Una coppia ha tre figli. Calcolare la probabilità che abbia non più di

Esercizi sulle distribuzioni binomiale e poissoniana
Esercizio n. 1
Una coppia ha tre figli. Calcolare la probabilità che abbia non più di un maschio se la
probabilità di avere un maschio od una femmina è sempre del 50% (non dipende dai figli
precedenti).
La probabilità di avere non più di un maschio, significa la probabilità di averne 0 o 1:
P = P(0 ) + P(1)
Averne 0, significa avere tre femmine: la probabilità di questo evento è 2-3. Avere un solo maschio è
un evento che può presentarsi in tre ordini diversi: MFF, FMF, FFM, ognuno dei quali ha
probabilità 2-3. Quindi:
1
3 4 1
P = P(0) + P(1) = 3 + 3 = =
8 2
2
2
Allo stesso risultato si arriva procedendo brutalmente, dando un nome ai figli, quindi
distinguendoli, e considerando tutti i casi possibili e quelli favorevoli. Quindi:
Casi possibili: FFF in 3! modi, FFM in 2 modi, FMF in 2 modi, MFF in 2 modi, FMM in 2 modi,
MFM in 2 modi, MMF in due 2, MMM in 3! modi: totale, 24 casi.
Casi favorevoli: FFF in 3! modi, FFM in 2 modi, FMF in 2 modi, MFF in 2 modi: totale, 12 casi.
Allo stesso risultato si arriva pensando che è un problema di prove ripetute: su N=3 prove (figli),
voglio la probabilità di avere al massimo k=1 risultati che mi aspetto (maschio):
1
p = =q
2 ⎛ 3⎞
⎛ 3⎞
⎛ 3⎞
⎛ 3⎞
P = PN =3 (k = 0) + PN =3 (k = 1) = ⎜⎜ ⎟⎟ p 0 q 3 + ⎜⎜ ⎟⎟ p 1 q 2 = ⎜⎜ ⎟⎟2 −0 2 −3 + ⎜⎜ ⎟⎟2 −1 2 − 2 =
⎝0⎠
⎝1⎠
⎝ 0⎠
⎝1⎠
1 4 1
3! −0 −3 3! −1 − 2
1
=
2 2 +
2 2 =1 3 +3 3 = =
8 2
0!3!
1!2!
2
2
Esercizio n. 2
Un ponte levatoio si solleva ogni 2 ore per 20 minuti. Se lo si attraversa due volte al giorno, qual è
la probabilità di trovarlo abbassato almeno 8 volte in 5 giorni consecutivi ?
Si hanno due soli eventi: ponte alzato, ponte abbassato, le cui probabilità sono rispettivamente:
q=
20 min
1
=
(120 + 20) min 7
p=
6
7
In 5 giorni il ponte viene attraversato 10 volte. La probabilità richiesta, essendoci un “almeno”, è dunque:
⎛10 ⎞
⎛10 ⎞
⎛10 ⎞
1 ⎛ 6⎞
P = ⎜⎜ ⎟⎟ p 8 q 2 + ⎜⎜ ⎟⎟ p 9 q + ⎜⎜ ⎟⎟ p 10 =
⎜ ⎟ (45 + 60 + 36 ) = 0.8383...
49 ⎝ 7 ⎠
⎝8⎠
⎝9⎠
⎝10 ⎠
8
Esercizio n. 3
Un ponte levatoio si solleva ogni 2 ore per 20 minuti. Se lo si attraversa due volte al giorno, qual è
la probabilità di trovarlo alzato almeno 1 volta al giorno in 5 giorni consecutivi ?
Si hanno due soli eventi: ponte alzato, ponte abbassato, le cui rispettive probabilità q=6/7 e p=1-q
sono state già calcolate nel problema precedente. In 5 giorni il ponte viene attraversato complessivamente 10
volte. La probabilità richiesta, però, si riferisce ad eventi che accadono in cinque giorni almeno una volta al
giorno. Quindi uno degli eventi favorevoli sarebbe, in 10 passaggi, trovare il ponte alzato 5 volte non
distribuite a caso (ad esempio 2 il primo giorno, due il secondo, una il terzo), ma una volta al giorno.
