PROVA SCRITTA DI ANALISI MATEMATICA

PROVA IN ITINERE DI ALGEBRA 1
MATEMATICA PER L'INFORMATICA E LA COMUNICAZIONE SCIENTIFICA
Docente: F. Benanti
6 Novembre 2002 – a.a. 2002/2003
(B)
 a 0 

1) Sia A  
 / a, b  Z  e  il prodotto righe per colonne.
 b a 

a) Dimostrare che  A, è un monoide;
b)  A, è un monoide commutativo?
 1 0 

c) Sia B  
 / b  Z   A . Verificare che B è un sottomonoide di A;
 b 1 

a 0
a 0
d) Si consideri l'applicazione f : A  Z definita da f  
  A .
   a , 
b a
 b a 
Dimostrare che f è un epimorfismo del monoide  A, nel monoide Z , ;
 a 0   a' 0 
 a 0   a' 0 
e) Sia ~ la relazione su A definita da 
 ~ 
 se a  a' , 
, 
  A .
 b a   b' a ' 
 b a   b' a ' 
Dimostrare che ~ è una relazione di equivalenza;
f) Dimostrare che l'equivalenza ~ e l'equivalenza ~f associata a f coincidono;
g)  A / ~, è un monoide? Perché?
h) Dimostrare che  A / ~, e Z , sono isomorfi;
n
 1 0  1 0
i) Dimostrare che nel monoide B, si ha 
  
 , n  1 .
 b 1   nb 1 
1 2 3 4 5 6 7
2) Sia S 7 il gruppo simmetrico di ordine 7 e sia   
  S 7 .
3 2 1 6 7 5 4
a) Scrivere  come prodotto di cicli disgiunti;
b) Calcolare il periodo di  ;
c) Calcolare  1 .
3) Calcolare mediante l'algoritmo di Euclide il massimo comun divisore tra 84 e 22. Determinare
inoltre una coppia di interi x e y tali che x, y   x84  y22 .