Le variabili casuali o aleatorie
Intuitivamente un numero casuale o aleatorio è un numero sul cui
valore non siamo certi per carenza di informazioni
- ad esempio la durata di un macchinario, il valore di un titolo fra 2
giorni
Nella teoria della probabilità il numero aleatorio è definito
formalmente con riferimento a un esperimento casuale o
aleatorio.
Consideriamo ancora il risultato di un esperimento casuale (lancio
di una moneta o di un dado......) e sia S il suo spazio campionario.
Si può associare a ogni evento semplice (o complesso) di S un
numero reale positivo
(per esempio il risultato di una misura)
legandolo a una caratteristica dell'evento.
Il numero associato è una variabile casuale (o aleatoria) poiché è
stato riferito al risultato di un esperimento esso stesso
casuale.
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Esempio: lancio di 2 dadi indipendenti
Sia S lo spazio campionario dell'esperimento lancio di 2 dadi
indipendenti e si osservi la somma delle facce in ogni lancio
Si può immaginare di raccogliere in un unico evento complesso
gli eventi semplici che danno la stessa somma e associare a
detto evento complesso il numero reale positivo somma X delle
facce
(1,6) (2,5) 3,4) (4,3) (5,2) (6,1) → 7
La variabile aleatoria X può assumere i valori interi da 2,..., 12.
L'intervallo di valori di X è detto spazio campionario numerico
Legge di probabilità di un numero aleatorio Xi
La probabilità di Xi, che si indica P(Xi), è la probabilità
dell'evento elementare o complesso Ei a cui è stata
associata la variabile Xi
Se gli eventi Ei sono mutualmente eclusivi e
costituiscono una partizione dello spazio S ovvero E1
∩ E2 ∩ E3 ∩ E4 ∩ … = S
la condizione di S P(Ei) = 1 equivale alla condizione
di normalizzazione S P(Xi) =1
DISTRIBUZIONE DI PROBABILITA' di una variabile
aleatoria discreta
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La funzione P(Xi ) precedente è un esempio semplice di
distribuzione di probabilità di una variabile discreta
Esempio: pesare una massa
Evento Ei → operazione di pesata
Xi → risultato della pesata
P(Xi) probabilità di avere come risultato xi
Gli eventi Ei, da cui le variabili Xi provengono sono mutualmente
eclusivi e costituiscono una partizione dello spazio S.
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Vale pertanto la condizione Σ P(Xi) = 1
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E' utile rappresentare graficamente la funzione P(Xi)
Esempio:
distribuzione di probabilità della variabile
somma dei numeri che appaiono sulle facce superiori nel
lancio di 2 dadi simmetrici
E' facile verificare,usando la regola della probabilita’ totale per
eventi disgiunti,che le probabilità P(Xi) sono :
P(2)=1/36, P(3)=2/36, P(4)=3/36, P(5)=4/36, P(6)=5/36 P(7)=6/36,
P(8)=5/36, P(9)=4/36, P(10)=3/36, P(11)=2/36, P(12)=1/36
Σ P(Xi) = 1
DISTRIBUZIONE DI PROBABILITA' di una variabile
aleatoria continua
Se la variabile casuale X può assumere tutti i valori in un
intervallo continuo (a,b), la variabile è detta continua.
Si noti che la variabile casuale continua è un'astrazione: essa
non è osservabile nella realtà. Qualsiasi esperimento di misura
può dare solo luogo a un insieme discreto di numeri per il
limite di precisione dello strumento di misura.
Ciò non toglie che le variabili casuali continue abbiano grande
importanza nella statistica come modelli approssimati di
situazioni reali
Esempio
Si supponga di voler considerare l'altezza di adulti maschi estraendo
un campione a caso da una popolazione. L'altezza di una popolazione è
di per sè una variabile continua, ma la misura di un numero finito della
variabile altezza estratta da un campione porta a un numero discreto di
valori.
