delle lunghezze degli
altri due lati;
I
assegnate le misure dei lati, il triangolo è univocamente determinato
(gli angoli risultano essere fissati);
I
è un poligono convesso.
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6.2 I triangoli
Proprietà: se in un triangolo ci sono due lati di diversa misura, l’angolo
opposto al lato maggiore è maggiore dell’angolo opposto al lato minore.
AC > BC ⇐⇒ AB̂C > B ÂC
Se due lati sono uguali, sono uguali tra loro anche i due angoli opposti.
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6.2 I triangoli
Classificazione
I triangoli si possono classificare in tre modi:
1. rispetto alle ampiezze degli angoli;
2. rispetto alla congruenza degli angoli;
3. rispetto alla congruenza dei lati.
Grazie alla proprietà precedente, le classificazioni 2. e 3. sono uguali.
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6.2 I triangoli
1. Classificazione dei triangoli rispetto alle ampiezze degli angoli
(interni):
I triangolo acutangolo: tutti i suoi angoli sono acuti;
I triangolo rettangolo: uno dei sui angoli è retto. Il lato opposto
all’angolo retto è detto ipotenusa, mentre gli altri due lati sono
denominati cateti;
I triangolo ottusangolo: uno dei suoi angoli è ottuso.
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6.2 I triangoli
2. Classificazione dei triangoli rispetto alla congruenza dei lati (o degli
angoli):
I triangolo scaleno: non possiede alcuna coppia di lati congruenti.
I triangolo isoscele: possiede almeno una coppia di lati congruenti;
I
un particolare triangolo isoscele è il triangolo equilatero, in cui tutti i
lati sono (a due a due) congruenti.
Capitolo 6. I poligoni
6.2 I triangoli
Capitolo 6. I poligoni
6.2 I triangoli
Capitolo 6. I poligoni
6.2 I triangoli
Testi scolastici. Che tipo di classificazione viene presentata? Come
viene definito il triangolo isoscele?
Capitolo 6. I poligoni
6.3 I quadrilateri
6.3 I quadrilateri
Un quadrilatero è un poligono di quattro lati.
Riassumiamo le proprietà generali di un quadrilatero:
Capitolo 6. I poligoni
6.3 I quadrilateri
I
I
la somma degli angoli interni misura 360◦ ;
ha due diagonali;
I
la lunghezza di ogni lato è minore della somma delle lunghezze degli
altri tre lati;
I
assegnate le misure dei lati, un quadrilatero non è univocamente
determinato (variano le ampiezze degli angoli e la successione dei
lati);
I
può essere convesso o concavo.
Capitolo 6. I poligoni
6.3 I quadrilateri
Varie classificazioni...
Attività. Con gli elastici sul geopiano, costruire vari poligoni; scegliere
tra essi i quadrilateri (anche quadrilateri che non hanno un nome, non
limitandosi a trapezi, parallelogrammi, ecc.).
Disegnarli sul quaderno, con l’aiuto dei quadretti e classificarli secondo
vari criteri.
Quali criteri, ad esempio?
Capitolo 6. I poligoni
6.3 I quadrilateri
Classificazione
Generalmente i quadrilateri si classificano rispetto:
I
al parallelismo dei lati → trapezi e parallelogrammi;
I
alla congruenza di lati o angoli → rettangoli, rombi, quadrati.
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6.3 I quadrilateri
Trapezi = quadrilateri con almeno una coppia di lati paralleli.
I due lati paralleli prendono il nome di base maggiore e base minore.
Gli altri due lati vengono denominati di solito obliqui.*
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6.3 I quadrilateri
Un trapezio è :
I isoscele, se i lati obliqui sono congruenti;
I scaleno, se i lati obliqui non sono congruenti;
I
un particolare trapezio scaleno è il trapezio rettangolo, in cui un lato
obliquo è perpendicolare alle basi.
Capitolo 6. I poligoni
6.3 I quadrilateri
Quali tra i seguenti poligoni sono trapezi?
Capitolo 6. I poligoni
6.3 I quadrilateri
Parallelogrammi = quadrilateri con due coppie di lati paralleli.
Capitolo 6. I poligoni
6.3 I quadrilateri
Rettangolo = parallelogramma con gli angoli congruenti.
Rombo = parallelogramma con i lati congruenti.
Quadrato = parallelogramma con lati e angoli congruenti.
Capitolo 6. I poligoni
6.3 I quadrilateri
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6.3 I quadrilateri
Capitolo 6. I poligoni
6.3 I quadrilateri
Deltoide convesso, da non confondere con il rombo.
Capitolo 6. I poligoni
6.3 I quadrilateri
Per alcune attività successive, relative alla classificazione dei
parallelogrammi e alle altezze dei poligoni, ci serviremo di “strisce”.
Una striscia di piano è la parte di piano compresa tra due rette parallele
(bordi della striscia), che scegliamo di includere.
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6.3 I quadrilateri
Possiamo realizzare le strisce tramite carta velina, avendo cura di lasciare
i due margini irregolari, per dare l’idea dell’illimitatezza della striscia.
Capitolo 6. I poligoni
6.3 I quadrilateri
Attività. Ritagliamo da un foglio di carta velina: due strisce gialle alte
5 cm e sei strisce rosse alte 3 cm.
Chiediamo agli alunni di costruire dei quadrilateri sovrapponendo due
strisce. Otterremo quattro parallelogrammi:
un parallelogramma generale (detto anche romboide, cioè un
parallelogramma che non sia né un rettangolo né un rombo), un
rettangolo, un rombo e un quadrato.
Capitolo 6. I poligoni
6.3 I quadrilateri
Sovrapponendo due strisce...
I
...di diversa altezza, in modo obliquo, si ottiene un romboide;
I
...della stessa altezza, in modo obliquo, si ottiene un rombo;
I
...di diversa altezza, in modo perp., si ottiene un rettangolo;
I
...della stessa altezza, in modo perp., si ottiene un quadrato.
Video costruzione parallelogrammi
Capitolo 6. I poligoni
6.3 I quadrilateri
Capitolo 6. I poligoni
6.3 I quadrilateri
Attività. Utilizzando una striscia e un angolo convesso (oppure un
triangolo) è possibile costruire i trapezi.
Video costruzione trapezio
Capitolo 6. I poligoni
6.4 I poligoni regolari
6.4 I poligoni regolari
Si chiamano poligoni regolari quei poligoni che sono equilateri ed
equiangoli.
Poligoni regolari:
I
triangolo equilatero;
I
quadrato;
I
pentagono regolare;
I
esagono regolare;
I
ettagono regolare;
I
ottagono regolare;
I
...
Vediamo alcune costruzioni.
Capitolo 6. I poligoni
6.4 I poligoni regolari
Attività. Costruzione del triangolo equilatero con riga e compasso.
Capitolo 6. I poligoni
6.4 I poligoni regolari
Costruzione con riga e compasso del quadrato?
Capitolo 6. I poligoni
6.4 I poligoni regolari
Attività. Costruzione dell’esagono regolare con riga e compasso.
