3 - Tullio Buzzi

SOMMARIO
CAPITOLO 13: I RADICALI
13.1 I radicali
pag. 3
13.2 I radicali aritmetici
pag. 5
13.3 Moltiplicazione e divisione fra radicali aritmetici
pag. 11
13.4 Potenza di un radicale aritmetico
pag. 12
13.5 Trasporto di un fattore esterno sotto il segno di radice in R+ ∪{0}
pag. 13
13.6 Trasporto di un fattore fuori dal segno di radice in R+ ∪{0}
pag. 14
13.7 Radice di un radicale aritmetico
pag. 17
13.8 Radicali simili
pag. 18
13.9 Razionalizzazione del denominatore di una frazione
pag. 20
13.10 Radicali doppi
pag. 28
13.11 Radicali in R
pag. 33
13.12 Potenze ad esponente razionale
pag. 35
ESERCIZI
pag. 42
CAPITOLO 14: EQUAZIONI DI SECONDO GRADO
14.1 Equazioni di secondo grado e loro classificazione
pag. 79
14.2 Risoluzione di un’equazione di secondo grado
pag. 81
14.3 Relazione tra i coefficienti di una equazione di secondo grado e le sue soluzioni
pag. 92
14.4 Equazioni parametriche di secondo grado
pag. 98
14.5 Equazioni e problemi
pag. 101
14.6 Equazioni di grado superiore al secondo
pag. 103
14.7 Equazioni binomie
pag. 105
14.8 Equazioni trinomie
pag. 108
14.9 Equazioni risolubili con particolari sostituzioni
pag. 112
14.10 Equazioni reciproche
pag. 114
14.11 Equazioni riconducibili ad equazioni di primo e secondo grado
mediante la scomposizione in fattori
ESERCIZI
pag. 122
pag. 126
CAPITOLO 15: LE DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO
15.1 La funzione y = ax2
pag. 164
15.2 La funzione y = ax2 + bx + c
pag. 171
15.3 Equazioni di secondo grado in una variabile e parabola
pag. 183
15.4 Disequazioni di secondo grado in una variabile e parabola
pag. 185
ESERCIZI
pag. 198
CAPITOLO 16:
ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA
16..1 Introduzione
pag. 213
16..2 Elementi di base
pag. 215
16..3 Rappresentazioni grafiche
pag. 218
16..4 Indici di posizione
pag. 220
16..5 Indici di variabilità
pag. 224
ESERCIZI
pag. 227
CAPITOLO 13
RADICALI
13.1 I radicali
Sicuramente, hai già affrontato problemi del tipo:
a) La superficie di un quadrato misura 15 m2; qual è la misura del suo lato?
b) Il volume di un cubo misura 30 cm3; qual è la misura dello spigolo del cubo?
c) Qual è quel numero che elevato alla terza dà −27?
Formalizziamoli con i simboli della matematica:
a) indicata con x la misura del lato del quadrato, si ottiene: x 2 = 15 ;
b) indicata con l la misura dello spigolo del cubo, si ottiene: l 3 = 30 ;
c) indicato con n il numero da determinare, si ottiene:
n3 = −27
Le equazioni alle lettere a) e b) non hanno soluzione nell’insieme dei numeri razionali, (la loro
soluzione è, infatti, un numero irrazionale); invece, l’equazione alla lettera c) ha per soluzione un
numero razionale.
La soluzione dell’equazione del problema a) è quel numero irrazionale il cui quadrato è 15;
con i simboli che hai già conosciuto negli studi precedenti, si ha: x 2 = 15 ⇒ x = 15 .
Come sai, il numero 15 si legge “radice quadrata di 15”.
Poiché 15 è soluzione dell’equazione, si ha
( 15 )
2
= 15 .
La soluzione dell’equazione del problema b) è quel numero irrazionale che elevato alla terza
l 3 = 30 ⇒ l = 3 30 .
dà 30; si ha, quindi:
Poiché
3
30 è soluzione dell’equazione, si ha
Come sai, il numero
3
(
3
30
)
3
= 30
30 si legge “ radice cubica (o di indice 3) di 30”.
La soluzione dell’equazione del problema c) è il numero razionale ………. (completa),
perché (........) = −27 .
3
I numeri 15 ,
3
30 che abbiamo appena scritto si chiamano radicali.
Ancora qualche esempio:
Qual è quel numero che elevato alla quinta dà 64?
3
Formalizziamo la proposizione e risolviamo l’equazione ottenuta:
t 5 = 64 ⇒ t = 5 64
Poiché
5
64 è soluzione dell’equazione, si ha
Osserviamo che
5
(il simbolo
(
5
64
)
5
5
64 si legge “radice di indice 5 di 64)
= 64 .
64 è un numero positivo dal momento che una potenza con esponente dispari ha
lo stesso segno della base della potenza stessa.
Qual è quel numero che elevato alla terza dà −18?
Formalizziamo la proposizione e risolviamo l’equazione ottenuta:
h3 = −18 ⇒ h = 3 −18
Poiché
3
(il simbolo
3
−18 si legge “radice cubica, o di indice 3, di −18)
−18 è soluzione dell’equazione, si ha
Osserviamo che
3
(
3
−18
)
3
= −18 .
−18 è un numero negativo dal momento che una potenza con esponente
dispari ha lo stesso segno della base della potenza stessa.
Anche i numeri
5
64 e
3
−18 sono dei radicali.
Qual è quel numero che elevato alla quarta dà −32?
Formalizziamo la proposizione e risolviamo l’equazione ottenuta:
h 4 = −32 ⇒ S = ∅
Non esiste, infatti, alcun numero che elevato alla quarta, e in generale ad un esponente pari,
dia per risultato un numero negativo.
Introduciamo un po’ di terminologia per i simboli usati per indicare i radicali:
il simbolo
è chiamato simbolo di radice;
il numero, scritto con carattere più piccolo, posto sopra il simbolo di radice si chiama
indice di radice;
il numero scritto dentro il simbolo di radice si chiama radicando.
Simbolo di radice
indice di radice
3
3
radicando
Da una prima analisi degli esempi precedenti, possiamo dire che un radicale è un numero che
elevato all’indice di radice dà il radicando; è evidente, però, che è necessario distinguere due casi:
il radicando è un numero non negativo;
il radicando è un numero negativo.
4
Possiamo, allora, dare la seguente definizione:
Siano a ∈ R e n ∈ N 0 , si chiama radice n−
−sima (o di indice n) di a quel numero b ∈ R tale che
b n = a . In simboli: b = n a .
In particolare:
• Se a ≥ 0, anche la radice n−
−sima di a è un numero b ≥ 0.
a ∈ R0+ ⇒
In simboli:
n
a ∈ R0+ .
• Se a < 0, dobbiamo distinguere due casi:
o se n è dispari, anche la radice n−
−sima di a è un numero b < 0,
o se n è pari, la radice n−
−sima di a non esiste.
 n a ∈ R − se n dispari
a ∈ R− ⇒ 
se n pari
 ∃ n a
In simboli:
Dalla definizione segue che
( a)
n
n
= a (ovviamente quando esiste) e, quindi, possiamo affermare
che la radice n−sima di un numero è l’operazione inversa dell’elevamento a potenza.
Come si può notare dal problema c), talvolta un radicale è un numero razionale; ad esempio:
7
128 = 2
perché 27 = 128 ;
5
−243 = −3
perché
9 =3
4 2
perché 3
2
( −3 )
5
= −243 ;
( ) = 94 .
2
Casi particolari
Se a = 0,
n
0 = 0.
Se n = 1, il simbolo di radice non si scrive:
1
a =a.
Se n = 2, si omette l’indice di radice:
2
a= a.
13.2 I radicali aritmetici
Si chiama radicale aritmetico un radicale nel quale il radicando è un numero non negativo.
Un radicale aritmetico, quindi, è un numero non negativo qualunque sia l’indice della radice.
n
a radicale aritmetico ⇔ a ∈ R + ∪ {0}
Se il radicando è un’espressione letterale, è necessario, allora, determinarne il “dominio”, cioè
l’insieme al quale devono appartenere le variabili contenute nel radicando affinchè esso sia non
negativo.
5
Esempio
Affinchè
3
m + 2 sia un radicale aritmetico, il suo radicando deve essere non negativo; è
necessario determinarne il dominio ponendo il radicando maggiore o uguale a zero. Si
ottiene:
m + 2 ≥ 0 ⇒ m ≥ −2 ⇒ D = [ −2, +∞[
PROVA TU
Determina il dominio dei seguenti radicali aritmetici:
1) 5 2a − 1 ;
6
2) h 2 + 1 ;
9
3m 2t
4 z 2 − 25
Proprietà invariantiva
Prima di parlare di questa importantissima proprietà dei radicali, diamo la seguente definizione:
Due radicali aritmetici si dicono equivalenti se rappresentano lo stesso numero.
Osserva attentamente le seguenti uguaglianze e, in particolare, rifletti sugli indici delle radici e sugli
esponenti dei radicandi:
6
64 = 6 26 = 2;
6
26 e
6
26 = 2 2 .
22 sono due “radicali” equivalenti.
25 = 52 = 5;
52 e
4 = 2 2 = 2 ⇒ (per la proprietà transitiva) ⇒
4
4
625 = 4 54 = 5 ⇒ (per la proprietà transitiva) ⇒
52 = 4 54 .
54 sono due “radicali” equivalenti.
• Nella prima uguaglianza, indice di radice ed esponente del radicando di
ottenere dall’indice di radice e dall’esponente del radicando di
6
22 si possono
26 , rispettivamente,
dividendo entrambi per ….... (completa).
• Nella seconda uguaglianza, indice di radice ed esponente del radicando di
ottenere dall’indice di radice e dall’esponente del radicando di
4
52 si possono
54 , rispettivamente,
moltiplicando entrambi per ….... (completa).
Questa proprietà è più generale e prende il nome di proprietà invariantiva:
Se si moltiplicano o si dividono indice della radice ed esponente del radicando di un
radicale aritmetico per uno stesso numero naturale, diverso da zero, si ottiene un radicale
equivalente a quello dato.
In simboli:
6
n
a t = n⋅ h a t ⋅ h
oppure
n
a t = n:h a t :h
( h ∈ N0 )
Quando viene usata questa proprietà?
La proprietà invariantiva viene usata quando:
• è necessario avere due radicali aritmetici con lo stesso indice;
• è necessario “semplificare” un radicale aritmetico.
Riduzione di due o più radicali allo stesso indice
Ridurre due radicali aritmetici allo stesso indice significa determinare due radicali
equivalenti a quelli dati aventi lo stesso indice di radice.
Generalmente, si riducono i radicali al più piccolo indice comune.
Vediamo come si opera con un esempio.
23 e
Riduciamo allo stesso indice i radicali
5
32 .
a) Determiniamo il minimo comune multiplo fra gli indici dei due radicali:
mcm (2, 5) = 10; (indice comune dei radicali equivalenti a quelli dati);
b) si divide il mcm trovato (in questo caso10) per il “vecchio” indice di radice e si moltiplica
l’esponente del radicando per il quoziente così determinato.
In questo caso
23 =
10
10 : 2 = 5; 10 : 5 = 2; si ottiene:
23⋅5 = 10 215 ;
Quindi,
23 = 10 215
5
4
5
e
Riduciamo allo stesso indice i radicali
Osserviamo che
32 = 10 32⋅2 = 10 34
4
32 = 10 34
9a 3 e
9a 3 = 4 32 a3 e
6
6
8a 4 .
8a 4 = 6 23 a 4 .
a) mcm (4, 6) = 12;
b) 12 : 4 = 3 ⇒
4
32 a 3 = 4⋅3 32⋅3 a 3⋅3 = 12 36 a 9 ;
12 : 6 = 2 ⇒
6
23 a 4 = 6⋅2 23⋅2 a 4⋅2 = 12 26 a8 .
4
9a 3 = 12 36 a9
Quindi,
6
8a 4 = 12 26 a8
È necessario, per esempio, ridurre due radicali allo stesso indice, quando essi devono essere
confrontati.
Qual è il più piccolo fra
Poiché 8 < 10, anche
8 e 10 ?
8 < 10 .
Quindi, fra due radicali aritmetici aventi lo stesso indice è minore quello che ha radicando
minore.
7
Qual è il più piccolo fra
8 e
3
23 ?
Poiché sappiamo confrontare due radicali aritmetici aventi lo stesso indice di radice, per
confrontare fra loro radicali aritmetici con indice diverso è necessario, prima, ridurli allo stesso
indice; sarà più piccolo il radicale che ha radicando minore.
a)
mcm (2, 3) = 6
b)
6 : 2 = 3;
6:3=2 ⇒
8 = 6 83 = 6 512 e
Stabiliamo, allora, qual è il più piccolo fra
6
512 e
6
3
23 = 6 232 = 6 529
529 :
512 < 529 ⇒
6
512 < 6 529
8 < 3 23 .
In definitiva, si ha:
Semplificazione di un radicale
In precedenza, abbiamo detto che si applica la proprietà invariantiva quando dobbiamo
“semplificare” un radicale aritmetico; ma…. cosa significa “semplificare” un radicale aritmetico?
Osserva i seguenti radicali aritmetici:
8
a3 : indice della radice ed esponente del radicando hanno divisori comuni?
SI
NO
6
b 4 : indice della radice ed esponente del radicando hanno divisori comuni?
SI
NO
8
Si dice che
a3 è un radicale aritmetico irriducibile; invece
6
b3 è un radicale aritmetico
semplificabile o riducibile.
Si ha la seguente definizione:
Un radicale aritmetico si dice irriducibile se indice della radice ed esponente del radicando
sono coprimi; in caso contrario il radicale è semplificabile.
Semplificare un radicale aritmetico, allora, vuol dire trovarne uno irriducibile ad esso equivalente.
Esempi
Semplifichiamo i seguenti radicali aritmetici:
a)
8
81 ;
12
b)
5184 ;
c)
6
8h9 g 3
( h, g ∈ R )
+
0
a) Scomponiamo in fattori primi il radicando e determiniamo il MCD fra l’indice della radice e
l’esponente del radicando.
Applichiamo, quindi, la proprietà invariantiva e dividiamo indice del radicale e l’esponente del
radicando per il MCD appena determinato. Si ottiene:
▪ 81 = 34 ⇒
8
81 = 8 34 ;
▪ MCD(8,4) = 4;
▪
8
8
81 = 8: 4 34: 4 ⇒
8
81 = 3 .
b) Scomponiamo in fattori primi il radicando e determiniamo il MCD fra l’indice della radice e gli
esponenti dei fattori del radicando.
Applichiamo, quindi, la proprietà invariantiva e dividiamo indice del radicale e gli esponenti dei
fattori del radicando per il MCD appena determinato. Si ottiene:
6
4
▪ 5184 = 2 ⋅ 3 ⇒
12
5184 = 12 26 ⋅ 34 ;
▪ MCD(12,6,4) = 2;
12
▪
26 ⋅ 34 = 12 : 2 26 : 2 ⋅ 34: 2 ⇒
12
5184 = 6 23 ⋅ 32 .
c) Scomponiamo in fattori il coefficiente numerico del radicando e determiniamo il MCD fra
l’indice della radice e gli esponenti dei fattori del radicando.
Applichiamo, quindi, la proprietà invariantiva e dividiamo indice del radicale e gli esponenti dei
fattori del radicando per il MCD appena determinato. Si ottiene:
▪ 8 = 23 ⇒
6
8h 9 g 6 = 6 23 h 9 g 3 ;
▪ MCD(6, 3, 9) = 3;
▪
6
23 h 9 g 3 =
6:3
23: 3 h9 : 3 g 3 : 3 ⇒
6
8h 9 g 3 = 2 h 3 g
ATTENZIONE
Semplifichiamo il radicale 8 ( z − 1) .
6
Osserviamo che il dominio di questo radicale è l’insieme dei numeri reali dal momento che il
radicando ( z − 1) è non negativo qualunque sia il valore attribuito alla variabile z.
6
Procediamo con la semplificazione:
MCD (8, 6) = 2;
applichiamo la proprietà invariantiva:
Abbiamo ottenuto l’uguaglianza
8
( z − 1)
6
=
8
( z − 1)
4
( z − 1)
6
= 8:2 ( z − 1)
6:2
=
4
( z − 1)
3
3
Siamo proprio sicuri che essa sia vera per qualunque valore attribuito alla variabile z?
Proviamo:
z=0 ⇒
8
( 0 − 1)
6
=
4
( 0 − 1)
3
⇒ 8 ( −1) =
6
4
( −1)
3
⇒ 8 1 = 4 −1 ⇒ uguaglianza falsa!
Come è possibile? Eppure siamo sicuri di aver applicato in maniera corretta la proprietà
invariantiva!
9
Osservando i due radicali, notiamo che essi hanno come dominio insiemi diversi:
• il dominio di
• il dominio di
( z − 1)
8
4
6
( z − 1)
è l’insieme R
è l’insieme D1 = [1, +∞[ .
3
Condizione necessaria affinchè due radicali siano equivalenti è che abbiano lo stesso dominio.
Ora, affinchè l’insieme R sia il dominio di
4
( z − 1)
3
, è necessario che il suo radicando sia
“sempre” non negativo; per ottenere questo basta applicare l’operazione di valore assoluto.
8
Si ha, allora:
( z − 1)
6
= 4 z −1 .
3
Un altro esempio.
Semplifichiamo il radicale aritmetico
6
( 2 x − 1)
3
.
Prima di tutto, determiniamo il dominio.
( 2 x − 1)
Deve essere
3
≥ 0 ⇒ 2 x − 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ 1 ⇒ D =  1 , +∞ 
2
 2

Semplifichiamo, adesso, il radicale:
MCD (6, 3) = 3
Applichiamo la proprietà invariantiva: 6 ( 2 x − 1) = 6:3 ( 2 x − 1)
3
6
si ottiene l’uguaglianza
( 2 x − 1)
3
3:3
= 2x −1 ;
= 2x −1 .
Per stabilire se i due radicali sono equivalenti, determiniamo il dominio di
2x −1 .
Deve essere 2 x − 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ 1 ⇒ D1 =  1 , +∞ 
2
 2

I due radicali hanno lo stesso dominio; quindi, sono equivalenti. In questo caso non si applica
l’operazione di valore assoluto.
6
In definitiva:
( 2 x − 1)
3
= 2x −1 .
PROVA TU
Riduci allo stesso indice le seguenti coppie di radicali aritmetici:
a)
4
7
e
10 ;
2h3 e
b)
3
3k ;
c)
6
3 (1 + m )
5
e
9
( 2 − m)
Inserisci, al poso dei puntini, i simboli “>”, “<” in modo che le relazioni siano vere:
3 …. 4 10 ;
a)
b)
3
5 ….
3
4;
c)
6
Semplifica, se possibile, i seguenti radicali aritmetici:
a)
10
6
16 ;
b)
9
64a3 ;
c) 12 8 ( 3t + 2 )
6
6 ….
4
3
4
13.3 Moltiplicazione e divisione fra radicali aritmetici
Fra radicali aritmetici si definiscono due operazioni: moltiplicazione e divisione.
Il prodotto di due radicali aritmetici aventi indice di radice uguale è un radicale
aritmetico che ha per indice di radice l’indice dei due fattori e per radicando il prodotto
dei radicandi dei due fattori.
n
In simboli:
a ⋅ n b = n a⋅b
Se i radicali aritmetici hanno indice di radice diverso, prima di eseguire la moltiplicazione si
riducono allo stesso indice.
Il quoziente di due radicali aritmetici aventi indice di radice uguale è un radicale
aritmetico che ha per indice di radice l’indice del divisore (e del dividendo) e per
radicando il quoziente dei radicandi.
n
In simboli:
a :n b = n a:b
n
oppure
n
a =
b
n
a
b
Se i radicali aritmetici hanno indice di radice diverso, prima di eseguire la divisione si
riducono allo stesso indice.
Esempi
Eseguiamo le seguenti moltiplicazioni e divisioni:
a)
3
4⋅3 5;
4
b)
6a ⋅ 6 2ab ;
c)
5
9:58;
d)
3
4h 2t : 4 3t
a) I due radicali hanno lo stesso indice, pertanto:
3
4 ⋅ 3 5 = 3 4 ⋅ 5 = 3 20
b) I due radicali hanno indice diverso:
▪ riduciamo i due radicali allo stesso indice;
▪ eseguiamo la moltiplicazione.
Si ottiene:
4
6a ⋅ 6 2ab = 12 ( 2 ⋅ 3) a 3 ⋅ 12 22 a 2b 2 = 12 23 ⋅ 33 a 3 ⋅ 22 a 2b 2 = 12 25 ⋅ 33 a 5b 2
In definitiva:
3
4
6a ⋅ 6 2ab = 12 25 ⋅ 33 a5b 2
c) I due radicali hanno lo stesso indice, pertanto:
5
9 : 5 8 = 5 9:8 = 5 9
8
11
d) I due radicali hanno indice diverso:
▪ riduciamo i due radicali allo stesso indice;
▪ eseguiamo la divisione.
Si ottiene:
3
( ) (h )
4
4h 2t : 4 3t = 12 22
3
In definitiva:
2
4
(
)(
)
8
t 4 : 12 33 t 3 = 12 28 h8t 4 : 33 t 3 = 12 23 h8t
3
8
4h 2t : 4 3t = 12 23 h8t
3
PROVA TU
Esegui le seguenti moltiplicazioni e divisioni fra radicali aritmetici:
a) 3 8 ⋅ 3 2 ;
6⋅3 5;
b) 7 9 : 7 12 ;
6
4
3;
2
8m3 s ⋅ 6 4m
15
2z3 : 9 8z5 y2
13.4 Potenza di un radicale aritmetico
Come ben sai, l’operazione di potenza è un caso particolare di moltiplicazione.
Calcoliamo, allora,
( 7) .
5
3
Per definizione di potenza, si ha:
( 7)
5
3
= 5 7 ⋅ 5 7 ⋅ 5 7 = ( moltiplicazione fra radicali con indice di radice uguale ) =
= 5 7 ⋅ 7 ⋅ 7 = ( per definizione di potenza ) = 5 73 .
Dall’esempio appena svolto, deduciamo che:
La potenza di un radicale aritmetico è un radicale aritmetico che ha indice della radice
uguale all’indice della base e per radicando una potenza avente per base il radicando e
per esponente l’esponente della potenza.
In simboli:
( a)
n
k
= n ak
PROVA TU
Calcola le seguenti potenze:
( 5) ;
4
a)
12
b)
(
12
8b 2
)
3
;
2
c)  3 ( m + 2 ) 


4
13.5 Trasporto di un fattore esterno sotto il segno di radice in R0+
Affrontiamo anche questo argomento con alcuni esempi.
Consideriamo l’espressione 2 3 5 nella quale il fattore esterno è un numero positivo.
Ricordando che 2 = 1 2 , possiamo scrivere
23 5 = 1 2 ⋅ 3 5 .
Si tratta, allora, di eseguire una moltiplicazione fra due radicali con diverso indice di radice.
Prima di eseguire la moltiplicazione, perciò, è necessario ridurre i due radicali allo stesso indice;
si ottiene:
2 3 5 = 1 2 ⋅ 3 5 = 3 23 ⋅ 3 5 = 3 23 ⋅ 5 ⇒ 2 3 5 = 3 23 ⋅ 5
Osservando l’ultima uguaglianza, notiamo che
il “fattore esterno” (2) si trova sotto il segno di radice ed ha esponente uguale all’indice di
radice.
Consideriamo l’espressione −3 4 7 nella quale il fattore esterno è un numero negativo.
Ricordando che 3 = 1 3 , possiamo scrivere −3 4 7 = − 1 3 ⋅ 4 7 .
Siamo di fronte ad una moltiplicazione fra radicali con indice diverso.
Dopo aver ridotto i due radicali allo stesso indice, eseguiamo la moltiplicazione; si ottiene:
−3 4 7 = − 1 3 ⋅ 4 7 = − 4 34 ⋅ 4 7 = − 4 34 ⋅ 7 ⇒ −3 4 7 = − 4 34 ⋅ 7 .
Osservando l’ultima uguaglianza, notiamo che :
fuori dal segno di radice è rimasto il segno “−”;
sotto il segno di radice troviamo 34 = −3 .
4
Dall’analisi degli esempi svolti, possiamo dedurre la seguente regola:
per portare un fattore esterno non negativo sotto il segno di radice è sufficiente elevarlo
all’indice di radice.
In simboli:
a ≥ 0,
a n b = n a nb
per portare un fattore esterno negativo sotto il segno di radice si lascia il segno “−
−” fuori
dal simbolo di radice e si eleva il suo valore assoluto all’indice di radice.
In simboli:
a < 0,
an b = − n a b
n
13
ATTENZIONE
Consideriamo l’espressione m 6 3m2 nella quale il fattore esterno è una lettera.
Il dominio di
6
3m 2 è l’insieme dei numeri reali; la variabile m, allora, può assumere valori sia
non negativi che negativi.
È necessario, quindi, distinguere i due casi:
se m ≥ 0, lo si porta sotto radice elevandolo all’indice della radice;
se m < 0, si porta sotto radice il suo valore assoluto elevandolo all’indice di radice.
m < 0 ⇒ m = −m
Ricorda che
Si ottiene:
m ≥ 0,
m 6 3m2 = 6 m6 ⋅ 3m2 ⇒ m 6 3m2 = 6 3m8 ;
m < 0,
m 6 3m 2 = − 6 m ⋅ 3m 2 ⇒ − 6 ( −m ) ⋅ 3m 2 = − 6 3m8 .
6
6
Consideriamo l’espressione k 4 k 3 nella quale il fattore esterno è, ancora una volta, una lettera.
Il dominio di
4
k 3 è l’insieme D = R0+ (perché?); la variabile k, allora, è sicuramente non
negativa.
Quindi, si ha:
k 4 k3 = 4 k4 ⋅ k3 ⇒ k 4 k3 = 4 k7 .
PROVA TU
Porta sotto il segno di radice il fattore esterno dei seguenti radicali aritmetici:
a) 5 7 4 ;
b) −2 6 ;
c) a 3 6a 2 ;
d) z 3 2 z
13.6 Trasporto di un fattore fuori dal segno di radice in R0+
Ricordiamo che
se a ≥ 0, b ≥ 0,
n
se a ≥ 0, b > 0,
n
a ⋅ n b = n ab , oppure, in modo equivalente,
a = n a , oppure, in modo equivalente,
n
b
b
n
n
ab = n a ⋅ n b ;
a =na.
b nb
Rifletti, adesso, sulle seguenti uguaglianze:
12 = 22 ⋅ 3 = ( per la proprietà ricordata in precedenza ) = 22 ⋅ 3 = 2 3 ⇒
a)
b)
3
972 = 3 22 ⋅ 35 = 3 22 ⋅ 32 ⋅ 33 = 3 22 ⋅ 32 ⋅ 3 33 = 3 22 ⋅ 32 ⋅ 3 = 3 3 22 ⋅ 32 ⇒
14
3
22 ⋅ 3 = 2 3 .
22 ⋅ 35 = 3 3 22 ⋅ 32
c)
4
23 ⋅ 37 ⋅ 59 =
⇒
d)
25 =
33
32 =
27
4
23 ⋅ 33 ⋅ 34 ⋅ 5 ⋅ 58 = 4 23 ⋅ 33 ⋅ 5 ⋅ 4 34 ⋅ 4 58 = 4 23 ⋅ 33 ⋅ 5 ⋅ 3 ⋅ 52 = 3 ⋅ 52 4 23 ⋅ 33 ⋅ 5 ⇒
4
23 ⋅ 37 ⋅ 59 = 3 ⋅ 52 4 23 ⋅ 33 ⋅ 5
25 =
33
24 ⋅ 2 =
32 ⋅ 3
24 ⋅ 2 = 22 ⋅ 2 = 4 2 = 4 2 ⇒
3⋅ 3
3 3 3 3
32 ⋅ 3
32 = 4 2
27 3 3
Come puoi notare dalle uguaglianze ottenute, è stato possibile scrivere il radicale come prodotto fra
un fattore esterno ed un radicale.
Quali fattori è stato possibile “portare fuori” dal segno di radice?
Completa:
nell’esempio a) è stato portato fuori dal segno di radice il fattore ….;
nell’esempio b) è stato portato fuori dal segno di radice il fattore ….;
nell’esempio c) sono stati portati fuori dal segno di radice i fattori …. e 5…. ;
nell’esempio d) sono stati portati fuori dal segno di radice i fattori ………………… .
Che cosa hanno in comune questi fattori?
Poni la tua attenzione su esponente dei fattori portati fuori dal segno di radice e indice di radice:
tutti i fattori portati fuori dal segno di radice hanno esponente ………………….. o
…………………. all’indice di radice.
Ogni volta che un fattore deve essere portato fuori dal segno di radice, è necessario eseguire tutti i
passaggi degli esempi a), b), c) e d) ? NO!
È sufficiente seguire questo semplice procedimento:
È possibile portare un fattore fuori dal segno di radice soltanto se il suo esponente è
maggiore o uguale all’indice di radice.
Sia
n
ah
(h ≥ n) .
Indicati con q il quoziente e con r il resto della divisione fra h e n, si ha:
• q è l’esponente di a fuori di radice;
• r è l’esponente di a sotto radice.
In simboli:
n
ah = aq n ar
Esempio
Dato il radicale aritmetico
3
2160 , portiamo fuori di radice i fattori possibili.
Scomponiamo in fattori primi il radicando:
2160 = 24 ⋅ 33 ⋅ 5 ⇒
3
2160 = 3 24 ⋅ 33 ⋅ 5 ;
▪ (4 > 3; 3 = 3; 1 < 3) ⇒ possiamo portare fuori di radice i fattori 2 e 3;
15
▪ 4 : 3 = 1 con il resto di 1 ⇒ q = 1, r = 1 ;
▪ 3 : 3 = 1 con il resto di 0 ⇒ q = 1, r = 0 ;
▪
3
2160 = 3 24 ⋅ 33 ⋅ 5 = 21 ⋅ 31 3 21 ⋅ 30 ⋅ 5 = 2 ⋅ 3 3 2 ⋅1⋅ 5 = 6 3 10
• In definitiva:
3
2160 = 6 3 10
ATTENZIONE
Come si procede se il radicando è un’espressione letterale?
Osserva gli esempi seguenti.
Dato il radicale aritmetico
4
27k 6 , portiamo fuori di radice i fattori possibili.
Determiniamo, prima di tutto, il dominio del radicale: 27 k 6 ≥ 0 ⇒ D = R .
È opportuno evidenziare, quindi, che a k possono essere attribuiti valori sia positivi che
negativi oppure il valore nullo; ricordiamo, inoltre, che un radicale aritmetico è un numero non
negativo.
Applichiamo il procedimento esposto in precedenza:
27 = 33 ⇒
4
( 3 < 4, 6 > 4 )
27k 6 = 4 33 k 6 ;
⇒ possiamo portare fuori di radice solo il fattore k ;
6 : 4 = 1 con il resto di 2 ⇒ q = 1, r = 2 ;
• 4 27 k 6 = 4 33 k 6 = k 1 4 27 k 2 = k 4 27 k 2 ⇒
4
27 k 6 = k 4 27 k 2 .
Poniamoci, adesso, questa domanda:
l’uguaglianza ottenuta è vera per ogni valore di k appartenente al dominio del radicale?
La risposta è NO!
Osserviamo che
nullo
(
4
27k 6
k < 0 ⇒ k 4 27k 2 < 0 (perché?) e sappiamo che un numero positivo o
) è sicuramente diverso da un numero negativo.
Dobbiamo, allora, fare in modo che l’espressione ottenuta dopo aver portato fuori di
radice il fattore k, sia non negativa per qualsiasi valore attribuito alla lettera k.
Raggiungiamo il nostro obiettivo applicando al fattore esterno l’operazione di valore
assoluto.
Si ha, quindi:
16
4
27k 6 = k
4
27k 2
Dato il radicale aritmetico 16t 7 , portiamo fuori di radice i fattori possibili.
Determiniamo, prima di tutto, il dominio del radicale: 16t 7 ≥ 0 ⇒ t ≥ 0 ⇒ D = R0+ .
Alla variabile t, allora, è possibile attribuire solo valori non negativi.
Applichiamo il procedimento esposto in precedenza:
16 = 24 ⇒ 16t 7 = 24 t 7 ;
( 4 > 2, 7 > 2 )
⇒ possiamo portare fuori di radice sia il fattore 2 che il fattore t ;
4 : 2 = 2 con il resto di 0 ⇒ q = 2, r = 0 ;
7 : 2 = 3 con il resto di 1 ⇒ q = 3, r = 1
• 16t 7 = 24 t 7 = 22 t 3 20 t 1 = 4t 3 1t1 = 4t 3 t .
Poniamoci, adesso, la domanda:
l’uguaglianza ottenuta è vera per ogni valore di t appartenente al dominio del radicale?
La risposta è SI! Perché? ………………………………………………………………. .
In questo caso, allora, non dobbiamo applicare l’operazione di valore assoluto al fattore esterno t.
16t 7 = 4t 3 t
Si ha, quindi:
Possiamo, allora, concludere che:
dopo aver portato fuori di radice un fattore, è necessario applicare ad esso l’operazione di
valore assoluto se esiste almeno un valore, appartenente al dominio del radicale, per il quale
l’espressione è negativa.
Osservazione
Dal momento che a 0 = 1 ( a ≠ 0 ) , i fattori con esponente 0 non sono presenti sotto il segno di
radice.
PROVA TU
Porta fuori di radice i fattori possibili:
a)
96 ;
b)
3
20000 ;
c)
5
8a 9 ;
d)
4
81b6 ;
e)
3
81
125
13.7 Radice di un radicale
Nel paragrafo 13.2 abbiamo detto che, se il radicando è un numero reale non negativo, un radicale
aritmetico è , a sua volta, un numero reale non negativo.
Può capitare, allora, che il radicando di un radicale aritmetico sia un altro radicale aritmetico; cioè
sia del tipo
n p
a.
17
In questo caso, vale la seguente proprietà:
La radice di indice n di un radicale aritmetico è un radicale aritmetico che ha come indice
di radice il prodotto degli indici delle due radici e come radicando lo stesso radicando.
n p
In simboli:
a =
n⋅ p
a
Esempi
5
Calcoliamo
( n = 2;
Si ha
3
Calcoliamo
Si ha
3
56 .
p = 5 ) ⇒ n ⋅ p = 2 ⋅ 5 = 10 ; si ottiene:
56 = 10 56 .
24 3 .
2 4 3 = ( portiamo sotto radice il fattore esterno ) =
( n = 3,
5
p = 4 ) ⇒ n ⋅ p = 12 ⇒
3
24 3 =
3 4
3 4
24 ⋅ 3 =
3 4
48 ;
48 = 12 48 .
PROVA TU
Calcola le seguenti radici di radicali aritmetici:
a)
4 3
12 ;
b)
36 2 ;
c)
5
a 3a
13.8 Radicali simili
Nei paragrafi precedenti abbiamo imparato a conoscere alcune proprietà dei radicali aritmetici e ad
eseguire le operazioni di moltiplicazione e divisione fra di essi; non esiste, invece, una proprietà
analoga per la somma algebrica fra radicali aritmetici.
In generale, la somma algebrica fra due radicali aritmetici non è un radicale aritmetico:
• se a ≥ 0, b ≥ 0
n
a ± n b ≠ n a±b
Prova , con un esempio, a giustificare questa disuguaglianza.
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
Come al solito, però, esistono casi particolari!
Consideriamo l’ espressione 3 5 + 2 5 .
Osserviamo che:
ciascuno dei due addendi è il prodotto fra un numero razionale ed un radicale aritmetico;
i due addendi hanno un fattore uguale
18
( 5).
Applicando la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla somma algebrica, si ottiene:
3 5 + 2 5 = 5 (3 + 2) = 5 5
In questo caso, dunque, abbiamo potuto calcolare la somma dei due radicali.
Consideriamo l’espressione 2 3 7 − 6 3 7 .
Osserviamo che:
ciascuno dei due termini della differenza è il prodotto fra un numero razionale ed un radicale
aritmetico;
i due termini hanno un fattore uguale
( 7).
3
Applicando la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla somma algebrica, si ottiene:
2 3 7 − 6 3 7 = 3 7 ( 2 − 6 ) = −4 3 7
Anche in questo caso, quindi, abbiamo potuto calcolare la differenza fra i due radicali.
Radicali come 3 5 e 2 5 , oppure come 2 3 7 e 6 3 7 si dicono radicali simili.
I radicali
3
375 e
6
576 sono simili?
Ad una analisi molto superficiale, diremmo che non sono simili; ma stiamo attenti!
Osserviamo che:
3
375 = 3 53 ⋅ 3 = ( portiamo fuori di radice il fattore 5 ) = 5 3 3
Quindi,
6
3
375 = 5 3 3
576 = 6 26 ⋅ 32 = ( semplifichiamo il radicale ) = 3 23 ⋅ 3 =
= ( portiamo fuori di radice il fattore 2 ) = 2 3 3
Quindi,
E allora:
6
576 = 2 3 3
5 3 3 e 2 3 3 sono simili.
Si ha la seguente definizione:
Due o più radicali si dicono simili se, dopo aver eventualmente semplificato e portato fuori di
radice i fattori possibili, essi differiscono, al più, per il fattore esterno.
Il fattore esterno prende il nome di coefficiente.
Due radicali sono opposti se sono simili ed hanno coefficienti opposti.
Osservando i due esempi precedenti possiamo affermare che:
La somma algebrica di due o più radicali simili è un radicale simile a quelli dati che ha
come fattore esterno la somma algebrica dei fattori esterni dei radicali dati.
19
Esempi
24
Stabiliamo se i radicali
e
54
24 = 23 ⋅ 3 = 2 6 ;
54 = 2 ⋅ 33 = 3 6
fattore esterno 2
2 6
radicale
sono simili.
3 6
6
fattore esterno 3
radicale
6
i due radicali differiscono solo per il fattore esterno, pertanto sono simili.
Semplifichiamo la seguente espressione:
98 + 6 3 2 − 50 − 2 3 216
Scomponiamo in fattori primi i radicandi:
98 + 6 3 2 − 50 − 2 3 216 = 2 ⋅ 7 2 + 6 3 2 − 2 ⋅ 52 − 2 3 23 ⋅ 33 =
= (portiamo fuori di radice i fattori possibili) = 7 2 + 6 3 2 − 5 2 − 2 ⋅ 2 ⋅ 3 =
= (individuiamo i radicali simili) = 7 2 + 6 3 2 − 5 2 − 12 = ( 7 − 5 ) 2 + 6 3 2 − 12 =
= 2 2 + 6 3 2 − 12 .
PROVA TU
1) Individua, fra i seguenti radicali aritmetici, quelli simili fra loro:
3 6;
− 12 ;
−2 3 6 ;
−5 4 36 ;
2) Semplifica le seguenti espressioni:
a) − 4 3 + 2 4 3 − 8 4 3 ;
b) − 48 + 3 3 − 3 24 + 18 .
13.9 Razionalizzazione del denominatore di una frazione
È possibile calcolare la differenza 5 2 − 9 ?
2
Osservando i due radicali, probabilmente, la prima risposta che ci viene in mente è:
“NO, perché non sono simili.”
Siamo proprio sicuri che 5 2 e
9 non siano simili? Pensiamoci bene!
2
Osserviamo che:
9 = 9 = 32 = 3 ⇒
2
2
2
2
20
9 = 3
2
2
− 108
Ora, se alla frazione
3
2
applichiamo la proprietà invariantiva e, quindi, moltiplichiamo
2 , otteniamo:
numeratore e denominatore per
3 = 3 2 = 3 2 =3 2 =3 2
2
2
2
2
2⋅ 2
2
( )
In definitiva abbiamo ottenuto la seguente uguaglianza:
9 =3 2
2 2
Dobbiamo, allora, ammettere di esserci sbagliati: i radicali 5 2 e
9 sono simili!
2
Possiamo, quindi, calcolare la differenza 5 2 − 9 ; si ottiene:
2
( )
5 2 − 9 = 5 2 − 3 2 = 5− 3
2
2
2
2=7 2
2
Come sicuramente avrai notato, nello svolgimento di questo esercizio, ci siamo trovati di fronte alla
frazione 3 che ha al denominatore un radicale.
2
È stato utile, in questo caso, trasformarla, in una ad essa equivalente, in modo tale che il
denominatore fosse un numero razionale.
La “trasformazione” eseguita sulla frazione
3 prende il nome di razionalizzazione del
2
denominatore di una frazione.
Abbiamo, allora, la seguente definizione:
Razionalizzare il denominatore di una frazione vuol dire rendere razionale il
denominatore della frazione e, quindi, scrivere una frazione equivalente a quella data in
modo tale che il denominatore della frazione sia un numero razionale.
Per razionalizzare il denominatore di una frazione, allora, si moltiplicano numeratore e
denominatore della frazione per un’ opportuna espressione.
Analizziamo, adesso, i casi che si possono presentare.
1) La frazione è del tipo
A
k bm
n
( m < n) ,
cioè il denominatore è il prodotto fra un numero
razionale ed un radicale.
Osserva l’esempio seguente.
21
Razionalizziamo il denominatore della frazione 55 .
4
5 = 5 .
4 5 22
Prima di tutto, scomponiamo in fattori primi il radicando; si ha:
5
Per rendere razionale il denominatore della frazione dobbiamo moltiplicare numeratore e
denominatore in modo tale che il prodotto al denominatore sia
5
25 , perché
5
22 ⋅ 5 ....... .
5
25 = 2 .
Completa:
5
25 = ( per le proprietà delle potenze ) =
22 ⋅ ....... =
5
= ( per la regola sulla moltiplicazione fra radicali ) =
Moltiplichiamo, allora, numeratore e denominatore di
5
5 per
22
5
23 ; si ottiene:
5 = 5 ⋅ 5 2 3 = 5 ⋅ 5 23 = 5 ⋅ 5 2 3 = 5 ⋅ 5 23 = 5 ⋅ 5 8
5 2
5 2 5 3
5 2
5 5
2
2
2
2 ⋅ 2
2 ⋅ 23
2
In definitiva:
5
5 = 5⋅ 5 8
2
4
5
Poniamo la nostra attenzione sul fattore
23
che ci ha consentito di razionalizzare il
denominatore della frazione e confrontiamolo con
5
22 (denominatore della frazione):
i due radicali hanno indice di radice uguale;
i radicandi di entrambi i radicali sono potenze aventi la stessa base;
l’esponente del radicando di
del radicando di
5
5
23 è uguale alla differenza fra l’indice di radice e l’esponente
22 .
Prova tu e completa
Razionalizza il denominatore della frazione
8
3
a5
Prima di tutto, determina il dominio del radicale: a ∈ ........
Per rendere razionale il denominatore della frazione devi moltiplicare numeratore e
8
denominatore in modo tale che il prodotto al denominatore sia
8
a8 = ( per le proprietà delle potenze ) =
8
a5 ⋅ ( a )
.....
=
= ( per la regola sulla moltiplicazione fra radicali ) =
Moltiplica, allora, numeratore e denominatore di
22
8
........ , perché
3 per
a5
8
8
a5 ⋅ 8 ....... .
(......)
3
; ottieni:
8
(......)
8
=a.
8
8
8
3 ⋅ 8 (......)
3 = 3 ⋅ (......)
=
= 3 8⋅ ....... = 3 ⋅ ......
8 5
....
8 5
a
5 5 8
.......
a
a ⋅ .....
a ⋅ (......)
....
....
3 = 3 ⋅ 8 a3 .
8 5
a
a
In definitiva:
Rifletti sul fattore
confrontalo con
8
8
a 3 che ti ha consentito di razionalizzare il denominatore della frazione e
a 5 (denominatore della frazione):
i due radicali hanno indice di radice ……………………;
i radicandi di entrambi i radicali sono potenze aventi la …………………… base;
l’esponente del radicando di
8
e l’esponente del radicando di
a 3 è uguale alla …………………………. fra l’indice di radice
8
a5 .
Possiamo generalizzare e dare la seguente regola:
per razionalizzare il denominatore di una frazione del tipo
A
k bm
n
( m < n)
si
moltiplicano numeratore e denominatore della frazione per un radicale che ha:
indice di radice uguale all’indice di radice del radicale al denominatore della frazione;
per radicando una potenza avente per base la stessa base del radicando del radicale al
denominatore della frazione e per esponente la differenza fra l’indice di radice e
l’esponente del radicando del radicale al denominatore della frazione.
In simboli:
se
m< n,
A = A n b n− m
kb
k n bm
Casi particolari
Se n = 2 si moltiplicano numeratore e denominatore della frazione per un radicale uguale al
denominatore della razione.
Se m > n, si porta fuori di radice il fattore possibile e così si ricade nel caso precedente.
Esempi
Razionalizziamo il denominatore della frazione 4 .
6
Il radicale al denominatore ha indice di radice uguale a 2.
Moltiplichiamo numeratore e denominatore della frazione per
4 = 4 6 =4 6=4 6=2 6 ⇒
6
3
6
6⋅ 6
62
6 ; si ottiene:
4 =2 6
3
6
23
Razionalizziamo il denominatore della frazione
5 .
3 4 128
5 = 5
3 128 3 4 27
Scomponiamo in fattori il radicando:
4
Nel radicale al denominatore, l’esponente del radicando è maggiore dell’indice della radice;
5 =
5 .
7
3 2
3 ⋅ 2 4 23
portiamo fuori di radice il fattore 2:
4
Nel radicale al denominatore, adesso, l’esponente del radicando è minore dell’indice della
radice; possiamo applicare la regola esposta in precedenza; si ottiene:
4 4 −3
4
4
4
4
4
5 =
5
= 5 2
= 5 2 = 5 2 = 5 2 =5 2 =5 2
12
3 4 2 7 3 ⋅ 2 4 23 6 4 2 3 ⋅ 4 2 4 − 3 6 4 23 ⋅ 4 2 6 4 2 3 ⋅ 2 6 4 2 4 6 ⋅ 2
In definitiva:
5 = 54 2 .
12
3 4 27
2) La frazione è del tipo
k1
A
, cioè il denominatore della frazione è la somma o la
b1 ± k2 b2
differenza di due radicali di indice 2.
Osserva gli esempi seguenti.
Razionalizziamo il denominatore della frazione
3
.
5+ 3
− Osserviamo che il denominatore della frazione è la somma di due radicali di indice 2.
− Ricordiamo che
( 5)
2
= 5;
( 3)
2
=3
Dobbiamo moltiplicare numeratore e denominatore della frazione per un’espressione in modo
tale che ciascuno dei due radicali, dopo ave eseguito la moltiplicazione, sia un quadrato.
Poichè ( A + B)( A − B) = A 2 − B2 , moltiplichiamo numeratore e denominatore della frazione per
la differenza dei due radicali presenti al denominatore della frazione; si ottiene:
3
=
5+ 3
In definitiva:
24
3
(
5+
(
)
3)⋅( 5 − 3) ( 5) − ( 3)
3( 5 − 3 )
=
.
3
5+ 3
5− 3
)
=
2
3
(
5− 3
2
2
=
3
(
5− 3
5−3
) = 3(
5− 3
2
)
6
.
7 − 11
Razionalizziamo il denominatore della frazione
− Osserviamo che il denominatore della frazione è la differenza di due radicali di indice 2.
( 7)
− Ricordiamo che
2
( 11 )
=7;
2
= 11
Dobbiamo moltiplicare numeratore e denominatore della frazione per un’espressione in modo
tale che ciascuno dei due radicali, dopo ave eseguito la moltiplicazione, risulti elevato al
quadrato.
Poichè ( A + B)( A − B) = A 2 − B2 , moltiplichiamo numeratore e denominatore della frazione per
la somma dei due radicali presenti al denominatore della frazione; si ottiene:
)
( 7 − 11 ) ⋅ ( 7 + 11) ( 7 ) − ( 11 )
6 ( 7 + 11 ) 6 ( 7 + 11 )
3( 7 +
=
=
=−
6
6
=
7 − 11
(
7 + 11
)
=
7 − 11
6
=−
7 − 11
In definitiva:
6
(
7 + 11
2
2
−4
3
(
7 + 11
2
=
11
)
2
).
Prova tu e completa
Razionalizza il denominatore della frazione
2
.
10 + 3
− Osserva che il denominatore della frazione è la …………… di due radicali di indice ………. .
− Ricorda che
(
10
)
2
( 3)
= ...... ;
2
= .........
Devi moltiplicare numeratore e denominatore della frazione per un’espressione in modo tale che
ciascuno dei due radicali, dopo ave eseguito la moltiplicazione, risulti elevato al …………… .
Poichè ( A + B)( A − B ) = ......2 − .......2 , moltiplica numeratore e denominatore della frazione per
la ……………… dei due radicali presenti al denominatore della frazione; ottieni:
( ...... ... ...... )
( 10 + 3 ) ⋅ ( ...... ... ...... ) ( .... ) − ( .... )
2 ( ...... ... ...... ) 2 ( ...... ... ...... )
=
=
2
=
10 + 3
2
(
...... ...
......
)
=
...... − ......
In definitiva:
2
=
10 + 3
2
(
2
2
2
..........
10 − 3
7
).
25
Lo stesso procedimento si applica se il denominatore è del tipo a ± b , cioè è la somma o la
differenza fra un numero razionale ed un radicale di indice 2.
Possiamo generalizzare e dare la seguente regola:
per razionalizzare il denominatore di una frazione del tipo
A
si moltiplicano
b1 + k2 b2
k1
numeratore e denominatore della frazione per la differenza fra i due termini del denominatore.
(
In simboli:
A k1 b1 − k2
A
=
2
b1 + k 2 b2
( k1 ) b1 − ( k2
k1
b2
)
2
)
b2
per razionalizzare il denominatore di una frazione del tipo
A
si moltiplicano
b1 − k2 b2
k1
numeratore e denominatore della frazione per la somma fra i due termini del denominatore.
In simboli:
A
b1 − k2
k1
3) La frazione è del tipo
k1
3
=
b2
(
A k1 b1 + k2
( k1 )
2
b1 − ( k2
b2
)
2
)
b2
A
, cioè il denominatore della frazione è la somma o la
b1 ± k2 3 b2
differenza di due radicali di indice 3.
Osserva gli esempi seguenti.
Razionalizziamo il denominatore della frazione
3
4
.
2+37
− Osserviamo che il denominatore della frazione è la somma di due radicali di indice 3.
( 2)
− Ricordiamo che
3
3
( 7)
=2;
3
3
=7
Dobbiamo moltiplicare numeratore e denominatore della frazione per un’espressione in modo
tale che ciascuno dei due radicali, dopo ave eseguito la moltiplicazione, sia un cubo.
Poichè
( A + B) ( A2 − AB + B2 ) = A3 + B3 ,
moltiplichiamo numeratore e denominatore della
frazione per un trinomio formato dalla somma dei quadrati dei due radicali presenti al
denominatore della frazione a cui sottraiamo il loro prodotto; si ottiene:
3
4
=
2+37
=
26
(
4

3
4
2+3
(
3
( 2) − 2 ⋅
7 ) ⋅ ( 2 ) −

3
2
3
3
3
2
4 − 3 14 + 3 49
2+7
3
( 7 ) 
4 ( 4 − 14 + 49 )
=
=
2) +( 7)
2 ⋅ 7 +( 7) 
(

7+
) = 4(
3
3
3
2
3
3
2
4 − 3 14 + 3 49
9
3
3
).
3
3
3
3
Razionalizziamo il denominatore della frazione
3
6
.
4 − 3 10
− Osserviamo che il denominatore della frazione è la differenza di due radicali di indice 3.
( 4)
− Ricordiamo che
3
3
( 10 )
=4;
3
3
= 10
Dobbiamo moltiplicare numeratore e denominatore della frazione per un’espressione in modo
tale che ciascuno dei due radicali, dopo ave eseguito la moltiplicazione, sia un cubo.
Poichè
( A − B) ( A2 + AB + B2 ) = A3 − B3 ,
moltiplichiamo numeratore e denominatore della
frazione per un trinomio formato dalla somma dei quadrati dei due radicali presenti al
denominatore della frazione a cui aggiungiamo il loro prodotto; si ottiene:
3
6
=
4 − 3 10
=
(
( 4 ) + 4 ⋅ 10 + ( 10 ) 
6 ( 16 + 40 + 100 )
=
=


4
−
10
10 ) ⋅ ( 4 ) − 4 ⋅ 10 + ( 10 )
( ) ( )


6

4−3
3
6
(
3
2
3
3
3
2
3
3
16 + 3 40 + 3 100
4 − 10
2
3
3
3
) = 6(
2
3
3
3
3
3
16 + 3 40 + 3 100
−6
)=−
(
3
3
3
3
)
16 + 3 40 + 3 100 .
Prova tu e completa
Razionalizziamo il denominatore della frazione
3
6
.
12 − 3 5
− Osserva che il denominatore della frazione è la ……………. di due radicali di indice …….. .
( 12 )
− Ricorda che
3
3
( 5)
= ........ ;
3
3
= .........
Dobbiamo moltiplicare numeratore e denominatore della frazione per un’espressione in modo tale
che ciascuno dei due radicali, dopo ave eseguito la moltiplicazione, sia un ………… .
(
)
Poichè ( A − B) A 2 + AB + B2 = ......3 − .......3 , moltiplica numeratore e denominatore della frazione
per un trinomio formato dalla somma dei ………….… dei due radicali presenti al denominatore
della frazione a cui aggiungi il loro …………………..; si ottiene:
6
=
3
12 − 3 5
=
(
6

3
6
(
(
3
......
) (
4 − 3 10 ⋅ 

3
)
2
3
+ 3 ...... ⋅ 3 .... +
......
)
2
...... + 3 ...... + 3 ....
...... − ....
(
+ 3 ...... ⋅ 3
) = 6(
3
)
.... + (
3
2
.... 

3
)
2
.... 

