Corsi di Laurea in EA, ELI, EMIF Testi delle prove scritte di MATEMATICA GENERALE gennaio 2001 – novembre 2003 ——————————————————————————————————————— MATEMATICA GENERALE Appello del 26 gennaio 2001 Esercizio Punti a (a1+a2) 6 (3+3) b 5 c (c1+c2) 6 (3+3) d (d1+d2+d3+d4+d5) 7 (1+1+3+1+1) e 6 a. Data la funzione f (x) = −|x + 1| + 3, a1. disegnarne il grafico come traslata di una funzione elementare; a2. disegnare inoltre il grafico di −f (x), |f (x)| e f (|x|). b. Determinare l’estremo superiore e inferiore dell’insieme numerico A= n 2− ; n = 0, 1, . . . n+1 Dire se A ammette massimo e minimo. c. Data la funzione x e −1 ln(x) − 3 f (x) = −3 x x ≤ 0, 0<x≤1 x>1 c1. Studiarne la continuità c2. Studiarne la derivabilità, usando, nei punti x = 0 e x = 1, la definizione di derivata. d. Determinare eventuali punti di massimo e minimo relativo della funzione 2 f (x) = (1 − x)e(−2x +4x+2) . Tracciarne un grafico (senza curarsi troppo di concavitá e flessi) e dire se la funzione ammette massimo e minimo assoluti. d1. Dominio di f (x) d2. Limiti nei punti di frontiera del dominio d3. Calcolo e studio di f (x) d4. Grafico d5. Massimo e minimo assoluti (se esistono) e. Calcolare l’integrale indefinito (x − 2) ln(x + 1)dx MATEMATICA GENERALE Appello del 26 gennaio 2001 Esercizio Punti a (a1+a2) 6 (3+3) b 5 c (c1+c2) 6 (3+3) d (d1+d2+d3+d4+d5) 7 (1+1+3+1+1) 1 e 6 a. Data la funzione f (x) = −|x − 1| + 3, a1. disegnarne il grafico come traslata di una funzione elementare; a2. disegnare inoltre il grafico di −f (x), |f (x)| e f (|x|). b. Determinare l’estremo superiore e inferiore dell’insieme numerico A= 1+ 2n ; n = 0, 1, . . . n+1 Dire se A ammette massimo e minimo. c. Data la funzione x ≤ 0, ln(x + 1) − ln(x) + 1 0 < x ≤ 1 f (x) = 1 x>1 x c1. Studiarne la continuità c2. Studiarne la derivabilità, usando, nei punti x = 0 e x = 1, la definizione di derivata. d. Determinare eventuali punti di massimo e minimo relativo della funzione f (x) = (2 − x)e(− x2 2 +2x−1) . Tracciarne un grafico (senza curarsi troppo di concavitá e flessi) e dire se la funzione ammette massimo e minimo assoluti. d1. Dominio di f (x) d2. Limiti nei punti di frontiera del dominio d3. Calcolo e studio di f (x) d4. Grafico d5. Massimo e minimo assoluti (se esistono) e. Calcolare l’integrale indefinito (x + 3) ln(x + 1)dx MATEMATICA GENERALE Appello del 26 gennaio 2001 Esercizio Punti a (a1+a2) 6 (3+3) b 5 c (c1+c2) 6 (3+3) d (d1+d2+d3+d4+d5) 7 (1+1+3+1+1) a. Data la funzione f (x) = |x + 2| − 4, a1. disegnarne il grafico come traslata di una funzione elementare; a2. disegnare inoltre il grafico di −f (x), |f (x)| e f (|x|). b. Determinare l’estremo superiore e inferiore dell’insieme numerico A= 2n 2− ; n = 0, 1, . . . n+1 Dire se A ammette massimo e minimo. 2 e 6 c. Data la funzione x ≤ 0, xex ln(x) + 2 0 < x ≤ 1 f (x) = 2 x>1 x c1. Studiarne la continuità c2. Studiarne la derivabilità, usando, nei punti x = 0 e x = 1, la definizione di derivata. d. Determinare eventuali punti di massimo e minimo relativo della funzione f (x) = (x + 1)e(− x2 2 −x+2) . Tracciarne un grafico (senza curarsi troppo di concavitá e flessi) e dire se la funzione ammette massimo e minimo assoluti. d1. Dominio di f (x) d2. Limiti nei punti di frontiera del dominio d3. Calcolo e studio di f (x) d4. Grafico d5. Massimo e minimo assoluti (se esistono) e. Calcolare l’integrale indefinito (x − 3) ln(x − 2)dx MATEMATICA GENERALE Appello del 26 gennaio 2001 Esercizio Punti a (a1+a2) 6 (3+3) b 5 c (c1+c2) 6 (3+3) d (d1+d2+d3+d4+d5) 7 (1+1+3+1+1) e 6 a. Data la funzione f (x) = |x − 3| − 4, a1. disegnarne il grafico come traslata di una funzione elementare; a2. disegnare inoltre il grafico di −f (x), |f (x)| e f (|x|). b. Determinare l’estremo superiore e inferiore dell’insieme numerico A= n 1− ; n = 0, 1, . . . n+1 Dire se A ammette massimo e minimo. c. Data la funzione 2 x +x ln(x) − 1 f (x) = −1 x x ≤ 0, 0<x≤1 x>1 c1. Studiarne la continuità c2. Studiarne la derivabilità, usando, nei punti x = 0 e x = 1, la definizione di derivata. 3 d. Determinare eventuali punti di massimo e minimo relativo della funzione f (x) = (x − 1)e(− x2 2 +x+1) . Tracciarne un grafico (senza curarsi troppo di concavitá e flessi) e dire se la funzione ammette massimo e minimo assoluti. d1. Dominio di f (x) d2. Limiti nei punti di frontiera del dominio d3. Calcolo e studio di f (x) d4. Grafico d5. Massimo e minimo assoluti (se esistono) e. Calcolare l’integrale indefinito (x + 1) ln(x − 1)dx MATEMATICA GENERALE Appello del 9 febbraio 2001 Esercizio Punti a (a1+a2) 6 (3+3) b 5 c (c1+c2+c3) 7 (2+2+3) d (d1+d2) 6 (3+3) e (e1+e2) 6 (3+3) a. Data la funzione f (x) = ln(x + 2) + 1, a1. disegnarne il grafico come traslata di una funzione elementare; a2. disegnare inoltre il grafico di −f (x), |f (x)| e f (|x|). b. Usando i primi tre termini dello sviluppo di Taylor calcolare il valore approssimato di 3, 9. √ c. Data la funzione f (x) = x2 − 4 , x2 + 5x + 4 c1. determinarne il dominio; c2. determinarne zeri e segno; c3. calcolarne i limiti nei punti di frontiera del dominio. d. Data la funzione di due variabili f (x, y) = ln(y − x2 + 1) + ln(y − x), d1. determinarne geometricamente il dominio; d2. calcolare fxy (x, y). 2k k−7 2 e. Dati i vettori v1 = 2 v2 = −2 v3 = 4 , 1 3k 4k e1. determinare per quali valori di k sono linearmente indipendenti; e2. nei casi in cui sono dipendenti trovare una relazione di dipendenza lineare. MATEMATICA GENERALE Appello del 9 febbraio 2001 Esercizio Punti a (a1+a2) 6 (3+3) b 5 c (c1+c2+c3) 7 (2+2+3) d (d1+d2) 6 (3+3) 4 e (e1+e2) 6 (3+3) a. Data la funzione f (x) = ln(x + 1) − 1, a1. disegnarne il grafico come traslata di una funzione elementare; a2. disegnare inoltre il grafico di −f (x), |f (x)| e f (|x|). b. Usando i primi tre termini dello sviluppo di Taylor calcolare il valore approssimato di 4, 2. √ c. Data la funzione f (x) = x2 − x − 6 , − 3x − 4 x2 c1. determinarne il dominio; c2. determinarne zeri e segno; c3. calcolarne i limiti nei punti di frontiera del dominio. d. Data la funzione di due variabili f (x, y) = ln(x2 + x − y) + ln(x − y + 1), d1. determinarne geometricamente il dominio; d2. calcolare fxy (x, y). −k −k 2 e. Dati i vettori v1 = 1 v2 = −8 v3 = 2 , 1 5k −2k e1. determinare per quali valori di k sono linearmente indipendenti; e2. nei casi in cui sono dipendenti trovare una relazione di dipendenza lineare. MATEMATICA GENERALE Appello del 9 febbraio 2001 Esercizio Punti a (a1+a2) 6 (3+3) b 5 c (c1+c2+c3) 7 (2+2+3) d (d1+d2) 6 (3+3) a. Data la funzione f (x) = e (e1+e2) 6 (3+3) (x + 4) − 1, a1. disegnarne il grafico come traslata di una funzione elementare; a2. disegnare inoltre il grafico di −f (x), |f (x)| e f (|x|). b. Usando i primi tre termini dello sviluppo di Taylor calcolare il valore approssimato di ln(1, 3). √ c. Data la funzione x2 + 2x − 3 , x2 − x − 6 f (x) = c1. determinarne il dominio; c2. determinarne zeri e segno; c3. calcolarne i limiti nei punti di frontiera del dominio. d. Data la funzione di due variabili f (x, y) = ln(y − x2 + x) + ln(−y − x + 1), d1. determinarne geometricamente il dominio; d2. calcolare fxy (x, y). 