Risultati sulla stabilità per problemi planetari con più di tre corpi

Moto dei pianeti giganti
Il sistema SJSU nel piano
Studio della parte secolare dell’Hamiltoniana planetaria
Risultati sulla stabilità per problemi planetari con
più di tre corpi
Marco Sansottera
[a]
Basato su un lavoro di ricerca in collaborazione con
Antonio Giorgilli
[b]
[a]
e Ugo Locatelli
[b]
[a]
Dip. Mat. dell’Università degli Studi di Milano
Dip. Mat. delll’Università degli Studi di Roma “Tor Vergata”
Assemblea Scientifica G.N.F.M., Montecatini Terme, 1–3 Ottobre 2009
PRIN 2007B3RBEY Dyn. Sys. & Appl.
Moto dei pianeti giganti
Il sistema SJSU nel piano
Studio della parte secolare dell’Hamiltoniana planetaria
Introduzione
Il sistema solare. . .
Domande:
Il sistema solare è stabile?
I teoremi di Kolmogorov (1954) e di Nekhoroshev (1977) possono dirci
qualcosa di interessante sulla stabilità dei sistemi planetari?
Moto dei pianeti giganti
Il sistema SJSU nel piano
Studio della parte secolare dell’Hamiltoniana planetaria
Introduzione
Il sistema solare. . .
Domande:
Il sistema solare è stabile?
I teoremi di Kolmogorov (1954) e di Nekhoroshev (1977) possono dirci
qualcosa di interessante sulla stabilità dei sistemi planetari?
Problemi affrontati:
Il problema completo per il sistema Sole–Giove–Saturno (SJS).
Il problema piano per il sistema Sole–Giove–Saturno–Urano.
Moto dei pianeti giganti
Il sistema SJSU nel piano
Studio della parte secolare dell’Hamiltoniana planetaria
Introduzione
Il sistema solare. . .
Domande:
Il sistema solare è stabile?
I teoremi di Kolmogorov (1954) e di Nekhoroshev (1977) possono dirci
qualcosa di interessante sulla stabilità dei sistemi planetari?
Problemi affrontati:
Il problema completo per il sistema Sole–Giove–Saturno (SJS).
Il problema piano per il sistema Sole–Giove–Saturno–Urano.
Risposte:
Il teorema di Kolmogorov (KAM) è stato applicato con successo al
problema SJS (L.&G. 2007).
Abbiamo applicato le stime esponenziali di tipo Nekhoroshev sui tempi di
stabilità in un intorno del toro KAM per il sistema SJS (G.,L.&S. 2009).
Studio del problema secolare per il sistema Sole–Giove–Saturno–Urano.
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Studio della parte secolare dell’Hamiltoniana planetaria
Punto di partenza
Caos nel sistema Sole–Giove–Saturno–Urano–Nettuno
Sussman & Wisdom (Science, 1992)
il sistema dei pianeti giganti (SJSUN) è debolmente caotico,
piccole variazioni delle condizioni iniziali originano moti
quasi–periodici.
Murray & Holman (Science, 1999) sovrapposizione di risonanze triple
il semiasse maggiore di Urano è molto vicino al centro di un cluster
di risonanze del tipo:
3nJ − 5nS − 7nU + [(3 − j)gJ + 6gS + jgU ]
con j = 0, 1, 2, 3 ,
dove n è il moto medio e g l’argomento del perielio,
la presenza di un cluster di risonanze “generato” dalla risonanza di
moto medio (3, −5, −7), alcune delle quali includono anche
frequenze relative alla longitudine dei nodi.
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Studio della parte secolare dell’Hamiltoniana planetaria
Risultati numerici
Dinamica dei sistemi SJSUN e SJSU
La risonanza di moto medio (3, −5, −7) è molto importante a causa della
vicinanza di Saturno alla celebre risonanza 5 : 2 con Giove e di Urano alla
7 : 1 . Inoltre 2nJ − 5nS ' 7nU − nJ .
M.&H. hanno stimato il tempo Tes necessario ad Urano per essere