=
...... + 3 ...... + 3 ....
......
6
(
3
...... + 3 ...... + 3 ....
(
3
) (
3
...... −
3
....
)
3
)=
).
27
Lo stesso procedimento si applica se il denominatore è del tipo a ± 3 b , cioè è la somma o la
differenza fra un numero razionale ed un radicale di indice 3.
Possiamo generalizzare e dare la seguente regola:
per razionalizzare il denominatore di una frazione del tipo
k1
3
A
si moltiplicano
b1 + k2 3 b2
numeratore e denominatore della frazione per un trinomio formato dalla somma dei quadrati
dei due radicali presenti al denominatore della frazione a cui sottraiamo il loro prodotto
In simboli:
k1
3
A
b1 + k2 3 b2
(
A  k1 3 b1

= 
)
2
− k1 3 b1 ⋅ k2 3 b2 + k2
( k1 )
3
b1 + ( k2
per razionalizzare il denominatore di una frazione del tipo
)
3
( b ) 
2
3
2
b2
A
si moltiplicano
k1 3 b1 − k2 3 b2
numeratore e denominatore della frazione per un trinomio formato dalla somma dei quadrati
dei due radicali presenti al denominatore della frazione a cui aggiungiamo il loro prodotto.
A
=
k1 3 b1 − k2 3 b2
In simboli:
(
A  k1 3 b1

)
2
+ k1 3 b1 ⋅ k2 3 b2 + k2
( k1 )
3
b1 − ( k 2
)
3
( b ) 
2
3
2
b2
PROVA TU
Razionalizza il denominatore delle seguenti frazioni:
a) 2 ;
3
5 ;
125
6
7
;
6 − 12
b)
c)
4
3
2a
4a 3
4
3+ 5
9
;
4 − 3 12
3
2
5 +1
13.10 Radicali doppi
(1 + 5 ) ?
2
Qual è il valore della potenza
(
Osserviamo che la base della potenza è la somma di due termini, quindi per calcolare 1 + 5
necessario applicare la regola del quadrato di un binomio; si ottiene:
(1 + 5 )
28
2
= 1+
( 5)
2
(
+ 2 ⋅1 ⋅ 5 = 1 + 5 + 2 5 = 6 + 2 5 ⇒ 1 + 5
)
2
= 6+2 5
)
2
è
Dalla precedente uguaglianza, possiamo, allora, dedurre che:
(1 + 5 )
6+2 5 =
= ( semplificando ) = 1 + 5
2
6 + 2 5 = ( portando sotto radice il fattore 2 ) = 6 + 20 ,
Poichè
6 + 20 = 1 + 5
Calcoliamo la seguente potenza
(
)
si ottiene:
( )
2
7− 5 .
Come nell’esempio precedente, applichiamo la regola del quadrato di un binomio; si ottiene:
(
7− 5
) = ( 7) + ( 5)
2
2
⇒
(
7− 5
)
2
− 2 ⋅ 7 ⋅ 5 = 7 + 5 − 2 35 = 12 − 2 35 ⇒
2
= 12 − 2 35
Abbiamo ottenuto, allora, che:
(
7− 5
(
7− 5
)
2
= 12 − 2 35
2
= ( semplificando ) = 7 − 5
Possiamo, allora, dedurre che:
12 − 2 35 =
Poiché
)
12 − 2 35 = ( portando sotto radice il fattore 2 ) = 12 − 140 , si ottiene:
12 − 140 = 7 − 5
Osserviamo le uguaglianze ( ) e (
(
)
):
il primo membro è un radicale di indice 2 che ha per radicando la somma o la differenza
di un numero razionale e di un radicale di indice 2;
il secondo membro è la somma o differenza di due termini dei quali almeno uno è un
radicale di indice 2.
Ricordando, poi, che
a 2 = a ( a ≥ 0 ) , possiamo dire che il secondo membro è la somma o
differenza di due radicali di indice 2.
Radicali come
6 + 20 oppure 12 − 140 sono chiamati radicali doppi.
Definizione
Un radicale di indice 2 che ha come radicando la somma o differenza fra un numero
razionale e un radicale di indice 2 si chiama radicale doppio.
Un radicale doppio, quindi, è un radicale del tipo A + B oppure
A− B .
29
Nei due casi precedenti, abbiamo visto che è stato possibile scrivere un radicale doppio come
somma o differenza di due radicali “semplici” (di indice 2).
In generale, è possibile trasformare un radicale doppio nella somma o differenza di due radicali
semplici (di indice 2) se il suo radicando è il quadrato di un binomio.
8 + 60 è la somma di due radicali semplici,
Ad esempio, per stabilire se il radicale doppio
dobbiamo determinare un binomio del tipo
(
)
p + t tale che
(
p+ t
)
2
= 8 + 60 .
Osserviamo che:
8 + 60 = 8 + 22 ⋅15 = 8 + 2 15 = 8 + 2 3 ⋅ 5 = 8 + 2 ⋅ 3 ⋅ 5
inoltre,
(8 + 2 ⋅
)
2 ⋅ 3 ⋅ 5 doppio prodotto
3 ⋅ 5 quadrato di un binomio ⇒
Ipotizziamo, allora, che
p= 3 ∧
t= 5 ;
( 3) + ( 5)
2
calcoliamo la somma dei loro quadrati:
8 somma dei quadrati
2
= 3+ 5 = 8.
La nostra ipotesi è corretta!
Si ottiene, quindi:
8 + 2⋅ 3 ⋅ 5 = 3+ 5+ 2⋅ 3 ⋅ 5 =
( 3) + ( 5)
2
2
+ 2⋅ 3 ⋅ 5 =
(
3+ 5
)
2
In definitiva, abbiamo la seguente uguaglianza:
8 + 60 =
(
3+ 5
)
2
Possiamo, allora, scrivere:
8 + 60 =
(
3+ 5
)
2
⇒
8 + 60 = 3 + 5
Pertanto, è stato possibile trasformare il radicale doppio
8 + 60 nella somma di due radicali
semplici.
Prova tu e completa
Stabilisci se 10 + 84 è la somma di due radicali semplici.
10 + 84
che
30
(
è la somma di due radicali semplici se esiste un binomio del tipo
)
2
p + t = …………………. .
(
p+ t
) tale
Osserva che:
10 + 84 = 10 + 2..... ⋅ .... = 10 + .... ..... ⋅ .... = 10 + .... ⋅ .... ⋅ ....
inoltre,
(10 + .... ⋅
)
.... ⋅ .... ⋅ .... doppio ..................
.... ⋅ .... quadrato di un binomio ⇒
Ipotizziamo, allora, che
p = .... ∧
t = .... ;
( .... ) + ( .... )
2
calcoliamo la somma dei loro quadrati:
10 somma dei .................
2
= .... + .... = 10 .
La nostra ipotesi è ……………… !
Si ottiene, quindi:
10 + .... ⋅ .... ⋅ .... = .... + .... + 2 ⋅ .... ⋅ .... =
( .... ) + ( .... )
2
2
+ .... ⋅ .... ⋅ .... =
(
.... + ....
)
2
In definitiva, abbiamo la seguente uguaglianza:
10 + 84 =
(
.... + ....
)
2
Possiamo, allora, scrivere:
10 + 84 =
(
.... + ....
)
2
⇒
10 + 84 = .... + ....
Pertanto, è stato possibile trasformare il radicale doppio
10 + 84 nella somma di due radicali
semplici.
Non è sempre agevole, però, applicare questo procedimento ogni volta che è necessario trasformare
un radicale doppio nella somma di due radicali semplici,.
In realtà, si dimostra che, per i radicali doppi vale sempre la seguente relazione:
2
2
A± B = A+ A −B ± A− A −B
2
2
( )
Applicando questa relazione, il radicale doppio si trasforma nella somma o differenza di due
radicali semplici solo se l’espressione A 2 − B è un quadrato perfetto; pertanto essa è utile solo in
questo caso.
Esempi
Trasformiamo
Osserviamo che:
9 + 32 nella somma di due radicali semplici.
A = 9,
B = 32.
31
Prima di applicare la relazione ( ), calcoliamo l’espressione A 2 − B ; si ottiene:
A 2 − B = 92 − 32 = 81 − 32 = 49 = 7 2
Tale espressione è un quadrato perfetto; è possibile, pertanto, trasformare
9 + 32 nella
somma di due radicali semplici e, quindi, applichiamo la relazione ( ):
2
2
9 + 32 = 9 + 7 + 9 − 7 = 9 + 7 + 9 − 7 = 8 + 1 = 8 + 1
2
2
2
2
In definitiva, abbiamo avuto ottenuto:
9 + 32 = 8 + 1
Trasformiamo
In questo caso:
8 − 48 nella somma di due radicali semplici.
A = 8,
B = 48
Calcoliamo l’espressione A 2 − B :
A 2 − B = 82 − 48 = 64 − 48 = 16 = 42
Tale espressione è un quadrato perfetto; è possibile, pertanto, trasformare
8 − 48 nella
somma di due radicali semplici e, quindi, applichiamo la relazione ( ):
2
2
8 − 48 = 8 + 4 − 8 − 4 = 8 + 4 − 8 − 4 = 6 + 2
2
2
2
2
In definitiva, abbiamo avuto ottenuto:
8 − 48 = 6 − 2
Trasformiamo
In questo caso:
8 + 30 nella somma di due radicali semplici.
A = 8,
B = 30
Calcoliamo l’espressione A 2 − B :
A 2 − B = 82 − 30 = 64 − 30 = 34
Tale espressione non è un quadrato perfetto; pertanto, non è possibile trasformare
8 + 30
nella somma di due radicali semplici.
Trasformiamo 19 + 4 21 nella somma di due radicali semplici.
Prima di tutto, dobbiamo ricondurre il radicale doppio 19 + 4 21 alla forma
Portiamo, allora, il fattore 4 sotto radice; si ottiene:
19 + 4 21 = 19 + 42 ⋅ 21 = 19 + 336
32
A+ B .
Il radicale doppio da trasformare è, quindi, 19 + 336 .
In questo caso:
A = 19,
B = 336.
Calcoliamo l’espressione A 2 − B ; si ottiene:
A 2 − B = 192 − 336 = 361 − 336 = 25 = 52
Tale espressione è un quadrato perfetto; è possibile, pertanto, trasformare
19 + 336 nella
somma di due radicali semplici e, quindi, applichiamo la relazione ( ):
2
2
19 + 336 = 19 + 5 + 19 − 5 = 19 + 5 + 19 − 5 = 12 + 7 = 2 3 + 7
2
2
2
2
In definitiva, abbiamo avuto ottenuto:
19 + 4 21 = 2 3 + 7
PROVA TU
1) Senza applicare la relazione ( ), trasforma i seguenti radicali doppi nella somma o differenza di
due radicali semplici:
20 + 152 ;
a)
b)
16 − 156
2) Applicando la relazione ( ), trasforma, se possibile, i seguenti radicali doppi nella somma o
differenza di due radicali semplici:
a)
11 + 120 ;
21 − 360 ;
b)
c)
11 − 4 6 ;
d)
18 + 77
13.11 Radicali in R
Nei paragrafi precedenti abbiamo imparato ad operare con radicali che avevano come radicando un
numero non negativo.
Cosa accade se il radicando è un numero negativo?
Ricordiamo che:
• a ∈ R0+ ⇒
n
a ∈ R0+
 n a ∈ R − se n dispari
• a ∈ R− ⇒ 
se n pari
 ∃ n a
L’unico caso da analizzare, allora, è quello in cui l’indice di radice è dispari ed il radicando è
negativo.
Ad esempio, consideriamo il radicale
D’altra parte 32 = 25 e, quindi
5
5
−32 :
5
−32 = −2 perché ( −2 ) = −32 .
5
32 = 2 e, quindi, − 5 32 = − 5 25 = − ( +2 ) = −2
33
Abbiamo, pertanto, avuto le seguenti uguaglianze:
5
−32 = −2 e − 5 32 = −2
5
Possiamo, allora, affermare che
pertanto,
5
−32 è l’opposto di
5
−32 = − 5 32 perché entrambi i radicali sono equivalenti a −2 e,
32 che ha radicando positivo.
In generale, allora, si ha:
• se a < 0 e n dispari,
n
a = − n a = − n −a
Siamo riusciti, così, a trasformare un radicale con radicando negativo in uno, ad esso equivalente,
con radicando positivo.
Così, tutto quello che è stato visto per i radicali con radicando non negativo, continua a valere per
radicali, qualora esistano, con radicando negativo purchè, prima di applicare regole e proprietà viste
in precedenza, il radicale venga trasformato in un radicale con radicando non negativo.
Radicali che hanno come radicando un numero reale sono chiamati radicali algebrici.
Esempio
Scriviamo un radicale di indice 6 equivalente a 3 −4 .
Prima di tutto, trasformiamo
3
−4 : 3 −4 = − 3 4
Adesso possiamo scrivere il radicale di indice 6 ad esso equivalente; si ottiene:
− 3 4 = −3⋅2 42 = − 6 16
13.12 Potenze ad esponente razionale
Nel corso degli anni precedenti è stato definito il concetto di potenza ed è stato attribuito un
significato anche alla potenza con esponente negativo.
Praticamente, è stato dato un significato all’operazione a k , quando k è un numero intero.
In questo paragrafo proveremo ad attribuire significato ad una potenza che ha per esponente un
h
p
numero razionale, cioè ad un scrittura del tipo a con la condizione che a ∈ R + ∪ {0} .
È chiaro che, in questo caso, il significato di potenza non può essere lo stesso di quello che esso ha
nel caso di esponente intero; tuttavia, anche nel caso di esponente razionale, devono valere le già
note proprietà delle potenze.
Come al solito, cominciamo le nostre osservazioni da casi concreti.
Sappiamo che 31 = 3.
Del resto 1 = 1 ⋅ 5 , quindi, si ha:
5
3=3 =3
1
34
1 ⋅5
5
 1
= ( applicando le proprietà delle potenze ) =  3 5 
 
5
Abbiamo, allora, ottenuto che
 1
3 =  35 
 
5
1
Questo vuol dire che 3 5 è quel numero che elevato alla quinta è uguale a 3.
Per quanto visto in questo capitolo, sappiamo che anche
( 3)
5
5
= 3.
Deduciamo, allora, che:
 1
3 =  35 
 
3=
5
1
( 3)
5
⇒ 35 = 5 3
5
Ripetendo lo stesso ragionamento per qualsiasi numero razionale positivo a e per qualsiasi numero
del tipo 1 (p ≠ 0), otteniamo che:
p
 1
a = ap 
 
a=
( a)
p
p
1
p
⇒ a = a
p
p
Dall’osservazione dell’uguaglianza ottenuta, deduciamo che:
• l’esponente della potenza è una frazione che ha denominatore ……..……….. all’indice di
radice .
Nel caso precedente, il numeratore dell’esponente della potenza è 1; cosa accade se il numeratore
dell’esponente della potenza è diverso da 1?
2
Ad esempio, consideriamo la potenza 3 5 .
Ricordando che h = h ⋅ 1
p
p
( p ≠ 0) ,
quindi 2 = 1 ⋅ 2 , e applicando le proprietà delle potenze, si
5 5
ottiene:
2
1 ⋅2
 1
3 5 = 35 =  35 
 
2
1
Poiché sappiamo che 35 = 5 3 , possiamo scrivere:
2
5
3 =3
1 ⋅2
5
2
 1
=  35  =
 
( 3)
5
2
= 5 32
Ancora una volta, la potenza ad esponente razionale è equivalente ad un radicale.
35
h
p
Proviamo, di nuovo, a generalizzare e consideriamo la potenza a .
Si ottiene:
h
p
a =a
1 ⋅h
p
h
 1
= ap  =
 
( a)
p
h
= ah
p
In definitiva, possiamo affermare che
∀a ∈ R ∪ {0} , ∀p ∈ Z − {0} :
+
h
a p = ah
p
Si ha, quindi, la seguente proprietà:
Una potenza che ha per base un numero reale non negativo e per esponente un numero
razionale è equivalente ad un radicale che ha:
indice della radice uguale al denominatore dell’esponente;
per radicando una potenza avente come base la stessa base e per esponente il numeratore
dell’esponente.
Come ben sai, per l’uguaglianza vale la proprietà simmetrica e, quindi, possiamo dire che:
Un radicale che ha come radicando una potenza con base non negativa è sempre equivalente
ad una potenza che ha per base la stessa base del radicando e per esponente una frazione che
ha:
denominatore uguale all’indice di radice;
numeratore uguale all’esponente del radicando.
ATTENZIONE
Vediamo, con un esempio, perché per definire la potenza con esponente razionale è necessario che
la sua base sia non negativa.
Trasformiamo la potenza ( −7 ) 2 in radicale:
1
( −7 ) 2 =
1
Applicando la proprietà precedente otteniamo l’uguaglianza
−7 .
Il radicale ottenuto ha indice pari e radicando negativo, quindi esso non è un numero reale.
È necessario, dunque, porre la condizione che la base della potenza sia non negativa in modo che
possa essere definita la potenza se il suo esponente è un qualsiasi numero razionale.
Ma, come al solito, esistono casi particolari.
Se l’esponente della potenza è un numero razionale negativo, la sua base deve essere,
necessariamente, positiva. Perché?
36
Esempi
Scriviamo sotto forma di radicale la potenza ( 5 ) 7 .
3
Tale potenza è equivalente ad un radicale che ha:
indice di radice uguale al denominatore dell’esponente (7);
per radicando una potenza che ha come base la stessa base (5) e per esponente il
numeratore dell’esponente (3).
(5) 7
3
Quindi:
= 7 53 .
Scriviamo sotto forma di radicale la potenza ( 3) 4 .
7
Tale potenza è equivalente ad un radicale che ha:
indice di radice uguale al denominatore dell’esponente (4);
per radicando una potenza che ha come base la stessa base (3) e per esponente il
numeratore dell’esponente (7).
( 3) 4 = 4 37
7
Quindi:
⇒ (portiamo fuori di radice il fattore 3) ⇒
( 3) 4 = 3 4 27
4
37 = 3 4 33 = 3 4 27
7
In definitiva, si ha:
.
Scriviamo sotto forma di radicale la potenza ( 6 ) 3 .
−2
−2
−2
Osserviamo che − 2 = −2 , quindi ( 6 ) 3 = ( 6 ) 3 .
3 3
Tale potenza è equivalente ad un radicale che ha:
indice di radice uguale al denominatore dell’esponente (3);
per radicando una potenza che ha come base la stessa base (36) e per esponente il
numeratore dell’esponente (−2).
Quindi:
−2
(6) 3
=
In definitiva, si ha: ( 6 )
3
(6)
−2
3
=
−2
3
=
3
1 =3 1 .
36
62
1 .
36
Scriviamo sotto forma di radicale la potenza ( 2h ) 8 .
5
La base della potenza è un’espressione letterale; prima di effettuare qualsiasi trasformazione è
necessario determinarne il dominio D.
Deve essere, allora, 2h > 0 ⇒ h > 0 ⇒ D = ]0, +∞[ .
Possiamo, adesso, trasformare la potenza in radicale.
37
Tale potenza è equivalente ad un radicale che ha:
indice di radice uguale al denominatore dell’esponente (8);
per radicando una potenza che ha come base la stessa base (2h) e per esponente il
numeratore dell’esponente (5).
5
( 2h ) 8 = 8 ( 2h )
Quindi:
5
= 8 32h5 .
Scriviamo sotto forma di potenza il radicale
Osserviamo che
3
3
5.
5 = 3 51 .
Tale radicale è equivalente ad una potenza che ha:
per base la stessa base del radicando (5);
come esponente una frazione avente:
o denominatore uguale all’indice di radice (3);
o numeratore uguale all’esponente del radicando (1)
Quindi
3
5 = (5)3 .
1
Scriviamo sotto forma di potenza il radicale
Osserviamo che
4
4
343 .
343 = 4 73 .
Tale radicale è equivalente ad una potenza che ha:
per base la stessa base del radicando (7);
come esponente una frazione avente:
o denominatore uguale all’indice di radice (4);
o numeratore uguale all’esponente del radicando (3)
Quindi
4
343 = ( 7 ) 4 .
3
Scriviamo sotto forma di potenza il radicale
k −2 .
Osserviamo che:
♦ k −2 =
( k − 2)
1
♦ il radicando è un’espressione letterale e l’indice di radice (2) è un numero pari; prima di
effettuare qualsiasi trasformazione è necessario determinarne il dominio D.
Ricordando che la base di una potenza con esponente razionale è positiva, deve essere:
k − 2 > 0 ⇒ k > 2 ⇒ D = ]2, +∞[ .
38
Possiamo, adesso, trasformare il radicale in potenza.
Tale radicale è equivalente ad una potenza che ha:
per base la stessa base del radicando ( k − 2 ) ;
come esponente una frazione avente:
o denominatore uguale all’indice di radice (2);
o numeratore uguale all’esponente del radicando (1)
k − 2 = ( k − 2 ) 2 , con k ∈ [ 2, +∞[ .
1
Quindi
ATTENZIONE
Abbiamo detto, in precedenza, che è sempre possibile trasformare un radicale in potenza ad
esponente razionale se la sua base è non negativa.
Sappiamo, però, che se l’indice di radice è un numero dispari il radicando può anche essere
negativo.
Ci chiediamo, allora, se in tal caso è possibile trasformare il radicale in una potenza con esponente
razionale.
Osserva i seguenti esempi:
Scriviamo sotto forma di potenza il radicale
Osserviamo che
5
5
−16 .
−16 = − 5 16 = − 5 24 .
Tale radicale è equivalente ad una potenza che ha:
per base la stessa base del radicando (7);
come esponente una frazione avente:
o denominatore uguale all’indice di radice (4);
o numeratore uguale all’esponente del radicando (3)
Quindi
5
−16 = − 5 16 = − 5 2 4 = − ( 2 ) 5 .
4
Scriviamo sotto forma di potenza il radicale
Osserviamo che:
7
7
9a 3 .
 7 9a 3
se a ∈ R + ∪ {0}

9a = 
3
−
7
−
 9 a se a ∈ R
3
Esaminiamo i due casi separatamente.
39
I caso: a ∈ R0+
Il radicale è equivalente ad una potenza che ha:
( )
per base la stessa base del radicando 9a3 ;
come esponente una frazione avente:
o denominatore uguale all’indice di radice (7);
o numeratore uguale all’esponente del radicando (1)
Quindi
7
( )
9a 3 = 9a 3
1
7
.
II caso: a ∈ R −
Osserviamo che
7
9a 3 = − 7 9 a
3
.
Possiamo ripetere, ora, lo stesso ragionamento fatto nel I caso, si ottiene:
7
(
9a 3 = − 7 9 a = − 9 a
3
)
1
3 7
=
(
(
a = − a ) = − −9 a 3
)
1
7
Sintetizzando, abbiamo che:
 3 17
 9a
7
9a 3 = 
− −9a 3

( )
(
se a ∈ R + ∪ {0}
)
1
7
se a ∈ R −
Ancora qualche esempio.
1
−1
3
63 ⋅ 3 2 ⋅ 84 .
Semplifichiamo la seguente espressione
1
−1
5
( )
−1
6 3 ⋅ 3 2 ⋅ 8 6 = ( 2 ⋅ 3 ) 3 ⋅ 3 2 ⋅ 23
Scomponiamo in fattori le basi delle potenze:
1
5
6
.
Per le potenze con esponente razionale valgono le proprietà delle potenze già viste per potenze
con esponenti interi; applichiamo, quindi, queste proprietà. Si ottiene:
1
3
5
6
−1
2
−1
2
( )
5
3 6
6 ⋅ 3 ⋅ 8 = ( 2 ⋅ 3) ⋅ 3 ⋅ 2
1
3
1
3
1
3
−1
2
= 2 ⋅3 ⋅3 ⋅ 2
31 ⋅ 5
62
1
1
−1
5
= 2 3 ⋅ 33 ⋅ 3 2 ⋅ 2 2 =
1+ 5
1−1
17
−1
 1 5   1 −1 
=  2 3 ⋅ 2 2  ⋅  33 ⋅ 3 2  = 2 3 2 ⋅ 33 2 = 2 2 ⋅ 3 6

 

Trasformiamo l’espressione così ottenuta in una espressione contenente radicali; si ha:
17
−1
6
= 217 ⋅ 6 3−1 = 28 2 ⋅ 6 1 = 256 6 8
3
3
Dopo aver trasformato i radicali in potenza ad esponente razionale, semplifichiamo la seguente
2 2 ⋅3
espressione applicando le proprietà delle potenze:
3
40
36 ⋅ 5 16
4
18
Osserviamo che:
1
3
4
36 = 36 3 ;
1
16 = 5 24 = 2 5 ;
5
4
18 = 18 4
Sostituendo nell’espressione, si ottiene:
3
1
4
36 ⋅ 5 16 = 36 3 ⋅ 2 5 = 36 13 ⋅ 2 54 ⋅18− 14 = 22 ⋅ 32
1
4
18
18 4
(
)
4
(
( )
−1
4
1
3
⋅ 2 5 ⋅ 2 ⋅ 32
)
−1
4
Applichiamo le proprietà delle potenze:
(2
2
⋅3
)
1
2 3
4
5
(
⋅ 2 ⋅ 2⋅3
2
)
−1
4
( ) ⋅ (3 )
= 2
1
2 3
1
2 3
4
5
⋅2 ⋅2
−1
4
⋅ 3
2
2
3
2
3
4
5
= 2 ⋅3 ⋅ 2 ⋅ 2
−1
4
⋅3
−
21
42
=
73
1
 2 4 −1   2 −1 
=  2 3 ⋅ 2 5 ⋅ 2 4  ⋅  3 3 ⋅ 3 2  = 2 60 ⋅ 3 6

 

In definitiva, abbiamo ottenuto :
3
73
1
36 ⋅ 5 16 = 2 60
6
⋅
3
4
18
PROVA TU
1) Scrivi sotto forma di radicale le seguenti potenze con esponente razionale:
()
1
4
5
3
a) 7 ;
( 3c ) 3 ;
−4
9
3
;
( h + 3) 5 ;
4
b)
3
2
3
(
4a 2b
)
5
3
2) Scrivi sotto forma di potenza i seguenti radicali:
a)
b)
4
7;
5
9 p3 ;
6;
5
8
y2 − 4 ;
3
−25
3
3a − 1
3) Semplifica le seguenti espressioni contenenti potenze con esponenti razionali; successivamente,
scrivi il risultato sotto forma di radicale.
1
−2
5
a) 12 2 ⋅ 4 3 ⋅ 9 8 ;
( 4a ) 3 ⋅ ( 2a ) 6
2
b)
1
4) Dopo aver trasformato i radicali in potenza ad esponente razionale, semplifica le seguenti
espressioni applicando le proprietà delle potenze:
a)
27 ⋅ 4 8 ⋅ 3 24 ;
b)
5 ⋅ 3 15
6
30
41
ESERCIZI CAPITOLO 13
I radicali
Conoscenza e comprensione
1) Che cosa si intende per radicale?
2) Uno solo, fra i seguenti radicali, è un numero razionale; quale?
3
a)
9;
b)
8;
c)
4
−81 ;
d)
−243 ;
5
−256
7
e)
3) Da quali parti è formato un radicale?
4) Che cos’è un radicale aritmetico?
5) Uno solo fra i seguenti non è sempre un radicale aritmetico; quale?
a)
5;
3
b)
2m4 ;
c)
5
a 2 − 2a + 1 ;
6) Quale, fra i seguenti insiemi, è il dominio del radicale aritmetico
a) D = ]−∞,1[ ;
b) D = [1, +∞[ ;
6
d)
c) D = ]−∞,9[ ;
7
z4 + 3 ;
e)
3
4a 2 − 1
9 −9y ?
d) D = ]−∞,1] ;
e) D = ]−∞,9]
7) Che cosa afferma la proprietà invariantiva dei radicali aritmetici?
8) Quando, un radicale aritmetico si dice irriducibile?
9) Quando, due radicali aritmetici si dicono equivalenti?
10) Stabilisci se, nell’insieme dei radicali aritmetici, la relazione “essere equivalenti” è una relazione
d’equivalenza.
11) Uno solo, fra i seguenti radicali aritmetici non è irriducibile, quale?
a)
12
25h 6 g 4 ;
9
b)
27b6 c12 ;
c)
4
32x6 z 8t 2 ;
d)
15
a 3t 9 ;
e)
10
s5 h15
12) Come procedi per semplificare un radicale aritmetico?
13) Uno solo dei seguenti radicali aritmetici è equivalente
a)
3
−2k ;
14) Del radicale
b)
12
3
−8k ;
c)
3
9
−8k 3 ; quale?
−2 k ;
d)
18
64k 6
64t 6 possiamo dire che:
a) è un radicale aritmetico solo se t ≥ 0 .
V
F
b) è sempre un radicale aritmetico.
V
F
4t 2 .
V
F
6
V
F
V
F
c) è equivalente a
4
d) è equivalente a
8t 3
e) è equivalente a 8 16t 4 .
42
e)
3
−2k 3
15) Come procedi per ridurre due radicali aritmetici allo stesso indice?
16) Come procedi per confrontare due radicali aritmetici?
17) Dati i radicali
5 , 3 14 ,
4
20 , quale delle seguenti relazioni è corretta?
a) 5 < 3 14 < 4 20 ;
b)
3
14 < 5 < 4 20 ;
c) 3 14 > 4 20 > 5
d)
e)
4
20 < 5 < 3 14
5 > 3 14 > 4 20
18) Le seguenti proposizioni sono vere o false?
a) Il prodotto di due radicali può essere un numero razionale.
V
F
b) L’indice di radice del prodotto di due radicali è uguale al prodotto degli indici
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
dei due fattori.
c) Il prodotto di due radicali è un radicale che ha come radicando il prodotto dei
due radicandi.
d) Il radicando del prodotto di due radicali è uguale al prodotto dei radicandi dei
due radicali solo essi hanno lo stesso indice.
e) Nella divisione fra due radicali, l’indice di radice del quoziente è multiplo di
entrambi gli indici di radice dei radicali assegnati.
f) Il rapporto fra due radicali è uguale a un radicale che ha come radicando il
rapporto dei radicandi dei radicali assegnati.
19) Considerando radicali aritmetici, come procedi per portare un fattore sotto il segno di radice?
20) I radicali presenti nelle seguenti relazioni sono radicali aritmetici. Una sola di esse è corretta.
Quale?
a) 2 3 = 6 ;
b) ∀t ∈ R,
t 4 3 = 4 3t 4 ;
c) ∀h ∈ D ( dominio del radicale ) ,
d) ∀a ∈ R − ,
h − h − 1 = h 2 ( − h − 1) ;
( a + 1) 6 5 = 6 5 ( a + 1)
6
;
e) ∀b ∈ R − , − b 2 = 2b 2
43
21) Considerando radicali aritmetici, come procedi per portare un fattore fuori dal segno di radice?
22) I radicali presenti nelle seguenti relazioni sono radicali aritmetici. Una sola di esse non è corretta.
Quale?
a) ∀a ∈ D ( dominio del radicale ) ,
b) ∀y ∈ R,
4
e) ∀b ∈ R0+ ,
64a3 = 2 a ;
4
32b7 = 2b 4 2b3 ;
12 y 6 = y 4 12 y 2 ;
c) ∀b ∈ D ( dominio del radicale ) ,
d) ∀k ∈ R − ,
6
6
7k 8 = −k 6 7k 2 ;
27b5 = 3b 4 b 2
3
23) Dai la definizione di radicali simili.
24) Uno solo, fra i seguenti radicali, non è simile a 5 3 a 2 ; quale?
b) − 3 a8 ;
a) 2 6 a10 ;
c) −4 9 a30 ;
d)
12
a 20 ;
e)
3
64a 2
25) Stabilisci se, nell’insieme dei radicali aritmetici, la relazione “essere simili” è una relazione
d’equivalenza.
26) Come procedi per calcolare la somma algebrica di due o più radicali simili?
27) Cosa vuol dire razionalizzare il denominatore di una frazione?
28) Le seguenti proposizioni sono vere o false?
3
è equivalente alla differenza fra due radicali.
5− 2
a) La frazione
V
F
b) La frazione 2 è equivalente ad un radicale simile a −5 2 .
8
V
F
c) La frazione 58 è il doppio di
4
V
F
V
F
V
F
d) La frazione
e) La frazione
3
10
64 .
1
è la metà di
7+ 5
7− 5.
3a
è equivalente alla somma di tre radicali.
a + 3 2a
29) Quale, fra le seguenti espressioni, è un radicale doppio?
a)
44
3 5;
b)
3
5+ 6 ;
c)
7 − 3 10 ;
d)
12 − 2 24 ;
e)
9− 3 2
30) Uno solo, fra i seguenti radicali doppi, non può essere trasformato nella somma o differenza di
due radicali “semplici”. Quale?
a)
28 + 16 3 ;
b)
51 − 2 50 ;
c)
79 − 15 6 ;
d)
68 + 48 2 ;
e)
114 − 56 2 .
31) Il radicale doppio
A ± B è uguale a:
a)
A + A2 − B
A − A2 − B
±
;
2
2
b)
A + A2 − B A − A2 − B
⋅
2
2
c)
A ± A2 − B ;
2
2
d)
A − A2 − B
A + A2 − B
±
;
2
2
e)
A + A2 − B
A − A2 − B
∓
.
2
2
32) Qual è la differenza fra un radicale aritmetico ed un radicale algebrico?
33) Quale, fra i seguenti insiemi, è il dominio del radicale algebrico
5
2 ?
z −1
a) D = R ;
b) D = [1, +∞[ ;
c) D = ]1, +∞[ ;
d) D = R − {0} ;
e) D = R − {1} .
34) È possibile trasformare un radicale algebrico in un radicale aritmetico? Se sì, come procedi?
35) A che cosa è equivalente una potenza con esponente razionale?
45
ESERCIZI
Quali, fra le seguenti scritture, rappresentano radicali?
2)
3)
3
11 ;
1)
8
4
−16 ;
16 ;
6
3
−8 ;
1
2
−4 ;
5
−2
54 ;
81 ;
−6 ;
13
h2 + 1 ;
5
4;
10;
3
a −1
6;
3
3;
7
− (5 + b )
−10 ;
3
−k 4 ;
8
− −3s 2 − 1
(
)
Quali, fra i seguenti radicali, rappresentano, sicuramente, numeri razionali?
4)
5
2 ;
18
5)
6)
−32 ;
6
6
4
81 ;
3
58 ;
16
6 ;
75
3
125 d ∈ Q − 0
{ })
(
d3
4
16x 2
( x ∈Q)
9m2 ( m ∈ Q )
25 ;
75
343 ;
64 ;
125
Quali, fra le seguenti scritture, rappresentano, sicuramente, radicali aritmetici?
1 ;
d4
7)
4
35 ;
3
−4 ;
11
8)
3
−9 ;
3
m 2 + 2m + 1 ;
4
12b 2c 6 ;
3
7
2 1 −1
− 2
;
3
6
16 y 2
3h 3
9)
3g k ;
( )
Determina il dominio dei seguenti radicali aritmetici:
10)
x2 + 1 ;
6
a4 + 1
a
11)
7
b2 − 4 ;
3
4m
12)
12
p−2
;
p2
9
3− s
13)
9
14)
46
4 ( t + 1)
t + 2t − 3
2
5
3 ;
s4 −1
;
5q 4 + q 2 + 1
(
3h 4 g 2 + 15
2g + g −1
2
)
5
3a 3
1
z6
Completa le seguente uguaglianze fra radicali aritmetici in modo che esse risultino vere:
52 = 6 ..... ;
26 ⋅ 5..... = 3 2..... ⋅ 5
....
4 = 12 26 ;
x..... = 7 x 2 ;
36
152 ⋅16..... = ..... 3 ⋅ 5 ⋅ .....4 ;
15 = 4 3..... ⋅ ..........
21
x..... = 7 x 2 ;
36
152 ⋅16..... = ..... 3 ⋅ 5 ⋅ .....4 ;
15 = 4 3..... ⋅ ..........
18)
18
43 ⋅ 3..... = ..... 2 ⋅ 32 ;
5
243 ⋅1024 = 3..... ⋅ 2..... ;
24
81⋅ 2401 = ..... 3..... ⋅ 7
19)
14
a.....t 2 = 7 a 5t ..... ;
26
c....k 39 = ..... c 2 k 3 ;
15
k 9 g 21 = 5 .... ⋅ .....
15)
3
16)
21
17)
15
Esempi
Riduciamo allo stesso indice i seguenti radicali aritmetici:
a)
3
5
11 ;
b)
5
3
16
12 ;
c)
4
9a 3
6
8a 4
Per ridurre due radicali allo stesso indice:
determiniamo il mcm fra gli indici dei due radicali: questo sarà l’indice comune di due
radicali;
applichiamo la proprietà invariantiva: moltiplichiamo l’indice e gli esponenti del radicando di
ciascun radicale per il quoziente fra il mcm e l’indice del radicale. Si ottiene:
a) ▪ mcm(3,2) = 6;
▪ 6:3=2 ⇒
3
11 = 2⋅3 111⋅3 = 6 113 .
▪ 6:2=3 ⇒
3
Quindi,
5 = 3⋅2 51⋅2 = 6 52 ;
5 = 6 52
11 = 6 113 .
b) ▪ mcm(5,3) = 15;
▪ 15 : 5 = 3 ⇒
5
16 = 5⋅3 161⋅3 = 15 163 ;
▪ 15 : 3 = 5 ⇒
3
12 = 3⋅5 121⋅5 = 15 125 .
5
Quindi,
16 = 15 163
3
12 = 15 125
4
9a 3 = 4 32 a3 e
▪ 12 : 4 = 3 ⇒
4
32 a 3 = 4⋅3 32⋅3 a 3⋅3 = 12 36 a 9 ;
▪ 12 : 6 = 2 ⇒
6
23 a 4 = 6⋅2 23⋅2 a 4⋅2 = 12 26 a8 .
c) Osserviamo che
6
8a 4 = 6 23 a 4 .
▪ mcm(4,6) = 12;
Quindi,
4
9a 3 = 12 36 a9
6
8a 4 = 12 26 a8
47
Riduci allo stesso indice i seguenti radicali aritmetici:
20)
3
21)
22)
6
5;
4
15 e
10
12 ;
5
28
e
14
25 ⋅ 5 e
9
4
48
e
8
5;
10
243 e
7
e
6
e
5
2 e
23)
24)
12
25)
3
26)
20
2
5
16
e
6
56 e
7
2
9
28)
3
4m2
29)
6
15t 2 z e
4
28
e
9
39 ;
14
e
6
9z 3 ;
3
e
3
15
75
7 ⋅ 35
54
5
9a 3b 4
3
k
63
6
e
e
7
3a 4c5
5x 2 y
s 2t 3 e
b5 ;
2m3
50
3
21 e
3 e
2mk ;
4
55
6
73 ⋅ 2 4
3
24 ;
e
3a
g3
21
12 ;
1;
3
e
27)
30)
34 ;
3
e
4k 2
Esempi
Semplifichiamo i seguenti radicali aritmetici:
a)
8
b)
81 ;
12
5184 ;
c)
6
8h9 g 3 (h ≥ 0, g ≥ 0)
a) Scomponiamo in fattori primi il radicando e determiniamo il MCD fra l’indice della radice e
l’esponente del radicando.
Applichiamo, quindi, la proprietà invariantiva e dividiamo indice del radicale e l’esponente del
radicando per il MCD appena determinato. Si ottiene:
▪ 81 = 34 ⇒
8
81 = 8 34 ;
▪ MCD(8,4) = 4;
▪
48
8
81 = 8: 4 34: 4 ⇒
8
81 = 3 .
b) Scomponiamo in fattori primi il radicando e determiniamo il MCD fra l’indice della radice e gli
esponenti dei fattori del radicando.
Applichiamo, quindi, la proprietà invariantiva e dividiamo indice del radicale e gli esponenti dei
fattori del radicando per il MCD appena determinato. Si ottiene:
6
4
▪ 5184 = 2 ⋅ 3 ⇒
12
5184 = 12 26 ⋅ 34 ;
▪ MCD(12,6,4) = 2;
12
▪
26 ⋅ 34 = 12 : 2 26 : 2 ⋅ 34: 2 ⇒
12
5184 = 6 23 ⋅ 32 .
c) Scomponiamo in fattori il coefficiente numerico del radicando e determiniamo il MCD fra
l’indice della radice e gli esponenti dei fattori del radicando.
Applichiamo, quindi, la proprietà invariantiva e dividiamo indice del radicale e gli esponenti dei
fattori del radicando per il MCD appena determinato. Si ottiene:
▪ 8 = 23 ⇒
6
8h 9 g 6 = 6 23 h 9 g 3 ;
▪ MCD(6, 3, 9) = 3;
6
▪
23 h 9 g 3 =
6:3
23: 3 h9 : 3 g 3 : 3 ⇒
6
8h 9 g 3 = 2 h 3 g
Semplifica, se possibile, i seguenti radicali aritmetici:
31)
6
27 ;
4
576 ;
32)
12
7 4 ⋅ 56 ;
4
648 ;
36 ;
625
9
64 ;
27
14
33)
15
27m3 ;
4
9h 4 g 6 ;
35)
6
36t 4 s 2 ;
10
32b5 ;
243
(
)
16 4 z 2 − 4 z + 1 ;
37)
12
27 r 6
;
8 + 6 f 2 − 12 f − f 3
38)
8
36 ;
g4
39)
6
27d 3 h 4 ;
40)
4
81 t 3 + 9t 2 + 27t + 27
t +3
(
4
3600
8000 ;
35
1314 ⋅17 21
128 ;
37
4
78
3 ⋅ 516
9
32k 6 ;
12
125a 6 x15
6
256 ;
x4 y8
4
36g 4
h6
18
34)
36)
196 ;
6
8
9h6
3
64 m3 + t 3
(
12
)
(
25a 4 9c 2 + 4 + 6c
4
(
4 3a 2 + 6a + 3
9
)
)
)
49
Esempi
Confrontiamo le seguenti coppie di radicali aritmetici:
a)
4
8
3
e
4
11 ;
4
b)
3 e
3
5
a) I due radicali aritmetici hanno lo stesso indice di radice; per stabilire quale dei due sia il
maggiore è sufficiente confrontare i due radicandi.
8 > 11 ⇒
3 4
4
8 > 4 11
3
4
b) Gli indici dei due radicali aritmetici sono diversi.
Prima di confrontarli, è necessario, ridurli allo stesso indice.
3 = 6 33 = 6 27 ;
•
•
3
5 = 6 52 = 6 25 .
• 27 > 25 ⇒
6
27 > 6 25 ⇒
3>35
Confronta i seguenti radicali aritmetici:
65
8
7
41)
3
0,35
3
12
3
9
44)
30
3
150
45)
5
2
42)
43)
4
4
1
3
17
2
Scrivi in ordine crescente i seguenti numeri reali:
46)
3
10 ;
47) − 4 9 ;
4
−1;
2
− 2;
3
11 ;
5
2;
− 4;
3
− 14 ;
5
4;
3
−3;
4
−π
2
π
2
Scrivi in ordine decrescente i seguenti numeri reali:
48)
3
5;
2
49) − 4 7 ;
5
50
7;
6
14 ;
5
3;
4
−7;
3
π
2;
3
5;
3
4
2
Esempi
Eseguiamo le seguenti moltiplicazioni e divisioni:
a)
3
4⋅3 5;
4
b)
6a ⋅ 6 2ab ;
c)
5
9:58;
d)
3
4h 2t : 4 3t
a) I due radicali hanno lo stesso indice, pertanto:
3
4 ⋅ 3 5 = 3 4 ⋅ 5 = 3 20
b) I due radicali hanno indice diverso:
▪ riduciamo due radicali allo stesso indice;
▪ eseguiamo la moltiplicazione.
Si ottiene:
4
6a ⋅ 6 2ab = 12 ( 2 ⋅ 3) a 3 ⋅ 12 22 a 2b 2 = 12 23 ⋅ 33 a 3 ⋅ 22 a 2b 2 = 12 25 ⋅ 33 a 5b 2
In definitiva:
3
4
6a ⋅ 6 2ab = 12 25 ⋅ 33 a5b 2
c) I due radicali hanno lo stesso indice, pertanto:
5
9 : 5 8 = 5 9:8 = 5 9
8
d) I due radicali hanno indice diverso:
▪ riduciamo due radicali allo stesso indice;
▪ eseguiamo la divisione.
Si ottiene:
3
( ) (h )
4h 2t : 4 3t = 12 22
3
In definitiva:
4
2
4
(
)(
)
8
t 4 : 12 33 t 3 = 12 28 h8t 4 : 33 t 3 = 12 23 h8t
3
8
4h 2t : 4 3t = 12 23 h8t
3
Esegui le seguenti moltiplicazioni e divisioni fra radicali aritmetici:
50)
3
12 ⋅ 3 13 ;
51) 5 ⋅ 24 ;
52)
4
45 ⋅ 4 12 ⋅ 4 60 ;
53)
6
24 : 6 8 ;
6⋅48
6
25 ⋅ 10 5
24 ⋅ 5 ⋅ 2
8
12 : 12 8
 3 156;

 600;

30
4
288 
2 25 ⋅ 53 

 3 180;

 6 3;

240 
8
3 
51
54)
7
154 : 7 49 ;
28 : 3 42
55)
5
75 : 5 5 ⋅ 5 15 ;
4
14 ;
21
7
3
4
13 ;
26
4
56)
57)
3
5
59)
8
48 : 4 32 : 12 ;
3
4⋅9 6⋅ 5
5
45 ⋅ 10 225
35


62)  6 7 ⋅ 3 4  : 3 8 ;
 12 15  5
64)
4
65)
4
66)
4
67)
6
68)
52
4m 2 ⋅ 6 2mn 2 ⋅ 3
8 1
 214 ⋅ 33 ;

28
96 : 4 24 ⋅ 7 42
4
27 ⋅ 3 5
15
6
2 xy 27a 2b
⋅4
3ab 8 x 2 y 2
7
− x3 )( x 2 + 2 x + 1)
x − x + x −1
( 4x
(x
4
2
2
+ 4 xy + y 2
)
y 2 − 2x2 y 4 + y
12
73 

24 

432 

35 

5 ⋅ 75 

214 ⋅ 32 ⋅ 59 

6 4 7 6
 2 ⋅3 ⋅5 ;

10
35 

5 ⋅ 75 
 53 ⋅ 76
12 23 3 ;
 2 ⋅3
14
72 

26 ⋅ 3 

1;

12
12
27 
25 
37 a 4b
27 y 4 x 4



 m
3 2 
 n 
1
4mn3
:
 a −1 

6 
 a 
 y +1 
4

 y −1 
y 4 − y3 + y − 1 y 2 − y + 1
:4
y 4 − 2 y3 + y 2
y2
(x
18
6
10
 73
6 4 3 ;
 2 ⋅3
a 4 − 1) ( a − 1)
(
a4
⋅
( a 2 − 2a + 1) a11 + a10 + a9 + a8
3
8
5
 162;

45 ⋅ 10 225
35
 m2
m 1
63)  3
:6 5 
;
 n
 mn
n


217 ⋅ 36 

 6 13
 4;

3 ⋅ 6 32
4
3⋅5 9⋅5 6;
21 ⋅ 4 10 : 3 4 ;
8
27
12
 2
 3;

5
61)
25 ⋅ 72 
3 
3
 5 225;

18 ⋅ 8 : 3 2
58)
60) 5 ⋅ 6 ⋅ 3 18 ;
 22
7 7 ;

3x + 3
3
 x
 
2
)
6 3
:
2x + y
yx − y
2
3


1
4 2
3 
 x y− y 
69)
70)
(x
2
− y 2 )( x 4 + 2 x 2 y 2 + y 4 )
2 ( x 4 + x 2 y 2 + y 4 + 2 x3 y + 2 x 2 y 2 + 2 xy 3 )
6
( x − 5x + 6)
(16 x − y )
2
71)


3
3

2
 ( x − y ) 
x4 + 2 x2 y 2 + y 4
2
3x − 3 y
⋅ 2
⋅3 2
2
2
x − 2 xy + y
2x + 2 y2
6
6
2
4 2
4
⋅
⋅
2
x3 − y 3
3
⋅
x 2 + y 2 − 2 xy
2x2 + 2 y2

6


8x2 − 2 y 2
4 x2 + y2
⋅3 3
2x − 6
4 x − xy 2 − 8 x 2 + 2 y 2
73)
a 2 − 3a + 2 6
a4
a 3 − 8 − 6a 2 + 12a
6
⋅ 3
⋅
a2
a − 4a 2 + 4a
a 6 − a5
74)
3
x+ y
x
4
xy 2 − y 3
( a 2 − b2 )
75)
 x+ y
x
: 
⋅3
x
x+ y

x 2 + xy
x2 − y2
4
4
(a
 a−2
3 2 
 a 



2

1

( x − 3) ( 4 x 2 − y 2 ) 

1 
12

 a −b 
a 2 + 2ab + b 2
72)  4 a 2 − ab : 3 a 2 − b 2  ⋅ 3 3a + 3b ⋅ 12


9a 3
6
 x+ y 
6

3
 ( x − y ) 
 x+ y 


x 

+ ab )
 y2 (a + b) 
4

 ( a − b ) x 
2
ax
Esempi
Calcoliamo le seguenti potenze:
( )
3
a)
a)
( 2)
b)
( )
c)
( 5)
3
4
3
3
23
3
b)
2 ;
( );
4
23
2
c)
( 5)
3
9
= 3 23 = 2 ;
2
9
=
=
4
2 6 = 23
3
59
= 53 = 125
Calcola le seguenti potenze di radicali aritmetici:
76)
( 2) ;
( 4)
77)
( 12 ) ;
( 18 )
78)
(2 5 ) ;
(3 2 )
5
3
4
4
2
3
9
3
4
 5 16 ;

3
3
3
 3 12 4 ;

256 
3
18 

[ 20; 54]
53
79)
( 18 ) ;
( 3)
80)
( )
81)
( )
( )
( 23 3 )
82)
( )
83)
( 6 ) ⋅( 2 ) ;
(
84)
( )
1

8

2

85)
(
86)
(
(
4
2
1 45 ;
5
4
6
6
3
2
(
);
)
ab )
;
2
( a + 2)
4

 ;


2
b
);
(
93)
95)
54
2
12
24 


2




2

x2 − y2 
ab
;

x 

 ( a + 2 )4

a+b 
;

2
x4 ( a − b) 
 b

2
4
 25 ; 4 ( a + b )2 
 8 9

 ( a + 5 )2

2
;
2
−
2
2
b
+
b


2
 ( a − 2 )

( 3 x + 5 ) 5 + 15 x + x x 


)(
x+ c
)(
− xy
( x)
2
)]
2
2x + 3
 a2 − a +1 

94) 


a
+
1


(x
)
2
3
2x − 3
 27 ⋅ 33 ;

 2 a 2 b3 ; a 4b 2 
)
x− c
x
⋅
y
2 −b
1 
2 ⋅ 36 
21
 2 a 2 b3 ; a 4b 2 
 2

(a + b )

 3

6
[(
[(
5

2

4 
27 
 5
 25 ;

4


90)  3 a + 5  ;
 a−2 
92)
)
2
(a b )
3
5+ x
24
 a2 − b2 
 2

 x (a − b ) 
2
(
3

x2 − y2
x ⋅

x3
2 
 2
89)  2a − b  ;
 x (a − b) 
91)
) :(
7
24
3
 15;

4
4
2 a 2b 3
4
6
(a b )
3
2 a 2b3
ab
3
4
 8;

1 4 2 
4 3


2
15 ;

87) 


 1
 125 ;

2
3
3
1 45 ;
5
3
[324; 9]
10
1 8
2
2 ;
3
88)
5
3
 x 2 − 2 xc + c 2 
)]
 a 2 + 2a + 1 

⋅
3


a
+
1


) ⋅ ( xy )
2
3
2
(x y )
2
8 x 3 − 36 x 2 + 54 x − 27 
3
[1]
x− y
 y 
96)
( 4x
2
97)
( 4x
2
3
− 25 : 4 x − 20 x + 25
− 9 : 4 x − 12 x + 9
3
2
2
)
3
)
2

8 x 3 − 125 
⋅
 4 x 2 + 10 x + 25 


 4x 2 + 6x + 9 

:
3


8
x
−
27


3
2
 6 2x + 5 4 2x − 5 5 
)(
)
 (


2x + 3 
( 2 x + 3) 2 x − 3 


Esempi
Considerando radicali aritmetici, trasportiamo il fattore esterno sotto il segno di radice:
a) 3 3 ;
b) 1 10 ;
5
c) −2 3 15 ;
d) k 4 3kg 2 ;
e) 2t 3s
a) Il fattore esterno (3) è positivo; è sufficiente, allora, elevarlo alla seconda. Si ottiene:
3 3 = 32 ⋅ 3 = 33 = 27 .
b) Il fattore esterno è positivo; è sufficiente, allora, elevarlo alla seconda. Si ottiene:
1 ⋅ 10 2 = 2 .
5
255
1 10 = 1 ⋅10 =
5
52
c) Il fattore esterno (−2) è negativo; lasciamo il segno “−” fuori dalla radice ed eleviamo −2 = 2
alla terza. Si ottiene:
−2 3 15 = − 3 23 ⋅15 = − 3 120 .
d) Determiniamo il dominio del radicale.
Deve essere 3kg 2 ≥ 0 ⇒ (poiché 3g 2 è sempre non negativo) k ≥ 0 .
Il fattore esterno, dunque, è non negativo; per portarlo sotto radice, dunque, è sufficiente,
elevarlo alla quarta. Si ottiene:
k 4 3kg 2 = 4 k 4 ⋅ 3kg 2 = 4 3k 5 g 2
e) Il fattore esterno è un’espressione letterale che può assumere valori positivi o negativi oppure il
valore nullo.
Si distinguono, allora, due casi:
▪ se 2t ≥ 0 ⇒ t ≥ 0 , si procede come nel caso a);
▪ se 2t < 0 ⇒ t < 0 , si procede come nel caso c).
Si ottiene:
• t ≥ 0:
2 t 3s = 4t 2 ⋅ 3s = 12 st 2 ;
• t < 0:
2t 3s = −
(2 t )
2
⋅ 3s = −
( −2t )
2
⋅ 3s = − 4t 2 ⋅ 3s = − 12st 2
55
Considerando radicali aritmetici, trasporta il fattore esterno sotto il segno di radice:
98) 5 3 ;
1 10 ;
2
2 3
3
99) 3 2 ;
2
−5 6 ;
1 15
5
100) 5 1 ;
2 125
− 14 13 ;
13 7
9
2
101) 1 3 16 ;
2
−3 2;
2
33 2
9
102) 6 3 ;
25 5 ;
− 3 3 15
5
103)
(2 + 2 )
(1 − 3 )
3;
3
4
9
(3 − 3 )
2;
104) t 5 ;
x2 ⋅ 3 4 x ;
−3 y 3 4 2 y
105) 4 6 1 ;
3 2
4 h 2h 2 f ;
1 g 3 kg
2
106) − s 3 ks ;
z b2 z 3 ;
ay 2 ⋅ 3 3
ay
x2 y3
3
r5
2 s3
107) a 3b
2;
a
27 ;
x2 y 2
(b + a )
108) 1 x ⋅ 3 492 ;
7
xy
109)
(a − b)
110)
( 2 xy + xy )
111)
( 4 − 4ab + a b )
112)
( h − 2)
1
h −4
113)
( s + 1)
1
s −1
114)
( a − 3)
a −3
a 3 − 9a 2 + 27a − 27
115)
(
56
3
8 s7
r
a+b ;
(a + b)
1 ;
a −b
⋅
6
2
4
1
a+b
2y
x (2 + y)
2
2 2
 2 xy 3 ( 2 + y ) 




1
2 − ab

h > 2 :

2
)
1 + 2z ⋅ 3 1 − z
1− z
4


a + 1 ; a < −1: − a + 1 
a −1
a − 1 
[ a > 3 : 1;

 −1 ≤ z < 1:


3
h − 2 ; h < −2 : − h − 2 
a+2
h + 2 

 a > 1:

2
( 2 − ab )
(1 + z ) ;
3
2
4 (1 − z )
3
a < 3 : − 1]
1+ z ) 
(

z < −1: − 3 −
2
4 (1 − z ) 

3
116)
( 2 − x x+ 1)
117)
( 4 − 12 x + 9 x )
2
( m − n) ⋅ 3
118)

x −1 


 x ( x + 1) 
x
x −1
2
2
8 − 36 x + 54 x 2 − 27 x3
 4 − 6x 




3 m−n
m ≥ n:

m+n

; n < 0:
n ≥ 0 ⇒ 

n
−
m
−n < m < n : − 3


m+n
1
(m − n) ( m + n)
2
3


m−n 
m+n 

Esempi
Considerando i seguenti radicali aritmetici, portiamo fuori di radice i fattori possibili:
a)
a) 8 = 23 ⇒
3
b)
8;
2160 ;
c)
4
9h9 ;
d)
4
8x 4 y 3
8 = 23 ;
▪ 3 > 2 ⇒ possiamo portare 2 fuori di radice;
▪ 3: 2 = 1 con il resto di 1 ⇒ q = 1, r = 1 ;
▪
23 = 21 21 = 2 2
23 = 2 2 .
• In definitiva:
b) 2160 = 24 ⋅ 33 ⋅ 5 ⇒
3
2160 = 3 24 ⋅ 33 ⋅ 5 ;
▪ [4 > 3; 3 = 3; 1 < 3] ⇒ possiamo portare fuori di radice i fattori 2 e 3;
▪ 4 : 3 = 1 con il resto di 1 ⇒ q = 1, r = 1 ;
▪ 3 : 3 = 1 con il resto di 0 ⇒ q = 1, r = 0 ;
3
▪
2160 = 3 24 ⋅ 33 ⋅ 5 = 21 ⋅ 31 3 21 ⋅ 30 ⋅ 5 = 2 ⋅ 3 3 2 ⋅1⋅ 5 = 6 3 10
• In definitiva:
3
2160 = 6 3 10
c) Determiniamo il dominio del radicale. Deve essere:
9h9 ≥ 0 ⇒ h ≥ 0 ⇒ D = [ 0, +∞[ .
Osserviamo che:
▪ [2 < 4;
9 = 32 ⇒
4
9h9 = 4 32 h9 ;
9 > 4] ⇒ possiamo portare fuori di radice solo la lettera h;
▪ 9 : 4 = 2 con il resto di 1 ⇒ q = 2, r = 1
▪
4
9h9 = 4 32 h9 = h 2 4 9h1 = h 2 4 9h
• In definitiva:
4
9h 9 = h 2 4 9h
57
d) Affinchè esista il radicale deve essere: 8 x 4 y 3 ≥ 0 ⇒ y ≥ 0 ; la variabile x può assumere valori sia
positivi che negativi oppure può essere nulla.
Osserviamo che:
▪ [3 < 4;
4
8 x 4 y 3 = 4 23 x 4 y 3
4 = 4] ⇒ possiamo portare fuori di radice solo la lettera x;
▪ 4 : 4 = 1 con il resto di 0 ⇒ q = 1, r = 0
▪
4
8 x 4 y 3 = 4 23 x 4 y 3 = x
1 4
8 x0 y 3 = x 4 8 y 3
È stato necessario applicare alla variabile x l’operazione di valore assoluto perché di tale
variabile non conosciamo il segno; alla variabile y, rimasta sotto il segno di radice non è stata
applicata l’operazione di valore assoluto, perché, per l’esistenza del radicale, y 3 è sicuramente
non negativo.
• In definitiva:
4
8 x 4 y3 = x 4 8 y 3
Considerando radicali aritmetici, porta fuori di radice tutti i fattori possibili:
24 ;
119)
120)
4
121)
122)
5
123)
3
80 ;
98
4 ;
27
3
32
288 ;
3
42336 ;
124)
3
125)
3
126)
250 ;
81
4
256
243
1215
4
23328
16a 3 ;
9
z11 x8
32a 6b3
5
f 4 h7 ;
4
128)
3
4 p5
;
z4 g 2
12
129)
6
24x8t 9 ;
h5
58
1250
16200
127)
130)
96
128a 6c ;
27
7
 4a a ; z 9 z 2 x8 


h 5 f 4h2 ; 2 a

p

 z
b6
m15
49d 6 q 9 x 4
27m 2
k

t

6
3
4
2a 2b3 

4 p2 1 4 b2 
;

z g 2 m m 
24t 3 ; q 7 49d 6 q 2 x 4 

h5

8 a 3

 3
2c ; 3 m
3
3 
k

131)
72 p 6 x 2
;
v4 y
3
3
g 3 (1 + 3 g ) ;
132)
 2 p2

 v
9 d 7g6
8
g

h5 − 8h 2
3
8x2 ; d 2 g 2 3 9 d 

8 
v y

g (1 + 3 g ) ; h h3 − 8 

a 4 + 3a 3 + 3a 2 + a
 a +1 3 a 


134)
3k 5 − k 4
9
 k 2 3k − 1 
 3

135)
4b 2 + 4b + 1
b3
 2b + 1
 b

3
133)
136)
a
 2t

4a 8 + 2a 6 + a 4
16t 5
4
(x
138)
4
)(
)
 x2 − 1
 2
 t x + 3
− 2 x2 + 1 x2 + 1
(
4a 4 + 2a 2 + 1 

t

 b2 + 1 
2

 a −1

8b 4 + 16b 2 + 8
4 a 2 − 8a + 4
137)
4
1
b 
t 5 x2 + 6 x + 9
)

x2 + 1 
t 

In alcune delle seguenti uguaglianze non sono stati messi i necessari valori assoluti. Inseriscili tu!
a 6 b 3 = a 3b b ;
139)
3
140)
4
25h5 r 7 = hr 4 25hr 3 ;
141)
8
x8 y10 = xy 4 y ;
16m 4 y 3 = 2my 3 2m
4k 7 = 2k 3 k
3
81b5c8 = 3bc 2 3 3b 2 c 2
Esempi
Calcoliamo:
4
a)
a) 4 ⋅ 5 = 20 ⇒
5
4
5
2;
2=
20
b)
3 2
2.
b) Portiamo il fattore 3 sotto il segno di radice e, successivamente, applichiamo la regola esposta in
precedenza.
▪
3 2=
32 ⋅ 2 =
In definitiva:
18 = 4 18 .
3 2 = 4 18
59
Calcola le seguenti radici di radicali aritmetici:
142)
2;
3
3;
3
143)
16 ;
5 3
7;
3 3
2;
3
144)
4
145)
147)
3
148)
149)
4
150)
151)
3
ab
3
1 ;
ab
1
x2
3
x8 ;
4
a+b
a−b
( a + 2)
a 2 + 4a + 4
( z + 1)
z +1 : 3
2 3
( 2u − 1) ⋅
3
x2 y
z
x
(a − b)
27
3
 4 2;

