PROVA IN ITINERE DI ALGEBRA 1 MATEMATICA PER L'INFORMATICA E LA COMUNICAZIONE SCIENTIFICA Docente: F. Benanti 6 Novembre 2002 – a.a. 2002/2003 (B) a 0 1) Sia A / a, b Z e il prodotto righe per colonne. b a a) Dimostrare che A, è un monoide; b) A, è un monoide commutativo? 1 0 c) Sia B / b Z A . Verificare che B è un sottomonoide di A; b 1 a 0 a 0 d) Si consideri l'applicazione f : A Z definita da f A . a , b a b a Dimostrare che f è un epimorfismo del monoide A, nel monoide Z , ; a 0 a' 0 a 0 a' 0 e) Sia ~ la relazione su A definita da ~ se a a' , , A . b a b' a ' b a b' a ' Dimostrare che ~ è una relazione di equivalenza; f) Dimostrare che l'equivalenza ~ e l'equivalenza ~f associata a f coincidono; g) A / ~, è un monoide? Perché? h) Dimostrare che A / ~, e Z , sono isomorfi; n 1 0 1 0 i) Dimostrare che nel monoide B, si ha , n 1 . b 1 nb 1 1 2 3 4 5 6 7 2) Sia S 7 il gruppo simmetrico di ordine 7 e sia S 7 . 3 2 1 6 7 5 4 a) Scrivere come prodotto di cicli disgiunti; b) Calcolare il periodo di ; c) Calcolare 1 . 3) Calcolare mediante l'algoritmo di Euclide il massimo comun divisore tra 84 e 22. Determinare inoltre una coppia di interi x e y tali che x, y x84 y22 .