A. Maffucci: Circuiti in regime stazionario ver3-2005 Università degli Studi di Cassino Esercitazioni di Elettrotecnica: circuiti in regime stazionario Antonio Maffucci ver.3 – settembre 2005 2 A. Maffucci: Circuiti in regime stazionario ver3-2005 A. Maffucci: Circuiti in regime stazionario ver3-2005 1. Serie, parallelo e partitori. ES. 1.3 - Calcolare la Req vista ai morsetti A-B e quella vista ai morsetti C-D. R1 ES. 1.1 Calcolare la resistenza equivalente vista ai capi del generatore E. R5 C A R2 E + R1 = 1 Ω R2 = 4 Ω R3 R1 R1 = R2 = 5 Ω R3 = 10 Ω R4 = 4 Ω R5 = 3 Ω D B R3 = 3 Ω R4 = 2 Ω R4 R2 R6 R3 R6 = 2 Ω R4 Risultato: ReqAB = 7.125 Ω, ReqCD = 1.600 Ω. Utilizzando l’equivalenza serie e parallelo, il circuito di resistenze visto da E si può ridurre ad un unico resistore attraverso i seguenti passi: ES. 1.4 - Calcolare la Req vista ai morsetti A-B e quella vista ai morsetti C-D. E + R1 ⇔ RA R2 R A = R3 + R4 = 5 Ω E + R1 RB ⇔ E + R2 A Req R5 C R1 = R3 = 0.2 Ω R2 = 0.4 Ω RB = R A // R2 = R A R2 = 2.22 Ω R A + R2 R1 R4 R3 B Req = RB + R1 = 3.22 Ω R6 R4 = R5 = 1 Ω R6 = 3 Ω D Risultato: ReqAB = 0.147 Ω, ReqCD = 0.126 Ω. ES. 1.2 Calcolare la resistenza equivalente vista dal generatore J. R3 ES. 1.5 - Calcolare il valore di R4 tale che ai morsetti A-B si abbia Req = R . R4 R1 = R4 = 5 Ω R2 = 3 Ω J R1 R5 R2 R3 = R5 = 2 Ω Utilizzando l’equivalenza serie e parallelo, il circuito di resistenze visto da E si può ridurre ad un unico resistore attraverso i seguenti passi: R3 RB R1 A R2 R3 B R4 R1 = R2 = R R3 = R / 2 Risultato: R4 = 2 R. ES. 1.6 - Calcolare la Req vista ai morsetti A-B e quella vista ai morsetti C-D. J RA ⇔ RC J RA ⇔ J Req A R1 R A = R4 + R5 = 7 Ω RR RB = 1 2 = 1.87 Ω R1 + R2 RC = RB + R3 = 3.87 Ω Req = R A RC = 2.49 Ω R A + RC B C R4 R3 R5 R2 D R1 = 2.3 mΩ R2 = 1.4 mΩ R3 = 1 mΩ, R4 = 3 mΩ, R5 = 0.8 mΩ Risultato: ReqAB = 0.47 mΩ, ReqCD = 0.63 mΩ. 3 4 A. Maffucci: Circuiti in regime stazionario ver3-2005 A. Maffucci: Circuiti in regime stazionario ver3-2005 ES. 1.9 - Calcolare la potenza erogata dal generatore E e quella assorbita dal resistore R5 ES. 1.7 - Calcolare la tensione v3 usando il partitore di tensione. iE + v3 − E + E E = 220 V R3 R1 R3 R1 + R5 i5 R4 R2 R1 = 10 Ω R2 = 2 Ω R3 = 3 Ω R4 = 5 Ω R5 = 2 Ω R1 = 50 Ω R2 E = 10 V R2 = R3 = 100 Ω Scegliendo le correnti come in figura, le potenze richieste sono date da: PEerog = Ei E , PR = R5 i52 . Il partitore di tensione si applica a due resistori in serie, quindi occorre preliminarmente ricondursi alla rete equivalente seguente: 5 La i E si valuta a partire dal calcolo della resistenza equivalente vista ai capi del generatore: R1 + E iE + v3 RA R R R A = R2 // R3 = 3 2 = 50 Ω R3 + R2 − E R A = R4 // R5 i3 R1 iE = E = 0.88 A Req i3 iE E J = 10 mA R1 + R2 R2 = 3 µΩ R2 R2 + RB quindi ricaviamo i5 ripartendo i3 tra i resistori R4 ed R5 : i3 RA i3 = iE RB R1 = R3 = 5 µΩ R3 i5 = i3 Il partitore di corrente si applica a due resistori in parallelo, quindi occorre riferirsi alla rete equivalente seguente: R1 ⇒ Nota la corrente i E , si può ricavare la i5 applicando due volte il partitore di corrente. Dapprima ricaviamo i3 dalla rete equivalente seguente RA = 110 V . R A + R1 R2 J Req = R1 + RC = 11.36 Ω da cui si ricava: PEerog = 8.80 W . ES. 1.8 - Calcolare la corrente i3 usando il partitore di corrente. J ⇒ R B = R3 + R A Req RC = R B // R2 Applicando ora il partitore di tensione si ha: v3 = E + R4 = 0.19A R4 + R5 ⇒ PR5 = 72.20 mW . ES. 1.10 - Calcolare la potenza erogata dal generatore J e quella assorbita dal resistore R1 . R3 R A = R2 + R3 = 8 µΩ R4 J =5 A R1 Applicando ora il partitore di corrente si ha (tenuto conto dei versi): R1 = −3.84 mA. i3 = − J R A + R1 J R2 R5 R1 = R4 = 5 Ω R2 = 3 Ω R3 = R5 = 2 Ω Risultato: PJerog = 62.25 W , PR1 = 7.25 W . 5 6 A. Maffucci: Circuiti in regime stazionario ver3-2005 ES. 1.11 - Calcolare la potenza erogata dal generatore e quella assorbita da ogni resistore. Verificare la conservazione delle potenze. A. Maffucci: Circuiti in regime stazionario ver3-2005 2. Sovrapposizione degli effetti. ES. 2.1 - Calcolare la potenza totale erogata dai generatori. J = 10 A R3 R1 R4 J R2 R1 = 2 Ω R2 = 10 Ω R2 R3 = 20 Ω R4 = 15 Ω R1 J Risultato: PJerog = 0.886 kW, PR1 = 0.023 kW, PR2 = 0.004 kW, PR3 = 0.335 kW, PR4 = 0.524 kW. E + R1 R2 R1 = R2 = 3 Ω R3 = 2 Ω R4 = 5 Ω La tensione v J e la corrente iE si possono valutare applicando la sovrapposizione degli effetti, risolvendo i due circuiti ausiliari ottenuti considerando un solo generatore acceso: iB′′ iE′′ R4 R2 R4 R2 R3 R3 + J R1 iE′ E R1 v ′A v ′J′ v′J R1 = 10 Ω R2 = 0.1 kΩ R4 J = 20 A PEerog = Ei E , PJerog = Jv J . E = 220 V icc E + Adottando la convenzione del generatore sui due generatori della rete, la potenza erogata da ciascuno di essi sarà data da: ES. 1.12 - Calcolare la corrente icc che circola nel corto-circuito. R3 E = 10 V R4 R3 R3 = 25 Ω R4 = 2 kΩ Risultato: icc = −5.87 A. ES. 1.13 - Calcolare la tensione v0 sul circuito aperto in figura. R3 J1 = 1 A R4 R2 R1 J R5 Con riferimento al primo circuito ausiliario, il contributo v′J è ottenuto valutando la resistenza equivalente vista dal generatore: R6 Req J = ( R3 // R4 + R2 ) // R1 = 1.79 Ω ⇒ v ′J = Req J J = 35.80V . R1 = 10 Ω R2 = 10 Ω R3 = 15 Ω R4 = 5 Ω Per valutare i′E si può utilizzare la tensione v′A sul parallelo R A = R3 // R4 : R5 = 30 Ω R6 = 25 Ω v0 RA v′ ⇒ i E′ = − A = −2.31 A R2 + R A R4 (nell’ultimo passaggio si è tenuto conto della convenzione adottata su R4 ). Nel secondo circuito ausiliario, il contributo iE′′ è ottenuto valutando la resistenza equivalente vista dal generatore: v ′A = v ′J Risultato: v 0 = −6.43 V . Req E = ( R1 + R2 ) // R3 + R4 = 6.50 Ω ⇒ iE′′ = E / Req E = 1.54 A. ES. 1.14 - Valutare la potenza assorbita dai resistori della rete