Circuiti in corrente alternata

Appunti di Fisica
Circuiti in corrente alternata
Per la corrente alternata e la tensione alternata (con andamento sinusoidale) si definiscono i relativi valori efficaci:
Io
Ief f = √
2
Vo
Vef f = √
2
e
il valore efficace di una funzione continua è il valore quadratico medio della funzione stessa (la radice quadrata del
Z
1 T
2
valor medio della funzione al quadrato), ad esempio: Vef f =
(Vo sin ωt) dt ,
T 0
2π
.
con T =
ω
Circuito puramente resistivo (Fig.1)
V (t) = Vo sin ωt
R
F ig.1
Vo sin ωt
= Io sin ωt , V (t) e i(t) sono in fase, come mostrato
R
in Fig.2 e in Fig.3 (metodo dei vettori rotanti (in verso antiorario), detti anche vettori di fase o fasori).
Poichè VR (t) = V (t), la corrente nel resistore è i(t) =
y
i(t) , V (t)
ω
Vo
Io
ωt
t
F ig.2
x
F ig.3
C. Luviner
circuiti in corrente alternata
2
Circuito puramente capacitivo (Fig.4)
V (t) = Vo sin ωt
C
F ig.4
Poichè VC (t) = V (t), la carica accumulata sulle armature è q(t) = C V (t) = C Vo sin ωt, e quindi la corrente elettrica
Ç
å
π
dq(t)
= ω C Vo cos ωt = Io cos ωt = Io sin ωt +
i(t) =
dt
2
la corrente è in anticipo di un quarto di periodo rispetto alla tensione, come mostrato in Fig.5 e Fig.6 (vettori
rotanti).
y
I(t) , V (t)
ω
Vo
Io
ωt
t
F ig.5
x
F ig.6
Io
1
Io = ω C Vo ⇒ Vo =
= XC Io , dove XC =
è la reattanza capacitiva (misurata in ohm); la tensione
ωC
ωC
ai capi del condensatore si può quindi scrivere nel seguente modo:
VC (t) = Vo sin ωt = XC Io sin ωt
All’aumentare della frequenza del generatore, la reattanza del condensatore diminuisce e la corrente nel circuito
aumenta; se la frequenza del generatore tende a zero, la reattanza tende all’infinito e la corrente tende a zero.
C. Luviner
circuiti in corrente alternata
3
Circuito puramente induttivo (Fig.7)
V (t) = Vo sin ωt
L
F ig.7
Dalla condizione V (t) + VL (t) = 0 si ottiene l’equazione differenziale Vo sin ωt = L
i(t) = −
di(t)
, la cui soluzione è
dt
Ç
å
π
Vo
cos ωt = −Io cos ωt = Io sin ωt −
ωL
2
la corrente quindi è in ritardo di un quarto di periodo rispetto alla tensione, come mostrato in Fig.8 e Fig.9 (vettori
rotanti).
y
i(t) , V (t)
ω
Vo
ωt
t
x
Io
F ig.8
F ig.9
Vo
Io =
⇒ Vo = ω L Io = XL Io , dove XL = ω L è la reattanza induttiva (misurata in ohm); la tensione ai
ωL
capi dell’induttore si può scrivere nel seguente modo:
VL (t) = Vo sin ωt = XL Io sin ωt
All’aumentare della frequenza del generatore, la reattanza dell’induttore aumenta cosı̀ come la fem indotta (in
quanto la corrente varia più rapidamente).
C. Luviner
circuiti in corrente alternata
4
Circuito RLC in serie (Fig.10)
R
C
L
V (t) = Vo sin ωt
F ig.10
Se la tensione del generatore è V (t) = Vo sin ωt, per la corrente si può scrivere, in generale, i(t) = Io sin(ωt − θ); ci
si propone di determinare Io (corrente massima) e θ (differenza di fase tra la tensione del generatore e la corrente).
In ogni istante deve essere V (t) = VR (t) + VL (t) + VC (t), con:
V (t) = Vo sin ωt
VR (t) = R Io sin(ωt − θ)
Ç
å
Ç
å
π
π
= XL Io sin ωt − θ +
VL (t) = ω L Io sin ωt − θ +
2
2
Ç
å
Ç
å
π
1
π
Io sin ωt − θ −
VC (t) =
= XC Io sin ωt − θ −
ωC
2
2
Per determinare Io e θ è conveniente utilizzare i vettori rotanti (Fig.11, dove è supposto XL > XC ).
y
ω Vo
XL Io
θ
XL Io − XC Io
XL Io − XC Io
R Io
Io
x
XC Io
F ig.11
C. Luviner
circuiti in corrente alternata
5
Nella rappresentazione con i vettori rotanti (Fig.11), le tensioni ai capi di ciascun elemento del circuito sono le
componenti y dei corrispondenti vettori (tensioni massime); la somma algebrica delle componenti y deve essere
uguale alla componente y di Vo , per cui la somma vettoriale dei vettori di ciascun elemento deve essere uguale
al vettore Vo .
