Matematica

Esame Svizzero di Maturità
Locarno, giugno 2013
Gruppo e n°: .............................................................
Nome e Cognome: …...................................................................................
Matematica
(livello di competenza superiore)
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La durata dell'esame è di 4 ore.
Gli esercizi 1 e 2 sono obbligatori.
Degli esercizi 3, 4 e 5 saranno considerati solo i due risolti meglio.
Ogni esercizio risolto in modo completo e corretto vale 10 punti.
La nota 6 è conseguita con 40 punti.
È permesso l'uso delle tavole numeriche CRM-CRP, Tables numériques, Formulari e tavole oppure
DMK-DPK, Formeln und Tafeln senza annotazioni né aggiunte personali.
È permesso l'uso di una calcolatrice non programmabile e priva di display grafico, che non possa
emettere né ricevere informazioni a distanza.
Passaggi poco chiari o mancanti, imprecisioni, presentazioni disordinate delle soluzioni,
pregiudicano la valutazione.
Per ottenere la nota 6 si devono risolvere in modo completo e corretto i due
esercizi obbligatori e due dei tre problemi a scelta.
1
Prima parte: Esercizi obbligatori
Esercizio 1
Rispetto ad un sistema di riferimento cartesiano ortonormato Oxyz sono dati i punti
A(9,-2,1), B(3,4,1), C(5,6,9) e M(1,5,-1)
Verificare che punti A, B, C, M sono complanari e trovare l'equazione cartesiana del piano α che li
contiene.
ii. Verificare che il triangolo ABC è isoscele e rettangolo in B.
iii. Trovare le coordinate del punto D in modo che ABCD sia un quadrato.
iv. Trovare le coordinate di un punto S, in modo che ABCDS sia una piramide di base ABCD, le cui
facce sono costituite da triangoli equilateri.
v. Considerare nel piano α la circonferenza di centro M e tangente in un punto T alla retta passante da
A e C. Trovare il raggio della circonferenza e le coordinate del punto T.
i.
Esercizio 2
Consideri la funzione reale
f:x
2
y=(2x +3x) e
x
.
i.
ii.
Determinare nella forma più semplice f '( x ) e f ' '( x ) .
(n)
2
2
x
Dimostrare per induzione completa che f =(2x +( 4n+3) x+2n +n)e .
(n)
( f ( x ) indica la derivata n-esima di f ( x ) )
iii. Eseguire lo studio di f, in particolare sono richiesti:
• eventuali punti di intersezione con gli assi cartesiani;
• eventuali asintoti;
• estremi, monotonia; flessi, concavità;
• una rappresentazione grafica (unità: 4 quadretti).
x
iv. Determinare i coefficienti a, b, c in modo che la funzione F( x)=(ax² +bx +c ) e sia una primitiva di
f (x) .
Seconda parte: Esercizi a scelta
Esercizio 3
Due bastoncini di lunghezza data a, uniti ad una estremità e liberi di muoversi all'altra, costituiscono i lati di
una famiglia di triangoli isosceli.
Indichiamo con 2x l'angolo al vertice del triangolo.
Questo viene fatto ruotare di 360° attorno alla base PQ.
i.
ii.
Esprimere in funzione di x il volume del solido di rotazione così ottenuto.
Studiare gli estremi di questa funzione nell'intervallo 0≤x≤ π .
2
2
Esercizio 4
Considerare in ℂ i numeri z1 =1−i e z 2 =1−i⋅√ 3
A = {z =x +i⋅y ∈ℂ ∣ ∣ z 1⋅z −2i ∣= 2
i.
ii.
Caratterizzare e rappresentare nel piano di Gauss l'insieme
Scrivere z 1 e z 2 in forma polare.
14
z1
iii. Dimostrare che il numero
è immaginario puro.
i
}
( )
5
iv. Trovare la forma polare e la forma cartesiana del numero
v.
z=
(z 1 )
.
4
( z2 )
Sfruttando i risultati trovati nel punto precedente, ricavare il valore esatto di cos ( π ) e di
12
sin( π ) .
12
Esercizio 5
Un bersaglio per il gioco delle freccette ha la forma di un rombo ed è diviso in tre
zone, S1 , S2 , S3 come illustrato nella figura.
Ogni volta che Gianni lancia una freccetta la probabilità che colpisca il bersaglio è del
75%.
Gianni guadagna 1 punto se colpisce il settore S1, 2 se raggiunge S2 , 3 se raggiunge
S3. Nessun punto se non colpisce il bersaglio.
Inoltre la probabilità di colpire ciascuna zona è proporzionale alla sua area.
Per determinare queste aree, si consideri il grafico delle funzioni
x( 4−x)
x(4−x)
e g :x→ y=
nell'intervallo [0; 4] , che
f :x→ y=
6
2
corrispondono alle linee che delimitano i settori e le due rette t1 e t2,
tangenti al grafico di g nei suoi punti di intersezione con l'asse x, che
delimitano il bersaglio stesso (nella parte superiore, il bersaglio è
simmetrico).
64
16
32
,
,
.
9
3
9
ii. Verificare che le probabilità che la freccetta lanciata da Gianni raggiunga il bersaglio e lo colpisca
1
1
1
rispettivamente nel settore S1 , S2 , S3 sono
,
,
.
6
3
4
iii. Se Gianni lancia due frecce, qual è la probabilità che totalizzi almeno 1 punto?
i.
Verificare che le aree delle tre regioni S1 , S2 , S3 sono rispettivamente
iv. Sapendo che, dopo aver lanciato due freccette Gianni ha totalizzato 3 punti, qual è la probabilità che
abbia colpito entrambe le volte il bersaglio?
3