L’evento favorevole è infatti almeno una volta al giorno. Si calcoli allora la probabilità di questo evento, di
trovare almeno una volta al giorno il ponte alzato, ossia almeno una volta in due passaggi giornalieri:
1
⎛ 2⎞
⎛ 2⎞
1 12 13
p' = ⎜⎜ ⎟⎟q 2 p 0 + ⎜⎜ ⎟⎟q 1 p 1 =
+
=
49 49 49
⎝1⎠
⎝ 2⎠
Questa diventerà la probabilità p’ per 5 prove di due passaggi l’una. Dunque, la probabilità richiesta è:
~ ⎛5⎞ 5
⎛ 13 ⎞
0
P = ⎜⎜ ⎟⎟ p ' (1 − p ') = ⎜ ⎟
⎝ 49 ⎠
⎝5⎠
5
Esercizio n. 3bis
Quali sono le probabilità che le situazioni degli esercizi 1 e 2 si verifichino due volte in aprile ?
Aprile è un mese di 30 giorni, dunque di 6 gruppi da 5 giorni consecutivi. Le precedenti situazioni si
presenteranno dunque con probabilità:
) ⎛ 6⎞
4
P = ⎜⎜ ⎟⎟ p 2 (1 − p )
2
⎝ ⎠
~
dove p=P per l’esercizio 1, e p = P per il 2.
Esercizio n. 4
In una scatola sono contenute 15 palline, 8 rosse e 7 bianche. Si estrae una pallina alla volta e la si
rimette poi dentro. Qual è la probabilità di estrarre 4 bianche su 7 estrazioni ?
Si possono estrarre solo due tipi di pallina: bianca o rossa. Tali eventi hanno probabilità
rispettivamente pari a:
p=
7
15
q=
8
15
la probabilità richiesta è quindi:
⎛ 7⎞
7 483
P = ⎜⎜ ⎟⎟ p 4 q 7 − 4 = 35 7 = 0.2518....
15
⎝ 4⎠
Esercizio n. 5
In una scatola sono contenute 15 palline, 4 rosse, 7 bianche e 4 blu. Si estrae una pallina alla volta e
la si rimette poi dentro. Qual è la probabilità di estrarre 4 bianche su 7 estrazioni ?
Si possono estrarre solo due tipi di pallina: bianca o non bianca, ossia bianca o (rossa o blu). Tali
eventi hanno probabilità rispettivamente pari a:
p=
7
15
q=
4 rosse + 4 blu
8
=
15
15
ma allora la probabilità richiesta è pari a quella calcolata nel problema precedente.
Esercizio n. 5bis
In una scatola sono contenute 25 palline, 8 rosse, 7 bianche e 10 blu. Si estrae una pallina alla volta
e la si rimette poi dentro. Qual è la probabilità di estrarre: A) 4 bianche su 7 estrazioni, B) 5 blu su 10
estrazioni C) una bianca una rossa e una blu in tre estrazioni consecutive.
A) si possono estrarre solo palline bianche o non bianche, con probabilità rispettivamente pari a:
p=
7 bianche
25
q=
8 rosse + 10 blu 18
=
25
25
la probabilità richiesta è quindi:
⎛ 7⎞
PA = ⎜⎜ ⎟⎟ p 4 q 7 − 4
⎝ 4⎠
B) si possono estrarre solo palline blu o non blu con probabilità rispettivamente pari a:
2
p' =
10 blu
25
q' =
8 rosse + 7 bianche 15
=
25
25
la probabilità richiesta è quindi:
⎛10 ⎞
PB = ⎜⎜ ⎟⎟ p '5 q'10−5
⎝5⎠
C) non conviene considerare il problema usando la binomiale: basta utilizzare i già noti concetti di
probabilità. Se conta l’ordine di estrazione dei colori e le palline estratte vengono reinserite, allora:
⎛ 8 ⎞
⎛ 7 ⎞
⎛ 10 ⎞