6
3;
 2;

15
7;
8
 2;

32
1 32;
2
243 ;
146)
1;
3
8
6
 3 ab ; x

x4 y
9 2
 x ;

x
z
3
15
y3 

8
3
z +1
x
( z + 1) 6 x 


1 ⋅ 3 2u + 1
2u − 1 2u − 1
 6 4u 2 − 1 


Stabiliamo se i seguenti radicali aritmetici sono simili:
−3 3 4 ;
fattore esterno 2
radicale
3
4
b) 2 2
−3 3 4
23 2 ;
c)
24
54
fattore esterno − 3
radicale
3
4
i due radicali hanno fattore esterno diverso e radicale uguale, pertanto sono simili.
b) 2 2
fattore esterno 2
radicale
2
23 2
fattore esterno 2
radicale
3
2
i due radicali hanno fattore esterno uguale, ma radicale diverso, pertanto non sono simili.
60
z
x 
 a + 2


Esempi
a) 2 3 4

4

 4 a 2 − b2 


8u 3 − 12u 2 + 6u − 1 ⋅
a) 2 3 4
3 
1 ; 24 2 

3

3
 4
4;
3
3;

2

251
8
2 
24 = 23 ⋅ 3 = 2 6 ;
c)
2 6
54 = 2 ⋅ 33 = 3 6
fattore esterno 2
radicale
3 6
6
fattore esterno 3
radicale
6
i due radicali hanno fattore esterno diverso e radicale uguale, pertanto sono simili.
Individua, fra i seguenti radicali aritmetici, quelli simili:
152) − 2
153) − 60 ;
154)
3
155)
156)
5
3 2
4 3
12
18
15 ;
4
− 48
3 27
75
7 4 243
2 a5
−2 a
8a
8 18a
−4 64a 4b7
5
135 ;
45 ;
81
5 3 192
9a 3
64a 4b7
2a 9 b 7
3 5 2a9b12
−6 49a 4b9
Esempi
Semplifichiamo le seguenti espressioni:
a) 2 5 − 7 5 + 3 20 ;
b)
98 + 6 3 2 − 50 − 2 3 216
a) Scomponiamo in fattori primi i radicandi che non sono primi:
2 5 − 7 5 + 3 20 = 2 5 − 7 5 + 3 22 ⋅ 5 = (portiamo fuori di radice i fattori possibili) =
= 2 5 − 7 5 + 3 22 ⋅ 5 = 2 5 − 7 5 + 2 ⋅ 3 5 = 2 5 − 7 5 + 6 5 =
= ( i radicali sono simili) = ( 2 − 7 + 6 ) 5 = 5 .
b) Scomponiamo in fattori primi i radicandi che non sono primi:
98 + 6 3 2 − 50 − 2 3 216 = 2 ⋅ 7 2 + 6 3 2 − 2 ⋅ 52 − 2 3 23 ⋅ 33 =
= (portiamo fuori di radice i fattori possibili) = 7 2 + 6 3 2 − 5 2 − 2 ⋅ 2 ⋅ 3 =
= (individuiamo i radicali simili) = 7 2 + 6 3 2 − 5 2 − 12 = ( 7 − 5 ) 2 + 6 3 2 − 12 =
= 2 2 + 6 3 2 − 12 .
61
Semplifica le seguenti espressioni contenti radicali aritmetici:
157)
3
9 3 2 − 24 3 


16 + 3 9 8 − 2 432 + 4 6 4
− 1 3 6 − 5 4 3 
6 
 3
158) 2 3 6 − 1 4 3 + 2 3 6 − 3 3 6 − 1 4 3
3
2
3
159)
3
 − 21 3 10 
 4

270 − 3 100 2 + 3 80 − 1 6 100
4
160)
18 + 4 450 − 3 98 + 3 242 + 48 − 1 75
7
4
161)
343 + 2 28 − 6 63 − 4 700
162)
3 − 4 9 + 2 3 + 4 48
16
16
93 2 + 11 3 


4
 −47 7 


 7 3 + 24 3
 4

19 11 


163) 2 44 − 1331 + 4 891 − 2 275
164)
3
40 − 3 625 − 2 3 405 + 5 64 − 3 5 486
165)
3
135 − 12 + 192 − 3 40 − 147
166)
5
a8 + 2 5 a3 − 4 2b6 + 4 32b6
 −6 3 15 − 3 3 5 − 7 5 2 


 3 5 − 3


( a + 2 ) 5 a 3 + b 4 2b 2 


167)
27 + 2 75 − 3
4
4
48 + 147 − 20 a 2 + a 45
9
168)
147 a + a 675 − 3267 a + 1 3 16 y 3 + 3 250 y 3
2
169)
2
2
a ≥ 0 :


 a < 0 :
35 3 + a 5; 

2
35 3 + 5a 5 

2
 a ≥ 0 : − 11a 3 + 6 y 3 2;


3
 a < 0 : 41a 3 + 6 y 2 
243 a − 3 12 a b + 3 b
4
 ab ≥ 0 : ( 3a − b ) 2 3;


 ab < 0 : ( 3a + b )2 3 


170)
32 x − 288 x y + 162 y
4
 xy ≥ 0 : ( 2 x − 3 y )2 2;


 xy < 0 : ( 2 x + 3 y ) 2 2 


171)
(m + n)
172)
2b + 2 2a b + 2a
173)
62
4
2
4
2
3
2
2 2
) (
2
( n − 2 ) m + n 


− m 3 + m 2 n − 4m + 4 n
4
(3
2
2 −1 −
2 +3
)(
 ab ≥ 0 : ( b + a ) 2 2;


 ab < 0 : ( b − a )2 2 


4
) (
2 −3 −4
)
2 +1
(
)
 2 11 − 5 2 


174)
5
(
) (
)
7 +1 −
2
7 +2 − 7
175)
(
3 − 2 2 3 +1 −
)(
) (
176)
(
3 − 5 +1 −
) (
2
(
5 −3
3 −2 2
5−2 3
)
2
)
)
 5 − 7 − 11


2
+ 5
5 + 3 − 2 + 2 6 


(
)
3 15 − 3 5 + 2 3 − 8


3 −1
Occhio agli errori!
177) Stabilisci se le seguenti relazioni sono vere o false, motivando la tua risposta.
5 + 9 = 25 + 9
VERO
FALSO
2 +a = 2+a
VERO
FALSO
VERO
FALSO
2
2
=
4
2
VERO
FALSO
2
2
=
3
9
VERO
FALSO
a + b = a+b
VERO
FALSO
5 + 2 3 = 5 + 22 ⋅ 3
Esempi
Razionalizziamo il denominatore delle seguenti frazioni.
I fattori letterali, per comodità, sono considerati positivi.
a)
3 ;
2 6
b)
4
h ;
27
c)
a) Moltiplichiamo numeratore e denominatore per
5
2 ;
8a 2b
d)
k
3 k5g
6 ; si ottiene:
3 = 3⋅ 6 = 3⋅ 6 = 3 6 = 3 6 = 6 .
12
4
2 6 2 6 ⋅ 6 2 ⋅ 62 2 ⋅ 6
b) Scomponiamo in fattori il radicando:
4
h = h ;
27 4 33
osserviamo che: (n = 4, m = 3) ⇒ n – m = 1.
Moltiplichiamo numeratore e denominatore per
4
3 ; si ottiene:
h = h = h⋅ 4 3 = h4 3 = h4 3 .
4
3
27 4 33 4 33 ⋅ 4 3 4 34
63
c) Scomponiamo in fattori il numero 8 presente nel radicando:
Moltiplichiamo numeratore e denominatore per
5
5
2 =
2 ;
2
5 3 2
8a b
2 ab
22 a 3b 4 ; si ottiene:
5
3 4
5
3 4
5
3 4
2 ⋅ 5 22 a 3b 4
2 =
2
=
= 2 4 a b = 2 4a b = 4a b .
5
ab
2ab
8a 2b 5 23 a 2b 5 23 a 2b ⋅ 5 22 a3b 4 5 25 a 5b5
d) Portiamo fuori di radice il fattore k :
k =
k
.
2
5
3 k g 3k kg
Ci siamo ricondotti ad una frazione dello stesso tipo del caso a).
Moltiplichiamo numeratore e denominatore per
kg ; si ottiene:
k ⋅ kg
k kg
k kg
kg
k =
k
= 2
=
=
= 2
3
2
5
2
2 2
3k g 3k g
3 k g 3k kg 3k kg ⋅ kg 3k k g
Trasforma le seguenti frazioni in frazioni ad esse equivalenti con denominatore razionale
(considera i fattori letterali positivi):
178)
1 ;
2
1 ;
5
1
3
179)
2 ;
15
13 ;
13
8
2
3
 2
5
3
 2 ; 5 ; 3 


 2 15
 15 ;


13; 4 2 

180)
14 ;
7
33 ;
11
2 3

3
 2 7; 3 11; 2 


181)
5 ;
3 5
11 ;
4 22
14
3 7
 5
 3 ;

182)
4 ;
7 2
15 ;
2 3
2
3
183)
2 − 15 ;
5
184)
3+2 2
;
5 6
185)
x ;
xy
64
3− 6
2
2 7 +7 2
3 14
1
a a
22 ; 2 7 
8
3 
2 2 5 3
6
 7 ; 2 ; 3 


 10 − 5 3

; 6 − 3

5
2


2 3
2
 15 + 10 ;

7+ 2

3

 xy

; a2 

y
a 

186)
2m + 6 ;
m+3
187)
x4 −1 ;
x2 + 1
4a − b
4a − b
h 2 − 2hg + g 2
h−g
c2 − 4 f 2
c+2f
2
2
188) s t + t s ;
st
189)
5
 2 m + 3;

2 ;
2
4a − b 
 x 2 − 1; ( h − g ) h − g 


s s + t t ; (c − 2 f ) c + 2 f 


12 ;
6
3
15
8
5
 5 16; 4 6 243; 3 8 57 


190)
42 ;
7
49
5 ;
3
4
21
5
27
 7 5 53 2

5
6 7 ; 2 ; 7 9 


191)
5 ;
3
4
21 ;
5
27
16
6
128
53 2 5

6
 2 ; 7 9; 4 32 


192)
7 ;
5 7
2
18 ;
4 5
3
10
4 5
5
193)
1 ;
3
16
22 ;
3
3 115
15
3
4 243
194)
2 −1 ;
3
16
195)
5
3
3
196)
3
197)
198)
3
9
200)
5
243
3
3
y4
m
3
;
m
m
6
( x + y)
4
ab − a
4
y + 10 y 7 

y

 a−b 5 a+b 4 x 6 x + y 
) (
)
(
)
(
;
a+b
x+ y 



11
b
5
 a 9 5
 a2 ; m 


x 2 + xy
m
m

3 a 3 ⋅ 3 4ab 2 ;

m
a2 − b2 ;
6
5
( a + b)
m
3x y
5
ab ;
4 3
a ab
5
 x 9 x ; 3 3 9 xy 2 


2
1+ y
6a 4b ;
3
2a 2b
4
x7 y 7
9 xy
x2 ;
9 8
x
201)
 9 37

5 3 3
 3 ;5 x y 


5x2 y 2
;
4
199)
 8 5; 4 23 ⋅132 


26
13 ⋅ 4 2
5 5 5
 3 4 2 3 11 5 3 3 
 4 ; 33 ; 12 


 1 3 4 6 24 ⋅ 73 
 2 − 4 ; 98 


14
5 3
7 ⋅ 16
;
7 5 8
2 4 125 
4
 4 ; 2 27;
5 

a5
4
b
(
 16 9 4 b 1 − 4 a 3
 m ;
 m
ab

) 


65
Esempi
5
;
2+ 7
a)
3
;
2 5− 3
b)
c)
a) Moltiplichiamo numeratore e denominatore per
5
=
2+ 7
5⋅
(
2− 7
)(
2+ 7 ⋅
5⋅
=
(
(
2− 7
−5
)
2−
)=
6
;
4+36
d)
3
1
5−3 2
)
2 − 7 ; si ottiene:
)
7) ( 2) −( 7)
5⋅
=
(
(
3
2− 7
2
2
=
5⋅
(
2− 7
2−7
)=
2 − 7 = 7 − 2.
−1
(
)
b) Moltiplichiamo numeratore e denominatore per 2 5 + 3 ; si ottiene:
(
)
(
)
) ( )
3⋅ 2 5 + 3
3⋅ 2 5 + 3
3
=
=
2
2 5− 3
2 5− 3 . 2 5+ 3
2 5 − 3
(
(
3 2 5+
=
4⋅5 − 3
)(
) (
3 ) 3(2 5 + 3 )
=
.
3
6
=
4+36
=
(
( 4) − 4 ⋅
6 ) ⋅ ( 4 ) −

3
4+3
3
2
3
2
3
3
3
6  3 16 − 3 24 + 3 36 
( 4)
3
3
1
=
5−3 2
(
3
5−3
( 5) + 5 ⋅
2 ) ⋅ ( 5 ) +

3
2
3
3
2
3
3
2
−3 4⋅3 6+
3
2
( 6 )  ; si ottiene:
2
3
2
3
2
3
10
( 5)
3
3
2
=
3
3
3
6  3 16 − 3 24 + 3 36 
d) Moltiplichiamo numeratore e denominatore per 

3
4 52 − 32
)=
6 ( 4 ) − 4 ⋅ 6 + ( 6 ) 
( 6 ) 


= 
=

4 ⋅ 6 +( 6)
( 4) +( 6)

6+
=
4+6
1⋅ 

(
3 2 5+ 3
17
c) Moltiplichiamo numeratore e denominatore per 

6⋅

2
=
2
3
3
3
3  3 16 − 3 24 + 3 36 
5
+ 3 5⋅3 2 +
.
( 2 )  ; si ottiene:
2
3
 5 + 5⋅ 2 + 2 
( 2 ) 
( ) 
( )
=
=
5
−
2
5⋅ 2 +( 2) 
( ) ( )

2+
3
3
2
3
3
2
2
3
3
3
3
3
2
3
3
3
3
3
3
3
3
= 25 + 10 + 4 = 25 + 10 + 4
5−2
3
Trasforma le seguenti frazioni in frazioni ad esse equivalenti con denominatore razionale:
202)
203)
66
1
;
11 − 7
4 ;
1+ 3
6
5+ 3
5
5−2
 11 + 7
;3

4

(
(
)
2

)

5− 3 

3 −1 ; 5 + 2 5 

204)
5
;
2 2+ 3
30
3 5 − 15
205)
5+ 2 ;
6− 5
6− 3
3+ 2
5 + 30 + 2 3 + 10; 3 2 − 2 3 − 3 + 6 


206)
7− 3
;
7+ 3
5+ 3
5− 3
 5 − 21

 2 ; 4 + 15 


207)
2−3 5
;
6− 7
5−2 6
2+ 3
 −2 6 − 2 7 + 3 30 + 3 35; 9 3 − 11 6 


208)
2 3 −3 6
;
2 6 −3 3
3 5 −2 2
2 5 −3 2
209)
2 3 + 11
;
2 3 − 11
3 5 +5 3
5+ 3
 23 + 4 33; 15 


a
2− 4−a
x y + y x

; 2+ 4−a

x− y


210)
x
xy
;
y−y x
211)
x 2 + y 2 − 2 xy
;
x +1 − y +1
m + 1 − 1 − m2
m + 1 + 1 − m2
212)
49 x 6 − 4 ;
7 x3 − 2
1
1+ 3 2
2
;
5−33
1
2− 3 7
1
;
3
2 3 +1
3
3
4 −1
3
5
4−39
213)
214)
215)
216)
217)
218)
3
3
7
;
5+3 2
1
;
3
2 3 − 3 22
4
3
a − a−2
3
2m + 2n
3
m2 − 3 n2
3
219)
3
u
3+u − 3 3−u
x2 −1
3
x +1
 2 2 − 3; 3 5 + 15 



18 + 5 10 
5 2 + 6;

2



( x − y )

(
 3
 7x + 2

(
2 
x +1 + y +1 ; 1− 1− m 
m

)
)(
)
3
3

7 x3 + 2 ; 1 − 2 + 4 
3

 3 25 + 3 15 + 3 9; 4 + 2 3 7 + 3 49 


 4 3 9 − 2 3 3 +1
;

25

 3 25 − 3 10 + 3 4; −

(
3
3

16 + 3 4 + 1

)
8 + 3 36 + 3 81 

 4 3 9 + 2 3 66 + 3 484
; ( x − 1)

2

(
3
)

x2 − 3 x + 1 

2 
 3 2 3
3
 2 ⋅  a + a ( a − 2 ) + ( a − 2 )  
2



(
3
)
m4 + 3 m2 n2 + 3 n4 


m−n

2
2 
 2 3
3
2
3
 u  ( 3 + u ) + 9 − u + ( 3 − u )  


2




67
Esempio
4
.
3+ 2− 6
Razionalizziamo il denominatore della frazione
4
=
3+ 2− 6
Applichiamo al denominatore la proprietà associativa; si ottiene:
(
4
;
3+ 2 − 6
)
Ci siamo ricondotti al caso in cui il denominatore della frazione è la differenza di due termini;
moltiplichiamo numeratore e denominatore della frazione per 

4
=
3+ 2− 6
=
4
4
=
=
3+ 2− 6 
3+ 2 − 6

(
(
)
(
(
4⋅

)
3 + 2 + 6  ; si ottiene:

(
)
3 + 2 + 6

=
3 + 2 − 6⋅ 3 + 2 + 6
 

)
(
)
4  3 + 2 + 6 
4  3 + 2 + 6  4  3 + 2 + 6 
=
=
2
2
3
+
2
+
2
6
−
6
2 6 −1
3+ 2 − 6
) ( )
La frazione ottenuta ha al denominatore la differenza di due termini; ripetiamo il procedimento
usato in precedenza e moltiplichiamo numeratore e denominatore per 2 6 + 1 ; si ottiene:
(
) (
)
4  3 + 2 + 6  4  3 + 2 + 6  ⋅ 2 6 + 1 4 2 18 + 3 + 2 12 + 2 + 2 ⋅ 6 + 6
=
=
=
2
2 6 −1
2 6 −1 ⋅ 2 6 +1
2 6 −1
(
)(
)
4 6 2 + 3 + 4 3 + 2 + 12 + 6
=
In definitiva:
(
4
=
3+ 2− 6
24 − 1
(
) = 4(7
4 7 2 + 4 3 + 6 + 12
(
)
2 + 4 3 + 6 + 12
)
23
)
23
Trasforma le seguenti frazioni in frazioni ad esse equivalenti con denominatore razionale:
220)
221)
2 + 3 +1
2
3+ 5− 8
223)
7 + 2 +3
7 + 2 −3
(
2+ 3− 5
)
6

2 + 2 − 6 


4


1
222)
68


12
2+ 3+ 5




(
3+ 5+ 8
15
)
15 



14 + 9 14 + 21 2 + 6 7 


14


224)
225)
 55 + 16 55 − 20 11 − 44 5 


55


5 + 11 − 4
5 + 11 + 4
 2 + 3 − 1


2


2
1− 2 + 3
226)
1
6 − 3 + 10
 7 6 − 13 3 − 10 + 12 5 


71


227)
x
x − y − x+ y
 x y − y x + xy ( x + y ) 


2y




228)
229)
2+ x − 2− x +2
 ( 2 − x ) 4 − x2 − 4 + x2 − 2 ( 2 + x ) 2 − x 


2 ( x − 2)


1
a + 2+ a+4
 ( a + 1) 2 + 3 a − 2a ( a + 4 ) − a + 4 


2 ( 2a − 1)




(2 + x)
2+ x
Esempi
Semplifichiamo, se possibile, i seguenti radicali doppi:
a)
4+ 7 ;
b)
6 − 20 ;
c)
10 − 2 21
a) In questo radicale doppio si ha:
A=4
B=7
⇒ A 2 − B = 16 − 7 = 9 = 32
Possiamo applicare la formula scritta in precedenza; otteniamo:
2
2
4+ 7 = 4+ 3 + 4− 3 = 4+3 + 4−3 = 7 + 1
2
2
2
2
2
2
b) In questo radicale doppio si ha:
A= 6
B = 20
⇒ A 2 − B = 36 − 20 = 16 = 4 2
Possiamo applicare la formula scritta in precedenza; otteniamo:
2
2
6 − 20 = 6 + 4 − 6 − 4 = 6 + 4 − 6 − 4 = 10 − 2 = 5 − 1
2
2
2
2
2
2
c) Osserviamo che il radicale sotto il segno di radice è preceduto dal fattore 2; è necessario, allora,
portarlo sotto il segno di radice. Si ha:
10 − 2 21 = 10 − 4 ⋅ 21 = 10 − 84
69
Al radicale doppio così ottenuto applichiamo il procedimento illustrato in precedenza
A = 10
B = 84
⇒ A 2 − B = 100 − 84 = 16 = 42
Possiamo applicare la formula scritta in precedenza; otteniamo:
2
2
10 − 84 = 10 + 4 − 10 − 4 = 10 + 4 − 10 − 4 = 14 − 6 = 7 − 3
2
2
2
2
2
2
Semplifica i seguenti radicali doppi:
230)
6 + 11 ;
3− 5
 22 + 2
;

2

10 − 2 

2

231)
9 + 17 ;
10 − 19
 34 + 2
;

2

38 − 2 

2

232)
6+2 5 ;
4−2 3
 5 + 1;

3 − 1
233)
7+4 3 ;
7−2 6
 2 + 3;

6 − 1
234)
5+2 6 ;
10 − 3 11
235)
8+ 2 7 ;
13 − 4 10
 7 + 1; 2 2 − 5 


236)
12 + 6 3 ;
16 − 4 15
 3 + 3; 10 − 6 


237)
17 + 4 15 ;
11 − 4 6
 5 + 2 3; 2 2 − 3 


238)
20 + 3 31 ;
14 − 6 5
 62 + 3 2

; 3− 5

2


239)
11 + 7 ;
3
3
4− 4
3
3
 14
6
3
 2 + 6 ; 1− 3 


240)
4+ 1 ;
7
7
3− 1
5
5
 2
10 
14
2
 2 + 14 ; 2 − 10 


241)
7 + 8 ;
15
45
9 − 7
11
11
242)
3x − 8 x 2 ;
9 y 2 + 17 y 4
243)
8b 4 − 39b8 ;
a + a 2 − 25 x 2
70

 3 + 2;

22 − 3 2 

2

 3
30
154 
2
 3 + 15 ; 2 − 22 



 x

(
)


2 − 1 ; y  34 + 2  
2 
 2
 2  26
6
b  2 − 2  ;

 
a + 5x + a − 5x 
2
2 
6 y 3 − 36 y 6 − 49 ;
244)
 6 y3 + 7
6 y3 − 7
−
;

2
2

x + 2 + 8x

x + 2


2 ( 3h + 2 ) + 2 ( 3h − 2 ) 
 2a + 3 − 2 ;

2
2
2




Stabilisci se ciascuno dei seguenti radicali esiste in R e, in caso affermativo, calcolane il valore.
3h − 9h 2 − 4
245)
a + 2 − 2a + 3 ;
246)
−1 ;
3
−1 ;
4
−1
[ ∃; − 1; ∃ ]
−1 ;
6
−1 ;
7
−1
[ −1;
1;
20
1;
35
1
247)
5
248)
∃ ; − 1]
[1; 1; 1]
249)
3
27 ;
3
−27 ;
4
−27
[3; − 3; ∃ ]
250)
4
81 ;
4
−81 ;
5
−243
[3;
251)
3
64 ;
3
−64 ;
6
−64
[ 4; − 4; ∃ ]
252)
3
1 ;
64
3
− 27 ;
64
3
− 125
8
253)
3
125 ;
27
3
− 125 ;
27
3
( − 125
27 )
− 169 ;
4
4
169
4
169 ;
4
254)
255)
2n
3n
2n ;
27 n ;
5n
32n
∃ ; − 3]
1 ; − 3 ; − 5
4
2 
 4
2
 5 ; − 5 ; 25 
 3
3 9 
 13
+ 2 ; ∃ ;

( n ∈ N0 )
26 
2 
 2; 3; 2 


Esempi
Determiniamo il dominio dei seguenti radicali in R:
a)
4
2x −1 ;
b)
3
4 − 2a
a) L’indice della radice è pari; il radicale è un numero reale se e solo se il radicando è non
negativo.
Dobbiamo risolvere la disequazione
2x −1 ≥ 0 .
2 x − 1 ≥ 0 ⇒ 2 x ≥ 1 ⇒ x ≥ 1 ⇒ D =  1 , +∞ 
 2

2
b) L’indice della radice è dispari; il radicale è sempre un numero reale.
Il dominio, dunque, è R.
71
Determina il dominio D dei seguenti radicali in R.
256)
5b + 1 ;
4
1 − 3x
257)
3
2z − 9 ;
8
1 − 3m
2
258)
4
5+2g ;
4 3
4
t +1
t−2
259)
6
1 − 7s ;
2s + 5
9
1 − 4b
2−b
8 − 4x ;
3 − 2x
10
260)
 D =  − 1 , +∞  ; D =  −∞, 1  

 5


3  
 D = R; D =  −∞, 1  

6  

 D =  − 15 , +∞  ; D = −∞,1 ∪ 2, +∞ 
] ] ]
[

 8


D =  − 5 , 1  ; D = R
 2 7 


1− k − 1
1 − 2k 2
 D =  −∞, 3  ∪ 2, +∞ ; D =  −∞, 1  
[
[



2 
2  
Esempio
Semplifichiamo, in R, il seguente radicale:
8
9a 4b6
L’indice della radice è pari; quindi, il radicale è un numero reale se il radicando è non negativo.
Osserviamo che 9a 4b 6 ≥ 0 ∀a, b ∈ R
Semplifichiamo il radicale:
8
9a 4b6 = 4 3a 2b3
L’indice della radice è ancora pari; il radicando, quindi, deve essere non negativo.
3a 2 è non negativo per qualsiasi valore di a, non altrettanto si può dire di b3 .
Per essere sicuri che anche b3 sia non negativo è necessario applicare alla lettera b l’operazione di
valore assoluto. Si ottiene, allora:
8
9a 4b6 = 4 3a 2 b
3
Semplifica i seguenti radicali in R:
261)
4
x12 y 2
;
36 z 4
9
8a 6b12
27c18
262)
15
15
8x y ;
6
81h 6 y8
t2
263)
6
m 2 − 2mn + n 2 ;
m2 n4
72
9
4
100
4
l + 4l 3 + 4l 2
 x6 y

;
2
 6 z

 5 2 x5 y 3 ;


 m−n
3
;
2
 m n
3
3

2a 2b 4 
3c 6 

3
9 h y4 

t



10

l (l + 2) 

264)
12
265)
10
266)
4
267)
4
268)
15
269)
8
125u 6 v 9
3
8u − 36u 2 v + 54uv 2 − 27v 3
4 p 2 q 2 + 8 pq 2 + 2
p8




 2 q ( p + q)
5
p4






 2 4

 y x −1 


16 y 4 8 y 4
−
+ y4
x
x2
(
 5u 2 v 3
4
 2u − 3v

x6 − y 6
x3 + y 3 x 2 + xy + y 2
)(


)
x− y 

 5 m2 
 2n + 1 


8m 6 n3 − 12m 6 n 2 + 6m 6 n − m 6
64n 6 − 24n 4 + 12n 2 − 1
 3a + b
4
 2 b
81a 4 − 18a 2b 2 + b 4
36a 2b 2 − 24ab3 + 4b 4



Semplifica le seguenti espressioni:
270)
(
2 −3
)
2
11 − 6 2 




271)  3 1 + 6 
 2

272)
273)
(
(
2
 21 + 6 3 

 2
)(
5+7 7− 5
4
6− 2
)(
4
)
[ 24]
)
2
(


274)  3 − 5  + 1 + 4 15
2
2 

(
− 2 + 2 


)( 15 − 12 )
15 
 4 
4
(3 + 2 )
276)
5
277)
3
278)
3

43 − 1 −3
2

279)
5
1  5 − 1 − 5 5 −1 + 5


2 
4
4


3
 29 + 27 3 2 + 9 3 4 


− 16 ⋅ 5 2 − 3 − 64
243
125
− 1
27
(
)
)
275)
3
(
3 +1
6+ 2 − 2
18 − 5 −1

2

)
2
15 
− 2 − 1 
3 

2
1 + 2 3 2 + 2 3 4 


 1 5 5 16 
2 − 2 


73
280)
281)
3
(
−27 − 2 2
3
3
282)
283)
284)
285)
(3
3
3
)
3
−1
5 − 5 −32
)
2
(
+2
D =




2
⋅4 2
2
x+ y
x +x y
3
a + 2a + 1 ⋅ 3 8a + 8 ⋅ 3 12
b
b
2
x y − xy
2
x + 2 xy + y 2
2
3
)
 −17 2 − 4 10 


1 − 18
3
1 − 1 :
y2 x2
)
3 10 + 7 2 


− 1000
27
3 :
2
4
(
− 1 1 + 4 5 
 2

125 : 3 −2 + 4 9 ⋅ 4 45 − 4 80 − 2 7 −1
4
16
2
{( x, y ) ∈ R
}
/ x+ y >0∧ x ≠ 0
2
x+ y⋅
D =




D =



2
{( a, b ) ∈ R
{( x, y ) ∈ R
2
2
}
/b≠0




x 


2 ( a + 1) 
b 
}


x+ y
xy 
/ x ≠ 0∨ y ≠ 0
Scrivi sotto forma di potenza con esponente razionale i seguenti radicali:
4
9
286)
7;
3
287)
5 5;
3
11 3 11 3 11
x2 y5 z7 ;
4
a 2 − 4a + 4
288)
289)
3
6
2m − 2n
m3 − mn 2
 1
1  1
 2 − 2 ⋅ x + y
y 
x
290)
3
291)
5
292)
4
74
10
a b
a + 2ab + b 2
2
u
3
u
u
( ) 
 1 2
7 2 ;
3

2
3

13
 34
27 
5
;
11


1
 23 53 73

2
x
y
z
;
a
−
2
(
)


5
 16
6 


2
m
m
+
n
(
)
 
 
 m (m + n) 


 xy 12 y − x 14 
) 
( ) (
xy




3
 2


b
a
a
+
b
)  5 
  (


a+b


 83 
u 
Scrivi sotto forma di radicale le seguenti potenze con esponente razionale.
1
2
293) 2 ;
2
2
3
294) 64 ;
64
295)
()
296)
(121a )
297)
( 32a
9
4
3
2
−1
2
()
5
2 2
b c
( )
( )
;
()
1
4 8
10 20 10


299)   27
  125

3
2
−
− 1
15
)
−2
5
1
2
;
( 64x )
;
3
− 

2
4


298)   
 49  


;
−2
3
4
9
;
()
1
2
1
64
9
4

1 = 2; 1 = 2
 2;
2
2 
2
2

−2
3
16; 1 ; 16 

16

−3
2
 27 ; 8 ; 8 
 8 27 27 
(144u v )
4 6
;
−3
2
( 27 x y z )
3
;
4
6 9 3

5
 11 a ;

(
)
4
8⋅
x;

4 8 12 
1
 4 a 4b8c 4 ; 81 x y z 


3
2




1

9
123 u 6 v 
16 14 


5
 7 
−5
2





−1
 15 
 3 


Semplifica le seguenti espressioni applicando, se possibile, le proprietà delle potenze.
Scrivi poi il risultato ottenuto sotto forma di radicale (razionalizzando, se possibile, il
denominatore della frazione).
2
1
300) 27 5 ⋅ 9 4 ⋅ 3−2 ;

301)  4−3 ⋅ 4−1

(
)
−1
2
5



−1
2
:2
−3
2
: 25
−1
6
 10 37 6 55 
 3 ; 25 


3 2
 4 


−1
3
−1
 1  − 2
−5
302)  7 9  : 49 6  : 7 − 2
 

−1
 1 1 − 3
1 
  2 2

303)   2 ⋅ 3  ⋅ 36 4  

 
 
 − 1 − 1 12
1


304)  3 3 ⋅ 8 3  ⋅ 24 5 





 9 75 


−1
2
 6
 6 
 
− 15
 6
 12 
 
75
 − 1 − 1 − 3 − 131 


305)  3 6 ⋅ 3 2 ⋅ 3 2  

 




306)   4
  9
() ()
1
3
: 3
2
−2
39
 3 
 
−1
1
2
−1
 27  2
 :  ⋅
8 3


1


  −3 −1 12  4 
307)   a ⋅ a
 
 
 

( )
 6 486 
 2 


−1
3
 24 a 7 
 a 


⋅ a −1
3
−1


−4 3
−1

1
3
−1   1 
  −4 
9
3


⋅a  ⋅ a 
308)   b 
 
 
  



 3 b2 
 b 


Esempi
Scomponiamo in fattori le seguenti espressioni:
a)
a)
14 + 2 ;
b) a 2 − 3 ;
d) h 2 + 3 − 2h 3
c) m 3 + 5 ;
14 + 2 = 2 ⋅ 7 + 2 = ( per le proprietà dei radicali ) = 2 ⋅ 7 + 2 =
(
)
= raccogliendo a fattor comune 2 = 2
14 + 2 = 2
Abbiamo ottenuto, quindi:
b) Osserviamo che 3 =
( 3 ) ; quindi
2
a2 − 3 = a2 −
(
(
)
7 +1
)
7 +1
( 3) .
2
L’espressione a 2 − 3 è, dunque, la differenza di due quadrati.
Ricordando che A 2 − B2 = ( A − B )( A + B ) , si ottiene:
( 3 ) = ( a − 3 )( a + 3 )
− 3 = ( a − 3 )( a + 3 )
2
a2 − 3 = a2 −
a2
In definitiva:
c) Osserviamo che 5 =
( 5 ) ; quindi
3
3
m3 + 5 = a 3 +
( 5) .
3
3
L’espressione m 3 + 5 è, dunque, la somma di due cubi.
Ricordando che A 3 + B3 = ( A + B ) ( A 2 − AB + B2 ) , si ottiene:
m3 + 5 = a 3 +
In definitiva:
76
( 5 ) = (m + 5 )(m
3
3
3
(
2
) (
)(
− m 3 5 + 3 52 = m + 3 5 m 2 − m 3 5 + 3 25
)(
m3 + 5 = m + 3 5 m2 − m 3 5 + 3 25
)
)
d) Come osservato al punto b), 3 =
L’espressione h 2 +
( 3)
2
( 3 ) ; quindi
2
h 2 + 3 − 2h 3 = h 2 +
( 3)
2
− 2h 3 .
− 2h 3 è un trinomio nel quale due termini sono quadrati e il terzo
termine è il doppio prodotto delle basi dei due quadrati.
Ricordando che A 2 + 2AB + B2 = ( A + B ) ; otteniamo:
2
In definitiva:
(
h 2 + 3 − 2h 3 = h − 3
)
h2 +
( 3)
2
(
)
2
− 2h 3 = h − 3 .
2
Scomponi in fattori le seguenti espressioni:
309)
42 − 14 ;
12 + 10
310)
18 − 50 ;
24 + 42
311)
108 − 48 ;
312) 7 − 28 ;
3+ 6
5 + 15
313)
3
2a 2 − 3 2a 5 ;
8x + 2 y
314)
4
81d 5 g + 4 dg ;
1 h3 − 9 k 2 h5
4
16
315) 4c 2 − 5 ;
316) 16 − m
b4 − 6
( m ≥ 0) ;
t 2 − 20
317) 36 − y 3 ;
7 + k3
318) x 3 − 2 ;
p6 + 5
319) z − 27 ;
k +8
320) m3 − 1 ;
8
27 h 6 + 1
3
321) 4 − 4 a + a ;
t 2 + 5 + 2t 5
322) 3h + g − 12hg
323) 25 + 4 x + 20 x
324) z 2 − 6 z 2 + 18
Dopo aver scomposto in fattori il numeratore e/o il denominatore, semplifica le seguenti frazioni:
325)
8 − 14 ;
3 2
18 − 45
32 − 80
2− 7 3
 3 ; 4


326)
12 + 21 ;
8+4 7
40 − 35
5
 3

 4 ; 2 2 − 7


77
327)
x2 − 3 ;
x− 3
328)
3b 2 − 3b ;
25b − 5
329)
2a − 14
a+ 7
 x + 3; 2

(
(
)
 3b b + 1

;
5


20 p 2 + 45
28 p 2 + 63

5
7

 3+ y


2


3 + y + 2 3y
12 + 4 y

z − 3 ; z < 0: z + 3
z ≥ 0 :

z+ 3
z− 3

2
2
330) z − 212 z + 3
z −3
2a 2 + a 3 + 2 2 + 2 3
8a 2 + a 12
331)
)
a− 7 

a > 0 : a + 2 

2a 
Risolvi le seguenti equazioni:
{ 5}
332) a 5 + 10 = 3a 5
S =

333) m 3 + 5 = 3m 2

 3 2 + 3 

S = 
3



{ }
334)
(y − 2)
335)
(
336)
( 2k − 3 )(1 + 3 ) = ( k + 3 )(
337)
(t
338)
2
S = 3 2 


4
= 2 ( y − 1)( y + 1)
)(
) (
)(
) (
h − 2 2h + 2 = 2h − 5 2h + 5 − 2 h + 2
)(
) (
)(
) (
341)
78
2 −1
)
2
  2 
S = − 6 

 
)}
5 + 2 

  2 3 − 1 
S =  11 

 
) = ( d − 1) (
2 +1
2 +t
S = −


 2 7 + 3 

S =  10



3 b − b + 3 = 2b − 2b + 1
7
7
28
( d + 2) (
}
S = 3 − 3 


{(
x +1 − 2x = 0
5 −1
5 +1
339) v 2 − v + 1 = 2v
3
6
2
340)

 11 2 
S = − 2 



{
)
3 −1
2 +1 t 2 − 2 − t + 3 t − 3 =
)
2
)
2 −1
3+ 2 2
{(
)}


1 9
S = − 2 + 8 2 
CAPITOLO 14
LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO
14.1 Equazioni di secondo grado e loro classificazione
Luca e Marta sono al bar della città di Mattown per la solita colazione.
Osservando il listino prezzi, si accorgono che i prezzi delle consumazioni sono espressi con
proposizioni matematiche:
caffè
la metà di un numero positivo tale che il suo quadrato sia uguale
al doppio del numero stesso
succo di frutta
numero positivo tale che il quadruplo del suo quadrato sia uguale
al quadrato del più piccolo numero primo dispari
succo di arancia
la metà di un numero positivo tale che la differenza fra il suo
quadrato ed il suo triplo sia uguale al quadrato di un numero
primo pari
cappuccino
cornetto
Luca:
la quarta parte di un numero positivo tale che il quadrato della
differenza del numero stesso con un numero primo pari sia uguale
al numero dei giorni della settimana (approssima il numero a
meno di 1 )
100
il doppio di un numero positivo tale che la somma fra il suo
quadrato ed il suo triplo sia uguale al più piccolo numero dispari
che non sia primo (approssima il numero a meno di 1 )
100
“Che fatica per una colazione! Non ne ho più voglia! E poi, abbiamo, in tutto, solo 4 €;
chissà cosa possiamo prendere!”
Marta: “Dai Luca, che ci vuole? Vedrai non sarà poi così difficile stabilire i prezzi delle
consumazioni. Aspetta, fammi fare un po’ di conti!”
Aiutiamo Marta a stabilire i prezzi delle consumazioni.
Formalizziamo le proposizioni del listino prezzi con i simboli della Matematica e indichiamo con
k ∈ R + il numero da determinare in ciascuna proposizione.
79
La formalizzazione è riportata nella seguente tabella:
Consumazione
Formalizzazione
Prezzo
Caffè
k 2 = 2k
k
2
Succo di frutta
4k 2 = 9
k
Succo di arancia
k 2 − 3k = 4
Cappuccino
( k − 2)
k
2
k
4
Cornetto
k 2 + 3k = 1
2
=7
2k
Osserviamo che ciascuna proposizione è formalizzata da un’equazione di secondo grado;
riduciamole a forma normale:
a) k 2 = 2k ⇒ k 2 − 2k = 0 ;
b) 4k 2 = 9 ⇒ 4k 2 − 9 = 0 ;
c) k 2 − 3k = 4 ⇒ k 2 − 3k − 4 = 0 ;
d) ( k − 2 ) = 7 ⇒ ( k − 2 ) − 7 = 0 ⇒ k 2 − 4k + 4 − 7 = 0 ⇒ k 2 − 4k − 3 = 0 ;
2
2
e) k 2 + 3k = 1 ⇒ k 2 + 3k − 1 = 0 .
Possiamo, allora, generalizzare:
una equazione di secondo grado, in una variabile (in genere, indicata con la lettera x) ,
2
ridotta a forma normale è del tipo ax + bx + c = 0 con a ∈ R − {0} ∧ b, c ∈ R .
Perché a ≠ 0? …………………………………………………………………….. (Completa)
Osserviamo la forma del polinomio al primo membro di ciascuna delle equazioni ottenute:
• nelle equazioni a) e b) il polinomio di secondo grado non è completo;precisamente:
nell’equazione a) manca il termine di grado 0;
nell’equazione b) manca il termine di primo grado;
• nelle equazioni c), d), e) il polinomio di secondo grado è completo.
Classifichiamo, allora, le equazioni di secondo grado in base alla forma del polinomio:
Valori di b e di c (a ≠ 0)
Nome dell’equazione
Forma normale dell’equazione
b=0 ∧ c=0
monomia
ax 2 = 0
b=0 ∧ c≠0
pura
ax 2 + c = 0
b≠0 ∧ c=0
spuria
ax 2 + bx = 0
b≠0 ∧ c≠0
completa
ax 2 + bx + c = 0
80
14.2 Risoluzione di un’equazione di secondo grado
Marta si rende subito conto che è in grado di risolvere le equazioni a), b) e c) perché è possibile
ricondurle ad equazioni di ………… grado; infatti:
a) k 2 − 2k = 0 ⇒ k (.... − ....) = 0 ⇒ k = ..... ∨ k = .....
(Marta applica la legge di ………...……………..…….. ….… ………………………………);
b) 4k 2 − 9 = 0 ⇒
( 2k − 3)( 2k + 3) = 0
c) k 2 − 3k − 4 = 0 ⇒
⇒ k = ± .... ;
....
( k + 1)(.... − ....) = 0
⇒ k = ...... ∨ k = ...... .
Luca: “Brava Marta; mi sembra, però, che le altre equazioni siano un po’ diverse da queste.”
Marta, dopo averci pensato un po’, chiama Luca:
Marta: “Luca, mi è venuta un’idea. Riusciremo a trovare le soluzioni dell’equazione d).
Guarda, se poniamo A = k − 2 , l’equazione d) diventa: A2 = 7; e, quindi:
A 2 = 7 ⇒ A = ± ....
Sostituendo ad A l’espressione precedente, otteniamo:
k − 2 = ± 7 ⇒ k = ..... ± 7 ⇒ k = ..... − 7 ∨ k = ..... + 7 .
Luca: “Bella idea, Marta! Ma, … l’ultima equazione?”
Marta: “Dai Luca, non diamoci per vinti!”
E dopo qualche minuto:
Marta: “Eureka! Luca, ho trovato il modo di risolvere l’ultima equazione.
Stai attento: se al binomio k 2 + 3k aggiungiamo 9 esso diventa il quadrato di (k + …….)
4
Allora, applicando il ……….. principio di equivalenza delle equazioni, trasformiamo
l’equazione:
( ) = 134
k 2 + 3k = 1 ⇒ k 2 + 3k + 9 = 1 + 9 ⇒ k + 3
4
4
2
2
Ponendo A = k + 3 , otteniamo:
2
( ) = 134 ⇒ A = 134 ⇒ A = ±
.... ⇒ k + 3 = ± .... ⇒ k = − .... ± ....
....
2
....
....
2
Le soluzioni dell’equazione sono
k = − 3 − .... ∨ k = − 3 + .... .
2
2
2
2
k+3
2
2
2
Luca e Marta, adesso, sono riusciti a stabilire i prezzi delle consumazioni.
81
Completa, adesso, il listino prezzi:
Consumazione
Formalizzazione
Caffè
k 2 = 2k
k
2
Succo di frutta
4k 2 = 9
k
Succo di arancia
k 2 − 3k = 4
Cappuccino
( k − 2)
k
2
k
4
Cornetto
k 2 + 3k = 1
2
Prezzo
=7
Prezzo in €
2k
Marta e Luca che cosa potranno ordinare per la loro colazione?
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
Osservando il procedimento seguito da Marta per risolvere le precedenti equazioni, possiamo
generalizzare e descrivere come si procede per risolvere i diversi tipi di equazioni di secondo grado.
Equazioni incomplete
Equazione pura: ax 2 + c = 0 .
Si risolve applicando il seguente procedimento:
si porta il termine noto c al secondo membro:
si ricava x2:
x2 = − c
a
si determina x:


x = ± − c ⇒ S = ± − c 
a
a


ax 2 = −c
Osservazione
Ricordiamo che un radicale di indice pari è un numero reale soltanto se il radicando è non
negativo; quindi, poiché c ≠ 0, si ha:
82
a e c discordi ⇒ − c > 0 ⇒ l’equazione ha due soluzioni opposte:
a
x1 = − − c , x2 = + − c
a
a


⇒ S = ± − c 
a

a e c concordi ⇒ − c < 0 ⇒ l’equazione non ha soluzioni in R; quindi S = ∅.
a
Le soluzioni di un’equazione pura, se esistono, sono opposte.
Esempio
Risolviamo le seguenti equazioni pure:
b) y 2 + 4 = 0
a) 2 x 2 − 3 = 0 ;
a) 2 x 2 − 3 = 0
⌦ portiamo al secondo membro il numero −3:
⌦ ricaviamo x 2 :
x2 = 3 ;
2
⌦ determiniamo x:
x=± 3 .
2
2 x2 = 3 ;
Le soluzioni sono x1 = − 3 , x2 = + 3
2
2


L’insieme soluzione è, quindi, S =  ± 3  .
 2
b) y 2 + 4 = 0
Risolviamo questa equazione in due modi:
1) osserviamo che:
∀y ∈ R, y 2 ≥ 0
4>0
⇒ ∀y ∈ R, y 2 + 4 > 0 ⇒ ∀y ∈ R, y 2 + 4 ≠ 0 ⇒ S = ∅
2) i coefficienti a e c dell’equazione sono concordi, quindi − c < 0 ⇒ S = ∅.
a
Equazione spuria: ax 2 + bx = 0
Si risolve applicando il seguente procedimento:
Poiché x è comune ad entrambi i termini del primo membro dell’equazione,
possiamo fare il raccoglimento a fattor comune; si ottiene:
ax 2 + bx = 0 ⇒ x ( ax + b ) = 0
83
Applicando la legge di annullamento del prodotto si ha:
x ( ax + b ) = 0 ⇒ x = 0 ∨ ax + b = 0
Le due soluzioni cercate sono:
x1 = 0 , x2 = − b
a
{
L’insieme soluzione è S = 0, − b
a
}
Osservazione
L’equazione spuria ammette sempre due soluzioni reali e distinte di cui una è x = 0.
Esempio
Risolviamo l’equazione spuria 3 x 2 − 5 x = 0
3x 2 − 5 x = 0 ⇒ x ( 3x − 5 ) = 0 ⇒ x = 0 ∨ 3x − 5 = 0
{ }
x = 0 ∨ x = 5 ⇒ S = 0, 5 .
3
3
Pertanto le soluzioni sono:
Equazione monomia:
ax 2 = 0
Per risolvere questo tipo di equazione è sufficiente ricordare la legge di annullamento del
prodotto:
ax 2 = 0 ⇒ ( poichè a ≠ 0 ) x 2 = 0 ⇒ x = 0 ⇒ S = {0}
PROVA TU
Risolvi le seguenti equazioni incomplete:
a) 4 x 2 − 9 = 0 ;
3x 2 + 5 = 0 ;
2 x2 − 7 = 0 ;
b) x 2 − 2 x = 0 ;
4 x2 + 7 x = 0 ;
3x − 3 x = 0 ;
Equazione completa:
−5 x 2 = 0
1 x2 = 0
2
ax 2 + bx + c = 0
Ripetiamo, nel caso generale, il procedimento seguito da Marta per risolvere le equazioni complete
di secondo grado.
Osserva i seguenti passaggi:
1. consideriamo l’equazione: ax 2 + bx + c = 0
2. Applichiamo il secondo principio di equivalenza e moltiplichiamo per 4a primo e secondo
membro dell’equazione:
4a²x² + 4abx + 4ac = 0
84
(2)
3. trasportiamo il termine noto 4ac al secondo membro:
4a²x² + 4abx = − 4ac
(3)
4. Applichiamo il primo principio di equivalenza e sommiamo il termine b² ad entrambi i
membri dell’equazione (3) :
4a²x² + 4abx +b² = b² − 4ac
(4)
5. il primo membro dell’equazione (4) è il quadrato di un binomio:
(2ax + b)² = b² − 4ac
(5)
2ax + b = ± b 2 − 4ac
(6)
6. da cui :
7. ricaviamo la variabile x dall’equazione (6); si ottiene:
2
x = − b ± b − 4ac
2a
o anche, come si è soliti scrivere,
2
x 1 = − b ± b − 4ac
2a
2
La formula così ottenuta prende il nome di formula risolutiva delle equazioni di secondo
grado.
La formula risolutiva permette di determinare le soluzioni, dette anche radici, di
un’equazione di secondo grado.
In particolare, poiché per convenzione, x1 < x2 , si ha:
la soluzione minore
x1 =
la soluzione maggiore
− b − b 2 − 4ac
2a
x2 =
− b + b 2 − 4ac
2a
Osserviamo che, nella formula risolutiva delle equazioni di secondo grado, è presente un radicale di
indice pari
(
)
b 2 − 4ac ; esso è un numero reale soltanto se il radicando non è negativo.
Dal discriminante… al numero delle soluzioni
L’espressione b 2 − 4ac , che compare sotto il segno di radice, prende il nome di discriminante e
viene indicata con la lettera ∆ (delta) dell’alfabeto greco.
85
In relazione al valore di ∆ = b 2 − 4ac si possono presentare tre casi:
∆ > 0:
l’equazione ammette due soluzioni reali e distinte (x1 ≠ x2)
2
2
2
2


x1 = −b − b − 4ac ; x2 = −b + b − 4ac ⇒ S =  −b − b − 4ac , −b + b − 4ac 
2a
2a
2a
2a


∆ = 0:
si ottiene
x = −b ± 0 ⇒ x = − b
2a
2a
{ }
⇒ S= − b
2a
L’equazione, dunque, ha una sola soluzione.
In questo caso è consuetudine dire che l’equazione ha due soluzioni reali coincidenti oppure
che x = − b è una soluzione doppia.
2a
∆ < 0:
in R non esiste la radice con indice pari di un numero negativo, quindi l’equazione
non ha soluzioni reali; l’equazione, perciò, è impossibile. Quindi, S = ∅.
Per stabilire il numero di soluzioni di un’equazione di secondo grado, è sufficiente determinare
il valore del discriminante e stabilirne il segno, come riportato nella seguente tabella:
∆>0
∆=0
∆<0
2 sol.
1 sol.
0 sol.
Esempi
Stabiliamo il numero delle soluzioni delle seguenti equazioni:
a) 3t 2 − 4t + 1 = 0 ;
b) x 2 + 2 x + 1 = 0 ;
a) I coefficienti di questa equazione sono:
a = 3;
c) 2u 2 + 3u + 5 = 0
b = −4;
c = 1.
Determiniamo il valore del discriminante:
∆ = b 2 − 4ac = ( −4 ) − 4 ⋅ 3 ⋅1 = 16 − 12 = 4 ⇒ ∆ > 0
2
L’equazione ha, dunque, due soluzioni distinte.
b) I coefficienti di questa equazione sono:
a = 1;
b = 2;
c = 1.
Determiniamo il valore del discriminante:
∆ = b 2 − 4ac = ( 2 ) − 4 ⋅1 ⋅1 = 4 − 4 = 0 ⇒ ∆ = 0
2
86
L’equazione, dunque, ha una sola soluzione reale (o due soluzioni reali e coincidenti).
c) I coefficienti di questa equazione sono:
a = 2;
b = 3;
c = 5.
Determiniamo il valore del discriminante:
∆ = b 2 − 4ac = ( 3 ) − 4 ⋅ 2 ⋅ 5 = 9 − 40 = −31 ⇒ ∆ < 0
2
L’equazione, dunque, non ha soluzioni in R.
PROVA TU
Completa la seguente tabella:
Equazione
a
b
c
1
−6
9
∆ = b² − 4ac
n° delle soluzioni reali
2x2 − x − 1 = 0
∆ = 22 − 4(3)(1)
−2
−3
∆ = (−4)2 − 4(…) (…)
5a 2 + 3a − 2 = 0
4
∆ = (…)2 − 4(4)(9)
12
Esempi
Determiniamo l’insieme soluzione delle seguenti equazioni:
a) s 2 + 6 s + 5 = 0 ;
b) 2 x 2 − 7 x + 5 = 0 ;
c) 4 z 2 − 4 z + 1 = 0 ;
d) 2a 2 + 3a − 1 = 0 ;
e) m 2 − 4m − 2 = 0
f) 2 x 2 − 5 x + 4 = 0 ;
a) I coefficienti di questa equazione sono:
a = 1;
b = 6;
c = 5.
Determiniamo il valore del discriminante: ∆ = b² − 4ac = 62 − 4 ⋅1 ⋅ 5 = 36 − 20 = 16 ⇒ ∆ > 0
L’equazione ha due soluzioni distinte; applichiamo la formula risolutiva trovata in precedenza:
s 1 2 = −b ± ∆ ⇒ s 1 2 = −6 ± 16 = −6 ± 4 = ր
ց
2a
2 ⋅1
2
s1 = −6 − 4 = −10 = −5
2
2
s2 = −6 + 4 = −2 = 1
2
2
Quindi, l’insieme soluzione è S = {−5,1} .
b) I coefficienti di questa equazione sono:
a = 2;
b = −7;
c = 5.
Determiniamo il valore del discriminante:
∆ = b² − 4ac = ( −7 ) − 4 ⋅ 2 ⋅ 5 = 49 − 40 = 9 ⇒ ∆ > 0
2
87
L’equazione ha due soluzioni reali distinte; applichiamo la formula risolutiva:
x 1 2 = −b ± ∆ ⇒ x 1 2 = 7 ± 9 = 7 ± 3 = ր
ց
2a
2⋅2
4
x1 = 7 − 3 = 4 = 1
4
4
x2 = 7 + 3 = 10 = 5
4
4 2
{ }
Quindi, l’insieme soluzione è S = 1, 5 .
2
c) I coefficienti di questa equazione sono:
a = 4;
b = −4;
c = 1.
Determiniamo il valore del discriminante:
∆ = b² − 4ac = ( −4 ) − 4 ⋅ 4 ⋅1 = 16 − 16 = 0 ⇒ ∆ = 0
2
L’equazione ha una soluzione reale (o due soluzioni reali coincidenti); in questo caso:
z = − b ⇒ z = − −4 = 1
2a
2⋅4 2
{}
Quindi, l’insieme soluzione è S = 1 .
2
d) I coefficienti di questa equazione sono:
a = 2;
b = 3;
c = −1.
Determiniamo il valore del discriminante:
∆ = b² − 4ac = 32 − 4 ⋅ 2 ⋅ ( −1) = 9 + 8 = 17 ⇒ ∆ > 0
L’equazione ha due soluzioni reali distinte; applichiamo la formula risolutiva:
a1 = −3 − 17
4
a 12 = −b ± ∆ ⇒ a 12 = −3 ± 17 = −3 ± 17 = ր
ց
2a
2⋅2
4
a2 = −3 + 17
4


