Da “Pensare e fare matematica” Geometria - Capitolo 4
La lente sulla logica
Novità di linguaggio
Ci sono più modi per esprimere l’enunciato di un teorema e l’implicazione di cui si dimostra la
validità. La forma se ... allora ... può essere sostituita da altre; le esaminiamo rivisitando da questo
punto di vista alcuni dei teoremi sin qui trattati.
Dal “se … allora ... “ alle condizioni necessarie e sufficienti
Rileggiamo due teoremi che abbiamo enunciato in questo capitolo.
Abbiamo dimostrato il teorema:
T Se due rette formano angoli alterni interni congruenti con una trasversale allora sono parallele.
Grazie a questo teorema basta verificare che è soddisfatta una condizione (“gli angoli alterni interni
formati dalle rette con una trasversale sono congruenti”) per essere sicuri che le rette sono parallele,
perciò si dice che la condizione individuata è una condizione sufficiente.
Lo stesso teorema T è anche enunciato nella forma:
T Condizione sufficiente affinché due rette siano parallele è che formino angoli alterni interni
congruenti con una trasversale.
Dopo aver introdotto l’assioma della parallela abbiamo invertito il teorema T e abbiamo dimostrato:
T’ Se due rette sono parallele allora formano angoli alterni interni congruenti con una trasversale.
Questa volta si sa che le rette sono parallele e si prova che da questo segue necessariamente la
congruenza degli angoli alterni interni formati con una trasversale, perciò si dice che la condizione
individuata è una condizione necessaria.
Il teorema T’ allora è enunciato anche nella forma:
T’ Condizione necessaria affinché due rette siano parallele è che formino angoli congruenti con
una trasversale.
Poiché la stessa condizione è sia necessaria sia sufficiente si ha un unico enunciato dei due teoremi
nella forma:
Teorema. Condizione necessaria e sufficiente affinché due rette siano parallele è che formino
angoli congruenti con una trasversale.
Vediamo un altro esempio.
Abbiamo dimostrato che se un triangolo è equilatero allora è anche equiangolo.
Quindi l’essere un triangolo equilatero è sufficiente perché sia anche equiangolo. Perciò diremo:
Condizione sufficiente affinché un triangolo sia equiangolo è che sia equilatero.
Ma vale anche il teorema inverso in base al quale: Se un triangolo è equiangolo allora è anche
equilatero. Questa volta l’essere equilatero segue necessariamente dall’essere equiangolo. Perciò
diremo:
Condizione necessaria affinché un triangolo sia equiangolo è che sia equilatero.
Unendo le due, abbiamo:
Teorema. Condizione necessaria e sufficiente affinché un triangolo sia equiangolo è che sia
equilatero.
A partire da questo esempio scriviamo in uno schema a blocchi di carattere generale un enunciato
nella forma di condizione necessaria o sufficiente
Condizione tipo condizione affinché fatto è che testo condizione
Dove :
in tipo condizione ci sarà “necessaria o sufficiente”
in fatto “il triangolo è equiangolo”
in testo condizione “il triangolo è equilatero”
Dalle condizioni necessarie e sufficienti al se … allora
Consideriamo alcuni enunciati
1) Condizione sufficiente affinché un quadrilatero sia un parallelogrammo è che i lati opposti siano
congruenti.
La riscriviamo con lo schema a blocchi
Condizione sufficiente affinché un quadrilatero sia un parallelogrammo è che i lati opposti siano
congruenti
Il tipo condizione è: sufficiente
Il fatto è: un quadrilatero è un parallelogrammo
La condizione è: i lati opposti sono congruenti
Poiché una condizione sufficiente implica il fatto, scriviamo l’enunciato nella forma
Se i lati opposti di un quadrilatero sono congruenti allora il quadrilatero è un parallelogrammo.
2) Condizione necessaria affinché un parallelogrammo sia un rombo è che abbia le diagonali
perpendicolari.
La riscriviamo con le schema a blocchi
Condizione necessaria affinché un parallelogrammo sia un rombo è che abbia le diagonali
perpendicolari
Tipo condizione: necessaria
Fatto: un parallelogrammo è un rombo
Condizione: le diagonali sono perpendicolari
Poiché la condizione necessaria segue dal fatto, scriviamo:
Se un parallelogrammo è un rombo allora ha le diagonali perpendicolari
3) Condizione necessaria e sufficiente affinché un triangolo sia isoscele è che abbia due altezze
congruenti.
La condizione avere due altezze congruenti è necessaria, perciò è implicata dal fatto il triangolo è
isoscele
Quindi scriviamo: se un triangolo è isoscele allora ha due altezze congruenti
Viceversa la condizione è anche sufficiente, perciò implica il fatto e scriviamo: se un triangolo ha
due altezze congruenti allora è isoscele.
Esercizi
1. Scrivere nella forma “condizione sufficiente…” i seguenti teoremi
a. Se un quadrilatero ha due lati opposti paralleli e gli altri due congruenti allora è un
parallelogrammo
b. Se due rette sono perpendicolari a una stessa retta allora sono parallele
c. Se un segmento congiunge i punti medi dei lati di un triangolo allora è parallelo al
terzo lato
d. Se in un triangolo un’altezza è anche asse allora il triangolo è isoscele
2. Scrivere nella forma “condizione necessaria…” i seguenti teoremi
a. Se un triangolo è isoscele è allora un’altezza sia anche mediana
b. Se un quadrilatero è un parallelogrammo allora le diagonali si tagliano
scambievolmente a metà
c. Se un triangolo è isoscele allora ha gli angoli alla base congruenti
d. Se due rette sono parallele allora formano angoli corrispondenti congruenti con una
trasversale
3. Scrivere nella forma “se … allora” le seguenti condizioni necessarie
a. Condizione necessaria affinché due rette siano parallele è che formino angoli
coniugati supplementari con una trasversale
b. Condizione necessaria affinché un triangolo sia isoscele è che un’altezza sia anche
bisettrice
c. Condizione necessaria affinché un parallelogrammo sia un quadrato è che sia un
rombo
d. Condizione necessaria affinché un quadrilatero sia un parallelogrammo è che i lati
opposti siano congruenti.
4. Scrivere nella forma “se … allora” le seguenti condizioni sufficienti
a. Condizione sufficiente affinché due rette siano parallele è che siano parallele a una
stessa retta
b. Condizione sufficiente affinché un parallelogrammo sia un rombo è che le diagonali
siano bisettrici degli angoli
c. Condizione sufficiente affinché un triangolo sia rettangolo è che una mediana sia
congruente a metà lato
d. Condizione sufficiente affinché due rette siano parallele è che siano perpendicolari a
una stessa retta.
5. Scrivere nella forma “se … allora” le seguenti condizioni necessarie e sufficienti
a. Condizione necessaria e sufficiente affinché un triangolo sia isoscele è che
un’altezza sia bisettrice
b. Condizione necessaria e sufficiente affinché un triangolo sia rettangolo è che la
mediana relativa all’ipotenusa sia congruente a metà lato
c. Condizione necessaria e sufficiente affinché un quadrilatero sia un parallelogrammo
è che le diagonali si taglino scambievolmente a metà
d. Condizione necessaria e sufficiente affinché due rette sia parallele è che formino
angoli coniugati supplementari con una trasversale