PC = ⎜ ⎟
⋅⎜ ⎟
⋅⎜ ⎟
⎝ 25 ⎠ rossa ⎝ 25 ⎠ bianca ⎝ 25 ⎠ blu
Se invece l’ordine di estrazione non conta, e le palline vengono sempre reinserite:
⎛ 10 ⎞
⎛ 7 ⎞
⎛ 8 ⎞
ni ⎜
PC = (3!)3permutazio
⋅⎜ ⎟
⋅⎜ ⎟
⎟
colori
⎝ 25 ⎠ rossa ⎝ 25 ⎠ bianca ⎝ 25 ⎠ blu
Se le palline non vengono reinserite una volta estratte, e conta l’ordine, allora:
⎛ 8 ⎞
⎛ 7 ⎞
⎛ 10 ⎞
⋅⎜ ⎟
⋅⎜ ⎟
Pc = ⎜ ⎟
⎝ 25 ⎠ rossa ⎝ 24 ⎠ bianca ⎝ 23 ⎠ blu
Se le palline non vengono reinserite una volta estratte, e non conta l’ordine, allora:
⎛ 8 ⎞
ni ⎜
Pc = (3!)3permutazio
⎟
colori
⎝ 25 ⎠ rossa
⎛ 7 ⎞
⋅⎜ ⎟
⎝ 24 ⎠ bianca
⎛ 10 ⎞
⋅⎜ ⎟
⎝ 23 ⎠ blu
risultato che si ottiene anche pensando di prendere le palline assieme a tre a tre, senza guardare:
⎛10 ⎞ ⎛ 25 ⎞
⎛ 8⎞ ⎛ 7 ⎞
⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟
Pc = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟
1
1
⎝ ⎠ rossa ⎝ ⎠ bianca ⎝ 1 ⎠ blu ⎝ 3 ⎠
−1
⎛ 8 ⎞
⎛ 7 ⎞
⎛ 10 ⎞
ni ⎜
= (3!)3permutazio
⋅⎜ ⎟
⋅⎜ ⎟
⎟
colori
⎝ 25 ⎠ rossa ⎝ 24 ⎠ bianca ⎝ 23 ⎠ blu
Esercizio n. 6
In una scatola sono contenute 250 palline, 150 rosse, 95 bianche e 5 blu. Si estrae una pallina alla
volta e la si rimette poi dentro. Qual è la probabilità di estrarre: A) 4 bianche su 7 estrazioni, B) 5 blu su 10
estrazioni ? In entrambi i casi, si può utilizzare una poissoniana ?
A) seguendo la traccia del problema precedente si calcola immediatamente:
⎫
⎛ 7⎞
155
95
⎫ ⎧
⎧
= 0.38 q =
= 1 − 0.38⎬ ⇒ ⎨ PA = ⎜⎜ ⎟⎟ p 4 q 7 − 4 = 0.17393120...⎬
⎨p =
250
250
⎭ ⎩
⎩
⎝ 4⎠
⎭
Si può utilizzare una poissoniana ? Be’, di fatto no: la probabilità p è alta ed N piccolo. Infatti:
4
⎫
95
⎫ ⎧
⎧
−m m
= 0.1459...⎬
= 2.66⎬ ⇒ ⎨ P(4 ) = e
⎨m = Np = 7 ⋅
250
4!
⎭ ⎩
⎩
⎭
il che dà un errore relativo del:
∆P 0.17393... − 0.1459...
=
≈ 16%
P
0.17393...
B) dal problema 5:
⎫
⎛10 ⎞ 5 5 245 5
245
5
⎫ ⎧
⎧
−6
0
.
7289
...
10
=
⋅
= 0.02 q =
= 0.98⎬ ⇒ ⎨ PB = ⎜⎜ ⎟⎟
⎬
⎨p =
10
250
250
⎭ ⎩
⎩
⎝ 5 ⎠ 250
⎭
Si può utilizzare una poissoniana ? Ancora no: p è piccola, ma N anche:
5
⎫
5
⎫ ⎧
⎧
−m m
= 2.183... ⋅ 10 −6 ⎬
= 0.2⎬ ⇒ ⎨ P(5) = e
⎨m = Np = 10 ⋅
250
5!
⎭ ⎩
⎩
⎭
3
il che dà un errore relativo del:
∆P 0.7289... − 2.183...
=
≈ 200%
P
0.7289...
Si vede quindi che PB è sì così piccola da far pensare che l’evento sia raro, ma non lo è in realtà “nel senso di
Poisson”, secondo il quale un evento è raro a seconda della sua piccola probabilità, ma anche a seconda del
numero delle prove. In questi casi il problema è risolvibile con una Bernoulliana.
Esercizio n. 6bis
In una scatola sono contenute 250 palline, 245 rosse e 5 blu. Si estrae una pallina alla volta e la si
rimette poi dentro. Qual è la probabilità di estrarre 5 blu su 200 estrazioni ? Si può utilizzare una
poissoniana ? E se sì, che errore si avrà ?