Quindi, l’insieme soluzione è S =  −3 ± 17  .
4


e) I coefficienti di questa equazione sono:
a = 1;
b = −4;
c = −2.
Determiniamo il valore del discriminante:
∆ = b² − 4ac = ( −4 ) − 4 ⋅1⋅ ( −2 ) = 16 + 8 = 24 ⇒ ∆ > 0
2
L’equazione ha due soluzioni distinte; applichiamo la formula risolutiva trovata in precedenza:
m1 = 2 − 6
2 2± 6
3
2
4
±
2
⋅
3
4
±
2
6
−
b
±
∆
4
±
24
m 12 =
⇒ m 12 =
=
=
=
= 2± 6 = ր
ց
2a
2 ⋅1
4
4
4
m2 = 2 + 6
2
(


L’insieme soluzione, quindi, è S =  2 ± 6  .
 2 
88
)
f) I coefficienti di questa equazione sono:
a = 2;
b = −5;
c = 4.
Determiniamo il valore del discriminante:
∆ = b² − 4ac = ( −5 ) − 4 ⋅ 2 ⋅ 4 = 25 − 32 = −7 ⇒ ∆ < 0 .
2
L’equazione, quindi, non ha soluzioni in R; l’insieme soluzione è S = ∅.
Osservazione
Se, nell’equazione ax 2 + bx + c = 0 , a è negativo, prima di applicare la formula risolutiva, è
opportuno cambiare di segno a tutti i termini dell’equazione moltiplicando primo e secondo
membro per −1.
PROVA TU
Determina l’insieme soluzione delle seguenti equazioni:
−3a 2 + 5a + 2 = 0 ;
4t 2 − 3t − 2 = 0
h 2 + 3h + 1 = 0 ;
2 y 2 + 12 y + 18 = 0
Completa la seguente tabella:
ax 2 + bx + c = 0
a
b
c
x1 , x2
∆
3x 2 + 2 x − 1 = 0
x1 = ………………. ; x2 = ……………….
x2 − 4x + 2 = 0
x1 = ………………. ; x2 = ……………….
9 x 2 + 22 x − 15 = 0
x1 = ………………. ; x2 = ……………….
5x2 − 8x + 3 = 0
x1 = ………………. ; x2 = ……………….
Osserva la tabella e completa le seguenti proposizioni scegliendo il termine opportuno fra quelli
indicati in parentesi:
in ciascuna delle equazioni il coefficiente b è un numero …………………… (pari, dispari);
il valore del discriminate è un multiplo di …….. (3, 4, 5);
le soluzioni delle equazioni sono espresse da frazioni nelle quali sia il numeratore che il
denominatore sono numeri reali contenenti il fattore …… (2, 3, 4).
Generalizziamo e consideriamo l’equazione ax 2 + bx + c = 0 in cui il coefficiente b è pari.
b pari ⇒ b = 2β ⇒ β = b
2
89
L’equazione diventa:
ax 2 + 2 β x + c = 0
Calcoliamo il discriminante:
(
∆ = b 2 − 4ac = ( 2β ) − 4ac = 4β 2 − 4ac = 4 β 2 − ac
2
)
Se ∆ ≥ 0, applichiamo la formula risolutiva:
(
)
2
−2 β ± 2 β 2 − ac
−2 β ± ∆ −2 β ± 4 β − ac
x 12 =
=
=
=
2a
2a
2a
=
(
2 − β ± β − ac
2
2a
) = −β ±
β − ac
2
a
=
−b ±
2
( ) − ac
b
2
a
2
In definitiva, se b è pari e ∆ ≥ 0, la formula che permette di determinare le soluzioni dell’equazione
è la seguente:
x 12 =
()
Osserviamo che b
2
2
−b±
2
( ) − ac
b
2
a
2
2
2
− ac = b − ac = b − 4ac = ∆
4
4
4
Questa formula viene chiamata formula risolutiva ridotta.
Ovviamente, il numero delle soluzioni dell’equazione dipende dal segno di ∆ :
4
∆ > 0 ⇒ l’equazione ha due soluzioni reali e distinte;
4
∆ = 0 ⇒ l’equazione ha una soluzione reale (o due soluzioni reali e coincidenti);
4
∆ < 0 ⇒ l’equazione non ha soluzioni in R.
4
Se b è pari e a = 1 , la formula ridotta diventa x 12 = ...................................... .
Esempio
Risolviamo l’equazione 3 x 2 − 8 x + 5 = 0 .
I coefficienti di questa equazione sono:
Poiché b è pari, si ha
a = 3,
b = −8,
c = 5.
b = −8 = −4 ; determiniamo ∆ :
2 2
4
( ) − ac = ( −4) −15 = 16 −15 = 1 ⇒ ∆4 > 0
∆= b
4
2
2
2
90
L’equazione ha due soluzioni reali e distinte; applichiamo la formula risolutiva ridotta:
x1 = 4 − 1 = 3 = 1
−b± ∆
3
3
4 ⇒ x = 4 ± 1 = 4 ±1 = ր
x 12 = 2
1
2
ց
a
3
3
4
+
1
=5
x2 =
3
3
{ }
Quindi, l’insieme soluzione è S = 1, 5 .
3
Osservazione
Non sempre le equazioni di secondo grado sono scritte in forma normale, ovvero sono del tipo
ax 2 + bx + c = 0 ; prima di applicare la formula risolutiva, allora, è necessario ridurre l’equazione a
forma normale.
Esempio
Risolviamo l’equazione ( x + 1) = 41 − x .
2
Prima di tutto riduciamo l’equazione a forma normale:
innanzitutto calcoliamo il quadrato del binomio al primo termine:
x 2 + 2 x + 1 = 41 − x
trasportiamo i termini del secondo membro al primo membro:
x 2 + 2 x + 1 − 41 + x = 0
sommiamo i termini simili ed ordiniamo secondo le potenze decrescenti della variabile:
x 2 + 3 x − 40 = 0
Adesso, possiamo risolvere l’equazione:
calcoliamo il discriminante:
∆ = b² − 4ac = 32 − 4 ⋅1⋅ ( −40 ) = 9 + 160 = 169 ⇒ ∆ > 0 ;
l’equazione ha due soluzioni reali e distinte;
applichiamo la formula risolutiva:
x 12 = −b ± ∆ ⇒ x 12 = −3 ± 169 = −3 ± 13 = ր
ց
2a
2
2
Quindi, l’insieme soluzione è S = {−8, 5} .
91
x1 = −3 − 13 = −16 = −8
2
2
x2 = −3 + 13 = 10 = 5
2
2
PROVA TU
Dopo averle ridotte a forma normale, risolvi le seguenti equazioni:
a) x 2 = −13 + 4 x ;
2 x − 1 = −15 x 2
b) 4 ( x 2 − x ) = 8 x − 9 ;
3 x − 5 = − x − 3 + 17 + x 2
4
5
20
14.3 Relazione tra i coefficienti di una equazione di secondo grado e le sue soluzioni
Completa la seguente tabella:
Equazione
s2 − s − 6 = 0
a
b
c
1
−1
−6
5
−3
0
3
−4
1
Soluzioni
s1 = −2; s2 = 3
Somma Prodotto
soluzioni soluzioni
1
−6
b
a
c
a
−1
−6
2h 2 − 3h + 1 = 0
x2 + x − 2 = 0
9t 2 − 4 = 0
Osserva la colonna “Somma soluzioni” e quella in cui hai riportato il valore b :
a
la somma delle soluzioni dell’equazione è …………………… all’opposto di ……………. .
Osserva la colonna “Prodotto soluzioni” e quella in cui hai riportato il valore di c :
a
il prodotto delle soluzioni dell’equazione è …………………… a …………… .
Vediamo, adesso, se queste relazioni valgono in generale.
Consideriamo una equazione ax 2 + bx + c = 0 con ∆ ≥ 0; le sue soluzioni sono:
2
x1 = −b − b − 4ac
2a
2
x2 = −b + b − 4ac
2a
e
Eseguiamo la loro somma che indichiamo con s:
2
2
2
2
s = x1 + x2 = −b − b − 4ac + −b + b − 4ac = −b − b − 4ac − b + b − 4ac =
2a
2a
2a
= (i due radicali si annullano perchè opposti) = −2b = − b .
2a
a
In definitiva, si ha
x1 + x2 = − b
a
92
Eseguiamo il prodotto che indichiamo con p:
p = x1 ⋅ x2 = −b − b − 4ac ⋅ −b + b − 4ac =
2a
2a
2
=
2
(
b 2 − b 2 − 4ac
4a
2
)=b
2
( −b )
2
−
(
b 2 − 4ac
4a 2
)
2
=
− b 2 + 4ac = 4ac = c .
4a 2
4a 2 a
x1 ⋅ x2 = c
a
In definitiva, si ha che
In sintesi:
data l’equazione ax 2 + bx + c = 0 (∆ ≥ 0), si hanno le seguenti relazioni:
somma delle soluzioni:
x1 + x2 = − b
a
prodotto delle soluzioni:
x1 ⋅ x2 = c
a
Applicazioni
Vediamo, adesso, come possono essere applicate queste relazioni.
a) Consideriamo, ancora una volta, l’equazione ax 2 + bx + c = 0 (∆ ≥ 0) e indichiamo con s la
somma delle sue soluzioni e con p il prodotto delle stesse soluzioni; quindi:
s = x1 + x2 e p = x1 ⋅ x2
Applichiamo il secondo principio di equivalenza e dividiamo entrambi i membri per a (≠0,
perché ………………..); otteniamo:
x2 + b x + c = 0
a
a
(*)
Per le relazioni precedenti si ha b = − ( x1 + x2 ) e c = x1 ⋅ x2 , sostituendo nell’equazione (*)
a
a
otteniamo:
x 2 − ( x1 + x2 ) x + x1 ⋅ x2 = 0
Poiché s = x1 + x2
e
(**)
p = x1 ⋅ x2 , la (**) diventa:
x 2 − sx + p = 0
(***)
Possiamo, allora, affermare che in una equazione di secondo grado con discriminante non
negativo e coefficiente a = 1, il coefficiente del termine di primo grado è uguale all’opposto
della somma delle sue soluzioni, mentre il termine noto è uguale al prodotto delle soluzioni
stesse.
93
b) Dato un trinomio di secondo grado
ax 2 + bx + c, si chiama equazione ad esso associata
l’equazione che si ottiene uguagliando a zero il trinomio stesso.
Allora, se abbiamo il trinomio ax 2 + bx + c , l’equazione ad esso associata è ax 2 + bx + c = 0.
Consideriamo, adesso, il trinomio ax 2 + bx + c e siano x1 e x2 le soluzioni dell’equazione ad
esso associata.
Operando il raccoglimento a fattor comune, abbiamo:
(
ax 2 + bx + c = a x 2 + b x + c
a
a
)
b = − x + x e c = x ⋅ x , si ottiene:
( 1 2) a 1 2
a
Ricordando che
(
)
(
)
(
a x 2 + b x + c = a x 2 − ( x1 + x2 ) x + x1 ⋅ x2 = a x 2 − x1 ⋅ x − x2 ⋅ x + x1 ⋅ x2
a
a
)
Operando il raccoglimento parziale, scomponiamo il polinomio in fattori; si ottiene:
(
)
a x 2 − x1 ⋅ x − x2 ⋅ x + x1 ⋅ x2 = a ( x ( x − x1 ) − x2 ( x − x1 ) ) = a ( x − x1 )( x − x2 )
In definitiva, si ha che:
ax 2 + bx + c = a ( x − x1 )( x − x2 )
( )
In sintesi, per scomporre in fattori un trinomio di secondo grado dobbiamo:
scrivere l’equazione ad esso associata;
calcolare il suo discriminante:
• se ∆ ≥ 0, determinare le sue soluzioni;
• scrivere il trinomio come prodotto di tre fattori applicando la relazione ( );
• se ∆ < 0, il trinomio è irriducibile.
Queste osservazioni ci permettono di dare una risposta a quesiti di varo tipo; ad esempio:
scrivere una equazione, ridotta a forma normale, della quale sono note le sue soluzioni;
determinare due numeri conoscendo la loro somma ed il loro prodotto;
scomporre in fattori, nell’insieme dei numeri reali, un trinomio di secondo grado;
semplificare alcune frazioni algebriche.
Esempi
a) Determiniamo l’equazione, ridotta a forma normale, che ha come soluzioni i numeri −2 e 3.
Calcoliamo la somma s ed il prodotto p delle soluzioni:
s = −2 + 3 = 1 ;
Sostituendo nell’equazione (***), otteniamo:
p = −2 ⋅ 3 = −6
x 2 − x − 6 = 0 che è l’equazione cercata.
94
b) Determiniamo l’equazione, ridotta a forma normale, che ha come soluzioni i numeri − 3 e 3 .
2 2
Poiché le soluzioni sono opposte, l’equazione è pura.
La somma s = x1 + x2 = − 3 + 3 = 0 , il prodotto p = x1 ⋅ x2 = − 3 ⋅ 3 = − 9 .
2 2
2 2
4
Sostituendo nell’equazione (***), otteniamo:
x2 − 9 = 0 ⇒ 4x2 − 9 = 0
4
che è l’equazione cercata.
c) Determiniamo l’equazione, ridotta a forma normale, che ha come soluzioni i numeri 3 2 e
2.
2
La somma s = x1 + x2 = 3 2 + 2 = 7 2 , il prodotto
2
2
p = x1 ⋅ x2 = 3 2 ⋅ 2 = 3 .
2
Sostituendo nell’equazione (***), otteniamo:
x2 − 7 2 x + 3 = 0 ⇒ 2x2 − 7 2x + 6 = 0
2
che è l’equazione cercata.
d) La somma di due numeri è 1 ed il loro prodotto è − 2 . Quali sono i due numeri?
3
3
Sappiamo che s = 1 e p = − 2 ; sostituendo nell’equazione (***), otteniamo:
3
3
( )
x2 − 1 x + − 2 = 0
3
3
che, ridotta alla forma normale, diventa
3x 2 − x − 2 = 0 .
Risolviamo l’equazione:
calcoliamo il discriminante: ∆ = b 2 − 4ac = ( −1) − 4 ⋅ 3 ⋅ ( −2 ) = 1 + 24 = 25 ⇒ ∆ > 0
2
determiniamo le soluzioni:
x 12 = −b ± ∆ ⇒ x 12 = 1 ± 25 = 1 ± 5 = ր
ց
2a
2⋅3
6
I numeri richiesti, quindi, sono
− 2 e 1.
3
95
x1 = 1 − 5 = −4 = − 2
6
6
3
x2 = 1 + 5 = 6 = 1
6
6
e) Scomponiamo in fattori il trinomio
7 x2 − 6x − 1.
Scriviamo l’equazione associata:
7 x2 − 6x − 1 = 0 ;
( ) − ac = ( −3) − 7 ⋅ ( −1) = 9 + 7 = 16 ⇒
calcoliamo il discriminante: ∆ = b
4
2
2
2
∆ > 0;
4
determiniamo le sue soluzioni:
x1 = 3 − 4 = − 1
−b± ∆
7
7
4 ⇒ x = 3 ± 16 = 3 ± 4 = ր
x 12 = 2
1
2
ց
a
7
7
x2 = 3 + 4 = 7 = 1
7
7
Si ha
a = 7;
x1 = − 1 ;
7
x2 = 1 ; sostituendo nella relazione ( ), otteniamo:
( ) ( x −1) ⇒ ( 7 x + 1)( x −1)
7 x2 − 6 x − 1 = 7 x + 1
7
2x2 − 2x − 2 .
f) Scomponiamo in fattori il trinomio
Scriviamo l’equazione associata:
2x2 − 2x − 2 = 0 ;
(
calcoliamo il discriminante: ∆ = b 2 − 4ac = − 2
)
2
− 4 ⋅ 2 ⋅ ( −2 ) = 2 + 16 = 18 ⇒ ∆ > 0;
determiniamo le sue soluzioni:
x 1 2 = −b ± ∆ ⇒ x 1 2 =
2a
Si ha
a = 2;
x1 = 2 − 3 2 = − 2 2 = − 2
4
4
2
2 ± 18 = 2 ± 3 ⋅ 2 = 2 ± 3 2 = ր
ց
2⋅2
4
4
x2 = 2 + 3 2 = 4 2 = 2
4
4
x1 = − 2 ;
2
2
x2 = 2 ; sostituendo nella relazione ( ), otteniamo:
(
) (


2x2 − 2x − 2 = 2  x + 2  x − 2 = 2x + 2
2 

g) Scomponiamo in fattori il trinomio
Scriviamo l’equazione associata:
calcoliamo il discriminante:
4 x2 − 2x + 1 .
4x2 − 2x + 1 = 0 ;
( ) − ac = ( −1) − 4 ⋅1 = 1 − 4 = −3 ⇒
∆= b
4
2
2
Il trinomio è irriducibile.
h) Semplifichiamo la frazione algebrica
x 2 + 3x − 6 .
x 2 + 3 3x + 6
• Scomponiamo in fattori il numeratore x 2 + 3 x − 6 .
Scriviamo l’equazione associata
)( x − 2 )
x2 + 3x − 6 = 0 ;
96
2
∆ < 0.
4
calcoliamo il discriminante: ∆ = b 2 − 4ac =
( 3)
2
− 4 ⋅1 ⋅ ( −6 ) = 3 + 24 = 27 ⇒ ∆ > 0;
x 1 2 = −b ± ∆ ⇒
2a
determiniamo le soluzioni dell’equazione associata:
x1 = − 3 − 3 3 = − 4 3 = −2 3
2
2
⇒ x 12 = − 3 ± 27 = − 3 ± 3 = − 3 ± 3 3 = ր
ց
2 ⋅1
2
2
x2 = − 3 + 3 3 = 2 2 = 3
2
2
3
Si ha
a = 1;
x1 = 3 ;
x2 = −2 3 ;
applicando la relazione ( ) si ottiene:
(
)(
x2 + 3x − 6 = x − 3 x + 2 3
• Scomponiamo in fattori il denominatore
Scriviamo l’equazione associata
)
x 2 + 3 3x + 6 .
x2 + 3 3x + 6 = 0 ;
( )
calcoliamo il discriminante: ∆ = b 2 − 4ac = 3 3
2
− 4 ⋅1 ⋅ ( +6 ) = 27 − 24 = 3 ⇒ ∆ > 0;
determiniamo le soluzioni dell’equazione associata:
x 12 = −b ± ∆ = −3 3 ± 3 = −3 3 ± 3 = ր
ց
2a
2 ⋅1
2
Si ha
a = 1;
x1 = −2 3 ;
x1 = −3 3 − 3 = − 4 3 = −2 3
2
2
x2 = −3 3 + 3 = − 2 3 = − 3
2
2
x2 = − 3 ; applicando la relazione ( ) si ottiene:
(
)(
x 2 + 3 3x + 6 = x + 2 3 x + 3
)
Riscriviamo la frazione sostituendo al numeratore e al denominatore la loro scomposizione in
fattori; si ottiene:
(
(
)(
)(
)(
) (x − 3)
) (
=
) ( x + 2 3) ( x + 3) ( x + 3)
x 2 + 3x − 6 = x − 3 x + 2 3 =
x2 + 3 3x + 6
x+2 3 x+ 3
x− 3
x+2 3
1
1
PROVA TU
1) Scrivi l’equazione di secondo grado, ridotta a forma normale, che ha come soluzioni:
a) i numeri 2 3 e 4 3 ;
5
b) il numero −3;
c) i numeri 0 e 5;
d) i numeri −4 e 4.
2) Determina due numeri conoscendo la loro somma s ed il loro prodotto p:
a) s = 11 ,
6
p = 6;
b) s = 3,
p = −3;
97
c) s = 4 + 3 ,
2
p= 3
3) Scomponi i seguenti trinomi di secondo grado:
a) x 2 − 7 x + 10 ;
b) 4 x 2 + 3 x − 1 ;
c) x 2 + x − 6 ;
d) 6 x 2 − 5 5 + 5
4) Semplifica le seguenti frazioni algebriche:
2
b) 2 x 2 − 2 2 x − 3
2x − 5 2x + 6
2
a) 3 x2 + x − 2 ;
6 x + 5x − 6
14.4 Equazioni parametriche di secondo grado
Si chiamano equazioni parametriche quelle equazioni in cui, oltre all’incognita, compare un’altra
lettera chiamata
“parametro”; per tali equazioni non si richiede di determinare l’insieme
soluzione, ma di stabilire per quale valore del parametro esse soddisfano determinate condizioni.
Esempi
a) Determina per quali valori del parametro k le soluzioni dell’equazione kx 2 − ( k − 3) x + 1 = 0
sono reali e coincidenti.
Un’ equazione di secondo grado ha due soluzioni reali e coincidenti soltanto se ∆ = 0.
In questa equazione si ha
b = − ( k − 3) ;
a=k;
c=1
∆ = b 2 − 4ac =  − ( k − 3)  − 4k .
2
Calcoliamo il discriminante:
 − ( k − 3)  − 4k = 0 .
2
Dovendo essere ∆ = 0, si ottiene
Risolviamo l’equazione ottenuta:
 − ( k − 3)  − 4k = 0 ⇒ k 2 − 6k + 9 − 4k = 0 ⇒ k 2 − 10k + 9 = 0 ⇒ S = {1,9}
2
k =1 e k = 9
I valori di k che soddisfano la condizione richiesta sono:
b) Determina per quali valori del parametro h le soluzioni dell’equazione 4 x 2 + ( h − 2 ) x + 1 = 0
sono reali.
Un’ equazione di secondo grado ha due soluzioni reali soltanto se ∆ ≥ 0.
In questa equazione si ha
a = 4;
Calcoliamo il discriminante:
Dovendo essere ∆ ≥ 0, si ottiene
b = ( h − 2) ;
c=1
∆ = b 2 − 4ac = ( h − 2 ) − 16 .
2
( h − 2)
2
− 16 ≥ 0 .
Eseguendo le operazioni indicate, si ottiene:
( h − 2)
2
− 16 ≥ 0 ⇒ h 2 − 4h + 4 − 16 ≥ 0 ⇒ h 2 − 4h − 12 ≥ 0 ⇒
( h − 6 )( h + 2 ) ≥ 0
L’insieme soluzione di questa disequazione è S = ]−∞, −2[ ∪ ]6, +∞[ .
La condizione richiesta è verificata da tutti i numeri h tali che h ∈ ]−∞, −2] ∪ [ 6, +∞[ .
98
c) Determina per quale valore del parametro m l’equazione
3mx 2 − ( 5 + m ) x + 1 + m = 0
ha una soluzione nulla.
Un’equazione di secondo grado ha una soluzione nulla se è una equazione spuria; il suo termine
noto, allora, deve essere nullo.
Imponiamo, perciò, c = 0 ; si ottiene:
1 + m = 0 ⇒ m = −1
Il valore di m che soddisfa la condizione richiesta è:
m = −1 .
d) Determinare il valore del parametro l affinché il numero 3 sia soluzione dell’equazione
x 2 − ( 5l + 1) x + 9l = 0 .
Un numero è soluzione di un equazione se, sostituito alla variabile, rende vera l’uguaglianza.
Sostituendo il numero 3 alla variabile x, si ottiene:
9 − ( 5l + 1) ⋅ 3 + 9l = 0 .
Dobbiamo, allora, determinare il valore di l per il quale è vera quest’ultima uguaglianza:
9 − ( 5l + 1) ⋅ 3 + 9l = 0 ⇒ 9 − 15l − 3 + 9l = 0 ⇒ −6l + 6 = 0 ⇒ l = 1
Il valore di l che soddisfa la condizione richiesta è:
l = 1.
e) Determina per quale valore del parametro p, la somma delle soluzioni dell’equazione
2 x 2 − ( p + 1)x + p = 0
è uguale a 3.
Poichè
b
x1 + x 2 = − , deve essere
a
In questa equazione
a = 2;
−
b
= 3.
a
b = − ( p + 1) .
Sostituendo i valori dei coefficienti otteniamo :
−b =−
a
− ( p + 1)
p +1
⇒
=3
2
2
Risolviamo l’equazione:
p +1
= 3 ⇒ p +1 = 6 ⇒ p = 5
2
Il valore di p che soddisfa la condizione richiesta è
99
p = 5.
f) Determina per quale valore del parametro h il prodotto delle soluzioni dell’equazione:
(3h + 2)x 2 − 5(h − 3)x + 1 = 0
8
è uguale a − .
3
Poichè x1 ⋅ x 2 =
c
, deve essere
a
In questa equazione
c = −8 .
a
3
a = 3h + 2 ;
c = 1.
Sostituendo i valori dei coefficienti otteniamo :
c = 1 ⇒ 1 = −8
a 3h + 2
3h + 2
3
Risolviamo l’equazione:
1 = − 8 ⇒ se h ≠ − 2 , 3 = −8 ( 3h + 2 ) ⇒ 3 = −24h − 16 ⇒ 24h = −19 ⇒ h = − 19
3h + 2
3
3
24
Il valore di h che soddisfa la condizione richiesta è
h = − 19 .
24
g) Determina per quale valore del parametro k le soluzioni dell’equazione
4 x 2 − (7 k − 5)x + 3k − 2 = 0
sono reciproche fra loro e scrivi l’equazione corrispondente.
Affermare che le soluzioni sono reciproche vuol dire che x1 = 1 ⇒ x1 ⋅ x2 = 1 ⇒ c = 1
x2
a
In questa equazione
a = 4;
c = 3k − 2 .
Sostituendo i valori dei coefficienti otteniamo :
c = 3k − 2 ⇒ 3k − 2 = 1
a
4
4
Risolviamo l’equazione:
3k − 2 = 1 ⇒ 3k − 2 = 4 ⇒ 3k = 6 ⇒ k = 2
4
Il valore di k che soddisfa la condizione richiesta è
k = 2.
Per scrivere l’equazione corrispondente, sostituiamo al parametro k il valore 2:
4 x 2 − ( 7 ⋅ 2 − 5) x + 3 ⋅ 2 − 2 = 0 ⇒ 4 x 2 − 9 x + 4 = 0.
h) Determina per quale valore del parametro t l’equazione :
(t − 5)
2
x 2 + ( 2t − 1) x − 3 = 0
ha due soluzioni opposte.
Una equazione di secondo grado ha due soluzioni opposte se è una equazione pura con
coefficienti a e c discordi; dovrà, allora essere b = 0 e a ⋅ c < 0 .
100
In questa equazione a = ( t − 5 ) ;
b = 2t − 1;
2
Deve essere, allora,
c = −3.
2t − 1 = 0 ⇒ t = 1 .
2
Osserviamo, inoltre, che a ⋅ c = ( t − 5 ) ⋅ ( −3) < 0 per qualsiasi valore di t ≠ 5 (perché?).
2
Il valore di t che soddisfa la condizione richiesta è t = 1 .
2
PROVA TU
2
Data l’equazione kx − 2 kx + 6 − 2 k = 0 , determina k in modo che:
a) una soluzione sia uguale a 1;
b) una soluzione sia nulla;
c) le soluzioni siano reali;
d) le soluzioni siano opposte.
14.5 Equazioni e problemi
Come già visto nel paragrafo 9.12, esistono nel campo matematico, in quello delle scienze applicate
e nella realtà problemi il cui modello matematico è rappresentato da un’equazione.
In questo paragrafo affrontiamo problemi che hanno come modello matematico una equazione di
secondo grado.
Per la costruzione del modello matematico del problema riprendiamo lo schema del paragrafo 9.12.
Cosa mi chiede il problema?
→ 1. Individuare la richiesta del problema
Quale quantità posso indicare con x?
→ 2. Scegliere l’ incognita (richiesta)
Quali valori può assumere x?
→
Quali elementi dipendono da x?
→ 4. Scrivere altri elementi in funzione di x
Quale relazione mi consente di trovare x?
→ 5. Impostare equazione risolvente
Determino il valore di x
→ 6. Risolvere l’equazione
Posso accettare il valore che ho trovato?
→ 7. Controllare accettabilità della soluzione
Scrivo la risposta al problema
→ 8. Scrivere insieme soluzione o risposta
101
3. Porre condizioni accettabilità o dominio
del problema
Applichiamo lo schema precedente per individuare la soluzione di alcuni problemi.
a) Determina un numero positivo tale che il suo quadrato aumentato del suo doppio sia uguale a 8.
1. Individuare la richiesta del problema
→
2. Assegnare incognita (richiesta)
→ x = numero positivo
3. Porre condizioni accettabilità
→ x∈R+
4. Scrivere altri elementi in funzione di x →
5. Impostare equazione risolvente
→
numero positivo
x 2 = quadrato di x
2x = doppio di x
x2 + 2x = 8
x2 + 2 x = 8 ⇒ x2 + 2 x − 8 = 0
6. Risolvere l’equazione
7. Controllare accettabilità della
soluzione
8. Scrivere insieme soluzione o risposta
→
→
( ) − ac = 1 −1⋅ ( −8) = 1 + 8 = 9 > 0
∆= b
4
2
2
2
−b± ∆
4 = −1 ± 9 = −1 ± 3 ⇒
x 12 = 2
a
1
⇒ x1 = −4 ∨ x2 = 2
−4 ∉R + ⇒ soluzione non accettabile;
2 ∈ R+
⇒ soluzione accettabile.
→ S = {2}} oppure
(Risposta) Il numero richiesto è 2.
b) In un rettangolo la misura di una dimensione supera il triplo della misura dell’altra di 8 cm.
Sapendo che l’area del rettangolo misura 3 cm² , determina le misure dei lati del rettangolo.
Osservazione
In un problema di carattere geometrico, è opportuno costruire, oltre al modello matematico,
anche il modello grafico del problema; quindi, è necessario disegnare la figura che soddisfa le
condizioni poste dal problema.
AB = 3AD + 8
102
1.
Individuare
la
richiesta
del
problema
→
misura dei lati
2. Assegnare incognita (richiesta)
→ x = misura di AD
3. Porre condizioni accettabilità
→ x∈R+
3x = triplo di AD
4. Scrivere altri elementi in funzione
di x
→ 3x + 8 = misura di AB
x ( 3 x + 8 ) = area di ABCD
5. Impostare equazione risolvente
→
x ( 3 x + 8) = 3
x ( 3x + 8) = 3 ⇒ 3x 2 + 8 x − 3 = 0
( ) − ac = 4 − 3 ⋅ ( −3) = 16 + 9 = 25 > 0
∆= b
4
2
→
6. Risolvere l’equazione
7. Controllare accettabilità della
soluzione
→
2
−b± ∆
4 = −4 ± 25 = −4 ± 5 ⇒
x 12 = 2
a
3
3
⇒ x1 = −3 , x2 = 1
3
+
−3 ∉ R ⇒ soluzione non accettabile;
1 ∈ R+
3
→
8. Scrivere la risposta
2
⇒ soluzione accettabile.
AD = 1 cm;
3
AB = 3 ⋅ 1 + 8 = 9 cm.
3
14.6 Equazioni di grado superiore al secondo
Qual è il grado delle seguenti equazioni?
a) ( 2a + 1) ( a 2 − 2 ) = a + 3
⇒ (riduci a forma normale) ……………………… = 0 ,
grado ………….
b) ( h 2 − 3)( h 2 + 2 ) = 0
c)
(y
3
)(
)
−1 y2 + 1 = y2 + 4
⇒
grado ………….
⇒ (riduci a forma normale) ……………………… = 0 ,
grado ………….
d) ( x − 3) ( y 2 + 1) ( x + 2 ) = 0 ⇒ (riduci a forma normale) ……………………… = 0 ,
grado ………….
Come sicuramente hai già notato, tutte le precedenti equazioni hanno grado maggiore di …… .
103
In questo e nei prossimi paragrafi ci occuperemo di particolari equazioni di grado superiore al
secondo in una sola variabile.
Possiamo dare, allora, la seguente definizione:
Un’equazione algebrica a coefficienti reali in una variabile si dice di grado superiore al
secondo se, ridotta a forma normale, è del tipo P ( x ) = 0 , con P ( x ) polinomio di grado n ≥ 3 .
Ad esempio sono di grado superiore al secondo le seguenti equazioni:
x 3 − 2 x 2 − 3x + 6 = 0 ;
x4 −1 = 0 ;
x 3 + 2 x 2 − 5x − 6 = 0
Risolvere, nell’insieme dei numeri reali, un’equazione di questo tipo vuol dire determinare tutte le
sue soluzioni o radici reali e, quindi, determinare tutti gli zeri reali del polinomio P( x) .
• Ricordiamo che si chiama zero di un polinomio il numero reale α per il quale risulta P(α) = 0.
Prima di illustrare i vari procedimenti per la risoluzione di equazioni di grado superiore al secondo,
premettiamo il Teorema fondamentale dell’Algebra ed alcune sue conseguenze:
Il numero delle soluzioni di un’equazione algebrica in una variabile è uguale al grado
dell’equazione stessa.
Conseguenza:
Un’equazione algebrica di grado n a coefficienti reali ammette al massimo n soluzioni
reali.
È possibile dimostrare che le soluzioni non reali di un’equazione algebrica sono sempre in numero
pari ( 0, 2, 4 ,6,….), quindi:
un’equazione algebrica a coefficienti reali di grado dispari ha sempre una soluzione reale.
La risoluzione di equazioni di grado superiore al secondo, ed in particolare la ricerca di formule
risolutive per esse, ha rappresentato per molti secoli un vero problema per i matematici.
Due matematici italiani del Cinquecento, G. Cardano e Scipione del Ferro, riuscirono a determinare
formule risolutive per le equazioni di terzo e di quarto grado, anche se la loro applicazione non è
semplice.
All’inizio del 1800, precisamente nel 1824, il matematico norvegese N. Abel dimostrò che non
esistono formule risolutive per le equazioni di grado superiore al quarto.
E’ importante, comunque, sottolineare che questo non significa che non sia possibile risolvere
equazioni di grado superiore al quarto, ma soltanto che non esiste una formula generale, come ad
esempio per le equazioni di secondo grado e terzo grado, che mette in relazione le sue soluzioni
dell’equazione con i suoi coefficienti reali.
Esaminiamo, comunque, alcune procedimenti che permettono di risolvere particolari equazioni di
grado superiore al secondo.
104
14.7 Equazioni binomie
Osserva il polinomio al primo membro delle seguenti equazioni e completa:
b) 1 b 4 − 1 = 0 ;
16
a) x3 + 27 = 0 ;
c) 4 x 5 − 243 = 0 ;
d) 8 x 6 + 1 = 0
• ciascuno dei polinomi in esame è formato da …… termini e, quindi, esso è un …………….. ;
• in ciascuno dei polinomi in esame è presente il termine di grado ……. ;
• il grado di ciascuno dei polinomi in esame è maggiore di …….. ;
• il grado delle equazioni a) e c) è espresso da un numero ……………… ;
• il grado delle equazioni b) e d) è espresso da un numero ……………… .
Poiché il polinomio a primo membro è un binomio, queste equazioni sono chiamate equazioni
binomie.
Risolviamo le equazioni precedenti.
a) x3 + 27 = 0 ⇒ x3 = −27 .
Poiché l’esponente della potenza è un numero dispari, esiste un solo numero reale che rende vera
l’uguaglianza, quindi:
x3 + 27 = 0 ⇒ x3 = −27 ⇒ x = 3 −27 ⇒ x = −3 ⇒ S = {−3} .
b) 1 b 4 − 1 = 0 ⇒ b 4 − 4 = 0 ⇒ b 4 = 4 .
4
Poiché l’esponente della potenza è un numero pari esistono due numeri reali che, rendono vera
l’uguaglianza, quindi:
1 b 4 − 1 = 0 ⇒ b 4 − 4 = 0 ⇒ b 4 = 4 ⇒ b = ± 4 4 ⇒ b = ± 4 22 ⇒
4
{ }
⇒ b=± 2 ⇒ S= ± 2
c) 4 x 5 − 243 = 0 ⇒ x5 = 243 .
5
Poiché l’esponente della potenza è un numero dispari, esiste un solo numero reale che rende vera
l’uguaglianza, quindi:
4 x 5 − 243 = 0 ⇒ x5 = 243 ⇒ x = 5 243 ⇒
5
4
{ }
⇒ x = 53 = ( razionalizzando ) = 3 5 8 ⇒ S = 3 5 8
5
5
4
d) 8 x 6 + 1 = 0 .
Il binomio 8 x 6 + 1 esprime la somma fra un termine non negativo ed uno positivo; tale somma,
pertanto, non potrà mai essere zero. L’equazione, quindi, non ha soluzioni.
In simboli:
8 x6 + 1 = 0 ⇒ S = ∅
105
Analizzando i risultati ottenuti, notiamo che:
• l'insieme soluzione di entrambe le equazioni di grado dispari è diverso dall’insieme vuoto ed è
formato da un solo numero reale;
• solo l’insieme soluzione di una delle due equazioni di grado pari è diverso dall’insieme vuoto ed
esso è formato da due numeri reali opposti. In particolare, ha soluzioni l’equazione in cui i due
termini sono discordi.
Le osservazioni appena fatte sono di carattere generale.
Si ha, quindi, la seguente definizione:
Si chiama binomia un’equazione del tipo
ax n + b = 0
con n ∈ N 0 e a ≠ 0 .
Casi particolari:
se n = 1, l’equazione binomia è un’ equazione di primo grado;
se n = 2, l’equazione binomia è un’ equazione pura di secondo grado;
se b = 0, l’equazione si riduce all’equazione monomia ax n = 0 ed il suo insieme
soluzione è S = {0} .
Osservazione
Consideriamo l’equazione monomia
3x5 = 0 .
3x5 = 0 ⇒ 3 ⋅ x ⋅ x ⋅ x ⋅ x ⋅ x = 0 .
Per definizione di potenza, possiamo scrivere
Ora, per la legge di annullamento del prodotto, sappiamo che il prodotto di più fattori è zero se
almeno uno di essi è zero.
Si ottiene, allora:
x=0 ∨ x=0 ∨ x=0 ∨x=0 ∨x=0
La soluzione “0” è stata ottenuta cinque volte; si dice, pertanto, che essa è una soluzione reale con
molteplicità 5 oppure che essa ha cinque soluzioni reali coincidenti con la soluzione 0.
Consideriamo, quindi, l’equazione binomia ax n + b = 0 con a ≠ 0 ∧ b ≠ 0 .
b
Per determinarne l’insieme soluzione, ricaviamo x n ; otteniamo: x n = − .
a
A questo punto, è necessario distinguere due casi:
n pari
a e b discordi:
l’equazione ammette due radici reali opposte x = ± n − b , quindi
a


S = ± n − b  ;
a

a e b concordi: l’equazione non ha soluzioni reali, quindi S = ∅;
106
n dispari


l’equazione ammette una sola radice reale x = ± n − b , quindi S =  n − b 
a
 a
Esempi
Risolviamo le seguenti equazioni binomie:
a) 2 x 4 − 32 = 0 ;
b) x 4 + 4 = 0 ;
c) 2 x 3 − 54 = 0 ;
d) x 7 + 1 = 0
128
a) Il grado dell’equazione binomia è espresso da un numero pari (4).
Osserviamo che a e b sono discordi, pertanto l’equazione ha due soluzioni reali opposte.
Applicando il procedimento descritto in precedenza, si ottiene:
2 x 4 − 32 = 0 ⇒ x 4 = 16 ⇒ x = ± 4 16 ⇒ x = ±2 ⇒ S = {±2} .
Osserviamo che saremmo arrivati allo stesso risultato scomponendo in fattori il polinomio al
primo membro ed applicando la legge di annullamento del prodotto.
Infatti:
(
)(
)
2 x 4 − 32 = 0 ⇒ 2 x 2 − 4 x 2 + 4 = 0 ⇒ x 2 − 4 = 0 ⇒ x = ±2 ⇒ S = {±2}
b) Il grado dell’equazione binomia è espresso da un numero pari (4) e cui a e b sono concordi.
L’equazione non ha soluzione reali, quindi S = ∅.
c) Il grado dell’equazione binomia è espresso da un numero dispari (3); pertanto l’equazione ha una
soluzione reale.
Si ottiene:
x 3 = 27 ⇒ x = 3 27 ⇒ x = 3 ⇒ S = {3} .
Osserviamo che saremmo arrivati allo stesso risultato scomponendo in fattori il polinomio al
primo membro ed applicando la legge di annullamento del prodotto.
Infatti:
x 3 − 27 = 0 ⇒ (differenza di due cubi)
(x − 3)(x 2 + 3x + 9) = 0
⇒
⇒ x − 3 = 0 ∨ x 2 + 3x + 9 = 0 ⇒ x = 3
L’equazione di secondo grado x 2 + 3 x + 9 = 0 , avendo discriminante minore di zero non ha
soluzioni reali.
d) Il grado dell’equazione binomia è espresso da un numero dispari (3); pertanto l’equazione ha
una soluzione reale.
Infatti:
{ }
1
x7 + 1 = 0 ⇒ x 7 = −
⇒ x= 7 − 1 ⇒ x=−1 ⇒ S= −1
128
128
2
2
128
107
PROVA TU
1) Senza risolverle, riconosci quali delle seguenti equazioni binomie sono impossibili e quali
ammettono una sola radice reale:
a) 2 x 3 − 15 = 0
b) x 4 + 25 = 0
c) 2 x 6 − 10 = 0
d) x 5 − 243 = 0
e) 2 x 4 = 56
2) Risolvi le seguenti equazioni binomie :
a) 3 x 3 + 81 = 0
b) 3 x 3 + 81 = 0
c) 3 x 4 − 16 = 0
d) 3 x 4 + 16 = 0
ESERCIZIO SVOLTO :
Risolviamo e discutiamo, al variare del parametro reale a, l’equazione binomia ax 4 + 5 = 0 .
Distinguiamo due casi:
• a=0
l’equazione diventa 5 = 0 . Ovviamente è impossibile, quindi S = ∅;
• a≠0
5
esplicitando x 4 si ottiene x 4 = − ;
a
− se a < 0 , l’espressione −
x = ±4 −
5
è positiva; l’equazione ha due radici reali:
a
5


⇒ S = ± 4 − 5  ;
a
a

− se a > 0 l’espressione −
5
risulta negativa; l’equazione non ha soluzioni reali:
a
S = ∅.
PROVA TU
1) Data l’equazione binomia (a + 2 )x 4 − 3 = 0 completa in modo adeguato lo schema seguente :
se a + 2 = 0 ⇒ a = .......... , l’equazione diventa ……………… e risulta ……………….. ;
se a ≠ ......... si ottiene
x 4 = ............... da cui :
se a + 2 > 0 ⇒ a > ........
l’equazione ha …….. soluzioni reali: x = ±....................... ;
se a + 2 < 0 ⇒ a < ........
l’equazione risulta ………………………... .
2) Risolvi e discuti l’equazione binomia x 4 + b − 2 = 0 al variare del parametro b ∈ R .
14.8 Equazioni trinomie
Osserva il polinomio al primo membro delle seguenti equazioni e completa:
a) x 6 − 9 x3 + 8 = 0 ;
b) 4 y 4 + 3 y 2 − 1 = 0 ;
108
c) v10 − 31v5 − 32 = 0 .
• ciascuno dei polinomi in esame è formato da …… termini; esso è un ………………….. ;
• in ciascuno dei polinomi in esame è presente il termine di grado ……. ;
• in ciascuno dei polinomi in esame l’esponente maggiore è il …………… dell’esponente
minore.
Equazioni di questo tipo sono chiamate equazioni trinomie.
Si ha, allora, la seguente definizione:
ax 2 n + bx n + c = 0 , con n ∈ N 0 e a, b, c numeri
Un’equazione si dice trinomia se è del tipo
reali non nulli.
Casi particolari
n = 1 : l’equazione è un’equazione di secondo grado completa, già studiata precedentemente;
n = 2 : l’equazione è un’equazione di quarto grado ax 4 + bx 2 + c = 0 , detta biquadratica.
Determinare l’insieme soluzione di equazioni di questo tipo non è molto difficile.
x 6 − 9 x3 + 8 = 0 .
Risolviamo l’equazione a) :
( )
Poniamo x3 = t ⇒ x 6 = x3
2
= t 2 ; sostituendo nell’equazione, si ottiene
t 2 − 9t + 8 = 0 .
Risolviamo l’equazione di secondo grado ottenuta:
∆ = …………. > 0; t 1 2 = ………………………………..
Sostituiamo a t i valori così determinati; si ottengono le equazioni:
x3 = 1 ⇒ x = 3 1 ⇒ x = 1 ⇒ S1 = {1}
x3 = 8 ⇒ x = 3 8 ⇒ x = 2 ⇒ S2 = {2}
L’insieme soluzione dell’equazione a) è, dunque, S = S1 ∪ S2 = {1, 2} .
4 y4 + 3 y2 −1 = 0 .
Risolviamo l’equazione b):
Questa equazione è un’equazione trinomia di quarto grado, quindi è un’equazione biquadratica.
( )
Poniamo y 2 = a ⇒ y 4 = y 2
2
= a 2 ; sostituendo nell’equazione, si ottiene
Risolviamo l’equazione di secondo grado ottenuta:
∆ = …………. > 0; a 12 = ………………………………..
Sostituiamo a t i valori così ottenuti; si ottengono le equazioni:
{ }
y 2 = 1 ⇒ y = ± 1 ⇒ S1 = ± 1
4
2
2
y 2 = −1 ⇒ S2 = ∅
{ }
L’insieme soluzione dell’equazione b) è, dunque, S = S1 ∪ S2 = ± 1 .
2
109
4a 2 + 3a − 1 = 0 .
Risolviamo l’equazione c):
v10 − 31v5 − 32 = 0 .
Ripetendo il procedimento seguito per le equazioni degli esempi a) e b), poniamo
v5 = .... ⇒ v10 = (....) = b... ; sostituendo nell’equazione, si ottiene ……………..……. .
2
Risolviamo l’equazione di secondo grado ottenuta:
∆ = …………. > 0; b12 = ………………………………..
Sostituiamo a t i valori così ottenuti; si ottengono le equazioni:
v5 = ...... ⇒ v = 5 ..... ⇒ v = ....... ⇒ S1 = {.....}
v5 = ...... ⇒ v = 5 ..... ⇒ v = ....... ⇒ S2 = {.....}
L’insieme soluzione dell’equazione c) è, dunque, S = S1 ∪ S2 = {........, ........} .
Sintetizziamo il procedimento che, in generale, permette di determinare le soluzioni reali
dell’equazione trinomia ax 2 n + bx n + c = 0 :
si opera un cambiamento di variabile ponendo x n = y e, quindi, x 2 n = y 2 ;
l’equazione trinomia si riduce ad un’equazione di secondo grado: ay 2 + by + c = 0 , detta
equazione risolvente dell’equazione trinomia (*);
si determinano le soluzioni y 1 e y2 dell’equazione risolvente;
si risolvono le equazioni binomie x n = y1 e x n = y 2 ;
detti S1 e S2 gli insiemi soluzioni delle equazioni binomie, l’insieme soluzione S
dell’equazione trinomia è S = S1 ∪ S2 .
Esempi :
Risolviamo le seguenti equazioni trinomie:
a) x 8 − 17 x 4 + 16 = 0 ;
b) x 8 + 17 x 4 + 16 = 0
a) Seguiamo lo schema illustrato in precedenza:
• operiamo il cambiamento di variabile:
x4 = y ;
• l’equazione x 8 − 17 x 4 + 16 = 0 si trasforma nell’equazione di secondo grado
y 2 − 17 y + 16 = 0 ;
• determiniamo le soluzioni dell’equazione risolvente: y1 = 1 e y 2 = 16 ;
• risolviamo le equazioni binomie che si ottengono sostituendo ad y i valori ottenuti:
x4 = 1
⇒ x = ±1 ⇒ S1 = {±1} ,
x 4 = 16 ⇒ x = ±2 ⇒ S2 = {±2} ;
• L’insieme soluzione dell’equazione x 8 − 17 x 4 + 16 = 0 è S = S1 ∪ S2 ⇒ S = {±1, ±2} .
110
b) Seguiamo lo schema illustrato in precedenza:
• operiamo il cambiamento di variabile:
x4 = y ;
• l’equazione x8 + 17 x 4 + 16 = 0 si trasforma nell’equazione di secondo grado
y 2 + 17 y + 16 = 0 ;
• determiniamo le soluzioni dell’equazione risolvente: y1 = −1 e y 2 = −16 ;
• risolviamo le equazioni binomie che si ottengono sostituendo ad y i valori ottenuti:
x 4 = −1
⇒ S1 = ∅ ,
x 4 = −16 ⇒ S2 = ∅ ;
• L’insieme soluzione dell’equazione x8 + 17 x 4 + 16 = 0 è S = S1 ∪ S2 ⇒ S = ∅ .
ATTENZIONE
L’equazione x 6 + 9 x 2 + 8 = 0 non è una equazione trinomia perché 6 non è il doppio di 2.
PROVA TU
1) Risolvi le seguenti equazioni trinomie :

 1 3 2 
=
S
 2 ; 2 




a) 32 x 6 − 12 x 3 + 1 = 0
b)
{ }
S = ± 2 


x 8 − 3x 4 − 4 = 0
2) Data l’equazione
ax 6 + bx 3 + c = 0 quale condizione deve essere verificata affinchè essa
ammetta radici reali ? In tal caso quante sono le sue soluzioni reali ?
OSSERVAZIONE
Un’equazione biquadratica ax 4 + bx 2 + c = 0 è una particolare equazione trinomia che si riduce ad
una equazione di secondo grado con la sostituzione di variabile x 2 = y .
Le sue soluzioni reali, se esistono, sono date dalle soluzioni delle due equazioni binomie di secondo
grado x 2 = y1
e x 2 = y 2 , dove y 1 e y 2 sono le soluzioni reali dell’equazione risolvente di
secondo grado.
Un’equazione biquadratica, essendo di quarto grado, può avere , al massimo, quattro soluzioni reali.
Facendo un semplice ragionamento si può osservare che le soluzioni reali della biquadratica
saranno effettivamente quattro se l’equazione risolvente avrà discriminante maggiore di zero
e se entrambe le sue radici sono positive.
111
Quali condizioni devono verificare i coefficienti di un’equazione biquadratica affinchè essa abbia
due sole soluzioni reali ? …………………………………………………………………………. .
E quali condizioni devono essere verificate affinchè essa non abbia alcuna soluzione reale ?
…………………………………………………………………………………………………… .
PROVA TU
1) Risolvi le seguenti equazioni biquadratiche :
{
}
{ }
a) 4 x 4 − 13 x 2 + 3 = 0 ;
b)
x 4 − 2 x 2 − 15 = 0
S = ± 1 , ± 3 ; S = ± 5 


2
c) x 4 + 13 x 2 + 36 = 0 ;
d) 3 x 4 + 10 x 2 + 9 = 0
[S = ∅; S = ∅ ]
2) Senza risolverle, stabilisci il numero di soluzioni reali delle seguenti equazioni biquadratiche :
a) 2 x 4 − 7 x 2 + 3 = 0 ;
b) 2 x 4 + 9 x 2 − 5 = 0 ;
c) 4 x 4 + 5 x 2 + 1 = 0
3) Scrivi un’equazione biquadratica avente per soluzioni i numeri ±
1
2
;± .
2
3
14.9 Equazioni risolubili con particolari sostituzioni
(
)
2
(
)
Ci proponiamo di risolvere l’equazione x 2 − 2 − 5 x 2 − 2 + 6 = 0 .
Probabilmente, la prima cosa che ci viene in mente è quella di svolgere i calcoli indicati e ridurla a
forma normale.
Così facendo, otteniamo un’equazione che presenta al primo membro un polinomio di quarto grado.
Ricorda, però, è sempre opportuno riflettere prima di agire!
(
)
2
(
)
La forma dell’equazione x 2 − 2 − 5 x 2 − 2 + 6 = 0 è simile a quella di un’equazione trinomia, il
primo membro, infatti, è formato da tre termini e sono presenti due potenze i cui esponenti sono uno
il doppio dell’altro.
La differenza è che la base delle potenze non è la variabile dell’equazione (x), ma una espressione
che dipende da essa, cioè una funzione.
Per risolvere questa equazione, possiamo seguire lo schema indicato per la risoluzione delle
equazioni trinomie:
• operiamo il cambiamento di variabile: y = x 2 − 2 ;
•
l’equazione
(x
2
)
2
(
)
− 2 − 5 x 2 − 2 + 6 = 0 si trasforma nell’equazione di secondo grado
y2 − 5 y + 6 = 0 ;
• determiniamo le soluzioni dell’equazione risolvente: y 1 = 2
e y2 = 3 ;
• risolviamo le equazioni che si ottengono sostituendo ad y i valori ottenuti:
112
x 2 − 2 = 2 ⇒ x 2 = 4 ⇒ x = ±2
⇒ S1 = {±2}
{ }
x 2 − 2 = 3 ⇒ x 2 = 5 ⇒ x = ± 5 ⇒ S2 = ± 5
(
)
(
2
)
• L’insieme soluzione dell’equazione x 2 − 2 − 5 x 2 − 2 + 6 = 0 è:
{
}
S = S1 ∪ S2 ⇒ S = ±2, ± 5 .
Adesso generalizziamo.
Equazioni della forma
a ( f ( x) ) + b ( f ( x) ) + c = 0 ,
2n
n
dove f(x) è un’espressione algebrica nella variabile x, come le equazioni trinomie, possono essere
ricondotte ad equazioni di secondo grado operando il cambiamento di variabile ( f ( x ) ) = y .
n
Esempio
 x + 2
 x+2
Risolviamo l’equazione 
 + 3
 − 28 = 0 .
 x 
 x 
4
2
Osserviamo che questa equazione è del tipo a ( f ( x) ) + b ( f ( x) ) + c = 0 ; infatti:
2n
f ( x) = x + 2 ;
x
n
n=2
Operiamo il cambiamento di variabile:
( ) = y;
x+2
x
2
 x + 2
 x+2
2
l’equazione 
 + 3
 − 28 = 0 diventa y + 3 y − 28 = 0 ;
 x 
 x 
4
2
determiniamo le soluzioni dell’equazione di secondo grado ottenuta: y 1 = −7 , y
risolviamo le equazioni che si ottengono sostituendo ad y i valori ottenuti:
 x + 2
 x + 2
x + 2 = 2 ∨ x + 2 = −2 ⇒

 =4 ⇒ 
 = ±2 ⇒
x
x
 x 
 x 
2
⇒ x = 2, x = −
{ }
2
⇒ S1 = − 2 , 2 ,
3
3
 x + 2

 = −7 ⇒ S 2 = ∅
 x 
2
 x + 2
 x+2
L’insieme soluzione dell’equazione 
 + 3
 − 28 = 0 è:
 x 
 x 
4
2
{ }
S = S1 ∪ S2 ⇒ S = − 2 , 2 .
3
113
2
= 4;
PROVA TU
Mediante opportune sostituzioni, riconduci le seguenti equazioni ad equazioni di secondo grado e
risolvile in R:
(
) (
(
)
{ }
S = {± 2; ± 3}


