A. Maffucci: Circuiti in regime stazionario
ver 3.1-2007
1. Serie, parallelo e partitori.
ES. 1.1 Calcolare la resistenza equivalente vista ai capi del generatore E.
E
+
R1 = 1 Ω R2 = 4 Ω
R3
R1
R3 = 3 Ω R4 = 2 Ω
R4
R2
Utilizzando l’equivalenza serie e parallelo, il circuito di resistenze visto da E si può ridurre ad un
unico resistore attraverso i seguenti passi:
Università degli Studi di Cassino
E
+
R1
RA
R2
R A = R3 + R4 = 5 Ω
Esercitazioni di Elettrotecnica:
circuiti in regime stazionario
⇔
E
RB = R A // R2 =
+
R1
RB
⇔
R A R2
= 2.22 Ω
R A + R2
E
+
Req
Req = RB + R1 = 3.22 Ω
ES. 1.2 Calcolare la resistenza equivalente vista dal generatore J.
R3
R4
R1 = R4 = 5 Ω R2 = 3 Ω
prof. Antonio Maffucci
J
R1
R5
R3 = R5 = 2 Ω
R2
Utilizzando l’equivalenza serie e parallelo, il circuito di resistenze visto da E si può ridurre ad un
unico resistore attraverso i seguenti passi:
R3
RB
J
R A = R4 + R5 = 7 Ω
Ver. 3.1 – ottobre 2007
RR
RB = 1 2 = 1.87 Ω
R1 + R2
RA
⇔
RC
J
RA
RC = RB + R3 = 3.87 Ω
⇔
Req =
J
Req
R A RC
= 2.49 Ω
R A + RC
2
A. Maffucci: Circuiti in regime stazionario
ver 3.1-2007
ver 3.1-2007
ES. 1.7 - Calcolare la tensione v3 usando il partitore di tensione.
ES. 1.3 - Calcolare la Req vista ai morsetti A-B e quella vista ai morsetti C-D.
R1
A. Maffucci: Circuiti in regime stazionario
+ v3 −
R5
C
A
R2
D
B
R1 = R2 = 5 Ω R3 = 10 Ω
R4 = 4 Ω R5 = 3 Ω
R6
R3
E
R6 = 2 Ω
E = 220 V
R3
R1
+
R1 = 50 Ω
R2
R2 = R3 = 100 Ω
R4
Risultato: ReqAB = 7.125 Ω, ReqCD = 1.600 Ω.
Il partitore di tensione si applica a due resistori in serie, quindi occorre preliminarmente
ricondursi alla rete equivalente seguente:
R1
ES. 1.4 - Calcolare la Req vista ai morsetti A-B e quella vista ai morsetti C-D.
R2
A
R5
C
+
E
+
v3
RA
R1 = R3 = 0.2 Ω R2 = 0.4 Ω
R1
R4
R3
B
R6
R A = R2 // R3 =
−
R3 R2
= 50 Ω
R3 + R2
R4 = R5 = 1 Ω R6 = 3 Ω
Applicando ora il partitore di tensione si ha:
D
v3 = E
Risultato: ReqAB = 0.147 Ω, ReqCD = 0.126 Ω.
RA
= 110 V .
R A + R1
ES. 1.8 - Calcolare la corrente i3 usando il partitore di corrente.
ES. 1.5 - Calcolare il valore di R4 tale che ai morsetti A-B si abbia Req = R .
i3
R2
R1
A
R2
R3
B
R4
J
R1 = R2 = R R3 = R / 2
R1
J = 10 mA
R1 = R3 = 5 μΩ
R3
R2 = 3 μΩ
Il partitore di corrente si applica a due resistori in parallelo, quindi occorre riferirsi alla rete
equivalente seguente:
Risultato: R4 = 2 R.
i3
ES. 1.6 - Calcolare la Req vista ai morsetti A-B e quella vista ai morsetti C-D.