5 2 k e. Dati i vettori v1 = 1 v2 = −4 v3 = 2 , 9−k 2k 2 k 2 e1. determinare per quali valori di k sono linearmente indipendenti; e2. nei casi in cui sono dipendenti trovare una relazione di dipendenza lineare. MATEMATICA GENERALE Appello del 9 febbraio 2001 Esercizio Punti a (a1+a2) 6 (3+3) b 5 c (c1+c2+c3) 7 (2+2+3) d (d1+d2) 6 (3+3) a. Data la funzione f (x) = e (e1+e2) 6 (3+3) (x + 1) − 2, a1. disegnarne il grafico come traslata di una funzione elementare; a2. disegnare inoltre il grafico di −f (x), |f (x)| e f (|x|). b. Usando i primi tre termini dello sviluppo di Taylor calcolare il valore approssimato di ln(0, 8). √ c. Data la funzione f (x) = x2 − x − 2 , + 2x − 3 x2 c1. determinarne il dominio; c2. determinarne zeri e segno; c3. calcolarne i limiti nei punti di frontiera del dominio. d. Data la funzione di due variabili f (x, y) = ln(x2 + 1 − y) + ln(y − x − 2), d1. determinarne geometricamente il dominio; d2. calcolare fxy (x, y). k k 2 e. Dati i vettori v1 = 1 v2 = 7 v3 = 2 , 1 k−3 2k e1. determinare per quali valori di k sono linearmente indipendenti; e2. nei casi in cui sono dipendenti trovare una relazione di dipendenza lineare. MATEMATICA GENERALE Appello del 6 aprile 2001 Esercizio Punti a (a1+a2+a3+a4+a5) 8 (2+1+2+1+2) b 5 c (c1+c2+c3) 6 (2+2+2) d 5 e (e1+e2) 6 (3+3) a. Disegnare il grafico della funzione f (x) = ln(x2 + 2x + 1) : a1. Dominio, zeri e segno a2. Limiti nei punti di frontiera del dominio a3. Studio di f (x), crescenza e decrescenza e eventuali punti di massimo e minimo relativo a4. Studio di f (x), concavità e convessità e eventuali punti di flesso a5. Grafico 6 b. Usando i primi quattro termini della formula di Mc Laurin calcolare il valore approssimato di e. c. Data la funzione f (x) = x2 − 3 x≤2 ln(x − 1) + 1 x > 2 c1. Studiarne la continuità c2. Studiarne la derivabilità, usando, nel punto x = 2, la definizione di derivata c3. Tracciarne il grafico d. Data la funzione di due variabili √ 9 − (x2 + y 2 ) + y − x, f (x, y) = determinarne geometricamente il dominio x − 2y = −1 y + kz = 2 x + 2z = 3 e. Dato il sistema lineare e1. Determinare per quali valori di k il sistema è compatibile e2. Trovarne le soluzioni (in tali casi) MATEMATICA GENERALE Appello del 6 giugno 2001 Esercizio Punti a (a1+a2++a3+a4+a5) 10 (1+2+3+2+2) b 6 c (c1+c2+c3) 7 (2+3+2) a. Disegnare il grafico della funzione f (x) = √ 3 d (d1+d2) 7 (2+5) x2 − x : a1. Dominio, zeri e segno a2. Limiti nei punti di frontiera del dominio a3. Studio di f (x), crescenza e decrescenza e eventuali punti di massimo e minimo relativo a4. Studio di f (x), concavità e convessità e eventuali punti di flesso a5. Grafico b. Usando i primi tre termini dello sviluppo di Taylor calcolare il valore approssimato di 0, 83. c. Data la funzione 2 x −1 −(x + 1)2 f (x) = 2 x x ≤ −1 −1 < x ≤ 0 x>0 c1. Studiarne la continuità nei punti x = −1 e x = 0 c2. Studiarne la derivabilità, usando, nei punti x = −1 e x = 0, la definizione di derivata c3. Tracciarne il grafico 7 k 1 1 d. Dati i vettori v1 = k v2 = 0 v3 = 1 , 1 k k d1. determinare per quali valori di k sono linearmente indipendenti; d2. nei casi in cui sono dipendenti trovare una relazione di dipendenza lineare. MATEMATICA GENERALE Appello del 21 giugno 2001 Esercizio Punti a (a1+a2) 7 (4+3) b (b1+b2+b3) 8 (2+3+3) c (c1+c2+c3) 8 (2+3+3) a. Data la funzione f (x) = d (d1+d2) 7 (4+3) 4x − 3 , 2x + 5 a1. disegnarne il grafico come traslata di una funzione elementare; a2. disegnare inoltre il grafico di −f (x), |f (x)| e f (|x|). b. Data la funzione f (x) = log x2 − 3x + 2 x+1 , b1. determinarne il dominio; b2. determinarne zeri e segno; b3. calcolarne i limiti nei punti di frontiera del dominio. c. Determinare massimi e minimi relativi e flessi della funzione 2 − 3 log(x) x2 c1. Dominio di f (x) c2. Calcolo e studio di f (x) c3. Calcolo e studio di f ”(x) d. . MATEMATICA GENERALE Appello del 9 luglio 2001 Gli studenti del Diploma SIGI devono svolgere, per il I modulo, gli esercizi a.,b.,c.. Esercizio Punti a (a1+a2+a3) 8 (1+2+5) b(b1+b2) 9 (4+5) c (c1+c2+c3) 7 (2+3+2) a. Data la funzione f (x) = x d (d1+d2) 6 (2+4) x−4 , x a1. determinarne il dominio; a2. determinarne zeri e segno; a3. calcolarne i limiti nei punti di frontiera del dominio . b. Data la funzione f (x) = 3 9 − x2 , nel suo dominio: b1. determinarne gli eventuali punti di massimo o minimo relativo; b2. studiarne la convessità e determinarne gli eventuali punti di flesso. 8 c. Data la funzione x≤0 1−x x2 f (x) = − +1 0<x≤1 22 1 x>1 x −2 c1. Studiarne la continuità nei punti x = 0 e x = 1 c2. Studiarne la derivabilità, usando, nei punti x = 0 e x = 1, la definizione di derivata c3. Tracciarne il grafico 2k 3 k d. Dati i vettori v1 = 1 v2 = 0 v3 = 2 , 1 k 1 d1. determinare per quali valori di k sono linearmente indipendenti; d2. nei casi in cui sono dipendenti trovare una relazione di dipendenza lineare. MATEMATICA GENERALE Appello del 10 settembre 2001 Gli studenti del Diploma SIGI devono svolgere, per il I modulo, gli esercizi a.,b.,c.. Esercizio Punti a (a1+a2) 8 (5+3) b(b1+b2) 9 (4+5) c 6 d (d1+d2) 7 (3+4) a. Data la funzione f (x) = 5x − 3 , 3x + 2 a1. disegnarne il grafico come traslata di una funzione elementare; a2. disegnare inoltre il grafico di −f (x), |f (x)| e f (|x|). b. Data la funzione f (x) = (1 − x2 ) e−2x , nel suo dominio: b1. determinarne gli eventuali punti di massimo o minimo relativo; b2. studiarne la convessità e determinarne gli eventuali punti di flesso. c. Usando i primi tre termini dello sviluppo di Taylor calcolare il valore approssimato di 8, 4. d. Studiare, al variare dei parametri reali h e k , e quindi risolvere il seguente sistema di equazioni lineari: kx + ky + 2z = 1 2x + y + 3z = 0 kx + 2ky = h MATEMATICA GENERALE Appello del 24 settembre 2001 Gli studenti del Diploma SIGI devono svolgere, per il I modulo, gli esercizi a.,b.. Esercizio Punti a (a1+a2+a3+a4+a5) 14 (4+1+4+3+2) b(b1+b2+b3) 8 (2+4+2) c 8 9 a. Studiare la seguente funzione f (x) = x − 2 1 − x2 , e tracciarne il grafico. 