novembre 2003

Corsi di Laurea in EA, ELI, EMIF
Testi delle prove scritte di MATEMATICA GENERALE
gennaio 2001 – novembre 2003
———————————————————————————————————————
MATEMATICA GENERALE
Appello del 26 gennaio 2001
Esercizio
Punti
a (a1+a2)
6 (3+3)
b
5
c (c1+c2)
6 (3+3)
d (d1+d2+d3+d4+d5)
7 (1+1+3+1+1)
e
6
a. Data la funzione
f (x) = −|x + 1| + 3,
a1. disegnarne il grafico come traslata di una funzione elementare;
a2. disegnare inoltre il grafico di −f (x), |f (x)| e f (|x|).
b. Determinare l’estremo superiore e inferiore dell’insieme numerico
A=
n
2−
; n = 0, 1, . . .
n+1
Dire se A ammette massimo e minimo.
c. Data la funzione
 x
 e −1
ln(x) − 3
f (x) =
 −3
x
x ≤ 0,
0<x≤1
x>1
c1. Studiarne la continuità
c2. Studiarne la derivabilità, usando, nei punti x = 0 e x = 1, la definizione di derivata.
d. Determinare eventuali punti di massimo e minimo relativo della funzione
2
f (x) = (1 − x)e(−2x
+4x+2)
.
Tracciarne un grafico (senza curarsi troppo di concavitá e flessi) e dire se la funzione ammette massimo e
minimo assoluti.
d1. Dominio di f (x)
d2. Limiti nei punti di frontiera del dominio
d3. Calcolo e studio di f (x)
d4. Grafico
d5. Massimo e minimo assoluti (se esistono)
e. Calcolare l’integrale indefinito
(x − 2) ln(x + 1)dx
MATEMATICA GENERALE
Appello del 26 gennaio 2001
Esercizio
Punti
a (a1+a2)
6 (3+3)
b
5
c (c1+c2)
6 (3+3)
d (d1+d2+d3+d4+d5)
7 (1+1+3+1+1)
1
e
6
a. Data la funzione
f (x) = −|x − 1| + 3,
a1. disegnarne il grafico come traslata di una funzione elementare;
a2. disegnare inoltre il grafico di −f (x), |f (x)| e f (|x|).
b. Determinare l’estremo superiore e inferiore dell’insieme numerico
A=
1+
2n
; n = 0, 1, . . .
n+1
Dire se A ammette massimo e minimo.
c. Data la funzione

x ≤ 0,
 ln(x + 1)
− ln(x) + 1 0 < x ≤ 1
f (x) =
 1
x>1
x
c1. Studiarne la continuità
c2. Studiarne la derivabilità, usando, nei punti x = 0 e x = 1, la definizione di derivata.
d. Determinare eventuali punti di massimo e minimo relativo della funzione
f (x) = (2 − x)e(−
x2
2
+2x−1)
.
Tracciarne un grafico (senza curarsi troppo di concavitá e flessi) e dire se la funzione ammette massimo e
minimo assoluti.
d1. Dominio di f (x)
d2. Limiti nei punti di frontiera del dominio
d3. Calcolo e studio di f (x)
d4. Grafico
d5. Massimo e minimo assoluti (se esistono)
e. Calcolare l’integrale indefinito
(x + 3) ln(x + 1)dx
MATEMATICA GENERALE
Appello del 26 gennaio 2001
Esercizio
Punti
a (a1+a2)
6 (3+3)
b
5
c (c1+c2)
6 (3+3)
d (d1+d2+d3+d4+d5)
7 (1+1+3+1+1)
a. Data la funzione
f (x) = |x + 2| − 4,
a1. disegnarne il grafico come traslata di una funzione elementare;
a2. disegnare inoltre il grafico di −f (x), |f (x)| e f (|x|).
b. Determinare l’estremo superiore e inferiore dell’insieme numerico
A=
2n
2−
; n = 0, 1, . . .
n+1
Dire se A ammette massimo e minimo.
2
e
6
c. Data la funzione

x ≤ 0,
 xex
ln(x) + 2 0 < x ≤ 1
f (x) =
 2
x>1
x
c1. Studiarne la continuità
c2. Studiarne la derivabilità, usando, nei punti x = 0 e x = 1, la definizione di derivata.
d. Determinare eventuali punti di massimo e minimo relativo della funzione
f (x) = (x + 1)e(−
x2
2
−x+2)
.
Tracciarne un grafico (senza curarsi troppo di concavitá e flessi) e dire se la funzione ammette massimo e
minimo assoluti.
d1. Dominio di f (x)
d2. Limiti nei punti di frontiera del dominio
d3. Calcolo e studio di f (x)
d4. Grafico
d5. Massimo e minimo assoluti (se esistono)
e. Calcolare l’integrale indefinito
(x − 3) ln(x − 2)dx
MATEMATICA GENERALE
Appello del 26 gennaio 2001
Esercizio
Punti
a (a1+a2)
6 (3+3)
b
5
c (c1+c2)
6 (3+3)
d (d1+d2+d3+d4+d5)
7 (1+1+3+1+1)
e
6
a. Data la funzione
f (x) = |x − 3| − 4,
a1. disegnarne il grafico come traslata di una funzione elementare;
a2. disegnare inoltre il grafico di −f (x), |f (x)| e f (|x|).
b. Determinare l’estremo superiore e inferiore dell’insieme numerico
A=
n
1−
; n = 0, 1, . . .
n+1
Dire se A ammette massimo e minimo.
c. Data la funzione
 2
 x +x
ln(x) − 1
f (x) =
 −1
x
x ≤ 0,
0<x≤1
x>1
c1. Studiarne la continuità
c2. Studiarne la derivabilità, usando, nei punti x = 0 e x = 1, la definizione di derivata.
3
d. Determinare eventuali punti di massimo e minimo relativo della funzione
f (x) = (x − 1)e(−
x2
2
+x+1)
.
Tracciarne un grafico (senza curarsi troppo di concavitá e flessi) e dire se la funzione ammette massimo e
minimo assoluti.
d1. Dominio di f (x)
d2. Limiti nei punti di frontiera del dominio
d3. Calcolo e studio di f (x)
d4. Grafico
d5. Massimo e minimo assoluti (se esistono)
e. Calcolare l’integrale indefinito
(x + 1) ln(x − 1)dx
MATEMATICA GENERALE
Appello del 9 febbraio 2001
Esercizio
Punti
a (a1+a2)
6 (3+3)
b
5
c (c1+c2+c3)
7 (2+2+3)
d (d1+d2)
6 (3+3)
e (e1+e2)
6 (3+3)
a. Data la funzione
f (x) = ln(x + 2) + 1,
a1. disegnarne il grafico come traslata di una funzione elementare;
a2. disegnare inoltre il grafico di −f (x), |f (x)| e f (|x|).
b. Usando i primi tre termini dello sviluppo di Taylor calcolare il valore approssimato di
3, 9.
√
c. Data la funzione
f (x) =
x2 − 4
,
x2 + 5x + 4
c1. determinarne il dominio;
c2. determinarne zeri e segno;
c3. calcolarne i limiti nei punti di frontiera del dominio.
d. Data la funzione di due variabili
f (x, y) = ln(y − x2 + 1) + ln(y − x),
d1. determinarne geometricamente il dominio;
d2. calcolare fxy (x, y).






2k
k−7
2
e. Dati i vettori v1 =  2  v2 =  −2  v3 =  4  ,
1
3k
4k
e1. determinare per quali valori di k sono linearmente indipendenti;
e2. nei casi in cui sono dipendenti trovare una relazione di dipendenza lineare.
MATEMATICA GENERALE
Appello del 9 febbraio 2001
Esercizio
Punti
a (a1+a2)
6 (3+3)
b
5
c (c1+c2+c3)
7 (2+2+3)
d (d1+d2)
6 (3+3)
4
e (e1+e2)
6 (3+3)
a. Data la funzione
f (x) = ln(x + 1) − 1,
a1. disegnarne il grafico come traslata di una funzione elementare;
a2. disegnare inoltre il grafico di −f (x), |f (x)| e f (|x|).
b. Usando i primi tre termini dello sviluppo di Taylor calcolare il valore approssimato di
4, 2.
√
c. Data la funzione
f (x) =
x2 − x − 6
,
− 3x − 4
x2
c1. determinarne il dominio;
c2. determinarne zeri e segno;
c3. calcolarne i limiti nei punti di frontiera del dominio.
d. Data la funzione di due variabili
f (x, y) = ln(x2 + x − y) + ln(x − y + 1),
d1. determinarne geometricamente il dominio;
d2. calcolare fxy (x, y).






