1) In uno spazio vettoriale V sia dato il sottospazio non nullo W = L(!
v 1; !
v 2; !
v 3; !
v 4; !
v 5 ).
!
!
!
!
Sia v 1 combinazione lineare di v 2 ; v 3 ; v 4 . Quale tra le seguenti a¤ermazioni è vera?
W ammette una base formata da alcuni vettori in f!
v 1; !
v 2; !
v 3; !
v 4g
La dimensione di W è 5
La dimensione di W è 4
v 2; !
v 3; !
v 4g
W non ammette una base formata da alcuni vettori in f!
La dimensione di W è maggiore od uguale a 3
Essendo f!
v 1; !
v 2; !
v 3; !
v 4; !
v 5 g un sistema di generatori per W , una sua base sarà
costituita dal massimo numero di vettori linearmente indipendenti scelti tra !
v 1; !
v 2; !
v 3; !
v 4; !
v5
2
3
2) Sia f : R ! R un’applicazione lineare, allora
f non è mai suriettiva
f è sempre suriettiva
f è biunivoca
f è sempre iniettiva
f può essere suriettiva
e 1 ); f (!
e 2 )) 6= R3
Se f!
e 1; !
e 2 g è una base di R2 , allora imf = L (f (!
x=0
y=0
3) Siano date le rette r :
ed s :
. Allora
y= 5
z=5
r ed s sono ortogonali e sghembe
r ed s sono parallele
r ed s sono incidenti
r ed s sono tangenti ad una stessa circonferenza
nulla si può dire
1
Infatti il vettore direttore di r è !
r (0; 0; 1), mentre il vettore direttore di s è !
s (1; 0; 0) e
chiaramente i due vettori sono tra loro ortogonali. Inoltre, le due rette non sono incidenti
e quindi sono sghembe (perché non parallele e non incidenti) ed ortogonali.
4) Se !
u e!
v sono due vettori di norma uguale ad a rispetto ad un prodotto scalare
3
di R allora !
u +!
v ha norma
minore o uguale a 2a
maggiore di 2a
a
uguale a 2a
0
5) Sia f : R4 ! R4 un endomor…smo semplice con un solo autovalore
la molteplicità geometrica di
0
è4
la molteplicità geometrica di
0
è maggiore di 4
la molteplicità geometrica di
0
è minore di 4
la molteplicità algebrica di
0
è maggiore di 4
la molteplicità algebrica di
0
è minore di 4
0.
Allora
4
Essendo f semplice con il solo autovalore 0 si ha che p( ) = (
0 ) ossia la
molteplicità algebrica di 0 è 4. Inoltre, per la semplicità dell’endomor…smo, possiamo
concludere che la molteplicità geometrica dell’autovalore 0 è uguale a quella algebrica
cioè è 4.
2
ESERCIZI
8
< x=t
y=1 .
6) Si consideri il punto A(1; 0; 3) e la retta r :
:
z= 2
a) determinare la distanza del punto A dalla retta r;
b) determinare la circonferenza di centro A tangente alla retta r.
a) Sia il piano per A perpendicolare alla retta r e sia H = \ r, allora d(A; r) =
d(A; H).
Ora il vettore direttore della retta r è !
r (1; 0; 0) e quindi è il piano per A di parametri
di giacitura (a; b; c) = (1; 0; 0) di equazione
: a(x
x0 ) + b(y
y0 ) + c(z
z0 ) = x
1=0
da cui H(1; 1; 2) e
d(A; H) =
p
(1
1)2 + (1
0)2 + ( 2
3)2 =
p
26
b) La circonferenza C richiesta è data dall’intersezione della sfera
raggio R = d(A; r), con il piano per r ed A. Allora
: (x
1)2 + y 2 + (z
di centro A e
3)2 = 26
mentre il fascio di piani per r ha equazione
F(r) : y
1 + k(z + 2) = 0
Imponendo il passaggio per A si ottiene k =
C:
(x
1
5
da cui
: 5y + z
1)2 + y 2 + (z 3)2 = 26
5y + z 3 = 0
3
3 = 0 e quindi
7) Si consideri l’applicazione lineare f : R4 ! R3 de…nita da
f (x1 ; x2 ; x3 ; x4 ) = (x1 + x2 ; x2 + x4 ; x1
x3 )
Trovare una base di ker f e di Im f . Stabilire se f è niettiva e/o suriettiva.
Determinare ker f ?
Sia A la matrice associata all’applicazione lineare f
0
1
1 1 0 0
A=@ 0 1 0 1 A
1 0
1 0
Essendo dim(Im f ) = rg(A) = 3 si ha Im f = R3 e quindi f
del rango dim ker f = 4 3 = 1 da cui f non è iniettiva.
8
< x1 + x2
!
x2 + x4
x (x1 ; x2 ; x3 ; x4 ) 2 ker f ,
:
x1 x3
è suriettiva. Per il teorema
=0
=0
=0
da cui
ker f = f( x2 ; x2 ; x2 ; x2 ) 2 R4 jx2 2 Rg = L(( 1; 1; 1; 1))
Ora
!
x (x1 ; x2 ; x3 ; x4 ) 2 ker f ? , !
x !
u con !
u = ( 1; 1; 1; 1) ,
!
!
?
x (x1 ; x2 ; x3 ; x4 ) 2 ker f , x = (x2 x3 x4 ; x2 ; x3 ; x4 )
da cui ker f ? = L((1; 1; 0; 0); ( 1; 0; 1; 0); ( 1; 0; 0; 1))
4
x1 + x2
x3
x4 = 0
