APPUNTI DI MATEMATICA GLI INSIEMI NUMERICI • I numeri

APPUNTI DI MATEMATICA
GLI INSIEMI NUMERICI
• I numeri naturali
• I numeri interi
• I numeri razionali
• Teoria degli insiemi (cenni)
ALESSANDRO BOCCONI
Indice
1 L’insieme N dei numeri naturali
4
1.1
Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.2
Caratteristiche dell’insieme N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.3
L’addizione nei numeri naturali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.4
La moltiplicazione nei numeri naturali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.5
La sottrazione nei numeri naturali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.6
La divisione nei numeri naturali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.7
Confronti e considerazioni sulle quattro operazioni. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.8
La priorità delle operazioni e le parentesi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.9
L’uso delle lettere, e la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla somma. 14
1.10 Le potenze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.11 Divisori, multipli, e numeri primi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.12 Criteri di divisibilità. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.13 Il Massimo comun Divisore e il minimo comune multiplo. . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.14 Il sistema di numerazione posizionale in base dieci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.15 Domande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.16 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.17 Problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2 L’insieme Z dei numeri interi
39
2.1
La nascita dei numeri interi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2
Caratteristiche dell’insieme Z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3
Le operazioni coi numeri interi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.4
L’addizione nei numeri interi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.5
La sottrazione nei numeri interi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.6
La moltiplicazione nei numeri interi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.7
La divisione nei numeri interi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.8
Le potenze nei numeri interi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1
2.9
La priorità delle operazioni, le parentesi e le espressioni . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.10 Identificazione fra i numeri interi non negativi e i numeri naturali . . . . . . . . . . . 55
2.11 Domande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.12 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3 L’insieme Q dei numeri razionali
61
3.1
L’insieme delle frazioni di numeri Naturali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.2
Significato “descrittivo” delle frazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.3
Frazioni equivalenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.4
Frazioni ridotte ai minimi termini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.5
Addizioni e sottrazioni fra frazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.6
Frazione di numeri interi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.7
La moltiplicazione fra frazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.8
La divisione fra frazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.9
La potenza di frazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.10 Espressioni con le frazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.11 Semplificazioni fra potenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.12 Potenze con esponente negativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.13 La notatazione scientifica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.14 Le frazioni e i numeri razionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.15 Le proporzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.16 Le percentuali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.17 Le frazioni e i numeri decimali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.18 I numeri reali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.19 Errore assoluto, errore relativo e errore percentuale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.20 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.21 Problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4 Gli insiemi (cenni)
106
4.1
Notazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.2
Rappresentazione degli insiemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.3
Cardinalità di un insieme, l’insieme vuoto e l’insieme Universo . . . . . . . . . . . . 108
4.4
I sottoinsiemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.5
Operazioni fra insiemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.6
Rappresentazione delle operazioni fra insiemi tramite i diagrammi di Eulero-Venn . . 112
4.7
Alcuni risultati importanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
2
4.8
Il prodotto cartesiano fra insiemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.9
Domande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.10 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
Capitolo 1
L’insieme N dei numeri naturali
1.1
Introduzione
L’esigenza di contare e quantificare è presente nella vita quotidiana sin dalle origini dell’umanità:
il concetto di numero ha sempre accompagnato l’uomo durante la sua evoluzione. Le proprietà,
le notazioni e i risultati che incontreremo sono frutto del lavoro di studiosi nel corso dei secoli.
Quanto ci apprestiamo ad affrontare è una sintesi di una parte di questo lungo e paziente lavoro
ed ha lo scopo di porre le basi di una scienza in continua evoluzione: la matematica.
1.2
Caratteristiche dell’insieme N
L’insieme dei numeri naturali è costituito da:
N = {0; 1; 2; 3; 4; .......}
Evidenziamo alcune caratteristiche dell’insieme N:
1. L’insieme N ammette naturalmente una relazione d’ordine, cioé un criterio che ci permette
di stabilire, presa una qualunque coppia di elementi di N, quale elemento viene prima. La
relazione d’ordine in questo caso è: essere minore di.... Ad esempio, scelti gli elementi 3 e 27,
l’elemento 3 viene prima dell’elemento 27 in quanto 3 è minore di 27;
2. L’insieme N è costituito da infiniti elementi.
3. L’insieme N è illimitato, cioé non esiste un elemento di N che non è minore di nessun altro
elemento di N.
Osservazione. In base alle caratteristiche di N possiamo affermare che esiste il primo elemento
dell’insieme (cioé lo zero che è minore di tutti gli altri) ma non esiste l’ultimo.
Osservazione. La migliore rappresentazione grafica dell’insieme N è, in base alle sue caratteristiche, una semiretta orientata (cioè che ha un ordine in cui cresce indicato dalla freccia) come quella
rappresentata in figura 1.1.
Alessandro Bocconi
5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
Figura 1.1: La semiretta dei numeri Naturali
1.3
L’addizione nei numeri naturali
Il concetto di addizione di due numeri naturali è cosı̀ intuitivo che, darne qui una definizione,
risulterebbe soltanto un inutile appesantimento. Quindi non spiegheremo ad esempio cosa vuol
dire 3 + 5 e perché il suo risultato sia 8, lasciando a queste domande l’intuitiva risposta che il
lettore può darsi.
Ci soffermeremo però sulla terminologia: il risultato di un’addizione si dice somma, e i due numeri
che compongono l’addizione si dicono addendi. Prendendo ad esempio l’addizione 3 + 5; 3 e 5
sono addendi, e 8 è la somma.
Anche se l’addizione è un’operazione fra due numeri, si utilizza spesso l’espressione somma di più
numeri. Con tale espressione si intende il risultato che si ottiene sommando i primi due addendi,
al risultato si somma il terzo e cosı̀ via.
Proprietà dell’addizione:
1. Proprietà commutativa: scambiando fra di loro i due addendi la somma non cambia (Esempio
la somma di 3+5 è uguale alla somma di 5+3)
2. Proprietà associativa: La somma di più numeri non cambia, cambiando l’ordine in cui le
addizioni vengono eseguite.
Esempio:
3+7+5
Eseguiamo prima l’addizione fra 3 e 7 che ha risultato 10:
3 + 7 + 5 = 10 + 5 = 15
Adesso eseguiamo prima la seconda addizione (fra 7 e 5) che ha come risultato 12:
3 + 7 + 5 = 3 + 12 = 15
Si osserva che il risultato finale non cambia e conferma la proprietà associativa dell’addizione.
Osservazione. La proprietà associativa può risultare estremamente utile per facilitare il calcolo
di una somma. Si consideri ad esempio:
49 + 97 + 3
Alessandro Bocconi
6
Effettuare, come viene naturale, prima la somma fra 49 e 97 non è molto semplice soprattutto se
dobbiamo eseguirla a mente. Molto più semplice è determinare 97 + 3 = 100 e poi effettuare la
somma con 49: 49 + 100 = 149.
Osservazione. Se in un’addizione uno dei due addendi è zero la somma è l’altro addendo.
Esempi:
5 + 0 = 5;
0+5=5
1.4
La moltiplicazione nei numeri naturali
Chiariamo con un esempio l’espressione “sommare un numero più volte” che ci servirà per la
definizione di moltiplicazione: sommare 4 volte il numero 3 significa:
3| + 3 {z
+ 3 + 3}
4 volte
La definizione di moltiplicazione deriva dall’addizione:
Definizione di moltiplicazione: moltiplicare fra loro due numeri vuol dire sommare il primo
numero tante volte quanto è il secondo numero.
Esempi:
5 · 3 = |5 +{z
5 + 5} = 15
3
volte
7 · 6 = |7 + 7 + 7 {z
+ 7 + 7 + 7} = 42
6
volte
I due numeri che compongono una moltiplicazione si chiamano fattori, mentre il risultato di una
moltiplicazione si dice prodotto. Nel primo esempio 5 e 3 sono i fattori mentre 15 è il prodotto.
Problema
Mettendo delle palline una sopra l’altra abbiamo formato delle colonne costituite da queste palline
(supponiamo che le palline stiano in equilibrio una sull’altra). Ciascuna colonna è formata da 3
palline, e le colonne sono 5 (figura 1.2). Quante palline ci sono in tutto?
La risposta è molto semplice: 3 palline nella prima colonna, più 3 palline nella seconda e cosı̀ via
fino ad arrivare alla quinta. Quindi:
numero di palline = 3| + 3 +{z
3 + 3 + 3} = 15
5 colonne
Ma sommare 5 volte il numero 3 è, per definizione, il prodotto 3 · 5. Quindi il problema è risolto
moltiplicando il numero delle palline in ciascuna colonna (primo fattore) col numero delle colonne
(secondo fattore).
Alessandro Bocconi
7
.
.
Figura 1.2: 3 palline per ciascuna delle 5 colonne
Osservazione importante. La definizione di moltiplicazione perde chiarezza nei casi in cui il
secondo fattore è 1, oppure 0. L’esempio delle palline messe in colonna ci aiuta ad analizzare questi
due casi:
• Secondo fattore uguale a 1. Il prodotto è equivalente al seguente problema: abbiamo un
certo numero di palline (primo fattore) messe in un’unica colonna (secondo fattore). Quante
palline abbiamo in tutto? Ovviamente la risposta è che abbiamo tante palline quante ci sono
nell’unica colonna. Quindi il prodotto di due fattori di cui il secondo è 1 è uguale al primo
fattore.
Esempio: 8 · 1 = 8
• Secondo fattore uguale a 0. Considerando come prima le palline e le colonne, in questo
caso, dato che il secondo fattore è 0, non abbiamo nessuna colonna. Se non ci sono colonne
non ci sono neppure palline (cioè 0 palline), e quindi il prodotto è uguale a 0.
Esempio: 8 · 0 = 0
Come per la somma, definiamo il prodotto di più fattori, come il risultato che si ottiene moltiplicando i primi due fattori fra loro, al risultato si moltiplica il terzo e cosı̀ via.
Proprietà della moltiplicazione:
1. Proprietà commutativa: scambiando fra di loro i due fattori il prodotto non cambia.
Verifichiamolo ancora con l’aiuto delle palline: in figura 1.2 abbiamo messo 3 palline in
ciascuna delle 5 colonne, e abbiamo visto che il numero totale di palline è data dal prodotto
3 · 5.
Supponiamo adesso di ruotare il rettangolo dove sono contenute le palline, in modo da
appoggiarlo sul lato più corto (figura 1.3).
Adesso abbiamo 5 palline per ciascuna colonna, e le colonne sono 3. Quante sono le palline?
La risposta è data dal prodotto 5 · 3. Ma ovviamente il numero delle palline è rimasto lo
stesso nelle due figure, e quindi i due prodotti devono dare lo stesso risultato, quindi:
3·5=5·3
Considerando che tale procedimento è indipendente dalla scelta del numero delle palline e
delle colonne, abbiamo verificato la proprietà commutativa della moltiplicazione.
.
8
.
Alessandro Bocconi
Figura 1.3: 5 palline per ciascuna delle 3 colonne
2. Proprietà associativa: il prodotto di più fattori non cambia, cambiando l’ordine con cui le
moltiplicazioni vengono eseguite.
Verifichiamolo con un esempio: ad un istruttore viene commissionato un corso che gli verrà
retribuito 20 euro all’ora, e dovrà lavorare per 5 ore al giorno, per 3 giorni. Quanto guadagnerà
l’istruttore?
Riscriviamo l’accordo con l’istruttore:
20 euro all’ora per 5 ore al giorno per 3 giorni.
Il problema si traduce quindi in
20 · 5 · 3
In realtà a noi non interessa quanto guadagna, ma che allo stesso risultato possiamo arrivarci
in (almeno) 2 modi diversi.
(a) Calcoliamo quanto guadagna al giorno e poi si moltiplica per il numero dei giorni: visto
che guadagna 20 euro all’ora e lavora 5 ore in un giorno, al giorno guadagna 20 · 5 = 100
euro. I giorni di lavoro sono 3 quindi il guadagno totale è 100 · 3 = 300.
(b) Calcoliamo quante ore di lavoro effettua nei 3 giorni, e poi moltiplichiamo per il compenso
orario: visto che lavora 5 ore al giorno per 3 giorni, il numero di ore lavorative è 5·3 = 15
ore. Dal momento che riceve 20 euro all’ora, il guadagno totale è 20 · 15 = 300.
Nel primo caso abbiamo effettuato prima la prima moltiplicazione (20 · 5) e poi abbiamo
moltiplicato il risultato per 3. Nel secondo caso abbiamo effettuato prima la seconda moltiplicazione (5 · 3) e poi abbiamo moltiplicato il risultato per 20. Dal momento che il risultato
è lo stesso nei 2 casi (e non potrebbe essere altrimenti visto che il compenso finale deve essere
lo stesso comunque lo si calcoli), abbiamo dimostrato che il risultato non cambia, cambiando
l’ordine in cui vengono effettuate le moltiplicazioni.
Osservazione. Come già visto per l’addizione, la proprietà associativa può risultare estremamente
utile anche per calcolare un prodotto. Si consideri ad esempio:
79 · 5 · 2
Alessandro Bocconi
9
Effettuare, come viene naturale, prima il prodotto fra 79 e 5 non è molto semplice soprattutto se
dobbiamo eseguirlo a mente. Molto più semplice è determinare 5·2 = 10 e poi effettuare il prodotto
con 79: 79 · 10 = 790.
Tenuto conto dell’osservazione importante e della proprietà commutativa della moltiplicazione
possiamo affermare che:
1. Se uno dei due fattori di una moltiplicazione è 1, il prodotto è uguale all’altro fattore.
2. Se uno dei due fattori di una moltiplicazione è 0, il prodotto è 0.
1.5
La sottrazione nei numeri naturali
Anche la definizione di sottrazione deriva dall’addizione:
Definizione di sottrazione: eseguire una sottrazione fra due numeri vuol dire determinare quel
numero che sommato al secondo dei due, ha come risultato il primo.
Esempio: eseguire la sottrazione 10-6 vuol dire determinare quel numero la cui somma con 6 è
uguale a 10. È corretto quindi affermare che il motivo per cui 10 − 6 = 4 è dato dal fatto che
4 + 6 = 10.
Il primo numero di una sottrazione si chiama minuendo, il secondo sottraendo e il risultato
differenza. Nell’esempio precedente 10 è il minuendo, 6 il sottraendo e 4 la differenza.
Esempi
7 − 2 = 5 infatti 2 + 5 = 7;
6 − 6 = 0 infatti 6 + 0 = 6;
9 − 0 = 9 infatti 0 + 9 = 9;
5−8 non si può fare perché non esiste nessun numero naturale che sommato a 8 ha come risultato 5.
Dall’ultimo esempio si ricava la seguente importante:
Osservazione. Si può eseguire una sottrazione nei numeri naturali solo se il minuendo non è
minore del sottraendo.
Per la sottrazione non valgono né la proprietà commutativa, né quella associativa.
Verifichiamolo con degli esempi:
• 7 − 5 = 2, se valesse la proprietà commutativa dovrebbe risultare che, invertendo il minuendo
col sottraendo, la differenza rimane la stessa, mentre invece 5 − 7 non ha nessun risultato.
Alessandro Bocconi
10
• Per vedere che non vale la proprietà associativa consideriamo
11 − 5 − 2
se eseguiamo prima la prima sottrazione (11 − 5 = 6) otteniamo:
11 − 5 − 2 = 6 − 2 = 4
Se valesse la proprietà associativa il risultato finale non dovrebbe cambiare invertendo l’ordine
delle sottrazioni, mentre invece eseguendo prima la seconda sottrazione (5 − 2 = 3) si ottiene
11 − 5 − 2 = 11 − 3 = 8
che è un risultato finale diverso dal precedente.
1.6
La divisione nei numeri naturali
La definizione di divisione deriva dalla moltiplicazione (che, come ricorderemo, a sua volta derivava
dall’addizione):
Definizione di divisione: Eseguire una divisione fra due numeri vuol dire determinare quel
numero che moltiplicato al secondo dei due, ha come risultato il primo.
Esempio: eseguire la divisione 10 : 5 vuol dire determinare quel numero che moltiplicato per 5 ha
come risultato 10. È corretto quindi affermare che il motivo per cui 10 : 5 = 2 è dato dal fatto che
2 · 5 = 10.
Il primo numero di una divisione si chiama dividendo, il secondo divisore e il risultato quoziente.
Nell’esempio precedente 10 è il dividendo, 5 il divisore e 2 il quoziente.
Osservazione: È importante notare che, come per la sottrazione, non sempre è possibile effettuare
la divisione fra due numeri: ad esempio 8 : 3 non ha alcun risultato nei numeri naturali, in quanto
non esiste un numero naturale che moltiplicato per 3 ha come risultato 8.
Esempi
1.
15 : 3 = 5, infatti 3 · 5 = 15
2.
9 : 9 = 1, infatti 9 · 1 = 9
3.
8 : 1 = 8, infatti 1 · 8 = 8
4.
0 : 5 = 0, infatti 5 · 0 = 0
5.
16 : 5 non ha risultato perché non esiste un numero che moltiplicato per 5 ha come risultato
16
Alessandro Bocconi
11
Osservazioni. Dalla definizione di divisione possiamo concludere che:
• La divisione di un numero (diverso da 0) per se stesso ha sempre quoziente 1 (secondo
esempio).
• La divisione di un numero per 1 ha sempre come quoziente il numero stesso (terzo esempio).
• 0 diviso qualunque numero (diverso da 0) ha sempre come quoziente 0 (quarto esempio).
La divisione per zero.
• Consideriamo adesso una divisione in cui il dividendo sia diverso da zero e il divisore uguale
a zero, ad esempio 5 : 0. Il quoziente di questa divisione, se esistesse, dovrebbe essere un
numero che moltiplicato per 0 ha come risultato 5, mentre sappiamo che qualunque numero
naturale moltiplicato per 0 ha come risultato 0 (vedi paragrafo 1.4).
• Studiamo ora il caso in cui anche il dividendo è 0, cioé la divisione 0 : 0. In questo caso siamo
di fronte a una forma indeterminata: infatti potremmo affermare che 0 : 0 = 1 infatti 0·1 = 0,
ma potremmo anche dire che 0 : 0 = 2 infatti 0 · 2 = 0, oppure 0 : 0 = 18 infatti 0 · 18 = 0,
oppure 0 : 0 = 0 infatti 0 · 0 = 0 e cosı̀ via per tutti i numeri naturali. In altre parole la
divisione 0 : 0 non ha un unico risultato ma ne ha infiniti. Per questo viene chiamata forma
indeterminata: perché non è possibile determinare un’unica soluzione dato che qualunque
numero è soluzione di quella divisione.
In ogni caso quindi non è mai possibile eseguire una divisione in cui il divisore sia 0.
Per la divisione, come per la sottrazione, non valgono né la proprietà commutativa,
né quella associativa. Verifichiamolo con degli esempi:
• 16 : 2 = 8, se valesse la proprietà commutativa dovrebbe risultare che, invertendo il dividendo
col divisore, il quoziente rimane lo stesso, mentre invece 2 : 16 non ha nessun risultato.
• Per vedere che non vale la proprietà associativa consideriamo
24 : 6 : 2
se eseguiamo prima la prima divisione (24 : 6 = 4) otteniamo
24 : 6 : 2 = 4 : 2 = 2
Se valesse la proprietà associativa il risultato finale non dovrebbe cambiare invertendo l’ordine
delle divisioni, mentre invece eseguendo prima 6 : 2 = 3 si ottiene:
24 : 6 : 2 = 24 : 3 = 8
cioé un risultato finale diverso dal precedente.
Alessandro Bocconi
1.7
12
Confronti e considerazioni sulle quattro operazioni.
È utile effettuare un confronto fra le varie caratteristiche e proprietà che hanno le quattro operazioni.
• Innanzitutto presa una qualunque coppia di numeri naturali é sempre possibile effettuare la
loro addizione e la loro moltiplicazione. Lo stesso non si può dire per la sottrazione e le
divisione in quanto esistono coppie di numeri per le quali non esiste né la differenza né il
quoziente.
• Inoltre la moltiplicazione e l’addizione godono sia della proprietà commutativa che quella
associativa, a differenza della divisione e della sottrazione che non godono di nessuna delle
due. Si osservi a tal proposito che per l’addizione e la moltiplicazione i due numeri si chiamano
allo stesso modo (addendi per l’addizione e fattori per la moltiplicazione), mentre per la
sottrazione e la divisione il primo numero ha un nome diverso dal secondo (minuendo e
sottraendo per la sottrazione e dividendo e divisore per la divisione). Ciò è dovuto al fatto
che, godendo della proprietà commutativa, i termini della moltiplicazione e dell’addizione
possono essere scambiati, mentre quelli della divisione e sottrazione no.
• Se ad un numero addizioniamo o sottraiamo 0 il numero rimane invariato. Per questo si
dice che 0 è l’elemento neutro per l’addizione e la sottrazione.
• Se moltiplichiamo o dividiamo un numero per 1 il numero rimane invariato. Per questo si
dice che 1 è l’elemento neutro per la moltiplicazione e la divisione.
1.8
La priorità delle operazioni e le parentesi.
Chiameremo espressione numerica, una serie di numeri legati fra di loro da delle operazioni.
Affrontiamo ora il caso di dover risolvere un’espressione, partendo da un esempio:
5+3·4−1
È facile osservare che il risultato di tale espressione cambia a seconda dell’ordine in cui effettuiamo
le singole operazioni; se ad esempio scegliamo di partre da sinistra a destra si ottiene:
5 + 3 · 4 − 1 = 8 · 4 − 1 = 32 − 1 = 31
Se invece scegliamo l’ordine inverso otteniamo:
5 + 3 · 4 − 1 = 5 + 3 · 3 = 5 + 9 = 14
E avremmo ottenuto ancora un risultato diverso se avessimo scelto un ordine differente rispetto ai
due precedenti (ad esempio prima la moltiplicazione poi la sottrazione e infine l’addizione). Dal
momento che in matematica le espressioni devono avere un unico risultato (altrimenti perderebbero
senso), si è reso necessario fissare una priorità delle operazioni, cioé una classifica dell’ordine in cui
le operazioni devono venire effettuate. E questa è la classifica:
• Primo posto: moltiplicazione e divisione a pari merito.
Alessandro Bocconi
13
• Secondo posto: addizione e sottrazione a pari merito.
Con la regola che, se due operatori hanno la stessa priorità (cioé lo stesso posto in classifica) si
effettua prima quello più a sinistra. Quindi per risolvere un’espressione si risolvono prima tutte
le moltiplicazioni e le divisioni presenti, una per ogni passaggio, partendo da sinistra a destra.
Quando non ci sono più né moltiplicazioni né divisioni si passa alle addizioni e sottrazioni, sempre
una per volta, e sempre da sinistra a destra.
Esempi
.
Risolvere la seguente espressione:
5+3·4−1=
c’é un’unica moltiplicazione che ha priorità maggiore degli altri operatori e quindi si svolge per
prima:
5 + 12 − 1 =
ci sono due operatori di uguale priorità, si effettua quindi per primo quello più a sinistra:
17 − 1 = 16
Quindi il risultato finale è 16.
.
Risolvere la seguente espressione:
18 − 8 : 2 · 4 =
Le moltiplicazioni e le divisioni hanno priorità maggiore, si effettua in questo caso prima la divisione
perché è più a sinistra:
18 − 4 · 4 =
Adesso la moltiplicazione:
18 − 16 = 2
Quindi il risultato finale è 2.
.
Risolvere le seguenti espressioni:
1. 20 − 12 − 4 + 3
20 − 12 − 4 + 3 = 8 − 4 + 3 = 4 + 3 = 7
2. 10 + 16 : 4 : 2
10 + 16 : 4 : 2 = 10 + 4 : 2 = 10 + 2 = 12
Per cambiare l’ordine delle operazioni, l’unico strumento che esiste è l’uso delle parentesi. Infatti se un’espressione contiene delle parentesi, prima si risolvono le parti di espressione
dentro le parentesi fino a che non rimane solo un numero. A quel punto si tolgono le parentesi e si
procede come prima.
Esempio Risolvere la seguente espressione:
6 + (7 − 2 · 3) · 4 =
Alessandro Bocconi
14
prima si risolve la parte di espressione dentro le parentesi, ricordando che, all’interno di una
parentesi valgono le priorità descritte in precedenza, quindi:
6 + (7 − 6) · 4 = 6 + (1) · 4
dentro le parentesi è rimasto solo un numero e quindi possono essere tolte:
6 + 1 · 4 = 6 + 4 = 10
Quindi il risultato finale è 10.
Può essere necessario, all’interno di una parentesi aprirne e chiuderne altre. In questo caso, per
evitare confusione, si usano parentesi diverse da quelle tonde, e precisamente le parentesi quadre e,
se necessario, le parentesi graffe. Per convenzione le parentesi tonde stanno dentro le quadre che a
loro volta stanno dentro le graffe. In un’espressione con parentesi graffe, quadre e tonde, prima si
risolvono tutte le tonde, poi tutte le quadre, e in ultimo tutte le graffe.
Esempio Risolvere la seguente espressione:
12 + {20 : [(7 − 5) · 8 − 6] + 4 · 3} : 7 =
12 + {20 : [(2) · 8 − 6] + 4 · 3} : 7 =
12 + {20 : [2 · 8 − 6] + 4 · 3} : 7 =
12 + {20 : [16 − 6] + 4 · 3} : 7 =
12 + {20 : [10] + 4 · 3} : 7 =
12 + {20 : 10 + 4 · 3} : 7 =
12 + {2 + 4 · 3} : 7 =
12 + {2 + 12} : 7 =
12 + {14} : 7 =
12 + 14 : 7 =
12 + 2 =
14.
1.9
L’uso delle lettere, e la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla somma.
In matematica si usano molto frequentemente le lettere al posto dei numeri. Il motivo risiede nel
fatto che con le lettere possiamo effettuare delle affermazioni che hanno carattere generale, cosa
non possibile usando invece i numeri.
Chiariamo quanto detto con un esempio: presi i numeri 3 e 5 vale che:
3·5=5·3
Quanto appena scritto afferma che la moltiplicazione gode della proprietà commutativa? La risposta
è no, perché si potrebbe obiettare che ciò che vale per i numeri 3 e 5, non necessariamente deve
valere per tutti i numeri.
Alessandro Bocconi
15
Se invece scriviamo: siano a e b due numeri naturali qualunque. Vale che:
a·b=b·a
In questo modo abbiamo enunciato la proprietà commutativa della moltiplicazione, in quanto a e
b sono due qualunque numeri naturali, e quindi l’uguaglianza vale per tutti i numeri naturali.
Tale esempio dimostra quanto può essere conveniente usare le lettere al posto dei numeri.
Possiamo adesso enunciare una proprietà estremamente importante che lega la moltiplicazione con
l’addizione:
La proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione: il prodotto di una
somma per un fattore è equivalente alla somma dei prodotti fra ciascun addendo e il fattore stesso.
In formule:
(a + b + c + ....) · k = a · k + b · k + c · k...
dove i puntini stanno a significare che la somma può essere composta da un qualsiasi numero di
addendi.
Chiariamo, e verifichiamo, questa proprietà tramite un esempio.
Esempio
(5 + 2 + 8) · 4
(si noti che tale espressione deriva dalla formula letterale scritta sopra, scegliendo al posto di a il
numero 5, al posto di b il numero 2, al posto di c il numero 8 e al posto di k il numero 4).
Per la proprietà distributiva deve valere che il risultato della precedente espressione è uguale a
quello della seguente espressione:
5·4+2·4+8·4
(cioè, riprendendo sempre la formula letterale, a · k + b · k + c · k).
Verifichiamolo:
(5 + 2 + 8) · 4 = 15 · 4 = 60
5 · 4 + 2 · 4 + 8 · 4 = 20 + 8 + 32 = 60
e quindi la proprietà è verificata.
1.10
Le potenze.
Consideriamo la seguente espressione:
2| · 2 ·{z
2 · 2 · 2}
5 volte
Osserviamo che si tratta di un prodotto in cui i fattori sono tutti 2. È possibile, e preferibile,
scrivere tale espressione in forma più compatta che prende il nome di potenza, cioé 25 . Si dice che
25 è una potenza di base 2 ed esponente 5.
Il concetto di potenza è fondamentale nella matematica, ed è cosı̀ definito:
Alessandro Bocconi
16
Definizione di potenza nei numeri naturali: sia a un numero naturale e n un numero naturale
maggiore di zero. Con l’espressione an (che si legge a elevato ad enne, o più semplicemente a alla
enne) si intende una potenza di base a ed esponente n, che equivale a:
an = a
a · a....}
| · a ·{z
n volte
Esempi:
1. 34 è una potenza di base 3 ed esponente 4, si legge tre alla quarta ed equivale a:
34 = |3 · 3{z
· 3 · 3} = 81
4 volte
2. 72 è una potenza di base 7 ed esponente 2, si legge sette alla seconda ed equivale a:
72 = |{z}
7 · 7 = 49
2
volte
3. 14 è una potenza di base 1 ed esponente 4, si legge uno alla quarta ed equivale a:
14 = |1 · 1{z
· 1 · 1} = 1
4 volte
4. 05 è una potenza di base 0 ed esponente 5, si legge zero alla quinta ed equivale a:
05 = |0 · 0 ·{z
0 · 0 · 0} = 0
5 volte
5. 81 è una potenza di base 8 ed esponente 1, si legge otto alla prima ed equivale a:
81 = |{z}
8 =8
1
volta
Osservazioni: Dalla definizione di potenza e dagli esempi possiamo facilmente osservare che:
• Qualsiasi numero naturale elevato alla prima equivale al numero stesso (vedi esempio 5).
Quindi qualsiasi numero naturale può essere visto come una potenza avente come base il
numero stesso e come esponente uno (ad esempio 7 è equivalente alla potenza 71 ).
• Zero elevato a qualunque numero maggiore di zero è uguale a zero (vedi quarto esempio).
• Uno elevato a qualunque numero maggiore di zero è uguale a uno (terzo esempio).
Si noti inoltre che tramite le potenze possiamo esprimere con numeri relativamente piccoli, anche
numeri molto elevati, ad esempio: 67 = 279936. A tal proposito si legga con attenzione il seguente
racconto.
La nascita degli scacchi e i chicchi di riso. Narra la leggenda che gli scacchi furono inventati
in India da un bramino (un sacerdote) di nome Sissa. Egli era cosı̀ orgoglioso della sua invenzione
che la portò in dono al suo sovrano. Anche il sovrano rimase entusiasta del nuovo gioco e, per
ricompensare il bramino, disse che avrebbe potuto chiedergli in dono qualunque cosa: denaro,
stoffe preziose, terre, gemme ecc.
Il bramino fece una richiesta piuttosto insolita: “mio sovrano per determinare la mia ricompensa
dovrà essere messo un chicco di riso nella prima casella della scacchiera, 2 nella seconda, 4 nella
Alessandro Bocconi
17
terza, 8 nella quarta e cosı̀ via fino all’ultima casella. Quello che ti chiedo è di darmi il contenuto
dell’ultima casella”
Il re rise a quell’insolita richiesta pensando di essersela cavata con pochi chicchi di riso. Quando
però i suoi consiglieri determinarono la quantità di riso che spettava al bramino non ebbe più alcuna
voglia di sorridere: per esaudire la richiesta non sarebbero state sufficienti le scorte di riso di tutto
il regno.
Vediamo perché: innanzitutto sappiamo che le caselle di una scacchiera sono 64. La richiesta del
bramino era di un chicco sulla prima casella, 2 sulla seconda, 4 sulla terza e cosı̀ via. Mettiamo
questi dati in tabella:
casella
1
2
3
4
5
.
.
.
numero di chicchi
1
2
4
8
16
.
.
.
Si osserva che nell colonna a destra sono tutte potenze del 2 (a cominciare da 1 che è 20 come
vedremo nel prossimo paragrafo) quindi possiamo riscrivere la tabella come:
casella
1
2
3
4
5
.
