Programma del corso di Probabilità e Statistica (CdL Matematica) – 6 Crediti
a.a. 2012/2013
Calcolo delle Probabilità: Esperimenti casuali. Spazio campione. Sigma-algebra. Sigma-algebra generata.
Limite superiore ed inferiore di successioni di eventi. Successioni crescenti e decrescenti. Limite di
successioni di eventi. Spazio campione di Bernoulli ed eventi elementari. Misura di probabilità:
impostazione frequentista, soggettiva, assiomatica. Legge delle probabilità totali. Formula di inclusioneesclusione. Disuguaglianza di Boole. Disuguaglianza di Bonferroni. Continuità della misura di probabilità.
Problema delle concordanze. Probabilità condizionata e sue proprietà. Probabilità condizionata composta.
Eventi indipendenti. Probabilità di intersezione di eventi: estrazioni con reimmissione e senza reimmissione
da un’urna. Indipendenza condizionata di eventi. Lemma di Borel-Cantelli. Leggi 0-1. Sistema esaustivo di
ipotesi per un evento. Teorema delle alternative. Teorema di Bayes e sue applicazioni.
Variabili aleatorie: Funzioni misurabili e variabili aleatorie. Variabili aleatorie discrete: legge di Bernoulli,
binomiale e uniforme discreta. Processo di Bernoulli, passeggiata aleatoria e principio di riflessione. La
rovina del giocatore. Barriere assorbenti e riflettenti. Legge geometrica. Proprietà di assenza di memoria.
Ritardo nel lotto. Variabile aleatoria di Pascal. Variabili scambiabili. Il processo di estrazione di Polya.
Variabile ipergeometrica: campionamento sequenziale. Variabile di Poisson. Approssimazione del processo
di Bernoulli con il processo di Poisson: proprietà di stazionarietà e indipendenza degli eventi. Definizioni del
processo di Poisson. Successioni rade. Funzione di ripartizione e sue proprietà. Variabili aleatorie continue:
funzione densità di probabilità. Misture di variabili aleatorie. Integrale di Riemann-Stiltjes. Densità
esponenziale e sue proprietà. Leggi gamma e relazione con il processo di Poisson. Distribuzione gaussiana.
Trasformazioni di variabili aleatorie: caso discreto e caso continuo. Momenti di una variabile aleatoria.
Esistenza dei momenti e loro relazione con i momenti assoluti. Variabili aleatorie degeneri. Funzioni
generatrici dei momenti: proprietà e loro uso nel calcolo dei momenti di una variabile aleatoria.
Variabili aleatorie multivariate: coppie di variabili aleatorie. Caso discreto: distribuzione congiunta,
marginale e condizionata. Caso assolutamente continuo: densità congiunta e marginale. Indipendenza di
variabili aleatorie. Densità e distribuzioni condizionate. Analogo del teorema di Bayes e del teorema delle
alternative per densità di probabilità. Trasformazioni di variabili aleatorie doppie. Trasformazioni lineari.
Integrali di convoluzione. Somme, prodotti e rapporti di variabili aleatorie. Vettori di variabili aleatorie:
indipendenza. Distribuzione multinomiale. Somme di variabili aleatorie. Campione casuale, distribuzione
campionaria, momenti misti, covarianza e correlazione. Distribuzione campionaria della media
campionaria, intervalli di confidenza caso varianza nota, intervalli di confidenza caso varianza incognita.
Distribuzione T-Student. Cenni ai test di ipotesi. Distribuzione campionaria della varianza campionaria e sua
relazione con la distribuzione chi-quadrato.
Vettori gaussiani: coppie di variabili aleatorie congiuntamente gaussiane. Matrice di covarianza.
Caratterizzazione delle distribuzioni condizionate e marginali. Vettori gaussiani multivariati e singolari.
Trasformazioni lineari. Sottovettori gaussiani indipendenti. Distribuzioni condizionate. Analisi delle
componenti principali.
Media condizionata: media condizionata da un evento, da una sigma-algebra finitamente generabile, da
una sigma-algebra generale. Applicazioni alla retta di regressione. Teorema di Radon-Nikodym e sua
relazione con la media condizionata.
Processi stocastici: Definizione di processo stocastico. Spazio degli stati. Esempi a tempo continuo e
discreto. Processi di Markov. Densità di transizione. Processi temporalmente omogenei. Densità
stazionarie. Sviluppo differenziali in avanti e all’indietro. Equazione di Chapmann-Kolmogorov. Momenti
infinitesimali. Processo di Wiener. Metodo della trasformata di Fourier per calcolare la densità di
transizione. Relazione con il moto browniano. Costruzione del moto browniano come limite della
passeggiata aleatoria. Processi gaussiani-markoviani. Processo di Wiener con drift. Limite di una
passeggiata aleatoria non simmetrica. Cenni alle equazioni differenziali stocastiche. Integrazione stocastica
di funzioni a variazioni quadratiche limitate. Ponte browniano. Processo di Ornstein-Uhlenbeck. Modello
urna di Ehrenfest.
Teoremi asintotici: teorema del limite centrale. Funzione caratteristica e sue proprietà. Applicazioni alla
media campionaria, generatori di numeri pseudo casuali gaussiani, intervalli di confidenza per una
percentuale. Generalizzazioni al caso di variabili aleatorie non identicamente distribuite: condizione di
Linderberg-Feller e condizione di Liapunov. Legge dei grandi numeri nella versione debole e forte.
Convergenza quasi certa, in probabilità ed in media quadratica. Applicazioni della legge dei grandi numeri al
metodo di Monte Carlo e al problema della rovina del giocatore. Generalizzazioni al caso di variabili
aleatorie non identicamente distribuite.
Testi di riferimento:
-
Dall’Aglio Giorgio, Calcolo delle Probabilità, Zanichelli (2003)
Orsingher Enzo, Beghin Luisa, Introduzione alla probabilità, Carocci (2009)
Billingsley Patrick, Probability and measure, Wiley series in Probability and Statistics (2012)