Pur tuttavia si può immaginare di procedere intuitivamente assegnando
a intervalli contigui della variabile altezza una probabilità che soddisfi
la definizione assiomatica.
Rappresentazione della distribuzione di probabilità
per variabili aleatorie continue
La rappresentazione grafica che corrisponde ad una suddivisione
in intervalli dello spazio campionario di una variabile aleatoria
continua è un istogramma a intervalli, ossia con rettangoli aventi
per basi segmenti uguali all'ampiezza D dell'intervallo scelto e per
altezza la probabilità dell'intervallo diviso D.
Si immagini ora di prendere intervalli sempre più piccoli. Il
profilo del grafico diventa sempre più regolare mentre resta
invariato il significato dell'altezza e dell'area dell'istogramma il
cui valore totale è 1.
Si dice che l'istogramma è normalizzato a 1 ovvero che la
probabilità che una misura della variabile-altezza sia compresa
nell'intero range o spazio campionario della variabile è 1 (risultato
certo)
La rappresentazione grafica che corrisponde a una suddivisione in
intervalli dello spazio campionario di una variabile aleatoria
continua è un istogramma a intervalli, ossia con rettangoli aventi
per basi segmenti uguali all'ampiezza D dell'intervallo scelto e per
altezza la probabilità dell'intervallo / D .
Funzione densità di probablità
Spingendo al limite → 0 l'intervallo ∆
si può immaginare che la spezzata diventi una curva continua f(x)
detta funzione di densità di probabilità.
Definizione : si chiama funzione densità di probabilità della variabile
casuale continua X, definita nell'intervallo a-b, la funzione che
possiede le seguenti proprietà:
Definizione di funzione densita’ di probabilita’
Si chiama funzione densità di probabilità di una variabile casuale
continua X definita nell'intervallo (a,b) una funzione che possiede
le seguenti proprietà:
f(x) 0
∫ab f(x)dx = 1
Ovvero e’ definita positiva ,continua ed integrabile
nell’intervallo a-b
Valore medio atteso , varianza e deviazione
standard di una distribuzione di probabilita’
Si definisce valore medio atteso o media della variabile casuale X il
numero
m =E(X) = Σi xi P(xi) per distribuzioni discrete
E(X) = ∫ab x f(x)dx per distribuzioni continue.
si definisce varianza di X e si indica con s2
s 2 = Σi (xi- µ)2 P(xi) per distribuzioni discrete
s2 = ∫ab (x - µ)2 f(x)dx per distribuzioni continue
Si definisce deviazione standard s la radice quadrata
della varianza
Momenti
Per una variabile casuale X discreta (o continua) avente una
funzione di distribuzione di probabilità P(X) (o funzione di densità
di probabilità f(x)) è possibile introdurre i cosiddetti momenti
(rispetto all'origine) µk di ordine k
µk = E(Xk)
Il momento di ordine 1 è il valore atteso E(X) = µ
Il momento di ordine 2
µ2 = E(X2) = Σi Xi2 P(Xi) per distribuzioni discrete
µ2 = E(X2) = ∫ab x2 f(x)dx per distribuzioni continue.
Distribuzione discreta uniforme
Siano gli eventi equiprobabili E1, E2, E3, E4, E5, E6 comparsa
delle 6 facce di un dado
E1 ∩ E2 ∩ E3 ∩ E4 ∩ E5 ∩ E6= S
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X i =(1,2,3,4,5,6) le variabili casuali associate = numero che
compare sulle facce
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P(xi)=1/6
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Valor medio atteso m = E(x) = S xi P(xi) = 3.5
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Varianza
s2 = S P(xi) (xi - m) 2 =
= S P(xi) (xi)2 - 2m S xi P(xi) + (m)2 S P(xi) = S P(xi) (xi)2 - (m)2
= 1/6*(1+4+9+16+25+36) - (3.5)2 =91/6-12.25= 2.917
e quindi deviazione standard
σ=1.708
Distribuzione uniforme continua
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