Che cos’è una retta? - Geometria sferica, euclidea e iperbolica
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Vi hanno incaricati di progettare una rotta aerea tra Mosca e Vancouver (segnati sulla cartina da dei
pallini rossi). Questa rotta è descritta da una linea sulla cartina che rappresenta il percorso che
dovrà seguire l’aereo.
● Quali sono secondo voi le caratteristiche che dovrebbe avere una rotta di un aereo?
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● Provate a disegnare sulla cartina la rotta che vi sembra migliore. Come avete fatto? Avete
seguito qualche regola particolare?
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Una rotta aerea (ideale) deve essere la più corta possibile, in modo da risparmiare carburante!
Chiameremo segmenti-geodetici le linee tracciate sulla sfera che realizzano la distanza più corta
tra i due estremi.
● Provate ad aiutarvi con il mappamondo, cercando di visualizzare il percorso che avete fatto
aiutandovi con uno spago. Per farlo basta tendere, sul mappamondo, lo spago tra Mosca e
Vancouver. Secondo voi lo spago teso sulla sfera si dispone lungo segmenti-geodetici?
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● Se con lo spago avete trovato una rotta diversa da quella che avevate intuito all’inizio
disegnate anche questa sulla cartina. Riuscite a dire perchè all’inizio avevate dato una
risposta diversa?
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● Vi diamo ora una nuova cartina con disegnate alcune rotte aeree costruite cercando di
mantenere la lunghezza del percorso più corta possibile. Se non vi fidate fate un controllo
sul mappamondo per vedere se effettivamente queste linee sono segmenti-geodetici. Vi
viene in mente un modo più esplicito per descriverli?
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● I meridiani della sfera sono le sole linee che realizzano la distanza più breve oppure ce ne
sono anche altre?
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● Cercate di disegnare sulla cartina un triangolo tra le città di Mosca, Vancouver e Nairobi,
aiutandovi con il mappamondo per disegnare i lati approssimando dei segmenti-geodetici.
● Utilizzando la scala del mappamondo e un goniometro calcolate quanto sono lunghi i lati e
quali sono le ampiezze degli angoli.
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● Quale è la somma degli angoli interni del triangolo che avete disegnato?
● Secondo voi quanto è l’area di questo triangolo?
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● Intuitivamente potreste cercare di confrontare quest’area con l’area di tutta la terra.
Approssimando la terra con una sfera qual è la formula per calcolarne l’area? Quanto vale
l’area della terra?
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Ora cercheremo una formula per calcolare in modo preciso l’area di un triangolo sferico.
● Iniziate con il calcolare l’area di uno spicchio di sfera. Come descrivereste lo spicchio che si
vede nella figura? Quali dati occorrono per ricostruire lo spicchio?
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● Quanto vale l’area di uno spicchio sferico costruito con un angolo di ampiezza ? Provate a
pensare alla relazione tra l’area dello spicchio e l’area della sfera intera. Descrivete il
procedimento utilizzato.
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● Ora considerate il seguente triangolo sferico. I suoi tre angoli individuano degli spicchi
sferici. Siete in grado di disegnarli sul mappamondo? Potete aiutarvi con lo schema
riportato qui sotto, che rappresenta una “metà” della sfera.
● Quanto vale l’area dei tre spicchi sferici individuati dal triangolo? Riuscite a mettere in
relazione la somma delle aree di questi spicchi sferici e l’area dell’intera sfera?
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● Usate la relazione descritta sopra per ricavare una formula per l’area del triangolo sferico.
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● Se foste partiti da una sfera più grande oppure più piccola come sarebbe cambiata la
formula per l’area del triangolo sferico?
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● Calcolate l’area del triangolo che avete costruito all’inizio tra le città di Mosca, Vancouver e
Nairobi.
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● Tornate sul piano euclideo. Cosa significa che due triangoli sono simili?
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● Nel piano euclideo le aree di due triangoli simili sono in relazione?
Sulla sfera succede qualcosa di simile o di diverso?
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● Riuscite a individuare sulla sfera un triangolo con tutti gli angoli interni di 90°? Qual è l’area
di questo triangolo?
● Osservate che questa area è esattamente un ottavo dell’area della sfera. Fate un disegno
per descrivere il fatto che la sfera si può suddividere in 8 triangoli uguali tra loro e con gli
angoli interni tutti di 90°.
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● Dati due punti sul piano euclideo esiste un solo segmento che li congiunge. Sulla sfera
questo è sempre vero?
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● Riuscite a trovare due punti sulla sfera che possono essere collegati da piu’
segmenti-geodetici diversi?
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La proprietà, valida sul piano euclideo, che “per due punti passa una e una sola retta” è una frase
detta “primo postulato di Euclide”: uno dei punti di partenza della geometria euclidea.
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● Sul piano euclideo cosa significa che due rette sono parallele? Disegnate una coppia di
rette parallele.
● Riuscite a trovare sulla sfera due rette-geodetiche parallele?
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● Dato un punto esterno a una retta sul piano euclideo è sempre possibile trovare un’unica
retta parallela alla retta data e passante per il punto. Sulla sfera questo è possibile?
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