Dal problema 6 si calcola immediatamente la probabilità richiesta:
5
⎧
⎨p =
250
⎩
q=
⎫
⎛ 200 ⎞ 5 5 245195
245 ⎫ ⎧
⎟⎟
⎜⎜
P
= 0.157878...⎬
⇒
=
⎬ ⎨
200
250 ⎭ ⎩
⎝ 5 ⎠ 250
⎭
Si può utilizzare una poissoniana ? Si faccia direttamente la prova:
5
⎫
5
⎫ ⎧
⎧
−m m
(
)
⇒
=
= 0.156293...⎬
4
5
m
Np
P
e
200
=
=
⋅
=
⎬ ⎨
⎨
250
5!
⎭ ⎩
⎩
⎭
risultato ottimo se si accetta una probabilità al:
∆P 0.157878... − 0.156293...
=
= 0.0100... ≈ 1%
0.157878...
P
La buona approssimazione è legata al fatto che ha senso porsi il problema dell’approssimazione poissoniana:
le prove sono molte e la p piccola. Si noti tuttavia che se le prove fossero state 500:
5
⎧
⎨p =
250
⎩
q=
⎫
⎛ 500 ⎞ 5 5 245 495
245 ⎫ ⎧
⎜⎜
⎟⎟
P
= 0.03706928...⎬
⇒
=
⎬ ⎨
500
250 ⎭ ⎩
⎝ 5 ⎠ 250
⎭
5
⎫
5
⎫ ⎧
⎧
−m m
(
)
500
10
⇒
5
=
= 0.03783327...⎬
m
Np
P
e
=
=
⋅
=
⎬ ⎨
⎨
250
5!
⎭ ⎩
⎩
⎭
mentre:
∆P
= 0.02... ≈ 2%
P
risultato peggiore del precedente. Questo ancora perché quello che possiamo definire raro in uno schema
bernoulliano, guardando solo quanto è piccolo p, non è detto che sia raro in una poissoniana, in cui conta il
prodotto Np: nell’approssimare l’una con l’altra questo può dar problemi… In generale, un criterio di
idoneità dell’approssimazione poissoniana è:
( p << 0.1) ∩ (Np ≈ 5)
dove il “5” è di riferimento.
Esercizio n. 7
Un arciere molto poco esperto lancia frecce contro un bersaglio. La probabilità che lo colpisca è del
50%. Qual è la probabilità che lo colpisca 10 volte in 11 lanci ?
Applicazione pedissequa della formula di Bernoulli:
⎧
11⎞ 1
11 ⎫
⎟⎟ 11 = 11 ⎬
2 ⎭
⎝10 ⎠ 2
{p = 50%} ⇒ ⎧⎨ p = 1 ⎫⎬ ⇒ ⎨P = ⎛⎜⎜
⎩
2⎭
4
⎩
Esercizio n. 7bis
Un arciere lancia frecce contro un bersaglio. Essendo alle prime armi e molto distratto la
probabilità che lo colpisca è del 50%. Il bersaglio è composto da quattro cerchi concentrici di raggi,
rispettivamente, 1 cm, 3 cm, 6 cm, 10 cm, ossia da un cerchio centrale e 3 settori circolari, cui vengono
assegnati, rispettivamente, 100, 50, 25 e 10 punti. Non colpire il bersaglio porta 0 punti. Qual è la
probabilità che in quattro lanci l’arciere totalizzi esattamente: A) 400 punti, B) 100 punti, C) 60 punti.
A) C’é un solo modo per ottenere esattamente 400 punti: fare quattro centri con quattro tiri. Se la
probabilità di fare 100 punti con un tiro è p, la probabilità richiesta sarà quindi (Bernoulli):
⎛ 4⎞
PA = ⎜⎜ ⎟⎟ p 4 q 0
⎝ 4⎠
Il problema è che non è dato p, che può tuttavia ricavarsi dagli altri dati nel seguente modo. L’arciere è stato
definito poco esperto e distratto, e soprattutto in grado di colpire il bersaglio, in qualunque punto, nel 50%
dei tiri. Tali informazioni significano che di fatto la sua mira è in grado di “risolvere” gli eventi “bersaglio
colpito” e “bersaglio non colpito”, ma non in grado di “risolvere” gli eventi “100 punti”, “50 punti”… In
altri termini, se la domanda fosse stata, qual è la probabilità che su 4 tiri colpisca il bersaglio 3 volte, si
sarebbe riconosciuto uno schema di prove ripetute con p=q=50%=1/2, e la risposta sarebbe stata:
⎛ 4⎞
4
P = ⎜⎜ ⎟⎟ p 3 q 1 = 4
2
⎝ 3⎠
ma non si sarebbe potuto dire il suo punteggio. Adesso, invece, lo si richiede. Ebbene: dire, come fatto, che
la sua mira è in grado di “risolvere” gli eventi “bersaglio colpito” e “bersaglio non colpito”, ma non gli
eventi “100 punti”, “50 punti”… vuol dire che le frecce che colpiscono il bersaglio non sono influenzate
dalla mira dell’arciere. Si può quindi assumere che le zone del bersaglio con area maggiore avranno
probabilità maggiore di essere colpite, ossia che la probabilità di colpire una certa area sia proporzionale al
suo valore. Si ricorda ora che l’area del cerchio (vero ?) si esprime in funzione del suo raggio r (vero ?)