in figura. R1 + R2 E Per valutare v ′J′ è utile passare attraverso il calcolo della corrente iB′′ della serie RB = R1 + R2 : E = 10 V R3 i B′′ = i E′′ R1 = 10 Ω R2 = 1 Ω R3 RB + R3 ⇒ v ′J′ = R1i B′′ = 1.14 V . Se ne conclude che: R3 = 100 Ω PEerog = EiE = E (iE′ + iE′′ ) = −7.70 W , PJerog = Jv J = J ( v ′J + v ′J′ ) = 0.74 kW. Risultato: PR1 = PR3 = 0, PR2 = 100 W. (Si osservi che in questa rete il generatore di tensione sta assorbendo potenza elettrica positiva). 7 8 A. Maffucci: Circuiti in regime stazionario ver3-2005 A. Maffucci: Circuiti in regime stazionario ver3-2005 ES. 2.2 - Calcolare la potenza totale erogata dai generatori. ES. 2.6 - Determinare la potenza erogata dal generatore E1. E1 R1 + R1 R2 R1 + R1 E1 = 10 V, E 2 = 20 V E2 R1 R1 = 2 Ω, R2 = 1 Ω R2 + E1 + R3 E1 = 5 V , E 2 = 12 , E2 R1 = 3.5 Ω, R2 = 2.3 Ω, R3 = 3.2 Ω. Risultato: PEerog = 16.67 W, PEerog = 0.12 kW. 1 2 Risultato: PEerog = −2.05 W. 1 ES. 2.3 - Calcolare la potenza totale erogata dai generatori. E = 50 V R4 R2 J R1 + R3 E ES. 2.7 - Utilizzando il principio di sovrapposizione degli effetti, determinare la tensione v. J = 20 A R1 = 1 Ω R2 = 5 Ω v R3 = R4 = 10 Ω R1 Risultato: PEerog = −0.09 kW, PJerog = 1.36 kW. R3 R1 E1 + v1 E2 − + i3 R4 E = 5 V , J = 2 mA R2 R1 = 3 kΩ, R2 = 2.4 kΩ, R3 = 3.2 kΩ R3 J Risultato: v = −0.32 V. ES. 2.4 - Calcolare la tensione v1 e la corrente i3. R2 + E ES. 2.8 - Utilizzando il principio di sovrapposizione degli effetti, determinare la corrente i e la potenza assorbita da R3 R1 = R2 = R3 = R4 = 2 Ω E1 = 5 V, E 2 = 2 V i R1 + J R2 + R3 E = 10 V , J = 1 mA E R1 = 3.2 kΩ, R2 = 2.2 kΩ, R3 = 3.5 kΩ Risultato: v1 = 1.60 V, i 3 = −0.90 A. Risultato: i = 1.37 mA, P = 6.57 mW. ES. 2.5 - Utilizzando la sovrapposizione degli effetti, dimostrare la Formula di Millmann. ES. 2.9 - Valutare la corrente i e la potenza erogata dal generatore E1. A R1 + R3 R2 i v AB + E1 + E2 + E3 v AB E1 E 2 E3 + + R R2 R3 = 1 1 1 1 + + R1 R2 R3 R1 E1 + R3 E1 = 10 V , E 2 = 20 V R2 + E2 R1 = 5 Ω, R 2 = 20 Ω, R3 = 10 Ω − B = −2.86 W. Risultato: i = −0.86 A, PEerog 1 9 10 A. Maffucci: Circuiti in regime stazionario ver3-2005 A. Maffucci: Circuiti in regime stazionario 3. Generatori equivalenti di Thévenin e di Norton. ′ =J I cc a + E R2 ′′ = − I cc R3 b a R2 Req = R2 + R1 // R3 = R2 + R3 ′ + I cc ′′ = 5 A . I cc = I cc ES. 3.3 - Utilizzando l'equivalente di Norton calcolare la corrente che circola in R4 . R1 R1R3 . R1 + R3 E b La tensione a vuoto E0 si ottiene valutando la tensione tra i morsetti aperti. Tenuto conto che in queste condizioni non circola corrente sul resistore R2 è evidente che la E0 è anche la tensione su R3 . Poiché R1 ed R3 sono in serie, la tensione E0 i2 = 0 si può ricavare da un semplice partitore di tensione: a E0 = E E R3 . R1 + R3 R1 + R2 R3 E0 E0 b R1 J a R3 + J = 20 A R1 = R2 = 2 Ω b R3 = R4 = 4 Ω R3 R4 J E = 54 V J = 10 A R1 = 6 