.
.
63
64
numero di chicchi
20
21
22
23
24
.
.
.
262
263
quindi la 64-esima casella corrisponde a 263 chicchi di riso cioè 9.223.372.036.854.775.808 chicchi. Per rendersi conto dell’enormità di tale numero si pensi che un chicco di riso pesa circa un
quarantacinquesimo di grammo, quindi il peso di tutti quei chicchi è superiore a 200 miliardi di
tonnellate.
Considerando che nel 2006 la produzione annuale di riso del pianeta è stata di 636 milioni di
tonnellate ci sarebbero voluti più di 300 anni per produrre una tale quantità di riso!!
Capiamo bene quindi che se dovessimo effettuare il prodotto 67 · 610 calcolando prima 67 poi 610 , e
poi moltiplicando fra loro i numeri ottenuti, avremmo come minimo bisogno di una calcolatrice (e
anche piuttosto potente). Per questo ci vengono in aiuto le fondamentali proprietà delle potenze.
Le proprietà delle potenze.
1. Il prodotto fra due potenze aventi la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base
e per esponente la somma degli esponenti.
Verifichiamo tale proprietà con un esempio:
Alessandro Bocconi
18
3 · 3 = |3 · 3 · 3 ·{z
3 · 3 · 3 · 3} = 37
35 · 32 = |3 · 3 ·{z
3 · 3 · 3} · |{z}
5 volte
2 volte
7 volte
Quindi il risultato ha la stessa base dei fattori (cioé 3) e come esponente la somma degli
esponenti (cioé 5 + 2 = 7).
2. Il quoziente fra due potenze aventi la stessa base, in cui la prima (dividendo) deve avere
l’esponente maggiore della seconda (divisore), è una potenza che ha per base la stessa base e
per esponente la differenza degli esponenti.
Verifichiamo con un esempio: 57 : 54
Dal momento che il quoziente è quel numero che moltiplicato per il divisore ha come risultato
il dividendo, dobbiamo trovare un numero che moltiplicato per 54 ha come risultato 57 . Grazie
alla prima proprietà possiamo affermare che 53 · 54 = 57 , e quindi 53 è il risultato cercato.
Quindi il risultato ha la stessa base del dividendo e del divisore (cioé 5) e come esponente la
differenza degli esponenti (cioé 7 − 4 = 3).
3. La potenza di una potenza è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il
prodotto degli esponenti.
Verifichiamo tale proprietà con un esempio:
(35 )2 = 3| 5{z
· 3}5 = per la prima proprietà = 35+5 = 310
2 volte
dove la parentesi iniziale sta a indicare che prima si determina 35 e poi si eleva alla seconda.
Quindi il risultato ha la stessa base iniziale (cioé 3) e come esponente il prodotto degli
esponenti (cioé 5 · 2 = 10).
4. Il prodotto fra due potenze aventi lo stesso esponente è una potenza che ha per esponente lo
stesso esponente e per base il prodotto delle basi.
Verifichiamo tale proprietà con un esempio:
24 · 34 = |2 · 2{z
· 2 · 2} · 3
· 3 · 3} = per la proprietà commutativa della moltiplicazione
| · 3{z
4 volte
4 volte
= (2 · 3) · (2 · 3) · (2 · 3) · (2 · 3) = |6 · 6{z
· 6 · 6} = 64
|
{z
}
4 volte
4 volte
Quindi il risultato ha la stesso esponente dei fattori (cioé 4) e come base il prodotto delle basi
(cioé 2 · 3 = 6).
5. Il quoziente fra due potenze aventi lo stesso esponente è una potenza che ha per esponente lo
stesso esponente e per base il quoziente delle basi.
Verifichiamo con un esempio: 87 : 27
Dal momento che il quoziente è quel numero che moltiplicato per il divisore ha come risultato
il dividendo, dobbiamo trovare un numero che moltiplicato per 27 ha come risultato 87 . Grazie
alla quarta proprietà possiamo affermare che 47 · 27 = 87 , e quindi 47 è il risultato cercato.
Quindi il risultato ha lo stesso esponente del dividendo e del divisore (cioé 7) e come base il
quoziente delle basi (cioé 8 : 2 = 4).
Potenza con esponente zero. Dalla definizione che abbiamo dato di potenza risulta che non
ha senso una potenza con esponente zero: infatti, nella stessa definizione, abbiamo specificato che
l’esponente fosse un numero naturale maggiore di zero. Risulta però estremamente utile dare un
significato, e quindi un valore, ad una potenza, di base maggiore di zero, il cui esponente è zero.
Alessandro Bocconi
19
Si è deciso di adottare la seguente convenzione:
Convenzione. La potenza avente come esponente 0 e come base un qualunque numero naturale
maggiore di 0 vale 1.
Esempi
50 = 1;
30 = 1;
10 = 1
Osservazione. La scelta di attribuire il valore 1, ad una potenza di esponente 0 è, come già
detto, una convenzione. Risulta però estremamente utile osservare che, fra tutti i valori che avremmo potuto attribuire, 1 risulta la scelta migliore per conservare alcune proprietà delle potenze
estendendole all’esponente 0.
Chiariamo quanto detto con due esempi.
. Ammettiamo l’esistenza di una potenza ad esponente 0, ad esempio 30 , e consideriamo il
seguente prodotto:
35 · 30
applicando la prima proprietà delle potenze risulta:
35 · 30 = 35+0 = 35
quindi 35 (ma avrebbe funzionato con qualunque potenza del 3) moltiplicata per 30 resta 35 , quindi
30 funziona come elemento neutro della moltiplicazione. Allora, essendo 1 l’unico elemento neutro
della moltiplicazione, deve risultare che 30 = 1.
. Come secondo esempio consideriamo la divisione 25 : 25 . La divisione fra due numeri uguali
(siano essi potenze o meno), ha come risultato 1 (vedi paragrafo 1.6). Quindi deve risultare:
25 : 25 = 1
Ma se vogliamo estendere la seconda proprietà delle potenze al fatto che dividendo e divisore
possano avere lo stesso esponente deve risultare che:
25 : 25 = 25−5 = 20
Quindi la divisione 25 : 25 ha come risultato sia 1, sia 20 . Dal momento che il risultato deve essere
unico, l’unica possibilità per non entrare in contraddizione è che 20 = 1, in accordo con la nostra
convenzione.
0 elevato a 0. Attribuire un valore a 00 , qualunque esso sia, porterebbe a delle contraddizioni
con altri risultati della matematica (purtroppo non abbiamo strumenti sufficienti per dimostrare
questa affermazione e dobbiamo prenderla per buona). Per questo si è stabilito che:
00 non ha significato (cioé non vale nessun numero).
Alessandro Bocconi
20
Osservazioni sulle proprietà delle potenze.
Analizziamo adesso alcuni casi.
Di fronte alla addizione: 35 + 34 , possiamo usare la prima proprietà delle potenze e affermare che il
risultato è 39 ? La risposta è ovviamente no, perché tutte le proprietà delle potenze riguardano la
moltiplicazione o la divisione o l’elevamento a potenza e non sono quindi applicabili per l’addizione
e la sottrazione.
Di fronte alla precedente addizione ci sono quindi due sole possibilità: o si calcolano le due potenze
(in questo caso, dato che 35 = 243 e 34 = 81, si ottiene 35 + 34 = 243 + 81 = 324), oppure si lascia
cosı̀ com’é (quest’ultima ipotesi è senz’altro da preferire se siamo di fronte a potenze grandi).
Consideriamo la moltiplicazione: 35 · 26 , possiamo applicare qualche proprietà delle potenze? La
risposta è ancora no, perché in una moltiplicazione si può applicare la prima proprietà se le basi
sono uguali, e la quarta proprietà se sono uguali gli esponenti, ma in questo caso non si verifica
nessuna delle due condizioni. Quindi o si calcolano le potenze e poi si esegue il prodotto, oppure si
lascia cosı̀ com’é.
Lo stesso discorso appena fatto per la moltiplicazione si può applicare alla divisione
Osservazione. Consideriamo la divisione: 85 : 35 . Avendo uguali gli esponenti si potrebbe
applicare la quinta proprietà. Ma in questo caso si osserva che 8 : 3 è una divisione che non ha
quoziente nei numeri naturali, e quindi non si può applicare la proprietà citata, e scriveremo che
tale divisione non ha risultato nei numeri naturali.
Le potenze all’interno delle espressioni. Nel paragrafo precedente abbiamo stabilito un ordine
di priorità per le quattro operazioni all’interno di un’espressione. La domanda che ci poniamo è
come si colloca l’elevamento a potenza nella classifica delle priorità. La risposta è che l’elevamento
a potenza ha priorità maggiore di tutte le altre operazioni.
Esempio
3 + 12 : 22 · 5 =
Prima di tutto l’elevamento a potenza, quindi:
3 + 12 : 22 · 5 = 3 + 12 : 4 · 5 =
Poi si prosegue come già visto nel paragrafo precedente:
= 3 + 3 · 5 = 3 + 15 = 18
Anche in caso di espressioni con le potenze, le parentesi possono cambiare l’ordine delle operazioni:
Esempio
(1 + 2)4 =
La parentesi ci impone di effettuare prima la somma, e poi l’elevamento a potenza:
(1 + 2)4 = 34 = 81
Si osservi che senza le parentesi l’espressione precedente diventa:
Alessandro Bocconi
21
1 + 24
ed in questo caso dovremmo effettuare prima l’elevamento a potenza e poi la somma ottenendo un
risultato diverso.
Osservazione importante. Quando è possibile bisogna sempre applicare la proprietà delle potenze invece di calcolarsi la potenza: questo semplifica e velocizza notevolmente lo svolgimento di
un’espressione.
Esempio
Risolvere la seguente espressione: 4 + 57 : 55 .
È da considerare sbagliato (anche se formalmente non lo è) calcolarsi 57 e 55 e poi effettuare la
divisione, in quanto è possibile applicare la seconda proprietà delle potenze che ci permette di
calcolare con estrema semplicità, il quoziente di quella divisione che è 52 . Quindi
4 + 57 : 55 = 4 + 52 = 4 + 25 = 29
1.11
Divisori, multipli, e numeri primi.
Torniamo all’operazone della divisione vista al paragrafo 1.6.
Abbiamo osservato che non tutte le divisioni hanno un risultato; ad esempio non esiste il quoziente
di 9 : 5, mentre la divisione 15 : 3 ha come quoziente 5.
Possiamo adesso definire:
Definizione di multiplo e di divisore. Un numero a è multiplo di un numero b (e allo stesso
tempo b è divisore di a), se la divisione a : b ha un quoziente.
È facile osservare che fra i divisori di un numero ci sono sempre uno e il numero stesso. Possiamo
adesso dare una fondamentale definizione:
Definizione di numero primo. Un numero maggiore di 1 si dice primo se ha come divisori
soltanto 1 e se stesso.
Si osservi che il numero uno ha come divisore soltanto uno, e quindi “avrebbe diritto” ad essere
considerato un numero primo. Per convenienza è stato scelto di escluderlo dai numeri primi,
inserendo nella definizione che il numero deve essere maggiore di uno.
Scopriamo i primi numeri primi:
Divisori di 2: 1; 2 quindi 2 è un numero primo
Divisori di 3: 1; 3 quindi 3 è un numero primo
Divisori di 4: 1; 2; 4 quindi 4 non è un numero primo perché fra i divisori c’è anche 2 che non è né
1 né il numero stesso
Divisori di 5: 1; 5 quindi 5 è un numero primo
Alessandro Bocconi
22
Divisori di 6: 1; 2; 3; 6 quindi 6 non è un numero primo perché fra i divisori ci sono anche 2 e 3
che non sono né 1 né il numero stesso
I primi numeri primi (che conviene imparare a memoria) sono:
2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 23; 29....
Due caratteristiche dei numeri primi:
1. I numeri primi sono infiniti.
2. I numeri primi diventano sempre più rari al crescere dei numeri stessi (si osservi ad esempio
che nei primi 10 numeri naturali ci sono ben 4 numeri primi, mentre fra 110 e 120 ce n’è
soltanto uno).
Significato di scomposizione in fattori primi: Scomporre un numero in fattori primi vuol
dire scriverlo come un prodotto di fattori che sono numeri primi, o potenze di numeri primi, e tale
scomposizione è unica.
Chiariamo quanto detto con un esempio: il numero 18 può essere scomposto come 18 = 2 · 32 . Il
fatto che tale scomposizione è unica significa che il numero 18 non può essere scomposto in fattori
primi diversi da quelli trovati.
Come si scompone un numero in fattori primi. Si traccia una linea verticale e in alto a
sinistra della linea scriviamo il numero da scomporre. Accanto a tale numero, dalla parte destra
della linea, cerchiamo un numero primo che sia divisore del numero da scomporre. Conviene partire
dal primo numero primo, cioè 2. Se il numero da scomporre è divisibile per 2, scriviamo 2, e sotto
il numero da scomporre scriviamo il quoziente fra il numero da scomporre e 2. Se non è divisibile
per 2, proviamo con 3 e cosı̀ via finché non troviamo un numero primo divisore del numero da
scomporre. Si ripete quindi il procedimento considerando questa volta il quoziente appena trovato,
e cercando un numero primo che gli sia divisore; in questa ricerca si parte dall’ultimo numero
primo utilizzato nella precedente divisione. Il procedimento termina quando il quoziente è 1. La
scomposizione del numero è data dal prodotto di tutti i fattori primi a destra della linea.
Chiariamo con alcuni esempi.
.
Scomporre il numero 18:
18
18 è divisibile per 2 che è il primo dei numeri primi. Scriviamo quindi 2 nella colonna a destra
accanto a 18; e sotto 18 il numero 9 che è il risultato della divisione 18:2.
18
9
2
Si considera adesso il numero 9. 9 non è divisibile per 2, si prova quindi col numero primo successivo
cioè 3; 9 è divisibile per 3, e si scrive 3 nella colonna a destra accanto al 9, e sotto 9 il numero 3
che è il risultato della divisione 9:3.
Alessandro Bocconi
18
9
3
23
2
3
Il numero 3 è divisibile per 3. Quindi scriviamo 3 nella colonna a destra, accanto al numero 3, e
sotto il 3 il numero 1 che è il risultato della divisione 3:3.
18
9
3
1
2
3
3
quando nella colonna a sinistra compare 1 il procedimento termina.
Nella colonna a destra compare il 2 una volta e il 3 due volte. La scomposizione risulta essere
quindi 18 = 2 · 32
.
Scomporre il numero 175:
175
175 non è divisibile né per 2 né per 3. È divisibile per 5; scriviamo quindi 5 nella colonna a destra,
accanto a 175. Sotto 175 scriviamo 35 che è il risultato della divisione 175:5.
175
35
5
35 è ancora divisibile per 5; scriviamo quindi 5 nella colonna a destra, accanto a 35. Sotto 35
scriviamo 7 che è il risultato della divisione 35:5.
175
35
7
5
5
7 non è divisibile per 5, ma per 7 che è il numero primo successivo; scriviamo quindi 7 nella colonna
a destra, accanto a 7. Sotto 7 scriviamo 1 che è il risultato della divisione 7:7.
175
35
7
1
5
5
7
quando nella colonna a sinistra compare 1 il procedimento termina.
Nella colonna a destra compare il 5 due volte e il 7 una volta. La scomposizione risulta essere
quindi 175 = 52 · 7
.
Scomporre il numero 176:
176
Alessandro Bocconi
24
176 è divisibile per 2 ; scriviamo quindi 2 nella colonna a destra, accanto a 176. Sotto 176 scriviamo
88 che è il risultato della divisione 176:2.
176
88
2
88 è ancora divisibile per 2 ; scriviamo quindi 2 nella colonna a destra, accanto a 88. Sotto 88
scriviamo 44 che è il risultato della divisione 88:2.
176
88
44
2
2
2
44 è ancora divisibile per 2 ; scriviamo quindi 2 nella colonna a destra, accanto a 44. Sotto 44
scriviamo 22 che è il risultato della divisione 44:2.
176
88
44
22
2
2
2
22 è ancora divisibile per 2 ; scriviamo quindi 2 nella colonna a destra, accanto a 22. Sotto 22
scriviamo 11 che è il risultato della divisione 22:2.
176
88
44
22
11
2
2
2
2
11 non è divisibile né per 2 né per 3 né per 5 né per 7; è divisibile per 11. Scriviamo quindi 11 nella
colonna a destra, accanto a 11. Sotto 11 scriviamo 1 che è il risultato della divisione 11:11.
176
88
44
22
11
1
2
2
2
2
11
Quando nella colonna a sinistra compare 1 il procedimento termina.
Nella colonna a destra compare il 2 quattro volte e 11 una volta. La scomposizione risulta essere
quindi 176 = 24 · 11
.
Scomporre il numero 13:
13 è un numero primo quindi è già scomposto
Alessandro Bocconi
25
Osservazione. Nella colonna a destra devono comparire soltanto numeri primi.
1.12
Criteri di divisibilità.
Come abbiamo visto, può essere molto utile sapere se un numero è divisibile o meno per un altro.
Scopo di questo paragrafo è quello di fornire dei criteri per stabilire se un numero è divisibile per
qualche numero primo.
Innanzitutto effettuiamo alcune precisazioni: se consideriamo il numero 735, 735 è appunto il numero, mentre 7, 3 e 5 sono le cifre che compongono il numero. Per convenzione il numero, come
le parole, si legge da sinistra a destra, quindi, in questo caso, 7 è la prima cifra, 3 è la seconda e
5 è la terza e ultima (allo stesso modo nella parola cane, c è la prima lettera, a la seconda e cosı̀ via).
Quando si dice di sommare le cifre di un numero fino a ottenere un numero di una sola cifra si
intende il seguente procedimento: prendiamo sempre ad esempio il numero 735: sommare le sue
cifre vuol dire ottenere: 7 + 3 + 5 = 15. 15 ha due cifre quindi ripetiamo il procedimento: 1 + 5 = 6.
6 ha una sola cifra e quindi ci fermiamo.
Fatte queste precisazione introduciamo i seguenti criteri di divisibilità:
Un numero è divisibile per 2 se la sua ultima cifra è 0 o 2 o 4 o 6 o 8.
Esempi
.
2754 è divisibile per 2 perché la sua ultima cifra è 4.
. 739 non è divisibile per 2 perché la sua ultima cifra è 9 (e quindi non è né 0, né 2, né 4, né 6,
né 8).
Definizione di numero pari e di numero dispari. Un numero si dice pari se è divisibile per
2. Si dice dispari se non è pari.
Un numero è divisibile per 3 se sommando le cifre del numero fino a ottenere un numero di
una sola cifra, tale numero è 3 o 6 o 9.
Esempi
. 2754 è divisibile per 3 perché se sommiamo le sue cifre fino ad ottenere un numero di una sola
cifra otteniamo: 2 + 7 + 5 + 4 = 18; 1 + 8 = 9;
. 791 non è divisibile per 3 perché se sommiamo le sue cifre fino ad ottenere un numero di una
sola cifra otteniamo: 7 + 9 + 1 = 17; 1 + 7 = 8.
Un numero è divisibile per 5 se la sua ultima cifra è 0 o 5.
Esempi
.
2725 è divisibile per 5 perché la sua ultima cifra è 5.
Alessandro Bocconi
.
26
659 non è divisibile per 5 perché la sua ultima cifra è 9 (e quindi non è né 0, né 5).
Prima del successivo criterio di divisibilità chiariamo che una cifra all’interno di un numero è di
posto dispari se è la prima o la terza o la quinta o la settima (e cosı̀ via) cifra del numero. Si dice
che è di posto pari se è la seconda, o la quarta, o la sesta (e cosı̀ via) cifra del numero.
Per verificare se un numero è divisibile per 11 si procede nel seguente modo: si sommano
fra loro le cifre di posto pari, e fra loro le cifre di posto dispari. Si calcola la differenza fra la
somma maggiore e quella minore. Se tale differenza è un numero con più di una cifra si ripete il
procedimento. Al termine se la differenza è 0, il numero è divisibile per 11.
Esempi
. 92818 è divisibile per 11: infatti sommando le cifre di posto dispari otteniamo: 9 + 8 + 8 = 25;
sommando le cifre di posto pari otteniamo: 2+1 = 3. Si effettua la differenza fra la somma maggiore
(25) e quella minore (3) e otteniamo: 25 − 3 = 22. 22 ha due cifre e si ripete il procedimento:
abbiamo una sola cifra di posto dispari che è 2 (e quindi la somma delle cifre di posto dispari è
ovviamente 2) e abbiamo una sola cifra di posto pari che è 2 (e quindi la somma delle cifre di posto
pari è ovviamente 2). Calcoliamo la differenza 2 − 2 che è 0 e quindi il numero iniziale è divisibile
per 11.
. 792630 non è divisibile per 11: infatti sommando le cifre di posto dispari otteniamo: 7 + 2 + 3 =
12; sommando le cifre di posto pari otteniamo: 9 + 6 + 0 = 15. Si effettua la differenza fra la somma
maggiore (15) e quella minore (12) e otteniamo: 15 − 12 = 3. Il numero quindi non è divisibile per
11, perché la differenza non è 0.
1.13
Il Massimo comun Divisore e il minimo comune multiplo.
Supponiamo di dover risolvere il seguente problema: abbiamo 36 cioccolatini al latte e 60 cioccolatini fondente. Con questi cioccolatini vogliamo riempire dei sacchetti con queste condizioni:
1. I sacchetti devono contenere cioccolatini di un solo tipo (o fondente o al latte)
2. Tutti i sacchetti contengono lo stesso numero di cioccolatini
3. Non deve avanzare nessun cioccolatino
4. Vogliamo mettere più cioccolatini possibile in ciascun sacchetto
La domanda è: quanti cioccolatini dobbiamo mettere in ciascun sacchetto?
Ovviamente il numero che cerchiamo dovrá essere un divisore sia dei cioccolatini al latte (quindi di
36) sia di quelli fondente (quindi di 60), perché se cosı̀ non fosse non potremmo mettere lo stesso
numero di cioccolatini in ciascun sacchetto senza farne avanzare nessuno. In pratica il numero che
cerchiamo deve essere un divisore comune a entrambi i numeri.
Abbiamo quindi ristretto il campo. Proviamo allora a elencare tutti i divisori di 36 e di 60:
Divisori di 36 : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36;
Divisori di 60 : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 12, 15, 20, 30, 60;
Alessandro Bocconi
27
Per soddisfare anche la quarta richiesta dobbiamo individuare il divisore comune più grande (perché
in ciascun sacchetto vogliamo mettere il maggior numero di cioccolatini) che in questo caso è 12.
Il problema è quindi risolto mettendo in ciascun sacchetto 12 cioccolatini.
Possiamo ora dare la seguente definizione:
Definizione di Massimo Comun Divisore MCD. Il massimo comun divisore fra due o più
numeri è il più grande fra i divisori comuni a tali numeri.
Il problema precedente è quindi risolto determinando il MCD fra 36 e 60. Il problema è che non è
molto agevole trovare tutti i divisori di un numero, confrontarli e poi individuare quello più grande.
Molto più efficace è il seguente:
Metodo per la determinazione del Massimo Comun Divisore. Per determinare il MCD fra
due o più numeri, si scompongono tali numeri in fattori primi. Il MCD si ottiene dal prodotto dei
fattori primi comuni a tutte le scomposizioni, presi con l’esponente minore.
Osservazione importante. Dal momento che tutti i numeri sono divisibili per 1, e quindi hanno
1 come divisore, il massimo comun divisore esiste sempre (al minimo è 1).
È quindi sbagliato dire che non esiste il massimo comun divisore fra due o più numeri.
Esempi.
.
Determinare il MCD fra 36 e 60 (si indica con MCD(36;60).
La scomposizione di 36 (effettuata col metodo descritto nel precedente paragrafo) è: 36 = 22 · 32 ,
mentre quella di 60: 60 = 22 · 3 · 5.
Seguendo il metodo indicato si prendono i fattori primi presenti in entrambe le scomposizioni (e
quindi 2 e 3, visto che 5 è presente solo nella seconda scomposizione), con l’esponente minore: il 2
è alla seconda in entrambe le scomposizioni, mentre il 3 è alla seconda nella prima scomposizione
e alla prima nella seconda scomposizione. Dovendo prendere l’esponente minore prendiamo 31 cioé
3.
Quindi MCD(36; 60) = 22 · 3 = 12.
.
Determinare MCD(1200; 1760).
Scomponendo in fattori primi otteniamo:
1200 = 24 · 3 · 52 ; 1760 = 25 · 5 · 11
quindi MCD(1200; 1760) = 24 · 5 = 80
.
Determinare MCD(50;63).
Scomponendo in fattori primi otteniamo:
50 = 2 · 52 ; 63 = 32 · 7
Non c’è nessun fattore comune nelle scomposizioni e quindi MCD(50; 63) = 1.
.
Determinare MCD(36; 54; 40).
Scomponendo in fattori primi otteniamo:
36 = 22 · 32 ; 54 = 2 · 33 ; 40 = 23 · 5; quindi MCD(36; 54; 40) = 2
Alessandro Bocconi
28
Supponiamo di dover risolvere adesso il seguente problema: due amici fiorentini lavorano fuori da
Firenze. Uno ritorna a casa ogni 20 giorni, e l’altro ogni 25 giorni. Dal momento che si sono
incontrati oggi, fra quanti giorni si riincontreranno nuovamente a Firenze la prossima volta?
Il primo amico ritorna dopo 20 giorni, poi dopo 40, dopo 60 eccetera. Il secondo amico ritorna
dopo 25 giorni, poi dopo 50, dopo 75 eccetera. In pratica il primo amico ritorna ogni multiplo di 20
giorni e il secondo ogni multiplo di 25 giorni. Per scoprire quando si riincontrano bisogna trovare
un multiplo comune di questi 2 numeri e, dal momento che a noi interessa la prossima volta che si
incontrano (e non tra 10 anni), ci interessa il più piccolo fra i multipli comuni. Scriviamo adesso
alcuni dei multipli dei due numeri:
Multipli di 20 : 20; 40; 60; 80; 100; 120; ...
Multipli di 25 : 25; 50; 75; 100; 125; 150; ...
I puntini in fondo significano che i multipli di un numero sono infiniti (a differenza dei divisori che
sono sempre un numero finito).
Il multiplo comune più piccolo è 100, e i due amici si riincontreranno fra 100 giorni.
Possiamo ora dare la seguente definizione:
Definizione di minimo comune multiplo (mcm). Il minimo comune multiplo fra due o più
numeri è il più piccolo fra i multipli comuni a tali numeri.
Il problema precedente è quindi risolto determinando il mcm fra 20 e 25. Il problema è che non
è molto agevole trovare un certo numero di multipli sufficientemente grande da trovarne uno in
comune e poi individuare quello più piccolo. Molto più efficace è il seguente:
Metodo per la determinazione del minimo comune multiplo. Per determinare il mcm fra
due o più numeri, si scompongono tali numeri in fattori primi. Il mcm si ottiene dal prodotto dei
fattori primi presenti in almeno una delle scomposizioni, presi con l’esponente maggiore.
Osservazione importante. Dal momento che il prodotto di due o più numeri è un multiplo
comune dei numeri che abbiamo moltiplicato, il minimo comune multiplo esiste sempre (al massimo
è proprio il prodotto fra tali numeri).
Esempi
.
Determinare il minimo comune multiplo fra 36 e 60 (si indica con mcm(36; 60).
La scomposizione di 36 è: 36 = 22 · 32 , mentre quella di 60: 60 = 22 · 3 · 5.
Seguendo il metodo indicato si prendono i fattori primi presenti in almeno una delle due scomposizioni (e quindi 2, 3 e 5), con l’esponente maggiore: il 2 è alla seconda in entrambe le scomposizioni,
mentre il 3 è alla seconda nella prima scomposizione e alla prima nella seconda scomposizione. Dovendo prendere l’esponente maggiore prendiamo 32 . 5 è presente solo nella seconda scomposizione
con esponente 1 e quindi prendiamo 51 cioé 5.
Quindi mcm(36; 60) = 22 · 32 · 5 = 180.
Alessandro Bocconi
.
29
Determinare mcm(56; 98).
Scomponendo in fattori primi otteniamo:
56 = 23 · 7; 147 = 3 · 72
quindi mcm(56, 98) = 23 ·3·72 (quando i numeri sono molto alti possiamo lasciare il mcm scomposto
in fattori primi).
.
Determinare mcm(50; 63).
Scomponendo in fattori primi otteniamo:
50 = 2 · 52 ; 63 = 32 · 7
quindi mcm(50, 63) = 2 · 32 · 52 · 7
Osservazione. Non bisogna stupirsi del fatto che per il Massimo Comun Divisore prendiamo gli
esponenti minori, mentre per il minimo comune multiplo gli esponenti maggiori. Possiamo darci una
spiegazione osservando che un multiplo comune di 2 numeri (diversi fra loro) è sempre maggiore di
un divisore comune degli stessi 2 numeri. Quindi per determinare il mcm consideriamo gli esponenti
maggiori che individueranno quindi un numero maggiore, mentre per il MCD consideriamo gli
esponenti minori che quindi individueranno un numero minore.
1.14
Il sistema di numerazione posizionale in base dieci
Siamo cosı̀ abituati ad usare il nostro sistema di numerazione che spesso ci è difficile immaginare
che ne esistono altri. In questo paragrafo analizzeremo alcune caratteristiche del nostro sistema
confrontandole con quelle di altri sistemi di numerazione diversi.
Un sistema numerico posizionale. Il sistema di numerazione che adottiamo è un sistema di
numerazione posizionale in base dieci. L’aggettivo posizionale indica che le cifre all’interno di un
numero hanno un significato diverso a seconda della loro posizione, e quindi due numeri composti
dalle stesse cifre ma messe in posizioni diverse, sono diversi.
Prendiamo ad esempio 835 e 358: entrambi i numeri sono composti dalle stesse cifre (3; 5 e 8) ma
in posizione diversa, e i due numeri sono ovviamente diversi.
Tale considerazione può apparire ovvia ma non lo è se teniamo conto del fatto che esistono sistemi
di numerazione non posizionali: prendiamo ad esempio un pastore che rappresenta con una | una
pecora e con cinque pecore. Se ha 13 pecore potrebbe rappresentarle con:
|||
infatti 5 + 5 + 1 + 1 + 1 = 13.
Ma il risultato non cambierebbe se si cambiassero le posizioni dei simboli. Ad esempio:
|||
Rappresenta sempre 13 pecore.
Il sistema numerico del pastore non è quindi posizionale. (È facile osservare che il nostro sistema
di numerazione è più evoluto di quello del pastore: si immagini ad esempio le difficoltà a definire
ed eseguire le varie operazioni col sistema del pastore, rispetto ad eseguirle col nostro).
Alessandro Bocconi
30
Il “cubettino”
Il “lungo”
Il piatto
Figura 1.4: Gli oggetti per imparare a contare
Un sistema numerico in base dieci. Un tempo, per imparare a contare, si usavano degli oggetti
di legno: un “cubettino” che rappresentava un’unità, un “lungo”, che era una barretta costituita
da 10 cubettini, un “piatto” che era un quadrato costituito da 10 lunghi, e un “blocco” che era un
cubo costituito da 10 piatti (figura 1.4).
Per rappresentare il numero cinque, si prendono 5 cubettini; per rappresentare il numero sei si
prendono 6 cubettini e cosı̀ via fino al numero nove. Arrivati a rappresentare il numero dieci non si
prendono 10 cubettini, ma un lungo e nessun cubettino. Il vantaggio è evidente: per rappresentare
dieci in questo modo è sufficiente un solo oggetto e non dieci.
A questo punto se aggiungiamo al lungo un cubettino otteniamo il numero undici, se ne aggiungiamo
un altro otteniamo dodici e cosı̀ via fino al numero diciannove. Per ottenere il numero venti si
tolgono tutti i cubettini e si prende un altro lungo.