2 x +x+1 x≤0 1 − x2 0<x≤1 f (x) = −2(x − 1) x > 1 b. Data la funzione b1. Studiare la continuità di f (x) nei punti x = 0 e x = 1. b2. Usando la definizione di derivata, sudiare la derivabilità di f (x) nei punti x = 0 e x = 1. b3.Tracciare il grafico della funzione c. Trovare per quali valori del parametro reale k i seguenti vettori sono linearmente indipendenti o linearmente dipendenti e, in questo caso, determinare una relazione di dipendenza lineare. v 1 = (1, k, k) v 2 = (k, 1, 1), v 3 = (3, 0, 2) MATEMATICA GENERALE Appello del 12 novembre 2001 Esercizio a (a1+a2) b (b1+b2+b3+b4+b5) Punti 8 (5+3) 14 (2+1+4+4+3) c (c1+c2) 8 (4+4) a. Data la funzione f (x) = 3x − 1 , 5x − 4 a1. disegnarne il grafico come traslata di una funzione elementare; a2. disegnare inoltre il grafico di −f (x), |f (x)| e f (|x|). b. Studiare la seguente funzione x f (x) = (x − 1) e x−1 e tracciarne il grafico. 3x + ky + 3zy = 1 2x + ky + 4z = 1 kx + z = h c. Dato il sistema lineare c1. Determinare per quali valori di k il sistema è compatibile c2. Trovarne le soluzioni (in tali casi) MATEMATICA GENERALE – CORSI DI LAUREA IN EA, EI, ELI, EMIF, SIGI Appello del 25 Gennaio 2002 Gli studenti del S.I.G.I. svolgano gli esercizi a , b , d , e . Esercizio Punti a (a1+a2+a3) 6 (1+3+2) b (b1+b2+b3) 6 (2+2+2) c 6 d (d1+d2) 6 (3+3) a. Determinare massimi e minimi relativi e flessi della funzione y = (x − 4) e3x−5 a1. Dominio di f (x) a2. Calcolo e studio di f (x) a3. Calcolo e studio di f ”(x) 10 e (e1+e2+e3) 6 (2+2+2) b. Data la funzione √ − −x x ≤ 0 x − x2 0 < x ≤ 1 f (x) = 1−x x>1 b1. Studiarne la continuità nei punti x = 0 e x = 1. b2. Studiarne la derivabilità, usando, nei punti x = 0 e x = 1, la definizione di derivata. b3. Tracciarne il grafico c. Calcolare il seguente integrale √ 3 x4 + x3 + √ 3 x2 d. Data la seguente funzione f (x) = ln √ 3 x2 ex dx. x2 − 3x + 2 , x determinare: d1. dominio, segno e zeri della funzione : d2. limiti ed eventuali asintoti: e. Dato il seguente insieme i numeri reali A= (−1)n n n2 + 1 , n∈N determinare: e1. estremo superiore, estremo inferiore, massimo e minimo e2. eventuali punti di accumulazione e3. calcolare, se esiste lim (−1)n n→∞ n n2 + 1 MATEMATICA GENERALE – CORSI DI LAUREA IN EA, EI, ELI, EMIF, SIGI Appello del 25 Gennaio 2002 Gli studenti del S.I.G.I. svolgano gli esercizi a , b , d , e . Esercizio Punti a (a1+a2+a3) 6 (1+3+2) b (b1+b2+b3) 6 (2+2+2) c 6 d (d1+d2) 6 (3+3) a. Determinare massimi e minimi relativi e flessi della funzione y = (x + 2) ex+4 a1. Dominio di f (x) a2. Calcolo e studio di f (x) a3. Calcolo e studio di f ”(x) 11 e (e1+e2+e3) 6 (2+2+2) b. Data la funzione x≤0 −2x ex − 1 0<x≤1 f (x) = x − x2 + (e − 1) x > 1 b1. Studiarne la continuità nei punti x = 0 e x = 1. b2. Studiarne la derivabilità, usando, nei punti x = 0 e x = 1 , la definizione di derivata. b3. Tracciarne il grafico c. Calcolare il seguente integrale √ 5 √ 3 x3 + x4 + x7 sin x √ dx. 3 x7 d. Data la seguente funzione f (x) = ln x2 − 5x + 4 , x−3 determinare: d1) dominio, segno e zeri della funzione : d2 limiti ed eventuali asintoti: e. Dato il seguente insieme i numeri reali (−1)n A= 2n n2 + 5 , n∈N determinare: e1. estremo superiore, estremo inferiore, massimo e minimo e2. eventuali punti di accumulazione e3. calcolare, se esiste lim (−1)n n→∞ 2n +5 n2 MATEMATICA GENERALE Prova di Completamento - 25 Gennaio 2002 Gli studenti del S.I.G.I. svolgano gli esercizi a , b , d. Esercizio Punti a (a1+a2+a3) 8 (1+4+3) b 6 c 6 d (d1+d2) 8 (4+4) a. Determinare massimi e minimi relativi e flessi della funzione y = (x − 4) e3x−5 a1. Dominio di f (x) a2. Calcolo e studio di f (x) a3. Calcolo e studio di f ”(x) b. Usando i primi tre termini non nulli dello sviluppo in formula di Taylor, calcolare 8, 76 12 c. Calcolare il seguente integrale √ 3 x4 + x3 + √ 3 x2 √ 3 x2 ex dx. d. a) Sia f (x) una funzione definita e continua nell’intervallo (2, 5). Se x0 = 3 è un punto di massimo relativo, allora f (x0 ) nulla.(motivare brevemente la risposta) V F b) Supponiamo che f (x) sia una funzione continua in [−a, a] e che inoltre essa sia in tale intervallo pari. Allora a f (x) dx = 0. −a (motivare brevemente la risposta) V F MATEMATICA GENERALE Prova di Completamento - 25 Gennaio 2002 Gli studenti del S.I.G.I. svolgano gli esercizi a , b , d. Esercizio Punti a (a1+a2+a3) 8 (1+4+3) b 6 c 6 d (d1+d2) 8 (4+4) a. Determinare massimi e minimi relativi e flessi della funzione y = (x + 2) ex+4 a1. Dominio di f (x) a2. Calcolo e studio di f (x) a3. Calcolo e studio di f ”(x) b. Usando i primi tre termini non nulli dello sviluppo in formula di Taylor, calcolare ln 0, 85 c. Calcolare il seguente integrale √ 5 √ 3 x3 + x4 + x7 sen x √ dx. 3 x7 d. a) Sia f (x) una funzione definita e derivabile nell’intervallo (−2, 5). Se x0 = 0 è un punto di massimo relativo, allora f (x0 ) nulla.(motivare brevemente la risposta) V F b) Supponiamo che f (x) sia una funzione continua in [−a, a] e che inoltre essa sia in tale intervallo dispari. Allora a f (x) dx = 0. −a (motivare brevemente la risposta) V F MATEMATICA GENERALE Prova di Completamento - 25 Gennaio 2002 Gli studenti del S.I.G.I. svolgano gli esercizi a , b , d. Esercizio Punti a (a1+a2+a3) 8 (1+4+3) b 6 c 6 d (d1+d2) 8 (4+4) 13 a. Determinare massimi e minimi relativi e flessi della funzione y = (3 − x) e3x−5 a1. Dominio di f (x) a2. Calcolo e studio di f (x) a3. Calcolo e studio di f ”(x) b. Usando i primi tre termini non nulli dello sviluppo in formula di Taylor, calcolare 3 1, 15 c. Calcolare il seguente integrale √ 7 x4 + x3 + √ 5 x2 √ 5 x2 ex dx. d. a)Sia f (x) una funzione definita e continua nell’intervallo (1, 5). Se x0 = 2 è un punto di flesso, allora f (x0 ) nulla.(motivare brevemente la risposta) V F b) Supponiamo che f (x) sia una funzione continua in [−a, a] e che inoltre essa sia in tale intervallo pari. Allora a a f (x) dx = 2 f (x) dx. −a (motivare brevemente la risposta) V 0 F MATEMATICA GENERALE Prova di Completamento - 25 Gennaio 2002 Gli studenti del S.I.G.I. svolgano gli esercizi a , b , d. Esercizio Punti a (a1+a2+a3) 8 (1+4+3) b 6 c 6 d (d1+d2) 8 (4+4) a. Determinare massimi e minimi relativi e flessi della funzione y = (3 − x) ex+7 a1. Dominio di f (x) a2. Calcolo e studio di f (x) a3. Calcolo e studio di f ”(x) b. Usando i primi tre termini non nulli dello sviluppo in formula di Taylor, calcolare √ 4 e c. Calcolare il seguente integrale √ 3 √ 5 x2 + x6 + x3 cos x √ dx. 5 x3 14 d. a)Sia f (x) una funzione definita e continua nell’intervallo (1, 5). Se x0 = 2 è un punto di flesso, allora f ”(x0 ) nulla.