Ω R2 = R3 = 4 Ω R4 = 12 Ω i4 Riducendo la rete vista ai capi di R4 con il teorema di Norton, si ottiene la rete seguente, dalla quale si evince che i4 Req . i4 = I cc I Req Req + R4 cc R4 R1 E = 10 V R4 + R2 I circuiti per valutare i parametri di Norton sono riportati di seguito: ES. 3.2 - Calcolare l’equivalente di Norton visto ai capi dei morsetti a-b. R2 E = −5 A , RE dove R E = ( R1 + R2 ) // R3 = 2 Ω . Pertanto la I cc sarà La resistenza equivalente si ottiene spegnendo l’unico generatore, quindi studiando la rete seguente R1 R1 = 10 A R1 + R2 ′′ dovuto al generatore di tensione si (si noti che R3 ed R4 sono cortocircuitate). Il contributo I cc ′′ è valuta sostituendo il generatore di corrente con un circuito aperto. In questo circuito I cc proprio la corrente che circola nel generatore di tensione (si noti che su tale generatore è fatta la convenzione dell'utilizzatore): ES. 3.1 - Calcolare l’equivalente di Thévenin visto ai capi dei morsetti a-b. R1 ver3-2005 Req R2 R1 R3 E + R2 R3 J I cc I cc E Si avrà allora La resistenza equivalente si ottiene spegnendo i generatori: Req = R4 //[ R3 //( R1 + R2 )] = 1.33 Ω Req = R1 // R2 + R3 = 6.40 Ω . La corrente I cc è la corrente che circola da a a b quando i due morsetti sono in corto-circuito. ′ dovuto al solo Applicando il principio di sovrapposizione degli effetti, il contributo I cc generatore di corrente si valuta sostituendo il generatore di tensione con un corto-circuito e applicando la formula del partitore di corrente: La corrente I cc si può valutare applicando il principio di sovrapposizione degli effetti. Il ′ dovuto al solo generatore di corrente si valuta sostituendo il generatore di contributo I cc tensione con un corto-circuito e applicando la formula del partitore di corrente: 11 12 A. Maffucci: Circuiti in regime stazionario ver3-2005 ′ = −J I cc R3 = −6.250 A R3 + ( R1 // R2 ) A. Maffucci: Circuiti in regime stazionario ver3-2005 ES. 3.6 - Utilizzando il teorema di Norton calcolare la potenza assorbita dal resistore R3 . ′′ dovuto al generatore di tensione si valuta sostituendo il generatore di corrente Il contributo I cc con un circuito aperto. Applicando il partitore di tensione si può ricavare la tensione sul parallelo R p = R2 // R3 e quindi ricavare la corrente richiesta (che circola in R3 ). v ′p′ = E Rp ′′ = ⇒ I cc R1 + R p v ′p′ R3 R2 R1 = 3.375 A . E ⇒ J R4 Si ottiene in definitiva ′ + I cc ′′ = −2.875 A I cc = I cc R3 E = 5V J = 1 µA R1 = R3 = 2 MΩ R2 = 800 kΩ R4 = 300 kΩ + i4 = −1.000 A. Risultato: PR3 = 0.43 µW . ES. 3.4 - Utilizzando il teorema di Thévenin calcolare la potenza assorbita dal resistore R2 . R3 R1 J E R4 + R1 = R2 = 1 kΩ R3 = 2 kΩ J 1 = 2 mA J2 J 2 = 1 mA R1 = R2 = 2 kΩ R1 R4 = 5 kΩ R3 R4 R2 R3 = R5 = 10 kΩ R4 = 3 kΩ Risultato: PR5 = 54.87 µW . Risultato: PR2 = 0.85 mW . ES. 3.5 - Utilizzando il teorema di Thévenin calcolare la corrente