Relazioni binarie Relazioni binarie su uno stesso

Relazioni binarie
Una relazione binaria può essere rappresentata con un grafo o con una matrice di incidenza.
Date due relazioni
seguenti modi.
R , S ⊆A1× A2 , la matrice di incidenza a seguito di varie operazioni si può calcolare nei
Intersezione: M R∩S =M R⋅M S Prodotto elemento per elemento, NON righe per colonne
Unione: M R∪S =M RM S Ogni elemento > 0 si pone uguale a 1
Prodotto righe per colonne. Ogni elemento > 0 si pone uguale a 1
Prodotto: M RS =M R⋅M S
In generale, il prodotto non è commutativo, perché è definito solo quando i due termini centrali sono
uguali, cioè quando R⊆ A1× A2 e S ⊆ A2× A3
Se R⋅S =S⋅R si dice che R, S sono permutabili.
Il
prodotto,
invece,
è
associativo,
cioè
se R⊆ A1× A2 S ⊆ A2× A3 T ⊆ A3× A4 allora  R⋅S ⋅T =R⋅ S⋅T 
Relazioni binarie su uno stesso insieme
Relazione identica: I A ={a , a∣a∈ A} Si rappresenta con autoanelli o con 1 sulla diagonale della matrice.
Relazione vuota: ∅
Relazione universale:  A= {a ,b per ogni a , b∈ A }
Data R⊆ A1×A2 si definisce relazione inversa e si indica con R-1 la relazione sottoinsieme di
−1
da R = {a2 , a1∈ A2× A1∣ a1, a2 ∈R }
La matrice di incidenza della relazione inversa è la trasposta della matrice di incidenza:
A2× A1 data
M R = M RT
−1
Proprietà delle relazioni
Seriale
Una relazione possiede la p. seriale (R è seriale) se per ogni a ∈A esiste a '∈ A tale che a , a '∈ R
(Da ogni elemento parte almeno una freccia. In MR c'è almeno un 1 per riga)
Simmetrica
Una relazione R possiede la p. simmetrica (R è simmetrica) se a , a '∈ R implica a ' , a∈ R (ogni freccia
del grafo ha due versi. In MR se esiste i,j=1 allora anche j,i=1, cioè la matrice è simmetrica)
Riflessiva
Una relazione R si dice riflessiva se per ogni a ∈A a , a ∈R
(ogni elemento possiede un autoanello. MR al posto i,i – lungo la diagonale principale – c'è sempre 1)
Se R è riflessiva ⇔ I A ⊆R
Antisimmetrica
Una relazione R possiede la proprietà antisimmetrica (R è antisimmetrica) se  A , b∈ R e b , a ∈ R implica
a=b
(Non ci possono essere frecce con due versi, esclusi gli autoanelli. MR: se i,j=1 j,i=0 con j ≠ 1)
R è antisimmetrica ⇔ R∩ R−1 ⊆I A
Transitiva
Una relazione R possiede la p transitiva (R è transitiva) se a , b ∈R e b , c ∈R implica che  a , c∈R
(Se c'è la freccia da a a b e quella da b a c, ci deve essere anche quella da a a c. M R: se (i,k)=1 e (k,j)=1, allora
(i,j)=1
R è transitiva ⇔ R2 ⊆R
P-chiusura
Sia P un elenco di proprietà di cui le relazioni binarie possono godere.
Sia R una relazione R⊆A×A
Si chiama chiusura di R rispetto a P (P-chiusura di R) una relazione T ⊆ A× A tale che:
1) R⊆T
2) T soddisfa le proprietà in P
3) Se S ⊆ A× A è una relazione che soddisfa le proprietà P e contenente R, allora deve contenere anche T,
quindi T è la relazione minima.
OSS: Se T esiste, è unica.
In altre parole, la P-chiusura di R, se esiste, è la minima relazione che contiene R e ha tutte le proprietà in P.
Relazioni di equivalenza
Una relazione si dice di equivalenza se gode delle proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva.
Relazioni d'ordine
Una relazione binaria si dice relazione d'ordine se gode delle proprietà riflessiva, antisimmetrica e transitiva.