espulso ottenendo Tes ∼ 1018 anni.
Risultati (ottenuti con simulazioni numeriche):
Per valori di aU (semiasse maggiore di Urano) nell’intervallo 19.18 e
19.35 AU, alcune regioni presentano moti quasi–periodici (cioè con tempi
di Lyap. > 108 ), mentre altre regioni sono caotiche a causa dell’effetto di
“cluster” di risonanze triple.
Lo stesso risultato (qualitativamente) è valido sia nel caso piano, sia
rimuovendo Nettuno, ma non è stata rilevata la presenza di alcun moto
caotico nel caso piano senza Nettuno.
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Il sistema SJSU nel piano
Studio della parte secolare dell’Hamiltoniana planetaria
Il nostro approccio al problema
Forme normali per i sistemi SJSU e SJSUN
Domanda:
Come affrontare il problema Sole–Giove–Saturno–Urano alla luce dei
precedenti lavori sul sistema SJS?
R.: Dobbiamo trattare la parte secolare dell’Hamiltoniana con estrema
attenzione, effettuando una trasformazione preliminare “alla
Kolmogorov” per ridurre la componente principale della perturbazione
che dipende dagli angoli veloci.
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Studio della parte secolare dell’Hamiltoniana planetaria
Il nostro approccio al problema
Forme normali per i sistemi SJSU e SJSUN
Domanda:
Come affrontare il problema Sole–Giove–Saturno–Urano alla luce dei
precedenti lavori sul sistema SJS?
R.: Dobbiamo trattare la parte secolare dell’Hamiltoniana con estrema
attenzione, effettuando una trasformazione preliminare “alla
Kolmogorov” per ridurre la componente principale della perturbazione
che dipende dagli angoli veloci.
Le possibili strategie (avendo aggiunto, almeno, Urano):
Sembra naturale applicare le stime dei tempi di stabilità sulle forme
normali di Birkhoff:
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Il nostro approccio al problema
Forme normali per i sistemi SJSU e SJSUN
Domanda:
Come affrontare il problema Sole–Giove–Saturno–Urano alla luce dei
precedenti lavori sul sistema SJS?
R.: Dobbiamo trattare la parte secolare dell’Hamiltoniana con estrema
attenzione, effettuando una trasformazione preliminare “alla
Kolmogorov” per ridurre la componente principale della perturbazione
che dipende dagli angoli veloci.
Le possibili strategie (avendo aggiunto, almeno, Urano):
Sembra naturale applicare le stime dei tempi di stabilità sulle forme
normali di Birkhoff:
1
dopo aver mediato rispetto agli angoli di moto medio ed aver
eliminato i termini perturbativi secolari di ordine superiore a 2 nelle
eccentricità e inclinazioni;
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Il nostro approccio al problema
Forme normali per i sistemi SJSU e SJSUN
Domanda:
Come affrontare il problema Sole–Giove–Saturno–Urano alla luce dei
precedenti lavori sul sistema SJS?
R.: Dobbiamo trattare la parte secolare dell’Hamiltoniana con estrema
attenzione, effettuando una trasformazione preliminare “alla
Kolmogorov” per ridurre la componente principale della perturbazione
che dipende dagli angoli veloci.
Le possibili strategie (avendo aggiunto, almeno, Urano):
Sembra naturale applicare le stime dei tempi di stabilità sulle forme
normali di Birkhoff:
1
dopo aver mediato rispetto agli angoli di moto medio ed aver
eliminato i termini perturbativi secolari di ordine superiore a 2 nelle
eccentricità e inclinazioni;
3