come (vero ?):
A = πr 2
e quindi quella di una corona circolare di raggio interno r ed esterno R sarà:
A = π (R 2 − r 2 )
Ne segue che le aree delle zone, che si contrassegneranno con il relativo punteggio, allontanandosi dal centro
del bersaglio saranno:
A100 = πcm2
(
)
A50 = π 32 − 1 cm2 = 8 A100
(
)
A25 = π 6 2 − 32 cm2 = 27A100
(
)
A10 = π 102 − 62 cm2 = 64A100
da cui:
A100 = πcm2
A50 = 8 A100
A25 = 27A100
A10 = 64A100
quindi, ad esempio, in un solo tiro è 8 volte più probabile fare 50 che 100. Ne segue che, se p è la probabilità
di colpire il centro del bersaglio, e la probabilità di colpire un’area sarà a questa proporzionale, allora, le
probabilità di colpire le zone cui competono 50, 25, 10 punti sono rispettivamente:
p50 = 8 p
p 25 = 27 p
p10 = 64 p
Ora, dato che l’arciere o colpisce o non colpisce il bersaglio, ossia, la somma delle probabilità di colpire una
qualunque zona o di non colpire affatto il bersaglio deve essere pari ad 1, si ha:
p + p50 + p 25 + p10 + q = 1
e quindi:
p + 8 p + 27 p + 64 p + q = 1
Inoltre, è noto che l’arciere colpisce il bersaglio una volta su due, ossia:
5
⎧
⎨q =
⎩
1⎫ ⎧
1 ⎫ ⎧
⎬ ⇒ ⎨ p + 8 p + 27 p + 64 p + = 1⎬ ⇒ ⎨ p (1 + 8 + 27 + 64 ) =
2⎭ ⎩
2 ⎭ ⎩
1⎫ ⎧
1 ⎫
⎬ ⇒ ⎨p =
⎬
2⎭ ⎩
200 ⎭
da cui quanto si cercava:
⎛ 4⎞
1
PA = ⎜⎜ ⎟⎟ p 4 q 0 =
200 4
⎝ 4⎠
B) Per totalizzare esattamente 100 punti con 4 lanci l’arciere può colpire 4 volte l’area con punteggio 25, 2
volte quella con punteggio 50 e 2 volte non colpire il bersaglio, in qualunque ordine, 1 volta quella con
100 punti e 3 volte mancare il bersaglio, in qualunque ordine, 2 volte quella con punteggio 25, 1 volta il
50 ed una non colpire il bersaglio, in qualunque ordine:
PB = P(100,0,0,0 ) + P(50,50,0,0 ) + P(25,25,25,25) + P(25,25,50,0 )
quindi, dalla probabilità dell’intersezione di eventi e considerando le permutazioni con ripetizione dei
punteggi detti (non conta l’ordine con cui sono ottenuti ma la loro somma):
PB =
4!
4!
4! 4 4! 2
+ p 25 p50 q
p100 qqq +
p50 p50 qq + p 25
3!
2!2!
4!
2!
PB =
4 1
6 64
27 4
4! ⎛ 27 ⎞ 8 1
+
+
+ ⎜
⎟
3
2
2
4
200 2
2! ⎝ 200 ⎠ 200 2
2 200
200
ossia:
2
dove, si noti, la probabilità di ottenere quattro tiri con risultato 25 poteva calcolarsi con la distribuzione
bernoulliana come:
⎛ 4⎞ 4
27 4
⎜⎜ ⎟⎟ p 25 (1 − p 25 )0 =
200 4
⎝ 4⎠
A conti fatti, dunque:
2
PB =
1
96
27 4 ⎛ 27 ⎞ 48
+
+
+⎜
⎟
400 200 2 200 4 ⎝ 200 ⎠ 200
C) Per totalizzare esattamente 60 punti con 4 lanci l’arciere può colpire 1 volta ciascuna le aree con
punteggio 50 e 10, e 2 volte non colpire il bersaglio, in qualunque ordine, o 2 volte quella con 25 punti e
poi realizzare un 10 ed uno zero mancando il bersaglio, in qualunque ordine :
PC = P(50,10,0,0) + P(25,25,10,0)
quindi, dalla probabilità dell’intersezione di eventi e considerando le permutazioni con ripetizione:
PC =
4!