−k
−k
2
e. Dati i vettori v1 =  1  v2 =  −8  v3 =  2  ,
1
5k
−2k
e1. determinare per quali valori di k sono linearmente indipendenti;
e2. nei casi in cui sono dipendenti trovare una relazione di dipendenza lineare.
MATEMATICA GENERALE
Appello del 9 febbraio 2001
Esercizio
Punti
a (a1+a2)
6 (3+3)
b
5
c (c1+c2+c3)
7 (2+2+3)
d (d1+d2)
6 (3+3)
a. Data la funzione
f (x) =
e (e1+e2)
6 (3+3)
(x + 4) − 1,
a1. disegnarne il grafico come traslata di una funzione elementare;
a2. disegnare inoltre il grafico di −f (x), |f (x)| e f (|x|).
b. Usando i primi tre termini dello sviluppo di Taylor calcolare il valore approssimato di
ln(1, 3).
√
c. Data la funzione
x2 + 2x − 3
,
x2 − x − 6
f (x) =
c1. determinarne il dominio;
c2. determinarne zeri e segno;
c3. calcolarne i limiti nei punti di frontiera del dominio.
d. Data la funzione di due variabili
f (x, y) = ln(y − x2 + x) + ln(−y − x + 1),
d1. determinarne geometricamente il dominio;
d2. calcolare fxy (x, y).
5





2
k
e. Dati i vettori v1 =  1  v2 =  −4  v3 =  2  ,
9−k
2k
2
k
2

e1. determinare per quali valori di k sono linearmente indipendenti;
e2. nei casi in cui sono dipendenti trovare una relazione di dipendenza lineare.
MATEMATICA GENERALE
Appello del 9 febbraio 2001
Esercizio
Punti
a (a1+a2)
6 (3+3)
b
5
c (c1+c2+c3)
7 (2+2+3)
d (d1+d2)
6 (3+3)
a. Data la funzione
f (x) =
e (e1+e2)
6 (3+3)
(x + 1) − 2,
a1. disegnarne il grafico come traslata di una funzione elementare;
a2. disegnare inoltre il grafico di −f (x), |f (x)| e f (|x|).
b. Usando i primi tre termini dello sviluppo di Taylor calcolare il valore approssimato di
ln(0, 8).
√
c. Data la funzione
f (x) =
x2 − x − 2
,
+ 2x − 3
x2
c1. determinarne il dominio;
c2. determinarne zeri e segno;
c3. calcolarne i limiti nei punti di frontiera del dominio.
d. Data la funzione di due variabili
f (x, y) = ln(x2 + 1 − y) + ln(y − x − 2),
d1. determinarne geometricamente il dominio;
d2. calcolare fxy (x, y).






k
k
2
e. Dati i vettori v1 =  1  v2 =  7  v3 =  2  ,
1
k−3
2k
e1. determinare per quali valori di k sono linearmente indipendenti;
e2. nei casi in cui sono dipendenti trovare una relazione di dipendenza lineare.
MATEMATICA GENERALE
Appello del 6 aprile 2001
Esercizio
Punti
a (a1+a2+a3+a4+a5)
8 (2+1+2+1+2)
b
5
c (c1+c2+c3)
6 (2+2+2)
d
5
e (e1+e2)
6 (3+3)
a. Disegnare il grafico della funzione
f (x) = ln(x2 + 2x + 1) :
a1. Dominio, zeri e segno
a2. Limiti nei punti di frontiera del dominio
a3. Studio di f (x), crescenza e decrescenza e eventuali punti di massimo e minimo relativo
a4. Studio di f (x), concavità e convessità e eventuali punti di flesso
a5. Grafico
6
b. Usando i primi quattro termini della formula di Mc Laurin calcolare il valore approssimato di e.
c. Data la funzione
f (x) =
x2 − 3
x≤2
ln(x − 1) + 1 x > 2
c1. Studiarne la continuità
c2. Studiarne la derivabilità, usando, nel punto x = 2, la definizione di derivata
c3. Tracciarne il grafico
d. Data la funzione di due variabili
√
9 − (x2 + y 2 ) + y − x,
f (x, y) =
determinarne geometricamente il dominio

 x − 2y = −1
y + kz = 2

x + 2z = 3
e. Dato il sistema lineare
e1. Determinare per quali valori di k il sistema è compatibile
e2. Trovarne le soluzioni (in tali casi)
MATEMATICA GENERALE
Appello del 6 giugno 2001
Esercizio
Punti
a (a1+a2++a3+a4+a5)
10 (1+2+3+2+2)
b
6
c (c1+c2+c3)
7 (2+3+2)
a. Disegnare il grafico della funzione
f (x) =
√
3
d (d1+d2)
7 (2+5)
x2 − x :
a1. Dominio, zeri e segno
a2. Limiti nei punti di frontiera del dominio
a3. Studio di f (x), crescenza e decrescenza e eventuali punti di massimo e minimo relativo
a4. Studio di f (x), concavità e convessità e eventuali punti di flesso
a5. Grafico
b. Usando i primi tre termini dello sviluppo di Taylor calcolare il valore approssimato di
0, 83.
c. Data la funzione
 2
 x −1
−(x + 1)2
f (x) =
 2
x
x ≤ −1
−1 < x ≤ 0
x>0
c1. Studiarne la continuità nei punti x = −1 e x = 0
c2. Studiarne la derivabilità, usando, nei punti x = −1 e x = 0, la definizione di derivata
c3. Tracciarne il grafico
7






k
1
1
d. Dati i vettori v1 =  k  v2 =  0  v3 =  1  ,
1
k
k
d1. determinare per quali valori di k sono linearmente indipendenti;
d2. nei casi in cui sono dipendenti trovare una relazione di dipendenza lineare.
MATEMATICA GENERALE
Appello del 21 giugno 2001
Esercizio
Punti
a (a1+a2)
7 (4+3)
b (b1+b2+b3)
8 (2+3+3)
c (c1+c2+c3)
8 (2+3+3)
a. Data la funzione
f (x) =
d (d1+d2)
7 (4+3)
4x − 3
,
2x + 5
a1. disegnarne il grafico come traslata di una funzione elementare;
a2. disegnare inoltre il grafico di −f (x), |f (x)| e f (|x|).
b. Data la funzione
f (x) = log
x2 − 3x + 2
x+1
,
b1. determinarne il dominio;
b2. determinarne zeri e segno;
b3. calcolarne i limiti nei punti di frontiera del dominio.
c. Determinare massimi e minimi relativi e flessi della funzione
2 − 3 log(x)
x2
c1. Dominio di f (x)
c2. Calcolo e studio di f (x)
c3. Calcolo e studio di f ”(x)
d. .
MATEMATICA GENERALE
Appello del 9 luglio 2001
Gli studenti del Diploma SIGI devono svolgere, per il I modulo, gli esercizi a.,b.,c..
Esercizio
Punti
a (a1+a2+a3)
8 (1+2+5)
b(b1+b2)
9 (4+5)
c (c1+c2+c3)
7 (2+3+2)
a. Data la funzione
f (x) = x
d (d1+d2)
6 (2+4)
x−4
,
x
a1. determinarne il dominio;
a2. determinarne zeri e segno;
a3. calcolarne i limiti nei punti di frontiera del dominio .
b. Data la funzione
f (x) =
3
9 − x2 ,
nel suo dominio:
b1. determinarne gli eventuali punti di massimo o minimo relativo;
b2. studiarne la convessità e determinarne gli eventuali punti di flesso.
8
c. Data la funzione

x≤0
 1−x
x2
f (x) =
− +1 0<x≤1
 22 1
x>1
x −2
c1. Studiarne la continuità nei punti x = 0 e x = 1
c2. Studiarne la derivabilità, usando, nei punti x = 0 e x = 1, la definizione di derivata
c3. Tracciarne il grafico






2k
3
k
d. Dati i vettori v1 =  1  v2 =  0  v3 =  2  ,
1
k
1
d1. determinare per quali valori di k sono linearmente indipendenti;
d2. nei casi in cui sono dipendenti trovare una relazione di dipendenza lineare.
MATEMATICA GENERALE
Appello del 10 settembre 2001
Gli studenti del Diploma SIGI devono svolgere, per il I modulo, gli esercizi a.,b.,c..
Esercizio
Punti
a (a1+a2)
8 (5+3)
b(b1+b2)
9 (4+5)
c
6
d (d1+d2)
7 (3+4)
a. Data la funzione
f (x) =
5x − 3
,
3x + 2
a1. disegnarne il grafico come traslata di una funzione elementare;
a2. disegnare inoltre il grafico di −f (x), |f (x)| e f (|x|).
b. Data la funzione
f (x) = (1 − x2 ) e−2x ,
nel suo dominio:
b1. determinarne gli eventuali punti di massimo o minimo relativo;
b2. studiarne la convessità e determinarne gli eventuali punti di flesso.
c. Usando i primi tre termini dello sviluppo di Taylor calcolare il valore approssimato di
8, 4.
d. Studiare, al variare dei parametri reali h e k , e quindi risolvere il seguente sistema di equazioni lineari:

 kx + ky + 2z = 1
2x + y + 3z = 0

kx + 2ky = h
MATEMATICA GENERALE
Appello del 24 settembre 2001
Gli studenti del Diploma SIGI devono svolgere, per il I modulo, gli esercizi a.,b..
Esercizio
Punti
a (a1+a2+a3+a4+a5)
14 (4+1+4+3+2)
b(b1+b2+b3)
8 (2+4+2)
c
8
9
a. Studiare la seguente funzione
f (x) = x − 2
1 − x2 ,
e tracciarne il grafico.
 2
 x +x+1 x≤0
1 − x2
0<x≤1
f (x) =