)
4
S = ± 3 


2
a) x 2 − 1 − x 2 − 1 − 12 = 0
b) x 2 − 1
10
(
)
5
− 33 x 2 − 1 + 32 = 0
14.10 Equazioni reciproche
Consideriamo le seguenti equazioni:
a) 3 x 3 + 7 x 2 − 7 x − 3 = 0 ;
b) 6b 4 − 5b3 − 38b 2 − 5b + 6 = 0 ;
c) 12t 4 + 25t 3 − 25t − 12 = 0 ;
d) 12 p 5 + 8 p 4 − 45 p 3 − 45 p 2 + 8 p + 12 = 0 .
Osserviamo che:
• tutte le equazioni sono ridotte a forma normale;
• il polinomio è ordinato secondo le potenze decrescenti della variabile.
Spostiamo, adesso, la nostra attenzione sui coefficienti dei termini del polinomio; notiamo che:
nelle equazioni a) e c)
i coefficienti del primo ed ultimo termine sono opposti;
i coefficienti del secondo e penultimo termine sono opposti.
nelle equazioni b) e d)
i coefficienti del primo ed ultimo termine sono uguali;
i coefficienti del secondo e penultimo termine sono uguali;
i coefficienti del terzo e terzultimo termine sono uguali (equazione g)).
Possiamo, allora, dire che in queste equazioni i termini equidistanti dagli estremi sono uguali
oppure opposti.
Risolviamo l’equazione a):
3x3 + 7 x 2 − 7 x − 3 = 0
Osserviamo che la somma dei coefficienti del polinomio è zero, quindi esso è divisibile per
( x − 1) ; scomponendo in fattori, allora, otteniamo:
3x3 + 7 x 2 − 7 x − 3 = 0 ⇒
( x − 1) ( 3x 2 + 10 x + 3) = 0 ;
applichiamo la legge di annullamento del prodotto:
• x − 1 = 0 ⇒ x = 1 ⇒ S1 = {1}
{ }
S = S ∪ S = {−3, − 1 ,1} .
3
• 3 x 2 + 10 x + 3 = 0 ⇒ x1 = −3, x2 = − 1 ⇒ S2 = −3, − 1
3
3
L’insieme soluzione del’equazione è
1
2
114
Risolviamo l’equazione b):
6b 4 − 5b3 − 38b 2 − 5b + 6 = 0
Applicando due volte il teorema del resto, otteniamo:
6b 4 − 5b3 − 38b 2 − 5b + 6 = 0 ⇒
( b + 2 ) ( 6b3 − 17b 2 − 4b + 3) = 0
(
⇒
)
⇒ ( b + 2 )( b − 3) 6b 2 + b − 1 = 0 ;
applichiamo la legge di annullamento del prodotto:
• b + 2 = 0 ⇒ b = −2 ⇒ S1 = {−2}
• b − 3 = 0 ⇒ b = 3 ⇒ S2 = {3}
{
}
• 6b 2 + b − 1 = 0 ⇒ b1 = − 1 , b2 = 1 ⇒ S3 = − 1 , 1 .
2
3
2 3
{
}
L’insieme soluzione dell’equazione è l’insieme S = S1 ∪ S2 ∪ S3 = −2, − 1 , 1 ,3 .
2 3
La stessa equazione può essere risolta senza scomporre il polinomio in fattori.
Dividiamo, infatti, il polinomio per b2 (divisione lecita, perché?); si ottiene:
6b 4 − 5b3 − 38b 2 − 5b + 6 = 0 ⇒ 6b 2 − 5b − 38 − 5 + 62 = 0 ;
b b
osserviamo che il primo e l’ultimo termine del polinomio hanno in comune il fattore 6, il
secondo ed il penultimo termine hanno in comune il fattore 5; operiamo dunque il raccoglimento
parziale:
( )
6b 2 − 5b − 38 − 5 + 62 = 0 ⇒ 6  b 2 + 12  − 38 − 5 b + 1 = 0
b b
b
b 

( ) − 2 ; sostituendo nell’equazione precedente si ha:


6  b + 1  − 38 − 5 ( b + 1 ) = 0 ⇒ 6 (1 + 1 ) − 2  − 38 − 5 (1 + 1 ) = 0
b
b
b
b 



Osserviamo che b 2 + 12 = b + 1
b
b
2
2
2
2
Ponendo b + 1 = h , l’equazione diventa:
b
(
)
6 h 2 − 2 − 38 − 5h = 0
L’ultima equazione è un’equazione di secondo grado; dopo averla ridotta a forma normale,
determiniamone l’insieme soluzione:
6h 2 − 12 − 38 − 5h = 0 ⇒ 6h 2 − 5h − 50 = 0 ⇒ h1 = − 5 , h2 = 10
2
3
( )
Poiché h = b + 1 , otteniamo le seguenti equazioni:
b
115
{
}
b + 1 = − 5 ⇒ 2b 2 + 5b + 2 = 0 ⇒ b1 = −2, b2 = − 1 ⇒ S1 = −2, − 1 ;
2
2
2
b
{ }
b + 1 = 10 ⇒ 3b 2 − 10b + 3 = 0 ⇒ b1 = 1 , b2 = 3 ⇒ S2 = 1 ,3
b 3
3
3
L’insieme soluzione dell’equazione è
Risolviamo l’equazione c):
{
}
S = S1 ∪ S2 = −2, − 1 , 1 ,3 .
2 3
12t 4 + 25t 3 − 25t − 12 = 0 .
Osserviamo che la somma dei coefficienti dei termini del polinomio è zero, quindi il polinomio è
divisibile per t − 1 ; inoltre è facile verificare che −1 è una radice del polinomio, quindi esso è
divisibile anche per t + 1 .
Scomponendo in fattori l’equazione data, si ottiene:
12t 4 + 25t 3 − 25t − 12 = 0 ⇒
( t − 1)( t + 1) (12t 2 + 25t + 12 ) = 0 ;
applichiamo la legge di annullamento del prodotto:
t − 1 = 0 ⇒ t = 1 ⇒ S1 = {1} ;
t + 1 = 0 ⇒ t = −1 ⇒ S2 = {−1} ;
{
}
12t 2 + 25t + 12 = 0 ⇒ t1 = − 4 , t2 = − 3 ⇒ S3 = − 4 , − 3 .
3
4
3 4
{
}
L’insieme soluzione dell’equazione è S = S1 ∪ S2 ∪ S3 = − 4 , −1, − 3 ,1
3
4
Risolviamo l’equazione g):
12 p 5 + 8 p 4 − 45 p 3 − 45 p 2 + 8 p + 12 = 0 .
Verifica che, applicando più volte il teorema del resto e successivamente la legge di
{
}
annullamento del prodotto, l’insieme soluzione dell’equazione è S = − 3 , −1, − 2 , 1 , 2 .
2
3 2
Possiamo riepilogare i risultati ottenuti nella seguente tabella:
Equazione
Coefficienti dei termini
equidistanti dagli estremi
3x3 + 7 x 2 − 7 x − 3 = 0
opposti
6b 4 − 5b3 − 38b 2 − 5b + 6 = 0
uguali
12t 4 + 25t 3 − 25t − 12 = 0
opposti
12 p 5 + 8 p 4 − 45 p 3 − 45 p 2 + 8 p + 12 = 0
uguali
116
Insieme soluzione
{ }
S = {−2, − 1 , 1 , 3}
2 3
S = {− 4 , −1, − 3 ,1}
3
4
S = {− 3 , −1, − 2 , 1 , 2}
2
3 2
S = −3, − 1 ,1
3
Osserviamo la colonna “Insieme soluzione”: gli insiemi soluzione di ciascuna delle precedenti
equazioni hanno qualcosa in comune?
l’equazione 3 x 3 + 7 x 2 − 7 x − 3 = 0 ha, fra le soluzioni, i numeri −3 e − 1 ; questi due numeri
3
sono uno il reciproco dell’altro;
l’equazione 6b 4 − 5b3 − 38b 2 − 5b + 6 = 0 ha, fra le soluzioni, i numeri −2 e − 1 che sono
2
uno il reciproco dell’altro, così come 3 e 1 che sono uno il reciproco dell’altro;
3
l’equazione 12t 4 + 25t 3 − 25t − 12 = 0 ha, fra le soluzioni, i numeri − 4 e − .... che sono
3
....
uno il ……………… dell’altro;
l’equazione 12 p 5 + 8 p 4 − 45 p 3 − 45 p 2 + 8 p + 12 = 0 ha, fra le soluzioni, i numeri 2 e 1
2
che sono uno il ……………… dell’altro, così come
− 3 e − 2 che sono uno il
2
....
………………… dell’altro.
Possiamo, allora, generalizzare (ed è possibile anche dimostrare):
Equazioni (ridotte a forma normale e ordinate secondo le potenze decrescenti della variabile di
grado n ≥ 3 ) nelle quali i coefficienti dei termini estremi e di quelli equidistanti dagli estremi
sono uguali o opposti, se hanno come soluzione un numero reale a, allora hanno come
soluzione anche il suo reciproco 1 .
a
Per questo motivo, equazioni di questo tipo prendono il nome di equazioni reciproche.
Possiamo dare, allora, la seguente definizione.
Si dice reciproca un’equazione del tipo P ( x) = 0 dove P (x) è un polinomio ordinato secondo
le potenze decrescenti o crescenti dell’a variabile x nel quale i coefficienti dei termini estremi e
di quelli equidistanti dagli estremi sono uguali o opposti.
Inoltre:
se i coefficienti dei termini estremi e di quelli equidistanti dagli estremi sono uguali
l’equazione si dice di prima specie;
se i coefficienti dei termini estremi e di quelli equidistanti dagli estremi sono opposti
l’equazione si dice di seconda specie .
117
Osservando ancora la tabella precedente, possiamo dedurre che:
• equazioni reciproche di grado dispari hanno, fra le soluzioni, il numero 1 se i coefficienti
dei termini equidistanti dagli estremi sono opposti (equazioni reciproche di prima specie);
hanno, fra le soluzioni, il numero −1 se i coefficienti dei termini equidistanti dagli estremi
sono uguali (equazioni reciproche di seconda specie);
• equazioni reciproche di grado pari hanno, fra le soluzioni, i numeri 1 e −1 solo se i
coefficienti dei termini equidistanti dagli estremi sono opposti (equazioni reciproche di
seconda specie).
Le proprietà dedotte con le precedenti osservazioni sono generali.
Infatti, è possibile dimostrare, applicando il teorema del resto, al polinomio P (x) , che un’equazione
reciproca:
• di grado dispari di prima specie ammette sempre come soluzione − 1 ;
• di grado dispari di seconda specie ammette sempre come soluzione 1 ;
• di grado pari di seconda specie ammette sempre come soluzioni 1 e −1 .
Osservazione
Le equazioni reciproche di terzo grado, oltre che con l’applicazione del Teorema del resto, possono
essere abbassate di grado anche attraverso il raccoglimento parziale, come illustrato nell’esempio
seguente.
Puoi scegliere, quindi, in quale modo abbassarle di grado; forse, in presenza di coefficienti
irrazionali o letterali è preferibile applicare il Teorema del resto.
Esempio
Risolviamo l’equazione reciproca di terzo grado di prima specie, x 3 − 4 x 2 − 4 x + 1 = 0 .
Applicando la proprietà commutativa e associativa, possiamo scrivere:
x 3 − 4 x 2 − 4 x + 1 = 0 ⇒ ( x3 + 1) − ( 4 x 2 + 4 x ) = 0 ;
Scomponendo in fattori
(x
3
) (
(x
3
)
+ 1 (somma di due cubi) e
)
(
( 4x
2
)
+ 4 x , si ottiene:
)
+ 1 − 4 x 2 + 4 x = 0 ⇒ ( x + 1) x 2 − x + 1 − 4 x( x + 1) = 0 ;
Possiamo, adesso, operare il raccoglimento a fattor comune, perché i due termini della somma
algebrica hanno un fattore uguale ( x + 1 ); si ha, quindi:
(x + 1)(x 2 − x + 1) − 4 x(x + 1) = 0
(
)
⇒ ( x + 1) ( x 2 − x + 1 − 4 x ) = 0 ⇒ ( x + 1) x 2 − 5 x + 1 = 0
118
Applicando la legge di annullamento del prodotto, si ottengono le due equazioni:
x + 1 = 0 ⇒ x = −1 ⇒ S1 = {−1} ;


x 2 − 5 x + 1 = 0 ⇒ x 1 2 = 5 ± 21 ⇒ S2 =  5 ± 21 
2
 2 


L’insieme soluzione dell’equazione data è S = S1 ∪ S2 ⇒ S = 1, 5 ± 21  .
2


Osserviamo che le soluzioni x1 = 5 − 21 e x2 = 5 + 21 sono effettivamente una la reciproca
2
2
dell’altra in quanto il loro prodotto è 5 − 21 ⋅ 5 + 21 = 1 .
2
2
PROVA TU
1) Stabilisci se le seguenti equazioni reciproche sono di prima o seconda specie :
a) 2 x 3 − 9 x 2 + 9 x − 2 = 0
I
II
b) 3c3 − 5c 2 − 5c + 3 = 0
I
II
c) z 4 − 4 z 3 − 3 z 2 − 4 z + 1 = 0
I
II
d) 2t 4 − 3t 3 + 3t − 2 = 0
I
II
e) 5m5 − 3m 4 − 2m3 + 2mx 2 + 3m − 5 = 0
I
II
2) Completa le seguenti equazioni in modo che risultino reciproche di prima specie:
a) −2 y 3 + 7 y 2 .............................. = 0 ;
b)
.....b 4 − 5b3 ..................... + 7 = 0
3) Completa le seguenti equazioni in modo che risultino reciproche di seconda specie:
a) 3s 5 − s 4 + ....... − 4 s 2 .................... = 0 ;
b) a 3 − ......... + 2..................... = 0
4) Osservando che un’equazione reciproca di quarto grado seconda specie si può scrivere nella
forma ax 4 + bx 3 − bx − a = 0 , dimostra che essa ha, sempre, x = ±1 come soluzioni.
Riassumiamo, negli esempi seguenti, i procedimenti che consentono di risolvere equazioni
reciproche di prima e seconda specie.
Esempi
Risolviamo l’equazione 4 x 3 − 13 x 2 − 13 x + 4 = 0 .
Prima di tutto classifichiamo l’equazione.
119
Osservando i suoi coefficienti possiamo dire che è una equazione reciproca di terzo grado di
prima specie. Quindi:
• essa ammette la soluzione x = −1 ;
• il polinomio a primo membro è divisibile per il binomio x + 1 ed il quoziente è 4 x 2 − 17 x + 4 ;
(
)
• l’equazione diventa ( x + 1) 4 x 2 − 17 x + 4 = 0 ;
• applicando la legge di annullamento del prodotto si ottiene:
x + 1 = 0 ⇒ x = −1 ⇒ S1 = {−1} ;
4 x 2 − 17 x + 4 = 0 ⇒ x = 4 , x =
{ }
1
⇒ S2 = 1 , 4 ;
4
4
{
}
• L’insieme soluzione dell’equazione 4 x 3 − 13 x 2 − 13 x + 4 = 0 è S = S1 ∪ S2 = −1, 1 , 4 .
4
Risolviamo l’equazione 5 x 3 − 31x 2 + 31x − 5 = 0 .
Classifichiamo l’equazione.
Completa
Osservando i suoi coefficienti possiamo dire che è una equazione reciproca di terzo grado di
……………. specie. Quindi:
• ammette la soluzione x = 1 ;
• il polinomio a primo membro è divisibile per il binomio …...... ed il quoziente è
……………………………………...;
• l’equazione diventa ( x − 1)(.................................) = 0 ;
• applicando la legge di annullamento del prodotto, si ottiene:
• x − 1 = 0 ⇒ x = 1 ⇒ S1 = {1} ;
• ……………………….. = 0 ⇒ x = 5, x = ……. ⇒ S2 = {......,5} ;
• L’insieme soluzione dell’equazione 5 x 3 − 31x 2 + 31x − 5 = 0 è S = S1......S2 = {1,.......,5} .
Risolviamo l’equazione 3 x 4 − 4 3 x 3 + 4 3 x − 3 = 0 .
Classifichiamo l’equazione.
Osservando i suoi coefficienti possiamo dire che è una equazione reciproca di quarto grado di
seconda specie. Quindi:
• ammette le due soluzioni x = −1, x = 1 ;
• il polinomio a primo membro è divisibile sia per il binomio x + 1 che per il binomio x − 1 ;
• scomponendo
il
(x − 1)(x + 1)(3x 2 − 4
fattori
)
il
polinomio
3x + 3 = 0 ;
120
a
primo
membro,
l’equazione
diventa
• applicando la legge di annullamento del prodotto, si ottiene:
x − 1 = 0 ⇒ x = 1 ⇒ S1 = {1} ;
x + 1 = 0 ⇒ x = −1 ⇒ S2 = {−1} ;
3x 2 − 4 3 x + 3 = 0 ⇒ x = 3 , x =


⇒ S3 =  3, 1 
3
3

1


• L’insieme soluzione dell’equazione è l’insieme S = S1 ∪ S2 ∪ S3 = −1,1, 1 , 3  .
3


Risolviamo l’equazione 12 x 4 + 4 x 3 − 41x 2 + 4 x + 12 = 0 .
Osservando i suoi coefficienti possiamo dire che essa è una equazione reciproca di quarto grado
di prima specie.
È possibile determinarne le soluzioni scomponendo in fattori il polinomio al primo membro e
applicando, successivamente, la legge di annullamento del prodotto.
Seguiremo, invece, un'altra strada:
• dividiamo tutti i termini
per
x 2 , operazione lecita in quanto x = 0 non è soluzione
dell’equazione; si ottiene:
12 x 4 + 4 x 3 − 41x 2 + 4 x + 12 = 0 ⇒ 12 x 2 + 4 x − 41 + 4 + 122 = 0
x x
• operiamo un raccoglimento parziale: fra il primo ed ultimo termine raccogliamo a fattor
comune il fattore 12, fra il secondo e il penultimo termine il fattore 4; si ha:
( )
12 x 2 + 4 x − 41 + 4 + 122 = 0 ⇒ 12  x 2 + 12  + 4 x + 1 − 41 = 0
x x
x
x 

• operiamo un cambiamento di variabile:
(
x+
1
= t ⇒ x 2 + 12 = t 2 − 2 ;
x
x
)
• l’equazione precedente diventa: 12 t 2 − 2 + 4t − 41 = 0 ⇒ 12t 2 + 4t − 65 = 0 ;
• risolvendo l’equazione di secondo grado, si ottiene t = − 5 , t = 13 ;
2
6
• sostituendo i valori di t così ottenuti, otteniamo le due equazioni:
{ }
⇒ S = { 2 , 3}
3 2
x + 1 = − 5 ⇒ x = 1 , x = 2 ⇒ S1 = 1 , 2
x
2
2
2
x + 1 = 13 ⇒ x = 2 , x = 3
x 6
3
2
2
{
}
• L’insieme soluzione dell’equazione è l’insieme S = S1 ∪ S2 = 1 , 2, 2 , 3 .
2
3 2
121
PROVA TU
1) Risolvi le seguenti equazioni reciproche:
{
}
S = −1,1 5 , 3 
 {
3 5}
S = −2, − 1 , 1 , 4 
 {
2 4 }
S = 1, −7, − 1 
7 

a) 7 x 3 + 43 x 2 − 43 x − 7 = 0
b) 15s 4 − 34 s 3 + 34 s − 15 = 0
c) 8 x 4 − 14 x 3 − 69 x 2 − 14 x + 8 = 0


1 

S = −1,1, 3,
3 


d) 3 x 4 − 4 3 x 3 + 4 3 x − 3 = 0
2) Risolvi la seguente equazione reciproca di quarto grado di prima specie senza applicare la legge
di annullamento del prodotto:
{
}
S = 1, 2 , 5 

5 2 
10 x 4 − 49 x 3 + 78 x 2 − 49 x + 10 = 0
14.11 Equazioni riconducibili ad equazioni di primo e secondo grado mediante la
scomposizione in fattori
Nei paragrafi precedenti abbiamo imparato a risolvere particolari equazioni di grado superiore al
secondo.
In altri casi, la legge di annullamento del prodotto rappresenta uno strumento molto utile per la
risoluzione di questo tipo di equazioni.
Infatti, equazioni che si presentano nella forma P1(x) ⋅ P2(x) ⋅ ….. ⋅ Pn(x) = 0, (dove P1(x), P2(x),
….., Pn(x)
sono polinomi di primo o secondo grado) si risolvono applicando la legge di
annullamento del prodotto e, quindi, trovando i valori di x che annullano ogni singolo fattore.
Ad esempio, consideriamo l’equazione (3 x − 1)( x 2 − 3 x)( x 2 + 4) = 0 .
Per determinare le sue soluzioni è sufficiente applicare la legge di annullamento del prodotto
ottenendo, così, equazioni di primo e secondo grado:
{}
3 x − 1 = 0 ⇒ x = 1 ⇒ S1 = 1 ;
3
3
x 2 − 3 x = 0 ⇒ x = 0 , x = 3 ⇒ S2 = {0, 3} ;
x 2 + 4 = 0 ⇒ S3 = ∅.
{
}
L’insieme soluzione dell’equazione (3 x − 1)( x 2 − 3 x)( x 2 + 4) = 0 è S = S1 ∪ S2 = 0, 1 , 3 .
3
122
Risolviamo l’equazione ( x − 1) ( x 2 + 5) = 0 .
4
Ancora una volta applichiamo la legge di annullamento del prodotto:
(x − 1)4
= 0 ⇒ x − 1 = 0 (ripetuto 4 volte) ⇒ x = 1 (soluzione con molteplicità 4) ⇒ S1 = {1} ;
x2 + 5 = 0 ⇒
S2 = ∅ .
L’insieme soluzione dell’equazione ( x − 1) ( x 2 + 5) = 0 è S = S1 = {1} .
4
Osserviamo che, per determinare l’insieme soluzione di queste equazioni, abbiamo risolto equazioni
di primo e secondo grado; si dice, allora, che le equazioni sono state abbassate di grado.
Talvolta, (secondo esempio), le soluzioni di una equazione possono non essere distinte; se una
soluzione è presente, ad esempio, s volte si dice che essa compare con molteplicità s.
In generale, allora, abbassare di grado un’equazione algebrica vuol dire scriverla come prodotto
di due o più fattori, ciascuno di essi di grado inferiore a quello dell’equazione data.
Esempi
Risolviamo l’equazione x 3 − 2 x 2 − 3 x + 6 = 0
Il polinomio x3 − 2 x 2 − 3 x + 6 è scomponibile in fattori:
operando il raccoglimento parziale si ottiene:
x 3 − 2 x 2 − 3 x + 6 = x 2 ⋅ ( x − 2) − 3 ⋅ ( x − 2) = ( x − 2) ⋅ ( x 2 − 3) ,
è possibile, allora, abbassare di grado l’equazione; si ha:
x 3 − 2 x 2 − 3 x + 6 = 0 ⇒ ( x − 2) ⋅ ( x 2 − 3) = 0 ;
applicando la legge di annullamento del prodotto, si ottengono le seguenti equazioni:
x − 2 = 0 ⇒ x = 2 ⇒ S1 = {2} ;
{ }
x 2 − 3 = 0 ⇒ x = − 3, x = 3 ⇒ S2 = ± 3
{
}
L’insieme soluzione dell’equazione x 3 − 2 x 2 − 3 x + 6 = 0 è S = S1 ∪ S2 = ± 3, 2 .
Risolviamo l’equazione x 3 − 2 x 2 − 5 x + 6 = 0 .
Per scomporre in fattori il polinomio P ( x ) = x3 − 2 x 2 − 5 x + 6 applichiamo il teorema del resto.
Osserviamo che P (1) = 0 , quindi P ( x ) è divisibile per il binomio ( x − 1) .
Applicando la regola di Ruffini, si ottiene
x3 − 2 x 2 − 5 x + 6 = ( x − 1)( x 2 − x − 6) ;
abbassiamo di grado l’equazione:
x 3 − 2 x 2 − 5 x + 6 = 0 ⇒ ( x − 1)( x 2 − x − 6) = 0
123
Applicando la legge di annullamento del prodotto, risolviamo le equazioni:
x − 1 = 0 ⇒ x = 1 ⇒ S1 = {1}
x 2 − x − 6 = 0 ⇒ x = −2, x = 3 ⇒ S2 = {−2,3}
L’insieme soluzione dell’equazione x 3 − 2 x 2 − 5 x + 6 = 0 è S = S1 ∪ S2 = {−2,1, 3} .
PROVA TU
Dopo averle abbassate di grado, risolvi le seguenti equazioni:
a) x 4 − 2 x 2 = 0
b) x 3 − 2 x 2 − 4 x + 8 = 0
c) x 3 − 2 x 2 − 5 x + 6 = 0
Osservazione
Ricordiamo due teoremi che forniscono un criterio per la individuazione di eventuali radici intere
razionali di un’equazione a coefficienti interi o razionali.
Essi sono molto utili quando è necessario abbassare di grado una equazione.
Teorema 1
Le eventuali soluzioni intere di un’equazione algebrica del tipo ax n + bx n−1 + .... + mx + p = 0 , a
coefficienti in Z, sono da ricercare tra i divisori del termine noto p dell’equazione.
Teorema 2
Le eventuali soluzioni razionali di un’equazione algebrica del tipo ax n + bx n−1 + .... + mx + p = 0 , a
coefficienti in Z, sono da ricercare tra le frazioni irriducibili
r
con r divisore del termine noto p e
s
s divisore del primo coefficiente a.
Esempio
Consideriamo l’equazione di terzo grado 2 x 3 − x 2 + 8 x − 4 = 0 .
Se essa ammette come soluzione una frazione ridotta ai minimi termini del tipo
r
, r sarà uno
s
dei divisori del termine noto (4) e s sarà uno dei divisori del coefficiente del termine di grado
massimo (2).
I divisori di 4 sono: ± 1, ± 2 , ± 4 ; i divisori di 2 sono: ± 1 , ± 2 : i numeri razionali che possono
essere soluzioni dell’equazione sono da ricercarsi fra i seguenti: ± 1 , ±
()
1
, ± 2 , ± 4.
2
1
Poichè P 1 = 0 , possiamo dire che il numero razionale
è soluzione dell’equazione.
2
2
124
Abbassando di grado l’equazione, determina, se esistono, le altre soluzioni reali dell’equazione
data.
PROVA TU
1) Dopo averla abbassata di grado, risolvi l’equazione x 3 + 6 x 2 − x − 30 = 0 .
2) Risolvi, nell’insieme R, le seguenti equazioni:
a) 2 ( x 2 + 6 ) ( −2 x + 1) = 0
b) x ⋅ (2 x − 3) = 4 ⋅ (3 − 2 x )
c)
(x − 1)4 ⋅ (2 x − 3)3 = 0
d)
(x − 1)4 + (x + 2)4
=0
e)
(x
f)
( x − 4 )4 − 1 = 0
(differenza di due quadrati )
g)
( x − 3) 2 − 4 = 0
2
) (
4
)
4
− x + x2 −1 = 0
x2 −1
ESERCIZIO SVOLTO
Scriviamo un’equazione di terzo grado avente come soluzioni x = 1 , x = 2 , x = −3 .
Per quanto osservato in precedenza, le soluzioni di un’equazione del tipo P ( x ) = 0 sono anche zeri
di P ( x ) e, pertanto, P ( x ) = ( x − 1) ⋅ ( x − 2 ) ⋅ ( x + 3) .
Una equazione che soddisfa le condizioni richieste è ( x − 1) ⋅ ( x − 2) ⋅ (x + 3) = 0 .
Riduciamo a forma normale: ( x − 1) ⋅ ( x − 2) ⋅ (x + 3) = 0 ⇒ x3 − 7 x + 6 = 0 .
Tale equazione non è unica; infatti anche l’equazione 2 ⋅ ( x − 1) ⋅ ( x − 2) ⋅ ( x + 3) = 0
verifica le
condizioni poste.
PROVA TU
Determina un’equazione di terzo grado avente come soluzioni x = 2 , x = − 2 , x = −1 .
Determina un’equazione di quarto grado avente come uniche soluzioni reali x = ± 2 .
125
ESERCIZI CAPITOLO 14
Equazioni di secondo grado
Conoscenza e comprensione
1) Inserisci negli spazi vuoti le seguenti formule:
b = 0;
x1 = − c e x2 = − − c ;
a
a
x1 = 0 ;
x2 = − b ;
a
x=− b ;
2a
x=0;
x1 = −b − ∆ ;
2a
ax 2 + bx + c = 0 ;
∆ > 0;
ac < 0 ;
a ≠ 0;
x2 = −b + ∆ ;
2a
b=c =0;
b≠0;
c = 0;
c ≠ 0;
x1 = x2 = − b ;
2a
x1 = x2 = 0 ;
∆ = 0;
∆ < 0;
∆ = b 2 − 4ac .
a) Un’equazione di secondo grado …………………… con …………………… è monomia se
……………………… , è spuria se ……..……………… e ……………………. , è pura se
…………………… e …………………… , mentre è completa se anche b e c sono diversi
da zero.
b) Un’equazione monomia ha sempre un’unica soluzione ……………………… . In questo
caso si dice anche che l’equazione ha una soluzione doppia o che le due soluzioni sono
coincidenti ……………………… .
c) Un’equazione pura ha soluzioni solo se …………….………… e in tal caso le soluzioni sono
i due valori opposti ………………….…… .
d) Un’equazione spuria ha sempre due soluzioni distinte, di cui una è ……………………… e
l’altra è …………………….… .
e) Il
numero
di
soluzioni
di
un’equazione
completa
dipende
dal
discriminante
………………………… : se ………………...…………… , l’equazione non ha soluzioni;
se ………………………… l’equazione ha un’unica soluzione …………….………… o due
coincidenti ……………………… , altrimenti, se …………………… , ha due soluzioni
distinte ……………………… e …………..…………… .
126
2) Stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false.
a) L’equazione ax 2 + bx + c = 0 è pura se a ≠ 0 , c ≠ 0 e b = 0 .
V
F
b) L’equazione ax 2 + bx + c = 0 è spuria se a ≠ 0 , c = 0 e b = 0 .
V
F
c) Il discriminante di ax 2 + bx + c = 0 è ∆ = b − 4ac .
V
F
d) Se il discriminante è positivo, le soluzioni di ax 2 + bx + c = 0 sono
V
F
e) Un’equazione monomia ha sempre un’unica soluzione pari a 1.
V
F
f) Un’equazione pura ha sempre due soluzioni.
V
F
g) L’equazione ax 2 + c = 0 può non avere soluzioni.
V
F
h) L’equazione ax 2 + c = 0 ha sempre due soluzioni opposte se a e c sono
V
F
V
F
V
F
x1 =
−b− ∆
−b+ ∆
e x2 =
.
2a
2a
concordi.
i) Se una soluzione di un’equazione di secondo grado è zero, allora l’equazione
è spuria.
j) L’equazione ax 2 + bx = 0 non ha soluzioni se a e b hanno lo stesso segno.
3) Quale delle seguenti è un’equazione di secondo grado pura?
a) x2 −4x = 0;
b) 3x2 + 2 = 0;
c) 3x + 2 = 0;
d) 2x2 – 2x + 1 = 0.
4) Quale delle seguenti è un’equazione di secondo grado spuria?
a) x2 + 3x = 0;
b) (- 4x2 )+ 1 = 0
c) 4x +5 = 0
d) x2 − 4x + 3 = 0
5) Per quale valore di k l’equazione
(3 + 2k )x 2 − (k + 2) x − 5k = 0 è pura?
a) Per nessun valore di k.
b) k = 0 .
c) k = −2 .
d) k = 2 .
127
6) Per quale valore di k l’equazione
(3 + 2k )x 2 − (k + 2) x − 5k = 0 è monomia?
a) Per nessun valore di k.
b) k = 0 .
c) k = −2 .
d) k = 2 .
7) Per quale valore di k l’equazione
(3 + 2k )x 2 − (k + 2) x − 5k = 0 è spuria?
a) Per nessun valore di k.
b) k = 0 .
c) k = −2 .
d) k = 2 .
8) Quale delle seguenti equazioni ha due soluzioni coincidenti?
a) 3x2 + 2x + 2 = 0;
b) x2+ 4x − 3=0;
c) 3x2 – 6x + 3 = 0;
d) x2 – 2x + 4 = 0.
9) Tra le seguenti equazioni di secondo grado incomplete, quale è impossibile?
a) 2x2 − 7x = 0
b) x2 – 4 = 0
c) 3x + 2x2 = 0
d) x2 + 36 = 0
1
10) Una sola delle seguenti coppie di numeri è soluzione dell'equazione − x 2 = 0 ; quale?
9
a) x1 = +
1
1
e x2 = − .
3
3
b) x1 = 3 e x2 = −3 .
c) x1 = x2 = 3 .
d) x1 = x2 = 0 .
11) Quale delle seguenti equazioni ha due soluzioni coincidenti?
a) 3x2 + 2x + 2 = 0;
b) x2 + 4x − 3=0;
c) 3x2 – 6x + 3 = 0;
d) x2 – 2x +4 = 0
128
12) Quante sono le soluzioni dell'equazione
a) 1;
1 2
x − 3x + 3 = 0 ?
2
b) 2;
c) 0;
d) più di due.
13) Quante sono le soluzioni dell'equazione 3 x 2 − 12 x + 12 = 0 ?
a) 1;
b) 2;
14) Quante sono le soluzioni dell'equazione
a) 1;
c) 0;
d) più di due.
1 2 1
x + x +1 = 0?
2
4
b) 2;
c) 0;
d) più di due.
c) 0;
d) più di due.
15) Quante sono le soluzioni dell'equazione − x 2 = 1 ?
a) 1;
b) 2;
16) Il discriminante dell’equazione
a) 56;
4x2 + x – 3 = 0 è:
b) 49;
c) 7;
d) 13.
17) Il discriminante dell’equazione x2 – 4x +3 = 0 è:
b) −4;
a) 4;
c) 1;
d) −1
18) Vero o Falso?
a) Se il discriminante di un’equazione di secondo grado è positivo, l’equazione
V
F
V
F
V
F
V
F
ha due soluzioni positive.
b) Se il discriminante di un’equazione di secondo grado è un quadrato perfetto,
l’equazione ha due soluzioni intere.
c) Se il discriminante di un’equazione di secondo grado è negativo, l’equazione
ha soluzioni irrazionali.
d) Un’equazione spuria ha sempre due soluzioni l’una reciproca dell’altra.
e) L’equazione
1 2 1
x = ha due soluzioni, l’una inversa e opposta dell’altra.
3
3
V
F
f) L’equazione
1 2
x − 2 = 0 ha due soluzioni opposte.
2
V
F
g) L’equazione x 2 − 2 = 0 non ha soluzioni.
V
F
h) L’equazione 5 x 2 = 0 ha due soluzioni coincidenti x = −5 .
V
F
i) L’equazione 3 x − x 2 = 0 ha una soluzione uguale a quella di 3 − x = 0 .
V
F
129
19) L’equazione 5x2 + kx = 0 ha come soluzioni x = 0 e x = −2. Per quale valore di k questa
affermazione è vera?
b) −10;
a) 10;
c) 2;
d) −2
20) L’insieme S = {±2} è l’insieme soluzione dell’equazione kx 2 − 16 = 0 . Per quale valore di k
questa affermazione è vera?
b) −4;
a) 4;
c) 8;
d) −8.
21) Per quale valore di a l’equazione x 2 − ax + 9 = 0 ha come soluzione il numero 1?
a) Per nessun valore di a.
b) a = 1 .
c) a = −10 .
d) a = 10 .
22) Per quali valori di a l’equazione x 2 − ax + 9 = 0 ha una sola soluzione?
a) Per nessun valore di a;
b) a = 2 ∨ a = −2 ;
23) Per quali valori di a l’equazione
a) Per nessun valore di a;
c) a = 3 ∨ a = −3 ;
d) a = 6 ∨ a = −6 .
1 2
x − a = 0 non ha soluzione?
4
b) a ≥ 0 ;
c) a < 0 ;
d) a ≥ 4 .
24) Le seguenti affermazioni si riferiscono all'equazione 49 x + 33 x 2 − 10 = 0 . Una sola di esse è
corretta; quale?
a) ha entrambe le soluzioni intere.
b) ha entrambe le soluzioni numeri razionali.
c) ha entrambe le soluzioni numeri irrazionali.
d) non ha soluzioni reali.
25) Vero o Falso?
a) Le equazioni 3 x 2 + 12 x + 12 = 0 e 5 x + 10 = 0 sono equivalenti.
V
F
b) x 2 − 3 x + 2 = 0 e ( x − 2)( x − 1) = 0 sono equivalenti.
V
F
c) x 2 − 4 x + 4 = 0 e x − 2 = 0 non sono equivalenti.
V
F
1 2
x = x hanno le stesse soluzioni.
4
V
F
V
F
d) x 2 − 4 x = 0 e
e) x1 = − 1 è soluzione di 2 x 2 − 3 x + 1 = 0 .
2
130
f) L’equazione 3 x 2 − 10 x + 3 = 0 ha due soluzioni, una la reciproca dell’altra.
V
F
g) Se il discriminante di un’equazione di secondo grado è nullo, l’equazione
V
F
non ha soluzione.
26) Uno solo, fra i seguenti, è l’insieme soluzione dell’equazione 3x2 − x 3 − 2 = 0; quale?


a) S = ± 3  ;
 3 


b) S = ± 2 3  ;
 3 


c) S =  3 , − 2 3  3;
3
3


d) S = ∅
27) Uno solo, fra i seguenti, è l’insieme soluzione dell’equazione x2 – 6x + 9 = 0; quale?
a) S = {±3} ;
b) S = {3} ;
c) S = {−3} ;
d) S = ∅
28) Quali sono le soluzioni dell'equazione 5 x 2 + 6 x + 1 = 0 ?
a) x1 = 1 e x2 =
1
;
5
c) x1 = −1 e x2 =
1
;
5
1
b) x1 = −1 e x2 = − ;
5
1
d) x1 = 1 e x2 = − .
5
1
29) Quali sono le soluzioni dell'equazione − x 2 = 0 ?
9
a) x1 = +
1
1
e x2 = − .
3
3
b) x1 = 3 e x2 = −3 .
c) x1 = x2 = 3 .
d) x1 = x2 = 0 .
30) Quali sono le soluzioni dell'equazione 2 x −
a) x1 = +
1 2
x = 0?
4
1
1
e x2 = − .
2
2
b) x1 = 0 e x2 = 4 .
c) x1 = 0 e x2 = 8 .
d) x1 = 0 e x2 = −8 .
131
31) Quali sono le soluzioni dell'equazione 2 −
a) x1 = +
1 2
x =0?
4
1
1
e x2 = − .
2
2
b) x1 = +2 e x2 = −2 .
c) x1 = +4 2 e x1 = −4 2 .
d) x1 = +2 2 e x1 = −2 2 .
32) Quali sono le soluzioni di t 2 − 3t = 0 ?
a) t1 = 0 e t2 = 3 .
b) t1 = 0 e t2 = −3 .
1
c) t1 = 0 e t2 = .
3
d) t1 = 1 e t2 = 3 .
33) Quali sono le soluzioni dell'equazione 3 x 2 − 7 3 x + 6 = 0 ?
a) x1 = 3 e x2 = −
3
;
3
b) x1 = −2 3 e x2 = −
c) x1 =
3
;
3
3
3
e x2 = −
;
3
3
d) x1 = 2 3 e x2 =
3
.
3
34) Vero o Falso?
a) La somma delle soluzioni dell’equazione ax 2 + bx + c = 0 è b .
a
V
F
b) La somma delle soluzioni dell’equazione ax 2 + bx + c = 0 è − a .
b
V
F
c) Il prodotto delle soluzioni dell’equazione ax 2 + bx + c = 0 è c .
a
V
F
d) Il prodotto delle soluzioni di un’equazione spuria è negativo.
V
F
e) La somma delle soluzioni di un’equazione spuria è sempre 0.
V
F
f) Il prodotto delle soluzioni di un’equazione pura è sempre 0.
V
F
132
g) La somma delle soluzioni di 3 x − x 2 − 2 = 0 è negativa.
V
F
h) Il prodotto delle soluzioni di 3 x − x 2 − 2 = 0 è 6.
V
F
i) Un trinomio di secondo grado, in R, è sempre scomponibile in fattori.
V
F
j) Un trinomio di secondo grado, se è scomponibile in fattori, è il prodotto,
V
F
al massimo, di 3 fattori.
35) Qual è la somma delle soluzioni di 3 z 2 − 3 z − 8 = 0 ?
a) la somma è 1;
b) la somma è −1;
c) la somma è 3;
d) l’equazione non ha soluzioni.
36) Qual è la somma delle soluzioni di 3w2 − 3w + 8 = 0 ?
a) la somma è 1;
b) la somma è −1;
c) la somma è 3;
d) l’equazione non ha soluzioni.
37) Qual è il prodotto delle soluzioni di y 2 − 5 y − 8 = 0 ?
a) il prodotto è 8;
b) il prodotto è −8;
c) il prodotto è
8
;
5
d) l’equazione non ha soluzioni.
38) Per quale valore di k la somma delle soluzioni dell’equazione 3x 2 + 2 ( 3k − 1) + k + 2 = 0 è
uguale a 10?
a) k = −15;
b) k = 10 ;
3
c) k = − 10 ;
3
d) k = 8 .
3
39) Per quale valore di k il prodotto delle soluzioni dell’equazione 3x 2 + 2k ( 3k − 1) + k + 2 = 0 è
uguale a −3.
a) k = −11;
b) k = 11;
c) k = 7;
133
d) k = −2.
40) La scomposizione in fattori primi del trinomio 3x2 − 4x +1 è:
( )
a) 3 ( x − 2 ) x − 2
3
b) ( x − 2 )( 3x − 2 )
c) 3 ( x + 1)( 4 x + 1)
d) 3 ( x + 3)( 2 x − 1)
41) Le età di due fratelli sono una il doppio dell’altra e il loro prodotto è 128. Qual è l’età di
ciascuno dei due fratelli?
a) 3 e 6;
b) 4 e 32;
c) 16 e 8;
d) 5 e 10
42) Se l’area di un rettangolo è 21 m2 e il perimetro è 20 m, quanto misurano i lati?
a) 4,2 m e 5 m.
b) 7 m e 3 m.
c) 8 m e 12 m.
d) 2 m e 10 m.
43) La diagonale di un quadrato misura 3 cm. Qual è la sua area?
a) 9 cm2;
b) 9 cm2;
4
c) 9 cm2;
2
d) 3 cm2.
4
44) Qual è il perimetro di un triangolo equilatero se l’area è 3 3 dm2?
a) 6 dm.
b) 2 3 dm.
c) 6 3 dm.
d)
3 3
dm.
2
45) Quanti soldi il babbo dà a Luca e a Carlo se Luca riceve il quadrato di quello che riceve Carlo e
il babbo dà in tutto € 12,00 ?
a) Luca riceve € 2,00 e Carlo € 4,00.
b) Luca riceve € 9,00 e Carlo € 3,00.
c) Luca riceve € 3,00 e Carlo € 9,00.
d) Luca riceve € 5,00 e Carlo € 2,50.
134
Equazioni di grado superiore al secondo
46) Scrivi un’equazione binomia di quarto grado.
47) Scrivi un’equazione trinomia di ottavo grado.
48) Scrivi un’equazione reciproca di terzo grado di seconda specie.
49) Dimostra che un’equazione reciproca di terzo grado ammette le soluzioni x = 1 oppure x = −1 .
50) Quante sono, al massimo, le soluzioni reali di un’equazione algebrica di ottavo grado a
coefficienti reali?
(
)
51) Dimostra che l’equazione x 2 − 3 x + 1
23
(
− 2x 2 − 2x − 3
)
20
+ x 2 − x = 0 ammette sicuramente la
radice x = 2 .
52) Quante radici reali distinte può avere un’equazione binomia di grado dispari. E se è di grado
pari ?
53) Una sola, fra le seguenti, è un’equazione binomia. Quale?
a)
(x
2
)
3
+1 = 0 ;
b) x 6 = 4 ;
c) ( 2 x + 1) − ( 2 x + 1) = 0 ;
4
d) 3 x 7 = 0
54) Stabilisci, motivando la risposta, se le seguenti affermazioni sono vere o false:
a) Un’equazione di terzo grado a coefficienti reali ammette una ed una sola
V
F
b) Un’equazione di terzo grado a coefficienti reali ammette tre soluzioni reali.
V
F
c) Un’equazione di quinto grado a coefficienti reali ammette sicuramente una
V
F
d) Un’equazione di grado pari a coefficienti reali può avere tre soluzioni reali.
V
F
e) Il grado di un’equazione trinomia è sempre pari.
V
F
f) Ogni equazione biquadratica è un’equazione trinomia.
V
F
g) L’equazione 2 x 6 k + x k + 2 − 5 è una equazione trinomia solo se k = 1 .
V
F
h) Un’equazione binomia di grado dispari ammette sempre una soluzione reale.
V
F
i) Un’equazione binomia di grado pari ammette sempre due soluzioni reali.
V
F
j) L’equazione P( x) = 0 , con P( x) polinomio di grado n, ammette per
V
F
V
F
soluzione reale.
radice reale.
soluzione x = α se e solo se P (α) = 0 .
k) x = −1 è uno zero del polinomio P( x) = − k 2 x3 + x 2 + kx − 3 se e solo se
k = −1 ∨ k = 2 .
135
55)
Una sola delle seguenti equazioni di grado superiore al secondo ammette come uniche
soluzioni reali x = ±2 ; quale ?
(
)
a) x 2 + 4 (x − 1) = 0 ;
b) ( x − 2 ) = 0 ;
d) − 3 x 4 + 48 = 0 ;
e) x 3 + x 2 − 4 x − 4 = 0
4
c) x 4 − 5 x 2 + 4 = 0 :
56) Indica quali delle seguenti affermazioni sono vere e quali false , motivando la risposta :
a) L’equazione
x n = a ammette sempre soluzioni reali.
V
F
b) L’equazione
x n = a con n dispari ammette sempre una ed una sola
V
F
c) L’equazione
x n = a ammette n soluzioni reali ∀a ∈ R .
V
F
d) L’equazione
x n = a con n pari e a > 0 ammette sempre due radici
V
F
e) L’equazione
x n = a 4 con n pari ammette soluzioni reali solo se a > 0 .
V
F
f) L’equazione
x 8 = 1 − k ammette soluzioni reali se e solo se k ≤ 1 .
V
F
soluzione reale.
reali opposte.
57) Sia ∆ il discriminante dell’equazione risolvente l’equazione biquadratica ax 4 + bx 2 + c = 0 .
Allora:
a) Se ∆ = 0 l’equazione ha quattro soluzioni due a due uguali
V
F
b) Se ∆ < 0 è impossibile nei reali
V
F
c) E’ impossibile nei reali se e solo se ∆ < 0
V
F
d) Se ∆ > 0 ammette quattro radici reali
V
F
e) Se ∆ > 0 può ammettere due sole radici reali
V
F
f) Se ∆ > 0 può essere impossibile nei reali
V
F
58) Un’equazione della forma ax 4 + bx 3 − bx − a = 0 con a, b ∈ R ha fra le sue radici :
a) 1
b) ± 1
c) − 1
d) né 1, né − 1
59) Per quali valori del parametro k, l’equazione binomia (k − 1)x 4 + 3 = 0 ammette soluzioni reali?
[ k <1 ]
60) Determina per quali valori di h e k l’equazione x 4 + (k − 2 )x 3 + 5 x 2 + (h + 1)x + h = 0 :
[ k = 2 ; h = −1 ]
a) risulta biquadratica
[ k = 4 ; h =1 ]
b) risulta reciproca
61) Quali condizioni devono essere verificate affinchè l’equazione trinomia ax 6 + bx 3 + c = 0 (a,
b, c coefficienti reali) ammetta radici reali? E per l’equazione ax 8 + bx 4 + c = 0 ?
136
Esercizi
Risolvi le seguenti equazioni di secondo grado incomplete:
1) 5 x 2 = 0 ;
{ }
6 z 2 − 3z = 0
S = 0 ; S = 0, 1 
 { }
2 
S = {±9} ;S = {0} 
2)
y 2 − 81 = 0 ;
37 s 2 = 0
3)
7g 2 + 2g = 0 ;
−328 p 2 = 0
4)
−2 a 2 − 9 a = 0 ;
4 x 2 + 27 = 0
5)
−t 2 + 5t = 0 ;
7 = h2 + 6
6)
3
1
m − m2 = 0 ;
8
2
−9 w 2 + 4 = 0
7)
1 2 3
r + r = 0;
2
4
k
 k

 + 3  − 3  = 0
2
 2

{ }
S = 0, − 9 ;S = ∅ 
 {

2}
S = 0, − 2 ;S = 0 
{ }

7

S = {0, 5} ; S = {±1} 
8) 5 g 2 − 7 = g 2 + 9 ;
2 ( q + 1)( q − 1) = −2
9) 5a − ( a + 2 ) = −4 ;
f 2 +2f =
2
(x + 4)(x + 3) = 12 + 7 x
11)
( 3v + 2 )( 3v − 2 ) = 5v − 4
12)
( y − 3)
13)
2 ( t − 2 )( t + 5 ) = t + 5 ( t − 4 )
14)
( 2c − 3 )
15)
6( x − 1)( x + 1) + 8 = 2
16)
( h + 2 )( h − 2 ) + ( 2h − 1)
17)
( z + 5)( z + 8) = z ( z + 13) + ( z + 3)( z − 3)
2
{ }
S = {0}
{ }
S = 0, 5 

9 
[S = ∅ ]
= 2 (1 − 3 y )
2
S = {0}
{ }
S = 0, 12 

5 
= ( 3 − c )( 3 + c )
S = {0}
2
{ }
S = 0, 7 

5 
= 3 ( h − 1)
S = {±7}
S = {0}
18) 3 ( m + 1) = 4m + 2 ( m + 1) + 1
2
19)
(
S = {±2} ;S = {0}
S = 0,1 ; S = 0, − 7 
 { }
4 
1
f
4
10)
{ } { }
S = 0, − 3 ; S = ±6 
{ }
2}
 {

S = 0, 3 ; S = ± 2 
4
3 

{ }
)
S = 0, − 9 

4 
2 3 j 2 + 5 j − 1 = 8 + ( 2 j + 5 )( j − 2 )
137
[S = ∅ ]
20)
( 2r − 1)
= 3 (1 − r )
21)
( 3x + 5 )( 2 − 3 x ) = ( 4 x − 1)
22)
( 12 t + 3)( 12 t − 3) = −9
23)
( 3s + 2 )
24)
2 ( a + 2 ) + 4 ( a − 1) = 3 5 − a 2
25)
( g + 1)
2
2
{ }
S = ± 3 

5 
−x
S = {0}
{ }
S = ± 1 

4 
− s ( 4 − s ) + 3 = 6 s (1 − s ) + 2 ( s + 4 )
)

 3 
S = ± 3 



+ 5 2 g 2 − 1 = 1 + ( g − 1)
S = ± 1 

2 
2
2
(
3
2
(
)
{ }
3
S = {0}
26) 3k + 2 ( k − 3) = ( k + 3 )( k − 3) + 9 ( 3 − k )
2
27)
(1 + z )
3+
2
2
( z + 2) − z − 5
−z=
6
3
2
2
{ }
S = ± 2 


28) 3 p + 4 + ( 2 p + 1)( 2 p − 1) = 3 ( p + 1)
29)
30)
(
3−b
2 3
( v − 3)
2
S = {0}
{
) − 34 = b − b 2−1 + 1
2
2
( )
+ v ( 2v + 3 ) + 5v = ( 2v − 1) v + 3
2
2
[S = ∅ ]
( )( )
( 23 − 15 ) q − ( q −1) − ( q − 12 ) = 43
(3w + 12 )(3w − 12 ) + ( w −1)(2 w + 3) + 5w2+ 3 = 2w ( 4w + 2) − w 2− 4
 2 y −1 
1
1  y −1   y − 6  y
 3  + ( y + 3 )( y − 3 ) =  3   3  + 3





( g − 1) − 3
g + 1 − 6g =
2
2
4
2
31)
g−1
2
S = {0,10}
2
32)
33)
S = {0}
2
2
34)
}
S = 0, − 9 
16 

2

 3 
S = ± 2 




 2 
S = ± 2 



Risolvi le seguenti equazioni di II grado complete.
35)
2 x 2 + 3x − 5 = 0 ;
36) b 2 + 5b + 6 = 0 ;
37)
25t 2 − 20t + 4 = 0 ;
{ }
− y2 − 7 y + 8 = 0
S = − 5 ,1 ;S = {−8,1}
2


3m 2 − m − 2 = 0
S = {−3, −2} ;S = − 2 ,1 

3 
{ }
S = 2 ;S = ∅ 
 { 5 }

12a 2 − 3a + 1 = 0
138
S = {−2, 3} ;S = ∅ 
38)
z2 − z − 6 = 0 ;
2c 2 + c + 4 = 0
39)
g + 2 g − 15 = 0 ;
w2 + 8 w − 9 = 0
40)
p2 + 4 p + 2 = 0 ;
2d 2 − 10 2d + 25 = 0
( )
2
43)
44)
{


 −2 ± 5 
S =  3  ;S = ∅ 




3s 2 − 4 s + 6 = 0
2 ( m − 3 ) + 3 ( 3m + 4 ) = ( m + 6 )( m + 3) + 1
S = {1,11}
2
2h 2 + h − 2 = 0 ;
2
{ }
S = 1 ;S = −2, 3 
{ 2}
 { }
}
S = −2 ± 2 ;S = 5 2 


2
2q q + 3 = ( q + 3)( 3 − q )
4
41) 3r ( r − 2 ) = ( r − 1) − 3 ;
42) 9t 2 + 12t − 1 = 0 ;
S = {−5,3} ;S = {−9,1}



3 
2
S = − 2, 2  ;S = − 3, 2 





2a 2 + 3a − 3 = 0

1 ± 3  
S = {−7} ;S =  2 



45)
7 + 2v = − v ;
7
46)
( 3 − b )( b + 3) = 4 ( b − 3) ;
47)
 k 2 + 2 ( k − 1) − k (1 + k )  ( k − 2 ) + 6k  = ( k − 2 )  k ( k + 2 ) + 4 


48)
( p + 1)( p + 2 )( p + 3) = ( p − 1) ( p − 2 )( p + 3) + 5
49)
( x − 2 ) ( x − 2 )( x − 1) − ( x − 2 )( x + 1)  = 3x − 5
50)
z −1 + z + 9 = ( z − 2)
2
3
3
51)
2 u 2 + 1 + u 6 ( u − 1) + u  = u ( u − 1) − 3
12
4
52)
h 2 + 1 + 3h ( −h + 8 ) − 1 = h h − 1 + 207
2
4
2
4
53)
( 3m + 4 )
2r 2 − 2r − 1 = 0
6 + k 2 − 4 5k = −5
{
}
S = {−7,3} ;S = 2 5 ± 3 


[S = Q]
{
}
S = 1, 3 
 { 2}
S = − 1 , 7 

2 
{
2
)
(
)
(
2
}
S = − 1 , 7 

2 
[S = ∅]
( )
− 5 ( m − 2 ) + 6 ( m − 2 )( m + 2 ) = 5m + 3
54) 3  − ( 2 y − 5)( 3 − y )  = ( y − 3)( 3 y + 1) + 5 y
S = {4}
{
}
S = −1, 1 

15 
S = {8, 2}
55)
( 2 f + 1)( f − 3) + ( f + 8)( f − 8) + 2 = 2 f ( f − 3) − 9
56)
2 ( a + 2 ) = 2 + 5 ( a − 1)( a + 3) + 7 ( 2a + 3)
S = {−8, 7}
{
}
S = − 16 , 0 


3
2
139
S = {−2, 9}
57) 3 ( t + 5 ) + ( t − 1) = ( t − 1) t − 2 ( t + 2 )
3
2
58)
( d − 2 )( d + 2 ) − ( d + 2 )
59)
( 2 y − 3)
60)
4 x 2 − 2 3x − 2 3 − 1 x − 3 = 0
61)
4x 2 − 2 2 − 3 x − 3 2 = 0
62)
x 2 − 2x = 3 x − 2
63)
x2 −
64)
x2 −
65)
x 2 − 2x =
66)
(x − 1)(x + 1) =
2
{
= (1 − d )(1 + d ) + 7
(
(
{
)
S = − 1 ,

4
)