(motivare brevemente la risposta) V F b) Supponiamo che f (x) sia una funzione continua in [−a, a] . Allora a f (x) dx > 0. −a (motivare brevemente la risposta) V F Corsi di laurea in EA,EI,ELI, EMIF MATEMATICA GENERALE Appello del 8 Febbraio 2002 Esercizio Punti a (a1+a2) 7 (4+3) b (b1+b2) 8 (3+5) c (c1+c2) 6 (3+3) d (d1+d2+d3+d4) 9 (1+4+2+2) a. Data la funzione f (x) = 7x − 1 , 3x + 8 a1. disegnarne il grafico come traslata di una funzione elementare; a2. disegnare inoltre il grafico di −f (x), |f (x)| e f (|x|). 3 k k b. Dati i vettori v1 = k v2 = 3 v3 = 3 , k 3 2 b1. determinare per quali valori di k sono linearmente indipendenti; b2. nei casi in cui sono dipendenti trovare una relazione di dipendenza lineare. c. c1. Sia data una funzione y = f (x) continua nell’intervallo [a, b). Allora essa in tale intervallo ammette massimo e minimo assoluto. (motivare brevemente la risposta) V , F c2. Sia y = f (x) una funzione definita e limitata nell’intervallo [a, b]. Allora essa ammette almeno una primitiva. (motivare brevemente la risposta) V , F d. Data la funzione f (x) = x − 2 √ 3 x, determinare: d1. determinarne dominio, segno e limiti ; d2. determinarne gli eventuali punti di massimo o minimo relativo; d3. studiarne la convessità e determinarne gli eventuali punti di flesso. d4.tracciarne il grafico . Corsi di laurea in EA,EI,ELI, EMIF MATEMATICA GENERALE Appello del 8 Febbraio 2002 Esercizio Punti a (a1+a2) 7 (4+3) b (b1+b2) 8 (3+5) c (c1+c2) 6 (3+3) 15 d (d1+d2+d3+d4) 9 (1+4+2+2) a. Data la funzione f (x) = 3 − 8x , 3x + 5 a1. disegnarne il grafico come traslata di una funzione elementare; a2. disegnare inoltre il grafico di −f (x), |f (x)| e f (|x|). 3k k k b. Dati i vettori v1 = k v2 = 1 v3 = 1 , 1 3 2 b1. determinare per quali valori di k sono linearmente indipendenti; b2. nei casi in cui sono dipendenti trovare una relazione di dipendenza lineare. c. c1. Sia data una funzione y = f (x) invertibile nell’intervallo [a, b]. Allora essa in tale intervallo è strettamente monotona. (motivare brevemente la risposta) V , F c2. Sia y = f (x) una funzione definita e continua nell’intervallo (a, b). Allora essa ammette massimo e minimo assoluto in tale intervallo.. (motivare brevemente la risposta) V , F f. Data la funzione f (x) = 2x − √ 3 x2 , determinare: f1. determinarne dominio, segno e limiti ; f2. determinarne gli eventuali punti di massimo o minimo relativo; f3. studiarne la convessità e determinarne gli eventuali punti di flesso. f4.tracciarne il grafico . MATEMATICA GENERALE – CORSI DI LAUREA IN EA, EI, ELI, EMIF, SIGI Appello del 10 Giugno 2002 Esercizio Punti a (a1+a2+a3) 6 (1+3+2) b (b1+b2+b3) 6 (2+2+2) c 6 d (d1+d2) 6 (3+3) e (e1+e2) 6 (3+3) a. Determinare massimi e minimi relativi e flessi della funzione y = 3 (1 − x2 )2 a1. Dominio di f (x) a2. Calcolo e studio di f (x) a3. Calcolo e studio di f ”(x) b. Data la funzione x≤0 3x − 1 −1 − x2 0<x≤1 f (x) = −e(1−x) − 1 x > 1 b1. Studiarne la continuità nei punti x = 0 e x = 1. b2. Studiarne la derivabilità, usando, nei punti x = 0 e x = 1, la definizione di derivata. b3. Tracciarne il grafico 16 c. Dato il seguente insieme i numeri reali n (−1) n2 + 2 n A= , n∈N determinare: c1. estremo superiore, estremo inferiore, massimo e minimo c2. eventuali punti di accumulazione c3. calcolare, se esiste n lim (−1)n 2 n→∞ n +2 d. Data la seguente funzione f (x) = ln x2 − 4 , x determinare: d1. dominio, segno e zeri della funzione : d2. limiti ed eventuali asintoti: e. • Sia f una funzione reale di variabile reale. Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false motivando brevemente le risposte: Allora esiste c ∈ (a, b) tale che f (c) = 0 e1) Se f è continua in (a, b] , f (a) > 0 e f (b) < 0. V F e2) Se f è derivabile in (a, b) allora è continua in [a, b]. V F MATEMATICA GENERALE – CORSI DI LAUREA IN EA, EI, ELI, EMIF, SIGI Appello del 24 Giugno 2002 Esercizio Punti a (a1+a2) 6 (3+3) b (b1+b2+b3) 6 (2+2+2) c 5 d (d1+d2+d3) 7 (1+4+2) e (e1+e2) 6 (3+3) a. Data la funzione f (x) = 2x + 5 3x − 1 a1. tracciarne il grafico come traslata di una funzione elementare; a2. disegnare il grafico di −f (x), |f (x)|, f (|x|). b. Dato il seguente insieme i numeri reali A= (−1)n n2 n+7 , n∈N determinare: b1. estremo superiore, estremo inferiore, massimo e minimo b2. eventuali punti di accumulazione b3. calcolare, se esiste lim (−1)n n→∞ 17 n2 n+7 c. Usando i primi tre termini non nulli della formula di Taylor, calcolare il valore approssimato di √ 7 e √ d. Data la funzione f (x) = 3+x−1 , x2 − 4 d1. determinare il dominio di f (x): d2. studiare la discontinuità di f (x) nei punti in cui il denominatore della funzione si annulla: d4. calcolare f (x). e. Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false motivando brevemente le risposte: e1. Sia f : IR → [−1, 1] una funzione continua. Allora esiste il limx→+∞ f (x) V F e2) Sia f (x) = x3 nell’insieme [0, 1] ∪ [2, 3]. Essa assume tutti i valori dell’intervallo [0, 27]. V F MATEMATICA GENERALE – CORSI DI LAUREA IN EA, EI, ELI, EMIF, SIGI Appello del 16 Luglio 2002 Esercizio Punti a (a1+a2+a3) 6 (1+3+2) b (b1+b2) 6 (2+4) c 6 d (d1+d2) 6 (3+3) e (e1+e2) 6 (3+3) a. Determinare massimi e minimi relativi e flessi della funzione f (x) = (x2 − 1) e−2x a1. Dominio di f (x) a2. Calcolo e studio di f (x) a3. Calcolo e studio di f (x) k k 1 b. Dati i vettori v1 = 2k v2 = 1 v3 = 2 , 1 1 1 b1. determinare per quali valori di k sono linearmente indipendenti; b2. nei casi in cui sono dipendenti trovare una relazione di dipendenza lineare. c. Usando i primi quattro termini della formula di Taylor calcolare il valore approssimato di d. Data la seguente funzione f (x) = ln x+3 , x2 determinare: d1. dominio, segno e zeri della funzione : d2. limiti ed eventuali asintoti: e. Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false motivando brevemente le risposte: 18 √ 8, 15. e1) Consideriamo la funzione x2 1 f (x) = 0<x≤1 x=0 Essa verifica il teorema di Rolle. V F e2) Sia f (x) = x3 nell’intervallo [−1, 1]. Allora f (x) dx > 0. V F MATEMATICA GENERALE – CORSI DI LAUREA IN EA, EI, ELI, EMIF,SIGI Appello del 12 settembre 2002 Esercizio Punti a (a1+a2+a3) 6 (1+3+2) b (b1+b2+b3) 6 (2+2+2) c (c1+c2+c3) 6 (2+2+2) d (d1+d2) 6 (3+3) e (e1+e2) 6 (3+3) a. Determinare massimi e minimi relativi e flessi della funzione f (x) = e2x − ex a1. Dominio di f (x) a2. Calcolo e studio di f (x) a3. Calcolo e studio di f (x) b. Data la funzione x x≤0 e x+1 0<x≤1 f (x) = −x2 + 3 x > 1 b1. Studiarne la continuità nei punti x = 0 e x = 1. b2. Studiarne la derivabilità, usando, nei punti x = 0 e x = 1, la definizione di derivata. b3. Tracciarne il grafico c. Dato il seguente insieme i numeri reali A= n+1 (−1) +1 , n2 n∈N n determinare: c1. estremo superiore, estremo inferiore, massimo e minimo c2. eventuali punti di accumulazione c3. calcolare, se esiste lim n→∞ n+1 (−1) +1 n2 n d. Data la seguente funzione f (x) = ln determinare: d1. dominio, segno e zeri della funzione : d2. limiti ed eventuali asintoti: 19 x2 − 4 , x e. Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false motivando brevemente le risposte: e1) Consideriamo la funzione f (x) = 1 − |x| , x ∈ [−1, 1] Essa verifica il teorema di Rolle. V F e2) Sia f (x) = x+1 x . Allora lim f (x) = 1. x→+∞ V F MATEMATICA GENERALE – CORSI DI LAUREA IN EA, EI, ELI, EMIF,SIGI Appello del 26 settembre 2002 Esercizio Punti a (a1+a2+a3) 6 (1+3+2) b (b1+b2) 6 (3+3) c 6 d (d1+d2) 6 (3+3) e (e1+e2) 6 (3+3) a. Determinare massimi e minimi relativi e flessi della funzione f (x) = (x − 1) e−3x a1. Dominio di f (x) a2. Calcolo e studio di f (x) a3. Calcolo e studio di f (x) b. Data la funzione f (x) = 3x − 7 2x + 1 b1. tracciarne il grafico come traslata di una funzione elementare; b2. disegnare il grafico di −f (x), |f (x)|, f (|x|). c. Usando la formula di Maclaurin (formula di Taylor di punto iniziale x0 = 0), arrestata al terzo termine , calcolare 1 √ 4 e d. Data la seguente funzione f (x) = ln x2 − 5x + 4 , x−2 determinare: d1. dominio, segno e zeri della funzione : d2. limiti ed eventuali asintoti: e. Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false motivando brevemente le risposte: 20 e1) Consideriamo la funzione f (x) = x2 Allora , x ∈ [−1, 1] 1 f (x) dx = 0 −1 . V e2) Sia f (x) = x F cos x1 . Allora lim f (x) = 0. x→0 V F Corsi di laurea in EA, EI, ELI,EMIF,SIGI MATEMATICA GENERALE Appello del 18 Novembre 2002 Esercizio Punti a (a1+a2+a3+a4+a5) 10 (2+2+2+2+2) b 6 c (c1+c2) 7 (3+4) a. Disegnare il grafico della funzione f (x) = ln d (d1+d2+d3) 7 (2+2+3) x (3 − x)2 : a1. Dominio, zeri e segno a2. Limiti nei punti di frontiera del dominio a3. Studio di f (x), crescenza e decrescenza e eventuali punti di massimo e minimo relativo a4. Studio di f (x), concavità e convessità e eventuali punti di flesso a5. Grafico b. Utlizzando la formula di Taylor, arrestata al quarto termine, calcolare 0, 78. c. c1) Sia f (x) = x sen x1 . Essa è derivabile in x = 0? (motivare brevemente la risposta) V F c2) Consideriamo la funzione f (x) = x5 nell’intervallo [−a, a]. Allora a f (x) dx ≤ 0. −a (motivare brevemente la risposta) V F d. Dato il seguente insieme i numeri reali A= n−1 (−1) 2n + 1 n , n∈N determinare: d1. estremo superiore, estremo inferiore, massimo e minimo d2. eventuali punti di accumulazione d3. calcolare, se esiste lim (−1)n n→∞ n−1 2n + 1 MATEMATICA GENERALE – PROVA DI COMPLETAMENTO 21 3 Febbraio 2003 Esercizio Punti A (A1+A2+A3) (8=2 + 3 + 3) B (6) C (8) D (D1 + D2) (8=4 + 4) ESERCIZIO A Data la funzione: f (x) = ln x+1 x−1 A1. determinare il dominio di f : A2. calcolare la derivata prima, studiarne il segno e trovare eventuali punti stazionari: A3. calcolare la derivata seconda, studiarne il segno e determinare gli eventuali punti di flesso: ESERCIZIO B Determinare i primi tre termini non nulli del polinomio di Taylor e mediante questi calcolare il valore approssimato di: ln(0.9) ESERCIZIO C Svolgere UNO SOLO tra i due esercizi C’ e C”: C’. Considerare la seguente matrice: k A= 0 0 1 1 k−1 2 0 k−3 Al variare del parametro k, determinare il rango di A. Fissato poi un k per cui il rango di A non sia massimo, determinare una relazione di dipendenza lineare tra i vettori colonna (o riga) della matrice. C”. Calcolare il seguente integrale: √ √ √ x + 3 x7 + 2 x3 1 + x2 √ dx x ESERCIZIO D Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false motivando brevemente le risposte: b D1. Se f è continua e positiva nell’intervallo [a, b], allora a f (x) dx ≥ 0. V F D2. Se f è una funzione convessa, allora è monotona non decrescente. V F MATEMATICA GENERALE – PROVA DI COMPLETAMENTO 3 Febbraio 2003 Esercizio Punti A (A1+A2+A3) (8=2 + 3 + 3) B (6) C (8) D (D1 + D2) (8=4 + 4) 22 ESERCIZIO A Data la funzione: f (x) = ln x+1 x−2 A1. determinare il dominio di f : A2. calcolare la derivata prima, studiarne il segno e trovare eventuali punti stazionari: A3. calcolare la derivata seconda, studiarne il segno e trovare eventuali punti di flesso: ESERCIZIO B Determinare i primi tre termini non nulli del polinomio di Taylor e mediante questi calcolare il valore approssimato di: ln(1.1) ESERCIZIO C Svolgere UNO SOLO tra i due esercizi C’ e C”: C’. Considerare la seguente matrice: 5−k A= 0 0 2 5 7 −7 0 k+2 Al variare del parametro k, determinare il rango di A. Fissato poi un k per cui il rango non sia massimo, determinare una relazione di dipendenza lineare tra i vettori colonna (o riga) di A. C”. Calcolare il seguente integrale: √ √ √ 4 3 5 x3 + x2 − 2x2 3 + x2 dx x ESERCIZIO D Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false, motivando brevemente le risposte: b D1. Se f è continua e negativa nell’intervallo [a, b], si può affermare che a f (x) dx ≤ 0. V F D2. Sia f una funzione monotona crescente e derivabile in un intervallo. Allora in tale intervallo si ha necessariamente f > 0. V F MATEMATICA GENERALE – PROVA DI COMPLETAMENTO 3 Febbraio 2003 Esercizio Punti A (A1+A2+A3) (2 + 3 + 3) B (6) C (8) D (D1 + D2) (4 + 4) ESERCIZIO A 23 Data la funzione: f (x) = ln x+1 x−3 A1. determinare il dominio di f : A2. calcolare la derivata prima, studiarne il segno e trovare eventuali punti stazionari: A3. calcolare la derivata seconda, studiarne il segno e trovare eventuali punti di flesso: ESERCIZIO B Determinare i primi tre termini non nulli del polinomio di Taylor e mediante questi calcolare il valore approssimato di: √ 4 1.5 ESERCIZIO C Svolgere UNO SOLO tra i due esercizi C’ e C”: C’. Considerare la seguente matrice: k A= 3 −7 0 −3 5 0 0 k−2 Al variare del parametro k, determinare il rango di A. Fissato poi un k per cui il rango non sia massimo, determinare una relazione di dipendenza lineare tra i vettori colonna (o riga) di A. C”. Calcolare il seguente integrale: √ √ 2 3 3 4 x7 + x2 + 2x2 ex dx x ESERCIZIO D Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false, motivando brevemente le risposte: D1. Se f è una funzione definita su tutto R, continua, a dispari e strettamente positiva se x > 0. Allora si può affermare che, se a é un numero positivo, −a f (x) dx > 0. V F D2. Sia f una funzione monotona decrescente e derivabile in un intervallo. Allora in tale intervallo si ha necessariamente f < 0. V F MATEMATICA GENERALE – PROVA DI COMPLETAMENTO 3 Febbraio 2003 Esercizio Punti A (A1+A2+A3) (8=2 + 3 + 3) B (6) C (8) D (D1 + D2) (8=4 + 4) ESERCIZIO A 24 Data la funzione: f (x) = ln x+1 x−4 A1. determinare il dominio di f : A2. calcolare la derivata prima, studiarne il segno e trovare eventuali punti stazionari: A3. calcolare la derivata seconda, studiarne