4!
p50 p10 qq + p 25 p 25 p10 q
2!
2!
ossia:
PC =
24 ⋅ 64 6 ⋅ 27 2 ⋅ 64 587136
+
=
= 0.073392
200 2
200 3
200 3
Esercizio n. 7ter
Qual è la probabilità che in quattro lanci l’arciere dell’esercizio 9 totalizzi almeno 100 punti ?
Per totalizzare almeno 100 punti l’arciere in 4 tiri può, 1) colpire almeno una volta il 100, 2) colpire
almeno due volte il 50; 3) colpire (almeno) 4 volte il 25; 4) colpire (almeno) 2 volte il 25 ed una il 50. Per
calcolare le probabilità dei primi due eventi conviene passare agli eventi complementari: 1’) non colpire
neanche una volta su 4 il cento, 2’) una o nessuna volta su 4 il 50. Per il terzo ed quarto si calcolerà il tutto
direttamente. Si cominci con 1’) neanche una volta su 4 il 100: basta pensare ad uno schema di Bernoulli
con:
6
p=
1
200
q = 1−
1
199
=
200 200
da cui:
Pno100
⎛ 4⎞
⎛ 199 ⎞
= ⎜⎜ ⎟⎟ p 0 q 4 = ⎜
⎟
⎝ 200 ⎠
⎝ 0⎠
4
2’) una o nessuna volta su 4 il 50: stavolta:
8
⎧
⎨p =
200
⎩
q = 1−
4
3
⎛ 4 ⎞ 0 4 ⎛ 4 ⎞ 3 ⎛ 192 ⎞
32 ⎛ 192 ⎞ ⎫⎪
8
192 ⎫ ⎧⎪
⎟
⎟
⎜
⎜
=
+
⇒
=
=
+
P
p
q
pq
⎜
⎟
⎜
⎟
⎬ ⎨ no 2 volte 50 ⎜ ⎟
⎬
⎜ 1⎟
200 ⎝ 200 ⎠ ⎪⎭
200 200 ⎭ ⎪⎩
⎝ 200 ⎠
⎝ ⎠
⎝ 0⎠
3) Visto che i tiri sono 4, alla probabilità di avere almeno 100 punti contribuisce l’evento “colpire 4 volte su
4 il 25”. La sua probabilità è:
⎛ 27 ⎞
= 1− ⎜
⎟
⎝ 200 ⎠
P4volte 25
4
4) se si deve colpire due volte il 25 e una il 50, la quarta freccia può far quel che vuole:
Pdue 25un 50& =
4! 2
2!
1
⎛
⎞ 1054720
p 25 p50 ⎜ p 0 + p10 + p 25 + p50 + p100 ⎟ =
2!
3!
2!
200 4
⎝
⎠
dove i fattoriali tengono conto delle ripetizioni.
Passando allora agli eventi opposti per i primi due casi e sommando gli altri due:
⎡⎛ 4 ⎞⎛ 192 ⎞ ⎛ 4 ⎞ 8 ⋅ 1924 ⎤
⎛ 4 ⎞⎛ 199 ⎞
P = (1 − Pno100 ) + (1 − Pno 2volte50 ) + P4volte 25 + Pdue 25un50& = 1 − ⎜⎜ ⎟⎟⎜
+
⎟ + 1 − ⎢⎜⎜ ⎟⎟⎜
⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟
4 ⎥
⎝ 0 ⎠⎝ 200 ⎠
⎣⎢⎝ 0 ⎠⎝ 200 ⎠ ⎝ 1 ⎠ 200 ⎦⎥
4
4
4
4
4
4
8 ⋅ 1924 ⎛ 27 ⎞ ⎫⎪ 1054720
⎪⎧⎛ 199 ⎞ ⎛ 192 ⎞
⎛ 27 ⎞ 1054720
+⎜
= 2 − ⎨⎜
+⎜
⎟ +
⎟ +⎜
⎟ +4
⎟ ⎬+
4
4
200
200
2004
⎪⎩⎝ 200 ⎠ ⎝ 200 ⎠
⎝ 200 ⎠
⎝ 200 ⎠ ⎪⎭
Facendo tutti i (lunghi) calcoli:
P = (1 − Pno100 ) + (1 − Pno 2 volte50 ) + P4volte 25 + Pdue 25un 50& = 0.292059453125
Esercizio n. 8
Il 3% di elettrodomestici prodotti da una fabbrica sono difettosi. Determinare che su un campione di
100, A) più di 5, B) tra 1 e 3, C) 2 o meno di 2 lo siano.