in un intorno di un toro KAM (G.,L.&S., CMDA., 2009).
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Il nostro approccio al problema
Forme normali per i sistemi SJSU e SJSUN
Domanda:
Come affrontare il problema Sole–Giove–Saturno–Urano alla luce dei
precedenti lavori sul sistema SJS?
R.: Dobbiamo trattare la parte secolare dell’Hamiltoniana con estrema
attenzione, effettuando una trasformazione preliminare “alla
Kolmogorov” per ridurre la componente principale della perturbazione
che dipende dagli angoli veloci.
Le possibili strategie (avendo aggiunto, almeno, Urano):
Sembra naturale applicare le stime dei tempi di stabilità sulle forme
normali di Birkhoff:
1
dopo aver mediato rispetto agli angoli di moto medio ed aver
eliminato i termini perturbativi secolari di ordine superiore a 2 nelle
eccentricità e inclinazioni;
2
in un intorno di un toro ellittico;
3
in un intorno di un toro KAM (G.,L.&S., CMDA., 2009).
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Sviluppo preliminare dell’Hamiltoniana
Applicazione al sistema SJSU nel piano
Il sistema Sole–Giove–Saturno–Urano (SJSU) nel piano.
Elevato costo computazionale nel passo “alla Kolmogorov”.
Non effettuiamo la riduzione del momento angolare.
Sviluppo in serie dell’Hamiltoniana utilizzando un manipolatore
algebrico.
Studio della dinamica secolare.
Stima del “tempo di stabilità”.
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Sviluppo preliminare dell’Hamiltoniana
L’Hamiltoniana di un sistema planetario
L’Hamiltoniana è
F (r, r̃) = T (0) (r̃) + U (0) (r) + T (1) (r̃) + U (1) (r) ,
dove r sono le coordinate eliocentriche e r̃ i momenti coniugati.
3
T
(0)
1X
k˜
rj k2
(r̃) =
2
j=1
U (0) (r) = −G
3
X
m0 mj
j=1
krj k
1
1
+
m0
mj
,
,
r̃1 · r̃2
r̃1 · r̃3
r̃2 · r̃3
+
+
,
m0
m0
m0
m1 m3
m2 m3
m1 m2
U (1) (r) = −G
+
+
.
kr1 − r2 k kr1 − r3 k kr2 − r3 k
T (1) (r̃) =
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Sviluppo preliminare dell’Hamiltoniana
Le variabili di Poincaré nel piano
Λj =
m0 mj
m0 + mj
ξj =
p
q
G(m0 + mj )aj ,
r
2Λj
1−
q
λj = Mj + ωj ,
r
1−
ej2
cos(ωj ) ,
p
ηj = − 2Λj
1−
q
1 − ej2 sin(ωj ) ,
dove aj , ej , Mj e ωj sono rispettivamente il semiasse maggiore,
l’eccentricità, l’anomalia media e l’argomento del perielio del j–esimo
pianeta.
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Sviluppo preliminare dell’Hamiltoniana
Le variabili di Poincaré nel piano
Λj =
m0 mj
m0 + mj
q
G(m0 + mj )aj ,
|
{z
λj = Mj + ωj ,
}
variabili veloci
r
ξj =
p
2Λj
1−
q
r
1−
ej2
cos(ωj ) ,
p
ηj = − 2Λj
1−
q
1 − ej2 sin(ωj ) ,
dove aj , ej , Mj e ωj sono rispettivamente il semiasse maggiore,
l’eccentricità, l’anomalia media e l’argomento del perielio del j–esimo
pianeta.
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Sviluppo preliminare dell’Hamiltoniana
Le variabili di Poincaré nel piano
Λj =
m0 mj
m0 + mj
q
G(m0 + mj )aj ,
|
λj = Mj + ωj ,
{z
}
variabili veloci
r
ξj =
p
2Λj
|
1−
q
r
1−
ej2
cos(ωj ) ,
p
ηj = − 2Λj
1−
q
1 − ej2 sin(ωj ) ,
{z
variabili secolari
dove aj , ej , Mj e ωj sono rispettivamente il semiasse maggiore,
l’eccentricità, l’anomalia media e l’argomento del perielio del j–esimo
pianeta.
}
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Sviluppo preliminare dell’Hamiltoniana
L’Hamiltoniana nelle variabili di Poincaré
L’Hamiltoniana, scritta nelle variabili di Poincaré, diventa
F = F0 + F1 = F0 + U (1) + T (1) .
