La circonferenza e i poligoni inscritti e circoscritti
Mascheroni CAD Team
Liceo Scientifico Isacco Newton - Roma
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La circonferenza e i poligoni inscritti e circoscritti
Definizioni
Luogo Geometrico
Insieme di tutti e soli punti del piano che godono di una
certa proprietà, detta proprieà caratteristica del centro.
Circonferenza
È il luogo geometrico dei punti di un piano aventi la stessa
distanza da un punto detto centro.
Cerchio
È quella figura piana formata dai punti di una
circonferenza e da quelli interni alla circonferenza.
Arco
Parte di circonferenza compresa fra due punti della stessa
circonferenza.
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La circonferenza e i poligoni inscritti e circoscritti
Definizioni (cont.)
Settore Circolare
È quella parte di circonferenza compresa tra un arco e due
raggi.
Corda
La corda è quel segmento avente come vertici due punti
della circonferenza. Il diametro è quella corda passante per
il centro.
Angolo al centro
Angolo avente il vertice nel centro della circonferenza.
Angolo alla circonferenza
Un angolo alla circonferenza è un angolo convesso che ha
il vertice sulla circonferenza e i due lati secanti la
circonferenza stessa, oppure un lato secante e l’altro
tangente.
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La circonferenza e i poligoni inscritti e circoscritti
Unicità del centro della circonferenza
O
A
D
C
B
E
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Consideriamo la circonferenza di
centro O e passante per i tre punti
non allineati A, B e C. Come già
affermato precedentemente, il
centro di una circonferenza sarà
equidistante da tutti i punti
appartenenti alla circonferenza.
Consideriamo ora i segmenti AB e
BC, il punto equidistante dai loro
estremi sarà il punto d’intersezione
dei loro assi. Essendo l’asse di un
segmento una retta, il punto
d’intersezione tra due rette sarà
unico. Di conseguenza ci sarà un
unico punto equidistante da
A, B e C.
La circonferenza e i poligoni inscritti e circoscritti
Primo teorema sulle corde
C
A
D
O
Teorema
In una circonferenza, ogni
diametro è maggiore di qualunque
altra corda non passante per il
centro.
Dimostrazione.
Essendo AOC un triangolo
AO + OC > AC.
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La circonferenza e i poligoni inscritti e circoscritti
Secondo teorema sulle corde
A
C
D
E
U
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Teorema
Se in una circonferenza un
diametro è perpendicolare ad una
corda non passante per il centro,
allora la corda, l’angolo al centro
e l’arco corrispondenti
risulteranno divisi a metà da tale
diametro.
La circonferenza e i poligoni inscritti e circoscritti
Seconda teorema sulle corde (cont.)
A
C
D
U
E
Dimostrazione.
AD AE, poiché raggi; AC ⊥ DE, per
d CAE
d e
ipotesi ∴ L’angolo DAC
DU UE, poiché nel triangolo isoscele
l’altezza relativa alla base corrisponde
alla bisettrice e alla mediana.
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La circonferenza e i poligoni inscritti e circoscritti
Terzo teorema sulle corde
A
C
D
E
Teorema
Se in una circonferenza un diametro
interseca una corda non passante per il
centro, nel suo punto medio, allora il
diametro è perpendicolare alla corda.
U
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La circonferenza e i poligoni inscritti e circoscritti
Primo teorema sulle corde (cont.)
A
C
D
E
Dimostrazione.
AD AE, poiché raggi; AC ⊥ DE, per
d CAE
d e
ipotesi. ∴ L’angolo DAC
DU UE
U
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La circonferenza e i poligoni inscritti e circoscritti
Terzo teorema sulle corde (cont.)
A
C
D
E
Dimostrazione.
Il triangolo DAE è isoscele perché
DA AE, per costruzione. Nei triangoli
isosceli la mediana relativa alla base
coinciderà all’altezza.
U
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Posizioni di una retta rispetto ad una circonferenza
A
E
A
d
A
r
d
B
F
r
r
a) Retta secante
b) Retta Tangente
Retta Secante
La distanza tra A e r è minore del
raggio della circonferenza
c) Retta Esterna
Retta Esterna
La distanza tra A e r è maggiore
del raggio della circonferenza
Retta Tangente
La distanza tra A e r è uguale al
raggio della circonferenza
1
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1
Posizioni relative di due circonferenze
Secanti
Tangenti esternamente e internamente
E
D
r1
r
B
O
O1
A
C
r + r1 < OO1 ∧ OO1 < r − r1
Esternamente ⇐⇒ AC = AD + DC
Internamente ⇐⇒ AB = AD − BD
Esterne
Interne
C
O
O1
r
A
B
D
r1
OO1 > r + r1
1
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AD < AB − CD
1
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Angoli al centro e alla circonferenza corrispondenti
Teorema
Un angolo al centro del corrispondente angolo alla circonferenza
Per la dimostrazione distingueremo tre casi differenti:
Un lato della circonferenza contiene un diametro;
Il centro O è interno all’angolo alla circonferenza;
Il centro O è esterno all’angolo alla circonferenza;
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Angoli al centro e alla circonferenza corrispondenti (cont.)
B
Un lato della circonferenza contiene un
diametro
C
O
A
Dimostrazione.
Il triangolo AOB è isoscele per
[ = BAO
d poiché
costruzione. BOC
◦
[=
d + AOB
d = 180 ∧ AOB
d + BOC
2BAO
◦
180
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Angoli al centro e alla circonferenza corrispondenti (cont.)
β
Il centro O è interno all’angolo alla
circonferenza
γ
δ
β
O
α
α
Dimostrazione.
Per le note proprietà di cui godono risulta
essere γ = 2β ∧ δ = 2α.
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Angoli al centro e alla circonferenza corrispondenti (cont.)
E
Il centro O è esterno all’angolo alla
circonferenza
S
β2
α2
O
β
β1
α1 α
C
Dimostrazione.
Si osservano le seguenti eguaglianze:
β1 = 2α1 , β2 = 2α2 , β2 − β1 = β,
α2 − α1 = α, β2 − β1 = 2α2 − 2α1 , β = 2α.
D
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