Si deduce allora che al decimo cubettino si tolgono tutti i cubettini (quindi ne rimangono zero)
e si aggiunge un lungo. Lo stesso vale per i lunghi rispetto ai piatti: arrivati al decimo lungo si
tolgono tutti i lunghi e si aggiunge un piatto. E cosı̀ per i piatti rispetto ai blocchi. Quindi nella
rappresentazione di un numero non ci sono mai dieci oggetti uguali, perché arrivati al decimo si
tolgono tutti e al loro posto si mette l’oggetto “superiore” (il lungo al posto di dieci cubettini, il
piatto al posto di dieci lunghi e cosı̀ via).
Ciò avviene sempre ogni dieci oggetti uguali e per questo il sistema di numerazione è
in base dieci.
Un sistema numerico posizionale in base dieci L’uso dei cubettini, lunghi, piatti e blocchi è
senz’altro istruttivo per imparare il procedimento sopra descritto. Non è tuttavia molto pratico, e
per numeri grandi diventa ingestibile: si pensi che dopo il blocco non c’è un oggetto che rappresenti
dieci blocchi e quindi ci sarebbe impossibile rappresentare, con le regole viste, ad esempio il numero
ventottomilasettecentocinquantatre.
Molto più agevole è ovviamente usare i numeri come facciamo abitualmente. Osserviamo che essendo un sistema in base dieci sono necessari, e sufficienti, dieci simboli per rappresentare qualunque
numero: i dieci simboli sono, come ben noto, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Si osservi che, ad esempio 10
Alessandro Bocconi
31
non è un nuovo simbolo ma la combinazione del simbolo 1 col simbolo 0. Il cubettino di legno
viene sostituito dalle unità, il lungo dalle decine (perchè un lungo contiene 10 cubettini), il piatto
dalle centinaia (perchè un piatto contiene 100 cubettini) e il blocco dalle migliaia (perchè un blocco
contiene 1000 cubettini).
Il numero 3864 è quindi costituito da 3 migliaia, 8 centinaia, 6 decine e 4 unità. Ma dato che 3
migliaia vuol dire 3 volte mille, cioé 3 moltiplicato mille, il numero 3864 è uguale a:
3864 = 3 · 1000 + 8 · 100 + 6 · 10 + 4 · 1
il numero 28753 è uguale a:
28753 = 2 · 10000 + 8 · 1000 + 7 · 100 + 5 · 10 + 3 · 1
La notazione polinomiale L’uso delle potenze ci permette di evidenziare ulteriormente che questo
sistema di numerazione è in base 10. Infatti osservando che:
10000 = 104 ; 1000 = 103 ; 100 = 102 , ed inoltre, riguardando il paragrafo sulle potenze, 10 = 101 ; 1 =
100 possiamo riscrivere il numero precedente in quella che viene definita notazione polinomiale,
cioé:
28753 = 2 · 104 + 8 · 103 + 7 · 102 + 5 · 101 + 3 · 100
Sistemi di numerazione con basi diverse da 10. La notazione appena vista ci permette di
dare qualche accenno a sistemi di numerazione con basi diverse: abbiamo visto che nel sistema di
numerazione in base dieci, sono utilizzati dieci simboli, e nella notazione polinomiale compaiono le
potenze del dieci. Se prendiamo ad esempio un sistema in base cinque (qualunque numero naturale
maggiore di uno può essere base di un sistema di numerazione), ci aspettiamo di trovare cinque
simboli, e nella notazione polinomiale le potenze del cinque. Tale aspettativa è giusta. Quindi
nel sistema di numerazione in base cinque abbiamo i simboli: 0, 1, 2, 3, 4. Consideriamo adesso un
qualunque numero in base cinque, quindi composto unicamente da 0, 1, 2, 3, 4, ad esempio 241 (che
non va letto duecentoquarantuno, perché tale lettura presume che la base sia dieci; va letto: due
quattro uno). Il numero 241 in base cinque (scritto più sinteticamente (241)5 ), non rappresenta,
ovviamente, lo stesso numero in base dieci. Chiariamolo scrivendo (241)5 in notazione polinomiale:
241 = 2 · 52 + 4 · 51 + 1 · 50
Se calcoliamo l’espressione a destra dell’uguale con i metodi che conosciamo (e quindi in base dieci),
otteniamo l’equivalente in base dieci di (241)5 . Dato che: 2 · 52 + 4 · 51 + 1 · 50 = 50 + 20 + 1 = 71
possiamo affermare che:
(241)5 = 71(in base 10).
Esempi
.
Determiniamo l’equivalente in base 10 di (3572)8 (cioé 3572 in base 8).
Scriviamo (3572)8 in notazione polinomiale:
3572 = 3 · 83 + 5 · 82 + 7 · 81 + 2 · 80 = 1536 + 320 + 56 + 2 = 1914
quindi l’equivalente in base 10 di (3572)8 è 1914.
.
Determiniamo l’equivalente in base 10 di (10010110)2 .
Scriviamo (10010110)2 in notazione polinomiale:
10010110 = 1 · 27 + 0 · 26 + 0 · 25 + 1 · 24 + 0 · 23 + 1 · 22 + 1 · 21 + 0 · 20 = 128 + 16 + 4 + 2 = 150
quindi l’equivalente in base 10 di (10010110)2 è 150.
Il sistema in base due è detto binario, ed è il sistema con cui lavorano tutti gli elaboratori elettronici.
Alessandro Bocconi
32
Osservazione. È giusto chiedersi come mai, fra tutte le basi possibili, è stato scelto, a livello
internazionale, di adottare la base 10. La risposta ci viene contando le dita delle nostre mani: con
esse impariamo a contare e ad eseguire le prime operazioni, e tale modo di procedere è corretto
proprio perché il sistema che adottiamo ha la base uguale al numero delle dita delle nostre mani.
Concludiamo questo paragrafo con una considerazione: ad un certo punto della trattazione abbiamo
abbandonato gli oggetti di legno per passare ai simboli numerici, quasi fosse una libera scelta fra due
possibilità sempre esistite. Come abbiamo detto nell’introduzione, l’esigenza di contare è sempre
esistita nella storia dell’uomo, e i metodi con cui farlo sono invenzioni e conquiste dell’evoluzione
umana. I primi metodi erano estremamente rudimentali (anche se spesso sufficienti per gli scopi a
cui dovevano servire): si veda ad esempio il sistema del pastore. La scoperta dei moderni sistemi
di numerazione cosı̀ come li conosciamo ai giorni nostri è dovuta agli arabi ed è arrivata a noi dopo
il mille dopo Cristo: centinaia di anni dopo le prime civiltá evolute della storia.
Tale scoperta viene considerata come una di quelle che maggiormente ha influito nella storia
dell’uomo.
1.15
Domande
Paragrafo 1.2
1. Esiste una relazione d’ordine nei numeri naturali? Quale?
2. Perché l’insieme dei naturali è illimitato?
3. Qual’è il primo elemento di N?
Paragrafo 1.3
4. Come si chiamano i numeri che compongono l’addizione?
5. Come si chiama il risultato di un’addizione?
6. Di quali proprietà gode l’addizione?
7. Enuncia la proprietà commutativa dell’addizione.
8. Enuncia la proprietà associativa dell’addizione.
9. Quanto è la somma di due addendi di cui uno è 0?
Paragrafo 1.4
10. Cosa vuol dire moltiplicare fra loro due numeri?
11. Come si chiamano i numeri che compongono la moltiplicazione?
12. Come si chiama il risultato di una moltiplicazione?
13. Quanto è il prodotto di due fattori di cui uno è 0?
14. Quanto è il prodotto di due fattori di cui uno è 1?
15. Di quali proprietà gode la moltiplicazione?
Alessandro Bocconi
33
16. Enuncia la proprietà commutativa della moltiplicazione.
17. Enuncia la proprietà associativa della moltiplicazione.
Paragrafo 1.5
18. Cosa vuol dire eseguire una sottrazione fra due numeri?
19. Quando non è possibile eseguire una sottrazione?
20. Mostra con un esempio che per la sottrazione non vale la proprietà commutativa.
21. Mostra con un esempio che per la sottrazione non vale la proprietà associativa.
Paragrafo 1.6
22. Cosa vuol dire eseguire una divisione fra due numeri?
23. Mostra con un esempio che non sempre è possibile eseguire una divisione.
24. Come si chiamano i numeri che compongono la divisione?
25. Come si chiama il risultato di una divisione?
26. Quanto è il quoziente di un numero diviso per se stesso?
27. Quanto è il quoziente di un numero diviso per 1?
28. Quanto è il quoziente di 0 diviso un numero (diverso da 0)?
29. Perchè non è possibile eseguire una divisione in cui il dividendo è diverso da 0 e il divisore
uguale a 0?
30. Perchè non è possibile eseguire una divisione in cui sia il dividendo che il divisore sono uguali
a 0?
31. Mostra con un esempio che per la divisione non vale la proprietà commutativa.
32. Mostra con un esempio che per la divisione non vale la proprietà associativa.
Paragrafo 1.7
33. Quali operazioni nei numeri naturali possono sempre essere eseguite?
34. Perché lo 0 è l’elemento neutro della addizione e della sottrazione?
35. Perché 1 è l’elemento neutro della moltiplicazione e della divisione?
Paragrafo 1.8
36. Quale è la priorità delle operazioni?
37. Quale è l’unico strumento per cambiare la priorità delle operazioni?
Paragrafo 1.9
38. Perché in matematica talvolta si usano le lettere al posto dei numeri?
Alessandro Bocconi
39. Enuncia la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione.
Paragrafo 1.10
40. Come è definita la potenza dei numeri naturali?
41. A cosa equivale un numero elevato alla prima?
42. A cosa equivale un numero maggiore di zero elevato alla zero?
43. A cosa equivale uno elevato a qualunque numero?
44. Enuncia le cinque proprietá delle potenze.
45. Perché si è scelto che un numero elevato a zero sia uno?
46. Quanto fa zero elevato a zero?
47. È possibile usare le proprietà delle potenze in un’addizione fra potenze?
48. Come si colloca la potenza nelle priorità delle operazioni?
Paragrafo 1.11
Qual’è la definizione di multiplo e di divisore?
49. Quando un numero si dice primo?
50. Scrivi i primi dieci numeri primi.
51. Cosa vuol dire scomporre un numero in fattori primi?
Paragrafo 1.12
52. Enuncia il criterio di divisibilità per 2.
53. Enuncia il criterio di divisibilità per 3.
54. Enuncia il criterio di divisibilità per 5.
55. Enuncia il criterio di divisibilità per 11.
Paragrafo 1.13
56. Definisci il Massimo Comun Divisore.
57. Come si determina il Massimo Comun Divisore.
58. Perchè esiste sempre il Massimo Comun Divisore fra due numeri?
59. Definisci il minimo comune multiplo.
60. Come si determina il minimo comune multiplo.
61. Perchè esiste sempre il minimo comune multiplo fra due numeri?
62. Presi 2 numeri qualunque, è possibile che il loro MCD sia maggiore del loro mcm?
Paragrafo 1.14
63. Perchè il nostro è un sistema numerico posizionale?
64. Perchè il nostro è un sistema numerico in base 10?
34
Alessandro Bocconi
1.16
35
Esercizi
Paragrafo 1.2
1. Determinare un numero naturale che precede 2.
2. Determinare un numero naturale successivo a 1231.
3. Determinare cinque numeri naturali che precedono 5.
4. Determinare una coppia di naturali di cui uno precede e l’altro è successivo al numero 3.
Paragrafo 1.3
Verificare la proprietà associativa per le somme:
5. 5 + 1 + 19;
12 + 4 + 1
Eseguire le seguenti addizioni:
6. 0 + 4;
0 + 0;
7 + 0;
1 + 1;
86 + 196 + 4
Paragrafo 1.4
Verificare la proprietà associativa per i prodotti:
7. 5 · 2 · 4;
1·6·2
Eseguire le seguenti moltiplicazioni:
8. 0 · 4;
9. 1 · 92;
0 · 0;
15 · 10;
7 · 0;
15 · 1
10 · 15;
41 · 25 · 4
Paragrafo 1.5
Svolgere le seguenti sottrazioni:
10. 18 − 18;
1 − 0;
4 − 6;
20 − 2 − 5;
8 − 5 − 3;
Paragrafo 1.6
Svolgere le seguenti divisioni:
11. 18 : 2;
12. 8 : 0;
0 : 5;
0 : 0;
6 : 6;
8 : 4 : 2;
20 : 1;
14 : 5
36 : 3 : 3
64 : 8 : 4 : 2
Paragrafo 1.8
Svolgi le seguenti espressioni:
13.
2 · 6 + 50 − 2 + 8 · 5 − 5 · 7 − 2 · 4 : 2 + 11
[72]
14.
1 + 8 · 6 + 35 : 7 − 5 − 15 + 10 : 5 − 2 + 4
[38]
15.
15 : 3 − 5 + 10 · 2 − 16 + 2 − 3 · 2
[0]
16.
100 − 70 − 25 + 5 · 4 : 10 · 3 + 11
[22]
17.
20 : 4 · 8 : 10 : 2 · 5 : 1
[10]
7−0−6
Alessandro Bocconi
36
18.
0 : 8 · 65 + 50 − 42 + 8
19.
7 + 28 : 4 · 3 − 7 · 4 + 2 · 3 · 5 − 4 · 6
20.
(4 + 2 · 5) : (0 + 7) + (1 + 3 · 2)
21.
(10 − 2 · 3) · (13 − 5 · 2) : (0 + 3 · 2)
22.
2 · 6 + 50 + 30 − (2 + 8 · 5) + 5 · (7 − 1 · 4) − (3 + 3 · 2 · 2) · 4
23.
36 : 6 : (1 + 5) + 39 − 5 · 4 · (8 − 7) · (7 · 6 − 5 · 8)
[0]
24.
(14 + 4 · 5 − 4) : 10 + 10 : (5 + 5) + 2 · (7 − 3 · 2)
[6]
25.
[(4 · 1 + 1) · 3 · (7 − 2 · 2 + 1) − 10] : [3 · 16 − (2 · 3 + 1) + (2 + 1) · 3]
26.
13 − {8 + [20 − (4 + 3) · (1 + 17 : 17)] : 3}
[16]
[6]
[9]
[2]
[5]
[1]
[3]
Paragrafo 1.9
Svolgi le seguenti espressioni sia utilizzando la proprietà distributiva sia non utilizzandola e
verifica che il risultato non cambia.
27.
(3 + 1 + 10) · 5
28.
3 · (6 + 2)
29.
(2 + 1 + 3 + 1 + 10) · 4
30.
7 · (4 + 0 + 8)
Paragrafo 1.10
Calcola le seguenti potenze:
31. 25 ;
31 ;
14 ;
54 ;
02 ;
70
Risolvi le seguenti brevi espressioni
32.
1 · 32 ;
25 · 0;
33.
164 : 24 : 44 ;
0 + 43 ;
26 + 2
25 · 23 : 22 : 26 ;
[(32 )3 ]4 ;
104 : 34
Esegui le seguenti operazioni usando quando possibile le proprietà delle potenze:
34. 34 · 39 ;
57 : 56 ;
(31 )3 ;
272 : 92 ;
72 · 70 ;
32 + 33
Risolvi le seguenti espressioni usando quando possibile le proprietà delle potenze:
35.
43 : 42 − 1 + 2 · 22 · 23 : 24 − (4 · 3 − 5)
36.
{(4 + 1) · [60 · 22 − 7 · 2 + 4 · (35 : 35 ) − 5 · (23 · 2 − 22 )] − 10 · 80} : 50
37.
[2 + (2 · 22 )2 : (23 )2 ]3 : [(3)4 : 33 ]2
38.
{1 + 14 − [3 + 36 : 33 : 32 · (34 : 33 )2 ] : [(32 )2 : 33 ]} · 2 − 23
39.
(24 · 74 · 34 ) : (23 · 73 · 33 ) − 25 − [(32 )2 ]2 : 36
40.
4 · 7 + (26 : 24 )0 − 252 : 52 + (3 · 7 − 4 · 5) · (53 : 52 )
41.
[(52 − 32 ) · 43 : 28 + 10] : [32 − 5 + 22 − 14 ]
42.
3 · 5 · [(122 : 32 ) : 22 ] − [(2)2 ]2 + 20 + 1 − (206 : 46 )0 − 213 : 73
[0]
[3]
[2]
[1]
[9]
[2]
[37]
[1]
Alessandro Bocconi
37
43.
[(62 )3 : 36 : 24 ] + {(32 · 34 )3 : [(32 )3 ]2 } : 35 − 7 + 1
44.
{[(2 + 5 − 4)6 ]2 : 39 + 3} : {[(102 · 10)3 : (5 · 2)7 : 10]} + 10 − 7 + 1
45.
{[(24 − 22 ) : 22 − 30 ]2 − 1}3 − {(122 : 62 − 1) · [(34 )3 : (36 )2 ]5 }2
46.
4 · {[(34 )2 : (32 )3 + 54 : 52 + 2] : (72 − 52 − 3 · 5)} − [11 · (114 · 113 ) : 116 : 11]
47.
(2 − 1)7 + [(3 · 2)5 : 25 · 34 ]4 : (23 − 5)35 − 22
[1]
[7]
[18]
[5]
[0]
Paragrafo 1.11
Determina tutti i divisori, e almeno 4 multipli dei seguenti numeri:
48. 10;
16;
23;
4;
9;
1
Scomporre in fattori primi i seguenti numeri:
49.
96;
50.
110;
51.
24;
54;
17;
66;
68;
39
14;
1000;
243
121
Paragrafo 1.13
Determina il Massimo Comun Divisore e il minimo comune multiplo dei seguenti gruppi di
numeri:
52.
8, 12;
53.
16, 16;
54.
1, 25;
4, 6, 12;
5, 10, 20;
10, 5, 2;
22, 44;
15, 9, 24
81, 18;
8, 15;
100, 90, 40
16, 32, 24
Paragrafo 1.14
Scrivere in notazione polinomiale in base 10 i seguenti numeri:
55. 293;
12444;
35;
9876;
4;
1000
Trasformare in base 10 i seguenti numeri (la cui base è indicata dal numero in basso fuori
dalla parentesi)
56. (142)5 ;
1.17
(13212)4 ;
(1001110)2 ;
(6543)7 ;
(1202)3
Problemi
Dei seguenti problemi, imposta l’espressione corrispondente e risolvila.
1. Uno scalatore parte da un’altezza di 200 metri. Sale di 15 metri, poi si ferma, sale di altri 3
metri poi si ferma e infine sale di altri 25 metri. A che altezza si trova lo scalatore?
2. Uno scalatore parte da un’altezza di 200 metri. Sale di 15 metri, poi scende di 40 metri, poi
sale di 1 metro poi sale ancora di 11 metri infine scende di 24 metri. A che altezza si trova lo
scalatore?
3. Mario esce di casa con 30 euro, fa un bancomat dove prende 100 euro, compra due magliette
dal valore ciascuna di 22 euro, presta 16 euro ad un amico e compra 3 ricariche telefoniche
ciascuna da 5 euro. Con quanti soldi torna a casa Mario?
Alessandro Bocconi
38
4. Ad un muratore viene commissionato un lavoro retribuito 22 euro all’ora, e dovrà lavorare
per 8 ore al giorno per 7 giorni. Quanto riceve il muratore per questo lavoro?
5. 8 amici vanno a cena fuori e spendono in tutto 126 euro. Uno di loro si è dimenticato a casa
il portafoglio e quindi gli altri devono coprire anche la sua quota. Quanto spende ciascuno di
loro?
6. In una casa ci sono 7 stanze. In ciascuna stanza ci sono 7 scatole e in ciascuna scatola ci sono
7 palline. Tutte le palline vanno distribuite in ugual misura fra 7 bambini. Quante palline
toccano a ciascun bambino?
7. Un imbianchino deve imbiancare 5 case. Tre di queste case hanno 5 stanze e le altre 2 ne
hanno 4. Per ogni stanza imbiancata viene pagato 450 euro. Quanto guadagna l’imbianchino?
8. Un coniglio femmina fa 3 cucciolate l’anno ciascuna composta da 8 coniglietti.
coniglietti partorisce in 5 anni?
Quanti
9. Tre amici vanno a cena fuori. Dal momento che il proprietario del ristorante li conosce decide
di regalargli la cena. Quanto spende ciascuno dei 3?
10. Sette amici vanno a cena fuori. Il conto è di 91 euro, ma al momento di pagare scappano
tutti. Come si risolve il problema?
11. Ci sono 72 tifosi juventini e 96 tifosi della Fiorentina. Bisogna dividerli tutti in gruppi uguali
fra loro (ovviamente nello stesso gruppo non possono stare tifosi di squadre diverse), in modo
che ciascun gruppo abbia il maggior numero possibile di persone . Quanti tifosi ci sono in
ciascun gruppo?
12. In un anno un signore ha comprato un gratta e vinci da 3 euro, 5 volte alla settimana per 50
settimane all’anno. In tutto l’anno ha vinto una volta 45 euro e una volta 70 euro. Alla fine
dell’anno quanti soldi in più avrebbe se non avesse comprato nessun gratta e vinci?
13. Una ragazza fuma 10 sigarette al giorno tranne nei 10 giorni in cui è in vacanza dove fuma
20 sigarette al giorno e nel giorno di Natale che non fuma. Considerando che in un anno ci
sono 365 giorni e che un pacchetto di sigarette costa 4 euro e contiene 20 sigarette, quanti
soldi “brucia” in sigarette all’anno?
14. Due grattacieli verranno costruiti uno accanto all’altro. Un grattacielo avrà ciascun piano
alto 10 metri, mentre l’altro avrà ciascun piano alto 12 metri. A che altezza minima dal suolo
il soffito del primo grattacielo sarà allineato col soffitto del secondo?
15. Da quante caselle è composta una scacchiera?
16. Un cinema ha 18 file composte da 20 poltrone ciascuna, e 10 file composte da 12 poltrone
ciascuna. Quanti posti a sedere ha questo cinema?
17. Un motorino percorre 16 km con un litro di benzina. Il suo serbatoio contiene 5 litri. Quanti
chilometri fa con un pieno?
Capitolo 2
L’insieme Z dei numeri interi
2.1
La nascita dei numeri interi.
Nel precedente capitolo abbiamo visto che non tutte le sottrazioni, nei numeri naturali, possono
essere effettuate. Questa limitazione risulta essere molto pesante e quindi, nel corso degli anni,
si è cercato di dare una soluzione ad una sottrazione che avesse il sottraendo (secondo termine)
maggiore del minuendo (primo termine).
Si consideri ad esempio la sottrazione 2 − 5, che, per quanto ne sappiamo adesso, non ha alcun
risultato. Cambiamo adesso prospettiva e supponiamo invece che 2 − 5 abbia un risultato anche se
per ora non sappiamo qual’è né tantomeno come scriverlo. Per darci una risposta consideriamo il
seguente:
Esempio
Un commerciante possiede 2 monete, e, per un accordo precedente, deve dare 5 monete ad un
banchiere. Il problema cosı̀ come è posto non ammette soluzione, e in effetti non ne ha se il banchiere
vuole essere pagato immediatamente. Ma se consideriamo la possibilità che il banchiere conceda
qualche giorno al commerciante si possono trovare delle soluzioni: innanzitutto il commerciante
segna sul libro contabile (dove annota il suo patrimonio) quanto deve al banchiere: 2 monete le ha
restituite, per saldare il debito ne mancano 3, e quindi segna 3. Il giorno dopo il commerciante
conclude un affare che gli frutta 6 monete: può cosı̀ saldare il debito e gli rimangono 3 monete.
Sul suo libro contabile segna nuovamente 3. Appare evidente che il 3 del giorno prima non ha lo
stesso significato del 3 che segna il giorno dopo: nel primo caso gli mancavano 3 monete mentre nel
secondo possiede 3 monete.
Per poter effettuare tale distinzione, nascono i numeri col segno: il commerciante il primo giorno
segnerà ad esempio −3 per distinguerlo dal secondo giorno quando segnerà +3.
Coi numeri col segno possiamo quindi effettuare qualunque sottrazione, anche quelle
in cui il minuendo è minore del sottraendo.
La precedente affermazione si basa sul fatto che abbiamo creato un nuovo insieme numerico in cui
ogni numero (eccetto lo 0 ma lo vedremo dopo) ha un segno: tale insieme è chiamato l’insieme
degli interi Z; ed è cosı̀ costituito:
Z = {.......; −3; −2; −1; 0; +1; +2; +3; .........}
Definizione di numeri negativi e numeri positivi. I numeri preceduti dal segno meno si
Alessandro Bocconi
40
dicono negativi, quelli preceduti dal segno più si dicono positivi.
Osservazione. Il numero 5 non appartiene ai numeri interi in quanto sprovvisto di segno. Ai
numeri interi appartengono i numeri −5 e +5. L’unico elemento di Z sprovvisto del segno è 0.
Definizione di valore assoluto. Il valore assoluto di un numero intero è il numero privato del
segno.
Esempi: il valore assoluto di +7 è 7, di −3 è 3, di 0 è 0.
Definizione di numeri concordi e discordi. Due numeri con lo stesso segno si dicono concordi
fra loro, due numeri con segno diverso si dicono discordi.
Esempi: −2 e −11 sono concordi, +7 e −10 sono discordi.
2.2
Caratteristiche dell’insieme Z.
Enunciamo le principali caratteristiche dell’insieme Z:
• Anche l’insieme Z ammette una relazione d’ordine, cioé un criterio che ci permette di stabilire,
presa una qualunque coppia di elementi, quale elemento viene prima. La relazione d’ordine
è: essere minore di.... Si deve tenere conto del fatto che:
1. Ogni numero negativo è minore di qualunque numero positivo.
2. Ogni numero negativo è minore di 0, che a sua volta è minore di ogni numero positivo.
3. presi due numeri negativi è minore quello che ha il valore assoluto maggiore (ad esempio
−7 è minore di −3).
4. presi due numeri positivi è minore quello che ha il valore assoluto minore.
• Z ha infiniti elementi.
• Z è illimitato.
.
Osservazione. In base alle caratteristiche di Z possiamo affermare che non esiste né il primo
elemento dell’insieme (mentre nei numeri naturali era lo 0), né l’ultimo.
Osservazione 2: la migliore rappresentazione grafica dell’insieme Z è, in base alle sue caratteristiche, una retta orientata come quella rappresentata in figura 2.1.
Alessandro Bocconi
41
-3
-2
-1
0
+1
+2
+3
Figura 2.1: La retta dei numeri interi
2.3
Le operazioni coi numeri interi.
In modo simile a come abbiamo fatto per i numeri naturali, definiamo nell’insieme dei numeri interi
le varie operazioni.
Osservazione importantissima. Nel definire le operazioni è fondamentale tenere conto di un
aspetto: abbiamo creato i numeri interi per poter effettuare qualunque tipo di sottrazione. Non
vogliamo però, a fronte di questo indiscutibile vantaggio, perdere le proprietà che erano valide
per i numeri naturali (la proprietà commutativa e la proprietà associativa per l’addizione e la
moltiplicazione, e la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione). Se cosı̀ non
fosse avremmo ottenuto un miglioramento da una parte (il poter effettuare qualunque sottrazione)
ma un peggioramento da un’altra (la perdita delle proprietà citate sopra).
Nei prossimi paragrafi vedremo che tale pericolo è scongiurato.
2.4
L’addizione nei numeri interi
Regola per l’addizione di due numeri concordi. La somma di due numeri concordi è un
numero intero che ha lo stesso segno degli addendi e come valore assoluto la somma dei valori
assoluti.
Esempi
.
(+4) + (+8)
sono entrambi positivi, quindi la somma ha segno positivo e valore assoluto 12 in quanto sommando
il valore assoluto del primo addendo (4) col valore assoluto del secondo addendo (8), si ottiene 12.
Quindi:
(+4) + (+8) = +12
.
(−3) + (−6)
sono entrambi negativi, quindi la somma ha segno negativo e valore assoluto 9 in quanto sommando
il valore assoluto del primo addendo (3) col valore assoluto del secondo addendo (6), si ottiene 9.
Alessandro Bocconi
42
Quindi:
(−3) + (−6) = −9
Regola per l’addizione di due numeri discordi. La somma di due numeri discordi è un
numero intero che ha il segno dell’addendo in valore assoluto maggiore, e come valore assoluto la
differenza fra il valore assoluto maggiore il valore assoluto minore.
Esempi
.
(+4) + (−7)
l’addendo che ha il valore assoluto maggiore è −7, quindi la somma ha segno negativo e valore
assoluto 3 in quanto la differenza fra il valore assoluto maggiore (7) e il valore assoluto minore (4),
è 3. Quindi:
(+4) + (−7) = −3
.
(−5) + (+11)
l’addendo che ha il valore assoluto maggiore è +11, quindi la somma ha segno positivo e valore
assoluto 6 in quanto la differenza fra il valore assoluto maggiore (11) e il valore assoluto minore
(5), è 6. Quindi:
(−5) + (+11) = +6
.
(−3) + (+3)
In questo caso i due addendi hanno uguale valore assoluto e segno diverso. Tali numeri si dicono
opposti e la loro somma è 0. Quindi:
(−3) + (+3) = 0
Dagli esempi ci accorgiamo che:
• La notazione è più pesante di quella in uso per i numeri naturali, e ciò è ovviamente dovuto
al fatto che i numeri interi sono numeri con il segno. Si confronti un’addizione nei numeri
naturali, ad esempio 3 + 5, con una nei numeri interi (+3) + (−8) e si osservi quanti simboli
in più si sono resi necessari per la seconda somma.
• È necessaria una distinzione: nella somma sopra considerata compare due volte il simbolo +,
ma con significati diversi: il + dentro la parentesi rappresenta il segno del numero intero +3,
mentre l’altro è il consueto operatore dell’addizione, che indica che il contenuto della prima
parentesi va sommato col contenuto della seconda.
• Le parentesi sono obbligatorie: in particolare non deve mai accadere che due simboli di
operazioni (+; −; ·; :) si trovino accanto: devono essere separati da una parentesi.
Alessandro Bocconi
43
Un buon metodo per comprendere (e ricordare) la somma di due numeri interi è quello di utilizzare
la rappresentazione di Z di figura 2.1. Si osservi che i numeri positivi sono a destra dello 0, mentre
i negativi sono a sinistra dello 0. Per determinare la somma di due numeri interi associamo uno
spostamento a destra se l’addendo è positivo, e uno spostamento a sinistra se l’addendo è negativo.
Il punto di partenza è lo 0, il punto di arrivo è il risultato. Chiariamo quanto detto con degli
esempi:
.
(+2) + (+5)
Il primo addendo è positivo, ci spostiamo quindi a destra di 2, arrivando a +2. Da qui, visto che
anche il secondo addendo è positivo, continuiamo a spostarci a destra di 5, arrivando a +7 che è il
risultato dell’addizione.
.
(−3) + (−7)
Il primo addendo è negativo, ci spostiamo quindi a sinistra di 3, arrivando a −3. Da qui, visto che
anche il secondo addendo è negativo, continuiamo a spostarci a sinistra di 7, arrivando a −10 che
è il risultato dell’addizione.
.
(+4) + (−6)
Il primo addendo è positivo, ci spostiamo quindi a destra di 4, arrivando a +4. Da qui, visto
che il secondo addendo è negativo, ci spostiamo a sinistra di 6, arrivando a −2 che è il risultato
dell’addizione.
Osservazione. Il metodo appena descritto diventa meno praticabile se i numeri sono elevati: ad
esempio (+89) + (−147). In questo caso diventa estremamente laborioso disegnare una retta che
arrivi almeno fino a +89 e poi contare gli spostamenti.
Per come è stata definita l’addizione nei numeri interi, risultano ancora valide le seguenti:
Proprietà dell’addizione nei numeri interi.