F0 = −
U (1)
n
X
µ2 β 3
i
i
2Λ2i
i=1
X mi mj
= −G
∆ij
parte integrabile ,
perturbazione (termine principale) ,
0<i<j
T (1) =
X r̃i · r̃j
m0
perturbazione (termine complementare) .
0<i<j
Dobbiamo sviluppare tutti i termini in serie di potenze!
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Sviluppo preliminare dell’Hamiltoniana
Come sviluppare l’Hamiltoniana
1
2
Lo sviluppo dell’Hamiltoniana è un problema classico.
Scegliamo un valore Λ∗ tale che
∂hF iλ = nj∗ ,
∂Λj Λ=Λ∗
j = 1, 2, 3 .
ξ=η=0
h.iλ indica la media sugli angoli veloci ,
nj∗ sono le frequenze fondamentali di moto medio .
3
Introduciamo le nuove azioni Lj = Λj − Λ∗j .
4
Effettuiamo una trasformazione canonica TF che trasla le azioni
veloci.
5
Sviluppiamo l’Hamiltoniana in serie di potenze di L, ξ, η e in serie di
Fourier di λ .
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Sviluppo preliminare dell’Hamiltoniana
Come sviluppare l’Hamiltoniana
1
2
Lo sviluppo dell’Hamiltoniana è un problema classico.
Scegliamo un valore Λ∗ tale che
∂hF iλ = nj∗ ,
∂Λj Λ=Λ∗
j = 1, 2, 3 .
ξ=η=0
h.iλ indica la media sugli angoli veloci ,
nj∗ sono le frequenze fondamentali di moto medio .
3
Introduciamo le nuove azioni Lj = Λj − Λ∗j .
4
Effettuiamo una trasformazione canonica TF che trasla le azioni
veloci.
5
Sviluppiamo l’Hamiltoniana in serie di potenze di L, ξ, η e in serie di
Fourier di λ .
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Sviluppo preliminare dell’Hamiltoniana
Come sviluppare l’Hamiltoniana
1
2
Lo sviluppo dell’Hamiltoniana è un problema classico.
Scegliamo un valore Λ∗ tale che
∂hF iλ = nj∗ ,
∂Λj Λ=Λ∗
j = 1, 2, 3 .
ξ=η=0
h.iλ indica la media sugli angoli veloci ,
nj∗ sono le frequenze fondamentali di moto medio .
3
Introduciamo le nuove azioni Lj = Λj − Λ∗j .
4
Effettuiamo una trasformazione canonica TF che trasla le azioni
veloci.
5
Sviluppiamo l’Hamiltoniana in serie di potenze di L, ξ, η e in serie di
Fourier di λ .
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Sviluppo preliminare dell’Hamiltoniana
Come sviluppare l’Hamiltoniana
1
2
Lo sviluppo dell’Hamiltoniana è un problema classico.
Scegliamo un valore Λ∗ tale che
∂hF iλ = nj∗ ,
∂Λj Λ=Λ∗
j = 1, 2, 3 .
ξ=η=0
h.iλ indica la media sugli angoli veloci ,
nj∗ sono le frequenze fondamentali di moto medio .
3
Introduciamo le nuove azioni Lj = Λj − Λ∗j .
4
Effettuiamo una trasformazione canonica TF che trasla le azioni
veloci.
5
Sviluppiamo l’Hamiltoniana in serie di potenze di L, ξ, η e in serie di
Fourier di λ .
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Sviluppo preliminare dell’Hamiltoniana
Come sviluppare l’Hamiltoniana
1
2
Lo sviluppo dell’Hamiltoniana è un problema classico.
Scegliamo un valore Λ∗ tale che
∂hF iλ = nj∗ ,
∂Λj Λ=Λ∗
j = 1, 2, 3 .
ξ=η=0
h.iλ indica la media sugli angoli veloci ,
nj∗ sono le frequenze fondamentali di moto medio .
3
Introduciamo le nuove azioni Lj = Λj − Λ∗j .
4
Effettuiamo una trasformazione canonica TF che trasla le azioni
veloci.
5
Sviluppiamo l’Hamiltoniana in serie di potenze di L, ξ, η e in serie di
Fourier di λ .
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Sviluppo preliminare dell’Hamiltoniana
Lo sviluppo dell’Hamiltoniana
H
(TF )
∗
=n ·L+
∞
X
j1 =2
dove
(Kep)
hj1 ,0
(Kep)
hj1 ,0 (L)
+µ
∞ X
∞
X
(T )
hj1 ,jF2 (L, λ, ξ, η) ,
j1 =0 j2 =0
è un polinomio omogeneo di grado j1 in L e
(T )
hj1 ,jF2