il segno e trovare eventuali punti di flesso: ESERCIZIO B Determinare i primi tre termini non nulli del polinomio di Taylor e mediante questi calcolare il valore approssimato di: √ 4 0.9 ESERCIZIO C Svolgere UNO SOLO tra i due esercizi C’ e C”: C’. Considerare la seguente matrice: k+4 1 1−k A= 0 0 0 1 −1 k Al variare del parametro k, determinare il rango di A. Fissato poi un k per cui il rango non sia massimo, determinare una relazione di dipendenza lineare tra i vettori colonna (o riga) di A. C”. Calcolare il seguente integrale: √ 3 5 x5 + 1 + 3x4 ex dx x2 ESERCIZIO D Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false, motivando brevemente le risposte: D1. Se f è una funzione definita su tutto R, continua, dispari e strettamente negativa se x > 0. Allora si a può affermare che, se a è un numero positivo, vale −a f (x) dx < 0. V F D2. Sia f una funzione derivabile in un intervallo. Se x0 è un punto di massimo per f , si ha necessariamente f (x0 ) = 0. V F MATEMATICA GENERALE – PROVA DI COMPLETAMENTO 3 Febbraio 2003 Esercizio Punti A (A1+A2+A3) (8=2 + 3 + 3) B (6) C (8) D (D1 + D2) (8=4 + 4) ESERCIZIO A 25 Data la funzione: f (x) = ln x+1 x−5 A1. determinare il dominio di f : A2. calcolare la derivata prima, studiarne il segno e trovare eventuali punti stazionari: A3. calcolare la derivata seconda, studiarne il segno e trovare eventuali punti di flesso: ESERCIZIO B Determinare i primi tre termini non nulli del polinomio di Taylor e mediante questi calcolare il valore approssimato di: √ 3 1.1 ESERCIZIO C Svolgere UNO SOLO tra i due esercizi C’ e C”: C’. Considerare la seguente matrice: 1 3 k−1 k+5 2 k−3 A= 0 0 0 Al variare del parametro k, determinare il rango di A. Fissato poi un k per cui il rango di A non sia massimo, determinare una relazione di dipendenza lineare tra i vettori colonna (o riga) della matrice. C”. Calcolare il seguente integrale: √ x2 + x + 12 e √ x x dx ESERCIZIO D Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false, motivando brevemente le risposte: D1. Sia f una funzione continua su un intervallo [a, b] e tale che f ≤ 4. Allora si può affermare che: b f (x) dx ≤ 4(b − a). a V F D2. Sia f una funzione derivabile due volte in un intervallo. Se x0 è un punto di massimo per f , si ha necessariamente f (x0 ) = 0. V F MATEMATICA GENERALE – PROVA DI COMPLETAMENTO 3 Febbraio 2003 Esercizio Punti A (A1+A2+A3) (8=2 + 3 + 3) B (6) C (8) D (D1 + D2) (8=4 + 4) ESERCIZIO A 26 Data la funzione: f (x) = ln x+1 x−6 A1. determinare il dominio di f : A2. calcolare la derivata prima, studiarne il segno e trovare eventuali punti stazionari: A3. calcolare la derivata seconda, studiarne il segno e trovare eventuali punti di flesso: ESERCIZIO B Determinare i primi tre termini non nulli del polinomio di Taylor e mediante questi calcolare il valore approssimato di: √ 3 0.9 ESERCIZIO C Svolgere UNO SOLO tra i due esercizi C’ e C”: C’. Considerare la seguente matrice: k+2 0 0 k+1 0 A= 1 −1 4 k+3 Al variare del parametro k, determinare il rango di A. Fissato poi un k per cui il rango di A non sia massimo, determinare una relazione di dipendenza lineare tra i vettori colonna (o riga) della matrice. C”. Calcolare il seguente integrale: √ √ x3 + x3 + 12 e √ x x dx ESERCIZIO D Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false, motivando brevemente le risposte: D1. Se f è una funzione definita su tutto R, continua e maggiore di 5. Allora si può affermare che, presi b due numeri a, b con a < b, si ha questa disuguaglianza: a f (x) dx ≥ 5(b − a). V F D2. Sia f una funzione derivabile due volte in un intervallo. Se x0 è un punto di flesso per f , si ha necessariamente f (x0 ) = 0. V F MATEMATICA GENERALE Corsi di Laurea in EA, ELI, EMIF, EI, EISR 3 Febbraio 2003 Esercizio Punti A (A1+A2+A3+A4+A5) (10=2+2+2+2+2) B (4) C (6) D (D1 + D2) (4=2+2) ESERCIZIO A 27 E (E1 + E2) (6=3+3) Data la funzione: f (x) = ln x+1 x+2 A1. determinare dominio, segno ed eventuali zeri di f : A2. calcolare i limiti ed eventuali asintoti: A3. studiare la crescenza della funzione e dire se esistono punti di massimo o di minimo per f : A4. studiare la concavità di f e trovare gli eventuali flessi A5. disegnare il grafico di f : ESERCIZIO B Determinare i primi tre termini non nulli del polinomio di Taylor e mediante questi calcolare il valore approssimato di: e0.2 ESERCIZIO C Considerare la seguente matrice: k−1 A= 0 0 1 k−5 0 1 2 k−3 Al variare del parametro k, determinare il rango di A. Fissato poi un k per cui il rango di A non sia massimo, determinare una relazione di d ipendenza lineare tra i vettori colonna (o riga) della matrice. ESERCIZIO D Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false, motivando brevemente le risposte: D1. Se f è una funzione definita su tutto R, continua, pari e strettamente negativa. a b Allora si può affermare che, se a, b sono numeri positivi con a < b, −a f (x) dx > −b f (x) dx. V F D2. Sia f una funzione derivabile due volte in un intervallo e convessa. Da queste proprietà segue che f > 0. V F ESERCIZIO E Data la seguente funzione: x+1 − 1 se x ≤ −1 e ln(x + 2) se −1 < x ≤ 0 f (x) = x + ln 2 se x > 0 E1. analizzare la continuità e la derivabilità di f E2. tracciare il grafico di f , vedendo i tre tratti componenti come traslazioni di funzioni elementari: MATEMATICA GENERALE Corsi di Laurea in EA, ELI, EMIF, EI, EISR 28 3 Febbraio 2003 Esercizio Punti A (A1+A2+A3+A4+A5) (10=2+2+2+2+2) B (4) C (6) D (D1 + D2) (4=2+2) E (E1 + E2) (6=3+3) ESERCIZIO A Data la funzione: f (x) = ln x−1 x+2 A1. determinare dominio, segno ed eventuali zeri di f : A2. calcolare i limiti ed eventuali asintoti: A3. studiare la crescenza della funzione e dire se esistono punti di massimo o di minimo per f : A4. studiare la concavità di f e trovare gli eventuali flessi A5. disegnare il grafico di f : ESERCIZIO B Determinare i primi tre termini non nulli del polinomio di Taylor e mediante questi calcolare il valore approssimato di: ln(1.2) ESERCIZIO C Considerare la seguente matrice: k−1 A= 0 0 1 k k+3 2 0 5 Al variare del parametro k, determinare il rango di A. Fissato poi un k per cui il rango di A non sia massimo, determinare una relazione di d ipendenza lineare tra i vettori colonna (o riga) della matrice. ESERCIZIO D Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false, motivando brevemente le risposte: D1. Siano f e g due funzioni continue, definite in un intervallo [a, b], e tali che f > g. Allora si può b b affermare che a f (x) dx > a g(x) dx V F D2. Sia f una funzione derivabile due volte in un intervallo e concava. Da queste proprietà segue che f < 0. V F ESERCIZIO E Data la seguente funzione: x+5 − 