i5 . R1 + R5 J1 E = 1 V J = 2 mA R2 ES. 3.7 - Utilizzando il teorema di Thévenin calcolare la potenza assorbita da R5 . i5 R3 R2 R4 R5 ES. 3.8 - Verificare che il resistore R non è percorso da corrente se tra le resistenze vi è la seguente relazione (ponte di Wheatstone): E = 12 V R1 = R3 = 0.2 kΩ R2 R1 R2 = 0.6 kΩ R1 R2 = R4 R3 R R4 = R5 = 0.4 kΩ R4 R3 Risultato: i5 = −18 mA. E + (Suggerimento: applicare Norton ai capi di R ed imporre che sia nulla la corrente Icc) 13 14 A. Maffucci: Circuiti in regime stazionario ver3-2005 A. Maffucci: Circuiti in regime stazionario ver3-2005 4. Metodi generali per l’analisi delle reti in regime stazionario. ES. 4.2 - Utilizzando il metodo dei potenziali nodali calcolare la corrente nel resistore R4. ES. 4.1 - Date le seguenti reti di bipoli, scrivere un sistema completo di equazioni di Kirchhoff indipendenti. R3 J1 2 1 3 J1 = J 2 = 1 A J2 J3 4 5 1 3 6 R5 J3 = 3 A R1 = 30 Ω R2 = 10 Ω R2 R1 5 2 i4 R4 R3 = 25 Ω R4 = 5 Ω R5 = 35 Ω R6 = 15 Ω R6 6 4 (a) (b) Si individuino i nodi della rete e si orientino tutte le correnti nei resistori, adottando su di essi la convenzione normale: Rete (a) A Orientando il grafo come in figura e scegliendo, ad esempio, l’albero indicato, un possibile sistema completo di equazioni di Kirchhoff è dato da: − i1 + i2 + i6 = 0 LKC − i2 − i3 + i4 = 0 − i + i − i = 0 4 5 6 1 3 2 v1 + v 2 − v3 = 0 LKT v3 + v4 + v5 = 0 − v − v + v = 0 4 6 2 4 5 2 i1 R1 3 i2 J2 R2 C B R5 i5 6 i4 R4 J3 4 D R6 i6 Avendo scelto come potenziale di riferimento quello del nodo D, le incognite saranno i potenziali degli altri tre nodi: e A , eB , eC . Per le convenzioni adottate si ha: v1 = v 2 = e A , v3 = e A − e B , v 4 = e A − eC , v5 = e B , v6 = eC . Orientando il grafo come in figura e scegliendo, ad esempio, l’albero indicato, un possibile sistema completo di eq. di Kirchhoff è dato da: − v1 − v 2 − v5 = 0 R3 J1 Rete (b) − i1 + i2 − i6 = 0 LKC − i2 − i3 + i5 = 0 i − i + i = 0 3 4 6 i3 2 2 1 6 5 3 4 Applicando la LKC ai nodi A, B, C e sostituendo le caratteristiche dei resistori (scritte con riferimento alle conduttanze) si ottiene il sistema: i1 + i2 + i3 + i4 = J 1 + J 2 − i3 + i5 = J 3 − i + i = − J 3 4 6 ⇒ G1e A + G2 e A + G3 ( e A − eB ) + G4 ( e A − eC ) = J 1 + J 2 − G3 ( e A − eB ) + G5eB = J 3 − G ( e − e ) + G e = − J 6 C 3 4 A C Si osservi che tale sistema può essere posto nella forma matriciale: 5 4 LKT v 2 + v 4 + v5 + v6 = 0 v + v + v = 0 5 3 4 G1 + G2 + G3 + G4 − G3 − G3 − G4 G3 + G5 0 − G4 eA eB = 0 G4 + G6 eC J1 + J 2 J3 − J3 Risolvendo tale sistema si ottiene: e A = 7.500 V , Si osservi che su tutti i bipoli delle reti (a) e (b) è stata adottata la stessa convenzione. da cui: 15 i4 = eB = 48.125 V , eC = −5.625 V v4 = G4 ( e A − eC ) = 2.625 A. R4 16 A. Maffucci: Circuiti in regime stazionario ver3-2005 ES. 4.3 - Utilizzando il metodo dei potenziali nodali modificato calcolare