Programma del corso (versione provvisoria)
MATEMATICA DISCRETA
C.L. Informatica - Brindisi
Dott. Donatella Iacono
A.A. 2012/2013
Per ulteriori dettagli, il diario delle lezioni ed esercizi, consultare la pagina web del corso.
1) Cenni di teroia degli insiemi e di logica
INSIEMI: Unione, Intersezione, Complementare, Insieme delle Parti, Prodotto cartesiano.
Proprieta’ e leggi di De Morgan. Introduzione al linguaggio e simbolismo matematico:
Quantificatori Ogni ed Esiste, inclusione.
LOGICA: Definizione di proposzione. Simboli logici e quantificatori. Tavole di Verita’.
Equivalenza di proposizioni.
2) Funzioni e successioni
FUNZIONI: Definizione di funzione, dominio e codominio. Funzioni equivalenti. Immagine e controimmagine di un sottoinsieme e Proprieta’. Funzioni iniettive, suriettive e
biettive. Composizione di funzione e proprieta’. Inversa di funzioni biettive e proprieta’.
Cardinalita’ di un insieme. Insiemi Equipotenti. Insiemi finiti. Cardinalita’ minore o
uguale. Se insiemi stessa cardinalita’ finita, allora funzione e’ iniettiva se e solo se suriettiva
(con dim.). Insiemi infiniti, insiemi numerabili. Numerabilita’ dell’insime degli interi Z
(con dim). Potenza del continuo. Principio di induzione completa e formulazioni equivalenti. Cardinalita’ dell’insieme delle parti di un insieme finito (dim. usando il principio di
induzione).
SUCCESSIONI. Definizioni, simbolo di sommatoria e proprieta’. Successioni ricorsive ed
esempi: numeri fattoriali, progressione aritmetica, progressione geometrica. Formula chiusa
di successioni ricorsive. Numeri di Fibonacci, definizione ricorsiva e come modellazione della
popolazione di conigli. Formula ricorsiva e formula chiusa. Torri di Hanoi, definizione come
gioco, formula ricorsiva e formula chiusa.
Cardinalita’ dell’unione di insiemi finiti. Caso generale di insiemi disgiunti. Regola della
somma. Caso generale con intersezioni non vuote. Cardinalita’ del prodotto di insiemi
finiti. Regola del prodotto.
3) Cenni di combinatorica
COMBINATORIA: Disposizioni semplici di n oggetti di classe k, numero di applicazioni
iniettive da un insieme di cardinalita’ k ad uno di cardinalita’ n (con dim.) e numero di
applicazioni biettive (con dim). Permutazioni. Combinazioni semplici di n oggetti di classe
k (k minore o uguale ad n). Definizione e calcolo del coefficiente binomiale. Sottoinsiemi di
cardinalita’ k in un insieme di cardinalita’ n. Formula del binomio di Newton. Triangolo
di Pascal o Tartaglia e legame con i coefficienti binomiali. Seconda dimostrazione della
cardinalita’ dell’insieme delle parti di un insieme finito, usando la formula di Newton. Disposizioni con ripetizioni di n oggetti di classe k e calcolo esplicito. Cardinalita’ dell’insieme
di applicazioni tra due insiemi finiti. Combinazioni con ripetizioni di n oggetti di classe k (k
minore o uguale ad n). Funzione caratteristica di un sottoinsieme. Terza dimostrazione della cardinalita’ dell’insieme delle parti di un insieme finito, usando le funzioni caratteristiche.
Numero di applicazioni suriettive tra insiemi finiti.
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4) Relazioni di ordine e di equivalenza
Relazioni di equivalenza. Classi di equivalenza e relative proprietà. Partizioni di un
insieme. Insieme quoziente di un insieme rispetto ad una relazione di equivalenza. La
congruenza (mod n) su Z e la costruzione dell0 insieme Zn delle classi dei resti (mod n).
Congruenze lineari su Z. Teorema di compatibilità di una congruenza lineare e sue soluzioni
non congrue (mod n). Sistemi di congruenze lineari e tecniche di risoluzione. Teorema cinese
dei resti.
Relazioni tra insiemi. Relazione vuota, totale, associata ad una funzione, relazione identica. Proprieta’ di una relazione: Riflessiva, Simmetrica, Antisimmetrica, Transitiva. Relazione di ordine parziale e insiemi parzialmente ordinati. Relazione di ordine totale e
insiemi totalmente ordinati. Relazioni di equivalenza. Definizione di classe di equivalenza. Teorema sulle proprieta’ delle classi di equivalenza (con dimostrazione). Definizione di
PARTIZIONE di un insieme. Teorema: ogni relazione di equivalenza definisce una partizione (con dimostrazione). Teorema: ogni partizione definisce una relazione di equivalenza
(con dimostrazione). Insieme quiziente.
5) Numeri naturali e interi: congruenze ed equazioni Diofantee
Insieme N dei numeri naturali. di Bézout. Minimo comune multiplo. Numeri primi.