Si dice che m∈ A (se esiste) è minimo di A se per ogni a ∈ A si ha m≤a
Si dice che M ∈A (se esiste) è massimo di A se per ogni a ∈A si ha a≤ M
Si dice che m∈ A (se esiste) è minimale per A se a≤m implica a=m (in altre parole si ha a non
confrontabile con m o m≤a )
Si dice che M ∈A (se esiste) è massimale se a≥ M implica a=M (in altre parole si ha a non confrontabile
con m o a≤m )
Il minimo dei maggioranti (se esiste) si chiama estremo superiore di B. Si indica con sup(B).
Il massimo dei minoranti (se esiste) si chiama estremo inferiore di B. Si indica con inf(B).
Presi due elementi a , b∈ A con A insieme parzialmente ordinato, se per ogni coppia a, b esistono inf{a, b} e
sup{a, b}, A si dice reticolo.
Funzioni
Sia f ⊆ A×B una relazione tale che per ogni a ∈ A esista uno e un solo elemento b∈ B tale che
a , b∈ f .
Allora f si dice funzione (o applicazione) da A a B
Se a , b∈ f si scrive b= f a 
b si chiama immagine di a tramite f.
a si dice controimmagine di b.
Date due funzioni f : A B e g : A  B , tali che f ⊆ A×B e g ⊆B×C è possibile costruire il prodotto
tra relazioni fg ⊆ A×C .
Il prodotto tra funzioni è una funzione, detta prodotto delle funzioni f, g ed è indicata con f ° g
Inoltre si ha f ° g a= g  f a  .
Una funzione f : A B si dice iniettiva se ogni elemento b∈ B ammette al più una controimmagine.
Una funzione f : A B si dice suriettiva se ogni elemento b∈ B ha almeno una controimmagine.
Una funzione f : A B si dice biettiva (o biunivoca) se è iniettiva e suriettiva.
Nota: se A=B=X (insieme finito) sono equivalenti: “f è iniettiva”, “f è suriettiva”, “f è biettiva”
Una funzione f : A B ammette inversa destra h : B  A sse f è iniettiva.
Una funzione f : A B ammette inversa sinistra h : B  A sse f è suriettiva.
Una funzione f : A B ammette inversa (sinistra e destra) h : B  A sse f è biunivoca.
Il nucleo (ker) di una funzione è una relazione definita come a 1, a 2 ∈ker f ⇔ f a 1 = f a 2  ed è la relazione
che collega elementi aventi la stessa immagine.
Proiezione (applicazione) canonica
Presa una relazione di equivalenza ρ su A esiste sempre una funzione suriettiva   : A  A/ tale che
ker  = .
La   (Detta proiezione canonica di A sul suo insieme quoziente) è definita ponendo    a=a=[a ] ed è
la funzione che associa ogni elemento alla partizione (classe) a cui appartiene.
Teorema di fattorizzazione delle applicazioni
Siano f : A B una funzione e  ker f : A  A/ ker f l'applicazione canonica di A su A/ker f.
Esiste unica una funzione g : A/ ker f  B tale che (nelle due formulazioni):
Prima formulazione:  ker f °g= f . Inoltre g è iniettiva.
Seconda formulazione: il seguente diagramma è commutativo (per commutativo si intende che
comunque ci muoviamo lungo le direzioni permesse dal diagramma, quando arriviamo ad uno stesso
punto otteniamo lo stesso risultato).
A
ρker f
f
B
g
A/ker f
Leggi di composizione
Dati gli insiemi A1, A2,  , An , A si dice legge di composizione n-aria (o di arità n) di A1, A2,  , An a valori
in A, un'applicazione  : A1× A2×× An  A
Se A1 =A 2==A n= A diremo che ω è una legge di composizione interna n-aria.
Strutture algebriche
Si dice struttura algebrica una coppia ⟨ A ,⟩ formata da un insieme A, chiamato sostegno della struttura, e
da un insieme non vuoto e finito di leggi di composizione interne  che possono godere di particolari
proprietà. Gli elementi di A si dicono elementi della struttura. La struttura si dice finita se è finito il suo
sostegno.
Si dice semigruppo ⟨ A ,⋅⟩ un insieme A fornito di una legge di composizione interna binaria associativa.