• Proprietà commutativa. Cambiando l’ordine degli addendi la somma non cambia. Verifichiamolo con degli esempi: .
(+3) + (+4) = +7;
(+4) + (+3) = +7
(−5) + (−4) = −9;
(−4) + (−5) = −9
(−5) + (+8) = +3;
(+8) + (−5) = +3
.
.
(si verifichi con le regole imparate in questo paragrafo che tali addizioni sono corrette)
Alessandro Bocconi
44
• Proprietà associativa. La somma di più numeri non cambia, cambiando l’ordine in cui le
addizioni vengono eseguite. Verifichiamolo con degli esempi:
Esempi
.
(+5) + (−3) + (−7)
Effettuiamo prima la prima addizione e poi la seconda:
(+5) + (−3) + (−7) = (+2) + (−7) = −5
Adesso effettuiamo prima la seconda addizione e poi la prima:
(+5) + (−3) + (−7) = (+5) + (−10) = −5
Quindi si ottiene lo stesso risultato (−5).
.
(−4) + (−6) + (−5)
Effettuiamo prima la prima addizione e poi la seconda:
(−4) + (−6) + (−5) = (−10) + (−5) = −15
Adesso effettuiamo prima la seconda addizione e poi la prima:
(−4) + (−6) + (−5) = (−4) + (−11) = −15
Quindi si ottiene lo stesso risultato (−15).
2.5
La sottrazione nei numeri interi
Nei numeri interi, la sottrazione “assomiglia” all’addizione. Tale somiglianza emerge dalla seguente:
Regola per la sottrazione. La differenza fra due numeri interi è equivalente alla somma del
minuendo (il primo termine) con il sottraendo (secondo termine) cambiato di segno.
Quindi per effettuare una sottrazione la trasformiamo in una addizione cambiando il segno del
sottraendo, e poi seguiamo le regole studiate nel precedente paragrafo.
Esempi
.
(−4) − (+3)
Trasformiamo la precedente sottrazione in un’addizione, cambiando il segno al sottraendo:
(−4) + (−3)
a questo punto siamo nel caso della somma di due numeri concordi: seguendo le regole già viste si
ottiene −7. Quindi:
(−4) − (+3) = (−4) + (−3) = −7
.
(−4) − (−8)
Trasformiamo la precedente sottrazione in un’addizione, cambiando il segno al sottraendo:
(−4) + (+8)
a questo punto siamo nel caso della somma di due numeri discordi: seguendo le regole già viste si
Alessandro Bocconi
45
ottiene +4. Quindi:
(−4) − (−8) = (−4) + (+8) = +4
2.6
La moltiplicazione nei numeri interi
Regola per la moltiplicazione di numeri interi. Il prodotto di due numeri interi è un numero
intero che ha segno positivo se i due fattori sono concordi, e segno negativo se i due fattori sono
discordi. Come valore assoluto ha il prodotto dei valori assoluti. Se uno dei due fattori è 0 il
prodotto è 0.
Riassiumiamo questa regola tramite la seguente tabella:
1o fattore
+
+
−
−
2o fattore
+
−
+
−
prodotto
+
−
−
+
Esempi
.
(+7) · (+4)
i due fattori sono concordi (sono entrambi positivi) quindi il prodotto ha segno positivo e come
valore assoluto il prodotto dei valori assoluti. Quindi, dato che 7 · 4 = 28, risulta:
(+7) · (+4) = +28
.
(−6) · (−3)
i due fattori sono concordi (sono entrambi negativi) quindi il prodotto ha segno positivo e come
valore assoluto il prodotto dei valori assoluti. Quindi, dato che 6 · 3 = 18, risulta:
(−6) · (−3) = +18
.
(+4) · (−5)
i due fattori sono discordi (il primo è positivo e il secondo è negativo) quindi il prodotto ha segno
negativo e come valore assoluto il prodotto dei valori assoluti. Quindi, dato che 4 · 5 = 20, risulta:
(+4) · (−5) = −20
.
(0) · (−5)
uno dei due fattori è 0, quindi è 0 anche il prodotto: (0) · (−5) = 0
Alessandro Bocconi
46
Osservazione. Ci si potrebbe chiedere (e sarebbe estremamente utile farlo) il motivo per cui
vale la regola che il prodotto di due numeri concordi è positivo, mentre di due numeri discordi è
negativo. In altre parole ci poniamo le seguenti domande:
1. Perché il prodotto di due numeri positivi è positivo?
2. Perché il prodotto di un numero positivo con uno negativo (o viceversa) è negativo?
3. Perché il prodotto di due numeri negativi è positivo?
Per rispondere a queste domande bisogna ricordarsi la proprietà distributiva della moltiplicazione
rispetto all’addizione, introdotta nel paragrafo 1.9 per i numeri naturali, e l’osservazione importantissima del paragrafo 2.3 per cui noi pretendiamo che le proprietà introdotte nei numeri naturali,
siano ancora valide nei numeri interi.
Rimandiamo per adesso la risposta della domanda 1, e prendiamo per buono che il prodotto di due
numeri positivi è positivo.
Con questa premessa le domande 2 e 3 hanno la stessa risposta: perché continui a valere nei
numeri interi la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione.
La dimostrazione di quanto detto si trova nel prossimo (facoltativo) capoverso sulla regola dei
segni.
La risposta a perché il prodotto di due numeri positivi è positivo (la domanda 1) si trova nel
successivo paragrafo 2.10.
Regola dei segni del prodotto (facoltativa).
Il prodotto di due numeri discordi è negativo (risposta alla domanda 2).
Sappiamo che il prodotto fra 0 e qualunque numero intero è 0. Quindi, ad esempio:
0 · (+5) = 0
Ma sappiamo anche che la somma di due numeri opposti è 0, e quindi deve essere 0 il risultato
della seguente espressione:
[(+3) + (−3)] · (+5)
(infatti [(+3) + (−3)] = 0, quindi [(+3) + (−3)] · (+5) = 0).
Affinché valga la proprietà distributiva, deve risultare che:
[(+3) + (−3)] · (+5) = (+3) · (+5) + (−3) · (+5)
quindi anche (+3) · (+5) + (−3) · (+5) deve essere uguale a 0.
Ma (+3) · (+5) = +15 quindi il prodotto (−3) · (+5) deve essere tale che, sommato a +15 ha come
risultato 0. Ma l’unico numero che sommato a +15 ha risultato 0 è −15. Quindi (−3) · (+5) = −15.
Tale dimostrazione può essere ripetuta per qualunque numero intero e quindi possiamo affermare
che il prodotto di due numeri discordi è negativo.
Alessandro Bocconi
47
Il prodotto di due numeri negativi è positivo (risposta alla domanda 3).
Consideriamo ora l’espressione
[(+3) + (−3)] · (−5)
che sappiamo deve avere come risultato 0. Affinché valga la proprietà distributiva, deve risultare
che:
[(+3) + (−3)] · (−5) = (+3) · (−5) + (−3) · (−5)
quindi anche (+3) · (−5) + (−3) · (−5) deve essere uguale a 0.
Ma abbiamo visto prima che (+3) · (−5) = −15 quindi il prodotto (−3) · (−5) deve essere tale che,
sommato a −15 ha come risultato 0. Ma l’unico numero che sommato a −15 ha risultato 0 è +15.
Quindi (−3) · (−5) = +15. Tale dimostrazione può essere ripetuta per qualunque numero intero e
quindi possiamo affermare che il prodotto di due numeri negativi è positivo.
Si osservi che la dimostrazione di entrambe le affermazioni si basa sul fatto che abbiamo scelto
che il prodotto di due numeri positivi è positivo. Come già detto tale scelta sarà giustificata nel
paragrafo 2.10.
Concludiamo il paragrafo, evidenziando che, per come è stata definita la moltiplicazione nei numeri
interi, risultano ancora valide le seguenti:
Proprietà della moltiplicazione nei numeri interi.
• Proprietà commutativa. Cambiando l’ordine dei fattori il prodotto non cambia. Verifichiamolo con degli esempi:
.
(+3) · (+4) = +12;
(+4) · (+3) = +12
(−5) · (−4) = +20;
(−4) · (−5) = +20
(−5) · (+8) = −40;
(+8) · (−5) = −40
.
.
• Proprietà associativa. Il prodotto di più fattori non cambia, cambiando l’ordine in cui le
moltiplicazioni vengono eseguite. Verifichiamolo con degli esempi:
.
(+5) · (−3) · (−4)
Effettuiamo prima la prima moltiplicazione e poi la seconda:
(+5) · (−3) · (−4) = (−15) · (−4) = +60
Adesso effettuiamo prima la seconda moltiplicazione e poi la prima:
(+5) · (−3) · (−4) = (+5) · (+12) = +60
Quindi si ottiene lo stesso risultato (+60).
.
(−2) · (−4) · (−5)
Alessandro Bocconi
48
Effettuiamo prima la prima moltiplicazione e poi la seconda:
(−2) · (−4) · (−5) = (+8) · (−5) = −40
Adesso effettuiamo prima la seconda moltiplicazione e poi la prima:
(−2) · (−4) · (−5) = (−2) · (+20) = −40
Quindi si ottiene lo stesso risultato (−40).
2.7
La divisione nei numeri interi
Significato della divisione nei numeri interi. Una divisione fra due numeri interi ha lo stesso
significato che ha nei numeri naturali: infatti anche in questo caso eseguire una divisione vuol dire
determinare quel numero intero che moltiplicato al secondo (il divisore), ha come risultato il primo
(dividendo).
Vale quindi la seguente regola:
Regola della divisione nei numeri interi. Il quoziente della divisione fra due numeri interi è
un numero intero che ha segno positivo se i due numeri hanno segno concorde e negativo se i due
numeri hanno segno discorde, e come valore assoluto il quoziente fra i due valori assoluti.
Osservazione. Si osservi che la regola dei segni valida per la moltiplicazione è identica per la
divisione. Ciò è una conseguenza del significato della divisione fra numeri interi. Verifichiamolo
tramite esempi:
.
(+8) : (+2)
dobbiamo trovare quel numero che moltiplicato a +2 ha come risultato +8. Affinché il prodotto
con +2 sia positivo, il numero che cerchiamo deve essere positivo (altrimenti, se fosse negativo,
moltiplicandolo per +2 darebbe risultato negativo e non potrebbe quindi essere +8). Quindi, dato
che il quoziente fra i valori assoluti è 4 (8 : 2 = 4), il risultato è:
(+8) : (+2) = +4
.
(+8) : (−2)
dobbiamo trovare quel numero che moltiplicato a −2 ha come risultato +8. Affinché il prodotto
con −2 sia positivo, il numero che cerchiamo deve essere negativo (altrimenti, se fosse positivo,
moltiplicandolo per −2 darebbe risultato negativo e non potrebbe quindi essere +8). Quindi, dato
che il quoziente fra i valori assoluti è 4 (8 : 2 = 4), il risultato è:
(+8) : (−2) = −4
.
(−8) : (+2)
Alessandro Bocconi
49
dobbiamo trovare quel numero che moltiplicato a +2 ha come risultato −8. Affinché il prodotto
con +2 sia negativo, il numero che cerchiamo deve essere negativo (altrimenti, se fosse positivo,
moltiplicandolo per +2 darebbe risultato positivo e non potrebbe quindi essere −8). Quindi, dato
che il quoziente fra i valori assoluti è 4 (8 : 2 = 4), il risultato è:
(−8) : (+2) = −4
.
(−8) : (−2)
dobbiamo trovare quel numero che moltiplicato a −2 ha come risultato −8. Affinché il prodotto
con −2 sia negativo, il numero che cerchiamo deve essere positivo (altrimenti, se fosse negativo,
moltiplicandolo per −2 darebbe risultato positivo e non potrebbe quindi essere −8). Quindi, dato
che il quoziente fra i valori assoluti è 4 (8 : 2 = 4), il risultato è:
(−8) : (−2) = +4
Osservazione. Come nei numeri naturali, non tutte le divisioni nei numeri interi hanno un risultato. Si prenda ad esempio (−8) : (+3), non esiste nessun numero intero (positivo o negativo) che
moltiplicato per +3 abbia come risultato −8.
2.8
Le potenze nei numeri interi
Una potenza nei numeri interi ha come base un numero intero e come esponente un numero naturale.
La sua definizione è uguale a quella nei numeri naturali. Anche tutte le proprietà delle potenze
definite nel paragrafo 1.10, restano valide per le potenze dei numeri interi.
Analizziamo alcuni esempi per capire il comportamento delle potenze dei numeri interi.
Esempi
1. Calcolare (+2)4
È una potenza di base +2 ed esponente 4, quindi:
(+2)4 = (+2) · (+2) · (+2) · (+2)
|
{z
}
4 volte
Effettuiamo una alla volta tutte le moltiplicazioni presenti in questo prodotto, tenendo conto
della regola dei segni:
(+2)4 = (+2) · (+2) · (+2) · (+2) = (+4) · (+2) · (+2) = (+8) · (+2) = +16
Quindi:
(+2)4 = +16
2. Calcolare (+3)3
È una potenza di base +3 ed esponente 3, quindi:
(+3)3 = (+3) · (+3) · (+3)
|
{z
}
3 volte
Alessandro Bocconi
50
Effettuiamo una alla volta tutte le moltiplicazioni presenti in questo prodotto, tenendo conto
della regola dei segni:
(+3)3 = (+3) · (+3) · (+3) = (+9) · (+3) = +27
Quindi:
(+3)3 = 27
3. Calcolare (−2)4
È una potenza di base −2 ed esponente 4, quindi:
(−2)4 = (−2) · (−2) · (−2) · (−2)
{z
}
|
4 volte
Effettuiamo una alla volta tutte le moltiplicazioni presenti in questo prodotto, tenendo conto
della regola dei segni:
(−2)4 = (−2) · (−2) · (−2) · (−2) = (+4) · (−2) · (−2) = (−8) · (−2) = +16
Quindi:
(−2)4 = +16
4. Calcolare (−5)3
È una potenza di base −5 ed esponente 3, quindi:
(−5)3 = (−5) · (−5) · (−5)
|
{z
}
3 volte
Effettuiamo una alla volta tutte le moltiplicazioni presenti in questo prodotto, tenendo conto
della regola dei segni:
(−5)3 = (−5) · (−5) · (−5) = (+25) · (−5) = −125
Quindi:
(−5)3 = −125
5. Calcolare 04
È una potenza di base 0 ed esponente 4, quindi:
04 = |0 · 0{z
· 0 · 0} = 0
4 volte
6. Calcolare (+7)0 ; (−5)0
Adottiamo la stessa convenzione usata nei numeri naturali, per le potenze ad esponente 0.
Quindi:
(+7)0 = +1 (−5)0 = +1
7. 00 non ha significato.
Dai precedenti esempi deduciamo la seguente:
Regola delle potenze dei numeri interi.
• La potenza di un numero intero avente base positiva ha sempre segno positivo (esempi 1 e 2)
Alessandro Bocconi
51
• La potenza di un numero intero avente base negativa ha:
– segno positivo se l’esponente è pari (esempio 3)
– segno negativo se l’esponente è dispari (esempio 4)
• La potenza che ha per base 0 e per esponente un numero diverso da 0 è sempre 0 (esempio 5)
• La potenza che ha per base qualunque numero intero diverso da 0 e come esponente 0 è
sempre (+1) (esempio 6)
• 00 non ha significato (esempio 7)
Osservazione. Nelle regole appena viste abbiamo affermato che qualunque numero intero diverso
da zero, elevato a 0, è uguale a +1. Che il valore assoluto sia 1 viene dalle osservazioni fatte per
le potenze nei numeri naturali. Ci si potrebbe allora chiedere perché non −1. Una delle possibili
risposte consiste nel fatto che una potenza con esponente pari, qualunque base abbia purché diversa
da 0, ha segno positivo. Essendo 0 un numero pari, una potenza con esponente 0 deve avere segno
positivo.
Le proprietà delle potenze dei numeri interi. Le proprietà delle potenze dei numeri naturali
(vedi paragrafo 1.10) rimangano invariate nei numeri interi, con la differenza che, in quest’ultimo
caso, le basi delle potenze sono numeri interi. Effettuiamo alcuni esempi:
.
(+2)4 · (+2)3
Si tratta di una moltiplicazione fra due potenze aventi la stessa base. La prima proprietà delle
potenze ci dice che il prodotto fra due potenze aventi la stessa base è una potenza che ha per base
la stessa base e come esponente la somma degli esponenti; quindi, dato che 4 + 3 = 7 si ha:
(+2)4 · (+2)3 = (+2)7 = +128
(se la potenza rappresenta un numero elevato si può lasciare sotto forma di potenza e non è
necessario calcolarla. In questo caso quindi possiamo lasciare come risultato (+2)7 )
.
(−1)2 · (−1)3
Come nell’esempio precedente, si tratta di una moltiplicazione fra due potenze aventi la stessa base.
Il prodotto è una potenza che ha per base la stessa base e come esponente la somma degli esponenti;
quindi, dato che 2 + 3 = 5, si ha:
(−1)2 · (−1)3 = (−1)5 = −1
(Osservazione. Si noti che l’ultimo esempio non è in contraddizione con la regola dei segni:
infatti all’obiezione che (-1) moltiplicato (-1) ha come risultato (+1), si risponde col fatto che non
va effettuato il prodotto delle basi, ma applicata la prima proprietà delle potenze. Quindi, dato
che la base delle due potenze è −1, anche il risultato deve avere la stessa base cioè −1).
.
(−5)7 : (−5)5
Si tratta di una divisione fra due potenze aventi la stessa base. La seconda proprietà delle potenze
ci dice che il quoziente fra due potenze aventi la stessa base è una potenza che ha per base la stessa
base e come esponente la differenza degli esponenti; quindi, dato che 7 − 5 = 2 si ha:
(−5)7 : (−5)5 = (−5)2 = +25
Alessandro Bocconi
52
.
[(−2)3 ]2
Applicando la terza proprietà delle potenze che dice che una potenza di potenza equivale a una
potenza con la stessa base e come esponente il prodotto degli esponenti, si ottiene:
[(−2)3 ]2 = (−2)6 = +64
.
(+2)3 · (−3)3
Si tratta di una moltiplicazione fra due potenze aventi lo stesso esponente. La quarta proprietà
delle potenze ci dice che il prodotto fra due potenze aventi lo stesso esponente è una potenza che ha
per esponente lo stesso esponente e per base il prodotto delle basi; quindi, dato che (+2)·(−3) = −6
si ha:
(+2)3 · (−3)3 = (−6)3 = −196
(come già detto, se la potenza rappresenta un numero elevato si può lasciare sotto forma di potenza)
.
(−12)4 : (+4)4
Si tratta di una divisione fra due potenze aventi lo stesso esponente. La quinta proprietà delle
potenze ci dice che il quoziente fra due potenze aventi lo stesso esponente è una potenza che ha per
esponente lo stesso esponente e per base il quoziente delle basi; quindi, dato che (−12) : (+4) = −3
si ha:
(−12)4 : (+4)4 = (−3)4 = +81
Osservazione. Da quanto visto è facile osservare che due potenze che hanno lo stesso esponente
pari, e basi opposte sono uguali, come emerge dai seguenti esempi:
.
(+2)4 = (−2)4
infatti entrambe le potenze sono uguali a +16.
.
(−5)2 = (+5)2
infatti entrambe le potenze sono uguali a +25 e cosı̀ via.
Chiarito questo, consideriamo adesso il seguente prodotto:
(+2)7 · (−2)4
possiamo applicare le proprietà delle potenze? La risposta è negativa in quanto le due potenze
hanno diversi sia la base che l’esponente. Si osserva però che le basi sono opposte e che una delle
due ha esponente pari. Il precedente prodotto è quindi equivalente a:
(+2)7 · (−2)4 = (+2)7 · (+2)4
adesso possiamo applicare la prima proprietà delle potenze ottenendo:
(+2)7 · (−2)4 = (+2)7 · (+2)4 = (+2)11
Alessandro Bocconi
53
Possiamo quindi affermare la seguente regola:
Regola del prodotto fra due potenze di basi opposte. Il prodotto fra due potenze aventi basi
opposte, di cui almeno una con esponente pari, si effettua cambiando il segno alla base della potenza
con esponente pari, e applicando la prima proprietà delle potenze. Se entrambe le potenze hanno
esponente pari, il segno va cambiato ad una sola delle basi (in genere quella di segno negativo).
Esempi
.
(+5)6 · (−5)3 = (−5)6 · (−5)3 = (−5)9
.
(−3)2 · (+3)4 = (+3)2 · (+3)4 = (+3)6
Osservazione. La regola del prodotto fra due potenze aventi basi opposte si applica allo stesso
modo per il quoziente.
Esempio
(−4)7 : (+4)6 = (−4)7 : (−4)6 = (−4)1 = −4
2.9
La priorità delle operazioni, le parentesi e le espressioni
Come abbiamo fatto nei numeri naturali, per poter risolvere delle espressioni è necessario definire
una priorità delle operazioni. Come prevedibile, la priorità delle operazioni è la stessa di quella
definita nei numeri naturali. Quindi:
1. Elevamento a potenza.
2. Moltiplicazione e divisione.
3. Addizione e sottrazione
Fra due operazioni di uguale priorità si effettua prima quella più a sinistra.
Come per i numeri naturali, l’unico modo di cambiare l’ordine delle operazioni è tramite l’uso delle
parentesi.
Esempi
{[(+36) + (−3) · (−4) + (+5) − (+2) · (−5)2 ]8 : (+3)6 } − (+2) · (−1)
Concentriamoci sulla parte di espressione all’interno delle parentesi quadre: in essa c’è un elevamento a potenza che va svolto per primo:
= {[(+36) + (−3) · (−4) + (+5) − (+2) · (+25)]8 : (+3)6 } − (+2) · (−1) =
Sempre dentro le parentesi quadre ci sono due moltiplicazioni, possiamo svolgerle nello stesso
passaggio:
Alessandro Bocconi
54
{[(+36) + (+12) + (+5) − (+50)]8 : (+3)6 } − (+2) · (−1) =
Adesso nelle parentesi quadre ci sono solo operazioni che hanno la medesima priorità. Svolgiamole
una per ogni passaggio nell’ordine che va da sinistra a destra:
{[(+48) + (+5) − (+50)]8 : (+3)6 } − (+2) · (−1) =
{[(+53) − (+50)]8 : (+3)6 } − (+2) · (−1) =
{[(+3)]8 : (+3)6 } − (+2) · (−1) =
Le parentesi quadre contengono un solo numero intero, e quindi sono diventate inutili e possiamo
toglierle:
{(+3)8 : (+3)6 } − (+2) · (−1) =
Invece di elevare a potenza, applichiamo la seconda proprietà delle potenze:
{(+3)2 } − (+2) · (−1) =
{(+9)} − (+2) · (−1) =
Le parentesi graffe contengono un solo numero intero, e quindi sono diventate inutili e possiamo
toglierle:
(+9) − (+2) · (−1) =
Adesso si effettua il prodotto e infine la sottrazione:
(+9) − (−2) = +11
.
{[(−5)2 · (−5)3 : (−5)4 ]2 }3 : [(−5)2 ]3 =
{[(−5)5 : (−5)4 ]2 }3 : [(−5)2 ]3 =
{[(−5)1 ]2 }3 : [(−5)2 ]3 =
{(−5)2 }3 : (−5)6 =
(−5)6 : (−5)6 = (−5)0 = +1
Alessandro Bocconi
2.10
55
Identificazione fra i numeri interi non negativi e i numeri
naturali
(Nel titolo del paragrafo abbiamo usato il termine non negativo invece che positivo per poter
comprendere anche lo 0).
Come possiamo osservare le espressioni con i numeri interi hanno una notazione piuttosto pesante,
con un massiccio uso di parentesi. Per poter alleggerire questa notazione è stata stabilita la seguente
corrispondenza fra i numeri naturali e i numeri interi non negativi:
Corrispondenza fra i numeri naturali e i numeri interi non negativi.
• Ad ogni numero intero positivo corrisponde il numero naturale uguale al suo valore assoluto
(Esempio: al numero intero +3, corrisponde il numero naturale 3).
• Ad ogni numero naturale corrisponde il numero intero positivo che ha come valore assoluto
quel numero naturale (Esempio: al numero naturale 7, corrisponde il numero intero +7).
• Allo 0 dei numeri interi corrisponde lo 0 dei numeri naturali, e viceversa.
Si osservi che si tratta di una corrispondenza biunivoca, cioè ad ogni numero intero non negativo
corrisponde uno e un solo numero naturale e viceversa. Tramite questa corrispondenza abbiamo
identificato l’insieme dei numeri naturali con l’insieme dei numeri interi non negativi.
Prima di procedere, possiamo finalmente spiegare il motivo per cui il prodotto di due numeri interi
positivi è positivo.
Il prodotto di due numeri interi positivi è positivo. Supponiamo di dover effettuare il
prodotto (+3) · (+5). Tramite la corrispondenza appena vista possiamo affermare che tale prodotto
è equivalente nei numeri naturali a 3 · 5 che ha come risultato 15. Ma il numero naturale 15
corrisponde nei numeri interi a +15. Quindi deve risultare che:
(+3) · (+5) = +15
che spiega perché è stato scelto che il prodotto di due numeri positivi sia positivo.
Alla luce di quanto visto, vediamo come si trasformano le espressioni:
• Se all’intero di una parentesi abbiamo un unico numero intero e la parentesi è preceduta dal
segno + oppure −, si levano le parentesi e come unico segno si segue la regola dei segni del
prodotto fra il segno che precede la parentesi e quello all’interno della parentesi.
• Al posto di un numero intero positivo scriviamo il numero naturale formato dal suo valore
assoluto.
• Nel caso di un numero intero negativo all’inizio di un’espressione, si può scrivere tale numero
senza le parentesi.
Esempi
.
(+3) + (+7) = +10
diventa
3 + 7 = 10
. (+3) + (−7) = −4 diventa 3 − 7 = −4 (perché +(−7) diventa −7 in quanto, per la regola
dei segni del prodotto, “più per meno uguale meno”).
Alessandro Bocconi
56
. (−3) − (−6) = +3 diventa −3 + 6 = 3 (perché −(−6) diventa +6 in quanto, per la regola
dei segni del prodotto, “meno per meno uguale più”).
Vediamo adesso come si trasforma l’espressione trattata nel paragrafo precedente
{[(+36) + (−3) · (−4) + (+5) − (+2) · (−5)2 ]8 : (+3)6 } − (+2) · (−1)
con le convenzioni sopra descritte:
{[36 − 3 · (−4) + 5 − 2 · (−5)2 )]8 : 36 } − 2 · (−1)
Osservazione. Notiamo che la rappresentazione della seconda espressione è certamente meno
pesante della prima. Questo purtroppo non vuol dire che sia più facile risolvere la seconda piuttosto
che la prima: anzi è necessario prestare maggiore attenzione sia alla regola dei segni, sia alle priorità
delle operazioni.
Osservazione. Si osservi che nell’espressione abbiamo lasciato la parentesi nel (−5)2 . Questa
scelta è obbligatoria, infatti è diverso scrivere (−5)2 da scrivere −52 . Chiariamo perché:
(−5)2 é una potenza di base −5 ed esponente 2. Le parentesi indicano che anche il meno fa parte
della base e quindi valgono le regole per le potenze dei numeri interi con esponente pari. Quindi
risulta che:
(−5)2 = 25
Invece in −52 , non essendoci parentesi, per la priorità delle operazioni va effettuata prima la potenza
e poi considerato il segno negativo. Quindi:
−52 = −25
Osservazione. Si osservi che nella parte di espressione 3 · (−4) abbiamo lasciato le parentesi al
numero intero −4. Anche in questo caso non possiamo fare altrimenti perché è sempre sbagliato
scrivere due segni di operazione accanto se non separati da parentesi (non possiamo quindi scrivere
3 · −4).
Dopo queste osservazioni, risolviamo l’espressione:
{[36 − 3 · (−4) + 5 − 2 · (−5)2 )]8 : 36 } − 2 · (−1) =
{[36 − 3 · (−4) + 5 − 2 · 25]8 : 36 } − 2 · (−1) =
{[36 + 12 + 5 − 50]8 : 36 } − 2 · (−1) =
{[48 + 5 − 50]8 : 36 } − 2 · (−1) =
{[53 − 50]8 : 36 } − 2 · (−1) =
{[3]8 : 36 } − 2 · (−1) =
{38 : 36 } − 2 · (−1) =
Alessandro Bocconi
57
{32 } − 2 · (−1) =
32 − 2 · (−1) =
9 − 2 · (−1) =
9 + 2 = 11
2.11
Domande
Paragrafo 2.1
1. Cos’è il valore assoluto di un numero intero?
2. Quando 2 numeri interi sono fra loro concordi? Quando discordi?
Paragrafo 2.2
3. Qual’è la relazione d’ordine in Z?
4. Presi 2 numeri negativi come si stabilisce chi è il minore?
5. Z ha un elemento minore di tutti gli altri?
6. Quale numero intero è minore di tutti i numeri positivi e maggiore di tutti i numeri negativi?
Paragrafo 2.3
7. Perché sono stati creati i numeri interi?
8. Quali propirietà che sono valide in N vogliamo che restino valide in Z?
Paragrafo 2.4
9. In un’espressione con i numeri interi il simbolo + può avere 2 significati. Quali?
10. Come si effettua la somma di 2 numeri concordi?
11. Come si effettua la somma di 2 numeri discordi?
12. Quando 2 numeri si dicono opposti?
13. Di quali proprietà gode l’addizione fra numeri interi?
Paragrafo 2.5
14. A cosa è equivalente la sottrazione di 2 numeri interi?
Paragrafo 2.6
15. Come si determina il segno del prodotto di 2 numeri interi?
16. Come si determina il valore assoluto del prodotto di 2 numeri interi?
Alessandro Bocconi
58
17. Supponendo vero che il prodotto di 2 numeri positivi è positivo, si risponda alla domanda:
perchè il prodotto di un numero positivo con uno negativo è negativo?
18. Di quali proprietà gode la moltiplicazione fra numeri interi?
Paragrafo 2.7
19. Perchè la regola dei segni della divisione è uguale a quella della moltiplicazione?
Paragrafo 2.8
20. Quale è il segno di una potenza avente base positiva?
21. Perchè una potenza di base negativa ed esponente pari è positiva?
22. Perchè una potenza di base negativa ed esponente dispari è negativa?
23. Perchè una potenza di base diversa da 0 ed esponente 0 è +1 (e non −1 ad esempio)?
24. Le proprietà delle potenze valide in N valgono anche in Z?
25. In quali casi è possibile applicare le proprietà delle potenze ad un prodotto fra potenze di
basi opposte?
