i numeri complessi

I NUMERI COMPLESSI
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Prof. Chirizzi Marco
1.1 Definizione di numero complesso
Si definisce numero complesso una qualunque espressione matematica del tipo:
Z = a + jb
(1)
dove a e b sono due numeri reali, che si chiamano rispettivamente parte reale e parte complessa
nel numero Z , j è un operatore immaginario ( j =
assumono i seguenti valori:
j ⋅ j = j2 = −1 ⋅ −1 =
(
− 1 ). Le potenze di questo numero
)
2
−1 =
(− 1)2 = −1;
j ⋅ j ⋅ j = j 3 = j ⋅ j 2 = − j;
j ⋅ j ⋅ j ⋅ j = j 4 = j 2 ⋅ j 2 = (− 1) ⋅ (− 1) = +1.
Da queste tre potenze si può dedurre il valore di una qualunque potenza di j . Ad esempio,
9
consideriamo la potenza j . Si ha:
j 9 = j 4 ⋅ j 4 ⋅ j = (+ 1) ⋅ (+ 1) ⋅ j = + j
Un numero complesso si può rappresentare graficamente come riportato in figura 1.
Figura 1. Rappresentazione grafica di un numero complesso.
Il rappresentante di un numero complesso è un vettore, quindi è caratterizzato da un modulo Z
( lunghezza del vettore ), da una direzione α ( angolo che il vettore forma con l’asse reale ) e da un
verso ( quello indicato dalla freccia del vettore stesso ). Il modulo e la fase si calcolano come segue:
Z = a 2 + b2
(2)
b
α = arctg 
a
(3)
L’espressione ( 1 ) prende il nome di forma algebrica del numero complesso Z .
1.2 Somma di numeri complessi
Consideriamo due numeri complessi Z1 = a + jb , Z 2 = c + jd . La somma Z1 + Z 2 è un
numero complesso che ha per parte reale la somma delle parti reali e per parte immaginaria la
somma delle parti immaginarie. In formula si ha:
Z1 + Z 2 = a + jb + c + jd = (a + b ) + j (c + d )
(4)
La relativa rappresentazione grafica è riportata in figura 2.
Figura 2. Rappresentazione grafica della somma di due numeri comples2si.
1.3 Differenza di numeri complessi
Consideriamo due numeri complessi Z1 = a + jb , Z 2 = c + jd . La differenza Z1 − Z 2 è un
numero complesso che ha per parte reale la differenza delle parti reali e per parte immaginaria la
differenza delle parti immaginarie. In formula si ha:
Z1 − Z 2 = (a + jb) − (c + jd ) = (a − b ) + j (c − d )
(5)
Lascio al lettore il divertente compito di rappresentare graficamente il numero complesso Z1 − Z 2 .
1.4 Prodotto di numeri complessi
Consideriamo due numeri complessi Z1 = a + jb , Z 2 = c + jd . Il prodotto Z1 ⋅ Z 2 è un numero
complesso che si determina come segue:
Z1 ⋅ Z 2 = (a + jb ) ⋅ (c + jd ) = a ⋅ c + j ⋅ a ⋅ d + j ⋅ b ⋅ c + j ⋅ j ⋅ b ⋅ d
(6)
Sapendo che j ⋅ j = j = −1 , la ( 6 ) diventa:
2
Z1 ⋅ Z 2 = (a ⋅ c − b ⋅ d ) + j ⋅ (a ⋅ d + b ⋅ c)
(7)
Esempio
Eseguiamo il prodotto dei numeri Z1 = 2 + j 4 ,
Z 2 = 4 − j5.
(2 + j 4) ⋅ (4 − j 5) = 2 ⋅ 4 − j ⋅ 2 ⋅ 5 + j ⋅ 4 ⋅ 4 − j ⋅ j ⋅ 4 ⋅ 5 = 8 − j ⋅10 + j ⋅16 + 20 =
= 28 + j ⋅ 6
1.5 Rapporto tra numeri complessi
Consideriamo due numeri complessi Z1 = a + jb , Z 2 = c + jd .
Prima di procedere con il
Z1
, è opportuno definire il complesso coniugato di Z . Dato un numero complesso Z , il
Z2
suo complesso coniugato è un numero complesso avente per parte reale quella di Z e per parte
immaginaria un numero uguale ed opposto a quella di Z .
calcolo
Esempio
Consideriamo il numero Z = 2 + j 7 . Il suo complesso coniugato, che denotiamo con Z , risulta
essere:
*
Z * = 2 − j7
Passiamo al calcolo del rapporto
Z1
.
Z2
Il rapporto tra due numeri complessi si esegue moltiplicando numeratore e denominatore per il
complesso coniugato del denominatore. In formula si ha:
Z1 a + jb (a + jb ) ⋅ (c − jd ) a ⋅ c − j ⋅ a ⋅ d + j ⋅ b ⋅ c + b ⋅ d
=
=
= 2
=
Z 2 c + jd (c + jd ) ⋅ (c − jd )
c − j ⋅c⋅d + j ⋅c⋅d + d 2
(a ⋅ c + b ⋅ d ) + j ⋅ (b ⋅ c − a ⋅ d ) a ⋅ c + b ⋅ d
b⋅c − a⋅ d
=
= 2
+j 2
2
2
2
c +d
c +d
c + d2
(8)
Lascio al lettore il compito di determinare modulo e fase del seguente numero complesso:
2+ j 3
4− j 3