Si dice monoide un semigruppo ⟨ A ,⋅⟩ dotato di elemento neutro rispetto all'operazione binaria ⋅.
Spesso un monoide viene indicato come ⟨ A ,⋅, e ⟩ per evidenziare l'elemento neutro.
Si dice gruppo un monoide ⟨ A ,⋅, e ⟩ in cui ogni elemento ammette inverso rispetto all'operazione ⋅.
I gruppi vengono spesso indicati con la notazione ⟨ A ,⋅, −1 , e ⟩ .
In altre parole, un gruppo è un insieme A con una legge di composizione binaria ⋅ associativa tale che:
1. esiste un e ∈ A tale che per ogni a ∈A si ha a⋅e=e⋅a=a
2. per ogni a ∈A esiste un b ∈A tale che a⋅b=b⋅a=e . Tale b viene indicato solitamente con il
simbolo a-1.
Un gruppo si dice abeliano se la legge di composizione binaria gode della proprietà commutativa.
Si dice anello una struttura algebrica ⟨ A ,⟩ con due operazioni binarie denotate da + e ⋅, tali che:
1) ⟨ A , +⟩ è un gruppo additivo dell'anello
2) ⟨ A ,⋅⟩ è un semigruppo detto semigruppo moltiplicativo dell'anello
a , b , c ∈A si ha:
3) valgono le proprietà distributive di ⋅ rispetto a +, cioè per ogni
a⋅bc =a⋅ba⋅c ,
 ab⋅c=a⋅cb⋅c
Un anello viene spesso denotato con ⟨ A , + ,⋅, 0, - ⟩ , perché ha due operazioni binarie + e ⋅, ha uno zero
(elemento neutro rispetto a +) e ha opposto (operazione inversa rispetto a +).
Se esiste un elemento neutro rispetto a ⋅, l'anello si dice unitario (o con unità).
Se ⋅ è commutativa, A si dice commutativo.
Un anello si dice privo di divisori dello 0 se non esistono a , b∈A e diversi da 0 tali che a⋅b=0
In un anello valgono le leggi di cancellazione se ognuna delle relazioni a⋅b=a⋅c e b⋅a=c⋅a con
a , b , c ∈A e a≠0 implica b=c
Un anello è privo di divisori dello zero se e solo se in esso valgono le leggi di cancellazione.
Si dice corpo un anello in cui gli elementi diversi dallo 0 formano un gruppo rispetto a ⋅ (cioè un anello in cui
entrambe le operazioni ammettono inverso ed elemento neutro).
Un corpo in cui vale la proprietà commutativa per ⋅, si dice campo.
Ogni corpo finito è un campo.
Sottostrutture
Supponiamo di avere ⟨ A ,⟩ struttura algebrica, e H⊆ A
Si dice che H è sottostruttura di A se ⟨ H , ⟩ è una struttura dello stesso tipo di A.
Un sottogruppo H di un gruppo ⟨ A ,⋅, −1 , e ⟩ si dice normale se per ogni
a−1⋅h⋅a∈ H
Sia I un sottoanello di ⟨ A ,,⋅⟩ . I si dice ideale se ∀ a∈ A e ∀ i∈ I si ha:
a⋅i∈ I
i⋅a ∈I
a ∈ A e ogni h ∈H
Classe di resto modulo n
ℤn= {[0 ] ,[1],  ,[n−1] }
[a ][b]=[ab ]
[a ]=[a ' ] con a '=akn
[a ][b]=[b][a]
[ a][ b][c ]=[a ][ b][c ]
Elemento neutro: [0 ]
Elemento opposto di [a ]: [ n−a ]
[a ]⋅[b]=[ab]
[a] ammette inverso rispetto a ⋅ sse a è primo con n, ovvero MCD(a, n)=1
ℤn è un campo se e solo se n è primo.
Procedimento per risolvere un'equazione lineare tra classi di equivalenza modulo n
[a] x = [b]
in ℤn
Calcolare: m=MCD(a,n)
Se m è divisore di a, esistono una o più soluzioni. In particolare, se m=1 la soluzione è unica.