A
R4
R3
R1
B
C
R5
R2
D
J
R1 = 2.3 mΩ R2 = 1.4 mΩ
R1
RA
R A = R2 + R3 = 8 μΩ
Applicando ora il partitore di corrente si ha (tenuto conto dei versi):
R1
= −3.84 mA.
i3 = − J
R A + R1
R3 = 1 mΩ, R4 = 3 mΩ, R5 = 0.8 mΩ
Risultato: ReqAB = 0.47 mΩ, ReqCD = 0.63 mΩ.
3
4
A. Maffucci: Circuiti in regime stazionario
ver 3.1-2007
ES. 1.9 - Calcolare la potenza erogata dal generatore E e quella assorbita dal resistore R5
iE
E
R3
R1
+
R5
ES. 1.11 - Calcolare la potenza erogata dal generatore e quella assorbita da ogni resistore.
Verificare la conservazione delle potenze.
R1 = 10 Ω R2 = 2 Ω
R3 = 3 Ω R4 = 5 Ω R5 = 2 Ω
= Ei E , PR =
5
E
⇒
R B = R3 + R A
Req
R1 = 2 Ω R2 = 10 Ω
R3 = 20 Ω R4 = 15 Ω
Risultato: PJerog = 0.886 kW, PR1 = 0.023 kW, PR2 = 0.004 kW, PR3 = 0.335 kW, PR4 = 0.524 kW.
R5 i52 .
R A = R4 // R5
+
R4
J
R2
La i E si valuta a partire dal calcolo della resistenza equivalente vista ai capi del generatore:
iE
J = 10 A
R3
R1
Scegliendo le correnti come in figura, le potenze richieste sono date da:
PEerog
ver 3.1-2007
E = 10 V
i5
R4
R2
A. Maffucci: Circuiti in regime stazionario
Req = R1 + RC = 11.36 Ω
⇒
iE =
RC = R B // R2
ES. 1.12 - Calcolare la corrente icc che circola nel corto-circuito.
E
= 0.88 A
Req
E
+
E = 220 V
R3
R1
R2
R1 = 10 Ω R2 = 0.1 kΩ
R4
icc
R3 = 25 Ω R4 = 2 kΩ
da cui si ricava: PEerog = 8.80 W .
Nota la corrente i E , si può ricavare la i5 applicando due volte il partitore di corrente. Dapprima
ricaviamo i3 dalla rete equivalente seguente
i3
iE
E
ES. 1.13 - Calcolare la tensione v0 sul circuito aperto in figura.
R1
+
Risultato: icc = −5.87 A.
R2
i3 = iE
RB
R2
R2 + RB
R3
J1 = 1 A
R4
R2
R1
J
quindi ricaviamo i5 ripartendo i3 tra i resistori R4 ed R5 :
i5 = i3
R4
= 0.19A
R4 + R5
⇒
R5
R6
R1 = 10 Ω R2 = 10 Ω
R3 = 15 Ω R4 = 5 Ω
R5 = 30 Ω R6 = 25 Ω
v0
PR5 = 72.20 mW .
Risultato: v 0 = −6.43 V .
ES. 1.10 - Calcolare la potenza erogata dal generatore J e quella assorbita dal resistore R1 .
R3
ES. 1.14 - Valutare la potenza assorbita dai resistori della rete in figura.
R4
J =5 A
J
R1
R2
R5
R1
R1 = R4 = 5 Ω R2 = 3 Ω
R3 = R5 = 2 Ω
Risultato: PJerog = 62.25 W , PR1 = 7.25 W .
E = 10 V
R2
+
E
R3
R1 = 10 Ω R2 = 1 Ω
R3 = 100 Ω
Risultato: PR1 = PR3 = 0, PR2 = 100 W.
5
6
A. Maffucci: Circuiti in regime stazionario
ver 3.1-2007
A. Maffucci: Circuiti in regime stazionario
ES. 2.2 - Calcolare la potenza totale erogata dai generatori.
2. Sovrapposizione degli effetti.
R1
ES. 2.1 - Calcolare la potenza totale erogata dai generatori.
