Teorema di Ceva
Tesina per il corso di Didattica dell’algebra e della geometria
Francesco Biccari
23 gennaio 2013
Il teorema di Ceva è un teorema di geometria euclidea piana dimostrato nel 1678 dall’italiano
Giovanni Ceva, ma in realtà già conosciuto e dimostrato circa 600 anni prima dal matematico
arabo Yusuf Al­Mu'taman ibn Hűd.
L’esposizione di questo teorema durante lo studio della geometria euclidea nel liceo
scientifico e classico, è un ottimo esempio di generalizzazione di teoremi ottenuti
precedentemente per altra via (incentro, circocentro, ortocentro, baricentro).
Enunciato
Dato il triangolo ABC, condizione necessaria e sufficiente affinché le tre semirette condotte a
BD CE
partire dai tre vertici si incontrino in un punto comune K, è che AF
FB ∙ DC ∙ EA = 1 dove D, E e F
sono le intersezioni delle semirette originanti rispettivamente da A, B e C con la retta
contenente il lato opposto alla loro origine.
Se uno o due dei punti D, E ed F si trovano all’infinito, l’uguaglianza rimane soddisfatta dato
che i rapporti contenenti i punti all’infinito tendono a 1.
Se il punto K si trova sul perimetro di ABC, i segmenti pari a zero possono essere eliminati
dalla condizione perché il loro rapporto tende a 1.
Dimostrazione della necessità
Concentriamo la nostra attenzione sui triangoli che si vengono a formare nella costruzione
geometrica del teorema di Ceva. Prendiamo come riferimento il lato AC e chiamiamo a e b le
lunghezze dei segmenti in cui viene suddiviso dal segmento BE. Ovviamente lo stesso
discorso può essere ripetuto per le altre due basi.
Con A1, B1, A2 e B2 abbiamo indicato le aree dei triangoli mostrati in figura. Dato che le
altezze dei triangoli A1 e B1 sono uguali, possiamo scrivere
A1
B1
=
a
b
allo stesso modo, siccome le altezze dei triangoli “grandi” A1+A2 e B1+B2 sono uguali,
possiamo scrivere:
A1+A2
B1+B2
=
a
b
Uguagliando le due espressioni si ottiene
A2
B2
=
A1
B1
e quindi
A2
B2
= ab .
In pratica il rapporto delle aree dei triangoli verdi è uguale al rapporto delle lunghezze a e b.
Applicando il teorema appena dimostrato considerando di volta in volta una base diversa del
triangolo ABC, otteniamo (con le parentesi tonde abbiamo indicato l’area del triangolo):
AF/FB = (ACK)/(BCK)
BD/DC = (ABK)/(ACK)
CE/EA = (BCK)/(ABK)
Moltiplicando queste tre uguaglianze tra di loro, si ha la tesi:
AF/FB × BD/DC × CE/EA = 1
Osservazioni
Tale dimostrazione è stata fatta per semplicità supponendo il punto K interno al triangolo. In
realtà il teorema vale in generale. Si può lasciare come esercizio di considerare il punto K
esterno e rifare tutti i ragionamenti.
In realtà il teorema “sul rapporto delle aree verdi” può essere generalizzato. Infatti si può
dimostrare che, dati due segmenti qualsiasi AC e BK senza estremi in comune, il rapporto
tra le aree (BKA)/(BKC) = AE/EC dove E è il punto di intersezione dei prolungamenti dei due
segmenti. Avendo a disposizione questo teorema, il teorema di Ceva risulta subito
dimostrato anche per il punto K esterno al triangolo
Qua sotto sono riportati le quattro possibili configurazioni:
La dimostrazione dei casi in cui uno o due dei punti D, E e F si trova all’infinito oppure quando
il punto K si trova sul perimetro, va fatta invece separatamente rispetto alla dimostrazione
vista sopra, ma può essere lasciato come esercizio data la sua semplicità.
Questo modo di procedere è molto utile allo studente perché comincia a dimostrare il
teorema in alcuni casi particolari (K interno) facendosi aiutare dall’intuizione data dal disegno,
per poi estendere il risultato a casi meno comuni. La scoperta e l’analisi di casi patologici,
come per esempio i punti D, E e F all’infinito, è un esercizio molto importante.
Altro punto importante è quello di lasciare come esercizio la dimostrazione di teoremi già visti
sui punti notevoli del triangolo, usando il Teorema di Ceva.
Dimostrazione della sufficienza
Dimostriamo la condizione di necessità: cioè vogliamo dimostrare che se vale la relazione
AF/FB × BD/DC × CE/EA = 1 allora le tre semirette si incontrano in un punto.
Supponiamo che le due semirette BE e CF si incontrino nel punto K. Chiamiamo D’ il punto
ottenuto come intersezione della semiretta con origine in A e passante per K con la retta
contenente il lato CB. Chiamiamo D il punto giacente sul lato BC per cui vale la relazione
AF/FB × BD/DC × CE/EA = 1. Vogliamo dimostrare che D e D’ coincidono.
Da quanto finora dimostrato possiamo scrivere che
AF/FB × BD’/D’C × CE/EA = 1
Dalla tesi sappiamo inoltre che
AF/FB × BD/DC × CE/EA = 1
Uguagliando, si ha BD’/D’C = BD/DC. Dato che BD’ + D’C = BD + DC si ha, con semplici
calcoli, che BD = BD’ e D’C = DC, cioè il punto D’ e D sono coincidenti.
Anche in questo caso, i casi patologici vanno trattati separatamente.
Esercizi supplementari
● Si ritiene interessante e istruttivo lasciare come esercizio la dimostrazione di questo
teorema usando la geometria analitica nel piano cartesiano.
● Un altro possibile esercizio è la dimostrazione di questo teorema usando un
approccio diverso. Tracciare la parallela a BC passante per A (quinto postulato).
Estendere BE e CF affinché intersechino questa retta in G e H rispettivamente.
Usando la similitudine dei triangoli AHF e BCF, AEG e BCE, AGK e BDK, CDK e AHK
si possono ricavare diverse relazioni di proporzionalità tra vari segmenti che alla fine,
moltiplicati tra loro, danno la condizione espressa dal teorema di Ceva.
Nota
L’enunciato del teorema di Ceva qui riportato non è nella forma originaria ma le ipotesi e la
tesi sono invertite. Il teorema originario dice:
Siano A, B, C i vertici di un triangolo; li si congiungano con un punto K del piano e si indichino
con D, E, F le intersezioni con i lati del triangolo. Si ha la seguente relazione:
AF ∙ BD ∙ CE = 1
FB DC EA
Da qui anche l’inversione tra la dimostrazione della necessità con quella di sufficienza.
Ritengo che l’enunciato dato in questo articolo è più chiaro e utile a uno studente rispetto a
quello di Ceva.