pol. omog. di grado j1 in L ,
è un pol. omog. di grado j2 in ξ, η ,


i cui coeff. sono pol. trig. in λ .
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Sviluppo preliminare dell’Hamiltoniana
Limiti degli sviluppi
Questa è l’Hamiltoniana
H
(TF )
∗
=n ·L+
∞
X
j1 =2
(Kep)
hj1 ,0 (L)
+µ
∞ X
∞
X
j1 =0 j2 =0
(T )
hj1 ,jF2 (L, λ, ξ, η) ,
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Sviluppo preliminare dell’Hamiltoniana
Limiti degli sviluppi
Questa è l’Hamiltoniana calcolata
H
(TF )
∗
=n ·L+
2
X
j1 =2
(Kep)
hj1 ,0 (L)
+µ
1 X
12
X
(T )
hj1 ,jF2 (L, λ, ξ, η) ,
j1 =0 j2 =0
in cui abbiamo anche eliminato tutti i coefficienti relativi ad armoniche di
grado superiore a 16.
Questo è il “minimo troncamento” della Hamiltoniana che permette di
conservare le caratteristiche fondamentali del sistema.
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Sviluppo preliminare dell’Hamiltoniana
Riduzione preliminare della perturbazione
d·eλ:KF indica l’eliminazione delle armoniche di grado superiore a KF .

6 l
(O2)
m
X

 ∗ ∂χ1
(TF )

h
+
µ
(λ, ξ, η) = 0 ,
n
·

0,j2


∂λ
λ:8

j
=0
2
Primo
passo 
∞

X

1 j

e

H
=
exp
L
H
=
L
H.
(O2)

χ1

j! χ1(O2)
j=0

6 l
(O2)
m
X

(TF )
∗ ∂χ2


h̃
(L, λ, ξ, η) = 0 ,
n
·
+
µ

1,j2

∂λ
λ:8
Secondo
j2 =0
passo 



 (O2)
H
= exp Lχ(O2) ◦ exp Lχ(O2) H .
2
1
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Sviluppo preliminare dell’Hamiltoniana
Riduzione preliminare della perturbazione
d·eλ:KF indica l’eliminazione delle armoniche di grado superiore a KF .

6 l
(O2)
m
X

 ∗ ∂χ1
(TF )

h
+
µ
(λ, ξ, η) = 0 ,
n
·

0,j2


∂λ
λ:8

j
=0
2
Primo
passo 
∞

X

1 j

e

H
=
exp
L
H
=
L
H.
(O2)

χ1

j! χ1(O2)
j=0

6 l
(O2)
m
X

(TF )
∗ ∂χ2


h̃
(L, λ, ξ, η) = 0 ,
n
·
+
µ

1,j2

∂λ
λ:8
Secondo
j2 =0
passo 



 (O2)
H
= exp Lχ(O2) ◦ exp Lχ(O2) H .
2
1
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Sviluppo preliminare dell’Hamiltoniana
Riduzione preliminare della perturbazione
d·eλ:KF indica l’eliminazione delle armoniche di grado superiore a KF .

6 l
(O2)
m
X

 ∗ ∂χ1
(TF )

h
+
µ
(λ, ξ, η) = 0 ,
n
·

0,j2


∂λ
λ:8

j
=0
2
Primo
passo 
∞

X

1 j

e

H
=
exp
L
H
=
L
H.
(O2)