Dalla Fig.11 si evince che Vo2 = (RIo )2 + [(XL − XC )Io ]2
⇒
Io = s
Vo
Ç
R2
XL Io − XC Io
sempre dalla Fig.11, si osserva che tan θ =
RIo
definendo l’impedenza del circuito Z =
⇒
θ = atan
+
1
ωL −
ωC
ωL −
å2
1
ωC
R
p
R2 + (XL − XC )2 , si può scrivere Vo = Z Io (con Z misurata in ohm).
Se XL > XC , la differenza di fase θ è positiva e quindi la corrente è in ritardo rispetto alla tensione.
Se XL < XC , la differenza di fase θ è negativa e quindi la corrente è in anticipo rispetto alla tensione.
Se XL = XC ⇒ θ = 0 ⇒ Z = R, il circuito si comporta come puramente resistivo e la corrente ha il valore
massimo; la pulsazione ωr corrispondente a tale situazione è detta pulsazione di risonanza e la relativa frequenza
fr è detta frequenza di risonanza:
ωr L =
1
ωr C
⇒
ωr = √
1
LC
⇒
fr =
1
ωr
√
=
2π 2π LC
Potenza in corrente alternata
Nei circuiti in corrente alternata puramente capacitivi e puramente induttivi la potenza media erogata dal generatore di tensione è zero (il generatore non compie lavoro); nei circuiti RLC la potenza si può scrivere nel seguente modo:
P (t) = V (t) i(t) = (Vo sin ωt) [Io sin(ωt − θ)] = Vo Io sin(ωt) sin(ωt − θ) = Vo Io sin(ωt)(sin ωt cos θ − cos ωt sin θ)
Ç
å
1
2
2
P (t) = Vo Io (sin ωt cos θ − sin ωt cos ωt sin θ) = Vo Io cos θ sin ωt − sin 2ωt tan θ ;
2
per il calcolo della potenza media Pm bisogna tenere conto che, per il teorema della media (calcolo integrale):
1
e (sin 2ωt)m = 0 , per cui
2
1
Vo Io
(cos θ = fattore di potenza).
Pm = Vo Io cos θ = √ √ cos θ = Vef f Ief f cos θ
2
2 2
R Io
R Io
R
Vo
2
Dalla Fig.11, Vo cos θ = R Io ⇒ cos θ =
=
= R Ief
⇒ Pm = √ Ief f
f
Vo
Z
Vo
2
(sin2 ωt)m =
la potenza erogata dal generatore di tensione alternata viene dissipata tutta nel resistore (non viene dissipata nel
condensatore e nell’induttore).
C. Luviner
circuiti in corrente alternata
6
Potenza media in funzione della pulsazione
2
Pm = R Ief
f = R
2
Vef
f
=
Z2
2
R Vef
f
Ç
R2 +
ωL −
1
ωC
2
R Vef
f
Ç
2
å2 =
R2 +
L
ω2
ω2 −
1
LC
å2 =
alla pulsazione di risonanza ω = ωr si ha la massima potenza media
2
Vef
f
R
2
2
R Vef
f ω
2
R2 ω 2 + L2 (ω 2 − ωr2 )
.
In Fig.12 è rappresenatato un generico grafico della potenza media in funzione della pulsazione; il fattore di qualità
ωr
, dove ∆ω è la larghezza
(o fattore di merito, o Q-factor) del cirduito è il parametro adimensionale Qf =
∆ω
della curva misurata a metà del massimo valore di Pm (ω) .
Pm (ω)
(Pm )max
(Pm )max
2
∆ω
ωr
ω
F ig.12
Filtro passa-alto, filtro passa-basso
In Fig.13 è rappresentato un semplice circuito che funge da filtro passa alto, attenua le basse frequenze ed influenza
poco quelle alte; per rendersene conto basta calcolare il rapporto tra la tensione massima d’uscita VR (ai capi del
resistore) e quella massima d’ingresso Vo (ai capi del generatore di tensione alternata). In Fig.14 è rappresentato il
grafico di tale rapporto in funzione dalla pulsazione ω (in scala semilogaritmica).