Paragrafo 2.9
26. La priorità delle operazioni in Z è la stessa di N?
Paragrafo 2.10
27. Che corrispondenza è stata stabilita fra N e Z?
28. Che tipo di corrispondenza è?
29. A che scopo è stata creata questa corrispondenza?
30. Perché il prodotto di 2 numeri positivi è positivo?
31. Perché è obbligatoria la parentesi nella potenza (−4)2 ?
2.12
Esercizi
Paragrafo 2.2
1. Scrivi nell’ordine giusto i seguenti numeri interi: +2; −6; −2; 0; +1
2. Scrivi nell’ordine giusto i seguenti numeri interi: −25; −26; −24; −110; 0
Paragrafo 2.4
Esegui le seguenti addizioni:
3. (+7) + (+7);
(−3) + (−4);
(−3) + (0);
4. (−2) + (+8);
(−4) + (+4);
(+7) + (−6);
5. (+6) + (−3) + (−4);
(−2) + (+1);
(+5) + (−10)
(0) + (−5)
(−13) + (−4) + (+13);
(−3) + (0) + (+4)
Alessandro Bocconi
59
−100; +14; 0; +9
6. Determina gli opposti dei seguenti numeri:
7. Mostra con un esempio che per l’addizione fra interi vale la proprietà commutativa.
8. Mostra con un esempio che per l’addizione fra interi vale la proprietà associativa.
Paragrafo 2.5
Esegui le seguenti sottrazioni:
9. (+7) − (+7);
(−3) − (−5);
(−3) − (0);
10. (−4) − (+8);
(−4) − (+4);
(+9) − (−6);
11. (+6) − (−3) − (−4);
(−2) − (+1);
(+2) − (−10)
(0) − (−5)
(−13) − (−4) − (+13);
(−3) − (0) − (+4)
12. Mostra con un esempio che per la sottrazione fra interi non vale la proprietà commutativa.
13. Mostra con un esempio che per la sottrazione fra interi non vale la proprietà associativa.
Paragrafo 2.6
Esegui le seguenti moltiplicazioni:
14. (+3) · (+1);
(−11) · (−2);
15. (+3) · (0) · (+1);
16. (−13) · (−1);
(−8) · (0);
(−11) · (+2) · (−2);
(0) · (0);
(−1) · (−1)
(+32) · (−8) · (0);
(−4) · (+1) · (+1);
(−1) · (−1) · (−1)
(−1) · (−11)
Risolvi le seguenti espressioni sia utilizzando la proprietà distributiva sia non utilizzandola e
verifica che il risultato è uguale:
17. [(+6) + (−3) + (−4)] · (+2);
(−4) · [(−2) + (+1)]
18. [(−6) + (−2) − (−4)] · (−2);
(−3) · [(−3) + (+3)]
19. [(−13) + (−4) + (+13)] · (−6);
(−3) · [(−3) + (0) + (+4)]
20. [(−12) − (−14) + (−2)] · (−5);
(0) · [(−3) + (+1) + (+4)]
21. Mostra con un esempio che per la moltiplicazione fra interi vale la proprietà commutativa.
22. Mostra con un esempio che per la moltiplicazione fra interi vale la proprietà associativa.
Paragrafo 2.7
Esegui le seguenti divisioni:
23. (+3) : (+1);
(−12) : (−2);
24. (+21) : (−7) : (−3);
25. (+13) : (+4);
(−8) : (0);
(−24) : (−2) : (−2);
(0) : (0);
(−1) : (−1)
(+32) : (−8) : (0);
(−4) : (+1) : (+1);
(0) : (−5) : (−10)
(0) : (−11)
26. Mostra con un esempio che per la divisione fra interi non vale la proprietà commutativa.
27. Mostra con un esempio che per la divisione fra interi non vale la proprietà associativa.
Paragrafo 2.8
28. Calcolare:
(−2)3 ;
(−4)2 ;
(+2)3 ;
Effettuare le seguenti operazioni:
(0)5 ;
(−9)0 ;
(+7)0
Alessandro Bocconi
29. 05 : (+3)5 ;
(0)3
60
(−1)7 ·(−1)4 ;
(−6)5 : (−2)5 ;
(+2)3 +(+2)2 ;
(+7)2 : (0)2 ;
(+4)2 ·
Effettuare le seguenti operazioni:
30. [(+4)5 ]1 ;
[(−2)3 ]2 ;
31. (+4)5 · (−2)5 ;
[(+14)0 ]9
(+8)2 − (+4)2 ;
(+11)1 · (+11)0
Effettuare le seguenti operazioni:
32. (+12)6 · (−12)3 ;
(−2)10 · (+2)7 ;
33. (−7)5 : (+7)2 ;
(+8)2 : (−8)2 ;
(−5)4 · (+5)2
(−2311)0 · (+2311)5
Paragrafo 2.9
Risolvi le seguenti espressioni
34. [(−6) + (+2) · (+5)]2 : (+2)2 − (−8) + (−13)
[−1]
35. [(−5) · (+3) + (+15)] · (+127) : (+7) − [(+4) − (−2) · (+1)] : (−1)
[+6]
36. (−4) + (+3) · (+5) : {(+7) − [(+4) − (−2) · (+1)]} − {(+15) + (−8) + (+7) · [(+8) : (−4)] −
(+4)}
[+22]
37. {(−4) + (−3) − [(+9) · (+1)]} + {[(−2) · (−3)] + [(+1) · (−2)]} − {0 − [(+6) − (−3)]}
38. {[(−3)4 · (−3)3 · (−3)2 ] : [(−3)0 · (−3)4 ]} : [(−3)2 · (−3)1 ]
[−3]
[+9]
39. {[(+17) − (+19)] · (−2)2 }3 : [(−2)3 ]2 − [(+3) · (−4)]2 : [(+15) − (−3) · (−1)]
40. {(+2)3 − [(+1) − (+11)]2 : (−10)2 }3 : [(−2)3 + (+1)]2 − [(+7) − 0 − (−2) + (−2)]
[−20]
[0]
Paragrafo 2.10
Adottando le convenzioni del paragrafo 2.10 trasforma le seguenti espressioni e poi risolvile
41. {[(+17) − (+19)] · (−2)2 }3
42. [(−6) + (+2) · (+5)]2 : (+2)2 − (−8) + (−13)
43. (+3) · (−4) : [(+15) − (−3) − (+16)]
Risolvi le seguenti espressioni
44. 32 · 2 − 33
[−9]
45. [(27 · 29 ) : (−2)14 ]3
[26 ]
46. −{(−3) · (−7 + 8) · (−5) + [−2 · (−3) + 4 − 8] · (−1)} + (−5) : 5
47. (−2)6 : [3 · (−1)2 + (−4) · (−1) − 32 ]5
[−2]
48. (−7 + 4 − 8) · (−2) + 6 + [−4 · (1 + 7 − 5)]
[16]
49. {3 − 5 − [5 − (−2)2 · 3 + (−3)2 · (−2)] · (8 − 32 )7 }3 : (−3)7
50. [−2 · 15 + (−2)2 : 2] : [(−7)2 : 7]
[−14]
[9]
[−4]
51. [(−4)3 · 93 : (−36)3 − (8 − 11 − 22 · 3)]6 : (−4)6 : 45
[4]
52. 34 : (−3)2 + (−2)3 : 22 · [(−3)2 + 3 · (−4)] : (−6) − 2 · (−5)
[18]
Capitolo 3
L’insieme Q dei numeri razionali
3.1
L’insieme delle frazioni di numeri Naturali
Nel primo capitolo abbiamo osservato che:
1. non si poteva sempre eseguire la sottrazione fra due numeri naturali (ad esempio 2 − 7)
2. non si poteva sempre eseguire la divisione fra due numeri naturali (ad esempio 8 : 3)
Nel secondo capitolo, tramite l’insieme dei numeri interi, abbiamo risolto il primo punto: infatti,
nei numeri interi, possiamo eseguire qualunque sottrazione.
È lecito aspettarsi che in questo capitolo si crei un nuovo insieme numerico, quello dei razionali
appunto, in cui si risolva anche il secondo punto e cioè che presi 2 numeri, esista sempre il loro
quoziente. Tale aspettativa è giusta (o quasi).
Supponiamo di prendere i numeri 8 e 3, e ci chiediamo quanto è il quoziente 8 : 3. La risposta a
questa domanda ce la siamo già data nel primo capitolo, ed è che tale quoziente non esiste perché
non esiste un numero naturale (e neppure intero) che moltiplicato per 3 dia come risultato 8. Dal
momento che non esiste lo creiamo noi: il quoziente 8 : 3 è 83 (si legge otto terzi).
Quindi 83 è quel numero che moltiplicato per 3 ha risultato 8 (cioè 38 · 3 = 8); cosı̀ come, ad esempio,
9
9
2
4 è quel numero che moltiplicato per 4 ha risultato 9 (cioè 4 · 4 = 9), oppure 7 è quel numero che
moltiplicato per 7 ha risultato 2 (cioè 72 · 7 = 2).
Abbiamo cosı̀ inventato un’infinità di nuovi numeri che racchiudiamo in un insieme chiamato insieme
delle frazioni di numeri Naturali:
a
F = { , con a, b ∈ N, b 6= 0}
b
Questo modo di scrivere, che comprenderemo meglio nel prossimo capitolo, significa che l’insieme
delle frazioni di numeri Naturali è costituito da oggetti del tipo ab dove a e b sono due numeri
naturali con b diverso da 0.
Nella frazione ab , che si legge a fratto b, a è il numeratore, b il denominatore e la linea orizzontale
che separa a da b è detta linea di frazione.
Osservazione. Il lettore attento si chiederà perché b deve essere diverso da 0. In effetti dal
momento che abbiamo creato ad esempio 83 che è quel numero che moltiplicato per 3 ha come
risultato 8, perché non possiamo creare, sempre ad esempio, il numero 80 cioè quel numero che
Alessandro Bocconi
62
moltiplicato per 0 ha come risultato 8. La domanda è perfettamente lecita e la risposta è che la
nascita del numero 80 (o qualunque altra frazione con denominatore 0) invaliderebbe la proprietà
distributiva; dal momento che non vogliamo rinunciare a tale proprietà è stato scelto che una
frazione non può avere denominatore 0. La dimostrazione di questa affermazione è spiegata nel
prossimo facoltativo paragrafo.
Perché una frazione non può avere denominatore 0 (facoltativo). Supponiamo che esista
la frazione 80 cioè quel numero che moltiplicato per 0 ha come risultato 8. Allora varrebbe che:
8
·0=8
0
e ovviamente, dato che 0 + 0 = 0 possiamo scrivere che:
8
· (0 + 0) = 8
0
Applichiamo adesso la proprietà distributiva all’espressione
8
0
· (0 + 0). Si ottiene:
8
8
8
· (0 + 0) = · 0 + · 0 = 8 + 8 = 16
0
0
0
Cioè un risultato diverso e quindi la proprietà distributiva non risulta valida. Per scongiurare
questo problema, come già detto nell’osservazione, è stato scelto che una frazione non può avere
denominatore 0.
Osservazione. A differenza che al denominatore, una frazione può avere 0 al numeratore. Dal
momento che 0 diviso qualunque numero ha come risultato 0; una frazione con 0 al numeratore è
0.
Esempi
0
5
= 0;
0
1
= 0;
0
123
= 0;
Osservazione. Possiamo stabilire una corrispondenza fra l’insieme dei numeri naturali e quello
delle frazioni. Infatti se consideriamo la divisione 8 : 1 il risultato è 8. Se ragioniamo però dal
punto di vista delle frazioni si ottiene che 8 : 1 = 18 . Quindi risulta che 81 = 8. Possiamo quindi
associare ad ogni numero naturale, la frazione che ha al numeratore il numero naturale stesso e al
denominatore 1.
Esempi
. Al numero naturale 5 corrisponde la frazione 51 . Viceversa alla frazione
naturale 5.
. Al numero naturale 12 corrisponde la frazione
numero naturale 12.
12
1 .
5
1
corrisponde il numero
Viceversa alla frazione
12
1
corrisponde il
Alessandro Bocconi
63
Figura 3.1: I
3.2
2
5
di una torta
Significato “descrittivo” delle frazioni
Nelle scuole medie per introdurre il significato delle frazioni spesso vengono fatti degli esempi
figurativi. Consideriamo ad esempio una torta e ci chiediamo cosa rappresenta la frazione 25 di
una torta: la risposta è che si taglia la torta in 5 fette uguali (perché il denominatore é 5) e se ne
prendono 2 (perché il numeratore é 2) (figura 3.1).
Se il numeratore è maggiore del denominatore l’esempio entra un po’ in crisi perché, se consideriamo
ad esempio la frazione 76 diventa difficile tagliare una torta in 6 fette e prenderne 7! Si aggira questo
inconveniente prendendo più torte, tagliandole tutte in 6 parti uguali e prendendo alla fine 7 fette.
La domanda che dobbiamo porci adesso è se queste rappresentazioni sono in accordo
col significato che abbiamo dato alla frazione nel precedente paragrafo. La risposta è
affermativa e per verificarlo torniamo alla frazione 52 : nell’esempio della torta la frazione rappresenta
2 fette di una torta tagliata in 5 parti uguali. Nel precedente paragrafo 25 rappresenta il risultato
della divisione 2 : 5 ossia quel numero che moltiplicato per 5 ha come risultato 2.
Vediamo allora se 2 : 5 rappresenta anche le 2 fette di una torta tagliata in 5 parti uguali. Per
verificarlo prendiamo 2 torte da dividere in 5 parti uguali. La grandezza di ciascuna parte equivale
ovviamente al quoziente 2:5. Si tagliano quindi entrambe le torte in 5 fette ciascuna ottenendo
in totale 10 fette. Per avere 5 parti uguali dividiamo il numero di fette (10) per il numero delle
parti(5). La risposta è quindi 2 fette. Quindi le 2 fette della torta tagliata in 5 parti rappresentano
anche il risultato della divisione 2 : 5, che è quello che volevamo verificare.
Poniamoci adesso il seguente problema: 20 persone sono arrivate all’appuntamento. Dopo 5 minuti
i 43 se ne vanno. Quante persone sono andate via?
La risposta sta nel calcolare i 34 di 20, e per farlo ci comportiamo come nell’esempio della torta:
dividiamo le 20 persone in 4 parti uguali (gruppi), e di questi 4 gruppi ne prendiamo 3. Quindi:
20 : 4 gruppi = 5 persone per gruppo. Prendiamo 3 gruppi, quindi: 5 · 3 = 15. Quindi i
persone sono 15 persone.
Esempi
.
Determinare i
4
9
di 27.
27 : 9 = 3
quindi
4
9
di 27 è uguale a 12.
3 · 4 = 12
3
4
di 20
Alessandro Bocconi
64
I sei ottavi di una torta
(indicata dai pallini)
I tre quarti di una torta
(indicata dai pallini)
Figura 3.2: Le 2 frazioni rappresentano la stessa quantità di torta
.
Determinare i
quindi
.
7
2
5
8
di 10.
10 : 2 = 5
5 · 7 = 35
32 : 8 = 4
4 · 5 = 20
di 10 è uguale a 35.
Determinare i
quindi
7
2
5
8
di 32.
di 32 è uguale a 20.
3.3
Frazioni equivalenti
Consideriamo adesso le seguenti due divisioni: 14 : 7 e 10 : 5. Entrambe hanno lo stesso risultato
cioè 2. Dal punto di vista delle frazioni le due divisioni si rappresentano rispettivamente come 14
7 e
10
5 . Dal momento che queste due frazioni rappresentano lo stesso numero ci chiediamo se esiste un
legame fra di loro. La risposta è che queste due frazioni sono equivalenti come appare chiaro dalla
seguente definizione.
Definizione di frazioni equivalenti. Due frazioni
a
b
e
c
d
si dicono equivalenti se a · d = c · b.
Significato di frazioni equivalenti. Due frazioni sono equivalenti se rappresentano la stessa
quantità.
Nella figura 3.2 si osserva che, anche se la prima torta è divisa in 4 parti e la seconda in 8, la
quantità di torta rappresentata dalle 2 frazioni è uguale.
Alessandro Bocconi
65
Esempi
.
Verificare se sono equivalenti le seguenti frazioni:
14
7
e
10
5 .
Si applica la formula della definizione con a = 14, b = 7, c = 10 e d = 5:
14 · 5 = 70;
10 · 7 = 70
quindi 14 · 5 = 10 · 7 e le frazioni sono equivalenti.
.
Verificare se sono equivalenti le seguenti frazioni:
8
6
e
12
9 .
Si applica la formula della definizione con a = 8, b = 6, c = 12 e d = 9:
8 · 9 = 72;
12 · 6 = 72
quindi 8 · 9 = 12 · 6 e le frazioni sono equivalenti.
.
Verificare se sono equivalenti le seguenti frazioni:
15 · 3 = 45;
15
9
e 53 .
5 · 9 = 45
quindi 15 · 3 = 5 · 9 e le frazioni sono equivalenti.
.
Verificare se sono equivalenti le seguenti frazioni:
14 · 2 = 28;
14
8
e 52 .
5 · 8 = 40
quindi 14 · 2 6= 5 · 8 e le frazioni non sono equivalenti.
Osservazione. Data una frazione se ne possono trovare infinite ad essa equivalenti: infatti basta
moltiplicare numeratore e denominatore per uno stesso numero e si ottiene una frazione equivalente
a quella assegnata.
Esempi
. Consideriamo la frazione 10
6 , e moltiplichiamo numeratore e denominatore per uno stesso numero, ad esempio 2: 10 · 2 = 20, 6 · 2 = 12. Otteniamo cosı̀ la frazione 20
12 . Verifichiamo che è
10
equivalente a 6 :
10 · 12 = 120; 20 · 6 = 120
quindi le frazioni sono equivalenti.
. Consideriamo sempre la frazione 10
6 , e stavolta moltiplichiamo numeratore e denominatore per
30
3: 10 · 3 = 30, 6 · 3 = 18. Otteniamo cosı̀ la frazione 18
. Verifichiamo che è equivalente a 10
6 :
10 · 18 = 180;
30 · 6 = 180
quindi le frazioni sono equivalenti.
. Consideriamo sempre la frazione 10
6 , e stavolta moltiplichiamo numeratore e denominatore per
60
. Verifichiamo che è equivalente a 10
6: 10 · 6 = 60, 6 · 6 = 36. Otteniamo cosı̀ la frazione 36
6 :
10 · 36 = 360;
60 · 6 = 360
quindi le frazioni sono equivalenti.
Alessandro Bocconi
66
Data una frazione, risulta molto utile determinare una frazione ad essa equivalente avente denominatore assegnato. Per ottenerla si usa il seguente:
Metodo per determinare una frazione equivalente con denominatore assegnato.
Spieghiamo tale metodo con un esempio: data la frazione
equivalente avente denominatore 20.
3
5
determinare una frazione ad essa
1. Si esegue il quoziente fra il denominatore assegnato (20) e il denominatore originale (5). Si
ottiene il numero 4.
2. Si moltiplica il numero trovato (4) per il numeratore (3). E si ottiene 12 che è il numeratore
della frazione equivalente. La frazione cercata risulta quindi: 12
20
Verifichiamo che
3
5
è equivalente a
12
20 :
3 · 20 = 60
5 · 12 = 60
e quindi le 2 frazioni sono equivalenti.
Osservazione. Una frazione equivalente di denominatore assegnato esiste soltanto se il denominatore assegnato è un multiplo del denominatore originale.
Esempi
.
Data la frazione
9
2
determinare una frazione ad essa equivalente avente denominatore 10.
1. Si esegue il quoziente fra il denominatore assegnato (10) e il denominatore originale (2). Si
ottiene il numero 5.
2. Si moltiplica il numero trovato (5) per il numeratore (9). E si ottiene 45 che è il numeratore
della frazione equivalente. La frazione cercata risulta quindi: 45
10
.
Data la frazione
4
7
determinare una frazione ad essa equivalente avente denominatore 21.
1. Si esegue il quoziente fra il denominatore assegnato (21) e il denominatore originale (7). Si
ottiene il numero 3.
2. Si moltiplica il numero trovato (3) per il numeratore (4). E si ottiene 12 che è il numeratore
della frazione equivalente. La frazione cercata risulta quindi: 12
21
.
Data la frazione
9
2
determinare una frazione ad essa equivalente avente denominatore 5.
Dal momento che 5 non è multiplo di 2, non esiste una frazione equivalente a
5.
9
2
avente denominatore
Alessandro Bocconi
3.4
67
Frazioni ridotte ai minimi termini
Definizione di frazione ridotta ai minimi termini. Una frazione si dice ridotta ai minimi
termini se il numeratore e il denominatore hanno come unico divisore comune 1.
Esempi
.
10
3
è una frazione ridotta ai minimi termini perché 10 e 3 hanno come unico divisore 1.
.
15
6
non è una frazione ridotta ai minimi termini perché 15 e 6 sono entrambi divisibili per 3.
.
20
5
non è una frazione ridotta ai minimi termini perché 20 e 5 sono entrambi divisibili per 5.
Riduzione di una frazione ai minimi termini. Ridurre una frazione ai minimi termini vuol
dire determinare una frazione ridotta ai minimi termini equivalente a quella assegnata.
Per ridurre una frazione ai minimi termini si determina il Massimo Comun Divisore fra il numeratore
e il denominatore, e si considera la frazione che si ottiene dividendo numeratore e denominatore
per il Massimo comun Divisore trovato. Tale procedimento si chiama semplificazione.
Esempi
.
Ridurre ai minimi termini (semplificare) la frazione
16
24 .
Il MCD fra 16 e 24 è 8. Dividiamo quindi per 8:
16 : 8 = 2;
24 : 8 = 3
2
La frazione 16
24 ridotta ai minimi termini è 3 . Per esercizio verifichiamo che queste due frazioni sono
davvero equivalenti come vuole la definizione.
16 · 3 = 48;
2 · 24 = 48
Quindi le due frazioni sono equivalenti.
.
Ridurre ai minimi termini (semplificare) la frazione
45
27 .
Il MCD fra 45 e 27 è 9. Dividiamo quindi per 9:
45 : 9 = 5;
La frazione
.
45
27
ridotta ai minimi termini è
27 : 9 = 3
5
3
Ridurre ai minimi termini (semplificare) la frazione
Il MCD fra 12 e 7 è 1. Quindi
12
7
12
7 .
è già ridotta ai minimi termini.
Un altro metodo per ridurre ai minimi termini una frazione. Nonostante il precedente metodo sia perfettamente valido, in genere per semplificare una frazione si usa il seguente procedimento
che spieghiamo tramite un esempio:
.
Semplificare la frazione
36
60 .
Si osserva che 36 e 60 sono entrambi divisibili per 2. Effettuiamo quindi la divisione del numeratore
e del denominatore per 2:
36 : 2 = 18; 60 : 2 = 30
Alessandro Bocconi
68
Otteniamo cosı̀ la frazione 18
30 . È ridotta ai minimi termini? No perchè numeratore e denominatore
sono ancora divisibili per 2:
18 : 2 = 9; 30 : 2 = 15
9
. È ridotta ai minimi termini? No perchè numeratore e denominatore
Otteniamo cosı̀ la frazione 15
sono entrambi divisibili per 3:
9 : 3 = 3; 15 : 3 = 5
Otteniamo cosı̀ la frazione
3
5
che è la frazione di partenza ridotta ai minimi termini.
Spesso, quando si effettua una semplificazione si adotta il seguente modo di scrivere:
2
6 6 62
= 3 =
9 69
3
Osservazione. Questo metodo è composto da più passaggi rispetto al precedente. In compenso
però consente di non dover calcolare il Massimo Comun Divisore.
3.5
Addizioni e sottrazioni fra frazioni
Poniamoci ora il problema di effettuare delle operazioni fra le frazioni, cominciando dall’addizione
e la sottrazione. Innanzitutto cerchiamo di capire cosa vuol dire sommare due frazioni tramite un
esempio.
Esempio
.
Effettuare l’addizione
2
5
+
1
5
Dal punto di vista della torta la frazione 25 significa tagliare la torta in 5 parti e prenderne 2, mentre
la frazione 15 significa tagliare la torta in 5 parti e prenderne 1. Se sommiamo le fette otteniamo 3
fette di una torta divisa in 5 parti, cioè la frazione 53 . Quindi:
2 1
3
+ =
5 5
5
Possiamo quindi dedurre che la somma di 2 frazioni aventi ugual denominatore è una
frazione che ha lo stesso denominatore e come numeratore la somma dei numeratori.
Esempio
.
Effettuare la sottrazione
5
7
−
3
7
Dal punto di vista della torta la frazione 57 significa tagliare la torta in 7 parti e prenderne 5, mentre
la frazione 37 significa tagliare la torta in 7 parti e prenderne 3. Se dalle 5 fette ne sottraiamo 3
otteniamo 2 fette di una torta divisa in 7 parti, cioè la frazione 27 . Quindi:
5 3
2
− =
7 7
7
Alessandro Bocconi
69
Possiamo quindi dedurre che la differenza di 2 frazioni aventi ugual denominatore
è una frazione che ha lo stesso denominatore e come numeratore la differenza dei
numeratori.
Il problema si pone quando sommiamo o sottraiamo frazioni con denominatore differente. Prendiamo ad esempio la somma
3
5
+
10 6
Tagliando la torta in 10 parti otteniamo delle fette che sono diverse da quelle ottenute tagliando la
torta in 6 parti, e quindi non possiamo sommare fra loro fette diverse.
Per effettuare la somma dobbiamo trasformare le due frazioni in frazioni equivalenti alle originali
ma con lo stesso denominatore, per poi poter effettuare la somma come nei due esempi precedenti.
3
Scriviamo quindi alcune frazioni equivalenti a 10
:
6
;
20
9
;
30
12
;
40
15
; ...
50
e facciamo lo stesso per 56 :
15
20
25
30
10
;
;
;
;
; ...
12
18
24
30
36
3
Ci accorgiamo che fra le frazioni equivalenti a 10
e quelle equivalenti a
9
25
uguale denominatore: 30 e 30 .
La somma precedente,
3
10
5
6
c’è una coppia che ha
+ 56 , è quindi equivalente alla somma:
9
25
+
30 30
che sappiamo calcolare in quanto le 2 frazioni hanno uguale denominatore. Quindi:
3
5
9
25
34
+ =
+
=
10 6
30 30
30
Il lettore si sarà accorto che 30 è il minimo comune multiplo fra i denominatori 10 e 6. Questa non
è una coincidenza e ci fornisce il seguente:
Metodo per l’addizione fra frazioni. Illustriamo il procedimento per passi
1. Se le frazioni non sono ridotte ai minimi termini vanno semplificate
2. Si determina il minimo comune multiplo fra i denominatori
3. Si trasformano tutte le frazioni della somma in frazioni ad esse equivalenti avente come denominatore il minimo comune multiplo appena trovato (vedi il metodo per determinare una
frazione equivalente con denominatore assegnato alla fine del paragrafo 3.3).
4. La somma originale è stata trasformata in una somma fra frazioni aventi lo stesso denominatore: vanno quindi sommati fra loro i numeratori lasciando al denominatore il minimo comune
multiplo.
Applichiamo adesso questo metodo nei seguenti esempi:
Esempi
.
2 3
+
7 5
Alessandro Bocconi
70
1. Le frazioni sono già ridotte ai minimi termini.
2. Il minimo comune multiplo fra i due denominatori è 35.
3. Si trasforma la prima frazione in una ad essa equivalente avente come denominatore il minimo
comune multiplo appena trovato: si ottiene 10
35 .
4. Si ripete il procedimento per la seconda frazione ottenendo:
21
35 .
5. La somma originale è stata trasformata in una somma fra frazioni aventi lo stesso denominatore:
2 3
10 21
10 + 21
31
+ =
+
=
=
7 5
35 35
35
35
.
6 5
+
8 6
1. La prima frazione non è ridotta ai minimi termini, e va quindi semplificata. Si ottiene
precedente somma diventa:
3 5
+
4 6
3
4
e la
2. Il minimo comune multiplo fra i due denominatori è 12.
3. Si trasforma la prima frazione in una ad essa equivalente avente come denominatore il minimo
9
comune multiplo appena trovato: si ottiene 12
.
4. Si ripete il procedimento per la seconda frazione ottenendo
10
12 .
5. La somma originale è stata trasformata in una somma fra frazioni aventi lo stesso denominatore:
6 5
3 5
9
10
9 + 10
19
+ = + =
+
=
=
8 6
4 6
12 12
12
12
.
5
+4
2
Sappiamo che 4 è equivalente a 41 , quindi l’addizione diventa:
5 4
+
2 1
1. Le frazioni sono già ridotte ai minimi termini.
2. Il minimo comune multiplo fra i due denominatori è 2.
3. Si divide il minimo comune multiplo (2) per il primo denominatore (2) ottenendo 1. Si
moltiplica 1 per il primo numeratore (5) ottenendo 5. La frazione equivalente cercata è in
questo caso uguale all’originale cioè 52 .
4. Si ripete il procedimento per la seconda frazione: 2 : 1 = 2; 2 · 4 = 8. La frazione equivalente
cercata è 82 .
5. La somma originale è stata trasformata in una somma fra frazioni aventi lo stesso denominatore:
5 4
5 8
5+8
13
+ = + =
=
2 1
2 2
2
2
Alessandro Bocconi
71
.
3
5
+
10 4
65 1
3
1 3
2+3
5
+ = + =
=
610 2 4
2 4
4
4
3 1 3
+ +
8 6 2
3 1 3
9 + 4 + 36
49
+ + =
=
8 6 2
24
24
Il metodo per la sottrazione è equivalente a quello dell’addizione, soltanto che all’ultimo punto
invece di effettuare la somma fra i numeri trovati, si effettua la differenza.
Esempio
3 2
−
5 7
21 − 10
11
3 2
− =
=
5 7
35
35
3.6
Frazione di numeri interi
Supponiamo adesso che il numeratore ed il denominatore siano numeri interi, cioè numeri dotati di
segno.
Esempi
−3
;
+7
−2
;
−5
+9
−2
Per convenzione si preferisce scrivere queste frazioni come frazioni di numeri naturali precedute da
un segno, usando la regola dei segni vista per il prodotto e il quoziente di numeri interi. Spieghiamoci
meglio con degli esempi (negli esempi viene usato spesso il termine “rapporto” che ha lo stesso
significato di quoziente).
Esempi
. La frazione −3
+7 è il rapporto fra il numero negativo −3 e il numero positivo +7. Dal momento
−3
che meno diviso più ha come risultato meno, la frazione +7
si scrive in modo equivalente come − 37 .
Alessandro Bocconi
72
. La frazione −2
−5 è il rapporto fra il numero negativo −2 e il numero negativo −5. Dal momento
2
che meno diviso meno ha come risultato più, la frazione −2
−5 si scrive in modo equivalente come + 5
2
(o più semplicemente 5 ).
. La frazione +9
−2 è il rapporto fra il numero positivo +9 e il numero negativo −2. Dal momento
9
che più diviso meno ha come risultato meno, la frazione +9
−2 si scrive in modo equivalente come − 2 .
9
. La frazione − −2
è il rapporto fra il numero positivo 9 (perché sappiamo che un numero sprovvisto di segno va considerato positivo) e il numero negativo −2. Dal momento che più diviso meno
9
ha come risultato meno, la frazione −2
ha segno negativo. In questo caso però la frazione è preceduta dal segno meno. Si applica nuovamente la regola dei segni (il meno che precede la frazione
9
moltiplicato meno perché la frazione è negativa ha come risultato più). Quindi − −2
si scrive in
9
9
modo equivalente come + 2 (o più semplicemente 2 ).
. La frazione − −5
−2 è il rapporto fra il numero negativo −5 e il numero negativo −2. Dal momento
che meno diviso meno ha come risultato più, la frazione −5
−2 ha segno positivo. In questo caso però
la frazione è preceduta dal segno meno. Si applica nuovamente la regola dei segni (il meno che
precede la frazione moltiplicato più perché la frazione è positiva ha come risultato meno). Quindi
5
− −5
−2 si scrive in modo equivalente come − 2 .
Con questa convenzione possiamo applicare in maniera identica alle frazioni di numeri interi, i
concetti di equivalenza, riduzione ai minimi termini, addizione e sottrazione visti per le frazioni di
numeri naturali. Per quanto riguarda le frazioni equivalenti dobbiamo tener conto della seguente:
Osservazione. Due frazioni per essere equivalenti devono avere lo stesso segno (che ovviamente
non vuol dire che due frazioni che hanno lo stesso segno sono per forza equivalenti!!).
Chiariamo quanto appena detto con degli esempi:
Esempi
.
6
Le frazioni − 15
e − 10
25 sono equivalenti, infatti:
6 · 25 = 150
15 · 10 = 150
e le due frazioni hanno lo stesso segno.
.
Le frazioni − 46 e
3
2
non sono equivalenti, infatti, nonostante che:
6 · 2 = 12
4 · 3 = 12
le due frazioni non hanno lo stesso segno e non possono quindi essere equivalenti.