−2(x − 1) x > 1
b. Data la funzione
b1. Studiare la continuità di f (x) nei punti x = 0 e x = 1.
b2. Usando la definizione di derivata, sudiare la derivabilità di f (x) nei punti x = 0 e x = 1.
b3.Tracciare il grafico della funzione
c. Trovare per quali valori del parametro reale k i seguenti vettori sono linearmente indipendenti o linearmente
dipendenti e, in questo caso, determinare una relazione di dipendenza lineare.
v 1 = (1, k, k) v 2 = (k, 1, 1),
v 3 = (3, 0, 2)
MATEMATICA GENERALE
Appello del 12 novembre 2001
Esercizio
a (a1+a2)
b (b1+b2+b3+b4+b5)
Punti
8 (5+3)
14 (2+1+4+4+3)
c (c1+c2)
8 (4+4)
a. Data la funzione
f (x) =
3x − 1
,
5x − 4
a1. disegnarne il grafico come traslata di una funzione elementare;
a2. disegnare inoltre il grafico di −f (x), |f (x)| e f (|x|).
b. Studiare la seguente funzione
x
f (x) = (x − 1) e x−1
e tracciarne il grafico.

 3x + ky + 3zy = 1
2x + ky + 4z = 1

kx + z = h
c. Dato il sistema lineare
c1. Determinare per quali valori di k il sistema è compatibile
c2. Trovarne le soluzioni (in tali casi)
MATEMATICA GENERALE – CORSI DI LAUREA IN EA, EI, ELI, EMIF, SIGI
Appello del 25 Gennaio 2002
Gli studenti del S.I.G.I. svolgano gli esercizi a , b , d , e .
Esercizio
Punti
a (a1+a2+a3)
6 (1+3+2)
b (b1+b2+b3)
6 (2+2+2)
c
6
d (d1+d2)
6 (3+3)
a. Determinare massimi e minimi relativi e flessi della funzione
y = (x − 4) e3x−5
a1. Dominio di f (x)
a2. Calcolo e studio di f (x)
a3. Calcolo e studio di f ”(x)
10
e (e1+e2+e3)
6 (2+2+2)
b. Data la funzione
 √
 − −x x ≤ 0
x − x2 0 < x ≤ 1
f (x) =

1−x
x>1
b1. Studiarne la continuità nei punti x = 0 e x = 1.
b2. Studiarne la derivabilità, usando, nei punti x = 0 e x = 1, la definizione di derivata.
b3. Tracciarne il grafico
c. Calcolare il seguente integrale
√
3
x4 + x3 +
√
3
x2
d. Data la seguente funzione
f (x) = ln
√
3
x2 ex
dx.
x2 − 3x + 2
,
x
determinare:
d1. dominio, segno e zeri della funzione :
d2. limiti ed eventuali asintoti:
e. Dato il seguente insieme i numeri reali
A=
(−1)n
n
n2 + 1
,
n∈N
determinare:
e1. estremo superiore, estremo inferiore, massimo e minimo
e2. eventuali punti di accumulazione
e3. calcolare, se esiste
lim (−1)n
n→∞
n
n2 + 1
MATEMATICA GENERALE – CORSI DI LAUREA IN EA, EI, ELI, EMIF, SIGI
Appello del 25 Gennaio 2002
Gli studenti del S.I.G.I. svolgano gli esercizi a , b , d , e .
Esercizio
Punti
a (a1+a2+a3)
6 (1+3+2)
b (b1+b2+b3)
6 (2+2+2)
c
6
d (d1+d2)
6 (3+3)
a. Determinare massimi e minimi relativi e flessi della funzione
y = (x + 2) ex+4
a1. Dominio di f (x)
a2. Calcolo e studio di f (x)
a3. Calcolo e studio di f ”(x)
11
e (e1+e2+e3)
6 (2+2+2)
b. Data la funzione

x≤0
 −2x
ex − 1
0<x≤1
f (x) =

x − x2 + (e − 1) x > 1
b1. Studiarne la continuità nei punti x = 0 e x = 1.
b2. Studiarne la derivabilità, usando, nei punti x = 0 e x = 1 , la definizione di derivata.
b3. Tracciarne il grafico
c. Calcolare il seguente integrale
√
5
√
3
x3 + x4 + x7 sin x
√
dx.
3
x7
d. Data la seguente funzione
f (x) = ln
x2 − 5x + 4
,
x−3
determinare:
d1) dominio, segno e zeri della funzione :
d2 limiti ed eventuali asintoti:
e. Dato il seguente insieme i numeri reali
(−1)n
A=
2n
n2 + 5
,
n∈N
determinare:
e1. estremo superiore, estremo inferiore, massimo e minimo
e2. eventuali punti di accumulazione
e3. calcolare, se esiste
lim (−1)n
n→∞
2n
+5
n2
MATEMATICA GENERALE
Prova di Completamento - 25 Gennaio 2002
Gli studenti del S.I.G.I. svolgano gli esercizi a , b , d.
Esercizio
Punti
a (a1+a2+a3)
8 (1+4+3)
b
6
c
6
d (d1+d2)
8 (4+4)
a. Determinare massimi e minimi relativi e flessi della funzione
y = (x − 4) e3x−5
a1. Dominio di f (x)
a2. Calcolo e studio di f (x)
a3. Calcolo e studio di f ”(x)
b. Usando i primi tre termini non nulli dello sviluppo in formula di Taylor, calcolare
8, 76
12
c. Calcolare il seguente integrale
√
3
x4 + x3 +
√
3
x2
√
3
x2 ex
dx.
d. a) Sia f (x) una funzione definita e continua nell’intervallo (2, 5). Se x0 = 3 è un punto di massimo relativo,
allora f (x0 ) nulla.(motivare brevemente la risposta) V F
b) Supponiamo che f (x) sia una funzione continua in [−a, a] e che inoltre essa sia in tale intervallo pari.
Allora
a
f (x) dx = 0.
−a
(motivare brevemente la risposta)
V
F
MATEMATICA GENERALE
Prova di Completamento - 25 Gennaio 2002 Gli studenti del S.I.G.I. svolgano gli esercizi a , b , d.
Esercizio
Punti
a (a1+a2+a3)
8 (1+4+3)
b
6
c
6
d (d1+d2)
8 (4+4)
a. Determinare massimi e minimi relativi e flessi della funzione
y = (x + 2) ex+4
a1. Dominio di f (x)
a2. Calcolo e studio di f (x)
a3. Calcolo e studio di f ”(x)
b. Usando i primi tre termini non nulli dello sviluppo in formula di Taylor, calcolare
ln 0, 85
c. Calcolare il seguente integrale
√
5
√
3
x3 + x4 + x7 sen x
√
dx.
3
x7
d. a) Sia f (x) una funzione definita e derivabile nell’intervallo (−2, 5). Se x0 = 0 è un punto di massimo
relativo, allora f (x0 ) nulla.(motivare brevemente la risposta) V F
b) Supponiamo che f (x) sia una funzione continua in [−a, a] e che inoltre essa sia in tale intervallo dispari.
Allora
a
f (x) dx = 0.
−a
(motivare brevemente la risposta)
V
F
MATEMATICA GENERALE
Prova di Completamento - 25 Gennaio 2002
Gli studenti del S.I.G.I. svolgano gli esercizi a , b , d.
Esercizio
Punti
a (a1+a2+a3)
8 (1+4+3)
b
6
c
6
d (d1+d2)
8 (4+4)
13
a. Determinare massimi e minimi relativi e flessi della funzione
y = (3 − x) e3x−5
a1. Dominio di f (x)
a2. Calcolo e studio di f (x)
a3. Calcolo e studio di f ”(x)
b. Usando i primi tre termini non nulli dello sviluppo in formula di Taylor, calcolare
3
1, 15
c. Calcolare il seguente integrale
√
7
x4 + x3 +
√
5
x2
√
5
x2 ex
dx.
d. a)Sia f (x) una funzione definita e continua nell’intervallo (1, 5). Se x0 = 2 è un punto di flesso, allora f (x0 )
nulla.(motivare brevemente la risposta) V F
b) Supponiamo che f (x) sia una funzione continua in [−a, a] e che inoltre essa sia in tale intervallo pari.
Allora
a
a
f (x) dx = 2
f (x) dx.
−a
(motivare brevemente la risposta)
V
0
F
MATEMATICA GENERALE
Prova di Completamento - 25 Gennaio 2002
Gli studenti del S.I.G.I. svolgano gli esercizi a , b , d.
Esercizio
Punti
a (a1+a2+a3)
8 (1+4+3)
b
6
c
6
d (d1+d2)
8 (4+4)
a. Determinare massimi e minimi relativi e flessi della funzione
y = (3 − x) ex+7
a1. Dominio di f (x)
a2. Calcolo e studio di f (x)
a3. Calcolo e studio di f ”(x)
b. Usando i primi tre termini non nulli dello sviluppo in formula di Taylor, calcolare
√
4
e
c. Calcolare il seguente integrale
√
3
√
5
x2 + x6 + x3 cos x
√
dx.
5
x3
14
d. a)Sia f (x) una funzione definita e continua nell’intervallo (1, 5). Se x0 = 2 è un punto di flesso, allora f ”(x0 )
nulla.(motivare brevemente la risposta) V F
b) Supponiamo che f (x) sia una funzione continua in [−a, a] . Allora
a
f (x) dx > 0.
−a
(motivare brevemente la risposta)
V
F
Corsi di laurea in EA,EI,ELI, EMIF
MATEMATICA GENERALE
Appello del 8 Febbraio 2002
Esercizio
Punti
a (a1+a2)
7 (4+3)
b (b1+b2)
8 (3+5)
c (c1+c2)
6 (3+3)
d (d1+d2+d3+d4)
9 (1+4+2+2)
a. Data la funzione
f (x) =
7x − 1
,
3x + 8
a1. disegnarne il grafico come traslata di una funzione elementare;
a2. disegnare inoltre il grafico di −f (x), |f (x)| e f (|x|).