 3 2 
S = − 2 , 2 



)
S =

)
6
2 −1
2
}
2, 3 

{
}
2,1 


 3 2 
S =  2 , 3 



x +1 = 0
x
{
S =

2 +1 x + 2 = 0
5
}
3} 

S = − 5 , 1 
8 2 

{
)
(
}
S = 2 ± 2 5 


+ 5 ( y + 2 )( y − 2 ) − 1 = ( 3 y + 4 )( y − 3) − 5 2 y 2 − 1 − 9 y
(
(
2


2 
S =  2, 2 



−1
x2 +1
{ }
S = ± 4 2 


2 +1
Per non dimenticare……
Esempi
Risolviamo alcune equazioni di secondo grado senza applicare la formula risolutiva:
Esempio 1
4 x 2 − 25 = 0
Equazione iniziale
Scomponiamo in fattori il I membro
( 2 x − 5)( 2 x + 5) = 0
(differenza di quadrati)
Applichiamo la legge di annullamento del
prodotto
2x − 5 = 0 ∨ 2x + 5 = 0
2x = 5 ⇒ x = 5
2
Risolviamo le equazioni di primo grado
Scriviamo le soluzioni e l’insieme soluzione
140
2 x = −5 ⇒ x = − 5
2
5
5
 5
x=− ∨ x=
S = ± 
2
2
 2
Esempio 2
2k 2 − 5 = 0
Equazione iniziale
Scomponiamo in fattori il I membro
(differenza di quadrati)
(
Applichiamo la legge di annullamento del
prodotto
2k − 5 = 0 ∨
2k − 5
)(
)
2k + 5 = 0
2k + 5 = 0
2k = 5 ⇒ k = 5 ⇒ k = 5
2
2
Risolviamo le equazioni di primo grado
2k = − 5 ⇒ k = − 5 ⇒ k = − 5
2
2
Scriviamo le soluzioni e l’insieme soluzione
x=−
5
5
∨ x=
2
2
 5 
S = ± 
 2 
Esempio 3
b 2 + 2b − 15 = 0
Equazione iniziale
( b − 3)( b + 5) = 0
Scomponiamo in fattori il I membro
(trinomio caratteristico)
Applichiamo la legge di annullamento del
prodotto
b−3= 0 ∨ b+5 = 0
b−3 = 0 ⇒ b = 3
b + 5 = 0 ⇒ b = −5
Risolviamo le due equazioni di primo grado
Scriviamo le soluzioni e l’insieme soluzione
b = 3 ∨ b = −5
S = {−5,3}
Esempio 4
5m 2 + 3m − 2 = 0
Equazione iniziale
Scomponiamo in fattori il I membro
[quasi trinomio caratteristico (I anno, tomo 2
pag.139)]
( 5m − 2 )( m + 1) = 0
Applichiamo la legge di annullamento del
prodotto
5m − 2 = 0 ∨ m + 1 = 0
5m = 2 ⇒ m = 2
5
m + 1 = 0 ⇒ m = −1
Risolviamo le due equazioni di primo grado
Scriviamo le soluzioni e l’insieme soluzione
141
m=
2
∨ m = −1
5
 2
S = −1, 
 5
Risolvi le seguenti equazioni di secondo grado senza utilizzare la formula risolutiva:
S = {−2,3} ;S = {−1, 4}
67)
a2 − a − 6 = 0 ;
p2 − 3 p − 4 = 0
68)
9v 2 − 1 = 0 ;
t 2 + 12t + 20 = 0
69)
5q 2 + 3q = 0 ;
g 2 + 2 g − 15 = 0
70)
z2 + 2z +1 = 0 ;
6t 2 − t − 2 = 0
71)
3h 2 − 4 = 0 ;
4r 2 − 13r + 3 = 0
72)
c 2 + 3c − 18 = 0 ;
3y2 − 2 y = 0
73)
d 2 + 3d + 2 = 0 ;
4x2 − 7 = 0
74)
2v 2 − v − 15 = 0 ;
a 2 − 5a + 6 = 0
75)
f 2 + f −2=0;
8m 2 − 7 = 0
{ }
S = 0, − 3 ;S = −5,3 
{ }
 {
5}

S = −1 ;S = − 1 , 2 
{ 2 3}
 { }

 2 3
1 
S = ± 3  ;S = { 4 ,3}




S = ± 1 ;S = −2, −10 
{
}

3



2 
S = {−6,3} ;S = 0, 3 




 7 
S = {−2, −1} ;S = ± 2 



{ }
S = − 5 , 3 ;S = 2, 3 
{ }

2


 14 
S = {−2,1} ;S = ± 4 



Esempio
Equazione iniziale (equazione fratta)
y−4
2y −3 y − 2
−
=
y
y + 2y y + 2
Scomponiamo in fattori i denominatori
y−4
2y −3 y − 2
−
=
y
y ( y + 2) y + 2
2
y − 4 − y ( 2 y − 3) ( y − 2 )( y + 2 )
=
y ( y + 2)
y ( y + 2)
Determiniamo il m.c.m. e riduciamo allo
stesso denominatore.
y ( y + 2 ) ≠ 0 ⇒ y ≠ 0 ∨ y ≠ −2 ⇒ D = Q − {0, −2}
Determiniamo il dominio
Applichiamo l
equivalenza
e
denominatore
2° principio
semplifichiamo
di
il
y − 4 − y ( 2 y − 3) = ( y − 2 )( y + 2 )
y − 4 − 2 y2 + 3y − y2 + 4 = 0 ⇒
Riduciamo a
determiniamo y
forma
normale
e
⇒ − 3y2 + 4 y = 0 ⇒ 3y2 − 4 y = 0 ⇒
⇒ y (3 y − 4) = 0 ⇒ y = 0 ∨ y = 4
3
0 ∉ D ⇒ sol. non acc.; 4 ∈ D ⇒ sol. acc.
3
Accettabilità delle soluzioni
Scriviamo
le soluzioni
e l’insieme
y=
soluzione
142
4
3
4
S= 
3
Risolvi le seguenti equazioni:
{
}
{
}
S = −2 ± 7 


76)
2a + 3 = 1
a −1 a
77)
b + 2 − b −1 −
b+3
=0
b − 3 2b + 1 2b 2 − 5b − 3
78)
1 + 2 =−
3
2
z + 2 z2 − 4
z + 4z + 4
79)
4h + h + 1 = 10 − 2h
h − 9 h + 3 4h − 12
80)
2x − x −1 =
x2
2
2x + 4 x + 2 x + x − 2
81)
m − 2 + m + 2 = 8m
m + 2 m − 2 4 − m2
82)
2c + 3
− 1 − 2c = 1
9c + 12c + 4 3c + 2

 −3 ± 5  
S =  2 



83)
(1 − 1x )(1 + 1x ) + xx ++ 12 = 2

1 ± 5 
S =  2 



84)
S = −4 ± 2 5 


S = {−6,1}
{}
S = −1, 1 
 { 2}
S = 7 

3 
2
[S = ∅ ]
2
(t + 4)
2
− 4 ( 2t − 5 )
t 2 + 3t − 10
(2 − p)
2
−
t 2 + t + 4 − ( t + 1)
+
= t +1
t +5
2−t
2
S = {−6}
p + 3 ( 3 + p )( − p + 3)
=
p −1
p3 − 1
85)
p2 + p + 1
86)
9
−3+ 3 = 2
3k + 3k 2 k + 1 k
[S = ∅ ]
{}
S = 2 

3 
2
Esempio
Senza risolverle, stabiliamo se le seguenti equazioni hanno soluzioni reali e, in caso affermativo,
determiniamone la somma ed il prodotto:
a) h 2 + 11h + 9 = 0
a) In questa equazione
a = 1;
b) 2t 2 + 7t − 4 = 0
b = 11;
c=9
L’equazione ha soluzioni reali soltanto se ∆ ≥ 0; quindi:
∆ = b 2 − 4ac = 112 − 4 ⋅1 ⋅ 9 = 121 − 36 = 85 ⇒ ∆ > 0 ⇒ l’equazione ha due soluzioni reali.
Sappiamo che
Quindi:
h1 + h2 = − b e h1 ⋅ h2 = c
a
a
h1 + h2 = − 11 = 11 e h1 ⋅ h2 = 9 = 9
1
1
143
b) In questa equazione
a = 2;
c = −4
b = 7;
L’equazione ha soluzioni reali soltanto se ∆ ≥ 0; quindi:
∆ = b 2 − 4ac = 7 2 − 4 ⋅ 2 ⋅ ( −4 ) = 49 + 32 = 81 ⇒ ∆ > 0 ⇒ l’equazione ha due soluzioni reali.
t1 + t2 = − b
a
Sappiamo che
e t1 ⋅ t2 = c
a
t1 + t2 = − 7 e t1 ⋅ t2 = −4 = −2
2
2
Quindi:
Senza risolverle, stabilisci se le seguenti equazioni hanno soluzioni reali e, in caso affermativo,
determina la loro somma e il loro prodotto.
87)
x 2 − 5 x − 14 = 0 ;
x 2 − 11x + 30 = 0
88)
x2 − x + 6 = 0 ;
x 2 − 14 x − 13 = 0
25 x 2 + 10 x − 3 = 0
89) 8 x 2 − 30 x + 7 = 0 ;
90)
20 x 2 − 13 x + 2 = 0 ;
2 x 2 − 9 x − 18 = 0
91)
40 x 2 − 31x + 6 = 0 ;
x2 − 1+ 2 2 x + 2 + 2 = 0
92)
3x 2 − 3 3 2 + 1 x + 3 2 = 0 ;
(
)
x2
(
−(
)
)
2 + 2 5 x − 2 10 = 0
Esempio
{ }
Determiniamo l’equazione di secondo grado che ha come insieme soluzione S = −1, 1 .
3
In generale, un’equazione di secondo grado, ridotta a forma normale, è del tipo:
ax 2 + bx + c = 0 ⇒ x 2 + b x + c = 0
a
a
Sappiamo che
soluzioni:
( )
x1 + x2 = − b e x1 ⋅ x2 = c ; calcoliamo, quindi, la somma ed il prodotto delle
a
a
x1 + x2 = −1 + 1 = − 2
3
3
e x1 ⋅ x2 = −1 ⋅ 1 = − 1 .
3
3
Si hanno le seguenti uguaglianze: − b = − 2 ⇒ b = 2
a
3
a 3
sostituendo nell’equazione ( ), si ottiene:
e
x2 + 2 x − 1 = 0
3
3
144
c = −1 ;
a
3
⇒
3x 2 + 2 x − 1 = 0 .
Scrivi l’equazione di secondo grado che ha come insieme soluzione l’insieme S indicato.
93) S = {−3, 4} ;
S = {−5, −2}
94) S = {3, 7} ;
S = {1,10}
95) S = {−3, −1} ;
S = {4,12}
{ }
S = {− 3 , 4 }
2 5
S = { 1 , 2}
10 5
96) S = {−8, −2} ;
S = 1 ,5
2
{ }
S = {− 3 , − 1 } ;
4 3
97) S = − 2 , − 1 ;
3 6
98)
{
99) S = {±2} ;
{
S = 0, 2
}
{ }
}
100) S = − 5 , 1 ;
4 8
S = 3 ,1
5


101) S = − 3 , 3  ;
 2



S = ± 5 
 4 
102) S =
{
}
2, 2 2 ;
S=
{


103) S = − 3, 3  ;
2


{
{
5, 2 + 5
}
S = −2 2, 3 2
}
104) S = 1 − 2,1 + 2 ;
S=
{
}
}
2 + 3, 2 3
Determina due numeri, se esistono, conoscendo la loro somma s ed il loro prodotto p (Esempio d)
pag. 17).
105)
s = + 2;
p = −15
[ −3,5]
106)
s = 10 ;
p = 24
[ 4, 6]
107)
s = −10 ;
p = 21
[ −3, −7]
108)
s = −15 ;
p = −34
[ −17, 2]
109)
s = 3;
p = −40
[ ∃]
110)
s = 13 ;
5
p=−6
5
 − 2 , 3
 5 
111)
s=7;
9
p= 4
27
1 , 4 
 3 9 
145
112)
s = − 11 ;
7
p=−6
7
 −2, 3 
7 

113)
s=9;
4
p =−5
8
− 1 , 5 
 4 2 
114)
s = 17 ;
8
p = 15
16
5 , 3
 8 2 
115)
s=3 2;
2
p =1
116)
s = 1+ 3 ;
2
p= 3
4
117)
s =1;
p = 2 −2
118)
s = 5 +1;
p=5 5
119)
s=3 3;
p=6
 2

 2 , 2


1 3 
2 , 2 


1 − 2, 2 


[ ∃]
 3, 2 3 


Scomponi in fattori, se possibile, i seguenti trinomi di secondo grado (Esempi e), f), g) pag. 18):
120)
4x2 − 5x + 1
( x − 1)( 4 x − 1) 
121)
5a 2 + 9 a − 2
( 5a − 1)( a + 2 ) 
122)
3s 2 + 10 s + 8
( 3s + 4 )( s + 2 ) 
123)
2m2 + 5 5m + 10
 m + 2 5 2m + 5 


124)
4h 2 + 4 6h − 18
 2h − 6 2h + 3 6 


125)
7 y2 + 4 2 y − 6
 y + 2 7y −3 2 


126)
3b 2 + 6b + 2
127)
2t 2 − 2t − 1
128)
3d 2 − 7 5d + 20
129)
2t 2 + 2 2 − 3 x − 6
(
(
)(
)
(
)(
)
)(
)
(
(
)


3 
 3b + 3 + 3  b + 1 − 3  



 1 − 3   1 + 3  
 t − 2   t − 2  



(
)(
)
)(
)
 3d − 4 5 d − 5 


)
(
 2t − 3 t + 2 


146
Semplifica, se possibile, le seguenti frazioni algebriche:
v − 2 3 


 v− 3 
130)
v 2 − 3v − 6
v2 − 3
131)
4z2 − z − 3
8 z 2 + 10 z + 3
 z −1 
 2 z + 1 
132)
12 g 2 − 32 g − 35
2 g 2 + 3 g − 35
 6g + 5 
 2 g + 5 
133)
5h 2 + 18h − 8
10h 2 + 11h − 6
 h+4 
 2h + 3 
134)
2m 2 − 7 7 m + 21
m 2 − 4 7 + 21
 2m − 7 


 m− 7 
135)
24 x 2 + 2 x − 6
8 x 2 − 21 2 x − 18
 3x − 2 


x −3 2 
136)
137)
(
)
2t 2 + 5 + 2 3 t + 5 3
 2t + 5 


 2t − 3 
2t + 3t − 3
2
(
)
2k 2 + 3 − 3 x − 2
 2k + 1 + 3 


 k −1 + 3 
k +2 3−4
2
Equazioni parametriche
138) Data l’equazione kx 2 − 2 kx + 6 − 2 k = 0 , determina il valore di k in modo che:
a) una soluzione sia uguale a 1;
b) una soluzione sia nulla;
c) le soluzioni siano reali e coincidenti.
[ k = 2; k = 3; k =, 0k = 2]
139) Data l’equazione
( a + 1) x 2 + 2 ( a − 1) x + a − 2 = 0 , determina il valore di a in modo che:
a) le soluzioni siano reali e coincidenti;
b) le soluzioni siano opposte;
c) una soluzione sia nulla.
[ a = 3; a = 1; a = 2]
147
140) Data l’equazione x − 2(h − 3)x + 2h + 2 = 0 , calcola il valore di h in modo tale che:
2
a) le soluzioni siano reali e coincidenti;
b) l’equazione sia pura;
c) l’equazione sia spuria;
d) le soluzioni siano una reciproca dell’altra;
e) una soluzione sia uguale a 4;
f) la somma dei quadrati delle soluzioni sia 7.
 h = 1; h = 7; h = −1; h = 3; h = 1 ; h = 7; h = −7 
2


2
141) Data l’equazione 2 x − ( 2l − 1) x + 3l + 1 = 0 , calcola il valore di l in modo tale che :
a) la somma delle soluzioni sia 1;
b) l’equazione sia spuria;
c) le soluzioni siano opposte;
d) una soluzione sia 1 ;
2
e) il prodotto delle soluzioni sia 4;
f) le soluzioni siano una la reciproca dell’altra;
g) la somma dei quadrati delle soluzioni sia 13 .
4
l = 3 ; l = − 1 ; l = 1 ; l = −1; l = 7 ; l = 1 ; l = 2 ± 2 2 
 2

3
2
3
3
2
142) Data l’equazione (m − 2 )x − 2(m + 1)x + m + 2 = 0 calcola il valore di m in modo tale che:
a) una soluzione sia nulla;
b) una delle soluzioni sia uguale a −3;
c) le soluzioni siano reali e coincidenti;
d) la somma delle soluzioni sia −1;
e) il prodotto delle soluzioni sia 4;
f) le soluzioni siano opposte.
 m = −2; m = 5 ; m = − 5 ; m = 0; m = 10 ; m = −1


8
2
3
148
Problemi
143) Determina due numeri interi consecutivi tali che il loro prodotto sia 812.
[28; 29]
144) Determina un numero naturale tale che il suo quadrato superi di 4 il suo triplo.
[4]
145) Il prodotto di due numeri naturali pari consecutivi è 1088. Quali sono i due numeri? [32; 34]
146) Se ad un numero positivo si aggiunge il suo quadrato, si ottiene il triplo del numero stesso
aumentato di 24. Qual è il numero?
[6]
147) Trova due numeri naturali pari e consecutivi tali che la somma dei loro quadrati sia 340.
[12; 14]
148) Dividi il numero 54 in due parti in modo tale che il loro prodotto sia 693.
[21; 33]
149) Determina due numeri naturali consecutivi tali che la differenza tra il cubo del maggiore ed il
cubo del minore sia uguale alla differenza fra il quadrato del doppio del minore e 9.
[5; 6]
150) Il prodotto di due numeri naturali pari e consecutivi è 48. Quali sono i due numeri?
[6; 8]
151) Determina un numero intero tale che il prodotto fra il suo doppio ed il suo successivo sia
uguale alla differenza fra il numero 5 ed il numero stesso.
[1]
152) In un numero palindromo di tre cifre, la somma delle cifre è 12 e la seconda cifra è uguale al
[282]
doppio del quadrato della prima cifra. Qual è il numero?
153) Determina un numero naturale tale che il prodotto fra il numero stesso e la sua metà
[4]
aumentata di 1 supera di 8 il numero stesso.
154) Determina un numero intero tale che il prodotto del suo doppio con il suo successivo sia
uguale a 5 diminuito del numero stesso.
[1]
155) Determina due numeri interi dispari e consecutivi tali che i 4 del quadrato del minore
5
aumentati di 1 siano uguali ai 3 del quadrato del minore.
7
[5; 7]
156) Determina due numeri pari consecutivi tali che il doppio del quadrato del maggiore supera di
24 il triplo del quadrato del minore.
[4; 6]
157) Trova due numeri interi consecutivi tali che la somma dei loro quadrati sia 61.
[(−6, −5) ∨ (5,6)]
158) Il rapporto fra un numero intero ed il suo quadrato diminuito di 3 è 5 ; qual è questo
22
numero?
[5]
159) Il rapporto fra due numeri interi positivi è 3 e la differenza dei loro quadrati è 63; quali sono
4
[9; 12]
i due numeri?
149
160) Le dimensioni di un rettangolo misurano 3 cm e 2 cm. Di quanto è necessario aumentare le
dimensioni affinchè l’area del rettangolo sia di 42 cm2?
[4 cm]
161) La somma di due numeri è 8 ed il loro prodotto è 15; quali sono i due numeri?
[3; 5]
162) Determina due numeri interi consecutivi tali che il quadrato della loro somma superi di 144 la
[−9,−8; 9, 8]
somma dei loro quadrati.
163) Il numeratore di una frazione supera di 3 il denominatore, inoltre diminuendo di 2 sia il
numeratore che il denominatore si ottiene una frazione che supera di 3 la prima frazione.
4
7 ; − 1
 4 2 
Qual è la frazione?
164) In un numero di due cifre, la cifra delle decine supera di 3 quella delle unità; il prodotto delle
due cifre è uguale alla metà del numero dato diminuito di 9. Qual è il numero?
[74]
165) L’area di un triangolo rettangolo misura 30 cm2 ed un cateto supera l’altro di 4 cm. Qual è la
[6 cm; 10 cm]
misura di ciascuno dei due cateti?
166) In un triangolo rettangolo ABC, l’ipotenusa BC misura 10 dm e la somma dei due cateti 14
cm. Determina la misura dei due cateti.
[6 dm; 8 dm]
Se la somma delle misure dei cateti fosse 15, quale sarebbero le loro misure?
167) Sia C un punto del segmento AB tale che AC sia medio proporzionale tra l’intero segmento e
la parte restante CB. Se AB misura 20 cm, qual è la misura di AC?
10

(
)
5 − 1 cm 

168) L’area di un rombo misura 36 m2 e la diagonale maggiore è il doppio di quella minore. Qual è
la misura di ciascuna delle due diagonali?
[6 m; 12 m]
169) Il perimetro di un rombo misura 52 cm e la somma delle sue diagonali misura 34 cm; quanto
[120 cm2]
misura l’area del rombo?
170) L’area di un rettangolo misura 80 cm2 e una dimensione supera l’altra di 11 cm. Quanto
misura il perimetro del rettangolo?
[42 cm]
171) In un triangolo rettangolo la misura del cateto maggiore supera di 2 cm quella del cateto
minore. Sapendo che l’ipotenusa misura 10 cm, determina le misure dei cateti del triangolo.
[6 cm; 8 cm]
172) In un triangolo rettangolo l’ipotenusa misura 45 cm e il doppio del cateto minore supera
quello maggiore di 18 cm. Determina l’area del triangolo.
150
[486 cm2]
173) L’area di un rettangolo misura 440 dm2 ed una dimensione supera di 10 dm i 3 dell’altra
5
dimensione. Qual è il perimetro del rettangolo?
[84 dm]
174) Sia AB un segmento di lunghezza 9 cm. Determina su di esso un punto P in modo tale che il
segmento AB resti diviso in due segmenti tali che AP sia medio proporzionale fra l’intero
segmento e la sua parte restante aumentata di 1. Qual è la misura di AP?
[6 cm]
175) In un triangolo rettangolo la misura di un cateto è 9 cm e l’ipotenusa supera di 6 cm i 3
4
dell’altro cateto. Qual è la misura dell’ipotenusa?
15 cm ∨ 87 cm 
7


176) Sia ABCD un quadrato di lato 4 cm. Determina sul prolungamento del lato AB, dalla parte di
B, un punto P tale che la somma dei quadrati delle sue distanze dai vertici C e D sia 90 cm2.
 BP = 3 cm 


177) Il diametro AB di una circonferenza misura 25 cm. Determina sulla circonferenza la posizione
di un punto Q in modo tale che, detta H la sua proiezione sul diametro AB, valga la relazione
2
2
 AH = 9 cm 


3QH − BQ = 32 cm.
178) I lati AD e AB di un rettangolo misurano, rispettivamente, 20 cm e 30 cm. Sul prolungamento
del lato AB, dalla parte di B, determina la posizione di un punto E in modo tale che valga la
2
2
2
relazione ED + EO + EC = 2550 cm 2 , essendo O il punto di intersezione delle diagonali del
 BE = 5 cm 


rettangolo.
Equazioni di grado superiore al secondo
Risolvi in R le seguenti equazioni binomie:
179)
x4 −1 = 0 ;
S = {±1} ; S = ∅ 
b 4 + 16 = 0
180) 8t 3 − 27 = 0 ;
8 y 3 − 27 = 0
181)
h 7 + 128 = 0 ;
16 p 7 − 1 = 0
182)
v8 − 1 = 0 ;
g 8 + 256 = 0
183)
27 w6 − 1 = 0 ;
32c5 + 1 = 0
{} { }
S = −2 ; S = 1 8 
{ 2 }
 { }
S = 3 ; S = − 3 

2
2 
7
S = {±1} ; S = ∅ 
{ }

 3
1 
S = ± 3  ; S = − 2 




151
184)
4r 3 − 1 = 0 ;
9 f 3 +1 = 0

 3 3 
3 2
S =  2  ; S = − 3 
 



185)
d = 125 ;
5 d3
k 10 − 4 = 0
S = {±5} ; S = ± 5 2 


186) u 6 − 48 x 2 = 0 ;
187)
ay 3 − 1 = 0 ( a ≠ 0 );
{ }
{
}
S = ±2 4 3, 0 ; S = {3, 0}


z 7 − 243 z 2 = 0
a4x4 − 2 = 0


 1 
 4 2
S
=
;
a
≠
0
⇒
S
=
±
, a = 0 ⇒ S = ∅





3
 a 
 a


188)
az 4 − 4 = 0 ;
x6 − 2 + a = 0
{
}


 4
6
 a ≤ 0 ⇒ S = ∅, a > 0 ⇒ S =  ± 4 a  ; a ≤ 2 ⇒ S = ± 2 − a , a > 2 ⇒ S = ∅ 




189)
( 2a − 1)
3
190)
( c + 5)
+4 = 0;
4
−8 = 0 ;
( 3m − 1)
4
−1 = 0
( 2h − 9 )
3
−8 = 0
{} { }
S = ∅; S = 11 
{ 2 }

S = 3 ; S = 0, 2 

2
3 
Determina per quali valori del parametro a le seguenti equazioni ammettono soluzioni reali:
191)
(a − 2)x 4 − (a + 3) = 0
192)
(9 − a )x
193)
a2 x4 − 3 = 0
194)
(a + 3)x 5 + 5 − a = 0
2
6
 a ∈ ]−∞, −3] ∪ ]2, +∞[ 
 a ∈ ]−∞, −4] ∪ ]−3, 3[ 
−4−a = 0
 a ∈ R − {0}
 a ∈ R − {−3}
Risolvi in R le seguenti equazioni biquadratiche:
195) t 4 − 17t 2 + 16 = 0
S = {±1, ± 4}
4g 4 − 5g 2 + 1 = 0
S = ±1, ± 1 

2 
197) 9 w4 − 6 w2 + 1 = 0

 3
3 
S = ± 3 , ± 3 



198)
2 p4 − 9 p2 − 5 = 0
S = ± 5 


199)
2 y 4 − 9 y 2 − 10 = 0
[S = ∅ ]
200) 3 x 4 − 2 x 2 + 2 = 0
[S = ∅ ]
196)
201)
{
}
{ }
{
}
S = − 2, −1, 2 + 1 


z4 − 2 2z2 − 9 − 6 2 = 0
152
(
+(
)
S = {±1}
202)
a4 −
2 −1 a2 + 2 − 2 = 0
203)
m4
3 − 2 m2 − 6 = 0
204)
r 4 3 − 13r 2 + 4 3 = 0
205)
( 2b
206)
(t
207)
7 x 4 − 2 − 12( x − 1)( x + 1) = 5 x 4 − x 2 + 1
208)
a 2 + 142 = 9
a
209)
q2
= 27 − 4 4 2
2
3 q + 1 3q + 3 q + q
210)
1 = 1 + v2 + 3
v2 v2 − 2
211)
c2 + 3 = 0
c 2 + 4 c 4 − 16
212)
1 = ( 2 y + 1) − 4 y + 1 − 2
y2
4 y2 −1
213)
( 2z
214)
h 4 + 3 5 − 2h 2 + ( h − 3)( h + 3) = 0
215)
( 2d
216)
2 x 4 − 5a 2 x 2 − 3a 4 = 0
217)
2ay 4 − ( a + 2 ) y 2 + 1 = 0
218)
z 4 − 13bz 2 + 36b 2 = 0
2
2
{ }
)
)(
) (
S = ± 4 2 



 5
1 
S = ± 4 , ± 4 
3 
 12

)
(
2
{ }
S = ±1 , ± 1 
 {
3} 
)
S = ±2, ± 1 

3 
− 3 2b 2 + 3 + 2b 2 − 1 + 3b 2 = 12 3b 2 − 1 − b 4
)
(
2
)
− 1 + 8t 2 t 2 − 1 = 0
(


3 2 
S = ±1 , ± 2  

 

{
{


2 
S = ±1, ± 2  

 

{
{
2
{
)
S = ± 1 , ±

2
{
)
)(
)
(
}
3}

S = ± 1 3 + 13 


2
− 1 2 z 2 + 1 − ( z − 2 )( z + 2 ) = 12 z 2
(
}
S = ±1 , ± 3 


2
)(
}
S = ±2, ± 3 


)
2
}
S = ± 2, ± 7 


}
S = ± 2 , ± 3 


)
[S = ∅ ]
+1 d 2 + 1 − d 2 d 2 −1 + 4 = 0
{
}
S = ± a 3 



 1
 1
1 
 a ≤ 0 ⇒ S = ± 2  ; a > 0 ⇒ S = ± 2 , ± a 





{
}
b < 0 ⇒ S = ∅ ; b > 0 ⇒ S = ±3 b , ±2 b ; b = 0 ⇒ S = {0}



 a

S = ± 3 , ± b 



219) 3 x 4 − (a + 3b )x 2 + ab = 0
153
220)
ay 4 + ( 3a − 1) y 2 − 3 = 0
221)
a 2 = 3 z 2 − 2a 2
z 2 − a2
2z2


 1
 a > 0 ⇒ S = ± a  ; a ≤ 0 ⇒ S = ∅ 





 a 3

S = ± 3 , ± a 2 



Senza risolvere le seguenti equazioni stabilisci qual è il numero di soluzioni reali che esse
ammettono :
222)
2 x 4 − 3x 2 − 4 = 0 ;
2k 4 − k 2 + 3 = 0
223)
3r 4 + 9r 2 + 1 = 0 ;
2a 4 − 10a 2 + 5 = 0
224)
t 4 + 2t 2 − 5 = 0 ;
4 w4 − 20 w2 + 25 = 0
225)
x 4 − 2a 2 x 2 − a 2 = 0 ;
a2 x4 − 2 a2 +1 x2 + a2 = 0
(
)
Determina per quali valori del parametro k le seguenti equazioni biquadratiche ammettono:
a) quattro soluzioni reali;
b) due soluzioni reali;
c) nessuna soluzione reale
226)
x 4 − 2(k − 1)x 2 − 4k = 0
[a) k < 0; b) k ≥ 0; c) ∃k ]
227)
k 2 x 4 − 3x 2 − 1 = 0
[a) ∃k ; b) ∀k ∈ R; c) ∃k ]
228)
x 4 + 6kx 2 + 9k 2 − 3k = 0
a) k = 0; b) 0 < k ≤ 1 ; c) k < 0 ∨ k > 1 

3
3 
Esempio
Scomponiamo in fattori, se è possibile, il trinomio
9 x 4 − 10 x 2 + 1 .
Ponendo x 2 = t , otteniamo un trinomio di secondo grado
9 x 4 − 10 x 2 + 1 = 9t 2 − 10t + 1
Dobbiamo, quindi, scomporre in fattori un trinomio di secondo.
Ricordiamo che:
ax 2 + bx + c = a ( x − x1 )( x − x2 )
dove x1 , x2 sono le soluzioni dell’equazione associata al trinomio.
Risolviamo, allora, l’equazione: 9t 2 − 10t + 1 = 0 .
Poiché b è pari, calcoliamo ∆ e, successivamente, applichiamo la formula ridotta.
4
∆ = 25 − 9 = 16 ⇒ ∆ > 0 ⇒ esistono due soluzioni reali e distinte:
4
154
t1 = 5 − 4 = 1
−b± ∆
9
9
5
16
±
2
4
5
4
±
t 12 =
=
=
=ր
ց
a
9
9
t2 = 5 + 4 = 9 = 1
9
9
Pertanto, si ottiene
 1
9t 2 − 10t + 1 = 9 t − (t − 1) = (9t − 1)(t − 1) .
 9
Ricordando che t = x 2 , si ottiene:
( 9t − 1)( t − 1) = ( 9 x 2 − 1)( x 2 − 1) = (differenza di quadrati) = ( 3x − 1)( 3x + 1)( x − 1)( x + 1)
In definitiva:
9 x 4 − 10 x 2 + 1 = ( 3x − 1)( 3x + 1)( x − 1)( x + 1)
Scomponi in fattori, se è possibile, i seguenti polinomi:
229)
x 4 − 6x 2 + 8 ;
4a 4 − 13a 2 + 3
230)
9 s 4 + 8s 2 − 1 ;
p 4 + 7 p 2 + 10
231)
2 y4 − y2 + 3 ;
2r 4 − 11r 2 + 15
232)
x 4 − 4a 2 + 3 x 2 + 12a 2 ;
(
)
(
)
a 2 x 4 − 5 + 3a 2 x 2 + 15
Semplifica le seguenti frazioni algebriche, dopo averne determinato il dominio:
233)
x 4 − 6 x 2 − 27
;
x 4 − 13 x 2 + 36
x 4 − 3x 2 + 2
2 x 4 − 3x 2 − 2
 x2 + 3 , x2 − 1 
 x 2 − 4 2 x 2 + 1 
234)
4 x 4 + 5x 2 − 6
;
8x 4 − 2 x 2 − 3
2 x 4 − 13 x 2 + 6
x 4 − 2 x 2 − 24
 x2 + 2 , 2 x2 − 1
 2 x 2 + 1 x 2 + 4 
235)
x 4 − 5x 2
;
2 x 4 − 11x 2 + 5
2 x 3 + 5 x 2 − 3x
4 x 4 − 37 x 2 + 9
 x2
 2 ,
 2x −1

x
( 2 x + 1)( x − 3) 
Risolvi, in R, le seguenti equazioni trinomie:
236) u 6 − 7u 3 − 8 = 0 ;
S = {−1, 2} ; S = ∅ 
6b8 + 7b 4 + 2 = 0
237)
m8 − 20m4 + 64 = 0 ;
g 6 − 5g 3 + 8 = 0
238)
2a8 − 7 a 4 − 4 = 0 ;
32 s10 − 63s 5 − 2 = 0
239)
h8 − 21h 4 + 80 = 0 ;
k 12 − 63k 6 − 64 = 0
240)
4c8 − 45c 4 + 81 = 0 ;
4t10 + 5t 5 + 1 = 0
155
{
}
S = ± 2, ±2 ; S = ∅ 


S = ± 2 ; S =

{ }
{
{
}
5
}
2 ,− 1 
2 
S = ±2, ± 4 5 ; S = {±2}





3
1 
S = ± 3, ± 2  ; S = −1, − 5 4 





{
}
{
}
{
}
241)
x10 + 8a 5 x 5 − 9a 10 = 0
S = a, − a 5 9 


242)
a 8 y 8 − 17 a 4 y 4 + 16 = 0
S = ± 2 , ± 1 

a a 
243)
z10 + 8a 5 z 5 − 9a10 = 0
S = a 5 9, − a 


244)
a 8 x 8 − 17 a 4 x 4 + 16 = 0
S = ± 2 , ± 1 

a a 
{
}
S = a, − 1 
 {
2}
245) 8 y 6 − ( 8a 3 − 1) y 3 − a 3 = 0
246)
(
{
)
}
S = ±b, ± a 2 


z 8 − 4a 4 + b 4 z 4 + 4a 4b 4 = 0
Mediante opportune sostituzioni, risolvi, in R, le seguenti equazioni:
247)
(v
)
(
2
{
)
2
 x2 − 3   x2 − 3 
 +  2
 − 2 = 0
248)  2
 x +1   x +1 
249)
(a
250)
(2 p
251)
(b
3
)
+ a2
4
2
2
(

 1 
S = ± 3  

 

{
)
(
2
{
)
(
6
)
S = {0, − 1}
3
− 1 + 9 b3 − 1 + 8 = 0
 2 y −1 
 2 y −1 
252) 
 − 13  y  + 36 = 0
y




4
253)
(g
254)
4 d+1
d
255)
(z
2
−2
)
(
2
10
)
4
(
)
(
) +4=0
)
4
(
2
2
4
(
( u − 3)
3
}
{
}
{
}
{
}
S = 2 ± 6 


2
16
+ 11
15s 2 + 2s
S = 2 , − 8 
5 15 

+ 2 ( u − 3) − 3 ( u − 3) − 6 = 0
S = 3 ± 3,1 


258) 5 15s 2 + 2s =
259)
{
S = ± 1 ,0,1 
4


− 4 ( h − 2 ) − 12 = 0
)
}
S = {0, − 1}
2
+ z +1 − 2 z2 + z +1 +1 = 0
( h − 2)
{
S = {±1}
256)  6t2+ 3  − 4  6t2+ 3  + 3 = 0
 8t + 1 
 8t + 1 
257)
}
S = ± 3, ± 2 


5
)
{
S = 1 , 1 , − 1 


4 5
− 33 g 2 − 2 + 32 = 0
− 17 d + 1
d
}
S = − 1 , ± 1, 3 
2
2 

− p + 2 − 8 2 p 2 − p + 2 + 15 = 0
)
}
S = ± 2, ± 1 


− 8 a 4 + a 2 + 12 = 0
)
}
S = 0, − 3 9 


+ 1 + 7 v3 + 1 − 8 = 0
3
2
156
260)
(
c
2c − 5
) = 16
{ }
4
S = 10 , 2 


3
{
 x 
 2x + 1  x 
261) 
 = 12
+

 2x + 1 
 x   2x + 1
3
}
S = − 2 , − 2 

3 5 
Esempi
Risolviamo le seguenti equazioni:
( 2a
a)
2
) (
)
4
b) ( r 2 − 5r + 4 ) + ( r 2 − 5r − 6 ) = 0
4
4
− a −1 + a2 −1 = 0 ;
4
a) La somma di due numeri non negativi è nulla solo se questi sono entrambi nulli.
Deve essere, allora
( 2a
2
)
4
− a −1 = 0 ∧
(a
2
− 1) = 0 .
4
Risolviamo le due equazioni:
{ }
( 2a
2
(a
− 1) = 0 ⇒ a 2 − 1 = 0 ⇒ S2 = {−1,1} .
2
− a − 1) = 0 ⇒ 2a 2 − a − 1 = 0 ⇒ S1 = − 1 ,1 ;
2
4
4
La soluzione dell’equazione data è l’insieme S = S1 ∩ S2 ⇒ S = {1} .
b) La somma di due numeri non negativi è nulla solo se questi sono entrambi nulli.
(
Deve essere, allora r 2 − 5r + 4
)
4
=0 ∧
(r
2
− 5r − 6 ) = 0 .
4
Risolviamo le due equazioni:
(r
2
− 5r + 4 ) = 0 ⇒ r 2 − 5r + 4 = 0 ⇒ S1 = {1, 4} ;
(r
2
− 5r − 6 ) = 0 ⇒ r 2 − 5r − 6 = 0 ⇒ S2 = {−1, 6} .
4
4
La soluzione dell’equazione data è l’insieme S = S1 ∩ S2 ⇒ S = ∅.
Risolvi in R, le seguenti equazioni:
262)
( 3k
263)
m4 + ( m2 − m ) = 0
264)
(
265)
(z
266)
(8b
2
− 17 k − 6 ) + ( 3k 2 − 4k + 1) = 0
6
[S = ∅ ]
6
S = {0}
10
)
{ }
6
2t − 1 + 3  4t 2 − 1  = 0
 t 
t


4
4
) (
S = − 1 
2 

)
8
S = {±2}
8
− 3 z 2 − 4 + z 3 − 3 z 2 − 4 z + 12 = 0
3
) (
2
)
{}
S = 1 

2 
4
− 1 + 4b 2 − 4b + 1 = 0
157
267)
(v
268)
(y
269)
( 3w
4
2
) (
4
− 2v 2 − 3 + v 4 − v 2 − 6
− 3y
2
) +(y
4
)
2
2
)
6
{ }
S = ± 3 


=0
) (
)
8
S = {3}
6
− 9 + y3 − 3 y 2 + y − 3 = 0
(
)
− w + 1 − 3 3w 2 − w = 1
(poni 3w2 − w + 1 = y )

 1 1 ± 13 
S = 0, 3 , 6 



Risolvi in R le seguenti equazioni reciproche, dopo averne indicato il grado e la specie:
270)
{
(
) (
)


1 , 3 

S = −1,
3



271) 3a 3 + a 2 3 − 4 3 + 3 − 4 3 a + 3 = 0
272)
S = {1}
3 y3 − 4 y 2 + 4 y − 3 = 0
{
}
S = −1, 7 , 3 
3 7 }
 {
S = 1, 5 , 3 

3 5 
273) 15s 3 − 49 s 2 + 49 s − 15 = 0
274)
275)
21c 3 − 37c 2 + 37c + 21 = 0
2k 3 + k 2
(
) (
2 −4 +
)
{
277)
2z3 − z 2 2 + 3 2 − 2 + 3 2 z − 2 = 0
) (
)

 1

, 2 
S = 1,
2





1 , 2 

S = ±1,
2



2r 4 − 3r 3 + 3r − 2 = 0
S = {±1}
279) 3b 4 + 4b3 − 4b − 3 = 0


1 , 3 

S = ±1,
3



280) 3 g 4 − 4 3 g 3 + 4 3 g − 3 = 0
{
}
 S = ±1, − 1 , − 3 
}
{
3
S = 1, 2 , 9 

9 2 
281) 18 p 4 − 85 p 3 + 85 p − 18 = 0
282) u ( 3u + 10 ) = 10u 2+ 3
u
(
}
S = 1, − 2 , − 3 
3 2 

6t 3 + 7t 2 − 7t − 6 = 0
278)


1 , 2 

S = −1,
2



2 −4 k + 2 =0
276)
(
}
S = 1, 1 , 2 


2
2 x 3 − 3x 2 − 3x + 2 = 0
)
{
}
{
}
283)
d 4 − 1 = 2 5d d 2 − 1
S = ±1, 5 ± 2 


284)
20a 3 + 61a 2 + 61a + 20 = 0
S = 1, − 5 , − 4 

4 5 
158
(
286)
)
6m3 + 7 − 6 m 2 +
285)
(
)


1 , − 6 

S = 1, −
6



6 −7 m− 6 = 0


1 ,2 2 

S = ±1,
2 2



2 2x 4 − 9x3 + 9x − 2 2 = 0

 8 ± 39 
S = 1, 5 



287) 5t 3 − 21t 2 + 21t − 5 = 0
288)
289)
290)
291)
{
}
S = ±1, 3 , 5 
15s − 34 s + 34 s − 15 = 0
 {
5 3}
 a = 0 ⇒ S = 0,1 ; a ≠ 0 ⇒ S = a, 1 ,1 
ax − ( a + a + 1) x + ( a + a + 1) x − a = 0
{ }
{ a } 

2ay + ( 4a + 1) y − ( 4a + 1) y − 2a = 0  a = 0 ⇒ S = {0, ± 1} ; a ≠ 0 ⇒ S = {±1, − 2a, − 1 }

2a 
4
3
3
2
4
2
2
3
2
2
a x 4 − (a + 1)x 3 + (a + 1)x − a = 0
292)
293)
S = ±1, 2, 1 
2 

2 w4 − 5w3 + 5w − 2 = 0


1 

 a = 0 ⇒ S = {0, ± 1} ; a ≠ 0 ⇒ S = ±1 , a ,
a 


( a − 2 ) z 4 − ( a 2 − 4a + 5 ) z 3 + ( a 2 − 4a + 5 ) z + 2 − a = 0
{
}
 a = 2 ⇒ S = 0 e ± 1 ; a ≠ 2 ⇒ S = ±1, a − 2, 1 
{
}

a − 2 
Senza scomporre in fattori, risolvi, in R, le seguenti equazioni reciproche di quarto grado di prima
specie:
294)
{
}
S = 2, − 3 , − 2 , 1 
 {
2 3 2}
S = −1, − 1, − 1 , − 3 
}
 {
3
S = 2, 1 , − 1 , − 4 
}
 { 2 4
S = 2, 1 , 1 , 6 
 { 2 6 }
S = 3, 1 , − 1 , − 5 
}
 { 3 5
S = 6 , 7 
 { 7 6 }
S = −2, − 1 , 1 , 3 
2 3


6 y 4 − 5 y 3 − 38 y 2 − 5 y + 6 = 0
295) 12v 4 − 4v 3 − 41v 2 − 4v + 12 = 0
296) 3b 4 + 16b3 + 26b 2 + 16b + 3 = 0
297) 8c 4 + 14c3 − 69c 2 + 14 x + 8 = 0
298) 12 z 4 − 104 z 3 + 209 z 2 − 104 z + 12 = 0
299) 15 g 4 + 28 g 3 − 230 g 2 + 28 g + 15 = 0
300)
42 p 4 − 85 p 3 + 84 p 2 − 85 p + 42 = 0
159
{
}
S = − 5 , − 2 , 3 , 2 
 { 2 5 2 3 }
S = 1, 1, 1 , 3 
 {
3 }
S = −5, − 1 

5 
301) 5k 4 + 26k 3 + 10k 2 + 26k + 5 = 0
302)
60m 4 + 44m3 − 257 m 2 + 44m + 60 = 0
303) 3d 4 − 16d 3 + 26d 2 − 16d + 3 = 0
304)
[S = ∅ ]
2t 4 + t 3 + 8t 2 + t + 2 = 0
305) 18( x + 1) + 21( x + 1) − 94( x + 1)x 2 + 21( x + 1) + 18 = 0
4
3
{
}
S = − 4 , − 1 , 1 , − 4 


3 3 2
Scrivi le equazioni che hanno come insieme soluzione i seguenti insiemi e, successivamente, verifica
che sono equazioni reciproche:


306) S =  5, 1 , −1 ;
5


{ }
S = { 3 , 2 , −2, − 1 } ;
2 3
2
307) S = 1 , 2, ±1 ;
2
308)
{
}
S = {−4, − 1 , ±1}
4
S = {3, 1 , −2, − 1 }
3
2
S = 2 , 3 , +1
3 2
Classifica e risolvi le seguenti equazioni di grado superiore al secondo di vario tipo:
309)
z 3 − 3 z 2 + 7 z − 21 = 0
310)
(v
2
)(
S = { 3}
)
S = {±1, 2}
− 4v + 4 v 4 − 1 = 0
{
}
311) 9h 4 − 4h 2 = 0
S = ± 2 , 0 


3
312) 36 x 4 − 1 = 0

 1 

S = ±
 6 

{
}
S = −3 2 


313)
w3 + 54 = 0
314)
c 6 − 8c 3 + 15 = 0
315)
(5z
316)
4r 4 − 25r 2 + 36 = 0
S = ± 3 , ±2 


2
317)
a 3 − 8a 2 − 11a + 18 = 0
S = {−2,1, 9}
318)
(y
S = − 3 3,1 


3
2
S =

3
}
5, 3 3 


 2 5 2 
S = ± 5 , 3 



)
− 4 ( 3z − 2 ) = 0
)
{
{
}
{
4
+ 1 = 16
160
}
319)
(x − 3)4 − 8(x − 3)2 − 9 = 0
320)
(k
=1
S = −1, −1 ± 2 


321)
4m3 + 21m 2 + 21m + 4 = 0
S = −4, −1, − 1 
4 

322)
2t 4 + 5t 3 − 5t − 2 = 0
2
+ 2k
)
6
S = {0, 6}
{
{
}
S = ±1, 2, 1 
 {
2 }
S = 3, 1 
 { 3}
323) 3s 4 − 10 s 3 + 6 s 2 − 10 s + 3 = 0
(
) + (5z
6
324)
z 4 + 5z3 − 2 z
325)
(f
326)
6a 3 + 11a 2 − 19a + 6 = 0
327)
2d 3 − 5d 2 − 4d + 10 = 0
328)
2 m 4 − 5m 3 + 7 m 2 − 7 m + 3 = 0
329)
2 y 4 + 5 y 3 − 18 y 2 − 45 y = 0
3
2
)(
− 7z + 2
)
4
[S = ∅ ]
=0
{ }
S = −3, 1 , 2 
 {
2 3 }
S = ± 2, 5 
 {
2}
)
S = −2, 1 , 3 

2 
+8 2 f 2 −7 f +3 = 0
S = {1}
{

 3 3 9 
S
=
 4, 3 




{ }
S = ± 3 


331)
4a8 − 35a 4 − 9 = 0
332)
h4 − 2 3 + 3 h2 − 2
333)
m4 + 2 2 5 − 7 m2 − 5 4 5 − 9 = 0
)
(
)
}
S = − 5 , ± 3, 0 


2
330) 3v 6 − 11v 3 − 4 = 0
(
}
(
{(
)
(
{(
)
28 x3 − 37 x 2 − 37 x + 28 = 0
336)
7b3 − 57b 2 + 57b − 7 = 0
3 +1 