. Le frazioni
risulta:
6
4
e
3
5
non sono ovviamente equivalenti anche se hanno lo stesso segno perché
6 · 5 = 30
4 · 3 = 12
3.7
La moltiplicazione fra frazioni
Chiediamoci adesso cosa significa moltiplicare fra loro due frazioni, partendo dal seguente esempio:
Esempio
8 2
·
3 5
Alessandro Bocconi
73
Ipotizziamo che il risultato di questa moltiplicazione sia una frazione il cui numeratore è il prodotto
dei numeratori e il denominatore è il prodotto dei denominatori. Cioè:
8·2
16
8 2
· =
=
3 5
3·5
15
Quindi, se la nostra ipotesi è giusta, il prodotto delle due frazioni è
moltiplicato per 15 ha come risultato 16.
16
15 ,
cioè quel numero che,
Verifichiamo che è davvero cosı̀: come ben sappiamo 83 è quel numero che moltiplicato per 3 ha
come risultato 8 cioè 83 · 3 = 8 e 25 è quel numero che moltiplicato per 5 ha come risultato 2 cioè
2
5 · 5 = 2. Per verificare che
8 2
16
· =
3 5
15
8 2
bisogna moltiplicare il prodotto 3 · 5 per 15; se il risultato è 16 la nostra ipotesi è verificata e
abbiamo quindi trovato cosa significa e come effettuare il prodotto fra frazioni.
8 2
·
3 5
Moltiplichiamo per 15:
8 2
· · 15
3 5
Ma 15 = 3 · 5 quindi:
8 2
8 2
· · 15 = · · 3 · 5
3 5
3 5
Per la proprietà commutativa della moltiplicazione:
8 2
8
2
· ·3·5= ·3· ·5
3 5
3
5
Ma
8
3
· 3 ha come risultato 8 mentre
2
5
· 5 ha come risultato 2. Quindi:
8
2
· 3 · · 5 = 8 · 2 = 16
3
5
che verifica la nostra ipotesi.
Possiamo quindi enunciare la seguente:
Regola per la moltiplicazione fra frazioni. Il prodotto fra 2 o più frazioni è una frazione il cui
numeratore è il prodotto dei numeratori, ed il denominatore è il prodotto dei denominatori. Se le
frazioni sono dotate del segno, il segno del prodotto segue la stessa regola del prodotto fra numeri
interi.
Esempi
.
Eseguire il prodotto: (+ 58 ) · (− 43 )
La prima frazione è positiva e la seconda è negativa: per la regola dei segni il prodotto ha segno
negativo, quindi:
8
4
8·4
32
(+ ) · (− ) = −
=−
5
3
5·3
15
.
Eseguire il prodotto: (− 38 ) · (− 53 )
La prima frazione è negativa e la seconda è negativa: per la regola dei segni il prodotto ha segno
positivo, quindi:
8
5
8·5
40
40
(− ) · (− ) = +
=+ =
3
3
3·3
9
9
Alessandro Bocconi
.
Eseguire il prodotto:
74
8
3
· (− 25 )
La prima frazione è positiva (non avendo il segno è sottinteso che sia positiva) e la seconda è
negativa: per la regola dei segni il prodotto ha segno negativo, quindi:
2
8·2
16
8
· (− ) = −
=−
3
5
3·5
15
.
Eseguire il prodotto:
20
16
·
3
5
La due frazioni sono entrambe positive (non avendo il segno) quindi anche il prodotto è positivo e
si può lasciare il segno sottinteso:
20 3
20 · 3
60
660 30
630 15
615 3
3
· =
=
=
=
=
=
40
20
4
16 5
16 · 5
80
680
640
620
4
Nell’ultimo esempio si osserva che il risultato trovato ( 60
80 ) non è ridotto ai minimi termini e quindi
l’abbiamo dovuto semplificare fino ad arrivare a 34 .
Questa osservazione ci suggerisce un metodo più veloce per effettuare le moltiplicazioni fra frazioni:
Metodo per la moltiplicazione di frazioni.
1. Si riducono ai minimi termini le frazioni che costituiscono il prodotto (se ovviamente non
sono già ridotte ai minimi termini)
2. Si effettuano, se possibile, le semplificazioni fra numeratori e denominatori di frazioni diverse
(le cosiddette semplificazioni incrociate)
3. Il prodotto è dato dal prodotto dei numeratori semplificati fratto il prodotto dei denominatori
semplificati
Esempi
.
Eseguire il prodotto:
1.
20
16
20
16
·
3
10
non è ridotta ai minimi termini e quindi la semplifichiamo:
20
620 10
610 5
5
=
=
=
8
4
16
616
68
4
3
10
è già ridotta ai minimi termini e quindi si lascia come è. Il prodotto è diventato:
5 3
·
4 10
2. Si effettuano le semplificazioni incrociate: il primo numeratore (5) può essere semplificato col
secondo denominatore (10), ottenendo:
5 3
65 1
3
1 3
·
=
·
= ·
2
4 10
4 610
4 2
3. Il prodotto è dato dal prodotto dei numeratori semplificati fratto il prodotto dei denominatori
semplificati
1 3
1·3
3
· =
=
4 2
4·2
8
Alessandro Bocconi
75
(Osservazione. Se possibile è sempre conveniente effettuare le semplificazioni prima di effettuare
il prodotto).
.
15 14
)·
7
5
Le frazioni sono già ridotte ai minimi termini. Passiamo alle semplificazioni incrociate:
(−
(−
3 2
15 14
615 3 614 2
)·
= (− 1 ) · 1 = (− ) ·
7
5
67
65
1 1
Effettuiamo adesso il prodotto dei numeratori e dei denominatori, e teniamo conto del segno delle
frazioni:
3 2
3·2
6
(− ) · = −
= − = −6
1 1
1·1
1
.
8
7
(− ) · (− )
6
2
La prima frazione non è ridotta ai minimi termini e quindi la semplifichiamo:
4
8 68 4
=
=
6 66 3
3
quindi la moltiplicazione diventa:
4
7
(− ) · (− )
3
2
Passiamo alle semplificazioni incrociate:
4
7
64 2
7
2
7
(− ) · (− ) = (− ) · (− 1 ) = (− ) · (− )
3
2
3
62
3
1
Effettuiamo adesso il prodotto dei numeratori e dei denominatori, e teniamo conto del segno delle
frazioni:
2
7
2·7
14
14
(− ) · (− ) = +
=+ =
3
1
3·1
3
3
3.8
La divisione fra frazioni
Premettiamo la seguente definizione.
Definizione di reciproco. Il reciproco di un numero, è quel numero che moltiplicato con il primo
ha come risultato 1.
Metodo per la determinazione del reciproco di una frazione. Determinare il reciproco di
una frazione è molto semplice: è infatti sufficiente scambiare fra loro numeratore e denominatore
della frazione, lasciando inalterato il segno.
Esempi
. Il reciproco di 34 è 34 . Infatti, dalla definizione di reciproco, il prodotto dei due numeri deve
essere 1. Verifichiamolo:
4 3 64 1 63 1
1 1
1·1
1
· = 1· 1 = · =
= =1
3 4 63
64
1 1
1·1
1
Alessandro Bocconi
76
.
2
Il reciproco di − 11
2 è − 11 (verificarlo).
.
Il reciproco di 7 è
.
1
è − 10
Il reciproco di − 10
1 cioè −10 (verificarlo).
1
7
(infatti sappiamo che 7 =
7
1
e quindi il suo reciproco è 71 ) (verificarlo).
Consideriamo adesso la divisione 8 : 5 che come sappiamo ha risultato 85 . Se scriviamo la precedente
divisione sostituendo ai numeri 8 e 5 le rispettive frazioni equivalenti 18 e 51 si ottiene:
8 5
8
: =
1 1
5
ma avremmo trovato lo stesso risultato se avessimo effettuato la moltiplicazione:
8 1
8
· =
1 5
5
Questo ci suggerisce la seguente regola per la divisione fra frazioni:
Regola per la divisione fra frazioni. La divisione fra due frazioni è equivalente al prodotto fra
la prima frazione (il dividendo) e il reciproco della seconda frazione (il divisore). Se le frazioni sono
dotate del segno, il segno del quoziente segue la stessa regola del quoziente fra numeri interi.
Esempi
.
Effettuare la divisione
Il divisore è
2
5
4
3
:
2
5
e il suo reciproco è 52 . La precedente divisione è quindi equivalente alla moltiplicazione:
2 5
2·5
10
4 5 64 2 5
· =
· 1 = · =
=
3 2
3 62
3 1
3·1
3
Quindi
4 2
10
: =
3 5
3
2
Per verificare che tale risultato è giusto si moltiplica il quoziente ottenuto ( 10
3 ) per il divisore ( 5 ):
4
se otteniamo 3 , la divisione che abbiamo effettuato è esatta:
10 2
610 2 2
2 2
4
· =
· 1 = · =
3 5
3 65
3 1
3
.
Effettuare la divisione
9 12
:
10 5
Procedendo come in precedenza
9 12
9 5
69 3 65 1
3 1
3
:
=
·
=
·
= · =
2
4
10 5
10 12
610
612
2 4
8
3.9
La potenza di frazioni
Consideriamo adesso una potenza la cui base sia una frazione. Vale la seguente:
Regola per determinare le potenze con base frazionaria. Per determinare una potenza la
cui base è una frazione si eleva il numeratore e il denominatore all’esponente della potenza. Se la
Alessandro Bocconi
77
frazione è dotata di segno, il segno della potenza segue la stessa regola delle potenze dei numeri
interi.
Osservazione. È immediato intuire che tale regola deriva dalla regola della moltiplicazione. Si
veda il seguente esempio:
2 2 2 2
2·2·2·2
24
2
= 4
( )4 = · · · =
3
3
|3 3{z3 3} 3 · 3 · 3 · 3
4 volte
Esempi
.
.
Determinare ( 53 )2
9
32
3
( )2 = 2 =
5
5
25
Determinare (− 23 )4
Si tratta di una potenza di base negativa e esponente pari. Il risultato è quindi positivo.
2
24
16
16
(− )4 = + 4 = + =
3
3
81
81
.
Determinare (− 23 )3
Si tratta di una potenza di base negativa e esponente dispari. Il risultato è quindi negativo.
2
23
8
(− )3 = − 3 = −
3
3
27
.
Determinare (− 59 )0
Si tratta di una potenza di base negativa e esponente pari (0 è un numero pari). Il risultato è
quindi positivo.
5
50
1
(− )0 = + 0 = + = 1
9
9
1
Osservazione. Dall’ultimo esempio si deduce che le potenze con base frazionaria e esponente 0
sono sempre uguali a 1.
Per le potenze di frazioni valgono le proprietà delle potenze viste nei precedenti
capitoli.
Alessandro Bocconi
3.10
78
Espressioni con le frazioni
Un’espressione contenente le frazioni va risolta rispettando la stessa priorità delle operazioni già
vista per i numeri naturali e numeri interi, come possiamo osservare dai seguenti esempi:
Esempi
.
Svolgere la seguente espressione:
2−
1
3
1
6
+ [ + ( − )] − 1 =
4
4
5 10
Prima di tutto semplifichiamo eventuali frazioni non ridotte ai minimi termini, subito dopo svolgiamo le parentesi tonde:
2−
1
3
1
66 3
+[ +( −
)] − 1 =
4
4
5
610 5
2−
3
1−3
1
+[ +(
)] − 1 =
4
4
5
2−
1
3
−2
+ [ + ( )] − 1 =
4
4
5
2−
3 2
1
+[ − ]−1=
4
4 5
2−
1
15 − 8
+[
]−1=
4
20
2−
1
7
+[ ]−1=
4
20
2−
1
7
+
−1=
4 20
40 − 5 + 7 − 20
35 + 7 − 20
42 − 20
622 11
11
=
=
=
=
10
20
20
20
620
10
.
Svolgere la seguente espressione:
2
25
4
15
5
( − 22 )2 :
+ (3 − ) · ( − ) =
3
9
5
11 11
Conviene portare gli interi a frazioni con denominatore 1.
2
25
3 4
15
5
( − 4)2 :
+( − )·( − )=
3
9
1 5
11 11
Alessandro Bocconi
79
2 4
25
3 4
15
5
( − )2 :
+( − )·( − )=
3 1
9
1 5
11 11
(
2 − 12 2 25
15 − 4
10
) :
+(
)·( )=
3
9
5
11
(−
10 2 25 11 10
) :
+
·
=
3
9
5 11
100 25
611 1 610 2
:
+ 1 ·
=
9
9
65
611 1
2
100
6 4 69 1
4 2
6
·
+ = + = =6
69 1
625 1 1
1 1
1
.
Svolgere la seguente espressione:
5
3
1
3
[(− )3 ]2 · ( − 2)5 : [(− )5 ]2 − (− )3 =
4
4
4
2
3
5−8 5
3
1
[− ]6 · (
) : [(− )]10 − (− ) =
4
4
4
8
3
−3
3
1
[− ]6 · ( )5 : (− )10 + =
4
4
4
8
3
3
3
1
(− )6 · (− )5 : (− )10 + =
4
4
4
8
3
3
1
3
1
3 1
−6 + 1
−5
5
(− )11 : (− )10 + = (− )1 + = − + =
=
=−
4
4
8
4
8
4 8
8
8
8
3.11
Semplificazioni fra potenze
Supponiamo di trovarci di fronte ad un’espressione che porti al seguente risultato:
38
32
L’espressione è da considerarsi terminata oppure possiamo effettuare qualche semplificazione? Per
rispondere proviamo a riscrivere la precedente frazione in forma estesa:
38
3·3·3·3·3·3·3·3
=
2
3
3·3
Alessandro Bocconi
80
In questa frazione possiamo prendere un 3 del numeratore e un 3 del denominatore e semplificarli
fra loro:
38 6 3 1 · 6 3 1 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3
=
32
6 3 1· 6 3 1
Al numeratore sono rimasti 6 fattori uguali a 3 e al denominatore è rimasto 1. Quindi:
38
36
=
= 36
32
1
Possiamo quindi dare la seguente regola:
Regola per la semplificazione di frazioni di potenze. In una frazione avente al numeratore e
al denominatore potenze con la stessa base è possibile adottare la seguente semplificazione: al posto
della potenza con esponente minore si scrive 1, al posto della potenza con esponente maggiore si
riscrive la stessa base e come esponente la differenza fra i 2 esponenti. Se i 2 esponenti sono uguali
la frazione è 1.
Esempi
.
Semplificare la frazione:
84
87
La potenza con esponente minore è 84 : al suo posto scriviamo quindi 1. La potenza con esponente
maggiore è 87 : al suo posto scriviamo una potenza con la stessa base (8) e come esponente la
differenza degli esponenti (7 − 4 = 3). Quindi:
84
1
= 3
7
8
8
Come notazione, per evidenziare il ragionamento, si scrive:
84
86 4
1
=
3 =
7
6
7
8
83
8
.
.
Semplificare la frazione:
Semplificare la frazione:
56
513
26
2
56
56 6 1
1
=
7 =
13
613
5
57
5
5
26
26 6
25
= 1 =
= 25
2
62
1
.
.
Semplificare la frazione:
Semplificare la frazione:
45
45
45
46 5
=
=1
45
46 5
42 ·74
45 ·73
42 · 74
4·4·7·7·7·7
6 4 1· 6 4 1· 6 7 1· 6 7 1· 6 7 1 · 7
71
7
=
=
=
= 3
5
3
1
1
1
1
1
3
4 ·7
4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 7 · 7 · 7 6 4 · 6 4 · 4 · 4 · 4· 6 7 · 6 7 · 6 7
4
4
.
Semplificare la frazione:
45
73
Alessandro Bocconi
81
Le 2 frazioni hanno basi diverse e non si possono semplificare.
.
Semplificare la frazione:
45
23
Anche in questo caso le 2 frazioni hanno basi diverse: a differenza di prima però ci accorgiamo che
la base del numeratore (4) è uguale alla base del denominatore (2) elevata alla seconda. Riscriviamo
allora la frazione precedente mettendo al numeratore 22 al posto di 4:
(22 )5
210
27
45
=
=
=
= 27
23
23
23
1
3.12
Potenze con esponente negativo
Abbiamo introdotto le potenze nel capitolo dei numeri naturali, dando la definizione di potenza
con esponente positivo. Successivamente abbiamo esteso il concetto anche a potenze con esponente
0. Proviamo in questo paragrafo ad estendere il concetto anche a potenze con esponente negativo.
La seconda proprietà delle potenze viste nel primo capitolo afferma che il quoziente fra 2 potenze
aventi la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la differenza degli
esponenti. Per essere valida tale proprietà deve risultare che l’esponente del dividendo non deve
essere minore dell’esponente del divisore.
Proviamo a togliere questa limitazione e consideriamo il seguente esempio:
56 : 59
Applicando la seconda proprietà:
56 : 59 = 56−9 = 5−3
Che significato diamo a 5−3 ? Continuiamo a considerare il solito esempio e scriviamo la stessa
divisione sotto forma di frazione:
56 : 59 =
56
5·5·5·5·5·5
=
9
5
5·5·5·5·5·5·5·5·5
Ciascun 5 che compare al numeratore può essere semplificato con un 5 del denominatore:
56 : 59 =
65 ·65 ·65 ·65 ·65 ·65
1
1
1
=
= 3 = ( )3
6 5 · 6 5 · 6 5 · 6 5 · 6 5 · 6 5 ·5 · 5 · 5
5·5·5
5
5
Quindi
1
5−3 = ( )3
5
Sappiamo quindi come definire le potenze ad esponente negativo in modo che continuino a valere
le proprietà delle potenze:
Definizione di potenza con esponente negativo. Una potenza con esponente negativo è
equivalente a una potenza che ha per base il reciproco della base e esponente uguale in valore
assoluto all’esponente, ma col segno positivo.
Esempi
.
Determinare ( 23 )−2
Alessandro Bocconi
Il reciproco di
2
3
è
3
2
82
quindi, dalla definizione di potenza con esponente negativo, otteniamo che:
3
9
2
( )−2 = ( )2 =
3
2
4
.
Determinare 4−3
.
Determinare (− 25 )−2
.
.
1
1
4−3 = ( )3 =
4
64
Determinare (− 13 )−3
2
5
25
25
(− )−2 = (− )2 = + =
5
2
4
4
1
3
27
(− )−3 = (− )3 = − = −27
3
1
1
Risolvere la seguente espressione:
3
5
4
[( )−3 ]2 · ( − 2)−5 : (− )9
4
4
3
Il primo esponente negativo può essere subito trasformato:
4
5 − 8 −5
4
[( )3 ]2 · (
) : (− )9
3
4
3
4
3
4
( )6 · (− )−5 : (− )9
3
4
3
Adesso anche il secondo:
4
4
4
( )6 · (− )5 : (− )9
3
3
3
Per poter applicare le proprietà delle potenze le basi devono essere uguali. Cambiamo quindi il
segno alla prima potenza (lo possiamo fare perché ha esponente pari)
4
4
4
4
4
4
4
16
(− )6 · (− )5 : (− )9 = (− )11 : (− )9 = (− )2 = ( )2 =
3
3
3
3
3
3
3
9
3.13
La notatazione scientifica
Quando si hanno numeri estremamente grandi o estremamente piccoli, risulta molto efficace la
notazione scientifica. Tale notazione consiste nel rappresentare un numero come la moltiplicazione
di un numero compreso fra 1 e 10 e una potenza (positiva o negativa) del 10. Ricordiamo che:
10−1 = 0, 1;
10−2 = 0, 01;
10−3 = 0, 001;
10−4 = 0, 0001;
10−5 = 0, 00001;
...
quindi il numero 0, 000000001 (1 al nono posto dopo la virgola) si scrive in notazione scientifica:
1 · 10−9 .
Esempi
.
Scrivere in notazione scientifica il numero 60000000 (6 con 7 zeri dopo).
Risulta che:
Alessandro Bocconi
83
60000000 = 6 · 10000000 = 6 · 107 .
Quindi 60000000 scritto in notazione scientifica è 6 · 107 .
.
Scrivere in notazione scientifica il numero 374000000.
Abbiamo detto che il numero che moltiplica la potenza del 10 deve essere compreso fra 1 e 10,
quindi:
374000000 = 3, 74 · 1000000000 = 3, 74 · 108 (perché 8 sono le cifre che seguono il 3).
Quindi 37400000000 scritto in notazione scientifica è 3, 74 · 108 .
.
Scrivere in notazione scientifica il numero 0, 0000003 (3 è al settimo posto dopo la virgola).
Risulta che:
0, 0000003 = 3 · 0, 0000001 = 3 · 10−7
Quindi 0, 0000003 scritto in notazione scientifica è 3 · 10−7 .
. Scrivere in notazione scientifica il numero 0, 0000258 (il primo numero diverso da zero dopo la
virgola è al quinto posto dopo la virgola).
Risulta che:
0, 0000258 = 2, 58 · 0, 00001 = 2, 58 · 10−5
Quindi 0, 0000258 scritto in notazione scientifica è 2, 58 · 10−5 .
3.14
Le frazioni e i numeri razionali
Abbiamo intitolato il capitolo “L’insieme dei numeri razionali”, ma finora non abbiamo ancora
usato il termine razionale, usando invece l’insieme delle frazioni. È il momento di chiarire il legame
fra frazioni e numeri razionali. Per ora sappiamo che per ogni frazione, esistono infinite frazioni ad
essa equivalenti. Di queste infinite frazioni equivalenti fra loro, una sola è ridotta ai minimi
termini. Tramite quest’unica frazione ridotta ai minimi termini possiamo definire l’insieme dei
numeri razionali:
Definizione di insieme Q dei numeri razionali. L’insieme dei numeri razionali è l’insieme delle
frazioni fra numeri interi ridotte ai minimi termini. Ciascuna di queste frazioni ridotte ai minimi
termini è la rappresentante delle infinite frazioni ad essa equivalenti.
Quindi non dobbiamo pensare che una frazione non ridotta ai minimi termini non faccia parte
dell’insieme dei razionali: quella frazione è rappresentata nell’insieme dei razionali dalla frazione
ad essa equivalente ma ridotta ai minimi termini. Vale quindi la seguente corrispondenza:
Corrispondenza fra frazioni e numeri razionali. Ad ogni numero razionale (cioè ad ogni
frazione ridotta ai minimi termini) corrispondono le infinite frazioni equivalenti a quel numero
razionale. Viceversa ad ogni frazione è associato un numero razionale che si ottiene riducendo ai
minimi termini la frazione stessa (figura 3.3).
Esempi
. Consideriamo il numero razionale + 43 (o più semplicemente 34 ). Quali sono le frazioni ad esso
associate?
Alessandro Bocconi
84
3
4
3
4
.
.
30
40
9
12
.
.
.
6
8
.
5
2
Insieme dei razionali
.
.
25
10
3
4
.
15
6
10
4
Insieme delle frazioni
Figura 3.3: La corrispondenza fra numeri razionali e frazioni
La risposta è: tutte le infinite frazioni equivalenti a 34 , cioè:
6
8;
.
9
12 ;
15
20 ;
30
40 ;
etc. etc.
Consideriamo la frazione − 10
6 . A quale numero razionale corrisponde?
La risposta si ottiene semplificando la frazione:
5
610
5
− 10
6 = − 6 63 = − 3
quindi il numero razionale corrispondente è − 53 .
3.15
Le proporzioni
Definizione di vettore. Un vettore è un insieme ordinato di numeri.
Esempi
. L’andamento del prezzo del pane negli ultimi 2 anni è un vettore, infatti supponiamo che nel
2008 il prezzo fosse 4 euro al chilo, nel 2009, 6 euro e nel 2010, 7 euro. Il vettore “andamento del
prezzo del pane negli ultimi 2 anni” ordinato in senso cronologico è costituito dai 3 numeri: 4; 6; 7.
. Mario ha 2 bambini di 8 e 11 anni. Il vettore “età dei figli di Mario” ordinato per età crescente
è costituito da 2 numeri: 8; 11.
. Nel mese di Gennaio a Firenze è piovuto per 11 giorni, a Febbraio per 15 giorni, a Marzo per
14 giorni e a Aprile per 7 giorni. Il vettore “giorni di pioggia nei primi 4 mesi dell’anno” ordinato
in senso cronologico è costituito dai 4 numeri:11; 15; 14; 7.
Alessandro Bocconi
85
Definizione di vettori direttamente proporzionali. Due vettori costituiti dallo stesso numero
di valori sono direttamente proporzionali se il rapporto fra i loro valori ordinati è costante.
Esempi
. Si consideri il vettore A costituito dai numeri 15; 18; 48 e il vettore B costituito dai numeri 5;
6; 16. Questi 2 vettori sono direttamente proporzionali? Usiamo la seguente tabella:
A
15
18
48
B
5
6
16
Dalla definizione bisogna determinare il rapporto fra gli elementi ordinati di A e B e vedere se è
costante. Il rapporto fra gli elementi ordinati vuol dire semplicemente dividere il primo elemento
di A con il primo di B, il secondo elemento di A con il secondo di B e il terzo di A con il terzo
di B. Se tali divisioni danno lo stesso risultato i due vettori sono direttamente proporzionali. Dal
momento che:
15 : 5 = 3;
18 : 6 = 3;
48 : 16 = 3
A e B sono direttamente proporzionali.
.
Verificare se i vettori A = 12; 9 e B = 6; 3 sono direttamente proporzionali:
A
12
9
B
6
3
12 : 6 = 2;
9:3=3
quindi A e B non sono direttamente proporzionali.
(Osservazione. Come ben sappiamo non sempre il rapporto fra numeri interi è un numero intero
ma una frazione. In questo caso, per verificare se due vettori sono direttamente proporzionali, basta
verificare se le frazioni sono equivalenti).
.
Verificare se i vettori A = 8; 18 e B = 12; 27 sono direttamente proporzionali:
A
8
18
B
12
27
8 : 12 =
8
12 ;
18 : 27 =
Verifichiamo se
8
12
e
18
27
18
27
sono equivalenti:
8 · 27 = 216
12 · 18 = 216
quindi le due frazioni sono equivalenti e A e B sono direttamente proporzionali.
Possiamo adesso dare la seguente:
Definizione di proporzione. Si dice proporzione l’uguaglianza fra 2 frazioni equivalenti.
Esempio
Alessandro Bocconi
. Abbiamo appena verificato che
l’uguaglianza:
86
8
12
e
18
27
sono equivalenti. Quindi, in base alla definizione,
18
8
=
12
27
è una proporzione.
Se adesso riscriviamo la precedente uguaglianza sostituendo alla linea di frazione la sua operazione
equivalente cioè il diviso, otteniamo:
8 : 12 = 18 : 27
che è la forma in cui si scrive una proporzione. L’espressione precedente si legge: “8 sta a
12 come 18 sta a 27”.
Proprietà fondamentale delle proporzioni. 4 numeri: a; b; c; d, formano una proporzione se
e soltanto se vale la seguente uguaglianza:
a·d=b·c
in tal caso si scrive:
a:b=c:d
Prima di passare agli esempi, diamo la seguente terminologia. Nella proporzione a : b = c : d si
dice che:
• a e d sono gli estremi (infatti stanno alle “estremità”).
• b e c sono i medi (infatti stanno “nel mezzo” accanto all’uguale)
• a e b sono i primi termini (stanno prima dell’uguale)
• c e d sono i secondi termini (stanno dopo l’uguale)
In base a questa terminologia risulta che:
• a è il primo estremo
• b è il primo medio
• c è il secondo medio
• d è il secondo estremo
Esempi
Verificare se i numeri: 14; 21; 6; 9, formano una proporzione e, in caso affermativo individuare il
secondo medio e il primo estremo.
Usiamo la proprietà fondamentale delle proporzioni:
14 · 9 = 126;
21 · 6 = 126
quindi i 4 numeri formano una proporzione e si scrive:
14 : 21 = 6 : 9
Il secondo medio è 6 e il primo estremo è 14.
Alessandro Bocconi
87
Osservazione. L’ordine in cui vengono dati i 4 numeri è fondamentale. Questo significa che
mentre 14; 21; 6; 9 dati in questo ordine formano una proporzione, non è detto che cambiando
l’ordine questi numeri formino ancora una proporzione: ad esempio 6; 21; 14; 9, non formano una
proporzione (verificarlo per esercizio).
Nonostante quanto appena affermato alcuni “scambi” fra termini di una proporzione sono leciti.
In altre parole se 4 numeri formano una proporzione, si ottiene ancora una proporzione:
• Scambiando fra loro i medi.
• Scambiando fra loro gli estremi
• Scambiando fra loro sia i primi termini, sia i secondi termini.
Esempio Consideriamo la seguente proporzione:
3 : 5 = 6 : 10
Si ottiene ancora una proporzione scambiando fra loro i medi:
3 : 6 = 5 : 10
(verificarlo)
Si ottiene ancora una proporzione scambiando fra loro gli estremi:
10 : 5 = 6 : 3
(verificarlo)
Alessandro Bocconi
88
Si ottiene ancora una proporzione scambiando fra loro sia i primi termini sia i secondi termini:
5 : 3 = 10 : 6
(verificarlo)
Proporzioni con l’incognita. Le proporzioni sono principalmente usate nel seguente problema che ha moltissime applicazioni pratiche: dati 3 numeri, determinare il quarto proporzionale.
Affrontiamolo con vari esempi.
Esempi
Determinare x affinché valga la seguente proporzione:
8 : x = 12 : 9
Per soddisfare la proprietà fondamentale delle proporzioni, x deve essere un numero che, moltiplicato per 12, ha come risultato il prodotto fra 8 e 9 cioè 72. Ma quel numero che moltiplicato per
12 ha come risultato 72 si ottiene effettuando 72 : 12 = 6. Quindi 6 è il numero cercato.
Questo esempio ci suggerisce la seguente:
Regola per la determinazione del quarto proporzionale. Per determinare il valore incognito
in una proporzione si procede:
• Se il valore incognito è un medio, per determinarlo si effettua il prodotto fra gli estremi e si
divide per l’altro medio.
• Se il valore incognito è un estremo, per determinarlo si effettua il prodotto fra i medi e si
divide per l’altro estremo.
Esempi
.
Determinare il valore di x nelle seguenti proporzioni:
1. 20 : x = 15 : 3
2. 6 : 5 = 18 : x
3. x : 3 = 9 : 6
1. in questa proporzione x è il primo medio: per determinare il suo valore dobbiamo effettuare
il prodotto degli estremi fratto l’altro medio. In frazioni:
x=
620 4 · 3
4·3
4· 6 3 1
4·1
20 · 3
=
=
=4
=
=
3
1
15
615
3
63
1
quindi x = 4.
2. in questa proporzione x è il secondo estremo: per determinare il suo valore dobbiamo effettuare
il prodotto dei medi fratto l’altro estremo. In frazioni:
x=
quindi x = 15.
5 · 18
5· 618 3
5·3
=
=
= 15
1
6
66
1
Alessandro Bocconi
89
3. in questa proporzione x è il primo estremo: per determinare il suo valore dobbiamo effettuare
il prodotto dei medi fratto l’altro estremo. In frazioni:
x=
3 · 9 63 1 · 9
1·9
9
=
=
=
2
6
66
2
2
quindi x = 92 .
Problemi risolvibili con le proporzioni. Le proporzioni rivestono grande utilità nella risoluzione di vari quesiti. Si considerino i seguenti esempi:
. Una ricetta di una torta per 10 persone prevede l’utilizzo di 6 uova. Se volessimo preparare la
torta per 15 persone, quante uova dobbiamo utilizzare?
L’incognita del problema è il numero di uova per 15 persone. Chiamiamo x tale numero. È utile
costruire la seguente tabella:
uova
6
x
persone
10
15
Si osservi che 6 e 10 sono sulla stessa riga perchè 6 uova sono per 10 persone, e anche x e 15 sono
sulla stessa riga perchè x uova sono per 15 persone.