1 se x ≤ −5 e ln(x + 5) se −5 < x ≤ 0 f (x) = x + ln 5 se x > 0 E1. analizzare la continuità e la derivabilità di f E2. tracciare il grafico di f , vedendo i tre tratti componenti come traslazioni di funzioni elementari 29 Corsi di Laurea in EA, ELI, EMIF, EI, EISR MATEMATICA GENERALE 17 Febbraio 2003 Esercizio Punti A 6 B (B1+B2) 7 (3+4) C 6 D (D1+D2) 5 (2+3) E (E1+E2) 6 (3+3) ESERCIZIO A Data la funzione g(x) = 4x + 1 x−4 tracciarne il grafico come traslata di una funzione elementare; disegnare inoltre il grafico di −g(x), |g(x)|, g(|x|). ESERCIZIO B Data la seguente funzione ex x2 − x − 2 f (x) = determinare: B1. dominio, segno ed eventuali zeri della funzione : B2. limiti per x tendente ai punti di frontiera del dominio: ESERCIZIO C Studiare, al variare del parametro reale k, e quindi risolvere il seguente sistema di equazioni lineari: kx + y + 2kz = 1 2x + y + kz = 0 kx + y + z = k ESERCIZIO D Sia assegnata la seguente successione: {an }n∈N = 1 − n2 3n2 + 1 n∈N D1. Dire se esiste il limite della successione ed eventualmente calcolarlo: D2. Determinare l’estremo superiore ed inferiore dell’immagine della successione e dire se tali valori sono di massimo o di minimo: ESERCIZIO E Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false motivando brevemente le risposte: E1 La funzione f (x) = |x − 1| nell’intervallo [0, 2] soddisfa le ipotesi del teorema di Rolle. V F 30 E2 Sia f : (0, +∞) → R, continua, convessa e monotona crescente. Allora limx→+∞ f (x) = +∞. V F Corsi di Laurea in EA, ELI, EMIF, EI, EISR MATEMATICA GENERALE 17 Febbraio 2003 Esercizio Punti A 6 B (B1+B2) 7 (3+4) C 6 D (D1+D2) 5 (2+3) E (E1+E2) 6 (3+3) ESERCIZIO A Data la funzione g(x) = x+1 5x + 10 tracciarne il grafico come traslata di una funzione elementare; disegnare inoltre il grafico di −g(x), |g(x)|, g(|x|). ESERCIZIO B Data la seguente funzione f (x) = ex 3x2 − x determinare: B1. dominio, segno ed eventuali zeri della funzione : B2. limiti per x tendente ai punti di frontiera del dominio: ESERCIZIO C Studiare, al variare del parametro reale k, e quindi risolvere il seguente sistema di equazioni lineari: x+y+z =1 kx + 2y + kz = k 2kx + ky + z = 0 ESERCIZIO D Sia assegnata la seguente successione: {an }n∈N = 1 − n3 3n + 1 n∈N C1. Dire se esiste il limite della successione ed eventualmente calcolarlo: C2. Determinare l’estremo superiore ed inferiore dell’immagine della successione e dire se tali valori sono di massimo o di minimo: ESERCIZIO E 31 Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false motivando brevemente le risposte: E1 La funzione y = (x − 1)2 nell’intervallo [0, 3] sodddisfa le ipotesi del teorema di Rolle. V F E2 Sia f : (0, +∞) → R, continua, concava e monotona decrescente. Allora limx→+∞ f (x) = −∞. V F MATEMATICA GENERALE Corsi di Laurea in EA, ELI, EMIF, EI, EISR 14 Aprile 2003 Esercizio A (A1+A2+A3) Punti (8=2+3+3) B (5) C (7) D (D1 + D2) (4=2+2) E (E1 + E2+E3) (7=2+3+2) ESERCIZIO A Data la funzione: f (x) = 1 −x2 e x A1. determinare dominio, segno ed eventuali zeri di f : A2. calcolare i limiti ed eventuali asintoti: A3. studiare la crescenza della funzione e dire se esistono punti di massimo o di minimo per f : ESERCIZIO B Determinare i primi tre termini non nulli del polinomio di Taylor e mediante questi calcolare il valore approssimato di: ln(0.95) ESERCIZIO C Considerare la seguente matrice: k A= 1 0 2 3 1 e−2 0 k Al variare del parametro k, determinare il rango di A. Fissato poi un k per cui il rango di A non sia massimo, determinare una relazione di dipendenza lineare tra i vettori colonna (o riga) della matrice. ESERCIZIO D Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false, motivando brevemente le risposte: D1. Se f è una funzione definita e continua su un intervallo [a, b]. Se mente nulla, allora f cambia segno in [a, b]. V b a f (x) dx = 0 e f non è identica- F D2. Sia f una funzione derivabile tre volte in un intervallo. Se f > 0, allora f è convessa. V F 32 ESERCIZIO E Data la seguente funzione: √ x−1 f (x) = (x − 3)2 (x − 3)3 se 1 ≤ x ≤ 2 se 2 < x ≤ 3 se x > 3 E1. analizzare la continuità di f nei punti nei punti x = 2 e x = 3; E2. analizzarne la derivabilità di f usando, nei punti x = 2 e x = 3, la definizione di derivata. E3. tracciare il grafico di f , vedendo i tre tratti componenti come traslazioni di funzioni elementari: MATEMATICA GENERALE Corsi di Laurea in EA, ELI, EMIF, EI, EISR 10 Giugno 2003 Esercizio Punti A (A1+A2+A3+A4) (9=1+2+3+3) B (5) C (5) D (D1 + D2) (4=2+2) E (E1 + E2+E3) (7=2+3+2) ESERCIZIO A Data la funzione: f (x) = x e−x x−1 A1. determinare dominio, segno ed eventuali zeri di f : A2. calcolare i limiti ed eventuali asintoti: A3. studiare la crescenza della funzione e dire se esistono punti di massimo o di minimo per f : A4. studiare la concavità e convessità della funzione e dire se esistono punti di flesso per f : ESERCIZIO B B1. Determinare i primi tre termini non nulli del polinomio di Taylor e mediante questi calcolare il valore approssimato di: √ 1.05 ESERCIZIO C Calcolare il seguente integrale: 1 ln x + √ 2 x dx ESERCIZIO D Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false, motivando brevemente le risposte: 33 D1. Se π è un piano in R3 passante per l’origine e r è una retta di π passante per l’origine, allora il piano privato di tale retta è un sottospazio vettoriale. V F D2. Sia data la funzione f (x) = V F |x| x . Nel punto x = 0 essa presenta un punto di discontinuità eliminabile. ESERCIZIO E x≤1 −2x + 2 x2 − 1 1<x≤2 f (x) = ln (x − 1) + 3 x > 2 Data la funzione E1 . Studiarne la continuità nei punti x = 1 e x = 2 E2. Studiarne la derivabilità, usando, nei punti x = 1 e x = 2, la definizione di derivata. E3. Tracciarne il grafico come traslate di funzioni elementari. MATEMATICA GENERALE Corsi di Laurea in EA, ELI, EMIF, EI, EISR 23 Giugno 2003 Esercizio Punti A (A1+A2+A3+A4+A5) (10=2+2+2+2+2) B (5) C (4) D (D1 + D2) (4=2+2) E (E1 + E2+E3) (7=2+3+2) ESERCIZIO A Data la funzione: f (x) = ln (x − 2)2 x A1. determinare dominio, segno ed eventuali zeri di f : A2. calcolare i limiti ed eventuali asintoti: A3. studiare la derivata prima f (x) della funzione e dire se esistono punti di massimo o di minimo per f: A4. studiare la derivata seconda f (x) della funzione, determinando eventuali punti di flesso; A5. grafico ESERCIZIO B Determinare i primi tre termini non nulli del polinomio di Taylor e mediante questi calcolare il valore approssimato di: √ 3 34 1.05 ESERCIZIO C Calcolare il seguente integrale: 3 1 √ + x2 4 x dx ESERCIZIO D Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false, motivando brevemente le risposte: D1. Il seguente sottoinsieme