E1
R3
R1
J
E = 10 V
R4
R2
ver 3.1-2007
E
+
R1
R2
+
E1 = 10 V, E 2 = 20 V
+
R1
E2
R1
R1 = 2 Ω, R2 = 1 Ω
J = 20 A
R1 = R2 = 3 Ω
Risultato: PEerog = 16.67 W, PEerog = 0.12 kW.
R3 = 2 Ω R4 = 5 Ω
1
2
ES. 2.3 - Calcolare la potenza totale erogata dai generatori.
Adottando la convenzione del generatore sui due generatori della rete, la potenza erogata da
ciascuno di essi sarà data da:
+
J
R1
La tensione v J e la corrente iE si possono valutare applicando la sovrapposizione degli effetti,
risolvendo i due circuiti ausiliari ottenuti considerando un solo generatore acceso:
iB′′
iE′′
R4
R2
R4
R2
R3
R3
+
J
R1
iE′
E
R1
v ′A
v ′J′
v′J
R3
R3 = R4 = 10 Ω
ES. 2.4 - Calcolare la tensione v1 e la corrente i3.
R2
R3
R1
Req J = ( R3 // R4 + R2 ) // R1 = 1.79 Ω ⇒ v ′J = Req J J = 35.80V .
E1
Per valutare i′E si può utilizzare la tensione v′A sul parallelo R A = R3 // R4 :
+
v1
RA
v′
⇒ i E′ = − A = −2.31 A
R2 + R A
R4
(nell’ultimo passaggio si è tenuto conto della convenzione adottata su R4 ). Nel secondo circuito
ausiliario, il contributo iE′′ è ottenuto valutando la resistenza equivalente vista dal generatore:
i3
R4
E2
−
+
v ′A = v ′J
R1 = R2 = R3 = R4 = 2 Ω
E1 = 5 V, E 2 = 2 V
+
Risultato: v1 = 1.60 V, i 3 = −0.90 A.
ES. 2.5 - Utilizzando la sovrapposizione degli effetti, dimostrare la Formula di Millmann.
Req E = ( R1 + R2 ) // R3 + R4 = 6.50 Ω ⇒ iE′′ = E / Req E = 1.54 A.
A
Per valutare v ′J′ è utile passare attraverso il calcolo della corrente iB′′ della serie RB = R1 + R2 :
R3
RB + R3
E
J = 20 A
R1 = 1 Ω R2 = 5 Ω
Risultato: PEerog = −0.09 kW, PJerog = 1.36 kW.
Con riferimento al primo circuito ausiliario, il contributo v′J è ottenuto valutando la resistenza
equivalente vista dal generatore:
i B′′ = i E′′
E = 50 V
R4
R2
PEerog = Ei E , PJerog = Jv J .
⇒ v ′J′ = R1i B′′ = 1.14 V .
R1
+
R3
R2
Se ne conclude che:
v AB
+
PEerog = EiE = E (iE′ + iE′′ ) = −7.70 W , PJerog = Jv J = J ( v ′J + v ′J′ ) = 0.74 kW.
E1
(Si osservi che in questa rete il generatore di tensione sta assorbendo potenza elettrica positiva).
7
+
E2
+
E3
v AB
E1 E 2 E3
+
+
R
R2 R3
= 1
1
1
1
+
+
R1 R2 R3
−
B
8
A. Maffucci: Circuiti in regime stazionario
ver 3.1-2007
A. Maffucci: Circuiti in regime stazionario
ver 3.1-2007
3. Generatori equivalenti di Thévenin e di Norton.
ES. 2.6 - Determinare la potenza erogata dal generatore E1.
R1
+
E1
+
R3
ES. 3.1 - Calcolare l’equivalente di Thévenin visto ai capi dei morsetti a-b.
E1 = 5 V , E 2 = 12 ,
R2
E2
R1 = 3.5 Ω, R2 = 2.3 Ω, R3 = 3.2 Ω.
a
R1
R2
+
E
R3
b
Risultato: PEerog
= −2.05 W.