Dal momento che il vettore “uova” e il vettore “persone” devono essere direttamente proporzionali
deve valere che:
6 : 10 = x : 15
che è una proporzione che sappiamo risolvere:
x=
6 · 15
6· 615 3 6 6 3 · 3
3·3
=
=
=
=9
2
1
10
610
62
1
quindi il numero di uova nella ricetta per 15 persone è 9.
. In 2 litri d’acqua sono presenti 46 milligrammi di calcio. Quanti mg di calcio ci sono in 5 litri
di acqua?
L’incognita del problema sono i mg di calcio in 5 litri di acqua. Quindi:
acqua (l)
2
5
calcio (mg)
46
x
Dal momento che il rapporto acqua/calcio è costante, risulta:
2 : 46 = 5 : x
Da cui ricaviamo:
x=
46 · 5
646 23 · 5
23 · 5
=
=
= 115
1
2
62
1
quindi in 5 litri d’acqua ci sono 115 mg di calcio.
Alessandro Bocconi
3.16
90
Le percentuali
Si consideri il seguente esempio: un prodotto A viene scontato di 20 euro, e un prodotto B viene
scontato di 30 euro. Quale dei due prodotti è maggiormente scontato? Rispondere B perché 30
euro sono più di 20 non è una risposta utile né sotto molti aspetti corretta. Supponiamo infatti
che il prodotto A sia un golf del valore di 80 euro e B un motorino del valore commerciale di 3000
euro. Ottenere uno sconto di 20 euro su un articolo del valore di 80 euro è un ottimo affare, mentre
non è certo un granché ottenere uno sconto di 30 euro su un valore commerciale di 3000.
La domanda era quindi mal posta perché non ci diceva il prezzo degli articoli ma solo il loro sconto.
Tramite le percentuali troviamo uno strumento per valutare i 2 sconti: infatti le percentuali servono
proprio per avere dei dati confrontabili.
Definizione di percentuale. Data una frazione (cioè un rapporto fra 2 numeri) la percentuale è
la frazione ad essa equivalente avente 100 al denominatore (cioè un rapporto fra 2 numeri in cui il
secondo è 100).
La definizione ci dà lo strumento per determinare le percentuali. Si consideri, dall’esempio precedente, lo sconto di 20 euro sul golf di 80. Consideriamo allora la frazione 20
80 : la percentuale è
una frazione equivalente a questa col denominatore 100. Dobbiamo determinare il numeratore che
indichiamo con la x. Deve allora valere:
20
x
=
80
100
che con il linguaggio delle proporzioni diventa:
20 : 80 = x : 100
da cui
x=
20 · 100
620 1 · 100
1· 100
6 25
=
=
= 25
4
80
680
64 1
Quindi lo sconto in percentuale è di 25 su 100 che si indica con 25%.
Consideriamo adesso l’altro sconto, quello di 30 euro sul motorino che vale 3000 euro, e calcoliamo
lo sconto in percentuale. Deve valere che:
x
30
=
3000
100
che nel linguaggio delle proporzioni diventa:
30 : 3000 = x : 100
da cui:
x=
30 · 100
30· 100
6 1
630 1 · 1
=
=
=1
30
3000
3000
6
630 1
e quindi lo sconto è “solo” dell’ 1%
Esempi
. Il partito “Viva la Costituzione” ha ottenuto 810 voti in un paese di 4500 persone. Che
percentuale di voti ha avuto?
Dobbiamo trovare una frazione equivalente a
810
4500
avente denominatore 100. Quindi:
810
x
=
4500
100
Alessandro Bocconi
91
in proporzione:
810 : 4500 = x : 100
da cui:
x=
810 · 100
810· 100
6 1
810
6 162 · 1
162
6 54
654 18
=
=
=
=
= 18
45
4500
4500
6
645 9
69 3
63 1
quindi la percentuale di voti ottenuta dal partito è il 18%.
. Un giubbotto ha il prezzo di 84 euro ma durante i saldi viene scontato del 25%. Quanto costa
il giubbotto?
Conosciamo lo sconto in percentuale, e dobbiamo trovare a quanti euro corrisponde. Quindi
l’incognita x questa volta è lo sconto in euro. Quindi:
x
25
=
84
100
in proporzione:
x : 84 = 25 : 100
da cui:
x=
684 21 · 1
84· 625 1
=
= 21
100
6 4
64 1
Quindi lo sconto è di 21 euro. Per sapere quanto costa il giubbotto basta fare la differenza fra il
prezzo non scontato e lo sconto. Quindi:
Prezzo del giubbotto = 84 − 21 = 63 euro.
. Un televisore nel 2009 costa 280 e nel 2010 costa 294 euro. Che aumento percentuale ha avuto
il televisore rispetto al prezzo del 2009?
Bisogna innanzitutto vedere l’aumento che ha avuto in euro:
aumento in euro = prezzo del 2010−prezzo del 2009= 294 − 280 = 14
Quindi l’aumento in euro è pari a 14. L’incognita x è l’aumento in percentuale, deve allora valere:
14
x
=
280
100
in proporzione:
14 : 280 = x : 100
Da cui
x=
14· 100
6 10
614 2 · 10 6 2 1 · 10
1· 6 1 05
=
=
=
=5
280
6 28
628 4
64 2
62 1
Quindi l’aumento in percentuale è del 5%.
. Un tavolo del valore di 96 euro viene venduto scontato a 84 euro. Che sconto percentuale è
stato applicato al tavolo?
Bisogna innanzitutto vedere lo sconto in euro:
sconto in euro = 96 − 84 = 12
Quindi lo sconto in euro è pari a 12. L’incognita x è lo sconto in percentuale, deve allora valere:
12
x
=
96
100
in proporzione:
12 : 96 = x : 100
Alessandro Bocconi
92
Da cui
x=
Quindi lo sconto in percentuale è del
decimale, cioè 12, 5%).
612 1 · 25
25
12· 100
6 25
=
=
24
2
696
624
2
25
2 %
(nel linguaggio quotidiano si preferisce usare la forma
3.17
Le frazioni e i numeri decimali
Quando eseguiamo una divisione con la calcolatrice può capitare che il risultato sia un numero
intero, oppure che sia un numero decimale con alcune cifre dopo la virgola, oppure che le cifre
decimali riempiano tuto il display della calcolatrice: bisogna sapere che, anche se il display fosse
molto più grande e contenesse un numero elevatissimo di cifre, le cifre decimali riempirebbero tutto
lo spazio anche del display più grande. Il motivo è che ci sono numeri decimali che hanno infinite
cifre dopo la virgola.
Risulta pertanto utile la seguente classificazione:
Classificazione dei numeri decimali. Possiamo dividere i numeri decimali in 2 categorie:
1. I numeri decimali limitati (quelli che hanno un numero finito di cifre dopo la virgola)
2. I numeri decimali illimitati (quelli che hanno infinite cifre dopo la virgola)
Osservazione sulla rappresentazione dei numeri decimali illimitati. Ovviamente è impossibile rappresentare le infinite cifre decimali dopo la virgola di un numero decimale illimitato. In
questo caso, dopo alcune cifre, metteremo dei puntini di sospensione che stanno a significare che,
dopo le cifre indicate, ce ne sono infinite altre.
A loro volta i numeri decimali illimitati si dividono in 3 categorie a seconda che:
• Dalla prima cifra decimale, un gruppo di cifre si ripete infinitamente. In questo caso si dice
che il numero è un numero decimale illimitato periodico puro.
• Dopo un certo numero di cifre decimali, un gruppo di cifre si ripete infinitamente. In questo
caso si dice che il numero è un numero decimale illimitato periodico misto.
• Non accade mai che un gruppo di cifre si ripete infinitamente. In questo caso si dice che il
numero è un numero decimale illimitato non periodico.
Esempi
. Il numero 14, 3754 è un numero decimale limitato (perchè ha un numero finito di cifre dopo la
virgola).
. Il numero 8, 373737373737..... è un numero decimale illimitato (i puntini stanno a significare che
ci sono altre infinite cifre), periodico puro perchè le due cifre 3 e 7 si ripetono infinitamente dalla
prima cifra decimale.
. Il numero 0, 2395555555555.... è un numero decimale illimitato (i puntini stanno a significare
che ci sono altre infinite cifre), periodico misto perchè il gruppo di cifre che si ripete infinitamente
(in questo caso solo il 5) è preceduto dalle cifre decimali 2, 3 e 9.
Alessandro Bocconi
93
. Il numero 2, 356749682164873.... è un numero decimale illimitato non periodico perché nessun
gruppo di cifre si ripete infinitamente.
Definizione di periodo. In un numero decimale illimitato periodico (puro o misto) si definisce
periodo il gruppo di cifre che si ripete infinitamente. In un numero illimitato periodico il periodo
è evidenziato da una linea orizzontale sopra di esso.
Esempi
.
Il numero 8, 373737373737..... si scrive 8, 37.
.
Il numero 0, 2395555555555.... si scrive 0, 2395.
Definizione di antiperiodo. Le cifre decimali che precedono il periodo costituiscono l’antiperiodo.
Affrontiamo adesso le regole per trasformare i numeri decimali in frazioni. Come vedremo le regole
sono differenti a seconda del tipo di numero decimale. La dimostrazione di tali regole verrà data
alla fine del paragrafo.
Trasformazione di un numero decimale limitato in una frazione ad esso equivalente.
Un numero decimale limitato è equivalente ad una frazione il cui numeratore è il numero senza la
virgola, e il denominatore è un numero costituito da 1, seguito da tanti 0 quante sono le cifre dopo
la virgola.
Esempi
.
Determinare la frazione equivalente a 7, 583.
7, 583 è un numero decimale limitato con 3 cifre decimali. Per la regola ora vista è equivalente ad
una frazione il cui numeratore è il numero senza la virgola, e quindi 7583 e al denominatore un 1
seguito da tanti 0 quante sono le cifre dopo la virgola in questo caso 3, e quindi 1000. Quindi:
7, 853 =
7853
1000
(si verifichi con la calcolatrice la correttezza di tale uguaglianza).
.
Determinare la frazione equivalente a 0, 16.
0, 16 è un numero decimale limitato con 2 cifre decimali. Per la regola ora vista è equivalente ad
una frazione il cui numeratore è il numero senza la virgola, e quindi 16 (ovviamente 016 non si
scrive), e al denominatore un 1 seguito da tanti 0 quante sono le cifre dopo la virgola in questo
caso 2, e quindi 100. Quindi:
616 4
4
0, 16 =
=
25
100
6
25
(si verifichi con la calcolatrice la correttezza di tale uguaglianza).
Trasformazione di un numero decimale illimitato periodico puro in una frazione ad
esso equivalente. Un numero decimale illimitato periodico puro è equivalente ad una frazione
Alessandro Bocconi
94
il cui numeratore è la differenza fra il numero senza la virgola e la parte intera del numero, e il
denominatore un numero costituito da tanti 9 quante sono le cifre del periodo.
Esempi
.
Determinare la frazione equivalente a 1, 5858585858.......
1, 5858585858...... è un numero decimale illimitato periodico puro che si scrive 1, 58. Il numero
scritto senza virgola risulta essere 158 e la sua parte intera (cioè il numero costituito dalle cifre
prima della virgola) è 1. Per la regola ora vista questo numero decimale è equivalente ad una
frazione il cui numeratore è la differenza fra il numero senza la virgola (in questo caso 158) e la
parte intera del numero (in questo caso 1); e al denominatore un numero costituito da tanti 9
quante sono le cifre del periodo (in questo caso 2 cifre e quindi 99). Quindi:
1, 5858585858...... = 1, 58 =
158 − 1
157
=
99
99
(si verifichi con la calcolatrice la correttezza di tale uguaglianza).
.
Determinare la frazione equivalente a 372, 4444444444444.......
372, 4444444444444...... è un numero decimale illimitato periodico puro che si scrive 372, 4. Il
numero scritto senza virgola risulta essere 3724 e la sua parte intera è 372. Per la regola ora
vista questo numero decimale è equivalente ad una frazione il cui numeratore è la differenza fra il
numero senza la virgola (in questo caso 3724) e la parte intera del numero (in questo caso 372); e
al denominatore un numero costituito da tanti 9 quante sono le cifre del periodo (in questo caso 1
cifra e quindi 9). Quindi:
372, 44444444444...... = 372, 4 =
3724 − 372
3352
=
9
9
(si verifichi con la calcolatrice la correttezza di tale uguaglianza).
Trasformazione di un numero decimale illimitato periodico misto in una frazione ad
esso equivalente. Un numero decimale illimitato periodico misto è equivalente ad una frazione
il cui numeratore è la differenza fra il numero senza la virgola e il numero costituito dalle cifre che
precedono il periodo, e il denominatore un numero costituito da tanti 9 quante sono le cifre del
periodo, seguite da tanti 0 quante sono le cifre dell’antiperiodo.
Esempi
.
Determinare la frazione equivalente a 4, 35858585858.......
4, 35858585858...... è un numero decimale illimitato periodico misto che si scrive 4, 358. Il numero
scritto senza virgola risulta essere 4358 e il numero costituito dalle cifre che precedono il periodo è
43. Per la regola ora vista questo numero decimale è equivalente ad una frazione il cui numeratore è
la differenza fra il numero senza la virgola (in questo caso 4358) e il numero costituito dalle cifre che
precedono il periodo (in questo caso 43); e al denominatore un numero costituito da tanti 9 quante
sono le cifre del periodo (in questo caso 2) seguite da tanti 0 quante sono le cifre dell’antiperiodo
(in questo caso 1), e quindi 990. Quindi:
4, 35858585858...... = 4, 358 =
863
4358 − 43
4315
6
863
=
=
198
990
990
6
198
(si verifichi con la calcolatrice la correttezza di tale uguaglianza).
Alessandro Bocconi
.
95
Determinare la frazione equivalente a 0, 02777777777.......
0, 02777777777...... è un numero decimale illimitato periodico misto che si scrive 0, 027. Il numero
scritto senza virgola risulta essere 27 e il numero costituito dalle cifre che precedono il periodo è 2.
Per la regola ora vista questo numero decimale è equivalente ad una frazione il cui numeratore è
la differenza fra il numero senza la virgola (in questo caso 27) e il numero costituito dalle cifre che
precedono il periodo (in questo caso 2); e al denominatore un numero costituito da tanti 9 quante
sono le cifre del periodo (in questo caso 1) seguite da tanti 0 quante sono le cifre dell’antiperiodo
(in questo caso 2), e quindi 900. Quindi:
0, 02777777777...... = 0, 027 =
27 − 2
1
625 1
=
=
36
900
900
6
36
(si verifichi con la calcolatrice la correttezza di tale uguaglianza).
Dimostrazione della regola della frazione equivalente ad un numero decimale limitato.
Prendiamo ad esempio il numero decimale limitato 2, 153. Per la regola già vista risulta che:
2, 153 =
2153
1000
Mostriamo come tale frazione deriva dal seguente ragionamento.
Sappiamo che moltiplicare un numero decimale per 10, equivale a spostare la virgola di un posto
a destra; moltiplicare per 100 equivale a spostare la virgola di due posti a destra, moltiplicare per
1000 di 3 posti a destra e cosı̀ via. Dal momento che nel nostro esempio abbiamo un numero con
3 cifre decimali, risulta che:
2, 153 · 1000 = 2153
e osserviamo che il risultato non è un numero decimale ma intero. Torniamo adesso al problema di
determinare una frazione equivalente a 2, 153. Innanzitutto vale la seguente uguaglianza:
2, 153 =
2, 153
1
(perché un numero è ovviamente uguale al numero stesso diviso per 1).
Il termine a destra non è una vera frazione perchè sappiamo che sia il numeratore che il denominatore devono essere interi. Nel paragrafo 3.3 abbiamo visto che per trovare una frazione equivalente
ad una assegnata basta moltiplicare numeratore e denominatore per uno stesso numero. Ma abbiamo appena visto che per trasformare 2, 153 in un intero bisogna moltiplicarlo per 1000, quindi
se moltiplichiamo numeratore e denominatore per 1000 otteniamo una frazione fra numeri interi
equivalente a quella ora vista. Cioè:
2, 153 · 1000
2153
2, 153
=
=
1
1 · 1000
1000
che prova la regola enunciata in precedenza.
Dimostrazione della regola della frazione equivalente ad un numero decimale illimitato
periodico puro(facoltativa).
Consideriamo il numero 1, 4444444444444..... Possiamo scriverlo come 1, 4 e la frazione ad esso
equivalente (trovata tramite la regola vista in precedenza) è: 13
9 .
Alessandro Bocconi
96
Mostriamo adesso che a tale frazione si può arrivare tramite il seguente ragionamento: supponiamo
che il biglietto di un cinema costi 1, 44444444444..... euro. Se dobbiamo comprare 10 biglietti
ci vogliono 10 · 1, 44444444444..... euro, cioè 14, 44444444444..... euro. Se adesso effettuiamo la
differenza fra il costo di 10 biglietti e il costo di un biglietto otteniamo il costo di 9 biglietti. Quindi
il costo di 9 biglietti è dato da:
costo di 9 biglietti = costo di 10 biglietti−costo di un biglietto
= 14, 44444444444..... − 1, 44444444444..... = 13.
Quindi il costo di 9 biglietti è 13 euro. Per arrivare al costo di ciascun biglietto dobbiamo allora
dividere per 9, ottenendo:
costo di un biglietto =
13
9 .
Ma il costo di un biglietto è 1, 4 euro per cui deve risultare che:
1, 4 =
13
9
in accordo con la regola vista.
Trasformare i numeri decimali in frazioni può risultare estremamente utile come vedremo nei
seguenti esempi:
Esempi
.
Svolgere il seguente prodotto:
0, 02777777777.... · 3, 27272727272727....
scriviamolo con la notazione periodica:
0, 027 · 3, 27
Visto cosı̀ il prodotto non si presenta affatto semplice. Trasformiamo i 2 fattori in frazioni:
0, 027 =
1
;
36
3, 27 =
324
6 36
36
=
11
699
11
quindi il precedente prodotto diventa:
1
636 1
1
·
=
1
636
11
11
.
Svolgere la seguente somma:
0, 3636363636.... + 1, 6363636363....
scriviamola con la notazione periodica:
0, 36 + 1, 63
Trasformiamo i 2 addendi in frazioni:
0, 36 =
636 4
4
= ;
11
699
11
1, 63 =
162
6 18
18
=
11
699
11
quindi la precedente somma diventa:
4
18
4 + 18 6 2 22
+
=
=
=2
11 11
11
6 1 11
Alessandro Bocconi
3.18
97
I numeri reali
Osserviamo che nel precedente paragrafo non è stata data una regola per determinare una frazione
equivalente ad un numero decimale illimitato non periodico. La ragione è molto semplice: non
esiste una frazione equivalente ad un numero decimale illimitato non periodico.
Nel paragrafo 3.14 abbiamo definito l’insieme dei numeri razionali come l’insieme delle frazioni
ridotte ai minimi termini. Ne deduciamo quindi che:
• Un numero decimale limitato, essendo equivalente ad una frazione ridotta ai minimi termini
(vedi precedente paragrafo) è un numero razionale.
• Un numero decimale illimitato periodico, sia puro che misto, essendo equivalente ad una
frazione ridotta ai minimi termini (vedi precedente paragrafo) è un numero razionale.
• Un numero decimale illimitato non periodico, non essendo equivalente a nessuna frazione,
non è un numero razionale.
Possiamo quindi dare la seguente definizione:
Definizione di insieme dei numeri irrazionali. L’insieme dei numeri decimali illimitati non
periodici costituisce l’insieme dei numeri irrazionali.
Possiamo adesso definire:
Definizione di insieme dei numeri reali. L’insieme dei razionali, unito all’insieme degli
irrazionali, costituisce l’insieme dei numeri reali (che si indica con R).
(nel prossimo capitolo capiremo meglio il significato della parola “unito”).
Per i numeri reali vale la seguente importantissima proprietà:
Proprietà di continuità dei numeri reali. Se disegnamo una retta, è possibile stabilire la
seguente corrispondenza fra tale retta e i numeri reali:
• ad ogni punto della retta corrisponde un numero reale;
• ad ogni numero reale corrisponde un punto della retta ;
per questo motivo, essendo la retta continua (cioè priva di “buchi”), questa proprietà si dice di
continuità dei numeri reali.
Osservazione. La proprietà appena vista per i numeri reali non vale ad esempio per i numeri
naturali: si pensi infatti alla rappresentazione di figura 1.1: ad ogni numero naturale corrisponde
un punto su una retta, ma non è vero che ad ogni punto sulla retta corrisponde un numero naturale
(si prenda ad esempio un punto fra 1 e 2 a cui non corrisponde nessun numero naturale).
Alessandro Bocconi
3.19
98
Errore assoluto, errore relativo e errore percentuale
Nell’effettuare delle misurazioni inevitabilmente si commettono degli errori. Risulta estremamente
utile darsi dei parametri per capire l’entità dell’errore commesso. Questi parametri sono l’errore
assoluto, l’errore relativo e l’errore percentuale.
Definizione di errore assoluto. L’errore assoluto è la differenza fra la misura esatta e la misura
realizzata (o osservata). Tale differenza va presa sempre col segno positivo.
Esempio
. Un ingegnere deve realizzare una strada di 200 km. Alla fine la strada risulta lunga 202 km.
Che errore assoluto ha commesso l’ingegnere?
misura esatta = 200 km; misura realizzata = 202 km.
differenza = misura esatta − misura realizzata = 200 − 202 = −2 km
errore assoluto = differenza presa col segno positivo = 2 km
L’errore assoluto risulta spesso un indicatore poco utile. Per rendersene conto si consideri il
seguente:
Esempio
. Ad un artigiano viene commissionato un tavolo di 3 metri di lunghezza. Al termine del lavoro
il tavolo è lungo 2 metri. Che errore assoluto ha commesso l’artigiano?
misura esatta = 3 m; misura realizzata = 2 m.
differenza = misura esatta − misura realizzata = 3 − 2 = 1 m
errore assoluto = differenza presa col segno positivo = 1 m
Confrontando i 2 esempi sembra che l’ingegnere abbia commesso un errore molto più grande in
quanto ha sbagliato di 2 km mentre l’artigiano di un “solo” metro. L’errore relativo evidenzierà
che questo non è vero.
Definizione di errore relativo. L’errore relativo è il rapporto fra l’errore assoluto e la misura
esatta. L’errore relativo non dipende dall’unità di misura
Calcoliamoci allora l’errore relativo dell’ingegnere e quello dell’artigiano:
6 21
assoluto
1
errore relativo ingegnere = errore
= 100
6 100
misura esatta = 200
assoluto
1
errore relativo artigiano = errore
misura esatta = 2
Grazie all’errore relativo vediamo che l’artigiano ha commesso un errore notevolmente maggiore
dell’ingegnere.
Alessandro Bocconi
99
Simile all’errore relativo è l’errore percentuale:
Definizione di errore percentuale. L’errore percentuale è uguale all’errore relativo moltiplicato
per 100. Anche L’errore percentuale non dipende dall’unità di misura.
Continuiamo con l’esempio precedente e calcoliamoci gli errori percentuali dell’artigiano e dell’ingegnere:
errore percentuale ingegnere = errore relativo ·100 =
errore percentuale artigiano = errore relativo ·100 =
1
100
1
2
· 100 = 1%
· 100 = 50%
Che conferma che l’artigiano ha commesso un errore notevolmente maggiore dell’ingegnere.
Esempi
. Un microprocessore misura 21, 37 millimetri di lunghezza. Se approssimiamo con 21 millimetri,
che errore assoluto, relativo e percentuale commettiamo?
misura esatta = 21, 37 mm; misura approssimata = 21 mm.
differenza = misura esatta − misura approssimata = 21, 37 − 21 = 0, 37 mm
errore assoluto = differenza presa col segno positivo = 0, 37 mm
0,37
assoluto
errore relativo = errore
misura esatta = 21,37 = 0, 0173...
errore percentuale = errore relativo ·100 = 0, 0173 · 100 = 1, 73%
. Sono stati assegnati 12 esercizi di matematica e Mario ne ha fatti solo 10. Che errore assoluto,
relativo e percentuale ha commesso?
misura esatta = 12 esercizi; misura realizzata = 10 esercizi.
differenza = misura esatta − misura realizzata = 12 − 10 = 2 esercizi
errore assoluto = differenza presa col segno positivo = 2 esercizi
assoluto
errore relativo = errore
misura esatta =
2
12
=
1
6
= 0, 16
errore percentuale = errore relativo ·100 = 0, 16 · 100 = 16, 6%
Leggermente diverso il caso in cui bisogna misurare un oggetto o un altro fenomeno (e quindi
non abbiamo una misura esatta con la quale confrontarsi). In questi casi, soprattutto se vogliamo
misurare con una certa precisione conviene effettuare più misurazioni. L’errore assoluto è qui
definito come:
errore assoluto = misura maggiore ottenuta − misura minore ottenuta.
mentre per l’errore relativo si calcola la media aritmetica delle misure effettuate (somma di tutte
le misure fratto il numero delle misure effettuate) e si calcola:
errore assoluto
media delle misure
L’errore percentuale si ottiene, come in precedenza, moltiplicando per 100 l’errore relativo.
errore relativo =
Chiariamo con il seguente
Alessandro Bocconi
100
Esempio
. Per misurare la larghezza di un televisore sono state effettuate 3 misurazioni: la prima ha dato
come risultato 53,1 cm, la seconda 50 cm la terza 50,4 cm. Determinare errore assoluto, relativo e
percentuale.
errore assoluto = misura maggiore ottenuta − misura minore ottenuta = 53, 1 − 50 = 3, 1 cm
la media aritmetica delle misure si ottiene sommando fra loro tutte le misure diviso il numero delle
misure effettuate (in questo caso 3). Quindi:
53,1+50+50,4
3
media aritmetica=
errore relativo =
153,5
3
=
= 51, 16
errore assoluto =
media delle misure
3,1
51,16
= 0, 06
errore percentuale = errore relativo ∗ 100 = 0, 06 ∗ 100 = 6%.
3.20
Esercizi
Paragrafo 3.1
1. Esegui le seguenti moltiplicazioni:
9
5
1
7
· 5;
13
2
· 7;
0
3
· 2;
9
1
· 3;
·1
Paragrafo 3.2
2. Determina i
3
5
dei seguenti numeri: 20; 5; 35; 40 e 50.
3. Determina i
9
4
dei seguenti numeri: 20; 8; 36; 40 e 4.
4. Determina i
3
3
dei seguenti numeri: 21; 3; 33; 42 e 51.
Paragrafo 3.3
Determinare se sono fra loro equivalenti le seguenti frazioni:
5.
12
9
e 86 ;
1
9
e
3
27 ;
10
6
6.
10
2
e 5;
4
5
e
12
14 ;
0
3
e
e
5
2
0
6
7. Determina 5 frazioni equivalenti a 64 .
8. Determina 5 frazioni equivalenti a 03 .
Delle seguenti frazioni, determina, quando possibile, una frazione equivalente avente il denominatore indicato nella parentesi
9.
3
10
8
6
(30);
10.
3
2
11.
15
3
(6);
3
2
(2);
12.
3
1
(30);
6
8
(12);
(5);
6
7
7
5
(24);
(7);
3
4
(10).
(40).
3
8
(12).
3
5
(45).
Paragrafo 3.4
Riduci ai minimi termini le seguenti frazioni:
Alessandro Bocconi
101
13.
8
14 ;
5
20 ;
16
8 ;
5
3
14.
4
70 ;
12
4 ;
10
15 ;
7
7
15.
1
100 ;
2
4;
9
15 ;
17
34
Paragrafo 3.5
Esegui le seguenti somme e differenze di frazioni:
16.
8
5
+ 57 ;
8
5
− 57 ;
3
4
17.
8
5
+ 47 ;
6
4
− 21 ;
5
16
18.
11
18
+
5
12 ;
19.
7
25
+
5
100 ;
3
2
− 4;
3
4
11
4
+
+
3
12
2+
3
5
− 52 ;
4
16
3
12
−
Paragrafo 3.6
Trasformare le seguenti frazioni fra numeri interi in frazioni equivalenti fra numeri naturali,
precedeute dal segno.
20.
−5
−11 ;
+2
−7 ;
−22
+7
+4
+8 ;
21. − +5
−6 ;
−5
+ −11
;
− −3
+8 ;
− −22
−7
−5
22. − −10
;
5
+ −7
;
− −3
8 ;
−2
+ −17
Paragrafo 3.7
Esegui le seguenti moltiplicazioni di frazioni:
23.
8
5
· 57 ;
3
5
· (− 57 );
7
24. − 27 · (− 10
);
25. − 11
5 · 10;
26.
21
5
8
2
3
2
· (− 87 );
20
− 10
·
7
· (− 16
);
6
· (− 33
);
13
2
11
4
1
− 10
· 11
− 27 ·
· 10;
11
12
−3 ·
20
21
Paragrafo 3.8
Determina il reciproco delle seguenti frazioni:
27.
8
5;
7
5;
3
8;
− 17
1 ;
28. 8;
− 78 ;
1
8;
20
− 11
;
− 83 ;
1
4
−20;
4
4
Esegui le seguenti divisioni di frazioni:
29.
8
5
: 57 ;
3
5
: (− 76 );
30. − 27 : (− 14
21 );
5
31. − 11
: 10;
32.
21
5
: (− 78 );
8
2
33
− 10
:
: (− 16
5 );
6 : (−8);
15
2
: 10;
11
4
−3 :
1
− 10
: 11
− 27 :
3
10
11
12
Alessandro Bocconi
102
Paragrafo 3.9
Calcola le seguenti potenze:
( 14 )3 ;
33. ( 32 )2 ;
(− 35 )2 ;
(− 21 )5 ;
( 15 )3
Esegui le seguenti operazioni fra potenze di frazioni
34. ( 23 )3 · ( 32 )5 ;
( 14 )6 : ( 14 )5 ;
35. (− 23 )5 · (− 23 )5 ;
[( 23 )3 ]4 ;
(− 14 )6 : ( 41 )5 ;
( 43 )3 · ( 38 )3 ;
[(− 32 )3 ]4 ;
3 4
( 72 )4 : ( 14
)
(− 43 )3 · ( 38 )3 ;
3 4
(− 27 )4 : (− 14
)
Paragrafo 3.10
Risolvi le seguenti espressioni
36. 6 − [(5 +
37.
1
3
−
38. [ 43 ·
1
12
15
12
1
5
3
4
−
+ ( 18 −
− 4) − ( 75 − 7 +
23
9 )
+ ( 23 − 15 ) · 23 ] + ( 53 − 5 −
11
7 )
40. {[( 43 −
3
5
5
3
−
42.
2
5
+ {[( 34 − 14 ) · (− 15
13 + 4) −
1
2
+ (1 + 14 ) ·
− ( 32 )2 −
2
24
45. 1 + ( 74 )3 : [( 43 − 25 ) ·
[ 29 ]
12
5 ]
1
4
−
5
3
+ [( 23 :
·
1
3
+ ( 19 : 34 ) +
15
6 ]
:
7
4
15
8 ]
−
4 3
15 )
− 23 } ·
11
27
4
9
−
3
5
5
9
: ( 52 )2 ] :
1
16
[ 43 ]
+3
[ 15 ]
[1]
3
7
[3]
[4]
Paragrafo 3.11
Semplifica le seguenti frazioni di potenze
46.
211
;
25
72
;
75
47.
311
;
97
24 ·72
;
2·79
(−3)4
;
35
39
;
39
39
;
57
52 ·47
54 ·42
22 ·34
;
65
55
253
Paragrafo 3.12
Calcola le seguenti potenze
48. ( 23 )−2 ;
( 14 )−3 ;
(− 35 )−2 ;
(− 21 )−5 ;
5−3
Risolvi le seguenti espressioni
49. {[( 34 )2 ]−1 · ( 29 )−2 } : ( 61 )−3
[4]
50. {[( 23 )2 : ( 32 )3 ]−2 · ( 94 )2 } : ( 23 )−1
8
[ 27
]
51. {[( 14 )3 · ( 23 )3 ]−1 · ( 16 )4 }−1 : [( 45 )3 · ( 25 )3 ]−1
[ 34 ]
Paragrafo 3.13
Scrivere in notazione scientifica i seguenti numeri:
52. 300000000;
[1]
[−2]
43. [(2 + 75 ) : (1 + 89 )] · ( 54 ) − [( 23 )3 : ( 23 )] −
44. −1 +
3
− ( 20
+ 41 )
4
9
31
30 )
− 23 ] : 2} ·
41.