)
}
S = ± 2 − 5 , ± 5 


{ }
S = −1, 4 , 7 
 { 7 4}
S = 1 , 1, 7 
}
 { 7
S = −1, 5 , 7 
 { 7 5 }
S = ±1, 3 , 5 
5 3 

334) 15 x 4 − 34 x3 + 34 x − 15 = 0
335)
)}
S = ±

3+2 =0
337) 35 p 4 − 4 p 3 − 78 p 2 − 4 p + 35 = 0
161
338) Quale numero diverso da 0 è tale che la sua decima parte è uguale a dieci volte il quadrato del
numero stesso?
a) 1 ;
100
b) 1 ;
10
c) 1
2
d) 1;
e) 10.
[Olimpiadi Matematica, 1999]
339) Siano a, b, c le soluzioni dell’equazione x 3 − 3 x 2 − 18 x + 40 = 0 . Sapendo che ab = 10 ,
calcolare
c(a + b ) .
a) − 28
b) − 18
c) 21
d) 22
e) non si può determinare
[Olimpiadi Matematica, 2000]
340) Quante soluzioni positive ha l’equazione 1+1/(1+1/(1+1/1/x)) = x?
a) 0;
b) 1;
c) 2;
d) 3;
e) infinite.
[Olimpiadi Matematica, 2004]
341) Il valore di a ≥ 0, per cui l’equazione x 2 + ax + a + 1 = 0 ha almeno una soluzione reale, è
a) 2 2 + 2 ;
b) 2 2 − 2 ;
d) 3 2 − 3 ;
c) 3 3 + 3 ;
e) 2 2 + 3 .
[Olimpiadi Matematica, 2004]
342) Quanti numeri interi relativi x risolvono l’equazione
a) 1
b) 3
(x
c) 4
2
)
− x −1
x+2
d) 5
= 1?
e) infiniti
[Olimpiadi Matematica, 2004]
343) a e b sono due numeri reali tali che 2a4 − 4ab + b2 + 2 = 0 .
Quanti valori distinti può assumere a?
a) 1;
b) 2;
c) 3;
d) 4;
e) non esiste alcuna coppia (a, b) che verifica la condizione.
[Olimpiadi Matematica 2005]
344) Il numero reale a è tale che l’equazione x2 + 2ax + 1 = 0 ha due soluzioni reali coincidenti.
Quanti sono i possibili valori di a?
a) Nessuno;
b) uno;
c) due;
d) tre;
e) quattro.
[Olimpiadi Matematica, 2006]
345) Per quanti numeri naturali n, sia n che (n − 6)2 + 1 sono primi?
a) 1;
b) 3;
c) 4;
d) 7;
e) più di 8.
[Olimpiadi Matematica, 2009]
162
346) Per quanti valori distinti del numero naturale n l’equazione 3x2 + 2nx + 3 = 0 ha due soluzioni
reali distinte, e queste sono entrambe numeri interi?
a) Nessuno;
b) 1;
c) 2;
d) 4;
e) più di 5.
[Olimpiadi Matematica 2010]
347) Determina la somma dei quadrati di tutti i numeri reali che soddisfano l’equazione
x 256 − 25632 = 0 .
a) 1
b) 8
c) 9
d) 2
e) 4
[Olimpiadi Matematica, Tor Vergata, 2010]
163
CAPITOLO 15
LE DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO
15.1 La funzione y = ax2
Nel capitolo 11 abbiamo visto che la rappresentazione grafica della funzione espressa da un
polinomio di primo grado,
y = ax + b (al variare di a, b in R), è una retta non parallela all’asse
delle ordinate.
È lecito chiedersi quale sarà la rappresentazione grafica di un polinomio di secondo grado, cioè
della funzione f ( x ) = ax 2 + bx + c al variare dei coefficienti a, b, c nell’insieme dei numeri reali.
Osserviamo subito che sarà sempre a ≠ 0; infatti: a = 0 ⇒ f ( x ) = bx + c e, quindi, l’espressione di
f ( x ) è data da un polinomio di primo grado e la sua rappresentazione grafica è una retta.
Tutte le considerazioni che faremo in questo capitolo terranno conto della condizione a ∈ R − {0} .
Consideriamo la funzione
f ( x ) = ax 2 + bx + c nel caso in cui b = 0 e c = 0; quindi la funzione
f ( x ) = ax 2 e determiniamone la rappresentazione grafica.
Come fatto in precedenza, iniziamo con l’analisi di casi particolari per arrivare, successivamente,
alla generalizzazione.
a=1
Si ha la funzione y = x 2 (fig. 1).
Nella prima e seconda colonna della seguente tabella sono riportati, rispettivamente, alcuni
valori assegnati alla variabile indipendente e le loro immagini.
y = x2
x
y
−2
4
−1
1
0
0
1
1
2
4
(fig. 1)
164
Analizziamo la rappresentazione grafica ottenuta:
a) i punti appartenenti alla funzione y = x 2 non sono allineati; la curva che abbiamo ottenuto
si chiama parabola e, si dice, che ha la concavità rivolta verso l’alto;
b) l’origine degli assi è un punto della parabola;
c) la parabola è situata nel I e II quadrante;
d) per ogni punto della parabola ne esiste un altro che, pur avendo ascissa diversa, ha la
stessa ordinata (ad esempio: i punti A e B, i punti C e D) e questi sono equidistanti
dall’asse delle ordinate.
Dalle osservazioni b) e c) deduciamo che il codominio della funzione y = x 2 è l’insieme R0+ ; in
particolare, il codominio della funzione ammette un valore minimo: il valore “0”.
Il punto che ha come ordinata questo valore, cioè il più piccolo fra i valori appartenenti al
codominio della funzione, prende il nome di vertice della parabola.
L’osservazioni d) ci permette di affermare che l’asse delle ordinate è asse di simmetria per la
parabola.
a=2
Si ha, quindi, la funzione y = 2 x 2 .
In fig. 2 sono riportati i grafici della funzione y = x 2 (colore nero) y = 2 x 2 (colore rosso)
y = 2 x2
x
y
−2
8
−1
2
0
0
(fig. 2)
1
2
2
8
165
Analizziamo la fig. 2 per cogliere analogie e differenze fra le due rappresentazioni grafiche.
Analogie
• i punti di entrambe le funzioni non sono allineati;
• la curva rappresentativa di y = 2 x 2 ha la stessa forma del grafico della funzione y = x 2 ,
quindi anche essa è una parabola ed ha la concavità rivolta verso l’alto;
• l’origine degli assi appartiene al grafico di entrambe le funzioni;
• entrambe le parabole sono situate nel I e II quadrante;
• in entrambe le funzioni, per ogni punto ne esiste uno che, pur avendo ascissa diversa, ha la
stessa ordinata e questi sono equidistanti dall’asse delle ordinate.
Entrambe le funzioni, quindi, hanno come:
• codominio l’insieme R0+ ;
• vertice l’origine degli assi;
• asse di simmetria l’asse delle ordinate.
Differenze
L’unica differenza fra i due grafici riguarda l’ampiezza della parabola: la parabola di equazione
y = 2 x 2 è “più stretta” rispetto a quella di equazione y = x 2 .
Poiché l’unica differenza fra le equazioni delle due funzioni è il valore di a (coefficiente numerico
del monomio di secondo grado), possiamo pensare che l’ampiezza della parabola dipenda dal valore
di a.
In fig. 3 è disegnata la parabola di equazione y = x 2 ; completa la seguente tabella e rappresenta,
nella stessa figura, la funzione di equazione y = 1 x 2 .
2
y = 1 x2
2
x
y
−2
−1
(fig. 3)
0
1
2
166
Analizza la fig. 3 per cogliere analogie e differenze fra le due rappresentazioni grafiche, come fatto
in precedenza .
Completa le seguenti proposizioni in modo che esse risultino vere
Analogie
• i punti di entrambe le funzioni ………. sono allineati;
• la curva rappresentativa di y = 1 x 2 ha la …………… forma del grafico della funzione
2
y = x 2 , quindi anche essa è una parabola ed ha la concavità rivolta verso l’………..;
• l’origine degli assi appartiene al grafico di ………… le funzioni;
• entrambe le parabole sono situate nel …… e ……. quadrante;
• in entrambe le funzioni, per ogni punto ne esiste uno che, pur avendo ascissa diversa, ha la
……………….. ordinata e questi sono ……………………… dall’asse delle ordinate.
Entrambe le funzioni, quindi, hanno come:
• codominio l’insieme …….. ;
• vertice l’…….. degli assi;
• asse di simmetria l’asse delle ……………………. .
Differenze
La sola differenza fra i due grafici riguarda l’ampiezza della parabola: la parabola di equazione
y = 1 x 2 è “più larga” rispetto a quella di equazione y = x 2 .
2
In fig. 4 è rappresentata la parabola y = x 2 . Rappresenta, nella stessa figura, le funzioni del tipo
y = ax 2 assegnando ad a i seguenti valori: a = 1 ; a = 3 ; a = 3 ; a = 3 .
3
4
2
(fig. 4)
167
Analizza la fig. 4 per cogliere analogie e differenze fra le rappresentazioni grafiche ottenute e ripeti
le osservazioni fatte per le figg. 2 e 3.
Riassumendo i risultati ottenuti, possiamo affermare che tutte le funzioni rappresentate hanno come:
• grafico una parabola con la concavità rivolta verso l’alto;
• codominio l’insieme R0+ ;
• vertice l’origine degli assi;
• asse di simmetria l’asse delle ordinate.
L’unica differenza fra i diversi grafici riguarda l’ampiezza della parabola; tale ampiezza dipende dal
coefficiente a.
Osserviamo che, in questi casi, all’aumentare di a, la parabola diventa “più stretta”.
Nei casi precedenti abbiamo considerato, per il coefficiente a, solo valori positivi; adesso,
assegniamo ad a valori negativi.
a = −1
Si ha, quindi, la funzione y = − x 2 la cui rappresentazione grafica è riportata in fig. 5.
y = − x2
x
y
−2
−4
−1
−1
0
0
1
−1
2
−4
(fig. 5)
Analizziamo la rappresentazione grafica ottenuta:
a) i punti appartenenti alla funzione y = − x 2 non sono allineati; la curva che abbiamo
ottenuto, possiamo dire, che è analoga a quella della funzione y = x 2 però è capovolta; essa
è, quindi, una parabola e la sua concavità è rivolta verso il basso;
b) l’origine degli assi è un punto della parabola;
c) la parabola è situata nel III e IV quadrante;
168
d) per ogni punto della parabola ne esiste un altro che, pur avendo ascissa diversa, ha la
stessa ordinata (ad esempio: i punti A e B, i punti C e D) e questi sono equidistanti
dall’asse delle ordinate.
Dalle osservazioni b) e c) deduciamo che il codominio della funzione y = − x 2 è l’insieme R0− ;
in particolare, il codominio della funzione ammette un valore massimo: il valore “0”.
Il punto che ha come ordinata questo valore, cioè il più grande fra i valori appartenenti al
codominio della funzione, è il vertice della parabola.
L’osservazioni d) ci permette di affermare che l’asse delle ordinate è asse di simmetria per la
parabola.
In fig. 6 è rappresentata la parabola y = − x 2 .
Completa le seguenti tabelle e rappresenta, nella stessa figura, le funzioni del tipo y = ax 2 dove
ad a sono stati assegnati valori negativi: a = − 1 ; a = − 3 ;
2
2
y = − 1 x2
2
x
y = − 2 x2
3
x
y = − 3 x2
2
x
y = −2 x 2
−2 −1
0
1
2
−3 −1
0
1
3
−2 −1
0
1
2
a = −2 .
y
y
y
x
−2 −1
0
1
2
y
(fig.6)
169
Analizza la fig. 6 per cogliere analogie e differenze fra le rappresentazioni grafiche ottenute.
Completa le seguenti proposizioni in modo che esse risultino vere
Analogie
• i punti di tutte le funzioni ……… sono allineati;
• le curve rappresentative delle diverse funzioni hanno la …………… forma del grafico
della funzione y = − x 2 , quindi anche esse sono parabole con la concavità rivolta verso il
…………….. ;
• l’origine degli assi appartiene al grafico di ………… le funzioni;
• tutte le parabole sono situate nel …… e ……. quadrante;
• in tutte le funzioni, per ogni punto ne esiste uno che, pur avendo ascissa diversa, ha la
……………….. ordinata e questi sono ……………………… dall’asse delle ordinate.
Tutte le funzioni rappresentate nella fig. 6, quindi, hanno come:
• codominio l’insieme …….. ;
• vertice l’…….. degli assi;
• asse di simmetria l’asse delle ……………………. .
Differenze
L’unica differenza fra i grafici delle diverse funzioni riguarda l’ampiezza della parabola:
− la parabola di equazione y = − 1 x 2 è “più larga” rispetto a quella di equazione y = − x 2 ;
2
− la parabola di equazione y = − 2 x 2 è “più larga” rispetto a quella di equazione y = − x 2 ;
3
− la parabola di equazione y = − 3 x 2 è “più stretta” rispetto a quella di equazione y = − x 2 ;
2
− la parabola di equazione y = −2 x 2 è “più stretta” rispetto a quella di equazione y = − x 2 .
Poiché l’unica differenza fra le equazioni delle due funzioni è il valore di a (coefficiente numerico
del monomio di secondo grado), si rafforza l’ipotesi che l’ampiezza della parabola dipenda dal
valore di a.
Osserviamo che, nel caso in cui a assume valori negativi, all’aumentare del valore di a la
parabola diventa “più larga”.
Possiamo, adesso, così sintetizzare le osservazioni fin qui fatte:
la rappresentazione grafica della funzione y = ax 2 ( a ∈ R − {0}) è una parabola avente per
vertice l’origine degli assi e per asse di simmetria l’asse delle ordinate.
Il vertice è il punto intersezione della parabola con il suo asse di simmetria.
170
Dal valore di a dipende l’ampiezza della parabola
Distinguiamo i seguenti casi:
a>0
la parabola ha la concavità rivolta verso l’alto;
la parabola è situata nel I e III quadrante; il codominio della funzione è R0+
( ∀x ∈ R, y ≥ 0 ) ;
maggiore è il valore di a, minore è l’ampiezza della parabola.
a<0
la parabola ha la concavità rivolta verso il basso;
la parabola è situata nel II e IV quadrante; il codominio della funzione è R0−
( ∀x ∈ R, y ≤ 0 ) ;
maggiore è il valore di a, maggiore è l’ampiezza della parabola.
PROVA TU
Senza rappresentarle, indica dei grafici delle seguenti funzioni:
▪ la concavità;
▪ il codominio della funzione;
▪ le coordinate del vertice;
▪ l’asse di simmetria.
a) y = −4 x 2 ;
b) y = 5 x 2 ;
4
c) y = 6 x 2 ;
13
d) y = − 1 x 2 ;
4
e) y = −5 x 2
15.2 La funzione y = ax 2 + bx + c
Analizziamo tre casi:
I caso: b = 0 e c ≠ 0. La funzione, quindi, è del tipo y = ax 2 + c
Sia a = 1 e c = 1; l’equazione della funzione diventa y = x 2 + 1 il cui grafico è riportato in fig.7.
y = x2 + 1
x
y
−2
5
−1
2
0
1
1
2
2
5
(fig. 7)
171
Osservando la fig.7, notiamo che:
a) la curva ottenuta è una parabola con la concavità rivolta verso l’alto (a > 0);
b) la parabola è situata nel I e III quadrante; il suo codominio è l’insieme C = [1, +∞[
c) il punto intersezione della parabola con l’asse delle ordinate ha coordinate ( 0,1) ;
d) il vertice della parabola ha coordinate ( 0,1) , perchè il “più piccolo” valore del codominio è 1;
e) esistono sempre due punti della parabola che, pur avendo ascissa diversa, hanno uguale
ordinata;
f) per ogni punto della parabola ne esiste uno che ha la stessa distanza dall’asse delle ordinate.
Le osservazioni e) ed f) ci permettono di affermare che l’asse delle ordinate è asse di simmetria
della parabola.
In fig. 8 sono rappresentate le funzioni y = x 2 (colore rosso) e y = x 2 + 1 (colore nero)
(fig. 8)
Poniamo la nostra attenzione sulle coordinate dei punti A (appartenete a y = x 2 ) e A' (appartenente
a y = x 2 + 1 ): A ( −1,1) ,
Si ha, quindi:
xA' = xA ,
A' ( −1, 2 ) .
yA' = yA + 1
Osservando le coordinate degli altri punti evidenziati in fig. 8, si osserva che:
♦ xB' = xB ,
yB' = yB + 1 ;
♦ xC' = xC ,
yC' = yC + 1 ;
♦ xD' = xD ,
yD' = yD + 1 .
Queste osservazioni sono più generali:
♦ presi due punti M (appartenente alla parabola y = x 2 ) ed M' (appartenente alla parabola
y = x 2 + 1 ) aventi la stessa ascissa, per le loro ordinate vale la relazione yM' = yM + 1
172
Possiamo, allora, dire che la parabola di equazione y = x 2 + 1 è ottenuta da quella di equazione
y = x 2 applicando una traslazione di vettore v parallelo all’asse delle ordinate, avente verso uguale
a quello della direzione positiva dell’asse y e v =1.
Le equazioni delle parabole che abbiamo confrontato, differiscono fra di loro per la presenza del
termine c = 1.
Sia a = 1 e c = −1; l’equazione della funzione diventa y = x 2 − 1 .
In fig. 9 sono riportati i grafici delle funzioni y = x 2 − 1 (colore nero) e y = x 2 (colore rosso).
y = x2 −1
x
y
−2
3
−1
0
0
−1
1
0
2
3
(fig. 9)
Osserviamo il grafico della funzione y = x 2 − 1 .
a) la curva ottenuta è una parabola con la concavità rivolta verso l’alto (a > 0);
b) i punti della parabola sono situati in tutti i quadranti; il codominio della funzione è l’insieme
C = [ −1, +∞[ ;
c) il punto intersezione della parabola con l’asse delle ordinate ha coordinate ( 0, −1) ;
d) il vertice della parabola ha coordinate ( 0, −1) , perchè il “più piccolo” valore del codominio è
−1;
e) esistono sempre due punti della parabola che, pur avendo ascissa diversa, hanno uguale
ordinata;
f) per ogni punto della parabola ne esiste uno che ha la stessa distanza dall’asse delle ordinate.
Le osservazioni e) ed f) ci permettono di affermare che l’asse delle ordinate è asse di simmetria
della parabola.
173
Come fatto in precedenza, confrontiamo i due grafici della fig. 9; in particolare cerchiamo di
stabilire delle relazioni fra le coordinate dei punti evidenziati.
Osserviamo che:
♦ xA' = xA ,
yA' = yA − 1 ;
♦ xB' = xB ,
yB' = yB − 1 ;
♦ xC' = xC ,
yC' = yC − 1 ;
♦ xD' = xD ,
yD' = yD − 1 .
Queste osservazioni, come nel caso precedente, sono più generali:
♦ presi due punti M, appartenente alla parabola y = x 2 , ed M' , appartenente alla parabola
y = x 2 − 1 , aventi la stessa ascissa, per le loro ordinate vale la relazione yM' = yM − 1
Possiamo, allora, dire che la parabola di equazione y = x 2 − 1 è ottenuta da quella di equazione
y = x 2 applicando una traslazione di vettore v parallelo all’asse delle ordinate, avente verso
opposto a quello della direzione positiva dell’asse y e v =1.
Le equazioni delle parabole che abbiamo ora confrontato, differiscono fra di loro per la presenza del
termine c = −1.
• Dalla rappresentazione grafica delle funzioni y = x 2 + 1 e y = x 2 − 1 deduciamo che:
il termine c, nell’equazione della parabola y = ax 2 + c , indica l’ordinata del punto
intersezione della parabola stessa con l’asse delle ordinate ed è anche l’ordinata del
vertice della parabola;
c è uguale al modulo del vettore v , parallelo all’asse delle ordinate, della traslazione che
alla parabola di equazione y = ax2 fa corrispondere la parabola di equazione y = ax 2 + c ;
Inoltre,
• c>0:
il verso di v è uguale a quello della direzione positiva dell’asse delle
ordinate;
• c < 0:
il verso di v è opposto a quello della direzione positiva dell’asse delle
ordinate.
Rappresenta, nel piano cartesiano della fig. 10, dove è stata rappresentata la funzione y = − x 2 , le
funzioni sotto elencate, e individua le caratteristiche della loro rappresentazione grafica come fatto
nell’esempio precedente:
a) y = − x 2 + 1 ;
b) y = − x 2 − 1 ;
c) y = − x 2 − 2 ;
174
d) y = − x 2 + 1
2
(fig. 10)
In generale, allora:
la rappresentazione grafica della funzione y = ax 2 + c è una parabola che ha vertice nel punto
di coordinate ( 0, c ) e per asse di simmetria l’asse delle ordinate .
Il vertice, come nel caso precedente, è il punto intersezione della parabola con il suo asse di
simmetria.
Inoltre,
se a > 0, la parabola ha la concavità rivolta verso l’alto e il codominio della funzione è
l’insieme C = [ c , +∞[ ;
se a < 0; la parabola ha la concavità rivolta verso il basso e il codominio della funzione è
l’insieme C = [ −∞ , c[ .
La parabola di equazione y = ax 2 + c è ottenuta per traslazione da quella di equazione y = ax2.
Il vettore v della traslazione è parallelo all’asse delle ordinate ed è tale che:
•
v = c;
• se c > 0, ha verso uguale a quello della direzione positiva dell’asse delle ordinate;
• se c < 0, ha verso opposto a quello della direzione positiva dell’asse delle ordinate.
175
PROVA TU
Senza rappresentarle, stabilisci qual è il grafico delle seguenti funzioni
indicandone le
caratteristiche:
▪ concavità;
▪ coordinate del punto intersezione con l’asse y;
▪ asse di simmetria;
▪ coordinate del vertice;
a) y = −2 x 2 + 1 ;
2
b) y = 3 x 2 − 3 ;
4
▪ codominio della funzione.
c) y = − x 2 + 2 ;
3
d) y = 1 x 2 − 4
4
II caso: b ≠ 0 e c = 0. La funzione, quindi, è del tipo y = ax 2 + bx .
Sia a = 1 e b = 2; la funzione diventa y = x 2 + 2 x .
La rappresentazione grafica di questa funzione è riportata nella fig. 11.
y = x2 + 2 x
x
y
−2
0
−1
−1
0
0
1
3
2
8
(fig. 11)
Dall’analisi della fig. 11, notiamo che:
a) il grafico della funzione y = x 2 + 2 x è, come ci aspettavamo, una parabola con la concavità
rivolta verso l’alto (a > 0) e che questa passa per l’origine degli assi;
b) il codominio della funzione è l’insieme C = [ −1, +∞[ ;
c) il vertice della parabola ha coordinate ( −1, −1) , perché −1 è il “più piccolo” valore del
codominio;
d) i punti della parabola che hanno la stessa ordinata sono equidistanti dalla retta di
equazione x = −1 ;
e) la retta di equazione x = −1 , quindi, è asse di simmetria per la parabola.
Mettiamo in evidenza che, in questa parabola, il vertice non è un punto dell’asse delle ordinate e,
di conseguenza, l’asse di simmetria non è l’asse delle ordinate, ma è una retta ad esso parallela.
176
Dal confronto della forma delle equazioni delle parabole che abbiamo rappresentato, deduciamo che
dal coefficiente b dipende l’ascissa del vertice della parabola e, quindi, l’equazione dell’asse di
simmetria.
In realtà, è possibile dimostrare, e lo farai nel corso degli studi dei prossimi anni, che l’ascissa del
b
vertice di una parabola è legata ai coefficienti a e b dalla relazione: xV = −
.
2a
( )
Per determinare l’ordinata del vertice della parabola è sufficiente determinare f − b .
2a
(
( )) .
Quindi, il vertice della parabola ha coordinate − b , f − b
2a
2a
L’asse di simmetria, essendo una retta parallela all’asse delle ordinate e passante per il vertice della
b
parabola, ha equazione x = −
.
2a
Sia a = −1 e b = 1; la funzione diventa y = − x 2 + x e la sua rappresentazione è riportata in fig.12.
y = − x2 + x
x
y
−1
−2
0
0
1
0
2
−2
3
−6
(fig. 12)
Dall’osservazione della fig. 12 non è semplice determinare le coordinate del vertice; le calcoliamo,
allora, applicando le relazioni scritte in precedenza:
♦ xV = − b ⇒ xV = − 1 = 1
2a
2 ⋅ ( −1) 2
( ) ( ) + 12 = − 14 + 12 = 14
♦ yV = f 1 = − 1
2
2
2
177
Analizzando la fig. 12, completa le seguenti proposizioni:
a) il grafico della funzione y = − x 2 + x è una ………………… con la concavità rivolta verso il
……………… (a …….. 0) e questa passa per l’…………….. degli assi;
b) il codominio della funzione è l’insieme C =  ......... , 1  ;

4 
c) il vertice della parabola ha coordinate (......... , .......) , perché …….. è il “più grande” valore
del codominio;
d) i punti della parabola che hanno la stessa ordinata sono ………………….. dalla retta di
equazione x = ........... ;
e) la retta di equazione x = .......... , quindi, è asse di simmetria per la parabola.
Rappresenta, nel piano cartesiano della fig. 13, le funzioni sottoelencate e, per ciascuna di esse,
individua le caratteristiche della rappresentazione grafica come fatto negli esempi precedenti:
a) y = x 2 − 2 x ;
b) y = −2 x 2 + 3 x ;
c) y = 1 x 2 − x ;
2
d) y = − x 2 − x
(fig. 13)
178
Possiamo, adesso, generalizzare:
la rappresentazione grafica della funzione y = ax 2 + bx è una parabola passante per l’origine
degli assi;
xV = − b ,
2a
il vertice ha coordinate:
( )
yV = f − b ;
2a
l’asse di simmetria è la retta di equazione x = − b .
2a
Inoltre:
se a > 0, la parabola ha la concavità rivolta verso l’alto e il codominio della funzione è
( )
l’insieme C =  f − b , +∞  ;


2a
se a < 0; la parabola ha la concavità rivolta verso il basso e il codominio della funzione è
( )
l’insieme C =  −∞ , f − b  .

2a 
PROVA TU
Senza rappresentarle, stabilisci qual è il grafico delle seguenti funzioni
indicandone le
caratteristiche:
▪ concavità;
▪ coordinate del punto intersezione con l’asse y;
▪ asse di simmetria;
▪ coordinate del vertice;
a) y = − 2 x 2 − 3 x ;
3
III caso:
b) y = 3 x 2 − 5 x ;
5
▪ codominio della funzione.
c) y = 4 x 2 − x ;
d) y = − 3 + 2 x .
2
b ≠ 0 e c ≠ 0. La funzione, quindi, è del tipo y = ax 2 + bx + c .
Nell’analizzare la funzione y = ax 2 + c , abbiamo osservato che essa può essere ottenuta per
traslazione dalla funzione y = ax 2 ed il vettore traslazione, parallelo all’asse delle ordinate,
dipende, in qualche modo, dal coefficiente c.
Le osservazioni fatte in quel caso, valgono anche per la funzione y = ax 2 + bx + c : essa, infatti, può
essere ottenuta dalla funzione y = ax 2 + bx per traslazione ed il vettore traslazione, parallelo all’asse
delle ordinate, dipende dal coefficiente c.
Ad esempio, nella fig. 14 sono rappresentate le funzioni y = x 2 + 2 x − 1 (colore rosso) e y = x 2 + 2 x
(colore nero).
179
y = x2 + 2 x − 1
x
y
−3
2
−2
−1
−1
−2
0
−1
1
3
(fig. 14)
Osservando la fig. 14, possiamo dire che
a) il grafico della funzione y = x 2 + 2 x − 1 è una parabola che ha la concavità rivolta verso l’alto
(a > 0) ;
b) il punto intersezione con l’asse y ha coordinate ( 0, −1) ;
c) il codominio della funzione è l’insieme C = [ −2, +∞[ ;
d) il vertice della parabola ha coordinate ( −1, −2 ) , perché −1 è il “più piccolo” valore del
codominio (determina le coordinate del vertice applicando le relazioni precedenti) ;
e) i punti della parabola che hanno la stessa ordinata sono equidistanti dalla retta di
equazione x = −1 ;
f) la retta di equazione x = −1 , quindi, è asse di simmetria per la parabola.
Confrontiamo, ora, i grafici della fig. 14 e, in particolare, cerchiamo di stabilire delle relazioni fra le
coordinate dei punti evidenziati.
Osserviamo che:
♦ xA' = xA ,
yA' = yA − 1 ;
♦ xB' = xB ,
yB' = yB − 1 ;
♦ xV' = xV ,
yV' = yV − 1 ;
♦ xC' = xO ,
yC' = yO − 1 ;
♦ xD' = xD ,
yD' = yD − 1 .
Queste osservazioni sono più generali:
♦ preso il punto P, appartenente alla parabola y = x 2 + 2 x , ed il punto P' , appartenente alla
parabola y = x 2 + 2 x − 1 , aventi la stessa ascissa, per le loro ordinate vale la relazione
yP' = yP − 1 .
180
Quindi, la parabola di equazione y = x 2 + 2 x − 1 è ottenuta da quella di equazione y = x 2 + 2 x
applicando una traslazione di vettore v parallelo all’asse delle ordinate, avente verso opposto a
quello della direzione positiva dell’asse y e v =1.
Possiamo, adesso, generalizzare:
la rappresentazione grafica della funzione y = ax 2 + bx + c è una parabola che interseca
l’asse delle ordinate nel punto di coordinate ( 0, c ) ;
il vertice ha coordinate:
xV = − b ,
2a
( )
yV = f − b ;
2a
l’asse di simmetria è la retta di equazione x = − b .
2a
Inoltre:
se a > 0, la parabola ha la concavità rivolta verso l’alto e il codominio della funzione è
( )
l’insieme C =  f − b , +∞  ;
2a


se a < 0; la parabola ha la concavità rivolta verso il basso e il codominio della funzione è
( )
l’insieme C =  −∞ , f − b  .

2a 
La parabola di equazione y = ax 2 + bx + c può essere ottenuta per traslazione da quella di
equazione y = ax 2 + bx .
Il vettore v della traslazione, parallelo all’asse delle ordinate, è tale che:
•
v = c;
• se c > 0, ha verso uguale a quello della direzione positiva dell’asse delle ordinate;
• se c < 0, ha verso opposto a quello della direzione positiva dell’asse delle ordinate.
PROVA TU
Senza rappresentarle, indica le caratteristiche della rappresentazione grafica delle seguenti funzioni:
▪ concavità;
▪ coordinate del punto intersezione con l’asse y;
▪ asse di simmetria;
▪ coordinate del vertice;
a) y = 3 x 2 − 2 x + 1 ;
b) y = − 3 x 2 − x − 2 ;
4
181
▪ codominio della funzione.
c) y = 5 x 2 − x + 3 ;
2
d) y = −2 x 2 + 3 x − 5
Esempio
Rappresentiamo la funzione di equazione y = −3 x 2 + 4 x − 1 .
L’equazione della funzione è del tipo y = ax 2 + bx + c , dove a = −3, b = 4, c = −1.
Il suo grafico è, quindi, una parabola con la concavità rivolta verso il basso (a < 0).
Per determinarne la rappresentazione grafica è necessario calcolare:
• le coordinate del vertice,
• l’equazione dell’asse di simmetria;
• le coordinate di un punto della parabola distinto dal vertice e il suo simmetrico rispetto all’asse
di simmetria.
Calcoliamo le coordinate del vertice della parabola:
xV = − b ⇒ xV = − 4 = 2
2a
2 ⋅ ( −3 ) 3
( ) ( ) + 4 ⋅ 23 −1 = −3 ⋅ 94 + 83 −1 = − 34 + 83 −1 = 13
Il vertice della parabola, quindi, è il punto V ( 2 , 1 ) .
3 3
y V = f 2 = −3 2
3
3
2
L’asse di simmetria è la retta a parallela all’asse delle ordinate passante per il vertice; la sua
equazione quindi, è x = 2 .
3
Poiché c = −1, la parabola interseca l’asse delle ordinate nel punto A ( 0, −1) .
È sufficiente, poi, disegnare il punto A' , simmetrico di A rispetto all’asse di simmetria.
Il grafico della funzione è riportato nella fig. 15.
1
3
2
3
(fig. 15)
182
PROVA TU
Dopo averne determinato le caratteristiche, rappresenta le seguenti funzioni:
a) f ( x) = 1 x 2 − x + 2 ;
2
b) y = −2 x 2 + 3 ;
4
c) y = − x 2 + 3 x + 1 ;
d) y = 5 x 2
15.3 Equazioni di secondo grado in una variabile e parabola
Ricordiamo che una delle soluzioni di un’equazione ridotta a forma normale, quindi del tipo
P ( x ) = 0 , rappresenta, dal punto di vista grafico, l’ascissa di uno dei punti intersezione della
funzione y = P ( x ) con l’asse delle ascisse.
Le soluzioni, se esistono, dell’equazione ax 2 + bx + c = 0 , allora, sono le ascisse dei punti
intersezione della parabola di equazione y = ax 2 + bx + c con l’asse x e, viceversa, le ascisse
dei punti intersezione, se esistono, della parabola y = ax 2 + bx + c con l’asse x sono soluzioni
dell’equazione ax 2 + bx + c = 0 .
Ad esempio, osservando la fig. 15, notiamo che la parabola, di equazione y = −3 x 2 + 4 x − 1 ,
interseca l’asse delle ascisse in due punti di ascissa, rispettivamente, x1 = 1 e x2 = 1 .
3
L’equazione −3 x 2 + 4 x − 1 = 0 , quindi, ha due soluzioni e queste sono le ascisse dei punti
{ }
intersezione della parabola con l’asse x; l’insieme soluzione è, pertanto, S = 1 ,1 .
3
Ricordiamo, inoltre, che data l’equazione ax 2 + bx + c = 0 , si ha:
∆ > 0 ⇔ l’equazione ha due soluzioni reali e distinte;
∆ = 0 ⇔ l’equazione ha una sola soluzione reale;
∆ < 0 ⇔ l’equazione non ha soluzioni reali.
Possiamo, perciò, mettere in relazione il valore del discriminate dell’equazione ax 2 + bx + c = 0 con
la posizione della parabola y = ax 2 + bx + c nel piano cartesiano.
∆ > 0 ⇔ la parabola interseca l’asse delle ascisse in due punti distinti;
∆ = 0 ⇔ la parabola interseca l’asse delle ascisse in un solo punto, il vertice, (o due punti
coincidenti); in questo caso l’asse delle ascisse è tangente alla parabola;
∆ < 0 ⇔ la parabola non ha intersezioni con l’asse delle ascisse.
183
Nelle seguenti figure sono sintetizzate le diverse possibilità:
a>0
∆=0
a>0
∆>0
Fig. 16a
Fig. 16b
a<0
∆>0
a>0
∆<0
Fig. 16c
Fig. 16d
a<0
∆<0
a<0
∆=0
Fig. 16e
Fig. 16f
PROVA TU
Senza rappresentarle, stabilisci se le seguenti funzioni intersecano l’asse delle ascisse e determina,
eventualmente, l’ascissa dei loro punti intersezione :
a) f ( x ) = − x 2 + 3x − 2 ;
b) y = 2 x 2 − x + 1 ;
184
c) y = x 2 + 4 x + 4 ;
d) y = 3 x 2 − 1
15.4 Disequazioni di secondo grado in una variabile e parabola
Sia P ( x ) = 3x 2 − x − 2 un polinomio; se attribuiamo ad x un numero reale, si può verificare una
delle seguenti relazioni:
a) P ( x ) = 0 ;
b) P ( x ) > 0 ;
c) P ( x ) < 0
Ad esempio,
x = −2 ⇒ P ( −2 ) = 3 ( −2 ) − ( −2 ) − 2 = 12 > 0 ;
quindi
x = −2 ⇒ P ( x ) > 0 [è vera la b)]
x = 1 ⇒ P (1) = 3 (1) − 1 − 2 = 0 ;
quindi
x = 1 ⇒ P ( x ) = 0 [è vera la a)]
x = 0 ⇒ P ( 0 ) = 3 ( 0 ) − 0 − 2 = −2 < 0 ;
quindi
x = 0 ⇒ P ( x ) < 0 [è vera la c)]
2
2
2
Esistono altri numeri reali che rendono vere le relazioni a), b) o c)?
Ci proponiamo, allora, di determinare:
a) tutti i valori di x per i quali P ( x ) = 0 e, quindi, le soluzioni dell’equazione 3 x 2 − x − 2 = 0 ;
b) tutti i valori di x per i quali P ( x ) > 0 e, quindi, le soluzioni della disequazione 3 x 2 − x − 2 > 0 ;
c) tutti i valori di x per i quali P ( x ) < 0 e, quindi, le soluzioni della disequazione 3 x 2 − x − 2 < 0 .
Osserviamo che le relazioni b) e c) sono disequazioni nelle quali il primo membro è un polinomio
di secondo grado; esse, quindi, sono disequazioni di secondo grado (in una variabile).
Per risolvere i tre quesiti proposti, rappresentiamo nel piano cartesiano il polinomio
P ( x ) = 3x 2 − x − 2 (Fig. 17)
(Fig. 17)
−2
3
185
Dall’osservazione della fig. 17, possiamo dedurre che:
− i valori di x per i quali 3 x 2 − x − 2 = 0 sono le ………..…….………. dei punti A e …….,
intersezione della parabola con l’…….….. delle ………………….. ; quindi x = ...... e x = ...... .
(Determina lo stesso risultato algebricamente).
Riflettiamo ancora sulla fig. 17.
L’asse delle ascisse “divide” la parabola in tre archi:
♦ due archi (colore rosso) sono situati “al di sopra” dell’asse x; i loro punti hanno ordinata
………………… ;
♦ un arco, che ha come estremi i punti A e B (colore nero), è situato “al di sotto” dell’asse x; i suoi
punti hanno ordinata …………………… .
Possiamo, allora, dire che:
le ascisse dei punti della parabola di ordinata positiva sono le soluzioni della disequazione
3x2 − x − 2 > 0 ;
le ascisse dei punti della parabola di ordinata negativa sono le soluzioni della disequazione
3x2 − x − 2 < 0 .
Consideriamo, adesso, punti della parabola che appartengono agli archi situati “al di sopra”
dell’asse x ( ordinata positiva) e confrontiamo le loro ascisse con quelle dei punti A e B.
(Fig. 18)
−2
3
In fig. 18, i punti in rosso sull’asse delle x indicano le ascisse dei punti (in verde) della parabola che
hanno ordinata positiva .
186
Osserviamo che:
le ascisse dei punti di ordinata positiva sono minori dell’ascissa di …….. oppure sono maggiori
dell’ascissa di ……… .
Possiamo, allora, dire che la relazione 3 x 2 − x − 2 > 0 è verificata da tutti i numeri reali minori di
− 2 oppure da tutti i numeri reali maggiori di 1.
3
Pertanto, l’insieme soluzione della disequazione 3 x 2 − x − 2 > 0 è S =  −∞ , − 2  ∪ ]1, +∞[ .

3 
Rappresentiamo graficamente questo insieme (fig. 19).
(Fig. 19)
−2
3
(Fig. 19)
Come possiamo notare, le soluzioni dell’equazione 3 x 2 − x − 2 = 0 ( − 2 e 1) dividono l’insieme R in
3
tre parti e le soluzioni della disequazione 3 x 2 − x − 2 > 0 sono date da tutti i numeri “al di fuori”
dell’intervallo che ha come estremi − 2 e 1.
3
L’equazione 3 x 2 − x − 2 = 0 prende il nome di equazione associata alla disequazione
3 x 2 − x − 2 > 0 ; inoltre, è consuetudine dire che le soluzioni della disequazione 3 x 2 − x − 2 > 0
sono date dai valori esterni all’intervallo delle soluzioni dell’equazione associata.
Consideriamo, adesso, punti della parabola che appartengono all’arco situato “al di sotto” dell’asse
x ( ordinata negativa) e confrontiamo le loro ascisse con quelle dei punti A e B.
(Fig.20)
−2
3
187
In fig. 20, i punti in viola sull’asse delle x indicano le ascisse dei punti (in azzurro) della parabola
che hanno ordinata negativa.
Osserviamo che:
le ascisse dei punti di ordinata negativa sono maggiori dell’ascissa di …….. e minori dell’ascissa di
……… .
Possiamo, perciò, dire che la relazione 3 x 2 − x − 2 < 0 è verificata da tutti i numeri reali compresi
fra − 2 e 1.
3
Pertanto, l’insieme soluzione della disequazione 3 x 2 − x − 2 < 0 è S =  − 2 , 1 .
 3 
Rappresentiamo graficamente questo insieme (fig. 21).
−2
3
(fig. 21)
Come possiamo notare, le soluzioni della disequazione 3 x 2 − x − 2 < 0 sono date da tutti i numeri
reali “interni” all’intervallo che ha come estremi − 2 e 1, soluzioni dell’equazione 3 x 2 − x − 2 = 0 .
3
In questo caso si dice che le soluzioni della disequazione 3 x 2 − x − 2 < 0 sono i valori interni
all’intervallo delle soluzioni dell’equazione associata.
Consideriamo, adesso, il polinomio A ( x ) = − x 2 + 4 x − 3 .
Determiniamo tutti i valori della variabile per i quali:
a) A ( x ) = 0 ; quindi, le soluzioni dell’equazione − x 2 + 4 x − 3 = 0 ;
b) A ( x ) > 0 ; quindi, le soluzioni della disequazione − x 2 + 4 x − 3 > 0 ;
c) A ( x ) < 0 ; quindi, le soluzioni della disequazione − x 2 + 4 x − 3 < 0 .
Come nell’esempio precedente, le relazioni b) e c) sono disequazioni di secondo grado (in una
variabile).
Per risolvere i tre quesiti proposti, rappresentiamo nel piano cartesiano il polinomio
A ( x ) = − x 2 + 4 x − 3 (Fig. 22).
Osservando la fig. 22, determina le soluzioni del quesito a) usando sia il metodo grafico che quello
algebrico.
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
188
(Fig. 22)
(Fig. 22)
Riflettiamo ancora sulla fig. 22.
L’asse delle ascisse “divide” la parabola in tre archi:
♦ due archi (colore nero) sono situati “al di sotto” dell’asse x; i loro punti hanno ordinata
………………… ;
♦ un arco, che ha come estremi i punti A e B (colore rosso), è situato “al di sopra” dell’asse x; i
suoi punti hanno ordinata …………………… .
Ripetendo le osservazioni fatte nell’esempio precedente, si ha che:
le ascisse dei punti della parabola di ordinata positiva sono le soluzioni della disequazione
− x2 + 4 x − 3 > 0 ;
le ascisse dei punti della parabola di ordinata negativa sono le soluzioni della disequazione
− x2 + 4 x − 3 < 0 .
Consideriamo i punti della parabola che appartengono all’arco situato “al di sopra” dell’asse delle
ascisse (ordinata positiva) e confrontiamo le loro ascisse con quelle dei punti A e B.
(Fig.23)
Nella fig. 23, i punti in rosso sull’asse delle x indicano le ascisse dei punti (in verde) della parabola
che hanno ordinata positiva.
189
Osserviamo che:
le ascisse dei punti di ordinata positiva sono maggiori dell’ascissa di …….. e minori dell’ascissa di
……… .
Possiamo, allora, dire che la relazione − x 2 + 4 x − 3 > 0 è verificata da tutti i numeri reali compresi
fra 1 e 3.
Pertanto, l’insieme soluzione della disequazione − x 2 + 4 x − 3 > 0 è S = ]1, 3[ .
Rappresentiamo graficamente questo insieme (fig. 24).
(fig. 24)
Le soluzioni dell’equazione − x 2 + 4 x − 3 = 0 (1 e 3) dividono l’insieme R in tre parti; questa volta
le soluzioni della disequazione − x 2 + 4 x − 3 > 0 sono “interne” all’intervallo che ha come estremi 1
e 3.
In questo caso, le soluzioni della disequazione 3 x 2 − x − 2 > 0 sono date dai valori interni
all’intervallo delle soluzioni dell’equazione associata.
Consideriamo, adesso, punti della parabola che appartengono agli archi situati “al di sotto” dell’asse
x ( ordinata negativa) e confrontiamo le loro ascisse con quelle dei punti A e B.
(Fig. 25)
In fig. 25, i punti in viola sull’asse delle x indicano le ascisse dei punti (in azzurro) della parabola
che hanno ordinata negativa.
Osserviamo che:
le ascisse dei punti di ordinata negativa sono minori dell’ascissa di …….. e sono maggiori
dell’ascissa di ……… .
190
Possiamo, perciò, dire che la relazione − x 2 + 4 x − 3 < 0 è verificata da tutti i numeri reali “al di
fuori” dell’intervallo che ha come estremi i numeri 1 e 3.
Pertanto, l’insieme soluzione della disequazione − x 2 + 4 x − 3 < 0 è S = ]−∞ , 1[ ∪ ]3, +∞[ .
Rappresentiamo graficamente questo insieme (fig. 26).
(fig. 26)
Le soluzioni della disequazione − x 2 + 4 x − 3 < 0 , allora, sono date da tutti i numeri reali “esterni”
all’intervallo che ha come estremi 1 e 3, soluzioni dell’equazione − x 2 + 4 x − 3 = 0 .
Quindi, le soluzioni della disequazione − x 2 + 4 x − 3 < 0 sono date dai valori esterni all’intervallo
delle soluzioni dell’equazione associata.
Proviamo, adesso, a generalizzare.
Una equazione di secondo grado in una variabile, ridotta a forma normale, è sempre del tipo:
• ax 2 + bx + c > 0 ;
ax 2 + bx + c ≥ 0
• ax 2 + bx + c < 0 ;
ax 2 + bx + c ≤ 0
Dagli esempi precedenti deduciamo che le soluzioni di una disequazione di secondo grado
dipendono della posizione della parabola y = ax 2 + bx + c nel piano cartesiano.
Riprendiamo in esame le figure di pag. 21 e determiniamo, nei diversi casi, le soluzioni delle
disequazioni ax 2 + bx + c > 0 e ax 2 + bx + c < 0 .
Indicate con x1 e x2 ( x1 ≤ x2 ) , le soluzioni, se esistono, dell’equazione ax 2 + bx + c = 0 , si ha:
ax 2 + bx + c > 0 : valori esterni all’intervallo delle
a>0
∆>0
soluzioni dell’equazione associata; quindi:
S = ]−∞ , x1 [ ∪ ] x2 , +∞[ oppure x < x1 ∨ x > x2 ;
ax 2 + bx + c < 0 : valori interni all’intervallo delle
soluzioni dell’equazione associata; quindi:
x1
x2
S = ]−∞ , x1 [ ∪ ] x2 , +∞[ oppure x1 < x < x2 .
191
ax 2 + bx + c > 0 : per valori interni all’intervallo delle
a<0
∆>0
soluzioni dell’equazione associata; quindi:
x2
S = ]−∞ , x1 [ ∪ ] x2 , +∞[ oppure x1 < x < x2 ;
x1
ax 2 + bx + c < 0 : per valori esterni all’intervallo delle
soluzioni dell’equazione associata; quindi:
S = ]−∞ , x1 [ ∪ ] x2 , +∞[ oppure x < x1 ∨ x > x2 .
♦ ax 2 + bx + c > 0 : per tutti i numeri reali tranne il valore
a>0
∆=0
x1 ; quindi:
S = R − { x1 } oppure ∀x ∈ R ∧ x ≠ x1 ;
♦ ax 2 + bx + c < 0 : nessun numero reale rende vera la
disequazione; quindi:
S = ∅ oppure ∃ x ∈ R .
x1
a<0
∆=0
x1
• ax 2 + bx + c > 0 : per tutti i numeri reali tranne il valore
x1 = − b ; quindi:
2a
S = R − { x1 } oppure ∀x ∈ R ∧ x ≠ x1 ;
• ax 2 + bx + c < 0 : nessun numero reale rende vera la
disequazione; quindi:
S = ∅ oppure ∃ x ∈ R .
a>0
∆<0
ax 2 + bx + c > 0 : per tutti i numeri reali; quindi:
S = R oppure ∀x ∈ R ;
ax 2 + bx + c < 0 : nessun numero reale rende vera la
disequazione; quindi:
S = ∅ oppure ∃ x ∈ R .
192
a<0
∆<0
ax 2 + bx + c > 0 : nessun numero reale rende vera la
disequazione; quindi:
S = ∅ oppure ∃ x ∈ R ;
ax 2 + bx + c < 0 : per tutti i numeri reali; quindi:
S = R oppure ∀x ∈ R .
Osservazione
Per risolvere una disequazione di secondo grado è necessario conoscere la posizione della parabola
nel piano cartesiano; quindi, la sua concavità e, se esistono, le ascisse dei punti intersezione con
l’asse x; non è, invece, necessario disegnare in maniera precisa la parabola.
È necessario, quindi, conoscere il segno di a e stabilire se il discriminante dell’equazione associata
è positivo, negativo o nullo.
Esempio
Risolviamo la disequazione 2 x 2 − x − 3 < 0 .
Dobbiamo determinare le ascisse dei punti della parabola y = 2 x 2 − x − 3 che hanno ordinata
negativa.
Scriviamo l’equazione associata alla disequazione: 2 x 2 − x − 3 = 0 .
∆ = b 2 − 4ac = ( −1) − 4 ⋅ 2 ⋅ ( −3) = 1 + 24 = 25 ⇒ ∆ > 0 .
2
Risolviamo l’equazione associata:
x 12 = −b ± ∆ = 1 ± 5 ⇒ x1 = −1, x2 = 3
2a
4
2
Determiniamo la posizione della parabola nel piano cartesiano:
a>0
∆>0
⇒ la posizione della parabola è del tipo
x1
x2
Le ascisse dei punti della parabola che hanno ordinata negativa sono interne all’intervallo che ha
per estremi −1 e 3 .
2
Si ha, quindi:
2 x 2 − x − 3 < 0 ⇒ S =  −1, 3 

2 
193
PROVA TU
Risolvi, come nell’esempio precedente, le seguenti disequazioni:
a) x 2 − 3 x + 2 > 0 ;
b) 4 x 2 − 4 x + 1 < 0 ;
c) −2 x 2 + x − 3 > 0
Un’attenta analisi dei risultati ottenuti, ci consente di risolvere una disequazione di secondo grado
senza osservare il grafico della parabola.
Premettiamo alcuni “modi di dire”:
in una disequazione, si dice che a e verso sono concordi se:
− a > 0 e la disequazione è ax 2 + bx + c > 0
− a < 0 e la disequazione è ax 2 + bx + c < 0
in una disequazione, si dice che a e verso sono discordi se:
− a > 0 e la disequazione è ax 2 + bx + c < 0 ;
− a < 0 e la disequazione è ax 2 + bx + c > 0 .
Inoltre indicheremo con
v. e. = valori esterni all’intervallo delle soluzioni dell’equazione associata alla disequazione;
v. i. = valori interni all’intervallo delle soluzioni dell’equazione associata alla disequazione.
La seguente tabella è una sintesi dei risultati ottenuti:
ax 2 + bx + c > 0 oppure ax 2 + bx + c < 0
a, verso
∆
soluzioni
concordi
>0
v. e.
S = ]−∞, x1 [ ∪ ] x2 , +∞[
discordi
>0
v. i.
S = ] x1 , x2 [
concordi
=0
S= R− − b
2a
discordi
=0
S=∅
concordi
<0
S=R
discordi
<0
S=∅
{ }
194
rappresentazione grafica
insieme soluzione
x2
x1
x1
x2
−
b
2a
Osservazione
Se la disequazione è del tipo ax 2 + bx + c ≥ 0 oppure ax 2 + bx + c ≤ 0 anche le soluzioni
dell’equazione associata (alla disequazione) verificano la disequazione.
Si ha, quindi, la seguente tabella:
ax 2 + bx + c ≥ 0 oppure ax 2 + bx + c ≤ 0
a, verso
∆
soluzioni
concordi
>0
v. e.
S = ]−∞, x1 ] ∪ [ x2 , +∞[
discordi
>0
v. i.
S = [ x1 , x2 ]
concordi
=0
S= R
discordi
=0
S= − b
2a
concordi
<0
S=R
discordi
<0
S=∅
{ }
rappresentazione grafica
insieme soluzione
x2
x1
x2
x1
−
b
2a
Sintetizziamo il procedimento che consente di risolvere una disequazione di secondo grado:
a) si scrive l’equazione associata;
b) si calcola il suo discriminante e si stabilisce se è positivo, negativo o nullo;
c) se il discriminante è non nullo si determinano le soluzioni dell’equazione associata;
d) si confrontano a e verso della disequazione;
e) si scrive la soluzione della disequazione come descritto nelle tabelle sopra riportate.
Esempi
Risolviamo le seguenti disequazioni applicando il procedimento appena descritto:
1) 3 x 2 − 2 x − 1 ≥ 0 ;
2) x 2 − 4 x + 4 > 0 ;
3) − x 2 + 3 x − 4 < 0 ;
4) 3 x 2 − 2 < 0
195
Esempio 1
Disequazione iniziale
x2 − 4x + 4 > 0
Equazione associata
x2 − 4x + 4 > 0
Calcolo di ∆ (b pari)
4
∆= b
4
2
Segno di ∆
4
∆ >0
4
Soluzioni dell’equazione associata
−b± ∆
4 = 1± 4 = 1± 2 ⇒
x 12 = 2
3
3
a
⇒ x1 = − 1 , x2 = 1
3
Confronto a e verso
concordi
Soluzioni disequazione
v. e. compresi x1 e x2
Insieme soluzione
S =  −∞, − 1  ∪ [1, +∞[

3 
( ) − ac = ( −1) − 3 ⋅ ( −1) = 4
2
2
Esempio 2
Disequazione iniziale
x2 − 4 x + 4 > 0
Equazione associata
x2 − 4 x + 4 = 0
Calcolo di ∆ (b pari)
4
∆= b
4
2
valore di ∆
4
∆ =0
4
Soluzione dell’equazione associata
x=− b =2
2a
Confronto a e verso
concordi
Soluzioni disequazione
S= R− − b
2a
Insieme soluzione
S = R − {2}
( ) − ac = ( −2) −1⋅ 4 = 0
2
{ }
196
2
Esempio 3
Disequazione iniziale
− x 2 + 3x − 4 < 0
Equazione associata
− x 2 + 3x − 4 = 0
Calcolo di ∆
∆ = b 2 − 4ac = 32 − 4 ⋅ ( −1) ⋅ ( −4 ) = −7
Segno di ∆
∆<0
Confronto a e verso
discordi
Soluzioni disequazione
Non esistono
Insieme soluzione
S=∅
Esempio 4
Disequazione iniziale
3x 2 − 2 < 0
Equazione associata
3x 2 − 2 = 0
Classificazione equazione
pura
Soluzioni equazione
x 12 = ± − c = ± 2
a
3
Confronto a e verso
discordi
Soluzioni disequazione
v. i.
Insieme soluzione


S = − 2 , 2 
3
3


Osservazione
Se la disequazione da risolvere non si presenta in forma normale, prima di applicare lo schema
esposto in precedenza, è necessario ridurla a forma normale applicando i principi di equivalenza.
PROVA TU
Risolvi le seguenti disequazioni come negli esempi precedenti:
a) 2 x 2 − x − 3 = 0 ;
4x2 − 5 ≥ 0 ;
− x 2 + 3x − 1 < 0
b) 9 + x 2 − 6 x ≤ 0 ;
4x2 + 3 > 0 ;
2 x 2 − x > x ( 3x − 1)
197
ESERCIZI CAPITOLO 15
Disequazioni di secondo grado
Conoscenza e comprensione
1) Completa le proposizioni inserendo, in maniera opportuna, al posto dei puntini i termini di seguito
elencati:
ordinata;
simmetrica;
equidistanti;
il basso;
l’origine degli assi;
parabola;
l’alto;
R − {0} ;
massima;
vertice
a) la rappresentazione grafica della funzione y = ax 2 , con a ∈ ............... , è una ………………… ;
se a > 0 la sua concavità è rivolta verso …………………..; se a < 0 la sua concavità è rivolta
verso ………………… .
b) Se a > 0 , il punto della parabola di ordinata minima si chiama ……………. ; se a < 0 , il punto
della parabola di ordinata ………………… è il suo vertice.
c) La parabola di equazione y = ax 2 ha per vertice ………………………………………………
ed è …………………….……… rispetto all’asse delle ordinate perché punti con la stessa
…………………………….. sono ……………………………………… da esso.
2) Le seguenti proposizioni si riferiscono alla funzione f ( x ) = 2 x 2 − 3 . Una sola di esse è falsa;
quale?
a) è simmetrica rispetto all’asse delle ordinate;
b) la sua concavità è rivolta verso l’alto;
c) non ha intersezione con l’asse delle ascisse;
d) è immagine della funzione y =
(
)
2
2 x in una traslazione;
e) il suo vertice è un punto dell’asse delle ordinate.
3) Vero o falso?
a) Il codominio della funzione y = ax 2 è R0+ .
V
F
b) Se c > 0 , la funzione y = ax 2 + c è situata nel I e II quadrante.
V
F
c) Se a, c ∈ R − , la funzione y = ax 2 + c è situata nel III e IV quadrante.
V
F
d) Se a > 0 ∧ c ≤ 0 la parabola y = ax 2 + c ha sempre due intersezioni distinte
V
F
V
F
con l’asse delle ascisse.
e) Se a < 0 , la parabola y = ax 2 − c non ha intersezioni con l’asse delle ascisse.
198
4) Quale, fra le seguenti parabole, è immagine della parabola y = − 2 x 2 nella traslazione di vettore
3
v parallelo all’asse y, avente verso opposto a quello della direzione positiva dell’asse y e tale che
v = 2?
a) y = 2 x 2 + 2 ;
3
b) y = − 2 x 2 − 2 ;
3
c) y = 3 x 2 − 2 ;
2
d) y = 4 x 2 − 10
6
5
5) La parabola y = 4 x 2 − 3 è immagine della parabola y = 4 x 2 in una traslazione di vettore v . Una
sola delle seguenti affermazioni è corretta; quale?
a) v = 4 e v è parallelo all’asse delle ordinate;
b) v = 3 e v è parallelo all’asse delle ascisse;
c) v = 3 , v è parallelo all’asse delle ordinate ed ha verso opposto a quello della direzione
positiva dell’asse y;
d) v = 4 , v è parallelo all’asse delle ordinate ed ha verso uguale a quello della direzione
positiva dell’asse y;
6) La rappresentazione grafica di una sola delle seguenti funzioni non è una parabola; quale?
a)
y = − x + 2 x2 ;
b) f ( x) = (3 x − 1)2 ;
c) f ( x) = x 2 + x3 ;
d) y = 2 ( x 2 − 1)
7) Della parabola di equazione y = ax 2 + bx + c si può dire che:
a) L’asse di simmetria ha equazione y = − b
2a
V
F
b) Può essere tangente all’asse delle ascisse
V
F
c) Interseca l’asse delle ordinate nel punto ( 0, c )
V
F
d) Ha sempre due intersezioni distinte con l’asse delle ascisse
V
F
e) Se b < 0 , il suo vertice è un punto del I o IV quadrante
V
F
f) L’ascissa del suo vertice è xV = b
2a
V
F
8) Se a < 0 , il codominio della funzione y = ax 2 + bx + c è:
a)
]−∞, c ] ;
( )
b)  −∞, f b  ;

2a 
c)  −∞, − b  ;

2a 
199
( )
d)  −∞, f − b 

2a 
9) A ciascuna delle seguenti equazioni associa la relativa rappresentazione grafica.
y = 3x 2 ;
a)
b) y = − x 2 + 2 x − 1 ;
(I)
c) y = − x 2 − 1 ;
(II)
d) y = 3 x 2 − x
(III)
(IV)
10) Quale, fra le seguenti parabole, è la “più larga”? E quale è la “più stretta”?
a)
y = 1 x2 + 1 ;
2
b) y = 4 x 2 + x − 1 ;
3
c) y = 7 x 2 − x − 3 ;
5
d) y = 31 x 2 − 5
15
11) Osserva la parabola di equazione y = ax 2 + bx + c rappresentata in figura e completa:
x1
x2
a) L’ascissa del vertice della parabola è …………………………… di 0.
b) L’ordinata del vertice della parabola è …………………………. di 0.
c) Il coefficiente a è …………………………….. di 0.
d) Il coefficiente b è …………………………… di 0.
e) Il coefficiente c è ……………………………. di 0.
f) Il discriminante dell’equazione ax 2 + bx + c = 0 è ………………………….. di 0.
g) L’insieme soluzione dell’equazione ax 2 + bx + c = 0 è S = …………………….. .
h) Le ascisse dei punti di ordinata negativa appartengono a …………………….… .
i) Le ascisse dei punti di ordinata positiva appartengono a ………………………… .
200
12) Osserva la parabola di equazione y = ax 2 + bx + c rappresentata in figura e completa:
a) L’ascissa del vertice della parabola è …………………………… di 0.
b) L’ordinata del vertice della parabola è …………………………. di 0.
c) Il coefficiente a è …………………………….. di 0.
d) Il coefficiente b è …………………………… di 0.
e) Il coefficiente c è ……………………………. di 0.
f) Il discriminante dell’equazione ax 2 + bx + c = 0 è ………………………….. di 0.
g) L’insieme soluzione dell’equazione ax 2 + bx + c = 0 è S = …………………….. .
h) Le ascisse dei punti di ordinata negativa appartengono a …………………….… .
i) Le ascisse dei punti di ordinata positiva appartengono a ………………………… .
13) Sia y = ax 2 + bx + c e ∆ il discriminate dell’equazione ax 2 + bx + c = 0 . Le seguenti affermazioni
sono vere o false?
a) a > 0, ∆ ≤ 0 ⇒ tutti i punti della parabola sono situati nel I o II quadrante.
V
F
b) a < 0, ∆ > 0 ⇒ la parabola interseca l’asse delle ascisse in due punti distinti.
V
F
c) a < 0, ∆ = 0 ⇒ esiste almeno un punto della parabola che non appartiene né al
V
F
d) a > 0, ∆ < 0 ⇒ la parabola interseca l’asse y in un punto di ordinata negativa.
V
F
e) ∀a ∈ R − {0} , ∆ = 0 ⇒ la parabola ha un solo punto intersezione con l’asse x.
V
F
f) a < 0, ∆ > 0 ⇒ la parabola interseca l’asse y in un punto di ordinata positiva.
V
F
III né al IV quadrante.
14) Nella disequazione ax 2 + bx + c < 0 , come devono essere il coefficiente a e ∆ (discriminante
dell’equazione ad essa associata) affinchè l’insieme soluzione sia S = ∅?
201
15) Nella disequazione ax 2 + bx + c ≥ 0 , come devono essere il coefficiente a e ∆ (discriminante
{ }
dell’equazione ad essa associata) affinchè l’insieme soluzione sia S = − b ?
2a
16) Nella disequazione ax 2 + bx + c ≤ 0 , come devono essere il coefficiente a e ∆ (discriminante
{ }
dell’equazione ad essa associata) affinchè l’insieme soluzione sia S = R − − b ?
2a
17) Nella disequazione ax 2 + bx + c < 0 , come devono essere il coefficiente a e ∆ (discriminante
dell’equazione ad essa associata) affinchè l’insieme soluzione sia S = ∅ ?
18) Data la disequazione ax 2 + bx + c > 0 , sia ∆ il discriminante dell’equazione ad essa associata;
quale delle seguenti proposizione è corretta?
a) La disequazione ammette sempre almeno una soluzione.
b) Se ∆ < 0 , la disequazione non ha soluzioni.
c) Se a > 0 ∧ ∆ = 0 , la disequazione è sempre verificata.
d) Se a < 0 ∧ ∆ = 0 , la disequazione non ha soluzioni.
e) Se a < 0 ∧ ∆ > 0 , l’insieme soluzione della disequazione è l’unione di due intervalli.
19) Data la disequazione ax 2 + bx + c < 0 , sia ∆ il discriminante dell’equazione ad essa associata;
quale delle seguenti proposizione è falsa?
a) La disequazione può essere verificata per qualunque valore della variabile.
b) Se a > 0 ∧ ∆ < 0 , la disequazione non ha soluzioni.
c) Se a < 0 ∧ ∆ = 0 , la disequazione ha almeno due soluzioni.
d) Se a < 0 ∧ ∆ > 0 , l’insieme soluzione della disequazione è l’unione di due intervalli.
e) Se a > 0 ∧ ∆ = 0 , la disequazione ha, al minimo, una soluzione.
20) Vero o falso?
a) La disequazione kx 2 + 3 > 0 ha soluzioni solo se k > 0 .
V
F
b) Se b > 0 , la disequazione by 2 ≤ 0 ha una sola soluzione.
V
F
c) Tutte le soluzioni della disequazione z 2 − 2 z ≤ 0 sono positive.
V
F
d) Se c ≥ 1 , R è l’insieme soluzione della disequazione x 2 + 2 x + c > 0 .
V
F
e) Se a ∈  1 , +∞  , la disequazione ax 2 + x + 1 < 0 non ha soluzioni.
 4

V
F
f) a 2 > 16 soltanto se a > 4 .
V
F
g) Se c ≤ 0 , la disequazione x 2 + bx + c ≥ 0 ha almeno una soluzione.
V
F
202
Esercizi
Rappresenta nel piano cartesiano le seguenti funzioni e determinane il codominio:
f ( x ) = − 3 x2 ;
4
y = 4 x2
3
f ( x ) = 5 x2 − 2 ;
3
y = −2 x 2 − 2
3
3) y = −2 x 2 − 4 x ;
f ( x) = − 3 x 2 + x ;
4
y = x2 − 2 x
3
4) y = − x 2 + x + 3 ;
y = 3x 2 − 1 x ;
2
f ( x ) = − 5 x2 + 3x − 2
2
y = 2 x 2 − 3x + 1 ;
y = 3 x2
5
f ( x ) = 5 x2 − 2x −1 ;
4
f ( x ) = −3x 2 − 4
1) y = 1 x 2 ;
3
2)
5)
f ( x ) = − x2 + 2 ;
f ( x) = 4 x 2 − 1 x ;
3
3
6) y = − 4 x 2 + x ;
5
Dopo averne determinato l’equazione, rappresenta le parabole che si ottengono da quella di
equazione y = ax 2 in una traslazione di vettore v parallelo all’asse delle ordinate:
7) y = −2 x 2 ;
v = 3 , verso uguale a quello della direzione positiva dell’asse delle ordinate.
8) y = − x 2 ;
v = 2 , verso opposto a quello della direzione positiva dell’asse delle ordinate.
3
9) y = 4 x 2 ;
5
v = 4 , verso opposto a quello della direzione positiva dell’asse delle ordinate.
10) y = 3 x 2 ;
v = − 4 , verso uguale a quello della direzione positiva dell’asse delle ordinate.
5
11) y = 5 x 2 ;
3
v = 2 , verso uguale a quello della direzione positiva dell’asse delle ordinate.
Dopo averne determinato l’equazione, rappresenta le parabole che si ottengono da quella di
equazione y = ax 2 + bx in una traslazione di vettore v parallelo all’asse delle ordinate:
12) y = 3 x 2 − x ;
v = 1 , verso opposto a quello della direzione positiva dell’asse delle ordinate.
13) y = − 4 x 2 + 1 x ;
3
3
v = 2 , verso uguale a quello della direzione positiva dell’asse delle ordinate.
3
14) y = x 2 − 4 x ;
5
v = 2 , verso uguale a quello della direzione positiva dell’asse delle ordinate.
15) y = − x 2 + 4 x ;
9
v = 7 , verso opposto a quello della direzione positiva dell’asse delle ordinate.
3
16) y = 7 x 2 + x ;
2
v = 3 , verso opposto a quello della direzione positiva dell’asse delle ordinate.
2
17) y = x 2 + x ;
v = 5 , verso uguale a quello della direzione positiva dell’asse delle ordinate.
3
203
Esempi
a) Determiniamo l’equazione della parabola, con asse di simmetria parallelo all’asse delle ordinate,
avente vertice nell’origine degli assi e passante per il punto A ( −1,3) .
b) Determiniamo l’equazione della parabola, con asse di simmetria parallelo all’asse delle ordinate,
avente vertice nel punto B ( 0, −2 ) e passante per il punto A ( 3,1) .
c) Determiniamo l’equazione della parabola, con asse di simmetria parallelo all’asse delle ordinate,
avente vertice nel punto V (1, −3) e passante per il punto A ( −2, 4 ) .
a) Traduciamo le informazioni del problema in simboli:
⊳ asse di simmetria parallelo asse y
⊳ vertice nell'origine degli assi
⇒ equazione della parabola y = ax 2
⊳ A ( −1,3) appartenente alla parabola ⇒ 3 = a (le coordinate di A verificano l’equazione
y = ax 2 )
La parabola ha equazione
y = 3x 2 .
b) Traduciamo le informazioni del problema in simboli:
⊳ asse di simmetria parallelo asse y
⊳ vertice appartenente asse y  B ( 0, −2 ) 
⇒ equazione della parabola y = ax 2 + c
⊳ B ( 0, −2 ) appartenente alla parabola ⇒ c = −2 (perché il coefficiente c è uguale
all’ordinata del punto intersezione della parabola con l’asse delle y)
⊳ A ( 3,1) appartenente alla parabola ⇒ 1 = 9a + c (le coordinate di A verificano l’equazione
y = ax 2 + c ).
Si ha, quindi il sistema:
c = −2
 c = −2

