La circonferenza ei poligoni inscritti e circoscritti
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La circonferenza e i poligoni inscritti e circoscritti Mascheroni CAD Team Liceo Scientifico Isacco Newton - Roma Le lezioni multimediali di GeoGebra Italia Mascheroni CAD Team La circonferenza e i poligoni inscritti e circoscritti Definizioni Luogo Geometrico Insieme di tutti e soli punti del piano che godono di una certa proprietà, detta proprieà caratteristica del centro. Circonferenza È il luogo geometrico dei punti di un piano aventi la stessa distanza da un punto detto centro. Cerchio È quella figura piana formata dai punti di una circonferenza e da quelli interni alla circonferenza. Arco Parte di circonferenza compresa fra due punti della stessa circonferenza. Mascheroni CAD Team La circonferenza e i poligoni inscritti e circoscritti Definizioni (cont.) Settore Circolare È quella parte di circonferenza compresa tra un arco e due raggi. Corda La corda è quel segmento avente come vertici due punti della circonferenza. Il diametro è quella corda passante per il centro. Angolo al centro Angolo avente il vertice nel centro della circonferenza. Angolo alla circonferenza Un angolo alla circonferenza è un angolo convesso che ha il vertice sulla circonferenza e i due lati secanti la circonferenza stessa, oppure un lato secante e l’altro tangente. Mascheroni CAD Team La circonferenza e i poligoni inscritti e circoscritti Unicità del centro della circonferenza O A D C B E Mascheroni CAD Team Consideriamo la circonferenza di centro O e passante per i tre punti non allineati A, B e C. Come già affermato precedentemente, il centro di una circonferenza sarà equidistante da tutti i punti appartenenti alla circonferenza. Consideriamo ora i segmenti AB e BC, il punto equidistante dai loro estremi sarà il punto d’intersezione dei loro assi. Essendo l’asse di un segmento una retta, il punto d’intersezione tra due rette sarà unico. Di conseguenza ci sarà un unico punto equidistante da A, B e C. La circonferenza e i poligoni inscritti e circoscritti Primo teorema sulle corde C A D O Teorema In una circonferenza, ogni diametro è maggiore di qualunque altra corda non passante per il centro. Dimostrazione. Essendo AOC un triangolo AO + OC > AC. Mascheroni CAD Team La circonferenza e i poligoni inscritti e circoscritti Secondo teorema sulle corde A C D E U Mascheroni CAD Team Teorema Se in una circonferenza un diametro è perpendicolare ad una corda non passante per il centro, allora la corda, l’angolo al centro e l’arco corrispondenti risulteranno divisi a metà da tale diametro. La circonferenza e i poligoni inscritti e circoscritti Seconda teorema sulle corde (cont.) A C D U E Dimostrazione. AD AE, poiché raggi; AC ⊥ DE, per d CAE d e ipotesi ∴ L’angolo DAC DU UE, poiché nel triangolo isoscele l’altezza relativa alla base corrisponde alla bisettrice e alla mediana. Mascheroni CAD Team La circonferenza e i poligoni inscritti e circoscritti Terzo teorema sulle corde A C D E Teorema Se in una circonferenza un diametro interseca una corda non passante per il centro, nel suo punto medio, allora il diametro è perpendicolare alla corda. U Mascheroni CAD Team La circonferenza e i poligoni inscritti e circoscritti Primo teorema sulle corde (cont.) A C D E Dimostrazione. AD AE, poiché raggi; AC ⊥ DE, per d CAE d e ipotesi. ∴ L’angolo DAC DU UE U Mascheroni CAD Team La circonferenza e i poligoni inscritti e circoscritti Terzo teorema sulle corde (cont.) A C D E Dimostrazione. Il triangolo DAE è isoscele perché DA AE, per costruzione. Nei triangoli isosceli la mediana relativa alla base coinciderà all’altezza. U Mascheroni CAD Team La circonferenza e i poligoni inscritti e circoscritti Posizioni di una retta rispetto ad una circonferenza A E A d A r d B F r r a) Retta secante b) Retta Tangente Retta Secante La distanza tra A e r è minore del raggio della circonferenza c) Retta Esterna Retta Esterna La distanza tra A e r è maggiore del raggio della circonferenza Retta Tangente La distanza tra A e r è uguale al raggio della circonferenza 1 Mascheroni CAD Team La circonferenza e i poligoni inscritti e circoscritti 1 Posizioni relative di due circonferenze Secanti Tangenti esternamente e internamente E D r1 r B O O1 A C r + r1 < OO1 ∧ OO1 < r − r1 Esternamente ⇐⇒ AC = AD + DC Internamente ⇐⇒ AB = AD − BD Esterne Interne C O O1 r A B D r1 OO1 > r + r1 1 Mascheroni CAD Team AD < AB − CD 1 La circonferenza e i poligoni inscritti e circoscritti Angoli al centro e alla circonferenza corrispondenti Teorema Un angolo al centro del corrispondente angolo alla circonferenza Per la dimostrazione distingueremo tre casi differenti: Un lato della circonferenza contiene un diametro; Il centro O è interno all’angolo alla circonferenza; Il centro O è esterno all’angolo alla circonferenza; Mascheroni CAD Team La circonferenza e i poligoni inscritti e circoscritti Angoli al centro e alla circonferenza corrispondenti (cont.) B Un lato della circonferenza contiene un diametro C O A Dimostrazione. Il triangolo AOB è isoscele per [ = BAO d poiché costruzione. BOC ◦ [= d + AOB d = 180 ∧ AOB d + BOC 2BAO ◦ 180 Mascheroni CAD Team La circonferenza e i poligoni inscritti e circoscritti Angoli al centro e alla circonferenza corrispondenti (cont.) β Il centro O è interno all’angolo alla circonferenza γ δ β O α α Dimostrazione. Per le note proprietà di cui godono risulta essere γ = 2β ∧ δ = 2α. Mascheroni CAD Team La circonferenza e i poligoni inscritti e circoscritti Angoli al centro e alla circonferenza corrispondenti (cont.) E Il centro O è esterno all’angolo alla circonferenza S β2 α2 O β β1 α1 α C Dimostrazione. Si osservano le seguenti eguaglianze: β1 = 2α1 , β2 = 2α2 , β2 − β1 = β, α2 − α1 = α, β2 − β1 = 2α2 − 2α1 , β = 2α. D Mascheroni CAD Team La circonferenza e i poligoni inscritti e circoscritti