Trovare r e s tali che: a r + n s = m
Calcolare t tale che: b=t m
La prima soluzione è x1=t r
n
Le altre soluzioni (se esistono) sono x c =x c−1
m
Equazioni lineari in ℤn
[a ] x=[b]
•
se a è primo con n esiste unica la soluzione x =[a ]−1 [b ]
•
se a non è primo con n l'equazione può ammettere nessuna o più soluzioni (procedere per tentativi)
Relazioni di congruenza
Si considerino un insieme A, una legge di composizione interna ω di arità n su A ed una relazione di
equivalenza ρ su A. La relazione ρ si dice compatibile con ω se per ogni a 1, a 2,  , a n∈ A e b 1, b 2,  , b n ∈ A
si ha che a 1, b 1∈ ,a 2, b 2 ∈  , , a n , bn ∈ implicano: a 1, a 2,  , a n  , b 1, b 2,  , b n ∈
Data una struttura algebrica ⟨ A ,⟩ una relazione di equivalenza ρ su A si dice relazione di congruenza su
A se è compatibile con ogni ∈
Omomorfismi
Due strutture algebriche ⟨ A1, 1 ⟩ e ⟨ A 2,  2 ⟩ si dicono simili se esiste una funzione biunivoca t tra Ω1 e Ω2
tale che che ω1 e τ(ω1) abbiano la stessa arità per ogni  1∈
Date due strutture algebriche ⟨ A1, 1 ⟩ e ⟨ A 2,  2 ⟩ simili si dice omomorfismo di ⟨ A1, 1 ⟩ in ⟨ A2, 2 ⟩ una
funzione f di A1 in A2 tale che per ogni 1∈1 di arità n, posto  2= 1 , sia, per ogni
a 1, a 2,  , a n ∈A1 :
f  1 a 1, a 2,  , a n =2  f  a1  , f a 2  , , f a n 
In breve si dice che un omomorfismo è una funzione f di A1 in A2 che conserva le operazioni.
Un omomorfismo si dice monomorfismo se f è una funzione iniettiva, epimorfismo se f è suriettiva,
isomorfismo se f è biunivoca.
Reticoli e algebre di Boole
Si dice reticolo un insieme (parzialmente) ordinato (L, ) tale che per ogni a , b∈L esistano in L inf{a,b} e
sup{a,b}.
Si dice reticolo una struttura algebrica ⟨ L ,∧,∨ ⟩ con due leggi di composizione (interne) binarie che
chiameremo intersezione e unione ed indicheremo con ∧ e ∨, che gondono delle seguenti proprietà:
•
commutativa: ∀ a , b∈ L : a∧b=b∧ A , a∨b=b∨a
•
associativa: ∀ a , b , c∈L :  a∧b ∧c=a∧ b∧c  , a∨b∨c=a∨b∨c
•
di assorbimento: ∀ a , b∈L : a∧a∨b=a , a∨a∧b =a
Le due definizioni sono equivalenti.
Si dice zero di un reticolo ⟨ L ,∧,∨ ⟩ l'elemento neutro (se esiste) rispetto all'operazione ∨ (è il minimo
rispetto alla relazione d'ordine indotta)
Si dice uno di un reticolo l'elemento neutro (se esiste) rispetto all'operazione ∧ (è il massimo rispetto alla
relazione d'ordine indotta)
Un reticolo si dice distributivo se e solo se valgono le proprietà distributive di un'operazione rispetto all'altra:
∀ a , b , c∈L : a∧b∨c=a∧b∨a∧c , a∨ b∧c= a∨b∧ a∨c
Un reticolo è distributivo se e solo se non contiene sottoreticoli il cui diagramma di Hasse ha una delle
seguenti forme:
x
x
u
y
y
z
u
v
z
v
Un reticolo L con 0 ed 1 si dice complementato se per ogni a ∈ L esiste un a '∈L tale che
a∧a '=0 e a∨a '=1 . L'elemento a' (non necessariamente unico) si dice complemento di a.
Un reticolo distributivo e complementato si dice unicamente complementato.
Si dice algebra di Boole un reticolo con 0 ed 1, distributivo e complementato.
Un'algebra di Boole viene spesso indicata con ⟨ L ,∧,∨, 0, 1,' ⟩ .
Si dice atomo di un reticolo un elemento a ∈L diverso da 0 tale che per ogni b ∈L si abbia
a∧b=0 o a∧b=a .