Ã
Ç
Vo = Z · Io =
R2
+
1
ωC
å2
· Io
;
VR = R · Io
⇒
VR
R
=s
Ç
å2
Vo
1
2
R +
ωC
C. Luviner
circuiti in corrente alternata
7
VR
Vo
1
C
V (t) = Vo sin ωt
VR (t)
R
F ig.13
ω
F ig.14
In Fig.15 è rappresentato un semplice circuito che funge da filtro passa basso, attenua le alte frequenze ed influenza
poco quelle basse; per rendersene conto basta calcolare il rapporto tra la tensione massima d’uscita VC (ai capi del
condensatore) e quella massima d’ingresso Vo (ai capi del generatore di tensione alternata). In Fig.16 è rappresentato il grafico di tale rapporto in funzione dalla pulsazione ω (in scala semilogaritmica).
Ã
Ç
Vo = Z · Io =
R2 +
1
ωC
å2
· Io
;
VC = XC · Io
⇒
1
VC
ωC
= s
Ç
å2
Vo
1
2
R +
ωC
VC
Vo
1
R
V (t) = Vo sin ωt
C
F ig.15
VC (t)
F ig.16
ω
C. Luviner
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8
Circuiti in corrente alternata - Esercizi
nei seguenti esercizi ipotizza i circuiti alimentati da un generatore di tensione alternata V (t) = Vo sin ωt
1. Rappresenta qualitativamente R(f ), XC (f ) e XL (f ) in un piano (f ; Ω).
2. In un circuito puramente induttivo, Vef f = 20 V , f = 50 Hz ed L = 250 mH ; esprimi V (t) e i(t) .
3. In un circuito RLC in serie, Vo = 18 V , R = 10 Ω , L = 30 mH e C = 15 µF ; calcola la corrente efficace se
la pulsazione del generatore è 1.5 volte quella di risonanza.
4. Nel circuito sottostante, V0 = 160 V , R = 100 Ω , C = 10 µF ed L = 10 mH ; valuta a quale valore tende la
Ief f quando la frequenza del generatore tende a +∞ .
R
L
R
V (t) = Vo sin ωt
C
C
R
5. In un circuito RLC in serie, f = 100 Hz , Vo = 110 V , R = 120 Ω , L = 180 mH e C = 40 µF ; calcola la
differenza di fase θ , tra tensione e corrente, e rappresenta il sistema con il metodo dei vettori rotanti.
6. In un circuito puramente capacitivo, C = 100 µF , Ief f = 0.8 A ed f = 50 Hz ; calcola la tensione tra
dI(t)
le armature del condensatore nell’istante in cui la corrente vale 0.4 A e
< 0 ; valuta inoltre se, nel
dt
dV (t)
è maggiore o minore di 0.
medesimo istante,
dt
7. In un circuito RLC in serie, Ief f = 6 A e Vef f = 240 V ; se la corrente è in anticipo di 60o rispetto alla
tensione, calcola R e (XL − XC ) .
ñ Ç 2
åô
ωVo
L ωr − ω 2
8. Dimostra che, in un circuito RLC in serie, (a) Io = p
, (b) θ = atan
.
R
ω
L2 (ωr2 − ω 2 )2 + (ωR)2
C. Luviner
circuiti in corrente alternata
9
9. Sapendo che in un circuito RLC in serie, f = 60 Hz , Vo = 150 V , R = 250 Ω , L = 0.6 H e C = 3.6 µF ,
determina: (a) l’impedenza, (b) la corrente massima, (c) la differenza di fase θ tra tensione e correnete, (d)
le tensioni massime ai capi di ciascun componente, (e) le tensioni in funzione di t ai capi dei vari componenti,
supponendo che la tensione del generatore sia V (t) = Vo sin(ωt + θ) , (f) la potenza media del generatore di
tensione.
10. Sapendo che in un circuito RLC in serie, f = 800 Hz , Vef f = 20 V , R = 150 Ω , L = 20 mH , calcola (a)
il valore della capacità del condensatore affinchè la corrente sia massima, (b) il valore della corrente efficace
(massima).
11. Un generatore di 400 V produce una corrente efficace di 10 A; la tensione viene innalzata a 4500 V con un
trasformatore e trasmessa su una linea di resistenza 30 Ω. Determina: (a) la perdita percentuale di energia
con la tensione trasformata, (b) la perdita percentuale di energia se la tensione non viene trasformata.
√
√
12. In un circuito
RLC in serie, R = 100 Ω , i(t) = 2 3 sin(200 t − θ) A , V (t) = 400 3 sin(200 t) V e
√
XC = 3 · 102 Ω ; calcola (a) l’impedenza del circuito, (b) la reattanza induttiva XL , (c) la differenza di
fase tra tensione e corrente.