La probabilità che un elettrodomestico sia difettoso è:
p=
3
100
quindi a tutte le domande potrebbe rispondersi con una binomiale: ad esempio:
A) P = 1 − ⎡⎢⎛⎜100 ⎞⎟ p 0 q 100 + ⎛⎜100 ⎞⎟ p 1 q 99 + ⎛⎜100 ⎞⎟ p 2 q 98 + ⎛⎜100 ⎞⎟ p 3 q 97 + ⎛⎜100 ⎞⎟ p 4 q 96 + ⎛⎜100 ⎞⎟ p 5 q 95 ⎤⎥
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎣⎝ 0 ⎠
⎝ 1 ⎠
⎝ 3 ⎠
⎝ 2 ⎠
⎝ 4 ⎠
⎝ 5 ⎠
⎦
Tuttavia, 1) si vede che:
Np = 3 ≤ 5
quindi, invece di utilizzare la binomiale è lecito utilizzare una poissoniana per salvarsi dai lunghi calcoli; ne
viene:
⎛ 30 31 3 2 33 3 4 35 ⎞
PA = 1 − e −3 ⎜⎜ + +
+ +
+ ⎟⎟ = 0.0839... ≈ 8.4%
⎝ 0! 1! 2! 3! 4! 5! ⎠
⎛ 31 3 2 33 ⎞
PB = e −3 ⎜⎜ +
+ ⎟⎟ = 0.597... ≈ 59.7%
⎝ 1! 2! 3! ⎠
⎛ 3 0 31 3 2 ⎞
PC = e −3 ⎜⎜ + + ⎟⎟ = 0.4321... ≈ 43.2% ]
⎝ 0! 1! 2! ⎠
Come ulteriore esercizio è utile controllare l’errore relativo sulle probabilità calcolate con la poissonana
rispetto a quelle calcolate con una distribuzione bernoulliana. Buon lavoro.
7
Esercizio n. 8bis
La percentuale di portatori sani di una caratteristica genetica in una popolazione è lo 0.8%. Su
10000 individui, qual è la probabilità che almeno 2 siano portatori ?
Il problema, ancora, potrebbe risolversi con una binomiale. Tuttavia la natura dell’osservabile, una
caratteristica genetica, fa pensare che l’informazione “0.8 %” sia da pensarsi come informazione media
ricavata un numero grandissimo di prove. Si noti che solo in base a ciò si utilizza una poissonina, in quanto
si ha:
Np = 10 4
0.8
8
= 10 4
= 80
100
1000
che però è molto lontano dal “riferimento” 5…. Ne segue, calcolando la probabilità come quella dell’evento
opposto che solo 0 od 1 siano portatori:
⎛ 80 0 801 ⎞
⎟ ≈1
+
P = 1 − e −80 ⎜⎜
1! ⎟⎠
⎝ 0!
Esercizio n. 9
É noto al 2% il numero medio di incidenti in un mese dopo 12 mesi di osservazioni. Per quanti mesi
si devono registrare dati per avere una stima all’1% ?