1
La resistenza equivalente si ottiene spegnendo l’unico generatore, quindi studiando la rete
seguente
ES. 2.7 - Utilizzando il principio di sovrapposizione degli effetti, determinare la tensione v.
a
v
R1
+
E
R1
R2
E = 5 V , J = 2 mA
R2
R1 = 3 kΩ, R2 = 2.4 kΩ, R3 = 3.2 kΩ
R3
J
Req = R2 + R1 // R3 = R2 +
R3
R1R3
.
R1 + R3
b
La tensione a vuoto E0 si ottiene valutando la tensione tra i morsetti aperti. Tenuto conto che in
queste condizioni non circola corrente sul resistore R2 è evidente che la E0 è anche la tensione
su R3 . Poiché R1 ed R3 sono in serie, la tensione E0
i2 = 0
si può ricavare da un semplice partitore di tensione:
a
Risultato: v = 0.28 V.
R1
ES. 2.8 - Utilizzando il principio di sovrapposizione degli effetti, determinare la corrente i e
la potenza assorbita da R3
i
R1
J
R2
+
R3
E
E = 10 V , J = 1 mA
R1 = 3.2 kΩ, R2 = 2.2 kΩ, R3 = 3.5 kΩ
E0 = E
E
R3
.
R1 + R3
+
R2
R3
E0
E0
b
ES. 3.2 - Calcolare l’equivalente di Norton visto ai capi dei morsetti a-b.
R2
a
Risultato: i = 1.37 mA, P = 6.57 mW.
R1
J
R3
+
ES. 2.9 - Valutare la corrente i e la potenza erogata dal generatore E1.
E1
+
E = 10 V
R1 = R2 = 2 Ω
b
R3 = R4 = 4 Ω
E
i
R1
J = 20 A
R4
La resistenza equivalente si ottiene spegnendo i generatori:
R3
E1 = 10 V , E 2 = 20 V
R2
+
E2
R1 = 5 Ω,
R 2 = 20 Ω,
Req = R4 //[ R3 //( R1 + R2 )] = 1.33 Ω
R3 = 10 Ω
La corrente I cc è la corrente che circola da a a b quando i due morsetti sono in corto-circuito.
′ dovuto al solo
Applicando il principio di sovrapposizione degli effetti, il contributo I cc
generatore di corrente si valuta sostituendo il generatore di tensione con un corto-circuito e
applicando la formula del partitore di corrente:
= −2.86 W.
Risultato: i = −0.86 A, PEerog
1
9
10
A. Maffucci: Circuiti in regime stazionario
ver 3.1-2007
′ =J
I cc
A. Maffucci: Circuiti in regime stazionario
R1
= 10 A
R1 + R2
′ = −J
I cc
′′ dovuto al generatore di tensione si
(si noti che R3 ed R4 sono cortocircuitate). Il contributo I cc
′′ è
valuta sostituendo il generatore di corrente con un circuito aperto. In questo circuito I cc
proprio la corrente che circola nel generatore di tensione (si noti che su tale generatore è fatta la
convenzione dell'utilizzatore):
′′ = −
I cc
ver 3.1-2007
R3
= −6.250 A
R3 + ( R1 // R2 )
′′ dovuto al generatore di tensione si valuta sostituendo il generatore di corrente
Il contributo I cc
con un circuito aperto. Applicando il partitore di tensione si può ricavare la tensione sul parallelo
R p = R2 // R3 e quindi ricavare la corrente richiesta (che circola in R3 ).
E
= −5 A ,
RE
v ′p′ = E
Rp
′′ =
⇒ I cc
R1 + R p
v ′p′
R3
= 3.375 A .
dove R E = ( R1 + R2 ) // R3 = 2 Ω . Pertanto la I cc sarà
Si ottiene in definitiva
′ + I cc
′′ = 5 A .
I cc = I cc
′ + I cc
′′ = −2.875 A
I cc = I cc
ES. 3.3 - Utilizzando l'equivalente di Norton calcolare la corrente che circola in R4 .
⇒
i4 = −1.000 A.
R1
E
+
R2
R3
R4
J
E = 54 V
J = 10 A
R1 = 6 Ω
ES. 3.4 - Utilizzando il teorema di Thévenin calcolare la potenza assorbita dal resistore R2 .