di R2 : {(x, y) | y = x2 } è un sottospazio vettoriale. V F D2. La funzione h(x) = V x2 |x| presenta in x = 0 un punto di discontinuità eliminabile. F ESERCIZIO E Data la seguente funzione: x+2 ex+2 − 1 f (x) = 2 x −1 se x ≤ −2 se −2 < x ≤ 0 se x > 0 E1 . Studiarne la continuità nei punti x = −2 e x = 0. E2. Studiarne la derivabilità, usando, nei punti x = −2 e x = 0, la definizione di derivata. E3. Tracciarne il grafico come traslate di funzioni elementari. MATEMATICA GENERALE Corsi di Laurea in EA, ELI, EMIF, EI, EISR 16 Luglio 2003 Esercizio Punti A (A1+A2+A3+A4+A5) (10=2+2+2+2+2) B (5) C (4) D (D1 + D2) (4=2+2) ESERCIZIO A Data la funzione: f (x) = ln x−3 x+1 A1. determinare dominio, segno ed eventuali zeri di f : A2. calcolare i limiti ed eventuali asintoti: 35 2 E (E1 + E2+E3) (7=2+3+2) A3. studiare la derivata prima f (x) della funzione e dire se esistono punti di massimo o di minimo per f: A4. studiare la derivata seconda f (x) della funzione, determinando eventuali punti di flesso; A5. grafico ESERCIZIO B Determinare i primi tre termini non nulli del polinomio di Taylor e mediante questi calcolare il valore approssimato di: √ 4 1.07 ESERCIZIO C Calcolare il seguente integrale: (e−x − e4x ) dx ESERCIZIO D Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false, motivando brevemente le risposte: D1. Il seguente sottoinsieme di R2 : {(x, y) | y = x2 + y 2 } è un sottospazio vettoriale. V F D2. Se un sottospazio S ha dimensione maggiore di uno, allora esistono in S tre vettori linearmente indipendenti V F ESERCIZIO E Data la seguente funzione: √ −x 1 2 x f (x) = 2x−1 e − 1 2 se x ≤ 0 se 0 < x ≤ 1 se x ≥ 1 E1. analizzare la continuità di f nei punti x = 0 ed x = 1 E2. analizzare la derivabilità di f nei punti x = 0, x = 1 con la definizione di derivata E3. tracciare il grafico di f , vedendo i tre tratti componenti come traslazioni di funzioni elementari: MATEMATICA GENERALE Corsi di Laurea in EA, ELI, EMIF, EI, EISR 36 9 Settembre 2003 Esercizio Punti A (A1+A2+A3+A4+A5) (10=2+2+2+2+2) B (5) C (4) D (D1 + D2) (4=2+2) E (E1 + E2+E3) (7=2+3+2) ESERCIZIO A Data la funzione: f (x) = √ x x−1 A1. determinare dominio, segno ed eventuali zeri di f : A2. calcolare i limiti ed eventuali asintoti: A3. studiare la derivata prima f (x) della funzione e dire se esistono punti di massimo o di minimo per f: A4. studiare la derivata seconda f (x) della funzione, determinando eventuali punti di flesso; A5. grafico ESERCIZIO B Determinare i primi tre termini non nulli del polinomio di Taylor e mediante questi calcolare il valore approssimato di: e0.05 ESERCIZIO C Considerare la seguente matrice: k A= 0 0 √ 23 k−2 0 1 2 k−3 Al variare del parametro k, determinare il rango di A. Fissato poi un k per cui il rango non sia massimo, determinare una relazione di dipendenza lineare tra i vettori colonna (o riga) di A. ESERCIZIO D Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false, motivando brevemente le risposte: D1. Se f è una funzione continua su [a, b] e il prodotto f (a)f (b) è negativo, allora esiste un punto dell’intervallo in cui la funzione si annulla. V F D2. Una funzione integrabile in [a, b] è anche derivabile in ogni punto dell’intervallo. V F ESERCIZIO E Data la seguente funzione: −x se x ≤ 0 e −1 −x3 + 3x2 − 3x se 0 < x ≤ 1 f (x) = 2 x − 2x se x > 1 37 E1. analizzare la continuità di f nei punti x = 0 ed x = 1 E2. analizzare la derivabilità di f nei punti x = 0, x = 1 con la definizione di derivata E3. tracciare il grafico di f , vedendo i tre tratti componenti come traslazioni di funzioni elementari: MATEMATICA GENERALE Corsi di Laurea in EA, ELI, EMIF, EI, EISR 23 Settembre 2003 Esercizio A (A1+A2) Punti 7(4+3) B (B1+B2) 7(4+3) C (C1+C2) 6(3+3) D (D1+D2) 4(2+2) E 6 ESERCIZIO A Data la funzione: f (x) = ln x2 − 3 2x A1. determinare dominio, segno ed eventuali zeri di f : A2. calcolare i limiti ed eventuali asintoti: ESERCIZIO B Assegnata la funzione seguente: g(x) = ln(x) + 2x2 + 5x B1. studiare la derivata prima f (x) della funzione e dire se esistono punti di massimo o di minimo per f: B2. studiare la derivata seconda f (x) della funzione, determinando eventuali punti di flesso; ESERCIZIO C Sia (an )n∈N ) la successione con termine generale dato da: an = 2n + 5 n+1 C.1 Dire se esiste il limite della successione ed eventualmente calcolarlo. C.2 Determinare l’estremo superiore e l’estremo inferiore dell’insieme A dei valori della successione, specificando se tali estremi sono il massimo o minimo di A. ESERCIZIO D Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false, motivando brevemente le risposte: D1. Una funzione convessa è derivabile. V F D2. Una funzione derivabile nell’intervallo [a, b] ammette massimo e minimo finiti in [a, b]. V F 38 ESERCIZIO E Considerare la seguente matrice: 1 A= 3 0 2 2 4 1 0 k Al variare del parametro k, determinare il rango di A. Fissato poi un k per cui il rango non sia massimo, determinare le soluzioni del sistema omogeneo : A · x = 0. MATEMATICA GENERALE Corsi di Laurea in EA, ELI, EMIF, EI, EISR 13 Novembre 2003 Esercizio A (A1+A2+A3+A4) Punti 9 (1+2+3+3) B 5 C 5 D (D1 + D2) 4 (2+2) E (E1 + E2+E3) 7 (2+3+2) ESERCIZIO A Data la funzione: f (x) = √ x2 x+1 A1. determinare dominio, segno ed eventuali zeri di f : A2. calcolare i limiti ed eventuali asintoti: A3. studiare la derivata prima f (x) della funzione e dire se esistono punti di massimo o di minimo per f: A4. studiare la derivata seconda f (x) della funzione, determinando eventuali punti di flesso; ESERCIZIO B Determinare i primi tre termini non nulli del polinomio di Taylor e mediante questi calcolare il valore approssimato di: √ 2 1.053 ESERCIZIO C Considerare la seguente matrice: k A= 0 −2 5 3 k2 1 0 k−3 Al variare del parametro k, determinare il rango di A. Fissato poi un k per cui il rango non sia massimo, determinare una relazione di dipendenza lineare tra i vettori colonna (o riga) di A. ESERCIZIO D Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false, motivando brevemente le risposte: D1. Se f è una funzione continua su [a, b] e il prodotto f (a)f (b) è positivo, allora esiste un punto x0 dell’intervallo tale che f (x0 ) = 0. V F D2. Una funzione derivabile in [a, b] è anche integrabile nell’intervallo. V F 39 ESERCIZIO E Data la seguente funzione: x e√ − 1 se x ≤ 0 x se 0 < x ≤ 1 f (x) = x2 se x > 1 4 E1. analizzare la continuità di f nei punti x = 0 ed x = 1 E2. usando la definizione di derivata come limite del rapporto incrementale, analizzare la derivabilità di f nei punti x = 0 e x = 1 . E3. tracciare il grafico di f , vedendo i tre tratti componenti come traslazioni di funzioni elementari: 40