⇒


1
1 = 9a + c
a = 3
La parabola ha equazione
y = 1 x2 − 2 .
3
c) Traduciamo le informazioni del problema in simboli:
⊳ asse di simmetria parallelo asse y
⊳ vertice non appartenente asse y
⇒ equazione della parabola y = ax 2 + bx + c
⊳ xV = 1 ⇒ − b = 1
2a
204
⊳ V (1, −3) appartenente alla parabola ⇒ −3 = a + b + c c = −2 (le coordinate di V
verificano l’equazione y = ax 2 + bx + c ).
⊳ A ( −2, 4 ) appartenente alla parabola ⇒ 4 = 4a − 2b + c (le coordinate di A verificano
l’equazione y = ax 2 + bx + c ).
Si ha, quindi il sistema:
a = 7
− b = 1

9
 2a



14
−3 = a + b + c ⇒ b = − 9
4 = 4a − 2b + c


c = − 20


9
La parabola ha equazione
y = 7 x 2 − 14 x − 20 .
9
9
9
Determina l’equazione della parabola, con asse di simmetria parallelo all’asse delle ordinate, che
ha vertice nel punto V e passa per il punto A aventi coordinate:
18) V ( 0,0 )
A ( −2, 4 )
 y = x 2 
19) V ( 0,3)
A ( −2,1)
 y = − 4 x 2 + 3
9


20) V (1, −1)
A ( 3,1)
21) V ( 0, −1)
A ( −1,3)
22) V ( 2,1)
A 2 , −3
3
23) V ( 0,0 )
 y = 1 x2 − x − 1 
2
2 

 y = 4 x 2 − 1
( )
A ( 4 ,1)
3
 y = − 9 x 2 + 9 x − 8


4
 y = 9 x2 
16 

24) V ( 3, 0 )
A ( 0, 2 )
 y = 2 x 2 − 4 x + 2
9
3


25) V ( 0, −5 )
A ( 5, 0 )
 y = 1 x 2 − 5
5


( )
 y = − 16 x 2 − 16 x + 46 

25
25
25 
( )
V ( 0, − 1 )
2
26) V − 1 , 2
2
A 3 ,1
4
27)
A ( −2, −1)
 y = − 1 x2 − 1 

8
2 
A ( 0,5 )
 y = x 2 + 4 x + 5
28) V ( −2,1)
205
Esempio
Determiniamo l’equazione della parabola, con asse di simmetria parallelo all’asse delle ordinate,
( ) (
)
passante per i punti A ( −1, 0 ) , B 3 ,5 e C − 1 , −1 .
2
2
Traduciamo le informazioni del problema in simboli:
⊳ asse di simmetria parallelo asse y
⊳ nessuna informazione sul vertice della parabola
⇒ equazione della parabola y = ax 2 + bx + c .
⊳ A ( −1, 0 ) appartenente alla parabola ⇒ 0 = a − b + c (le coordinate di A verificano l’equazione
y = ax 2 + bx + c ).
( )
⊳ B 3 ,5
2
appartenente alla parabola ⇒ 5 = 9 a + 3 b + c (le coordinate di B verificano
4
2
l’equazione y = ax 2 + bx + c ).
)
(
⊳ C − 1 , −1 appartenente alla parabola ⇒ −1 = 1 a − 1 b + c (le coordinate di C verificano
2
4
2
l’equazione y = ax 2 + bx + c ).
Si ha, quindi il sistema:

0 = a − b + c
a = 2


9
3
5 = 4 a + 2 b + c ⇒ b = −1

 c = −1

 −1 = 1 a − 1 b + c

4
2
La parabola ha equazione
y = 2x2 − x −1.
Determina l’equazione della parabola, con asse di simmetria parallelo all’asse delle ordinate,
passante per i punti A, B e C aventi coordinate:
( )
29) A (1, 6 )
B ( −1, −1)
C −2, 3
2
 y = x2 + 7 x + 3 

2
2 
30) A (1, 2 )
B ( 3, 0 )
C ( 2,10 )
 y = 3 x 2 − x 
(
31) A −1, 11
5
)
32) A ( −2,11)
33) A ( 4, −5 )
( )
B (1, 1 )
2
B ( − 1 , − 19 )
3 9
B − 1 , 11
2 10
( )
C( 2 , 1)
3 3
 y = 4 x2 − x + 2 
5
5 

C 0, 2
5
 y = 3 x 2 − 2 x + 1
2


C ( 2,1)
 y = − x 2 + 3 x − 1
206
Dopo averle rappresentate, stabilisci per quali valori di x i punti delle seguenti parabole hanno:
a) ordinata nulla;
b) ordinata positiva;
c) ordinata negativa.
34) y = 2 x 2 − 2 x − 4 ;
y = − x2 + x + 2
35) y = 4 x 2 + 9 ;
y = −5 x 2 + 10 x
36) y = x 2 − x − 6 ;
y = 2 x2 + x + 3
37) y = − 7 x 2 ;
2
y = x2 − 5x + 4
38) y = x 2 − x − 2 ;
y = − x 2 − 3x
Risolvi graficamente le seguenti disequazioni:
39) x 2 − 2 x − 8 ≤ 0 ;
− x2 + 4 x − 3 < 0
40) 2 x 2 − 2 x + 3 > 0 ;
x2 − 4x ≤ 0
41) 4 x 2 + 4 x + 1 > 0 ;
− x 2 − 3 x + 10 ≥ 0
42) x 2 − 6 x + 9 ≤ 0 ;
3x 2 − x − 4 < 0
43) 2 x 2 + x < 0 ;
2 x 2 − 3x − 2 ≥ 0
Risolvi algebricamente le seguenti disequazioni:
44) 2a 2 − a − 3 > 0 ;
−t 2 − 2t − 1 ≥ 0
45) s 2 + 3s − 10 ≤ 0 ;
− 6c 2 + 7 c − 2 ≥ 0
S = −∞, −1 ∪  3 , +∞  ; S = −1 
{ }
]
[  2 




 −3 − 13 −3 + 13 
,
; S =  1 , 2 
S = 

 2 3 
2
2




S = ]−∞, 0[ ∪ ]1, +∞[ 
46) m (1 − 2m ) + m 2 < 0
47)
( h + 2)
48)
( 2 p − 1)( p − 2 ) + p (1 − 3 p ) < 0
2
S = ]−3, −1[ 
−1 < 0
S =  −∞, −2 − 6  ∪  −2 + 6, +∞  

 


49) b 2 + 2b ( b − 1) − 8 ≥ 0
S =  −∞, − 4  ∪ 2, +∞ 
[
[

3 


50) z ( 3z − 5 ) − 2 z 2 > z ( 5 z − 1) − 2

 −1 − 3 −1 + 3  
S =  2 , 2  



51)
( d − 2)
52)
( k − 3)( k + 3) > 2(k − 1) − 4
2
+ 4 ( d − 3) ≤ 0
S =  −2 2, 2 2  



S = ]−∞, −1[ ∪ ]3, +∞[ 
207
53)
( 2v + 1)
(
)
 S = [ −7,5]
− 21 ≤ 3 v 2 + 5 + 2v
2
{}
S = R − 5 

3 
54) 3 ( 2 x − 1) + ( 2 x + 3) > x ( x − 3) − 25
2
55) 4 g 2 − g < ( 2 g + 5 )( g − 2 )
[S = R ]
56) 8 x ( x + 1) > ( 2 x + 1) + 2 x
S =  −∞, − 1  ∪  1 , +∞  

2   2

 
2
57)
3
( 2 y + 1) − ( y + 2 )
2
2
(
< 2 y2 − 3
)
[S = ∅ ]
S =  −∞, − 2  ∪ 1, +∞ 
] [


3 

58) 3r (1 − r ) < 2 ( r − 1)
59) 3h 2 + 7h − 2 ≤ −3 ( h − 1)( h + 1) − 6h
S =  − 5 , 1  

 2 3  
60) −4s (1 − s ) − ( s − 1)( s + 1) + s 2 > 0
S = R − 1 

2 
61)
( 12 v −1)(1 + 12 v ) − (v −1) − 3 > 0
[S = ∅ ]
62)
( 2 g + 3)
[S = R ]
{}
2
2
− 2 ( g − 1) − 4 ( 2 − g )( g + 2 ) + g 2 + 2 ≥ 0
2
63) z + 3 − z + 2 ≤ z
3
2
3
S = 0, 5  
 2  

( w − 1)( w + 1) w ( 2w − 3) 1
64) w − 3 +
>
−
2
4
4
2
65)

 5 − 5 5 + 5 
S =  2 , 2  



( 23 − c )( 23 + c ) + ( 2c + 33)(c − 3) ≥ c ( 4c9 + 1)
[S = ∅ ]
2
2
7 ( b + 1)
66) 2b − 1 − b + 1 − b > 3b − 2 − 3b −
3
2
12
4
2
12
67)
S =  − 3 , 3  

 2 5  
( 25 − x )( x + 53 ) − 54 x > 3 −152x + x 5+ 3
6 − 4a < 3 + 1 − a
(2)
4
( k −2 4 ) + 2k < 1 + 2 ⋅ k 4− 3
S =  − 2 , − 1  

 5 6  
2
2
2
68)
[S = R ]
2
69)
70)
( y − 3)
2
3
( )
−
( 2 y − 3)( y − 4 )
2
<
[S = ∅ ]
1− 2 y2
6
S = −∞,1 ∪  19 , +∞  
] [  2

 
2
3
71) 8 x − 1 + x (1 − x ) ≤ ( x − 1) + 2 ( x 2 − 8 )
2
2
 S = {5}
208
Esempio
Determiniamo l’insieme soluzione delle seguenti disequazioni:
a) 2a 3 + a 2 − 2a − 1 > 0 ;
b)
2m − 3 < 0
m 2 − 4m + 3
a) Il polinomio al primo membro della disequazione è di terzo grado; per risolvere la disequazione è
necessario scomporlo in fattori:
(
)
2a 3 + a 2 − 2a − 1 > 0 ⇒ (raccoglimento parziale) a 2 ( 2a + 1) − ( 2a + 1) > 0 ⇒ a 2 − 1 ( 2a + 1) > 0
Poichè il prodotto di due fattori è positivo solo se i due fattori sono concordi, analizziamo il
segno di ciascuno dei due fattori:
♦ a 2 − 1 > 0 ⇒ S1 = ]−∞, −1[ ∪ ]1, +∞[ ;
♦ 2a + 1 > 0 ⇒ S2 =  − 1 , +∞  .
 2

Rappresentiamo nello stesso grafico gli insiemi S1 e S2 :
−
1
2
L’insieme soluzione della disequazione è S =  −1, − 1  ∪ ]1, +∞[ .
2 

In generale, per risolvere una disequazione di grado superiore al secondo si scompone in fattori il
polinomio al primo membro della disequazione in fattori di primo e/o secondo grado e si analizza il
segno di ciascun fattore.
b) Una frazione è negativa solo se numeratore e denominatore sono discordi.
Analizziamo, quindi, il segno del numeratore e del denominatore delle frazione:
• 2m − 3 > 0 ⇒ S1 =  3 , +∞  ;
 2

• m 2 − 4m + 3 > 0 ⇒ S2 = ]−∞,1[ ∪ ]3, +∞[ .
Rappresentiamo nello stesso grafico gli insiemi S1 e S2 :
3
2
L’insieme soluzione della disequazione è S = ]−∞, −1[ ∪  3 , 3 .
 2 
209
Risolvi le seguenti disequazioni:
72)
(1 − z ) ( z 2 − z − 6 ) < 0
S = ]−2,1[ ∪ ]3, +∞[ 
 S = {0}
73) b 4 + b 2 ≤ 0
S =  −∞, − 3 4  ∪ [ 0, +∞[ 




74) 2a 6 + 8a 3 ≥ 0
75)
( 3m − 1) ( 3m2 − 9 )( 7m 2 + 2 ) > 0
S =  − 3, 1  ∪  3, +∞  
 
3  


 S = {0}
76) 15 x 4 + 7 x 2 ≤ 0
77)
(2 y
2
)(
)(
)
[S = R ]
+1 y2 + 1 2 y2 + 7 > 0
S = ]−∞, −2[ ∪ ]−1,1[ ∪ ]2, +∞[ 
78) w4 − 5w2 + 4 > 0
79) d 3 − 6d 2 + 8d > 0
S = ]0, 2[ ∪ ]4, +∞[ 
80) h 4 − 10h 2 + 9 ≤ 0
S = [ −3, −1] ∪ [1, 3]
S = −∞, −2 ∪  − 3 , 3  
]
[  2 2  


81) 4t 3 + 8t 2 − 9t − 18 < 0




2  2
S =  −∞, − 2  ∪  2 , +∞  ∪ {0}

 



82) 10 g 4 − 5 g 2 ≥ 0
S = ]−5, −1[ ∪ ]1,5[ 
83) p 4 − 26 p 2 + 25 < 0
84) 2 s 2 ( s 2 + 2 ) − 2 s 2 − ( s − 1)( s + 1) ≥ 0
[S = R ]
85) 4b ( 2b 2 + 3) + 4b 2 − 3 ( 2b 2 + 1) > 0
(
)
(
S =  1 , +∞  

 4
 
)
S =  − 1 , +∞  

 2
 
86) 2 x 5 + 1 x 3 x3 − 1 + 1 x x3 + 1 > x 4
2
2
S = ]−∞, 0[ ∪ ]1, +∞[ 
87) 3u 3 ( u − 1) > u 5 (1 − u )
88)
b − b2 ≥ 0
4b 2 + 1
S = [ 0,1]
89) 3c − 1 + 3c + 1 − 1 > 0
3c + 1 3c − 1
S =  −∞, − 1  ∪  1 , +∞  
3   3

 

{}
2
90) 4h −2 4h + 1 > 0
h +1
91)
S = R − 1 

2 
2r 2 + 5 ≥ 0
9r 2 − 25
S =  −∞, − 5  ∪  5 , +∞  


 
3   3
210
92)
{}
4 p2 − 4 p + 1
≤0
7 p2
 S= 1 

2 
2
93) 4k 2 − 1 ≥ 0
4k + 1
94)
S =  −∞, − 1  ∪  1 , +∞  


 
2   2
−k 2 + 3k + 4 ≥ 0
( k + 2 )( k − 1)
S = ]−2, −1] ∪ ]1, 4]
2
95) 2 + t > t + 1
t
t −1
96)
g 2 + 10 g + 16
> 10
g −1
97)
r 2 − 3r + 2 > 1
r 2 − 7 r + 12
98)
1 + 1 −
1
>0
2 s − 1 2s + 1 4s 2 + 4s + 1
S = ]0,1[ ∪ ]2, +∞[ 
S = ]1, +∞[ 
S =  5 ,3 ∪ 4, +∞ 
]
[
 2 


S =  1 , +∞  

 2
 
a − a >0
99) 1 + 3
2
a −1 a + 1
S =  −1, 1  ∪ 1, +∞ 
[

 4  ]

100)
2z − 3 > 5z
z +1 z − 3 z +1
S = ]−1,3[ − {1}
101)
b + 3 ( 2b − 1) > b + 4
b + 3 ( b − 2 )( b + 3) b − 2
S = ]−∞, −5[ ∪ ]−3, 2[ 
102)
5 + v+3 +
3
< v +1
v − 3 v + 1 v 2 − 2v − 3 v − 3
S = −∞, −1 ∪  2 , 3 
]
[  3  


103)
y−2
3 − y +1 −
1
+
<0
2
y + 2 y + 3 y + 5y + 6 y + 2
S = ]−∞, −3[ ∪ ]−2, 0[ 
104)
3 ( f + 5 ) 3 ( f − 3) − 1
5f
−
> 2
f −5
f −2
f − 7 f + 10
105)
2
1
+
≥ 1
m 2 − 4m + 3 m 2 + 2m − 3 m 2 − 9
106)
1 +
1
5
≤
w2 + w w2 − 4w w2 − 3w − 4
S = ]−∞, 2[ ∪ ]5, +∞[ 
S = ]−∞, −3[ ∪ [ −2,1[ ∪ ]3, +∞[ 
S = ]−∞, 0[ ∪ ]4, +∞[ − {−1}
107) 1 + x − 1 − 1 − x − 4 x 2 > 0
1− x
1+ x 1− x
108)
109)
[S = ∅ ]
S = 1, 5  

 3  
2
≤− 2 1
t − 6t + 9
t − 4t + 3
2
(
) <0
3d 2 d 2 − 1
4d − 9
2
S =  − 3 , −1 ∪ 1, 3  

 2
  2  
211
110)
b3 − b ≤ 0
4b + 4b + 1
S = ]−∞, −1] ∪ [ 0,1]
2
4
2
111) 3a 4− 27 a > 0
a − 16
S = ]−∞, −3[ ∪ ]−2, 2[ ∪ ]3, +∞[ − {0}
2 q 2 + 4q + 2
≤0
3q 3
S = ]−∞, 0[ 
4
2
113) 4 s −3 4 s + 1 > 0
s +1

 2 
S = ]−3, +∞[ − ± 2 



112)
114)
[S = R ]
3v 2 − 2v
≤ 1
v3 + 1 v 2 − v + 1 v + 1
2
115) 7u4 + 1 ≤ 0
u − 16
S = ]−2, 2[ 
5
4
116) 4 z −2 20 z > 0
3z + 1
S = ]5, +∞[ 
117)
3d 3 − 9 ≤ 0
d 2 + d +1
S =  −∞, 3 3  



118)
2h3 − 16 ≥ 0
h2 + h + 1
S = [ 2, +∞[ 
119)
2 y3 − 4 y 2
≤0
3y2 + 6 y + 3
S = ]−∞, 2[ − {−1}
4
2
120) m − 27 m + 6 ≤ 0
m +4
S =  − 6, −1 ∪ 1, 6  

 


2
121) 1 + 2x > x + 4
x −1
x
S = ]−∞,1[ − {0}
4
122) 2c 3 + 25 ≤ 0
c −1
S = ]−∞,1]
( t + 1) − 1 > 1
3
( t − 1) + 1
3
123)
S = ]0, +∞[ 
2
2
124) 1 − 5v2 − v + 2 < 0
3
16v
S =  −∞, − 1  ∪  1 , +∞  


 
4   4
212
CAPITOLO 16
ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA
16.1 INTRODUZIONE
Questo percorso, senza la pretesa di essere esaustivo, vuole avviare, con un linguaggio semplice,
con esempi e con l’uso di strumenti per il calcolo e la rappresentazione e sintesi dei dati,
l’approccio, attraverso la statistica, ad una serie di problemi assai vicini alla vita reale che facciano
comprendere agli studenti l’importanza e l’uso quotidiano della matematica.
Che cosa è la statistica?
??
La statistica deve il suo nome al fatto che è nata come metodo di raccolta, studio e analisi dei dati
relativi alla popolazione, utilizzati per il governo degli stati.
L’uso della statistica è trasversale ed esteso a tutti i campi (scientific
o, socio-economico, politico etc.) nei quali sia necessario descrivere o analizzare un fenomeno su
una popolazione (o universo) costituito da elementi (o unità) oggetto dell’osservazione.
Gli strumenti matematici utilizzati per descrivere e sintetizzare un certo fenomeno costituiscono la
statistica descrittiva.
Fasi di un’ indagine statistica
1. Progettazione
La definizione degli obiettivi di una indagine statistica e la conoscenza del
fenomeno oggetto di studio sono elementi fondamentali per la progettazione dell’indagine stessa e
degli strumenti di rilevazione dei dati (questionari, misurazione diretta, etc.).
213
2. Rilevazione dei dati
I dati sono definiti primari quando sono il risultato di una rilevazione
diretta, mentre sono definiti secondari nei casi in cui sono raccolti da pubblicazioni, annuari,
internet o altre fonti.
La rilevazione può essere effettuata attraverso:
con strumenti di misura per
interviste,
questionari
o
l’osservazione di fenomeni
scientifici
3. Elaborazione – I dati originari (o grezzi) vengono classificati e sintetizzati per procedere poi alla
fase successiva:
4. Presentazione, che avviene attraverso tabelle e grafici, medie e indici.
5. Interpretazione degli esiti – Lo scopo per cui si avvia un’ indagine statistica è sempre quello di
comprendere le dinamiche di un fenomeno, generalmente per poter effettuare previsioni sulla sua
evoluzione e sviluppo. Ma l’interpretazione dei dati forniti da una rilevazione richiede, oltre alla
conoscenza del processo di raccolta ed elaborazione, anche una conoscenza del fenomeno oggetto
di studio.
Le fasi che approfondiremo, come prettamente tecniche (matematico-statistiche), sono le fasi
3 elaborazione e 4 presentazione dei dati.
ATTENZIONE
Prima di proseguire, dovrai abituarti ad usare alcuni simboli del linguaggio matematico.
SIMBOLI
per ogni valore dell’indice i
in forma più compatta si scrive
∀i
n
la somma di n addendi x1 + x2 + ...... + xn−1 + xn
in forma più compatta si scrive
∑
xi
1
n
il prodotto di n fattori x1 ⋅ x 2 ⋅ x3 ⋅ ...... ⋅ x n −1 ⋅ x n
in forma più compatta si scrive
∏
xi
1
214
16.2 ELEMENTI DI BASE
Presso l’Istituto “C. Colombo” si è deciso di effettuare tre indagini tra gli alunni di una classe.
Il dirigente scolastico ha scelto di effettuare tali
indagini nella classe 1G
Agli alunni di questa classe viene chiesto quale sia
•
•
•
il mezzo di trasporto abitualmente utilizzato
per recarsi da casa a scuola
il numero di libri presenti al momento in
cartella
la somma delle monete a disposizione per
acquistare bibite o merendine
popolazione o universo
gruppo di persone o di oggetti su cui si
indaga. Si parla di censimento se
l’indagine viene condotta sull’intera
popolazione, si parla di raccolta
campionaria se l’indagine viene
condotta soltanto su una parte della
popolazione, parte che viene detta
campione
unità statistiche
elementi di una popolazione
o di un campione
carattere
caratteristica degli elementi della
popolazione oggetto dell’indagine
indagine 1.
mezzo di trasporto abitualmente utilizzato per
recarsi da casa a scuola:
modalità xi:
x1 = a piedi
x 2 = bicicletta
x3 = motorino o scooter
x 4 = automobile
x5 = autobus o pullman
x6 = treno
indagine 2.
numero di libri in cartella
modalità xi:
x1 = 1
x2 = 4
x3 = 5
x4 = 6
x5 = 8
tale caratteristica viene analizzata
attraverso le varie modalità con cui si
manifesta (x1 , x2 ,....................., xn ) .
un carattere si dice quantitativo se
si presenta con modalità descritte da
numeri,
in caso contrario il carattere si dice
qualitativo
nella indagine 1 il carattere è ………….,
mentre nell’indagine 2 è………………...
215
indagine 3.
somma delle monete a disposizione per acquistare bibite o merendine
2
3
4
5
6
7
8
9
10
numero d’ordine alunno…… 1
somma delle monete in euro.. 1,20 0,52 0,00 1,00 1,30 0,00 0,00 1,05 0,70 2,75
12
13
14
15
16
17
18
19
20
……numero d’ordine alunno 11
..somma delle monete in euro 4,20 0,80 0,40 1,15 2,20 2,50 1,00 0,90 3,40 0,00
Per fornire una rappresentazione più compatta possiamo
decidere di rappresentare le modalità in classi [ai ; bi ) .
A volte, per ottenere una sintesi
più compatta, è utile
rappresentare le modalità
di un carattere quantitativo
raggruppate in classi
Possiamo pensare a classi dove
a1 = 0

 b1 = 0,5


a i +1 = a i + 0,5
bi +1 = bi + 0,5
e si ottiene
classe [a1 ; b1 ) = [0; 0,50)
classe [a2 ; b2 ) = [0,50;1)
classe [a3 ; b3 ) = [1;1,50)
classe [a4 ; b4 ) = [1,50; 2)
classe [a5 ; b5 ) = [2; 2,50)
classe [a6 ; b6 ) = [2,50; 3)
classe [a6 ; b6 ) = [3; 3,50)
classe [a7 ; b7 ) = [3,50; 4)
classe [a8 ; b8 ) = [4; 4,50 )
è un insieme di numeri
compresi tra due valori,
generalmente si considera il
primo valore compreso nella
classe e il secondo valore escluso,
infatti quest’ultimo sarà il primo
valore della classe successiva
oppure a classi dove
 a1 = 0
 b1 = 1


a i +1 = a i + 1
bi +1 = bi + 1
e si ottiene
classe [a1 ; b1 ) = [0;1)
classe [a 2 ; b2 ) = [1; 2)
classe [a3 ; b3 ) = [2; 3)
classe [a 4 ; b4 ) = [3; 4 )
classe [a5 ; b5 ) = [4; 5)
PROVA TU
osserva ora queste altre classi
A quale classe appartiene 1,40?
Una classe
PROVA TU
osservando le classi a fianco puoi
dire che
a1 = ……
b1 = ……
a 2 = ……
b2 = …….
…………………………………
A quale classe appartiene 3?
………………………………….
216
Riprendiamo in esame le tre indagini e cominciamo a raccogliere le risposte dagli alunni.
indagine 1.
modalità
x1 = a piedi
x 2 = bicicletta
frequenza
assoluta
F1 = 5
F2 = 0
frequenza
relativa
f 1 = 0,25
f2 = 0
x3 = motorino o scooter F3 = 0
f3 = 0
x 4 = automobile
F4 = 2
x5 = autobus o pullman F5 = 8
x6 = treno
F6 = 5
f 4 = 0,1
f 5 = 0,4
f 6 = 0,25
frequenza assoluta
F
numero di volte con cui
si presenta una modalità
del carattere in esame
i
Fi
N
rapporto tra la frequenza assoluta
ed il numero totale delle unità
statistiche.
Si può scegliere di esprimere la
frequenza relativa in numero
decimale compreso tra 0 ed 1 o
in numero percentuale compreso
tra 0 e 100
frequenza relativa
fi =
indagine 2
PROVA TU
modalità frequenza frequenza relativa
xi
Fi
fi
1
2
0,1
4
5
3
1
………
0,05
6
8
13
1
……..
0,05
Completa la tabella qui a fianco con i
valori mancanti delle frequenze relative
indagine 3.
classe frequenza frequenza relativa
0-0,50
5
0,25
0,50-1
4
0,2
1-1,50
6
0,3
1,50-2
0
0
2-2,50
1
0,05
2,50-3
2
0,1
3-3,5
1
0,05
3,5-4
0
0
4-4,50
1
0,05
classe frequenza frequenza relativa
0-1
9
0,45
1-2
6
0,3
2-3
3
0,15
3-4
1
0,05
4-5
1
0,05
217
16.3 RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE
Vediamo ora alcune possibili rappresentazioni grafiche dei dati statistici e loro frequenze:
ortogramma
• su di un asse orizzontale si segnano le modalità assegnando a ciascuna un segmento di ugual
lunghezza
• su di un asse verticale si segnano i valori delle frequenze (assolute o relative)
• si costruiscono poi dei rettangoli; ciascuno di questi ha per base il segmento riportante la
modalità e per altezza la relativa frequenza
istogramma
• su di un asse orizzontale si segnano i valori degli estremi delle classi con cui si sono
espresse le modalità
Fi
• su di un asse verticale si segnano i valori delle densità di frequenza d i =
bi − a i
• si costruiscono poi dei rettangoli; ciascuno di questi ha per base il segmento-classe e per
altezza la densità di frequenza, in questo modo l’area di ogni rettangolo rappresenta la
frequenza della modalità
areogramma (o diagramma a torta)
si suddivide un cerchio in settori circolari in modo che in ogni settore circolare l’angolo al centro
abbia ampiezza proporzionale alla frequenza della modalità che tale settore circolare rappresenta
360° ⋅ Fi
αi ° =
oppure α i ° = 360° ⋅ f i
N
diagramma cartesiano
• su di un asse orizzontale si segnano i valori numerici delle modalità
• su di un asse verticale si segnano i valori delle frequenze (assolute o relative)
• si segnano nel piano cartesiano i punti di coordinate (xi ; Fi ) ; l’insieme dei punti ottenuti è
detto nuvola di punti
• congiungendo i punti si ottiene una poligonale che mostra la forma della distribuzione
delle frequenze
218
indagine 1.
frequenze
ortogramma
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
piedi
bici
moto
auto
bus
treno
mezzi di trasporto
aerogramma
mezzi di trasporto
treno; 5; 25%
piedi; 5; 25%
bici; 0; 0%
moto; 0; 0%
auto; 2; 10%
bus; 8; 40%
indagine 2.
diagramma cartesiano
14
12
frequenze
10
8
6
4
2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
num e r o libr i
indagine 3
istogramma
densità di frequenze
14
12
10
8
6
4
2
0
0-0,50 0,50-1 1-1,50 1,50-2 2-2,50 2,50-3 3-3,5
3,5-4 4-4,50
somma monetine
219
16.4 INDICI DI POSIZIONE
Si dice indice di posizione un valore che rappresenta sinteticamente un insieme di dati.
Vedremo alcune situazioni problematiche che richiedono l’uso di questi indici di posizione e di essi
daremo le definizioni.
La pubblicità
problema 1
Una rete televisiva ha raccolto i dati di ascolto nei
giorni invernali nella fascia oraria 20-21. Ecco tali
dati rappresentati con una tabella di frequenze:
x
Lunedì
Martedì
Mercoledì
Giovedì
Venerdì
Sabato
Domenica
F
1200000
1800000
2000000
1600000
1200000
800000
900000
MODA
Si definisce moda il dato x = Mo
che si presenta con frequenza maggiore
Mo = xi*
dove ∀ i
Fi* ≥ Fi
Se si a che fare con classi
allora la classe modale sarà quella
Fi
che presenta
maggiore
bi − ai
In quale giorno una agenzia di pubblicità potrebbe
consigliare ad un proprio cliente di inserire uno
spot pubblicitario?
La risposta è ………………………...perché è il giorno che presenta il numero più alto di spettatori.
Nel problema 1 x = Mo = x3 = mercoledì perché
problema 2
Il premio
In una gara di matematica 21 studenti di una classe
hanno riportato i seguenti punteggi:
40 41 55 90 85 73 42 60 77 88 55 60
77 55 80 20 90 70 45 73 81
Il professore decide di assegnare un premio a tutti gli
studenti con punteggio superiore a quello conseguito
dalla metà meno “brillante” della classe.
Quale punteggio occorre superare per ottenere il
premio?
F3 = 2000000 è la frequenza maggiore.
MEDIANA
Si definisce mediana il dato x = Me
che, dopo aver ordinato i dati in modo
crescente, occupa la posizione centrale
x1 , x 2 ,............, x n
n è dispari
sequenza ordinata
n è pari
xn + xn
Per rispondere occorre innanzitutto disporre i
Me = x n +1
Me =
2
2
2
+1
2
punteggi in ordine crescente:
x1=20
x2=40 x3=41 x4=42
x5=45 x6=55
x7=55
x8=55
x9=60 x10=60 x11=70 x12=73 x13=73 x14=77
x15=77 x16=80 x17=81 x18=85 x19=88 x20=90 x21=90
ed individuare poi quello che occupa la posizione centrale.
Otterranno dunque il premio tutti gli studenti con punteggio superiore a ……….
Nel problema 2, dopo aver disposto i dati in ordine crescente, si ha x = Me = x 21+1 = x11 = 70 .
2
220
MEDIA ARMONICA
problema 3
Il viaggio
Un gruppo di amici parte da Bari per un viaggio in
auto. La tappa Bari-Venezia di 720 km viene
percorsa a una velocità media di 95 km/h; la tappa
Venezia-Firenze di 620 km a 65 km/h; la tappa
Firenze-Roma di 360 km a 105 km/h; la tappa
Roma-Bari di 520 km a 115 km/h.
Si definisce media armonica il dato
x=A
che, sostituito a ogni dato,
ne conserva la somma dei reciproci
A =
Qual è la velocità media dell’intero percorso?
n
n
∑
1
1
xi
Per rispondere occorre mettere a rapporto l’intero
spazio percorso ed il tempo impiegato:
720 + 620 + 360 + 520
v media =
km / h = 88,6km / h
720 620 360 520
+
+
+
95
65 105 115
Nel problema 3 possiamo pensare che ogni velocità compaia tante volte quanti sono i chilometri del
x
f
tratto percorso, i dati sono dunque n=720+620+360+520=2220
95 720
e si ottiene la seguente tabella delle frequenze:
65
105
115
n
Si ha x = A =
n
1
1
i
∑x
=
620
360
520
2220
km / h = 88,6km / h
1
1
1
1
720 + 620 +
360 +
520
95
65
105
115
problema 4
Il tasso
Una somma di denaro viene impiegata per tre anni in
unabanca che applica il primo anno il tasso del 3,5%,
il secondo anno del 3,2% ed il terzo anno del 2,05%.
Qual è il tasso medio applicato nei tre anni?
Detto C il capitale iniziale, i montanti calcolati con i tre
diversi tassi sono i seguenti:
MEDIA GEOMETRICA
Si definisce media geometrica il
dato
x=G
che, sostituito a ogni dato,
ne conserva il prodotto
n
G =
M 1 = C + 0,035C = 1,035 ⋅ C
n
∏x
i
1
M 2 = M 1 + 0,032M 1 = 1,032 ⋅ M 1
M 3 = M 2 + 0,0205M 2 = 1,0205 ⋅ M 2
e dalle tre formule si ricava
M 3 = 1,035 ⋅ 1,032 ⋅ 1,0205 ⋅ C = 1,09001646 ⋅ C
Il tasso richiesto risolve l’equazione (1 + t ) = 1,09001646 ,
dunque il tasso medio applicato nei tre anni vale………….
3
Nel problema 4, a partire dai dati x1 = 1 + 0,035
si ha
x=G=
3
1 + t = 3 1,09001646 = 1,02915
x 2 = 1 + 0,032
(1 + 0,035)(1 + 0,032)(1 + 0,0205) = 1,02915
x3 = 1 + 0,0205 ,
perciò t = x − 1 = 0,02915 = 2,915%
221
MEDIA ARITMETICA
problema 5
La pagella
Giuliano presenta ai genitori la pagella di fine anno.
L’Istituto offre a tutti gli studenti che presentano una pagella
con media superiore all’8, l’esonero dal pagamento del
contributo di iscrizione all’anno successivo
si definisce media aritmetica
il dato
x=M
che, sostituito a ogni dato,
ne conserva la somma
n
∑
xi
1
M =
Ecco i voti di Giuliano:
n
Italiano 7
Storia 8
Geografia 7
Inglese 8
Matematica 9
Scienze 8
Diritto 7
Musica 7
Informatica 8
Educazione fisica 9
I genitori di Giuliano hanno diritto a tale esonero?
Dopo aver calcolato la somma di tutti i dieci voti e averla divisa per 10 si ottiene ………
e dunque i genitori di Giuliano…………………………………………………………….
Nel problema 5 la media aritmetica dei dati è data da x = M =
7 ⋅ 4 + 8 ⋅ 4 + 9 ⋅ 2 78
=
= 7,8
10
10
problema 6
Il Nilo
Sesostris, contadino egiziano, possiede otto diversi
appezzamenti quadrati di terreno, i cui lati misurano
x3=14u x4=18u
x1=20u x2=15u
x5=12u x6=16u
x7=12u x8=9u.
Dopo ogni piena del Nilo è costretto a riperimetrare
i suoi possedimenti. Quest’anno desidera fare in modo
che i suoi appezzamenti siano otto quadrati con il lato
di ugual misura. Quanto dovrà misurare all’incirca il
lato di questi appezzamenti?
MEDIA QUADRATICA
Si definisce media quadratica
il dato
x=Q
che, sostituito a ogni dato,
ne conserva la somma dei
quadrati
n
∑ (x )
2
i
Sesostris deve innanzitutto calcolare quanto terreno possiede:
Q =
1
n
(20u)2+(15u)2+(14u)2+(18u)2+(12u)2+(16u)2+(13u)2+(10u)2=
=(400+225+196+324+144+256+169+100)u2=1814 u2
Tale terreno va diviso in otto parti uguali di area ………………..
e di lato circa ……….
Nel problema 6 la media quadratica dei dati è data da
x=Q=
20 2 + 15 2 + 14 2 + 18 2 + 12 2 + 16 2 + 13 2 + 10 2
1814
u=
u = 226,75u ≈ 15u
8
8
222
MEDIA PONDERATA
problema 7
L’assunzione
Per essere assunti presso la ditta “ZVUT” occorre
presentare alcuni dati ed ottenere il punteggio più
alto fra tutti gli aspiranti candidati.
Si presentano Antonio e Carlo con i seguenti titoli:
Età
Voto diploma
Voto laurea
Numero figli
Dopo aver fornito i pesi pi
relativi ai dati xi ,
si definisce media ponderata
il dato x = P così calcolato
Antonio Carlo
28
44
80
76
94
86
0
3
n
∑ (p
P =
i
⋅ xi )
1
n
∑
pi
1
Per ottenere il punteggio totale la ditta calcola la
media dei dati dopo aver assegnato a ciascuno di
essi dei pesi che ne indichino e ne differenzino in
qualche modo l’importanza.
Tali fattori moltiplicativi sono
p2=1,5
p3=2
p4=6
p1=0,5
e vengono utilizzati quasi come frequenze con le
quali pesare la presenza in modo più o meno influente
di ciascun dato.
Se tutti i pesi valgono 1 allora
il valore della media ponderata
coincide con il valore della media
aritmetica
Se si lavora con classi (a i ; bi )
si può scegliere
xi =
Chi verrà assunto?
a i + bi
2
e pi = f i
Tenendo conto di tali pesi i punteggi dei due aspiranti
al posto valgono
14 + 120 + 188 + 0
22 + 114 + 172 + 18
= ………….
= ………...,
0,5 + 1,5 + 2 + 6
0,5 + 1,5 + 2 + 6
dunque verrà assunto ……………………………..
Nel problema 6 la media ponderata dei due aspiranti al posto vale rispettivamente
322
326
x Antonio = PAntonio =
= 32,2
x Carlo = PCarlo =
= 32,6
10
10
OSSERVAZIONI
•
x è un BUON indice di posizione (significativo) se si trova nella zona della distribuzione
dove si addensano maggiormente i dati
•
La somma delle distanze tra i dati e un indice di posizione risulta minima se tale indice è la
n
mediana:
∀x
∑
1
•
n
x i − Me ≤
∑
xi − x
1
A≤G ≤ M ≤Q
223
16.5 INDICI DI VARIABILITA’
Si dice indice di variabilità un valore che informa sul modo in cui i valori di una distribuzione sono
più o meno dispersi.
Anche qui partiremo da una situazione problematica che richieda l’uso di questi indici di variabilità
e di essi daremo le definizioni.
problema 8
La classe più atletica
Due classi si contendono il titolo di “classe atletica”.
L’insegnante ha raccolto i voti di Educazione Fisica del primo quadrimestre e deve decidere a chi
dare la vittoria.
y F
Classe A: 6 8 7 6 6 8 6 8 8 8 7 9 6 7 6 6 8 7 6 7
3 2
Classe B: 9 8 8 9 3 3 4 8 9 4 5 8 7 7 9 10 8 10 5 6
4 2
5 2
x F
6 1
6 8
Sistemiamo i dati in due tabelle di frequenza:
7 2
7 5
8 5
8 6
9 4
9 1
10 2
Subito colpisce il diverso intervallo in cui rientrano
i voti delle due classi: 6 ≤ xi ≤ 9
3 ≤ y i ≤ 10 .
CAMPO di VARIAZIONE
Per la classe A si rileva un campo di variazione
che vale 9-6=3
Per la classe B il campo di variazione vale 10-3=7
campo di variazione =
x1 , x 2 ,...., x n
sequenza ordinata
xn − x1
Ci chiediamo come i voti delle due classi siano distribuiti nel rispettivo campo di variazione.
Cominciamo col calcolare la media aritmetica per le due classi:
M
A
=
140
20
= 7
M
B
=
140
20
= 7
Questo indice di posizione non aiuta l’insegnante!
Ma con un po’ di pazienza il docente prepara una tabella dove inserisce le differenze tra ogni voto e
la media aritmetica:
f
y − M
i
xi − M
-1
0
+1
+2
f
8
5
6
1
-4
-3
-2
-1
0
+1
+2
+3
2
2
2
1
2
5
4
2
224
A questo punto possiamo calcolare la media di questi dati prendendoli o in valore assoluto o al
quadrato; vediamo cosa si trova:
SCARTO SEMPLICE MEDIO
Le medie dei dati presi in valore assoluto valgono:
è un valore che fornisce una misura
di quanto i dati si discostano dalla media
n
∑
sA =
16
= 0 ,8
20
sB =
1
s =
38
= 1,9
20
xi − M
n
Questi valori ci dicono che mediamente i voti
della classe A si discostano di 0,8 dalla media,
mentre quelli della classe B si discostano di 1,9.
Le medie dei dati presi al quadrato valgono:
8 (− 1 ) + 6 (+ 1 ) + (+ 2 )
20
2
σ
A
=
=
σ
B
2
=
18
= 0 , 9487
20
= ……………….. =
SCARTO QUADRATICO MEDIO
2
è un indice più sensibile del precedente
perché evidenzia maggiormente le variazioni
98
= 2 , 2136
20
nella distribuzione dei dati intorno alla media
n
∑ (x
σ =
i
− M
)2
1
n
viene anche detto deviazione standard
mentre il suo quadrato σ 2 è detto varianza
Possiamo confermare che la variabilità dei voti nella classe B è decisamente molto più alta rispetto
a quella dei voti nella classe A
Possiamo concludere che la variabilità dei voti nella classe B è molto più alta rispetto a quella dei
voti nella classe A e l’insegnante decide di dare la vittoria alla classe ………… dove……………..
…………………………………………………………………………………………………………
225
OSSERVAZIONE
Vi sono fenomeni che seguono la cosiddetta distribuzione normale (curva di Gauss).
Le frequenze più alte si trovano attorno al valore della media e la rappresentazione grafica ha
l’aspetto di una campana.
x-M
Curva di GAUSS (distribuzione normale)
Nell’intervallo (M − σ ; M + σ
) si concentra il 68,27% dei valori;
nell’intervallo (M − 2 σ ; M + 2 σ
) si concentra il 95,45% dei valori;
nell’intervallo (M − 3 σ ; M + 3 σ
) si concentra il 99,73% dei valori.
226
ESERCIZI CAPITOLO 16
Aspetta che ora lo so,
Conoscenza e comprensione
1) Che cosa si intende per popolazione?
in statistica la popolazione è il
gruppo di persone o di oggetti
su cui si indaga
2) Quando un carattere si dice quantitativo? Fai un esempio.
3) Che cos’è un istogramma?
4) Definisci frequenza assoluta, relativa, percentuale.
5) In che diversi modi può avvenire la raccolta dei dati?
6) Definisci almeno 2 indici di posizione centrale.
7) Che cos’è lo scarto medio? A che cosa serve?
8) Quali sono le fasi di un’indagine statistica?
9) A che cosa serve la statistica?
10) Che cos’è lo scarto quadratico medio? A che cosa serve?
11) Che cos’è un ortogramma?
12) Quando si parla di censimento? Te ne ricordi uno importante nella storia?
13) Che cos’è un areogramma?
14) Completa:
Si definisce media aritmetica il dato
x=M
che, sostituito a ogni dato, ne conserva ……………………………
Si definisce media quadratica il dato
x=G
che, sostituito a ogni dato, ne conserva ……………………………
Si definisce mediana il dato
x=M
che, dopo aver ordinato i dati in modo……………………………..,
occupa la posizione …………………
227
Esercizio guida
In questa tabella sono rappresentati i dati relativi alla situazione di 20 famiglie per quanto riguarda numero di
componenti, reddito, titolo di studio e zona di residenza in Italia (Nord, Centro, Sud).
FAMIGLIA
N°
COMPONENTI
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
2
1
3
1
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
5
4
3
2
8
2
REDDITO
(in migliaia di euro)
28
35
50
45
40
30
55
80
60
85
90
52
62
75
60
45
42
28
70
38
TITOLO DI STUDIO
(del capofamiglia)
ZONA
RESIDENZA
Elementare
Medie inferiori
Medie inferiori
Medie Superiori
Laurea
Medie inferiori
Medie inferiori
Medie Superiori
Laurea
Laurea
Laurea
Medie Superiori
Medie Superiori
Medie Superiori
Elementari
Medie inferiori
Medie inferiori
Elementari
Medie Superiori
Laurea
Nord
Centro
Nord
Nord
Sud
Sud
Centro
Centro
Sud
Nord
Nord
Centro
Sud
Sud
Nord
Nord
Centro
Nord
Sud
Sud
Se siamo interessati a indagare sul numero di componenti per famiglia, possiamo organizzare una
tabella così, chiedendoci quante sono (che frequenza assoluta hanno) le famiglie con un
componente, quante quelle con due, con tre ecc. Completala tu
COMPONENTI
1
2
3
4
5
FREQUENZA ASS
4
5
4
2
FREQUENZA REL
FREQUENZA%
4 su 20 cioè 4/20=0.2
20%
5 su 20 cioè 5/20=0.25
……
4 su 20 cioè 4/20=0.2
20%
2 su 20 cioè …...……
10%
…..
…….……cioè 2/20=0.1
…….
1
………………………
5%
1
………………………
……..
…..
………………………
………
6
7
8
PROVA TU
Costruisci una tabella delle frequenze , riguardante il titolo di studio del capofamiglia o la
provenienza.
228
Esercizi
1. Riportiamo una tabella nella quale sono rappresentati i dati relativi ad alcune rilevazioni
effettuate in una classe di un istituto superiore. Completa la colonna delle frequenze
percentuali
Tab.1 – Scelta facoltà universitarie degli studenti di quinta classe.
num.
studenti
%
studenti
Economia
7
21,875%
Giurisprudenza
4
12,500%
Informatica
8
Ingegneria
5
.......
15,625%
Lettere
2
.......
Lingue straniere
4
.......
Scienze
2
.......
nessuna/non dichiarato
2
.......
Facoltà universitarie
TOTALE
In questa tabella sono rappresentati i dati
relativi alla scelta di facoltà universitarie
degli studenti di una classe quinta di un
istituto superiore.
Il carattere oggetto di studio è ................
e le modalità sono le denominazioni delle
facoltà.
La seconda colonna rappresenta le
frequenze (numero studenti) collegate a
ciascuna facoltà, e la terza colonna
rappresenta le frequenze........................
32
Grafico 1 – La rappresentazione grafica sottostante si chiama....................................(o diagramma a torta ) della scelta
facoltà universitarie - studenti di quinta classe.
229
2. Ricava le informazioni necessarie per completare la tabella, osservando il grafico:
Serie temporale delle iscrizioni alla prima classe di un istituto superiore
Anni
num.
studenti
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
2011
152
.....
196
.....
.....
204
.....
.....
.....
165
Grafico 3 – Diagramma .....................della serie temporale delle iscrizioni alla prima classe di un
istituto superiore.
3. Le 16 classi prime dell’istituto Bertacchi hanno i seguenti numeri di studenti:
25
27
30
27
27
29
28
28
29
30
28
30
28
30
30
30
a.
Compila la tabella delle frequenze e calcola le frequenze relative.
N° alunni per classe
25
27
28
29
30
Frequenza assoluta
Frequenza relativa
b. Rappresenta i dati, mediante ortogramma
4. Determina la moda, la mediana e la media aritmetica dei seguenti dati, relativi a una
variabile x:
43
50
40
38
39
40
44
40
44
41
50
43
45
41
42
48
41
50
43
48
45
43
42
50
44
43
Calcola lo scarto semplice medio relativo alla media aritmetica.
5. Determina la moda, la mediana e la media geometrica dei seguenti dati, relativi a una
variabile x:
3
5
4
8
3
4
4
1
4
1
5
3
5
1
2
4
1
1
3
8
5
3
2
5
4
3
230
6. Data la seguente tabella relativa ai pesi
di 20 ragazzi (in Kg):
classi frequenze
46-50
2
50-54
3
54-58
5
58-62
4
62-66
4
66-70
3
calcolare la media aritmetica dei pesi
dei ragazzi prendendo per ogni classe
il valore centrale.
7. Calcolare la media armonica dei numeri 8, 4, 5, 10 e 2.
8. Un ciclista percorre due tappe di 70 Km ciascuna, la prima ad una velocità media di 35
Km/h, la seconda ad una velocità media di 20 Km/h. Determinare la velocità media
complessiva nelle due tappe.
9. In un’azienda gli stipendi annui, in migliaia di euro, sono così distribuiti:
2 direttori
40
4 capi ufficio
32
12 impiegati
14
40 operai
11
Calcolare la media aritmetica, la mediana e la moda degli stipendi.
10. Nella facoltà di Matematica di Milano-Bicocca, uno studente sostiene i seguenti esami del
primo anno, con i relativi crediti:
ESAME
Algebra lineare
Analisi 1
Informatica
Fisica 1
Algebra
Geometria
VOTO
29
30
28
30
29
CREDITO
8
12
8
12
8
8
Calcolare la media degli esami già sostenuti, tenendo conto dei crediti.
Che voto minimo deve prendere in geometria per avere una media del 29,5?
11. Il signor Antonio, produttore di vino, acquista uva regina per 400 euro a 0,7 € al Kg, e uva
pugliese per 400 euro a 0,6 € al Kg. Quanto gli è costato in media un kg d’uva?
12. Un contadino possiede quattro campi di forma quadrata di lato 40 m, 55 m, 60 m e 90 m.
Gli si propone lo scambio con quattro campi quadrati uguali, dei quali si chiede di
determinare il lato affinché lo scambio sia equo.
231
13. Si effettua un’indagine sul tipo di merenda preferita durante l’intervallo tra 42 insegnanti
dell’ Istituto Bertacchi, ottenendo le seguenti risposte:
taralli
brioches
focaccia
taralli
patatine
taralli
yoghurt
gelato
focaccia
brioches
brioches
yoghurt
gelato
patatine
brioches
taralli
yoghurt
gelato
gelato
patatine
taralli
gelato
yoghurt
taralli
taralli
patatine
patatine
taralli
taralli
focaccia
brioches
taralli
taralli
patatine
yoghurt
taralli
taralli
taralli
taralli
taralli
taralli
taralli
Compila la tabella delle frequenze, trovando anche frequenza relativa e percentuale.
14. Si effettua un sondaggio sul costo di un litro di latte fresco intero, in 24 punti vendita
(negozi, supermercati, distributori automatici…) della provincia di Lecco, ottenendo i
seguenti risultati espessi in euro:
1,15 1,15 1,65 1,45 1
1,29 0,78 1
1,65 1,65 1,55 1
1,65 1,55 1,65 1,15 1
1,15 1,45 1,65 1,15 1,45 1
1,65.
a)
b)
c)
d)
Qual è il prezzo medio di un litro di latte fresco intero?
Qual è il prezzo più frequente?
Qual è il campo di variazione del prezzo del latte?
Calcola lo scarto quadratico medio.
15. In una gara di atletica sui 1000 m Giovanni percorre un primo tratto di 550 m ad una
velocità di 5,6 m/s, poi rallenta a causa di un crampo e percorre 200 m alla velocità di 4,9 m/s.
Sapendo che per qualificarsi alle gare nazionali non può superare i 3 minuti complessivi, con
che velocità minima dovrà percorrere l’ultimo tratto?
16. In laboratorio di fisica gli alunni della 4 A Ped misurano la lunghezza di una molla a
riposo, trovando le seguenti misure espresse in cm:
14,03 14,02 14,01 14,04 14,02 14,01 14,03 14,02 14,01 14,02 14,02 14,03
14,04 14,04 14,03 14,03 14,02 14,03 14,01 14,02 14,01 14,04 14,09 14,03
a)
b)
c)
d)
Calcola il campo di variazione e lo scarto quadratico medio.
Si può esprimere la misura della molla con M ± σ,
cioè ….…. ± ………
Controlla quante e quali misure rientrano nell’intervallo (M- σ ; M+ σ).
Le misure che rientrano nell’intervallo (M- σ ; M+ σ) rappresentano il 68,27 %
come previsto per una distribuzione gaussiana?
17. In una classe i risultati di un compito a sorpresa di storia sono stati i seguenti:
2
4
4
4
4
4
4
4
4
5
5
5
5
5
5
7
8
8
9
9
9
10
10
10
Calcola la media aritmetica, la moda e la mediana.
Che cosa possiamo dedurre dall’analisi dei 3 indici calcolati?
232
18. Un venditore di scarpe, che ha appena aperto un negozio in un piccolo comune svolge
un’indagine sul numero di piede degli abitanti adulti, raccogliendo i seguenti dati:
8 persone
il numero 35
7 persone
il numero 41
6 persone
il numero 36
4 persone
il numero 42
9 persone
il numero 37
2 persone
il numero 43
11 persone
il numero 38
1 persona
il numero 44
9 persone
il numero 39
1 persona
il numero 45
10 persone
il numero 40
1 persona
il numero 46
a. Costruisci la tabella organizzata in classi di frequenza di ampiezza 3 numeri di piede e
calcola frequenza assoluta e relativa.
b. Rappresenta poi i dati mediante istogramma
c. Calcola la moda, la mediana e la media aritmetica.
d. Il venditore di scarpe utilizzerà uno dei 3 indici calcolati al punto c quando andrà dal
grossista. Quale e perchè?
19. Un gruppo di bambini raccoglie figurine, si ritrovano nel cortile della loro scuola e
contano quante ne posseggono: 10 24 12 24 30 8 42 16 24 14 16
a. costruisci la distribuzione di frequenza
b. rappresenta graficamente nel modo che ritieni più opportuno
c. calcola moda, mediana, media aritmetica, media armonica
d. calcola gli indici di variabilità rispetto alla media aritmetica
e. Quale percentuale dei dati rientra nell’intervallo (M- σ ; M+ σ)?
20. Alcuni studenti hanno deciso di effettuare delle rilevazioni del traffico nei pressi di una
rotonda della loro città. Si sono divisi il compito in due gruppi che hanno operato in diverse
fasce orarie prendendo nota del numero degli occupanti dei veicoli che sono transitati da tale
rotonda. Ecco i dati da loro raccolti:
gruppo A dalle 14 alle 14.30
numero occupanti 1 1 3 2 2 1 1 4 3 2 5 2 2 1 1 3 1 2 2 3
4 4 5 1 1 2 2 2 1 1 3 2 2 2 1 5 1 3 2 2
gruppo B dalle 16 alle 16.30
numero occupanti 2 1 3 2 2 1 1 4 3 1 4 1 1 3 4
a.
b.
c.
d.
e.
costruisci le distribuzioni di frequenza
rappresenta graficamente nel modo che ritieni più opportuno
calcola moda, mediana e media aritmetica
calcola gli indici di variabilità rispetto alle medie del punto c)
completa la seguente tabella e osserva analogie e differenze
gruppo A gruppo B
Moda
Mediana
Media aritmetica
Campo di variazione
Scarto semplice medio
Scarto quadratico medio
233