Teorema fondamentale della aritmetica. Criteri di fattorizzazione di un intero: crivello di
Eratostene e criterio di Fermat. La funzione di Eulero e le sue principali proprietà. Il piccolo
teorema di Fermat. Teorema di Eulero e sue applicazioni. Crittografia a chiave pubblica:
RSA. Teorema di rappresentazione di un intero in base n. Equazioni Diofantee.
NUMERI INTERI. Definizione di valore assoluto, di divosore e multiplo. Divisibilita’ di
ogni combinazione lineare. Teorema della divisione in Z: esistenza ed unicita’ del quoziente
e resto (dimostrazione dell’unicita’ e dell’esistenza di quoziente e resto nel caso di numeri
positivi). Definizione di un massimo comun divisore e definizione di MCD. Proprieta’.
Esistenza del MCD e algoritmo di Euclide per la sua determinazione. Teorema di Bezout
(con dimostrazione). Definizione di un minimo comune multiplo e di mcm. Proprieta’.
Relazione di equivalenza della congruenza modulo n, classi resto e descrizione del quoziente.
NUMERI PRIMI. Definizione di numeri primi. Teorema Fondamentale dell’aritmetica
(con dimostrazione dell’esistenza): fattorizzazione in potenze di primi distinti. Applicazione della fattorazizzazione per trovare divisori di un numero intero Applicazione della
fattorazizzazione per il calcolo del MCD. Teorema esistenza infiniti numeri primi (con dimostrazione). Crivello di Eratostene. Funzione di Eulero e proprieta’. Applicazione della
fattorazizzazione per il calcolo della funzione di Eulero per ogni intero n.
EQUAZIONI DIOFANTEE: Teorema di esistenza della soluzione (con dimostrazione).
Teorema che descrive tutte e sole le soluzioni di una equazione diofantea (dimostrato solo
che sono soluzioni).
CONGRUENZE: Proprieta’ delle congruenze modulo n > 1: Piccolo teorema di Fermat, con dimostrazione. Teorema di eulero Fermat (senza dimostrazione). Applicazione al
calcolo di potenze modulo n. CONGRUENZE LINEARI: Teorema di esistenza della soluzione (con dimostrazione). Teorema che descrive tutte e sole le soluzioni di una congruenza
lineare (dimostrato usando le equazzioni diofantee), descrizione delle soluzioni distinti modulo n. SISTEMI DI CONGRUENZE LINEARI: definizione ed esempi. Teorema riduzione
dei coefficiente dell’incognita ad 1, nel caso di esistenza di soluzione per ogni congruenza.
Teorema Cinese dei Resti: unicita’ della soluzione.
Metodi di Fattorizzazione: Metodo di Eratostene e Metodo di Fermat. Scrittura dei
numeri in base n. Criteri di divisibilita’ per: 2,3,4,5,9,11,25. Sistema Crittografico RSA (R.
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Rivest, A. Shamir e L. Adleman): Definizione, crittografia a chiave pubblica. Accenno al
probema della firma.
6) Monoidi, gruppi, anelli e campi
Definizione di struttura algebrica, operazione, operazione associativa, elemento neutro,
elemento inverso. MONOIDI: definizione, esempi: monoide delle parole, monoidi commutativi. GRUPPI: definizioni, esempi, gruppi abeliani. Legge di cancellazioni nei gruppi.
Gruppi: scrittura moltiplicativa e scrittura additiva: potenze o multipli di un elemento.
Relazioni di equivalenza compatibili con strutture algebriche: esempio della relazione di
equivalenza su Z compatibile sia con la somma che con il prodotto. Gruppi (Zn ,+) e
monoide commutativo (Zn , .). Tabelle per i gruppi finiti. Gruppo somma diretta.
SOTTOGRUPPI: definizioni, teorema di caratterizzazione deii sottogruppi (con dimostrazione). Intersezione di sottogruppi e’ un sottogruppo, l’unione in generale no. Ordine
di un gruppo: definizione ed esempi, ordine di un sottogruppo. Teorema di Lagrange (senza dimostrazione). Sottogruppo ciclico generato da un elemento. Periodo di un elemento.
Proprieta’ delle potenze di un elemento in relazione al suo ordine. Gruppi ciclici finiti ed
infiniti: definizione ed esempi. Proprieta’ dei gruppi ciclici: sono abeliani, i sottogruppi
sono ciclici, ordine degli elementi nei gruppi ciclici finiti, generatori.
GRUPPI CICLICI finiti: per ogni divisore hdell’ordine esiste un sottogruppo di ordine h.
Monoide commutativo (Zn ,.): definizione ed elementi invertibili. Gruppo abeliano: (Zp ,.)
con p primo. GRUPPO SIMMETRICO. Definizione di gruppo simmetrico, notazione degli
elementi, e degli inversi e della composizione. Definizione di ciclo. Ogni ciclo corriponde
ad una permutazione. Ogni permutazione puo’ scriversi come prodotto di cicli disgiunti.
Definizione di trasposizione. Ogni ciclo e quindi ogni permutazione, puo’ essere scritta come
prodotto di trasposizioni. Permutazioni pari e dispari. Ordine di una permutazione.