Possono descriversi con una distribuzione poissoniana fenomeni che sono caratterizzati da un flusso
costante di eventi, con il che si intende il numero medio di eventi in un certo intervallo di tempo: numero di
conteggi al secondo, numero di particelle al minuto, in questo caso numero di incidenti in un mese. Il flusso
è costante nel senso che contando il numero di eventi su intervalli di tempo differenti, e rapportandolo al
tempo, si ha:
N (t )
N (t ')
= f =
t
t'
Il parametro m della poissoniana, suo valor medio e varianza, è poi legato al flusso da:
N (t ) = ft = m = var( x ) = σ 2
per la definizione stessa di flusso come numero medio di eventi (m) per unità di tempo. Ne segue:
∆N
=
N
var N σ
m
1
= =
=
N
m
m
m
Applicando ciò al problema, mediante il flusso f di incidenti al mese si ha:
⎧⎪
∆N
1
1 ⎫⎪ ⎧
50 2 1 ⎫
=
=
⎨2% = 0.02 =
⎬⇒ ⎨f =
⎬
N
12 mese ⎭
m
12 f ⎪⎭ ⎩
⎪⎩
da cui quindi il flusso, costante del fenomeno “incidenti osservati”. Quindi:
⎧⎪
⎫
∆N
1
1 ⎫⎪ ⎧
100 2 100 2
=
=
12mesi = 48mesi ⎬
=
⎨1% = 0.01 =
⎬ ⇒ ⎨x =
2
N
f
50
m
xf ⎪⎭ ⎩
⎪⎩
⎭
Esercizio n. 9bis
Una sorgente emette un flusso di 40.5 particelle al minuto. Quanti minuti si deve attendere per
conoscere il numero all’1% ?
Il problema è espresso in una forma classica molto scarna. Si potrebbe riformularlo così:
A detta del costruttore, una sorgente emette in media 40.5 particelle al minuto. Il costruttore avrà
certamente misurato il numero di particelle emesse in un lungo lasso di tempo, calcolando poi la media al
minuto. Si vorrebbe sapere quanto si deve attendere per ottenere nel nostro laboratorio un numero di
particelle affetto da un errore relativo dell’1%.
8
Sappiamo che un tale evento, emissione di particelle, segue una distribuzione di Poisson. L’errore
relativo sul numero medio si esprime quindi come, in varie notazioni:
var N σ
m
1
= =
=
N
m
m
m
∆N
=
N
Ora, se in un minuto vengono emesse 40.5 particelle, in n minuti verranno emesse 40.5n particelle:
⎧
1
∆N
1
=
=
=
⎨1% =
100
N
m
⎩
⎫ ⎧
10000
⎫
min ≈ 247 min ⎬
⎬ ⇒ ⎨n =
40.5
40.5n ⎭ ⎩
⎭
1
Esercizio n. 9ter
Se su 10 minuti si conosce il numero di particelle emesse al 2%, qual è il flusso della sorgente ?
Variazione pedissequa del problema precedente:
⎧⎪
1
1
=
⎨0.02 =
m
10 min f min −1
⎪⎩
(
)
⎫⎪ ⎧
50 2 1 ⎫
f
⇒
=
⎬
⎬ ⎨
10 min ⎭
⎪⎭ ⎩
si riottene infatti 40.5 particelle al minuto sostituendo i dati precedenti.
Esercizio n. 10
In un processo vengono emessi 10 ioni al microsecondo. Come posso migliorare la stima del numero di
particelle emesse fino a portarla allo 0.1% ?
Ancora, dal problema precedente, definendo con n il tempo di misura in microsecondi:
⎧⎪ ∆N
⎫
1
1 ⎫⎪ ⎧
1
10 6
= 0.001 =
=
s
s = 0.1s ⎬
=
⎨
⎬ ⇒ ⎨n =
2
7
f 0.001
10
m
nf ⎪⎭ ⎩
⎪⎩ N
⎭
ossia, attendendo 0.1 s si ha la stima alla precisione richiesta.
Esercizio n. 10bis
In un call-center, si fanno 10 telefonate al minuto per pubblicizzare un certo evento. Si hanno in
media 5 adesioni su 1000. Qual è la probabilità che in un’ora si abbiano A) 3 adesioni; B) 10 adesioni; C)
un numero di adesioni pari al numero aspettato ? D) un numero di adesioni pari al numero aspettato su
quaranta minuti ?
Il flusso fornito si riferisce alle telefonate, non alle adesioni. Il flusso di adesioni sarà:
f ' = fp = 10 ⋅
5 adesioni
1000 min
che significa, in un’ora, un numero medio di adesioni pari a:
m = f '60 min =
50 adesioni
60 min = 3adesioni
1000 min
Quindi:
PA = e −3
33
310
= 0.224... PB = e −3
= 0.00081...
3!
10!
Ora, che significa “pari al numero aspettato” ? Significa pari al valor medio, noto il flusso, nell’intervallo di
tempo considerato. Nei due casi delle domande C e D:
mora = 3 m1 / 2ora = f '40 min = 2
Quindi, il primo caso è stato già affrontato, mentre il secondo dà:
PD = e
−2
22
= 0.2706705...
2!
9