3
k
k
b. Dati i vettori v1 =  k  v2 =  3  v3 =  3  ,
k
3
2
b1. determinare per quali valori di k sono linearmente indipendenti;
b2. nei casi in cui sono dipendenti trovare una relazione di dipendenza lineare.
c. c1. Sia data una funzione y = f (x) continua nell’intervallo [a, b). Allora essa in tale intervallo ammette
massimo e minimo assoluto. (motivare brevemente la risposta)
V
,
F
c2. Sia y = f (x) una funzione definita e limitata nell’intervallo [a, b]. Allora essa ammette almeno una
primitiva. (motivare brevemente la risposta)
V
,
F
d. Data la funzione
f (x) = x − 2
√
3
x,
determinare:
d1. determinarne dominio, segno e limiti ;
d2. determinarne gli eventuali punti di massimo o minimo relativo;
d3. studiarne la convessità e determinarne gli eventuali punti di flesso.
d4.tracciarne il grafico .
Corsi di laurea in EA,EI,ELI, EMIF
MATEMATICA GENERALE
Appello del 8 Febbraio 2002
Esercizio
Punti
a (a1+a2)
7 (4+3)
b (b1+b2)
8 (3+5)
c (c1+c2)
6 (3+3)
15
d (d1+d2+d3+d4)
9 (1+4+2+2)
a. Data la funzione
f (x) =
3 − 8x
,
3x + 5
a1. disegnarne il grafico come traslata di una funzione elementare;
a2. disegnare inoltre il grafico di −f (x), |f (x)| e f (|x|).






3k
k
k
b. Dati i vettori v1 =  k  v2 =  1  v3 =  1  ,
1
3
2
b1. determinare per quali valori di k sono linearmente indipendenti;
b2. nei casi in cui sono dipendenti trovare una relazione di dipendenza lineare.
c. c1. Sia data una funzione y = f (x) invertibile nell’intervallo [a, b]. Allora essa in tale intervallo è strettamente
monotona. (motivare brevemente la risposta)
V
,
F
c2. Sia y = f (x) una funzione definita e continua nell’intervallo (a, b). Allora essa ammette massimo e
minimo assoluto in tale intervallo.. (motivare brevemente la risposta)
V
,
F
f. Data la funzione
f (x) = 2x −
√
3
x2 ,
determinare:
f1. determinarne dominio, segno e limiti ;
f2. determinarne gli eventuali punti di massimo o minimo relativo;
f3. studiarne la convessità e determinarne gli eventuali punti di flesso.
f4.tracciarne il grafico .
MATEMATICA GENERALE – CORSI DI LAUREA IN EA, EI, ELI, EMIF, SIGI
Appello del 10 Giugno 2002
Esercizio
Punti
a (a1+a2+a3)
6 (1+3+2)
b (b1+b2+b3)
6 (2+2+2)
c
6
d (d1+d2)
6 (3+3)
e (e1+e2)
6 (3+3)
a. Determinare massimi e minimi relativi e flessi della funzione
y = 3 (1 − x2 )2
a1. Dominio di f (x)
a2. Calcolo e studio di f (x)
a3. Calcolo e studio di f ”(x)
b. Data la funzione

x≤0
 3x − 1
−1 − x2
0<x≤1
f (x) =

−e(1−x) − 1 x > 1
b1. Studiarne la continuità nei punti x = 0 e x = 1.
b2. Studiarne la derivabilità, usando, nei punti x = 0 e x = 1, la definizione di derivata.
b3. Tracciarne il grafico
16
c. Dato il seguente insieme i numeri reali
n
(−1)
n2 + 2
n
A=
,
n∈N
determinare:
c1. estremo superiore, estremo inferiore, massimo e minimo
c2. eventuali punti di accumulazione
c3. calcolare, se esiste
n
lim (−1)n 2
n→∞
n +2
d. Data la seguente funzione
f (x) = ln
x2 − 4
,
x
determinare:
d1. dominio, segno e zeri della funzione :
d2. limiti ed eventuali asintoti:
e.
• Sia f una funzione reale di variabile reale. Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false motivando
brevemente le risposte:
Allora esiste c ∈ (a, b) tale che f (c) = 0
e1) Se f è continua in (a, b] , f (a) > 0 e f (b) < 0.
V F
e2) Se f è derivabile in (a, b) allora è continua in [a, b].
V
F
MATEMATICA GENERALE – CORSI DI LAUREA IN EA, EI, ELI, EMIF, SIGI
Appello del 24 Giugno 2002
Esercizio
Punti
a (a1+a2)
6 (3+3)
b (b1+b2+b3)
6 (2+2+2)
c
5
d (d1+d2+d3)
7 (1+4+2)
e (e1+e2)
6 (3+3)
a.
Data la funzione
f (x) =
2x + 5
3x − 1
a1. tracciarne il grafico come traslata di una funzione elementare;
a2. disegnare il grafico di −f (x), |f (x)|, f (|x|).
b. Dato il seguente insieme i numeri reali
A=
(−1)n
n2
n+7
,
n∈N
determinare:
b1. estremo superiore, estremo inferiore, massimo e minimo
b2. eventuali punti di accumulazione
b3. calcolare, se esiste
lim (−1)n
n→∞
17
n2
n+7
c. Usando i primi tre termini non nulli della formula di Taylor, calcolare il valore approssimato di
√
7
e
√
d. Data la funzione
f (x) =
3+x−1
,
x2 − 4
d1. determinare il dominio di f (x):
d2. studiare la discontinuità di f (x) nei punti in cui il denominatore della funzione si annulla:
d4. calcolare f (x).
e. Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false motivando brevemente le risposte:
e1. Sia f : IR → [−1, 1] una funzione continua. Allora esiste il limx→+∞ f (x)
V
F
e2) Sia f (x) = x3 nell’insieme [0, 1] ∪ [2, 3]. Essa assume tutti i valori dell’intervallo [0, 27].
V
F
MATEMATICA GENERALE – CORSI DI LAUREA IN EA, EI, ELI, EMIF, SIGI
Appello del 16 Luglio 2002
Esercizio
Punti
a (a1+a2+a3)
6 (1+3+2)
b (b1+b2)
6 (2+4)
c
6
d (d1+d2)
6 (3+3)
e (e1+e2)
6 (3+3)
a. Determinare massimi e minimi relativi e flessi della funzione
f (x) = (x2 − 1) e−2x
a1. Dominio di f (x)
a2. Calcolo e studio di f (x)
a3. Calcolo e studio di f (x)




 
k
k
1
b. Dati i vettori v1 =  2k  v2 =  1  v3 =  2  ,
1
1
1
b1. determinare per quali valori di k sono linearmente indipendenti;
b2. nei casi in cui sono dipendenti trovare una relazione di dipendenza lineare.
c. Usando i primi quattro termini della formula di Taylor calcolare il valore approssimato di
d. Data la seguente funzione
f (x) = ln
x+3
,
x2
determinare:
d1. dominio, segno e zeri della funzione :
d2. limiti ed eventuali asintoti:
e.
Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false motivando brevemente le risposte:
18
√
8, 15.
e1) Consideriamo la funzione
x2
1
f (x) =
0<x≤1
x=0
Essa verifica il teorema di Rolle.
V
F
e2) Sia f (x) = x3 nell’intervallo [−1, 1]. Allora
f (x) dx > 0.
V
F
MATEMATICA GENERALE – CORSI DI LAUREA IN EA, EI, ELI, EMIF,SIGI
Appello del 12 settembre 2002
Esercizio
Punti
a (a1+a2+a3)
6 (1+3+2)
b (b1+b2+b3)
6 (2+2+2)
c (c1+c2+c3)
6 (2+2+2)
d (d1+d2)
6 (3+3)
e (e1+e2)
6 (3+3)
a. Determinare massimi e minimi relativi e flessi della funzione
f (x) = e2x − ex
a1. Dominio di f (x)
a2. Calcolo e studio di f (x)
a3. Calcolo e studio di f (x)
b. Data la funzione
 x
x≤0
 e
x+1
0<x≤1
f (x) =