χ1

j! χ1(O2)
j=0

6 l
(O2)
m
X

(TF )
∗ ∂χ2


h̃
(L, λ, ξ, η) = 0 ,
n
·
+
µ

1,j2

∂λ
λ:8
Secondo
j2 =0
passo 



 (O2)
H
= exp Lχ(O2) ◦ exp Lχ(O2) H .
2
1
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Sviluppo preliminare dell’Hamiltoniana
L’Hamiltoniana all’ordine due nelle masse
H (O2) è la cosiddetta Hamiltoniana all’ordine due nelle masse, nel
senso che la sua parte media approssima correttamente la dinamica
delle variabili secolari fino all’ordine due nelle masse.
Prima del passo “alla Kolmogorov” non c’è nessun termine
corrispondente ad alcuna risonanza tripla.
Il passo “alla Kolmogorov” introduce le risonanze triple, in
particolare la risonanza (3, −5, −7).
Piccoli limiti non significano piccolo sviluppo!
Dopo il passo “alla Kolmogorov”, abbiamo 94 109 751 di coefficienti.
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Studio della parte secolare dell’Hamiltoniana planetaria
L’Hamiltoniana secolare
La parte secolare all’ordine due nelle masse
Ci riduciamo al problema secolare, il problema passa quindi da 6 a 3
gradi di libertà, e l’Hamiltoniana diventa
H (sec) = H0 + H2 + H4 + . . . ,
dove H2j è un pol. omog. di grado (2j + 2) in ξ e η , ∀ j ∈ N .
ξ = η = 0 è un punto di equilibrio ellittico e, ricordando che le
variabili secolari dipendono dalle eccentricità, lo schema che
descriveremo è in sostanza una estensione della teoria di
Lagrange–Laplace.
La parte quadratica dell’Hamiltoniana può quindi essere
diagonalizzata e tramite una trasformazione lineare canonica
effettuiamo tale diagonalizzazione.
D’ora in avanti denoteremo semplicemente con H l’Hamiltoniana
secolare con la parte quadratica in forma diagonale.
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L’Hamiltoniana secolare
Normalizzazione alla Birkhoff dell’Hamiltoniana secolare
H = H0 + H2 + H4 + . . . .
Introduciamo le azioni Φj =
1
2
ξj2 + ηj2 dove j = 1, 2, 3 .
Normalizziamo sino all’ordine N :
(N)
H (N) = Z0
(N)
dove Z0
(N)
, Z2
(N)
+ Z2
(N)
, . . . , ZN
(N)
+ . . . + ZN
(N)
+ RN+1 + . . . ,
dipendono solamente da Φ1 , Φ2 , Φ3 .
La derivata temporale è
Φ̇j = {Φj , H} =
o n
o
Xn
(N)
(N)
Φ j , Rj
' Φj , RN+1 .
j>N
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Il sistema SJSU nel piano
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La dinamica secolare
Studio della stabilità dell’Hamiltoniana secolare
Abbiamo
dove ∆ρR
kΦ(t) − Φ(0)k ≤ sup Φ̇(ξ, η) |t| ,
(ξ,η)∈∆ρR
= (ξ, η) ∈ R6 : ξj2 + ηj2 ≤ ρ2 Rj2 , j = 1, 2, 3 .
Moto dei pianeti giganti
Il sistema SJSU nel piano
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La dinamica secolare
Studio della stabilità dell’Hamiltoniana secolare
Abbiamo
dove ∆ρR
kΦ(t) − Φ(0)k ≤ sup Φ̇(ξ, η) |t| ,
(ξ,η)∈∆ρR
= (ξ, η) ∈ R6 : ξj2 + ηj2 ≤ ρ2 Rj2 , j = 1, 2, 3 .
Vogliamo
kΦ(t) − Φ(0)k < ρ − ρ0
∀ |t| < T ,
dove T è il “tempo di stabilità” (possibilmente lungo).
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La dinamica secolare
Studio della stabilità dell’Hamiltoniana secolare
Abbiamo
dove ∆ρR
kΦ(t) − Φ(0)k ≤ sup Φ̇(ξ, η) |t| ,
(ξ,η)∈∆ρR
= (ξ, η) ∈ R6 : ξj2 + ηj2 ≤ ρ2 Rj2 , j = 1, 2, 3 .
Vogliamo
kΦ(t) − Φ(0)k < ρ − ρ0
∀ |t| < T ,
dove T è il “tempo di stabilità” (possibilmente lungo).
Prendiamo una funzione
X
f (x, y) =
f j,k xj yk
|j+k|=s
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La dinamica secolare
Studio della stabilità dell’Hamiltoniana secolare
Abbiamo
dove ∆ρR
kΦ(t) − Φ(0)k ≤ sup Φ̇(ξ, η) |t| ,
(ξ,η)∈∆ρR