la potenza erogata dai due generatori e la potenza assorbita dai resistori (verificare la conservazione delle potenze). E + R2 R4 J R1 = 5 Ω R2 = 40 Ω R1 E + R1 i2 R 3 R2 J + R4 J2 R2 R4 R4 R3 R5 R1 R6 E1 R5 R2 + E1 + E2 J1 E3 E2 R3 + + i3 C B R6 J1 R3 = 80 Ω R4 = 120 Ω Si individuino i nodi della rete e si orientino tutte le correnti nei resistori, adottando su di essi la convenzione normale: A i1 ver3-2005 ES. 4.4 - Con riferimento alla seguenti reti: a) scrivere il sistema completo delle equazioni di Kirchhoff e delle equazioni caratteristiche (utilizzare grafo, albero e co-albero). b) scrivere il suddetto sistema in forma matriciale, individuando le matrici di incidenza ridotta e di maglia fondamentale. E = 50 V J = 60 A R3 R1 A. Maffucci: Circuiti in regime stazionario R7 J2 i4 D ES. 4.5 - Utilizzando il metodo delle correnti di maglia calcolare la corrente in R2. R1 Avendo scelto come potenziale di riferimento quello del nodo D, le incognite saranno i potenziali degli altri tre nodi: e A , eB , eC . Per la presenza del generatore di tensione tra nodo A e nodo D, si ha banalmente e A = E . Con le convenzioni adottate si ha: R5 v1 = E − eB , v2 = eB , v3 = eB − eC , v 4 = eC . R4 J1 J 1 = 10 A i2 R2 J2 = 5 A R3 R1 = 2 Ω J2 Applicando la LKC ai nodi B e C e sostituendo le caratteristiche dei resistori (scritte con riferimento alle conduttanze) si ottiene il sistema: − i1 + i2 + i3 = 0 − i3 + i4 = J ⇒ Risultato: i2 = −1.5 A. . (G1 + G2 + G3 )eB − G3eC = G1 E − G3eB + (G3 + G4 )eC = J ES. 4.6 - Utilizzando il metodo delle correnti di maglia calcolare la potenza erogata da ciascun generatore della rete. Risolvendo tale sistema si ottiene: eB = 0.20 kV , R2 = R3 = 3 Ω R4 = R5 = 5 Ω eC = 3.00 kV . Adottando la convenzione del generatore sui due generatori si ha: PEerog = EiE = Ei1 = EG1v1 = EG1 ( E − eB ) = −1.50 kW R3 PR1 = G1v12 = G1 ( E − eB ) 2 = 4.50 kW J 1 = J 2 = 1 mA, E = 2 mV J2 J1 PJerog = Jv J = Jv4 = JeC = 180.00 kW R2 R1 E PR2 = G2 v22 = G2 eB2 = 1.00 kW + R1 = 0.3 Ω R2 = 0.2 Ω R3 = 0.4 Ω R4 = 0.5 Ω R4 PR3 = G3v32 = G3 ( eB − eC ) 2 = 98.00 kW PR4 = G4 v42 = G4 eC2 = 75.00 kW Risultato: PEerog = 5.2 µW, PJerog = 3.0 µW, PJerog = 1.6 µW. È facile verificare che PR1 + PR2 + PR3 + PR4 = PEerog + PJerog . 1 17 2 18 A. Maffucci: Circuiti in regime stazionario ver3-2005 5. Analisi di reti con doppi-bipoli resistivi e generatori pilotati ES. 5.1 - Analizzando i seguenti doppi-bipoli: i1 i2 + v1 RA RB RC − i1 + v2 + v1 − − R AB i2 R AC RBC G11 = + v2 − i1 v1 R1 R1 c) verificare le seguenti formule di trasformazione stella-triangolo (suggerimento: imporre l’equivalenza tra gli schemi a T e a Π): 2G1G2 G1 G1 + G 2 1 + G2 = 0.33 S . G11 = 2G1G2 2G1 + 2G1 + G2 i1 R AC = R A RB + R A RC + RB RC RB RB = R AB RBC R AB + R AC + RBC RBC = R A RB + R A RC + RB RC RA RC = R AC RBC + R AC + RBC R AB R AB G12 = R AB R AC + R AC + RBC + R1 R1 R2 R1 R1 + E2 i2 v1 v2 = 0 v1 ix R1 + R1 R2 R1 i2 R1 Il circuito per il calcolo di tale parametro è disegnato in alto. Si osservi che: G12 = ES. 5.2 - Con riferimento alla seguente rete: a. caratterizzare attraverso la matrice G il doppio bipolo resistivo visto ai capi dei generatori; b. utilizzare la matrice G per calcolare la potenza assorbita dal doppio-bipolo; E1 Per la simmetria della rete rispetto alle due porte, si ha anche G11 = G22 (si provi a dimostrarlo). L’elemento G12 è definito come: ∆ →Y RA = R AB R1 quindi corrisponde alla conduttanza di ingresso della rete descritta in alto. Applicando le regole di equivalenza serie e parallelo di conduttanze si ottiene: b) verificare che lo schema a Π realizza una qualunque matrice G con le posizioni seguenti (formule di sintesi): G AC = G11 + Gm , GBC = G22 + Gm , G AB = −Gm ; R R + R A RC + RB RC = A B RC R1 R2 v2 = 0 a) verificare che lo schema a T realizza una qualunque matrice R con le posizioni seguenti (formule di sintesi): R A = R11 − Rm , RB = R22 − Rm , RC = Rm ; Y →∆ ver3-2005 a.) L’elemento G11 è definito come: schema a Π (triangolo) schema a T (stella) A. Maffucci: Circuiti in regime stazionario quindi ci si riporta al calcolo di i2 v1 v2 = 0 i2 i1 v2 = 0 = i1 v1 ⋅ v2 = 0 i2 i1 = G11 ⋅ v2 = 0 i2 i1 v2 = 0 , che può essere effettuato con l’applicazione reiterata del partitore di corrente: i2 − i x / 2 R1 1 = =− i1 = −0.25 i1 i1 2i1 R1 + R2 + R1 / 2 da cui: G12 = −0.25 ⋅ G11 = −0.08 S . E1 = E 2 = 10 V Si provi a verificare che G12 = G21 = Gm , proprietà valida per tutti i doppi-bipoli reciproci. R1 = 2 Ω R2 = 1 Ω b.) Introdotto il vettore e T = E1 E 2 , la potenza assorbita dal doppio-bipolo è esprimibile come: P = e T ⋅ i = e T ⋅ G ⋅ e = G11 E12 + G22 E 22 + 2Gm E1 E 2 = 50 W . 19 20 A. Maffucci: Circuiti in regime stazionario ver3-2005 a) caratterizzare attraverso la matrice H il doppio bipolo resistivo visto ai capi dei generatori; b) utilizzare la matrice H per calcolare la potenza assorbita da tale doppio-bipolo; + R2 J ver3-2005 Per calcolare V0 basta applicare la LKC e la LKT: ES. 5.3 - Con riferimento alla seguente rete: R1 A. Maffucci: Circuiti in regime stazionario E = 50 V E J = 20 A R1 = 1 Ω R2 = 5 Ω R4 R3 R3 = R4 = 10 Ω Risultato: a) H 11 = 0.909 Ω, H 22 = 0.073 S , H 12 = − H 21 = 0.045 ; b) P = 0.546 kW . i R − βi R = − J ⇒ iR = J , β −1 V0 = E + Ri R = E + RJ β −1 Per calcolare Req occorre spegnere tutti (e soli) i generatori indipendenti, cioè E e J, e valutare iR i 1 i = i R − βi R ⇒ i = (1 − β)i R + v iR = R v R βi R − v R Req = = 1′ i 1− β Per β > 1 si ha Req < 0 , risultato plausibile visto che nella rete è presente un bipolo attivo. Per β = 1 non esiste il circuito equivalente di Thévenin. ES. 5.4 - Con riferimento al seguente doppio-bipolo: ES. 5.6 - Per il circuito in esame, determinare il valore di R2 che rende massima la potenza