−x2 + 3 x > 1
b1. Studiarne la continuità nei punti x = 0 e x = 1.
b2. Studiarne la derivabilità, usando, nei punti x = 0 e x = 1, la definizione di derivata.
b3. Tracciarne il grafico
c. Dato il seguente insieme i numeri reali
A=
n+1
(−1)
+1
,
n2
n∈N
n
determinare:
c1. estremo superiore, estremo inferiore, massimo e minimo
c2. eventuali punti di accumulazione
c3. calcolare, se esiste
lim
n→∞
n+1
(−1)
+1
n2
n
d. Data la seguente funzione
f (x) = ln
determinare:
d1. dominio, segno e zeri della funzione :
d2. limiti ed eventuali asintoti:
19
x2 − 4
,
x
e.
Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false motivando brevemente le risposte:
e1) Consideriamo la funzione
f (x) = 1 − |x| ,
x ∈ [−1, 1]
Essa verifica il teorema di Rolle.
V
F
e2) Sia f (x) =
x+1
x
. Allora
lim f (x) = 1.
x→+∞
V
F
MATEMATICA GENERALE – CORSI DI LAUREA IN EA, EI, ELI, EMIF,SIGI
Appello del 26 settembre 2002
Esercizio
Punti
a (a1+a2+a3)
6 (1+3+2)
b (b1+b2)
6 (3+3)
c
6
d (d1+d2)
6 (3+3)
e (e1+e2)
6 (3+3)
a. Determinare massimi e minimi relativi e flessi della funzione
f (x) = (x − 1) e−3x
a1. Dominio di f (x)
a2. Calcolo e studio di f (x)
a3. Calcolo e studio di f (x)
b. Data la funzione
f (x) =
3x − 7
2x + 1
b1. tracciarne il grafico come traslata di una funzione elementare;
b2. disegnare il grafico di −f (x), |f (x)|, f (|x|).
c. Usando la formula di Maclaurin (formula di Taylor di punto iniziale x0 = 0), arrestata al terzo termine ,
calcolare
1
√
4
e
d. Data la seguente funzione
f (x) = ln
x2 − 5x + 4
,
x−2
determinare:
d1. dominio, segno e zeri della funzione :
d2. limiti ed eventuali asintoti:
e.
Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false motivando brevemente le risposte:
20
e1) Consideriamo la funzione
f (x) = x2
Allora
,
x ∈ [−1, 1]
1
f (x) dx = 0
−1
.
V
e2) Sia f (x) = x
F
cos x1
. Allora
lim f (x) = 0.
x→0
V
F
Corsi di laurea in EA, EI, ELI,EMIF,SIGI
MATEMATICA GENERALE
Appello del 18 Novembre 2002
Esercizio
Punti
a (a1+a2+a3+a4+a5)
10 (2+2+2+2+2)
b
6
c (c1+c2)
7 (3+4)
a. Disegnare il grafico della funzione
f (x) = ln
d (d1+d2+d3)
7 (2+2+3)
x
(3 − x)2
:
a1. Dominio, zeri e segno
a2. Limiti nei punti di frontiera del dominio
a3. Studio di f (x), crescenza e decrescenza e eventuali punti di massimo e minimo relativo
a4. Studio di f (x), concavità e convessità e eventuali punti di flesso
a5. Grafico
b. Utlizzando la formula di Taylor, arrestata al quarto termine, calcolare
0, 78.
c. c1) Sia f (x) = x sen x1 . Essa è derivabile in x = 0? (motivare brevemente la risposta)
V
F
c2) Consideriamo la funzione f (x) = x5 nell’intervallo [−a, a]. Allora
a
f (x) dx ≤ 0.
−a
(motivare brevemente la risposta)
V
F
d. Dato il seguente insieme i numeri reali
A=
n−1
(−1)
2n + 1
n
,
n∈N
determinare:
d1. estremo superiore, estremo inferiore, massimo e minimo
d2. eventuali punti di accumulazione
d3. calcolare, se esiste
lim (−1)n
n→∞
n−1
2n + 1
MATEMATICA GENERALE – PROVA DI COMPLETAMENTO
21
3 Febbraio 2003
Esercizio
Punti
A (A1+A2+A3)
(8=2 + 3 + 3)
B
(6)
C
(8)
D (D1 + D2)
(8=4 + 4)
ESERCIZIO A
Data la funzione:
f (x) = ln
x+1
x−1
A1. determinare il dominio di f :
A2. calcolare la derivata prima, studiarne il segno e trovare eventuali punti stazionari:
A3. calcolare la derivata seconda, studiarne il segno e determinare gli eventuali punti di flesso:
ESERCIZIO B
Determinare i primi tre termini non nulli del polinomio di Taylor e mediante questi calcolare il valore
approssimato di:
ln(0.9)
ESERCIZIO C
Svolgere UNO SOLO tra i due esercizi C’ e C”:
C’. Considerare la seguente matrice:

k
A= 0
0

1
1
k−1
2 
0
k−3
Al variare del parametro k, determinare il rango di A. Fissato poi un k per cui il rango di A non sia
massimo, determinare una relazione di dipendenza lineare tra i vettori colonna (o riga) della matrice.
C”. Calcolare il seguente integrale:
√
√ √
x + 3 x7 + 2 x3 1 + x2
√
dx
x
ESERCIZIO D
Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false motivando brevemente le risposte:
b
D1. Se f è continua e positiva nell’intervallo [a, b], allora a f (x) dx ≥ 0.
V
F
D2. Se f è una funzione convessa, allora è monotona non decrescente.
V
F
MATEMATICA GENERALE – PROVA DI COMPLETAMENTO
3 Febbraio 2003
Esercizio
Punti
A (A1+A2+A3)
(8=2 + 3 + 3)
B
(6)
C
(8)
D (D1 + D2)
(8=4 + 4)
22
ESERCIZIO A
Data la funzione:
f (x) = ln
x+1
x−2
A1. determinare il dominio di f :
A2. calcolare la derivata prima, studiarne il segno e trovare eventuali punti stazionari:
A3. calcolare la derivata seconda, studiarne il segno e trovare eventuali punti di flesso:
ESERCIZIO B
Determinare i primi tre termini non nulli del polinomio di Taylor e mediante questi calcolare il valore
approssimato di:
ln(1.1)
ESERCIZIO C
Svolgere UNO SOLO tra i due esercizi C’ e C”:
C’. Considerare la seguente matrice:

5−k
A= 0
0

2
5
7 −7 
0 k+2
Al variare del parametro k, determinare il rango di A. Fissato poi un k per cui il rango non sia
massimo, determinare una relazione di dipendenza lineare tra i vettori colonna (o riga) di A.
C”. Calcolare il seguente integrale:
√
√
√
4
3
5 x3 + x2 − 2x2 3 + x2
dx
x
ESERCIZIO D
Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false, motivando brevemente le risposte:
b
D1. Se f è continua e negativa nell’intervallo [a, b], si può affermare che a f (x) dx ≤ 0.
V
F
D2. Sia f una funzione monotona crescente e derivabile in un intervallo. Allora in tale intervallo si ha
necessariamente f > 0.
V
F
MATEMATICA GENERALE – PROVA DI COMPLETAMENTO
3 Febbraio 2003
Esercizio
Punti
A (A1+A2+A3)
(2 + 3 + 3)
B
(6)
C
(8)
D (D1 + D2)
(4 + 4)
ESERCIZIO A
23
Data la funzione:
f (x) = ln
x+1
x−3
A1. determinare il dominio di f :
A2. calcolare la derivata prima, studiarne il segno e trovare eventuali punti stazionari:
A3. calcolare la derivata seconda, studiarne il segno e trovare eventuali punti di flesso:
ESERCIZIO B
Determinare i primi tre termini non nulli del polinomio di Taylor e mediante questi calcolare il valore
approssimato di:
√
4
1.5
ESERCIZIO C
Svolgere UNO SOLO tra i due esercizi C’ e C”:
C’. Considerare la seguente matrice:

k
A= 3
−7
0
−3
5

0
0 
k−2
Al variare del parametro k, determinare il rango di A. Fissato poi un k per cui il rango non sia
massimo, determinare una relazione di dipendenza lineare tra i vettori colonna (o riga) di A.
C”. Calcolare il seguente integrale:
√
√
2
3
3
4 x7 + x2 + 2x2 ex
dx
x
ESERCIZIO D
Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false, motivando brevemente le risposte:
D1. Se f è una funzione definita su tutto R, continua,
a dispari e strettamente positiva se x > 0. Allora si
può affermare che, se a é un numero positivo, −a f (x) dx > 0.
V
F
D2. Sia f una funzione monotona decrescente e derivabile in un intervallo. Allora in tale intervallo si ha
necessariamente f < 0.
V
F
MATEMATICA GENERALE – PROVA DI COMPLETAMENTO
3 Febbraio 2003
Esercizio
Punti
A (A1+A2+A3)
(8=2 + 3 + 3)
B
(6)
C
(8)
D (D1 + D2)
(8=4 + 4)
ESERCIZIO A
24
Data la funzione:
f (x) = ln
x+1
x−4
A1. determinare il dominio di f :
A2. calcolare la derivata prima, studiarne il segno e trovare eventuali punti stazionari:
A3. calcolare la derivata seconda, studiarne il segno e trovare eventuali punti di flesso:
ESERCIZIO B
Determinare i primi tre termini non nulli del polinomio di Taylor e mediante questi calcolare il valore
approssimato di:
√
4
0.9
ESERCIZIO C
Svolgere UNO SOLO tra i due esercizi C’ e C”:
C’. Considerare la seguente matrice:

k+4
1
1−k
A= 0
0
0

1
−1 
k
Al variare del parametro k, determinare il rango di A. Fissato poi un k per cui il rango non sia
massimo, determinare una relazione di dipendenza lineare tra i vettori colonna (o riga) di A.
C”. Calcolare il seguente integrale:
√
3
5 x5 + 1 + 3x4 ex
dx
x2
ESERCIZIO D
Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false, motivando brevemente le risposte:
D1. Se f è una funzione definita su tutto R, continua, dispari
e strettamente negativa se x > 0. Allora si
a
può affermare che, se a è un numero positivo, vale −a f (x) dx < 0.
V
F
D2. Sia f una funzione derivabile in un intervallo. Se x0 è un punto di massimo per f , si ha necessariamente f (x0 ) = 0.
V
F
MATEMATICA GENERALE – PROVA DI COMPLETAMENTO
3 Febbraio 2003
Esercizio
Punti
A (A1+A2+A3)
(8=2 + 3 + 3)
B
(6)
C
(8)
D (D1 + D2)
(8=4 + 4)
ESERCIZIO A
25
Data la funzione:
f (x) = ln
x+1
x−5
A1. determinare il dominio di f :
A2. calcolare la derivata prima, studiarne il segno e trovare eventuali punti stazionari:
A3. calcolare la derivata seconda, studiarne il segno e trovare eventuali punti di flesso:
ESERCIZIO B
Determinare i primi tre termini non nulli del polinomio di Taylor e mediante questi calcolare il valore
approssimato di:
√
3
1.1
ESERCIZIO C
Svolgere UNO SOLO tra i due esercizi C’ e C”:
C’. Considerare la seguente matrice:


1
3 
k−1
k+5
2
k−3
A= 0
0
0
Al variare del parametro k, determinare il rango di A. Fissato poi un k per cui il rango di A non sia
massimo, determinare una relazione di dipendenza lineare tra i vettori colonna (o riga) della matrice.
C”. Calcolare il seguente integrale:
√
x2 + x + 12 e
√
x
x
dx
ESERCIZIO D
Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false, motivando brevemente le risposte:
D1. Sia f una funzione continua su un intervallo [a, b] e tale che f ≤ 4. Allora si può affermare che:
b
f (x) dx ≤ 4(b − a).
a
V
F
D2. Sia f una funzione derivabile due volte in un intervallo. Se x0 è un punto di massimo per f , si ha
necessariamente f (x0 ) = 0.
V
F
MATEMATICA GENERALE – PROVA DI COMPLETAMENTO
3 Febbraio 2003
Esercizio
Punti
A (A1+A2+A3)
(8=2 + 3 + 3)
B
(6)
C
(8)
D (D1 + D2)
(8=4 + 4)
ESERCIZIO A
26
Data la funzione:
f (x) = ln
x+1
x−6
A1. determinare il dominio di f :
A2. calcolare la derivata prima, studiarne il segno e trovare eventuali punti stazionari:
A3. calcolare la derivata seconda, studiarne il segno e trovare eventuali punti di flesso:
ESERCIZIO B
Determinare i primi tre termini non nulli del polinomio di Taylor e mediante questi calcolare il valore
approssimato di:
√
3
0.9
ESERCIZIO C
Svolgere UNO SOLO tra i due esercizi C’ e C”:
C’. Considerare la seguente matrice:


k+2
0
0
k+1
0 
A= 1
−1
4
k+3
Al variare del parametro k, determinare il rango di A. Fissato poi un k per cui il rango di A non sia
massimo, determinare una relazione di dipendenza lineare tra i vettori colonna (o riga) della matrice.
C”. Calcolare il seguente integrale:
√
√
x3 + x3 + 12 e
√
x
x
dx
ESERCIZIO D
Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false, motivando brevemente le risposte:
D1. Se f è una funzione definita su tutto R, continua e maggiore di 5. Allora si può affermare che, presi
b
due numeri a, b con a < b, si ha questa disuguaglianza: a f (x) dx ≥ 5(b − a).
V
F
D2. Sia f una funzione derivabile due volte in un intervallo. Se x0 è un punto di flesso per f , si ha
necessariamente f (x0 ) = 0.
V
F
MATEMATICA GENERALE
Corsi di Laurea in EA, ELI, EMIF, EI, EISR
3 Febbraio 2003
Esercizio
Punti
A (A1+A2+A3+A4+A5)
(10=2+2+2+2+2)
B
(4)
C
(6)
D (D1 + D2)
(4=2+2)
ESERCIZIO A
27
E (E1 + E2)
(6=3+3)
Data la funzione:
f (x) = ln
x+1
x+2
A1. determinare dominio, segno ed eventuali zeri di f :
A2. calcolare i limiti ed eventuali asintoti:
A3. studiare la crescenza della funzione e dire se esistono punti di massimo o di minimo per f :
A4. studiare la concavità di f e trovare gli eventuali flessi
A5. disegnare il grafico di f :
ESERCIZIO B
Determinare i primi tre termini non nulli del polinomio di Taylor e mediante questi calcolare il valore
approssimato di:
e0.2
ESERCIZIO C
Considerare la seguente matrice:

k−1
A= 0
0
1
k−5
0

1
2 
k−3
Al variare del parametro k, determinare il rango di A. Fissato poi un k per cui il rango di A non sia
massimo, determinare una relazione di d ipendenza lineare tra i vettori colonna (o riga) della matrice.
ESERCIZIO D
Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false, motivando brevemente le risposte:
D1. Se f è una funzione definita su tutto R, continua, pari e strettamente negativa.
a
b
Allora si può affermare che, se a, b sono numeri positivi con a < b, −a f (x) dx > −b f (x) dx.
V
F
D2. Sia f una funzione derivabile due volte in un intervallo e convessa. Da queste proprietà segue che
f > 0.
V
F
ESERCIZIO E
Data la seguente funzione:
 x+1
− 1 se x ≤ −1
 e
ln(x + 2) se −1 < x ≤ 0
f (x) =

x + ln 2
se x > 0
E1. analizzare la continuità e la derivabilità di f
E2. tracciare il grafico di f , vedendo i tre tratti componenti come traslazioni di funzioni elementari:
MATEMATICA GENERALE
Corsi di Laurea in EA, ELI, EMIF, EI, EISR
28
3 Febbraio 2003
Esercizio
Punti
A (A1+A2+A3+A4+A5)
(10=2+2+2+2+2)
B
(4)
C
(6)
D (D1 + D2)
(4=2+2)
E (E1 + E2)
(6=3+3)
ESERCIZIO A
Data la funzione:
f (x) = ln
x−1
x+2
A1. determinare dominio, segno ed eventuali zeri di f :
A2. calcolare i limiti ed eventuali asintoti:
A3. studiare la crescenza della funzione e dire se esistono punti di massimo o di minimo per f :
A4. studiare la concavità di f e trovare gli eventuali flessi
A5. disegnare il grafico di f :
ESERCIZIO B
Determinare i primi tre termini non nulli del polinomio di Taylor e mediante questi calcolare il valore
approssimato di:
ln(1.2)
ESERCIZIO C
Considerare la seguente matrice:

k−1
A= 0
0

1
k
k+3 2 
0
5
Al variare del parametro k, determinare il rango di A. Fissato poi un k per cui il rango di A non sia
massimo, determinare una relazione di d ipendenza lineare tra i vettori colonna (o riga) della matrice.
ESERCIZIO D
Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false, motivando brevemente le risposte:
D1. Siano f e g due funzioni continue, definite in un intervallo [a, b], e tali che f > g. Allora si può
b
b
affermare che a f (x) dx > a g(x) dx
V
F
D2. Sia f una funzione derivabile due volte in un intervallo e concava. Da queste proprietà segue che
f < 0.
V
F
ESERCIZIO E
Data la seguente funzione:
 x+5
− 1 se x ≤ −5
 e
ln(x + 5) se −5 < x ≤ 0
f (x) =

x + ln 5
se x > 0
E1. analizzare la continuità e la derivabilità di f
E2. tracciare il grafico di f , vedendo i tre tratti componenti come traslazioni di funzioni elementari
29
Corsi di Laurea in EA, ELI, EMIF, EI, EISR
MATEMATICA GENERALE
17 Febbraio 2003
Esercizio
Punti
A
6
B (B1+B2)
7 (3+4)
C
6
D (D1+D2)
5 (2+3)
E (E1+E2)
6 (3+3)
ESERCIZIO A
Data la funzione
g(x) =
4x + 1
x−4
tracciarne il grafico come traslata di una funzione elementare; disegnare inoltre il grafico di −g(x), |g(x)|,
g(|x|).
ESERCIZIO B
Data la seguente funzione
ex
x2 − x − 2
f (x) =
determinare:
B1. dominio, segno ed eventuali zeri della funzione :
B2. limiti per x tendente ai punti di frontiera del dominio:
ESERCIZIO C
Studiare, al variare del parametro reale k, e quindi risolvere il seguente sistema di equazioni lineari:

 kx + y + 2kz = 1
2x + y + kz = 0

kx + y + z = k
ESERCIZIO D
Sia assegnata la seguente successione:
{an }n∈N =
1 − n2
3n2 + 1
n∈N
D1. Dire se esiste il limite della successione ed eventualmente calcolarlo:
D2. Determinare l’estremo superiore ed inferiore dell’immagine della successione e dire se tali valori sono
di massimo o di minimo:
ESERCIZIO E
Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false motivando brevemente le risposte:
E1 La funzione f (x) = |x − 1| nell’intervallo [0, 2] soddisfa le ipotesi del teorema di Rolle.
V
F
30
E2 Sia f : (0, +∞) → R, continua, convessa e monotona crescente.
Allora limx→+∞ f (x) = +∞.
V
F
Corsi di Laurea in EA, ELI, EMIF, EI, EISR
MATEMATICA GENERALE
17 Febbraio 2003
Esercizio
Punti
A
6
B (B1+B2)
7 (3+4)
C
6
D (D1+D2)
5 (2+3)
E (E1+E2)
6 (3+3)
ESERCIZIO A
Data la funzione
g(x) =
x+1
5x + 10
tracciarne il grafico come traslata di una funzione elementare; disegnare inoltre il grafico di −g(x), |g(x)|,
g(|x|).
ESERCIZIO B
Data la seguente funzione
f (x) =
ex
3x2 − x
determinare:
B1. dominio, segno ed eventuali zeri della funzione :
B2. limiti per x tendente ai punti di frontiera del dominio:
ESERCIZIO C
Studiare, al variare del parametro reale k, e quindi risolvere il seguente sistema di equazioni lineari:

 x+y+z =1
kx + 2y + kz = k

2kx + ky + z = 0
ESERCIZIO D
Sia assegnata la seguente successione:
{an }n∈N =
1 − n3
3n + 1
n∈N
C1. Dire se esiste il limite della successione ed eventualmente calcolarlo:
C2. Determinare l’estremo superiore ed inferiore dell’immagine della successione e dire se tali valori sono
di massimo o di minimo:
ESERCIZIO E
31
Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false motivando brevemente le risposte:
E1 La funzione y = (x − 1)2 nell’intervallo [0, 3] sodddisfa le ipotesi del teorema di Rolle.
V
F
E2 Sia f : (0, +∞) → R, continua, concava e monotona decrescente.
Allora limx→+∞ f (x) = −∞.
V
F
MATEMATICA GENERALE
Corsi di Laurea in EA, ELI, EMIF, EI, EISR
14 Aprile 2003
Esercizio
A (A1+A2+A3)
Punti
(8=2+3+3)
B
(5)
C
(7)
D (D1 + D2)
(4=2+2)
E (E1 + E2+E3)
(7=2+3+2)
ESERCIZIO A
Data la funzione:
f (x) =
1 −x2
e
x
A1. determinare dominio, segno ed eventuali zeri di f :
A2. calcolare i limiti ed eventuali asintoti:
A3. studiare la crescenza della funzione e dire se esistono punti di massimo o di minimo per f :
ESERCIZIO B
Determinare i primi tre termini non nulli del polinomio di Taylor e mediante questi calcolare il valore
approssimato di:
ln(0.95)
ESERCIZIO C
Considerare la seguente matrice:

k
A= 1
0

2
3
1 e−2 
0 k
Al variare del parametro k, determinare il rango di A. Fissato poi un k per cui il rango di A non sia
massimo, determinare una relazione di dipendenza lineare tra i vettori colonna (o riga) della matrice.
ESERCIZIO D
Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false, motivando brevemente le risposte:
D1. Se f è una funzione definita e continua su un intervallo [a, b]. Se
mente nulla, allora f cambia segno in [a, b].
V
b
a
f (x) dx = 0 e f non è identica-
F
D2. Sia f una funzione derivabile tre volte in un intervallo. Se f > 0, allora f è convessa.
V
F
32
ESERCIZIO E
Data la seguente funzione:
 √
 x−1
f (x) =
(x − 3)2

(x − 3)3
se 1 ≤ x ≤ 2
se 2 < x ≤ 3
se x > 3
E1. analizzare la continuità di f nei punti nei punti x = 2 e x = 3;
E2. analizzarne la derivabilità di f usando, nei punti x = 2 e x = 3, la definizione di derivata.
E3. tracciare il grafico di f , vedendo i tre tratti componenti come traslazioni di funzioni elementari:
MATEMATICA GENERALE
Corsi di Laurea in EA, ELI, EMIF, EI, EISR
10 Giugno 2003
Esercizio
Punti
A (A1+A2+A3+A4)
(9=1+2+3+3)
B
(5)
C
(5)
D (D1 + D2)
(4=2+2)
E (E1 + E2+E3)
(7=2+3+2)
ESERCIZIO A
Data la funzione:
f (x) =
x
e−x
x−1
A1. determinare dominio, segno ed eventuali zeri di f :
A2. calcolare i limiti ed eventuali asintoti:
A3. studiare la crescenza della funzione e dire se esistono punti di
massimo o di minimo per f :
A4. studiare la concavità e convessità della funzione e dire se esistono punti di
flesso per f :
ESERCIZIO B
B1. Determinare i primi tre termini non nulli del polinomio di Taylor
e mediante questi calcolare il valore approssimato di:
√
1.05
ESERCIZIO C
Calcolare il seguente integrale:
1
ln x + √
2 x
dx
ESERCIZIO D
Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false, motivando brevemente le risposte:
33
D1. Se π è un piano in R3 passante per l’origine e r è una retta di π passante per l’origine,
allora il piano privato di tale retta è un sottospazio vettoriale.
V
F
D2. Sia data la funzione f (x) =
V
F
|x|
x .
Nel punto x = 0 essa presenta un punto di discontinuità eliminabile.
ESERCIZIO E

x≤1
 −2x + 2
x2 − 1
1<x≤2
f (x) =

ln (x − 1) + 3 x > 2
Data la funzione
E1 . Studiarne la continuità nei punti x = 1 e x = 2
E2. Studiarne la derivabilità, usando, nei punti x = 1 e x = 2, la definizione di derivata.
E3. Tracciarne il grafico come traslate di funzioni elementari.
MATEMATICA GENERALE
Corsi di Laurea in EA, ELI, EMIF, EI, EISR
23 Giugno 2003
Esercizio
Punti
A (A1+A2+A3+A4+A5)
(10=2+2+2+2+2)
B
(5)
C
(4)
D (D1 + D2)
(4=2+2)
E (E1 + E2+E3)
(7=2+3+2)
ESERCIZIO A
Data la funzione:
f (x) = ln
(x − 2)2
x
A1. determinare dominio, segno ed eventuali zeri di f :
A2. calcolare i limiti ed eventuali asintoti:
A3. studiare la derivata prima f (x) della funzione e dire se esistono punti di massimo o di minimo per
f:
A4. studiare la derivata seconda f (x) della funzione, determinando eventuali punti di flesso;
A5. grafico
ESERCIZIO B
Determinare i primi tre termini non nulli del polinomio di Taylor e mediante questi calcolare il valore
approssimato di:
√
3
34
1.05
ESERCIZIO C
Calcolare il seguente integrale:
3
1
√ + x2
4 x
dx
ESERCIZIO D
Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false, motivando brevemente le risposte:
D1. Il seguente sottoinsieme di R2 :
{(x, y) | y = x2 }
è un sottospazio vettoriale.
V
F
D2. La funzione h(x) =
V
x2
|x|
presenta in x = 0 un punto di discontinuità eliminabile.
F
ESERCIZIO E
Data la seguente funzione:

