Variabile Casuale Normale
Variabile Casuale Normale o Gaussiana
E’ una variabile casuale continua che assume tutti i numeri
reali, è definita dalla seguente funzione di densità:
f ( x) =
1
σ 2π
( x −µ ) 2
−
2
e 2σ
π =3.14159…
π =3.14159…
e =2.71828…
e =2.71828…
Proprietà:
• è simmetrica rispetto a x=m (punto di simmetria: media, moda e mediana
coincidono)
• assume valore massimo per x=m
• è asintotica rispetto all’asse delle ascisse
•Presenta due flessi nei punti x1=m-s e x2=m+s
1
Variabile Casuale Normale o Gaussiana
In una distribuzione normale
• il 68% dei casi cade nell'intervallo
Media±Deviazione Standard
• il 95% dei casi nell'intervallo
Media±1,96 Deviazione Standard
• il 99,7% nell’intervallo
Media±3 Deviazione Standard.
Variabile Casuale Normale o Gaussiana
¾È la distribuzione degli errori casuali
¾Tutte le distribuzioni con l’aumentare delle prove tendono ad
assumere una distribuzione normale (teorema centrale del limite)
¾È definita da due parametri: la media µ e la varianza σ2
2
Indicatori di distribuzione
CURTOSI
SIMMETRIA
Intensità standardizzate o PUNTEGGI Z
zi =
xi − µ
σ
La variabile z con media 0 e varianza 1
Tale procedura mi serve per poter confrontare
diverse distribuzioni
Funzione di Excel : NORMALIZZA
3
La normale con media 0 e varianza 1 è detta
NORMALE STANDARD
Esistono delle tavole che riportano
i valori e le corrispondenti probabilità sottese
(quantili)
Funzioni di excel: DISTRIB.NORM e INV.NORM
4
ESERCIZIO: VARIABILE CASUALE NORMALE
Si supponga di avere una variabile X che abbia media 100 e deviazione
standard 15.
1.
Se X fosse distribuita esattamente come una gaussiana, quale
percentuale di casi deve avere valori compresi tra 70 e 130?
2.
Quale percentuale di casi vi attendete non inferiore a 115?
3.
Quale percentuale di casi vi attendete inferiore 85?
4.
Ammettete che la variabile X venga standardizzata e chiamata ZX.
Qual è la media e la deviazione standard della distribuzione di ZX?
Rappresentarla graficamente.
5.
Quale percentuale di casi vi attendete compresa tra –1 e +1? Tra 0
e 2? Meno di –2?
1. Se X fosse distribuita esattamente come una gaussiana, quale percentuale di casi
deve avere valori compresi tra 70 e 130?
Si 0.03
osservi che 70=100-2*15 e
Si osservi chein70=100-2*15
130=100+2*15,
una normalee
0.025
130=100+2*15,
in
normale
tra µ +/− 2σ ci stannouna
il 95%
dei
tra0.02
µ +/− 2σ casi
ci stanno il 95% dei
casi
0.015
95%
0.01
0.005
0
10
40
70
100
130
160
190
Volendo effettuare la verifica con le tavole, bisognerebbe considerare
che
130 − 100
70 − 100
<z<
P ( 70 < x < 130 ) = P
= P ( −2 < z < 2 )
15
15
Dalle tavole:
P ( z < 2 ) − P ( z < −2 ) = 0.9772 − 0.0228 = 0.95
5
2. Quale percentuale di casi vi attendete non inferiore a 115?
Si osservi che0.03
115=100+15, in una
Si osservi
115=100+15,
normale
trache
µ +/−
σ ci stannoiniluna
normale
tra
µ
+/−
σ ci stanno
il
0.025
68% . Nelle due code x>115
e x<85
68%
.
Nelle
due
code
x>115
e
x<85
ci sta il 32%
0.02dei casi. Per la
ci stanella
il 32%
deicoda
casi.diPer
la
simmetria
sola
destra
simmetria
nella
sola
coda
di
destra
0.015
avremo il 32% dei casi diviso 2,
avremo ilcioè
32%
dei casi diviso 2,
0.01il 16%
cioè
il 16%
16%
0.005
0
10
45
80
115
150
185
Volendo effettuare la verifica con le tavole, bisognerebbe
considerare che
150 − 100
P ( x > 115) = P z >
= P ( z > 1)
15
Dalle tavole:
P ( z > 1) = P ( z < −1) = 0.1587
3. Quale percentuale di casi vi attendete inferiore 85?
E’ la coda simmetrica a
E’
la coda
simmetrica
x>115,
e quindi
la a
0.03
x>115,
e
quindi
probabilità è semprela
probabilità è sempre
0.025 16%
16%
16%
0.02
0.015
0.01
0.005
0
10
35
60
85
110
135
160
185
Volendo effettuare la verifica con le tavole, bisognerebbe
considerare che
85 − 100
P ( x < 85 ) = P z <
= P ( z < −1)
15
Dalle tavole:
P ( z < − 1 ) = 0 .1 5 8 7
6
4. Ammettete che la variabile X venga standardizzata e chiamata ZX. Qual è la
media e la deviazione standard della distribuzione di ZX? Rappresentarla
graficamente.
0.45
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
-6
-4
-2
0
2
4
6
Media = 0
Deviazione Standard = 1
5. Quale percentuale di casi vi attendete compresa tra –1 e +1? Tra 0 e 2? Meno di –
2?
0.5
0.4
0.3
0.2
68%
0.1
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
0.5
0.4
0.3
0.2
95%/2 = 47,5%
0.1
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
0.5
0.4
0.3
0.2
5%/2 = 2.5%
0.1
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
7
Convergenza della binomiale alla normale
p ≅ q
Distribuzione
BINOMIALE
n→∞
Distribuzione
GAUSSIANA
(
X ≈ Bin ( n, p )
X ≈ N np, np (1 − p )
)
Esempio: Convergenza della binomiale alla normale
Una marca di cioccolatini dà 1 possibilità su 5 di poter vincere un altro cioccolatino, se si
ripristinano sempre le condizioni di partenza, calcolare la probabilità di vincere al massimo 190
cioccolatini su 1000 estratti
Bisognerebbe usare la v.c. binomiale, calcoli molto dispendiosi!
Bisognerebbe usare la v.c. binomiale, calcoli molto dispendiosi!
X ≈ Bin ( n , p ) = Bin (1000, 0.2 )
1000
0
1000
+
P ( X ≤ 190) =
0.2 0.8
0
1000 1 999 1000
1000 190 810
2
998
+
+
= 0.22
0.2 0.8
0.2 0.8 + .... +
0.2 0.8
1
2
190
Sfruttando la convergenza si può ottenere lo stesso risultato con la v.c. normale
Sfruttando la convergenza si può ottenere lo stesso risultato con la v.c. normale
)=
1 0 0 0 ⋅ 0 .2 ⋅ 0 .8 ) = N (2 0 0 ,
X ≈ N
= N
(0 .2 ⋅ 1 0 0 0 ,
(n p ,
n p (1 − p )
160
)
190 − 200
P ( X ≤ 190) = P Z ≤
= P ( Z ≤ − 0.79 ) = 0.2148
160
8
Esempio: Convergenza della binomiale alla normale
Basta standardizzare e utilizzare le
Bastadella
standardizzare
e utilizzare le
tavole
normale standardizzata
tavole della normale standardizzata
0.2148
9