ANELLI: Definizione di anello, di anello unitario, di anello commutativo unitario. Esempi
(Z,+,.), (Q,+,.), (R,+,.), (Zn,+,.). Definizione di divisori dello zero e di elementi invertibili
(o unitari). Esempi in (Z,+,.), (Q,+,.), (R,+,.), (Zn,+,.). Se un elemento e’ invertibile
allora non e’ un divisore dello zero (con dimostrazione). Divisori dello zero ed invertibili
in (Zn,+,.). Esempio di ANELLO dei POLINOMI a coefficienti in un anello commutativo
unitario R: (R[x],+,.). In ogni anello commutativo unitario finito, ogni elemento e’ invertibile
oppure un divisore dello zero (senza dimostrazione). CAMPI: definizione. Esempi: (Q,+,.),
(R,+,.), (Zp,+,.) con p primo. Campo dei NUMERI COMPLESSI (C,+,.): definizione,
dell ’insieme C=RxR e di . e +. Identificazione dei numeri reali con gli elementi (a,0).
Definizione dell’unita’ immaginaria i=(0,1). Definizione di Coniugato e di modulo di un
numero complesso. Proprieta’ del coniugato e del modulo. Inverso nei numeri complessi.
7) Matrici su un campo K
MATRICI: gruppo abeliano (M atnxm(K) , +), su un qualsiasi campo (K,+, .). Definizione
di matrice moltiplicabile. Definizione della matrice identita’ e matrice trasposta. Definizione di prodotto di matrici. ANELLO delle matrici: (M atnxm(K) , +, .) delle matrici
di ordine nxn a coefficienti in un qualsiasi campo (K,+, .). Eempi di divisori dello zero
nell’anello delle matrici. Definizione di COMPLEMENTO ALGEBRICO di un elemento
di una matrice. Definizione di DETERMINANTE (di una matrice quadrata) con la regola
di Laplace. matrice invertibile: definizione di matrice invertibile. Teorema: una matrice
quadrata a coefficienti in un campo K e’ invertibile se e solo se il determinante e’ non nullo.
Calcolo della matrice INVERSA, usando i complementi algebrici.
8) Grafi
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GRAFI: definizione di grafo, esempi. Vertici adiacenti, lati incidenti. disegno di un grafo.
Isomorfismo di grafi. Grado di un vertice. Formula che lega il numero dei lati ai gradi dei
vertici (con dimostrazione)Numero di vertici dipari in un grafo. Grafi regolari. Definizione
di grafo orientato, di multigrafo e di multigrafo orientato. Definizione di cammino e circuito
(o ciclo). Grafo connesso. Grafo completo. Definizione di cammino euleriano, definizione
di circuito euleriano. Teroema di esistenza di circuiti euleriani. Teorema di esistenza di
cammini euleriani. Cammino hamiltoniano. Grafi bipariti. Esempi grafi bipartiti completi.
Definizione di ALBERI. Teorema di caratterizzazione degli alberi. Grafi PLANARI. Esempi
grafi K5 e K3,3. Teoremi sui grafi planari. Definizione di faccia in un grafo planare. Formula
di eulero che lega numero di lati, numero di vertici e facce.
9) Reticoli, reticoli di Boole ed anelli di Boole
RETICOLI: definizione di reticolo definizione di sottoreticolo. Esmepio di reticolo dell’insieme delle parti di un insieme finito. Teorema leggi di idempotenza (con dimostrazione).
Teorema che lega unione e intersezione (con dimostrazione). Reticoli distributivi. Esistenza
elemento neutro rispetto unione e intersezione. Complemento di un elemento. Teorema: nei
reticoli distributivi con elementi neutri, se il complemento esiste e’ unico (con dimostrazione). Definizione reticoli di BOOLE. Legame tra reticoli ed insiemi parzialmente ordinati.
Definizione massimo e minimo, estremo inferiore ed estremo superiore in un insieme parzialmente ordinato. Esempi: numeri interi e naturali, con la relazione di minore o uguale,
numeri naturali non nulli e relazione di divisibilita’, insieme dei divisori di un intero n,
per ogni n¿1. Diagrammi di Hasse di un insieme parzialmente ordinato. Teorema: ogni
insieme parzialmente ordinato che ammette sup e inf e’ un reticolo. Teorema: ogni reticolo
e’ un insieme parzialmente ordinato. Reticoli distributivi e non distributivi: Reticolo trirettangolo M3, reticolo pentagonale N5. Definizione di isomorfismo di reticoli. Teorema di
caratterizzazione dei reticoli distributivi.
Per ulteriori dettagli, il diario delle lezioni ed esercizi, consultare la pagina web del corso:
Testi Consigliati
- G.M. Piacentini Cattaneo:“Matematica Discreta”, ed. ZANICHELLI
- A. Facchini:“Algebra e Matematica Discreta”, ed. ZANICHELLI
-M.G. Bianchi, A. Gillio: “Introduzione alla Matematica Discreta”, ed. McGRAW-HILL
-L. Di Martino, M.C. Tamburini: “Appunti di Algebra”, ed. CLUED