 x+2
ex+2 − 1
f (x) =
 2
x −1
se x ≤ −2
se −2 < x ≤ 0
se x > 0
E1 . Studiarne la continuità nei punti x = −2 e x = 0.
E2. Studiarne la derivabilità, usando, nei punti x = −2 e x = 0, la definizione di derivata.
E3. Tracciarne il grafico come traslate di funzioni elementari.
MATEMATICA GENERALE
Corsi di Laurea in EA, ELI, EMIF, EI, EISR
16 Luglio 2003
Esercizio
Punti
A (A1+A2+A3+A4+A5)
(10=2+2+2+2+2)
B
(5)
C
(4)
D (D1 + D2)
(4=2+2)
ESERCIZIO A
Data la funzione:
f (x) = ln
x−3
x+1
A1. determinare dominio, segno ed eventuali zeri di f :
A2. calcolare i limiti ed eventuali asintoti:
35
2
E (E1 + E2+E3)
(7=2+3+2)
A3. studiare la derivata prima f (x) della funzione e dire se esistono punti di massimo o di minimo per
f:
A4. studiare la derivata seconda f (x) della funzione, determinando eventuali punti di flesso;
A5. grafico
ESERCIZIO B
Determinare i primi tre termini non nulli del polinomio di Taylor e mediante questi calcolare il valore
approssimato di:
√
4
1.07
ESERCIZIO C
Calcolare il seguente integrale:
(e−x − e4x ) dx
ESERCIZIO D
Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false, motivando
brevemente le risposte:
D1. Il seguente sottoinsieme di R2 :
{(x, y) | y = x2 + y 2 }
è un sottospazio vettoriale.
V
F
D2. Se un sottospazio S ha dimensione maggiore di uno, allora esistono in S tre vettori linearmente
indipendenti
V
F
ESERCIZIO E
Data la seguente funzione:
 √
 −x
1 2
x
f (x) =
 2x−1
e
−
1
2
se x ≤ 0
se 0 < x ≤ 1
se x ≥ 1
E1. analizzare la continuità di f nei punti x = 0 ed x = 1
E2. analizzare la derivabilità di f nei punti x = 0, x = 1 con la definizione di derivata
E3. tracciare il grafico di f , vedendo i tre tratti componenti come traslazioni di funzioni elementari:
MATEMATICA GENERALE
Corsi di Laurea in EA, ELI, EMIF, EI, EISR
36
9 Settembre 2003
Esercizio
Punti
A (A1+A2+A3+A4+A5)
(10=2+2+2+2+2)
B
(5)
C
(4)
D (D1 + D2)
(4=2+2)
E (E1 + E2+E3)
(7=2+3+2)
ESERCIZIO A
Data la funzione:
f (x) = √
x
x−1
A1. determinare dominio, segno ed eventuali zeri di f :
A2. calcolare i limiti ed eventuali asintoti:
A3. studiare la derivata prima f (x) della funzione e dire se esistono punti di massimo o di minimo per
f:
A4. studiare la derivata seconda f (x) della funzione, determinando eventuali punti di flesso;
A5. grafico
ESERCIZIO B
Determinare i primi tre termini non nulli del polinomio di Taylor e mediante questi calcolare il valore
approssimato di:
e0.05
ESERCIZIO C
Considerare la seguente matrice:

k
A= 0
0
√
23
k−2
0

1
2 
k−3
Al variare del parametro k, determinare il rango di A. Fissato poi un k per cui il rango non sia massimo,
determinare una relazione di dipendenza lineare tra i vettori colonna (o riga) di A.
ESERCIZIO D
Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false, motivando
brevemente le risposte:
D1. Se f è una funzione continua su [a, b] e il prodotto f (a)f (b) è negativo, allora esiste un punto
dell’intervallo in cui la funzione si annulla.
V
F
D2. Una funzione integrabile in [a, b] è anche derivabile in ogni punto dell’intervallo.
V
F
ESERCIZIO E
Data la seguente funzione:
 −x
se x ≤ 0
 e −1
−x3 + 3x2 − 3x se 0 < x ≤ 1
f (x) =
 2
x − 2x
se x > 1
37
E1. analizzare la continuità di f nei punti x = 0 ed x = 1
E2. analizzare la derivabilità di f nei punti x = 0, x = 1 con la definizione di derivata
E3. tracciare il grafico di f , vedendo i tre tratti componenti come traslazioni di funzioni elementari:
MATEMATICA GENERALE
Corsi di Laurea in EA, ELI, EMIF, EI, EISR
23 Settembre 2003
Esercizio
A (A1+A2)
Punti
7(4+3)
B (B1+B2)
7(4+3)
C (C1+C2)
6(3+3)
D (D1+D2)
4(2+2)
E
6
ESERCIZIO A
Data la funzione:
f (x) = ln
x2 − 3
2x
A1. determinare dominio, segno ed eventuali zeri di f :
A2. calcolare i limiti ed eventuali asintoti:
ESERCIZIO B
Assegnata la funzione seguente:
g(x) = ln(x) + 2x2 + 5x
B1. studiare la derivata prima f (x) della funzione e dire se esistono punti di massimo o di minimo per
f:
B2. studiare la derivata seconda f (x) della funzione, determinando eventuali punti di flesso;
ESERCIZIO C
Sia (an )n∈N ) la successione con termine generale
dato da:
an =
2n + 5
n+1
C.1 Dire se esiste il limite della successione ed eventualmente calcolarlo.
C.2 Determinare l’estremo superiore e l’estremo inferiore dell’insieme A dei valori della successione, specificando se tali estremi sono il massimo o minimo di A.
ESERCIZIO D
Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false, motivando brevemente le risposte:
D1. Una funzione convessa è derivabile.
V
F
D2. Una funzione derivabile nell’intervallo [a, b] ammette massimo e minimo finiti in [a, b].
V
F
38
ESERCIZIO E
Considerare la seguente matrice:

1
A= 3
0
2
2
4

1
0 
k
Al variare del parametro k, determinare il rango di A. Fissato poi un k per cui il rango non sia massimo,
determinare le soluzioni del sistema omogeneo : A · x = 0.
MATEMATICA GENERALE
Corsi di Laurea in EA, ELI, EMIF, EI, EISR
13 Novembre 2003
Esercizio
A (A1+A2+A3+A4)
Punti
9 (1+2+3+3)
B
5
C
5
D (D1 + D2)
4 (2+2)
E (E1 + E2+E3)
7 (2+3+2)
ESERCIZIO A
Data la funzione:
f (x) = √
x2
x+1
A1. determinare dominio, segno ed eventuali zeri di f :
A2. calcolare i limiti ed eventuali asintoti:
A3. studiare la derivata prima f (x) della funzione e dire se esistono punti di massimo o di minimo per
f:
A4. studiare la derivata seconda f (x) della funzione, determinando eventuali punti di flesso;
ESERCIZIO B
Determinare i primi tre termini non nulli del polinomio di Taylor e mediante questi calcolare il valore
approssimato di:
√
2
1.053
ESERCIZIO C
Considerare la seguente matrice:

k
A= 0
−2
5
3
k2

1
0 
k−3
Al variare del parametro k, determinare il rango di A. Fissato poi un k per cui il rango non sia massimo,
determinare una relazione di dipendenza lineare tra i vettori colonna (o riga) di A.
ESERCIZIO D
Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false, motivando brevemente le risposte:
D1. Se f è una funzione continua su [a, b] e il prodotto f (a)f (b) è positivo, allora esiste un punto x0
dell’intervallo tale che f (x0 ) = 0.
V
F
D2. Una funzione derivabile in [a, b] è anche integrabile nell’intervallo.
V
F
39
ESERCIZIO E
Data la seguente funzione:
 x
 e√ − 1 se x ≤ 0
x
se 0 < x ≤ 1
f (x) =
 x2
se x > 1
4
E1. analizzare la continuità di f nei punti x = 0 ed x = 1
E2. usando la definizione di derivata come limite del rapporto incrementale, analizzare la derivabilità di
f nei punti x = 0 e x = 1 .
E3. tracciare il grafico di f , vedendo i tre tratti componenti come traslazioni di funzioni elementari:
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