assorbita dallo stesso resistore R2 . a) caratterizzarlo attraverso la matrice R; b) sintetizzare un doppio-bipolo equivalente con uno schema a T; R1 R3 R2 i1 + v1 R4 − + i2 R5 R6 + v2 − E R1 = R2 = R3 = R4 = R + R1 2v 2 R2 + v2 − E = 6V R1 = 6 Ω 1 2 R5 = R R6 = R 3 3 R = 24 Ω La condizione di massimo trasferimento di potenza su R2 si può trovare immediatamente una volta rappresentata tutta la rete vista ai capi di R2 attraverso il i2 generatore equivalente di Thévenin: R2 = Req . Risultato: a) R11 = 24 Ω, R22 = 12 Ω, Rm = 8 Ω ; b) R A = 16 Ω, RB = 4 Ω, RC = 8 Ω . Req Il calcolo di Req può essere effettuato facilmente applicando ES. 5.5 - Valutare l'equivalente di Thévenin ai capi dei morsetti 1-1' iR Kirchhoff: + + R2 + v2 − R 1 E V0 J Req = βi R (t ) v2 i2 = E =0 v2 R = 1 = 2 Ω. v 2 + 2v 2 3 R1 1′ Risultato: V0 = E + RJ R . , Req = β −1 1− β 21 22 A. Maffucci: Circuiti in regime stazionario ver3-2005 ES. 5.7 - Per il circuito Il seguente circuito rappresenta lo schema equivalente di un amplificatore di tensione. Calcolare: a) la matrice delle conduttanze del doppio bipolo ai capi dei morsetti 1-1' e 2-2'; b) il guadagno di tensione Av = vU / v S c) i valori dei parametri Rin ed Rout per cui il guadagno Av è massimo. iin RS + vin + vS Rout 1 Rin − + G12 = G21 = i1 v2 i2 v1 = v1=0 v1 Rin v 2 − =− v2 = 0 Rout 1 i1 α=4 Rin + αv1 (t ) V A R −i = J 1 V B + i = 0 R2 + v2 − 2′ 1′ ⇒ V A − V B = αv1 = −αV A ⇒ ⇒ V A VB + =J R1 R2 V A (1 + α) + VA = J R1 R2 ⇒ G22 = i2 v2 = v1= 0 v2 1 = . Rout v 2 Rout R1 R2 E = 6V E vu = αvin + i R1 = 10 Ω R2 = 20 Ω βi β=5 RU , Rout + RU Risultato: P2 = 5 W . da cui Av = J = 4V 1 (1 + α) + R1 R2 ES. 5.9 - Calcolare la potenza dissipata in R2. b) analizzando la maglia alla porta 1 e quella alla porta 2 si ottiene: Rin , Rin + RS ⇒ VA = V B = (1 + α)V A = 20 V . Si osservi che G12 ≠ G21 , cioè il doppio-bipolo non è reciproco. vin = v s V B = (1 + α)V A . Applicando il metodo dei potenziali nodali (modificato) si ha: i2 2 v1=0 αv1 α ; =− Rout v1 Rout R2 J =3A R1 = 4 Ω R2 = 10 Ω Indicando con V A , V B i potenziali dei nodi A e B si ha che V A = −v1 − = 0; R1 αv1 + vU + v1 i 1 ; = 1 = Rin i1 Rin B + − v1 J 2′ a) Orientando correnti e tensioni del doppio-bipolo come nella figura a lato, la matrice delle conduttanze si valuta applicando la definizione: v2 = 0 A + RU αvin (t ) ver3-2005 ES. 5.8 - Calcolare i potenziali di nodo del circuito seguente. 2 1′ i G11 = 1 v1 A. Maffucci: Circuiti in regime stazionario vu Rin RU . =α vs Rin + RS Rout + RU ES. 5.10 - Con riferimento al seguente circuito, valutare l’equivalente di Norton ai capi di R2 e la corrente i2 circolante in tale resistenza. i1 R1 R2 c) Osservando l'espressione di Av è semplice verificare che il massimo è dato da E Av max = α e si ottiene per Rin → ∞, Rout → 0 . Risultato: I cc = (1 − β) 23 + βi1 i2 Req R E , Req = 1 , i2 = − I cc . 1− β R1 R2 + Req 24