Corso di “LOGICA MATEMATICA”
Indice degli argomenti svolti.
DOCENTE: Alessandro Berarducci
Anno di corso: 2012-2013
Avvertenza: Tenere d’occhio la mia pagina web per aggiornamenti
http://www.dm.unipi.it/ berardu/
Logica proposizionale. Il sistema dimostrativo della deduzione naturale. Esempi di dimostrazioni formali. Dimostrazione del principio del terzo escluso
a partire dalla regola di riduzione all’assurdo. Formule proposizionali. Semantica della logica proposizionale.
Calcolo dei predicati (o logica del primo ordine). Regole di inferenza per i
quantificatori. Esempi: Dedurre una formula esistenziale dalla negazione di
una formula universale.
Tableaux semantici. Esempi di dimostrazioni nel sistema dei tableaux: `
∃x(P x → ∀yP (y)).
Linguaggi e L-strutture. Termini e formule. Variabili libere. Sostituzioni.
Semantica di Tarski. Correttezza del sistema della deduzione naturale.
Enunciato (senza dimostrazione) della completezza del sistema della deduzione naturale. Sostituzione di termini. Il fenomeno della cattura delle
variabili. Teorie assiomatiche. Conseguenza logica. Correttezza delle regole
della deduzione naturale. Teorema di correttezza.
Assiomi e regole per la relazione di uguaglianza. Assiomi per i numeri naturali: la teoria Q di Robinson e l’aritmetica di Peano del primo e del secondo
ordine.
Enunciato del teorema di completezza per la logica del primo ordine (sistema
dei tableaux).
Teorema di compattezza. Relazioni tra compattezza e completezza. Dalla
compattezza più la completezza per teorie finite si deduce la completezza
per teorie arbitrarie. Dalla completezza per teorie arbitrarie si deduce la
compattezza. Prime applicazioni del teorema di compattezza. Esistono
modelli non standard dell’aritmetica di Peano del primo ordine.
Lemma di König. Applicazione ad un problema di tassellazione del piano
(tessere di Hao Wang). Nota: utilizzeremo il Lemma di König per dimostrare
il teorema di completezza per il sistema dei tableaux (per teorie finite).
Classi elementari di strutture. Dimostrazioni della non-elementarità di certe
classi di strutture utilizzando la compattezza. Esempi: la classe dei grafi
connessi non è elementare. La classe dei campi finiti non è elementare.
Esistono campi infiniti che verificano tutte le formule del primo ordine valide
in tutti i campi finiti.
Teorema di completezza per il sistema dimostrativo dei tableaux. Caso
proposizionale. Insiemi di Hintikka. Caso predicativo.
Paradosso di Skolem (cenni). Modelli ben fondati di ZF. La ben fondatezza
del modello non segue dall’assioma di fondazione, e in effetti non è assiomatizzabile al primo ordine. Da un modello ben fondato ne ottengo uno
transitivo con la vera appartenenza. Esistono modelli in di ZF in cui, visto
dall’esterno del modello, l’ordinale omega non è ben fondato.
Sottostrutture elementari. Teoremi di Löwenheim Skolem verso l’alto e il
basso. Esiste una sottostruttura elementare numerabile M di Vω + ω. Tale
M è un modello numerabile transitivo e ben fondato di ZF meno lo schema
di assiomi di rimpiazzamento.
Completezza delle teorie k-categoriche. Tecnica del Back and Forth per
dimostrare la completezza di una teoria. Completezza della teoria degli
ordini totali densi. Completezza della teoria dei grafi random. Cenno alle
algebre di boole.
Inizio discussione dei teoremi di incompletezza di Gödel. Teorie decidibili
e indecidibili. Decidibilita’ delle teorie complete ricorsivamente assiomatizzate. Teoria Q di Robinson. L’aritmetica di Robinson è completa relativamente alle formule con quantificatori limitati.
Insiemi decidibili e semidecidibili. Un insieme di numeri naturali definito da
una formula Σ01 è semidecidibile (e viceversa ogni semidecidibile puo’ essere
cosi’ definito). Le formule chiuse Σ01 vere nel modello standard dei numeri
naturali sono dimostrabili in Q.
Funzioni definite per ricursione primitiva. Rappresentazione delle funzioni
ricorsive nella teoria Q di Robinson.
Ultraprodotti.
Teorema di Los. Dimostrazione del Teorema di compattezza con gli ultraprodotti.
Verso il teorema di incompletezza di Godel. Aritmetizzazione della sintassi.
Lemma di diagonalizzazione. Teorema di Tarski sulla indefinibilità aritmetica della verità aritmetica. Incompletezza di PA: gli enunciati aritmetici veri
non coincidono con gli enunciati dimostrabili in PA.
Primo e secondo teorema di Godel. Teorie omega-coerenti.
Teorie decidibili e indecidibili, complete e incomplete. Esempi di teorie decidibili e complete: Ordini lineari densi senza estremi, Campi algebricamente
chiusi di caratteristica zero. Esempi di teorie decidibili e incomplete: Campi
algebricamente chiusi. Esempi di teorie indecidibili e complete: Teoria completa dei numeri naturali, Teoria dell’anello degli interi (con dimostrazione).
Esempi di teorie indecidibili e incomplete: Q di Robinson, PA, ZF, teoria
degli anelli (con dimostrazione), teoria dei campi. Una teoria ricorsivamente
assiomatizzata e completa è decidibile.
Tecniche per dimostrare la indecidibilita’: se Q si interpreta in T allora T è
indecidibile, e inoltre ogni sottoteoria di T con lo stesso linguaggio è indecidibile. In questo modo si mostra l’indecidibilità dell’insieme delle formule
valide del calcolo dei predicati con almeno un simbolo di relazione binaria (si
può vedere come sottoteoria della teoria degli insiemi ereditariamente finiti,
che a sua volta interpreta la teoria dei numeri naturali).