2
3
6
5
[−1]
: ( 72 − 21 ) ·
− [ 12 +
− 12 )] +
− [ 38 + ( 31 − 52 ) − 16 ] +
39. ( 25 − 61 ) · ( 57 − 5)
3
2
3
4
0, 00008;
9000
[− 10
9 ]
Alessandro Bocconi
53. 830000;
103
0, 0027;
54. 434100000000;
55. 7650000;
0, 0000000019
0, 00002843;
0, 0000111;
98100
0, 0334
Paragrafo 3.14
56. Elenca 5 frazioni associate al numero razionale − 53 .
57. Quale numero razionale corrisponde alla frazione
20
15 ?
Paragrafo 3.15
58. Determina se i seguenti vettori sono direttamente proporzionali fra loro
• A = 5; 15; 20 e B = 3; 9; 12.
• A = 12; 9 e B = 4; 3.
• A = 15; 12 e B = 4; 5.
• A = 5; 15; 20; 30 e B = 10; 30; 40; 60.
Determina se le seguenti quaterne di numeri formano una proporzione:
59. (2; 8; 6; 24);
(14; 4; 21; 6);
(4; 8; 4; 2);
(4; 2; 8; 4)
60. Data la quaterna (2; 8; 6; 24), scamba in tutti i modi possibili i termini fra loro in modo che
le nuove quaterne formino ancora una proporzione.
Determina l’incognita x nelle seguenti proporzioni:
61. 2 : x = 6 : 24
62. 5 : x = 1 : 4
14 : 4 = 21 : x
12 : 2 = 24 : x
4:2=x:4
3:2=x:3
x : 16 = 8 : 8
x:
3
2
=8:4
Paragrafo 3.16
Determina la percentuale delle seguenti frazioni:
63.
20
50 ;
4
5;
45
60 ;
1
4;
3
20 ;
8
30
Paragrafo 3.17
Determinare le frazioni equivalenti ai seguenti numeri decimali:
64. 1, 35;
5, 3333333 . . . ;
0, 021;
12, 234444444 . . . ;
2, 234234234 . . .
65. 1, 352525252 . . . ;
0, 33 . . . ;
0, 021212121 . . . ;
2, 270707070 . . . ;
1, 0022222222 . . .
Risolvi le seguenti espressioni dopo aver trasformato i numeri decimali in frazioni:
66. (0, 83 − 0, 16) · 1, 2
[ 45 ]
67. (0, 27 + 1, 72) : 1, 3
[ 32 ]
68. 2, 6 · 1, 2 − 2, 2
[1]
69. (0, 2916 + 0, 125 + 0, 083) : 0, 16
[3]
Alessandro Bocconi
3.21
104
Problemi
1. Una comitiva di 30 persone arriva ad un bivio. I
sinistra?
2
5
vanno a destra. Quante persone vanno a
2. Dei 1350 euro di premio, Sara ha deciso di devolvere i
beneficienza?
2
9
in beneficienza. Quanti euro dà in
3. Luigi ha dimenticato 40 soldatini su una panchina. Passa Leo e ne porta via i 34 . Dopo passa
Nicco e, dei rimanenti, ne porta via 35 . Quando il povero Luigi ripassa dalla panchina quanti
soldatini trova?
4. In un rettangolo ABCD, AB misura 10 cm e BC i
del rettangolo.
4
5
di AB. Determinare perimetro e area
Problemi con le proporzioni
5. Una lumaca impiega 2 ore a percorrere 120 metri. Quante ore impiega a percorrere 300 metri?
6. Una lega Nichel-Zinco è composta da 6 grammi di nichel ogni 14 grammi di zinco. Se abbiamo
35 grammi di zinco, quanti risultano essere i grammi di nichel?
7. Nel paese di Collecchio nascono 6 femmine ogni 10 nascite. Nel 2009 si sono avute 135 nascite.
Quante femmine sono nate?
8. Un macchinario fabbrica 10 chiodi alla volta, ma di questi 3 sono sempre difettosi. Dopo un
certo numero di volte la macchina si ferma: in quell’istante si contano 63 chiodi ben fatti.
Quanti chiodi difettosi ci sono?
9. Un gelataio ogni 5 gusti ne mette sempre 2 alla frutta. Un giorno gli viene commissionato un
gelato di ben 25 gusti. Quanti gusti alla frutta metterà?
10. Un orologio a pendolo batte 10 rintocchi ogni 3 ore. Quanti rintocchi batte in una giornata?
11. Il deserto avanza di 2 metri ogni 8 mesi. Dopo un anno di quanti metri è avanzato?
Problemi con le percentuali
12. Un paio di scarpe da 60 euro viene scontato del 20%. A quanto viene messo in vendita?
13. Un venditore durante una promozione vende un divano del costo di 800 euro, a 560 euro. Che
sconto percentuale ha applicato?
14. Nell’anno 2000, il costo di un biglietto dell’autobus passò da 1500 a 2000 lire. Che aumento
percentuale ebbe?
15. Il 90% del peso di un uomo è dovuto all’acqua. Quanti chili di acqua ci sono in un uomo di
90 chili?
16. In una scuola di 160 allievi, 120 non sono stati mai bocciati. Che percentuale c’è di ripetenti?
17. Ad un esame di scuola guida 9 ragazzi vengono bocciati e 21 promossi. Che percentuale di
bocciati c’è stata?
Problemi di approssimazione
18. Un insegnante, a occhio, stima che gli allievi in palestra siano 54. In realtà sono 50. Che
errore assoluto, relativo e percentuale ha commesso?
19. Se un prezzo di 14,65 euro viene arrotondato a 15, che errore assoluto, relativo e percentuale
viene commesso (consigliato l’uso della calcolatrice).
Alessandro Bocconi
105
20. Ad un artigiano viene commissionata una porta alta 225 centimetri. Ala fine del suo lavoro fa
una misurazione e scopre di aver costruito una porta alta 234 centimetri. Che errore assoluto,
relativo e percentuale ha commesso?
21. Il numero 3,142 viene approssimato a 3. Che errore assoluto, relativo e percentuale viene
commesso (consigliato l’uso della calcolatrice).
22. Per misurare il tempo di caduta di una sfera di ferro vengono fatte 5 misurazioni che danno
i seguenti esiti: 8, 3 secondi; 8, 9 secondi; 7, 9 secondi; 8, 0 secondi; 8, 5 secondi. Che errore
assoluto, relativo e percentuale viene commesso (consigliato l’uso della calcolatrice).
23. Per misurare l’altezza di Maria vengono fatte 4 misurazioni che danno i seguenti esiti: 168
cm; 170, 5 cm; 167 cm; 168, 5 cm. Che errore assoluto, relativo e percentuale viene commesso
(consigliato l’uso della calcolatrice).
Capitolo 4
Gli insiemi (cenni)
4.1
Notazioni
Dopo aver affrontato 4 insiemi numerici (Naturali, Interi, Razionali, Reali) diamo qualche accenno
sul concetto di insieme e di teoria degli insiemi. Innanzitutto premettiamo il significato di “concetto
(o ente) primitivo”.
Significato di concetto primitivo. Un concetto primitivo è un concetto che non si può ulteriormente spiegare e definire, ma viene lasciato come intuitivo.
Osservazione. Si noti che nel primo capitolo abbiamo lasciato come intuitivo il concetto di somma,
e successivamente tramite la somma abbiamo definito le altre operazioni. Nella nostra trattazione
quindi la somma è un concetto primitivo mentre, ad esempio, la moltiplicazione no.
L’insieme, e gli elementi che appartengono ad un insieme sono concetti primitivi.
Notazione. Gli insiemi si rappresentano con la lettera maiuscola, gli elementi di un insieme con
la lettera minuscola.
Quando si dice: “dato un insieme A” si intende che viene dato un criterio col quale si può
univocamente stabilire se un elemento vi appartiene o meno.
Esempi
. Le persone nate nel 1995 costituiscono un insieme, in quanto il criterio dato (essere nati nel
1995) permette di stabilire univocamente se un elemento ci appartiene o no.
. I ragazzi simpatici dell’istituto Gramsci non costituiscono un insieme in quanto “l’essere simpatico” non è un criterio univoco.
.
I numeri naturali pari costituiscono un insieme.
Alessandro Bocconi
4.2
107
Rappresentazione degli insiemi
Nel paragrafo 1.2, abbiamo definito l’insieme dei numeri naturali, mentre nel paragrafo 3.1, abbiamo
definito l’insieme delle frazioni di numeri naturali. Si osservi la differenza delle due notazioni: in
quella dei numeri Naturali, abbiamo indicato alcuni elementi dell’insieme (essendo infinito era
impossibile indicarli tutti), mentre nell’insieme delle frazioni abbiamo indicato la caratteristica che
deve avere un elemento per appartenere a quell’insieme. Il primo modo si dice rappresentazione
tabulare, il secondo rappresentazione caratteristica.
Riassumendo:
• si ha una rappresentazione tabulare quando si elencano (fra parentesi graffe) tutti o alcuni
elementi dell’insieme.
• si ha una rappresentazione caratteristica quando, fra parentesi graffe, si descrive la caratteristica che deve avere un elemento per appartenere all’insieme.
Esempi
. Supponiamo che nella classe II C di un certo istituto ci siano 3 ragazzi con altezza maggiore
di 180 cm, che si chiamano Alberto, Francesca e Roberto. Se vogliamo indicare l’insieme di questi
ragazzi possiamo usare:
• la rappresentazione tabulare: {Alberto; Francesca; Roberto}
• la rappresentazione caratteristica: {I ragazzi della II C più alti di 180 cm}
.
L’insieme dei numeri Naturali pari:
• la rappresentazione tabulare: {0; 2; 4; 6; 8...}
• la rappresentazione caratteristica: {I numeri Naturali pari}
Osservazione importante. L’ordine in cui vengono elencati gli elementi di un insieme è indifferente. Ad esempio {a; b; r; s}, e {r; b; s; a} rappresentano lo stesso insieme in quanto costituiti dagli
stessi elementi anche se in ordine diverso.
Una terza rappresentazione degli insiemi è quella di Eulero-Venn, che consiste nel disegnare una linea chiusa con all’interno tutti gli elementi (o alcuni) dell’insieme.
Due simboli ricorrenti. Nel linguaggio degli insiemi si usano spesso dei simboli che hanno lo
scopo di rendere chiaro e sintetico il concetto che si vuole esprimere. Tali simboli sono:
• ∈ che significa “appartenente”, e la sua negazione 6 ∈ che significa “non appartenente”
• | che significa “tale che”
Esempi
.
Nell’esempio dei ragazzi della II C la rappresentazione caratteristica diventa:
{x ∈ IIC|x > 180cm di altezza}
.
Se vogliamo rappresentare l’insieme dei numeri naturali minori di 8 possiamo usare:
Alessandro Bocconi
108
1
2
0
7
5
6
.
3
4
.
Figura 4.1: La rappresentazione di Eulero-Venn
• la rappresentazione tabulare: {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}
• la rappresentazione caratteristica: {x ∈ N|x < 8}
• la rappresentazione di Eulero-Venn (figura 4.1).
4.3
Cardinalità di un insieme, l’insieme vuoto e l’insieme Universo
Definizione di cardinalità di un insieme. Si definisce cardinalità di un insieme, il numero di
elementi che lo costituiscono. Se A è un insieme, la cardinalità di A si indica con |A|.
Esempi
.
A = {pippo; pluto; paperino};
.
A = {x ∈ N|x < 10};
|A| = 10
.
A = {x ∈ N|x > 10};
|A| = ∞
|A| = 3
Negli esempi appena visti il simbolo ∞ significa infinito.
Definizione di insieme vuoto. Un insieme privo di elementi si dice insieme vuoto e si indica col
simbolo ∅.
Esempi
.
L’insieme degli esseri umani più alti di 3 metri è l’insieme vuoto.
.
L’insieme dei maschi in una classe tutta femminile è l’insieme vuoto.
Osservazione. L’insieme vuoto ha cardinalità 0.
Alessandro Bocconi
109
Definizione di insieme Universo. L’insieme Universo è l’insieme formato da tutti gli elementi
che stiamo considerando. Generalmente si indica con la lettera U .
Esempi
. L’insieme dei numeri Naturali minori di 7. In questo caso l’insieme universo è costituito da tutti
i numeri naturali.
. L’insieme dei ragazzi della II C più alti di 180 cm. In questo caso l’insieme universo è costituito
da tutti i ragazzi della II C.
. I cittadini di Firenze nati nel 1969. In questo caso l’insieme universo è costituito da tutti i
cittadini di Firenze.
4.4
I sottoinsiemi
Definizione di sottoinsieme. Un insieme B è sottoinsieme di un insieme A se qualunque elemento
di B è anche elemento di A. In simboli: B ⊆ A.
Esempi
.
Sia A l’insieme dei numeri Naturali e B l’insieme dei numeri naturali pari.
A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7....}
B = {0; 2; 4; 6; 8; 10; ...}.
Risulta che B ⊆ A in quanto ogni elemento di B è anche elemento di A.
.
Siano A = {a; b; d; e; f ; h; z} e
B = {a; b; c}.
Risulta che B non è sottoinsieme di A, in quanto esiste un elemento di B (in questo caso c) che
non appartiene ad A.
Osservazione. Dall’ultimo esempio si deduce facilmente che l’insieme vuoto è sottoinsieme di
qualunque insieme. Infatti, nell’ultimo esempio, B non è sottoinsieme di A perché esiste un elemento
di B che non appartiene ad A, ma questo non può accadere all’insieme vuoto in quanto non ha
elementi. Quindi ∅ è sottoinsieme di qualunque insieme.
Osservazione. Dalla definizione segue che ogni insieme è sottoinsieme di se stesso.
Dalle osservazioni fatte, segue che qualunque insieme A ha sempre almeno 2 sottoinsiemi: l’insieme
vuoto e se stesso. Questi 2 sottoinsiemi generalmente non sono considerati interessanti; per evitarli
si è data la definizione di sottoinsieme proprio.
Definizione di sottoinsieme proprio. Un sottoinsieme B di A è un sottoinsieme proprio se:
• B non è vuoto.
• Esiste almeno un elemento appartenente ad A che non appartiene a B.
Alessandro Bocconi
110
In simboli, se B è sottoinsieme proprio di A, si scrive: B ⊂ A.
Quindi A è sottoinsieme di se stesso, ma non è sottoinsieme proprio di se stesso. L’insieme vuoto
è sottoinsieme di qualunque insieme, ma non è sottoinsieme proprio di nessuno.
4.5
Operazioni fra insiemi
Risulta estremamente utile definire alcune operazioni fra insiemi.
Definizione di intersezione fra insiemi. Siano A e B due insiemi, l’intersezione fra A e B, che
si indica con A ∩ B, è l’insieme costituito dagli elementi che appartengono sia ad A che a B.
Esempi
.
Si considerino gli insiemi:
A = {3; 7; 5; 11; 15; 228} e
B = {1; 4; 5; 9; 11; 12}
La loro intersezione è data da:
A ∩ B = {5; 11}
.
Si considerino gli insiemi:
A = {vocali dell’alfabeto italiano} e
B = {d; z; i; b; r}
La loro intersezione è data da:
A ∩ B = {i}
.
Si considerino gli insiemi:
A = {x ∈ N|x < 22}
e
B = {x ∈ N|x > 25}
La loro intersezione è data da:
A ∩ B = ∅ (infatti A e B non hanno nessun elemento in comune).
Due insiemi che non hanno elementi in comune (come quelli visti nell’ultimo esempio) si dicono
disgiunti.
Definizione di unione fra insiemi. Siano A e B due insiemi, l’unione fra A e B, che si indica
con A ∪ B, è l’insieme costituito dagli elementi che appartengono ad almeno uno fra A e B.
Esempi
.
Si considerino gli insiemi:
A = {3; 7; 5; 11}
e
B = {1; 4; 5; 11; 12}
Alessandro Bocconi
111
La loro unione è data da:
A ∪ B = {3; 7; 5; 11; 1; 4; 12}
.
Si considerino gli insiemi:
A = {vocali dell’alfabeto italiano} e
B = {e; i; b; r}
La loro unione è data da:
A ∪ B = {a; e; i; o; u; b; r}
.
Si considerino gli insiemi:
A = {roma; torino}
e
B = {f irenze; roma}
La loro unione è data da:
A ∪ B = {roma; torino; f irenze}.
Definizione di complementare di un insieme. Sia A un insieme; il complementare di A, che
si indica con A, è l’insieme costituito da tutti gli elementi dell’Universo che non appartengono ad
A.
Esempi
. Nell’universo dei numeri Naturali si consideri l’insieme A dei numeri pari.
complementare di A è l’insieme dei numeri dispari.
.
Risulta che il
Nell’universo dei numeri Naturali si consideri l’insieme A dei numeri maggiori di 5 cioè:
A = {x ∈ N|x > 5}.
Risulta che:
A = {x ∈ N|x ≤ 5}
(il simbolo ≤ si legge “minore o uguale a” e in questo caso significa che nell’insieme ci sono numeri
minori di 5 e anche il 5 stesso. Si osservi che se ci fosse stato solo il minore, 5 non sarebbe
appartenuto all’insieme).
Definizione di differenza di 2 insiemi. Siano A e B due insiemi, la differenza fra A e B, che si
indica con A−B, è l’insieme costituito dagli elementi che appartengono ad A ma non appartengono
a B.
Esempi
.
Si considerino gli insiemi:
A = {3; 7; 5; 11}
e
La loro differenza è:
A − B = {3; 7}
B = {1; 4; 5; 11; 12}
Alessandro Bocconi
.
112
Si considerino gli insiemi:
A = {a; b; e; r} e
B = {a; b; s; r; t}
La loro differenza è:
A − B = {e}
.
Si considerino gli insiemi:
A = {16; 22; 23; 1}
e
B = {2; 3; 4; 5; 6}
La loro differenza è:
A − B = {16; 22; 23; 1}
.
Si considerino gli insiemi:
A = {Italia; Francia; Canada} e
B = {stati dell’unione europea}
La loro differenza è:
A − B = {Canada}
.
Si considerino gli insiemi:
A = {cane; gatto}
e
B = {stati dell’unione europea}
La loro differenza è:
A − B = {cane; gatto}
.
Si considerino gli insiemi:
A = {5; 7; 13}
e
B = {insieme dei numeri primi}
La loro differenza è:
A − B = {cane; gatto}
4.6
Rappresentazione delle operazioni fra insiemi tramite i diagrammi di Eulero-Venn
In figura 4.2, possiamo osservare le operazioni fra insiemi tramite i diagrammi di Eulero-Venn:
Alessandro Bocconi
113
A
B
A∩B
A
B
.
.
A∪B
U
A
_
A
Figura 4.2: Le operazioni fra insiemi tramite Eulero-Venn
4.7
Alcuni risultati importanti
1. Se B ⊂ A allora risulta che A ∩ B = B.
Dimostrazione (figura 4.3).
Esempio: Sia A l’insieme degli allievi dell’istituto Gramsci, e sia B l’insieme degli allievi della
II C dell’istituto Gramsci. Ovviamente B è sottoinsieme di A cioè B ⊂ A. L’intersezione
A ∩ B è formata dagli allievi che stanno in entrambi gli insiemi, e quindi dagli allievi della II
C, che è l’insieme B.
2. Se B ⊂ A allora risulta che A ∪ B = A.
Dimostrazione (figura 4.4).
A∩B
A
B
.
.
Figura 4.3: Se B sottoinsieme di A allora A ∩ B = B
Alessandro Bocconi
114
A∪B
A
B
.
.
Figura 4.4: Se B sottoinsieme di A allora A ∪ B = A
Esempio: Come nell’esempio precedente sia A l’insieme degli allievi dell’istituto Gramsci, e
B l’insieme degli allievi della II C dell’istituto Gramsci. Ovviamente B è sottoinsieme di A
cioè B ⊂ A. L’unione A ∪ B è formata dagli allievi che stanno in almeno uno dei 2 insiemi, e
quindi dagli allievi dell’istituto Gramsci, che è l’insieme A.
3. Il complementare dell’insieme vuoto è l’insieme universo. In simboli: ∅ = U .
Dimostrazione: il complementare di un insieme A è composto da tutti gli elementi dell’Universo escluso quelli che stanno in A. Ma se A è l’insieme vuoto, non contiene nessun elemento,
e quindi il suo complementare è l’insieme Universo.
4. Il complementare dell’insieme Universo è l’insieme vuoto. In simboli: U = ∅.
Dimostrazione: il complementare dell’insieme Universo è composto da tutti gli elementi dell’Universo escluso quelli che stanno nell’insieme Universo. Quindi da nessun elemento. Quindi
il complementare dell’insieme Universo è l’insieme vuoto.
4.8
Il prodotto cartesiano fra insiemi
Estremamente utile risulta essere il concetto di prodotto cartesiano fra insiemi.
Definizione di prodotto cartesiano fra insiemi. Dati 2 insiemi A e B, si definisce prodotto
cartesiano fra A e B, l’insieme AXB i cui elementi sono tutte le possibili coppie ordinate in cui il
primo elemento appartiene a A e il secondo a B.
Esempi
.
Si considerino gli insiemi:
A = {a; b; c}
e
B = {2; 3}
risulta che AXB = {(a; 2); (a; 3); (b; 2); (b; 3); (c; 2); (c; 3)}
.
Si considerino gli insiemi:
A = {3; 5; 9}
e
B = {3}
risulta che AXB = {(3; 3); (5; 3); (9; 3)}
Osservazione. Abbiamo detto che l’ordine degli elementi è ininfluente. Nell’esempio precedente
non sarebbe cambiato niente se avessimo scritto (9; 3) prima dell’elemento (5; 3). Quello che è
Alessandro Bocconi
115
4
3
(2;4)
.
.
(4;4) (5;4)
. .
. .
(4;3)
(2;3)
(5;3)
.
.
(7;3)
2
4
5
7
(7;4)
Figura 4.5: Il prodotto cartesiano fra 2 insiemi
importante è l’ordine all’interno della coppia: il primo elemento deve appartenere ad A e il secondo
a B e quindi sarebbe sbagliato scrivere, ad esempio, (3; 5) al posto di (5; 3).
Osservazione. Dal momento che nel prodotto cartesiano AXB ogni elemento di A forma una
coppia con tutti gli elementi di B, risulta che la cardinalità di AXB equivale al prodotto della
cardinalità di A con la cardinalità di B.
Esempi
.
Se A e B sono 2 insiemi tali che |A| = 3 e |B| = 2, risulta che |AXB| = 6.
.
Se A e B sono 2 insiemi tali che |A| = 1 e |B| = 5, risulta che |AXB| = 5.
. Se A e B sono 2 insiemi e B = ∅, allora anche AXB = ∅. Ciò è in accordo con l’osservazione
sulle cardinalità, infatti:
|AXB| = |A| · |B| = |A| · 0 = 0
quindi AXB avendo 0 elementi è l’insieme vuoto.
Rappresentazione grafica del prodotto cartesiano di due insiemi. Supponiamo che A e B
siano 2 insiemi numerici. Costruiamo un piano cartesiano, cioè 2 rette orientate fra loro perpendicolari (chiamate assi) che si incontrano in un punto detto origine. Riportiamo ciascun elemento
di A sull’asse orizzontale rispettando l’orientamento della retta e riportiamo ciascun elemento di B
sull’asse verticale rispettando l’orientamento della retta. Da ogni elemento di A si tracci una retta
parallela all’asse verticale, e da ogni elemento di B si tracci una retta parallela all’asse orizzontale.
Le intersezioni di tali rette rappresentano graficamente gli elementi del prodotto cartesiano fra A e
B.
Esempio
.
Siano A = {2; 4; 5; 7}
e B = {3; 4}.
Rappresentiamo graficamente il prodotto cartesiano fra i 2 insiemi (figura 4.5).
Dalla rappresentazione grafica si deducono gli elementi che compongono AXB:
AXB = {(2; 3); (2; 4); (4; 3); (4; 4); (5; 3); (5; 4); (7; 3); (7; 4)}
Alessandro Bocconi
4.9
Domande
Paragrafo 4.1
1. Cos’è un concetto primitivo?
2. Gli insiemi e gli elementi di un insieme sono concetti primitivi?
3. Cosa si intende con l’affermazione “Dato un insieme A”?
Paragrafo 4.2
4. Illustra i 3 modi di rappresentare un insieme.
5. Quando abbiamo una rappresentazione tabulare?
6. Quando abbiamo una rappresentazione caratteristica?
7. L’ordine in cui vengono scritti gli elementi di un insieme è importante?
Paragrafo 4.3
8. Cos’è la cardinalità di un insieme?
9. Quando un insieme è vuoto?
10. Cos’è l’insieme Universo?
Paragrafo 4.4
11. Definisci il sottoinsieme.
12. Un insieme ha sempre almeno 2 sottoinsiemi. Quali?
13. Definisci il sottoinsieme proprio.
Paragrafo 4.5
14. Definisci l’intersezione fra insiemi.
15. Quando 2 insiemi si dicono disgiunti?
16. Definisci l’unione fra insiemi.
17. Definisci il complementare di un insieme.
18. Definisci la diferenza fra insiemi.
Paragrafo 4.8
19. Definisci il prodotto cartesiano fra insiemi.
116
Alessandro Bocconi
4.10
117
Esercizi
Paragrafo 4.2
1. Rappresenta tramite rappresentazione caratteristica i seguenti insiemi:
• {2; 4; 6; 8; 0}
• {−1; −2; −3; −4; −5; ..................}
• {a; e; i; u; o}
• {Lunedı̀; Martedı̀; Mercoledı̀; Giovedı̀; Venerdı̀; Sabato; Domenica}
• {Lunedı̀; Martedı̀; Mercoledı̀; Giovedı̀; Venerdı̀}
Paragrafo 4.4
2. Scrivi tutti i sottinsiemi dell’insieme {0; 1}
3. Scrivi tutti i sottinsiemi propri dell’insieme {0; 1}
4. Scrivi tutti i sottinsiemi dell’insieme {a; b; c}
5. Scrivi tutti i sottinsiemi propri dell’insieme {a; b; c}
Paragrafo 4.5
Determina l’unione e l’intersezione dei seguenti insiemi:
6. A = {2; 3; 6; 1; 8; 9}; B = {6; 4; 8}
7. A = {20; 31; 16}; B = {16}
8. A = {2; 3; 6; 1; 8; 9}; B = ∅
9. A = {2; 3; 6; 9}; B = {2; 6; 9; 7; 3}
10. A = { lettere della parola “scale”}; B = {lettere della parola “case”}
11. A = { segno zodiacale }; B = {pesci; ariete; vergine; gatto; topo}
12. A = { capoluoghi di provincia della Toscana }; B = {Milano; Firenze; Livorno; Pistoia}
Determina i complementari dei seguenti insiemi, dopo aver evidenziato qual’è l’insieme universo:
13. A = { pesci; ariete; vergine}
14. A = { Lunedı̀; Martedı̀; Mercoledı̀; Domenica}
15. A = { Numeri naturali dispari}
16. A = { cittadini di Firenze nati prima del 1969}
17. A = { cittadini di Firenze nati nel 1969}
Determina la differenza A − B fra i seguenti insiemi:
18. A = {2; 3; 6; 1; 8; 9}; B = {6; 4; 8}
19. A = {20; 31; 16}; B = {16}
Alessandro Bocconi
118
20. A = {2; 3; 6; 1; 8; 9}; B = ∅
21. A = {2; 3; 6; 9}; B = {1; 5; 7}
22. A = { lettere della parola “suola”}; B = {lettere della parola “scuola”}
23. A = { segno zodiacale }; B = {pesci; ariete; vergine}
Paragrafo 4.6
Tramite i diagrammi di Eulero-Venn rappresenta le seguenti operazioni fra insiemi:
24. A ∩ B con A = {2; 3; 6; 1; 8; 9}; B = {6; 4; 8}
25. A ∩ B con A = {20; 31; 16}; B = {16}
26. A ∩ B con A = { lettere della parola “scale”}; B = {lettere della parola “case”}
27. A ∪ B con A = {2; 3; 6; 1; 8; 9}; B = ∅
28. A = {2; 3; 6; 9}; B = {2; 6; 9; 7; 3}
29. A ∪ B con A = { segno zodiacale }; B = {pesci; ariete; vergine; gatto; topo}
30. A con A = { pesci; ariete; vergine}
31. A con A = { Lunedı̀; Martedı̀; Mercoledı̀; Domenica}
32. A − B con A = {2; 3; 6; 1; 8; 9}; B = {6; 4; 8}
33. A − B con A = {20; 31; 16}; B = {16}
34. A − B con A = {2; 3; 6; 9}; B = {1; 5; 7}
35. A − B con A = { lettere della parola “suola”}; B = {lettere della parola “scuola”}
36. A − B con A = { segno zodiacale }; B = {pesci; ariete; vergine}
Paragrafo 4.8
Determinare il prodotto cartesiano dei seguenti insiemi (dopo aver evidenziato che |A| · |B| =
|AXB|)
37. A = {2; 3; 6}; B = {6; 4; 8}
38. A = {20; 31; 16}; B = {12}
39. A = {2; 3; 6; 1; 8; 9}; B = ∅
40. A = {2; 3; 6; 9}; B = {2; 6}
41. A = {s; c; i}; B = {d; o}
Sillogismi
Il sillogismo è un tipo di ragionamento deduttivo tale che, date due affermazioni (le premesse), ne
segue una terza (la conclusione).
Esempio
Premesse:
1. Tutte le nazioni hanno dei confini.
2. L’Italia è una nazione
Conclusione: L’italia ha dei confini.
Dei seguenti sillogismi vengono date le premesse e il lettore dovrà fornire la conclusione.
1. (a) Solo il ladro è entrato nella stanza.
(b) Mario è entrato nella stanza
2. (a) Sono state selezionate le ragazze più alte di un metro e sessanta
(b) Francesca è stata selezionata.
3. (a) Chi pesa di più di 80 chili sfonda la bilancia
(b) Stefania, pesandosi, non ha sfondato la bilancia.
4. (a) Per leggere quel cartello alla distanza di 20 metri ci vuole una vista perfetta.
(b) Roberto vede quel cartello alla distanza di 20 metri.
5. (a) Francesco è alto come Roberta.
(b) Roberta è alta come Simona.
Sillogismi matematici
6. (a) un numero diverso da 1 moltiplicato per 52 non può avere come risultato 52
(b) 50 moltiplicato per 52 ha come risultato 52
7. (a) Se un insieme numerico non ha un elemento maggiore di tutti gli altri significa che ha
infiniti elementi
(b) N non ha un elemento maggiore di tutti gli altri.
8. (a) Un sistema numerico è posizionale se un numero cambia cambiando l’ordine dei simboli
che lo compongono.
Alessandro Bocconi
120
(b) Nel sistema numerico del pastore un numero non cambia cambiando l’ordine dei simboli.
9. (a) Un numero è primo se è divisibile solo per 1 e per se stesso.
(b) 112081 è divisibile per 17
10. (a) Due frazioni per essere equivalenti devono avere lo stesso segno.
(b) F e G sono 2 frazioni aventi segno diverso
11. (a) Due frazioni rappresentano lo stesso numero razionale solo se sono equivalenti
(b) F e G sono 2 frazioni che rappresentano lo stesso numero razionale
12. (a) F e G sono due frazioni fra loro equivalenti
(b) G e H sono due frazioni fra loro equivalenti