R2 = R3 = 4 Ω
R4 = 12 Ω
R3
i4
R1
Riducendo la rete vista ai capi di R4 con il teorema di Norton, si ottiene la rete seguente, dalla
quale si evince che
i4
Req
.
i4 = I cc
I
Req
Req + R4
cc
R4
I circuiti per valutare i parametri di Norton sono riportati di seguito:
R1
Req
R2
E = 1 V J = 2 mA
J
R2
R4
+
R1 = R2 = 1 kΩ R3 = 2 kΩ
R4 = 5 kΩ
E
Risultato: PR2 = 0.85 mW .
ES. 3.5 - Utilizzando il teorema di Thévenin calcolare la corrente i5 .
R1
R3
E
+
R2
R1
R3
J
I cc
i5
R3
R2
I cc
+
R4
Si avrà allora
R5
E = 12 V
R1 = R3 = 0.2 kΩ
R2 = 0.6 kΩ
R4 = R5 = 0.4 kΩ
Risultato: i5 = −18 mA.
Req = R1 // R2 + R3 = 6.40 Ω .
La corrente I cc si può valutare applicando il principio di sovrapposizione degli effetti. Il
′ dovuto al solo generatore di corrente si valuta sostituendo il generatore di
contributo I cc
tensione con un corto-circuito e applicando la formula del partitore di corrente:
11
12
A. Maffucci: Circuiti in regime stazionario
ver 3.1-2007
A. Maffucci: Circuiti in regime stazionario
ver 3.1-2007
4. Esercizi di riepilogo
ES. 3.6 - Utilizzando il teorema di Norton calcolare la potenza assorbita dal resistore R3 .
ES. 4.1 - Calcolare la potenza erogata dai due generatori e la potenza assorbita dai
resistori (verificare la conservazione delle potenze).
R2
R3
R1
J
R4
E
E = 5V
J = 1 μA
R1 = R3 = 2 MΩ
E
R2 = 800 kΩ
E = 50 V J = 60 A
R3
R1
+
J
R2
R1 = 5 Ω R2 = 40 Ω
R4
R3 = 80 Ω R4 = 120 Ω
R4 = 300 kΩ
+
Risultato: Adottando la convenzione del generatore sui due generatori e quella normale sui
resistori si ha:
Risultato: PR3 = 0.43 μW .
PEerog = −1.50 kW PJerog = 180.00 kW
PR1 = 4.50 kW PR2 = 1.00 kW PR3 = 98.00 kW PR4 = 75.00 kW
ES. 3.7 - Utilizzando il teorema di Thévenin calcolare la potenza assorbita da R5 .
R5
J1
J 1 = 2 mA
J2
J 2 = 1 mA
ES. 4.2 - Calcolare la corrente in R2.
R1 = R2 = 2 kΩ
R1
R2
R3
R4
R1
R3 = R5 = 10 kΩ
R4 = 3 kΩ
R5
R4
J1
Risultato: PR5 = 54.87 μW .
J 1 = 10 A
i2
R2
J2 = 5 A
R3
R1 = 2 Ω
J2
R2 = R3 = 3 Ω
R4 = R5 = 5 Ω
Risultato: i2 = 5 A.
ES. 3.8 - Verificare che il resistore R non è percorso da corrente se tra le resistenze vi è la
seguente relazione (ponte di Wheatstone):
R2
R1
ES. 4.3 - Calcolare la potenza erogata da ciascun generatore della rete.
R1 R2
=
R4 R3
R3
R4
J 1 = J 2 = 1 mA, E = 2 mV
J2
J1
R
R2
R1
R3
E
+
R1 = 0.3 Ω R2 = 0.2 Ω
R3 = 0.4 Ω R4 = 0.5 Ω
R4
E
+
(Suggerimento: applicare Norton ai capi di R ed imporre che sia nulla la corrente Icc)
Risultato: PEerog = 5.2 μW, PJerog = 3.0 μW, PJerog = 1.6 μW.
1
13
2
14