= (ξ, η) ∈ R6 : ξj2 + ηj2 ≤ ρ2 Rj2 , j = 1, 2, 3 .
Vogliamo
kΦ(t) − Φ(0)k < ρ − ρ0
∀ |t| < T ,
dove T è il “tempo di stabilità” (possibilmente lungo).
Prendiamo una funzione
X
f (x, y) =
f j,k xj yk
|j+k|=s
definiamo la norma
X
kf kR =
|f j,k |Rj+k
|j+k|=s
Moto dei pianeti giganti
Il sistema SJSU nel piano
Studio della parte secolare dell’Hamiltoniana planetaria
La dinamica secolare
Il “tempo di stabilità”
ρ − ρ0
n
o
T (ρ0 , ρ, N) . (N) Φj , RN+1 ρN+3
R
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Il sistema SJSU nel piano
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La dinamica secolare
Il “tempo di stabilità”
ρ − ρ0
n
o
T (ρ0 , ρ, N) . (N) Φj , RN+1 ρN+3
R
Fissiamo ρ0 e N , con una semplice stima analitica otteniamo
ρopt (ρ0 , N).
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Il sistema SJSU nel piano
Studio della parte secolare dell’Hamiltoniana planetaria
La dinamica secolare
Il “tempo di stabilità”
ρ − ρ0
n
o
T (ρ0 , ρ, N) . (N) Φj , RN+1 ρN+3
R
Fissiamo ρ0 e N , con una semplice stima analitica otteniamo
ρopt (ρ0 , N).
Fissiamo ρ0 ed utilizzando il valore ρopt (ρ0 , N) studiamo
numericamente il “tempo di stabilità” in funzione del passo di
normalizzazione; otteniamo cosı̀ Nopt (ρ0 ).
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Studio della parte secolare dell’Hamiltoniana planetaria
La dinamica secolare
Il “tempo di stabilità”
ρ − ρ0
n
o
T (ρ0 , ρ, N) . (N) Φj , RN+1 ρN+3
R
Fissiamo ρ0 e N , con una semplice stima analitica otteniamo
ρopt (ρ0 , N).
Fissiamo ρ0 ed utilizzando il valore ρopt (ρ0 , N) studiamo
numericamente il “tempo di stabilità” in funzione del passo di
normalizzazione; otteniamo cosı̀ Nopt (ρ0 ).
Il “tempo di stabilità” ottimale T ρ0 , ρopt (ρ0 , Nopt (ρ0 )), Nopt (ρ0 )
dipende solamente dal raggio iniziale ρ0 .
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Risultati sulla stabilità dell’Hamiltoniana secolare
L’ordine di normalizzazione ottimale
20
Nopt(ρ0)
15
10
5
0
0
0.005
0.01
0.015
0.02
ρ0
0.025
0.03
0.035
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Risultati sulla stabilità dell’Hamiltoniana secolare
Le stime sui “tempi di stabilità” del problema secolare
45
40
35
log T(ρ0)
30
25
20
15
10
5
0
0
0.005
0.01
0.015
0.02
ρ0
0.025
0.03
0.035
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Studio della parte secolare dell’Hamiltoniana planetaria
I risultati
Commenti sui nostri risultati
Abbiamo considerato un modello per l’Hamiltoniana secolare del
sistema Sole–Giove–Saturno–Urano nel piano, che approssima il
moto nelle variabili secolari all’ordine due nelle masse.
I nostri risultati assicurano che questo sistema è stabile per un
tempo paragonabile all’età stimata dell’universo in un dominio con
un raggio che è circa la metà della distanza reale delle variabili
secolari iniziali dall’origine.
Ci aspettiamo che effettuando la riduzione del momento angolare
prima del passo “alla Kolmogorov” potremo migliorare
significativamente i nostri risultati. Questo nuovo approccio sarà
probabilmente oggetto di un lavoro futuro.
Questi risultati, anche se non completi, confermano che in linea di
principio è possibile applicare con successo uno schema di tipo
Nekhoroshev per ottenere stime esponenziali sui tempi di stabilità
per sistemi planetari realistici.
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I risultati
...fine
Grazie per l’attenzione.
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