e limit point compact. b) Dimostrare che ogni

Prova di Geometria II
19 settembre 2001
1. a) Dimostrare che ogni spazio compatto è limit point compact.
b) Dimostrare che ogni spazio second countable è first countable, ma che non ogni
spazio first countable è second countable.
2. a) Dimostrare che ogni spazio ordinato è di Hausdorff.
b) Dimostrare che ogni spazio metrico è di Hausdorff.
3. Sia X uno spazio topologico che è connesso e localmente connesso per archi. Dimostrare che X è connesso per archi.
4. Sia p : E → B un rivestimento tale che B è connesso. Dimostare che ogni fibra
p−1 (b), b ∈ B, ha la stessa cardinalità (lo stesso numero di elementi).
5. Sia f : S n → S 1 l’applicazione f (z) = z n , n > 0. Dimostrare che f non è omotopa
ad un’applicazione costante.
6. Siano f, g : X → Y applicazioni continue e Y uno spazio di Hausdorff. Dimostrare
che {x ∈ X : f (x) = g(x)} è chiuso.
Prova scritta di Geometria II
1. a) Dimostrare che lo sottospazio {0} ∪ {1/n, n ∈ N} di R è compatto.
b) Sia X un insieme con la topologia del complemento finito. Dimostrare che ogni
sottoinsieme di X è compatto.
2. Dimostrare che ogni spazio contrattile è connesso per archi.
3. Dimostrare che Rl (i reali con la topologia del limite inferiore) è first countable, ma
non second countable.
4. Dimostrare che ogni sottoinsieme stellato di Rn è semplicemente connesso.
5. Sia p : E → B un rivestimento. Dimostrare che p è un’applicazione aperta.
6. a) Dimostrare che R e Rn non sono omeomorfi, per n > 1.
b) Computare il gruppo fondamentale di Rn − {0}.
c) Dimostrare che R2 e Rn non sono omeomorfi, per n > 2.
7. Sia p : E → B un rivestimento tale che B è connesso. Dimostare che ogni fibra
p−1 (b), b ∈ B, ha la stessa cardinalità (lo stesso numero di elementi).
Prova scritta di Geometria II, 10.7.2002
1. a) Sia Ci , i ∈ N, una successione decrescente di sottoinsiemi non vuoti chiusi di
uno spazio compatto X. Dimostrare che l’intersezione dei Ci non è vuota.
b) Dimostrare che lo sottospazio {0} ∪ {1/n, n ∈ N} di R è compatto.
2. a) Sia X un insieme con la topologia del complemento finito. Dimostare che X è
connesso se e solo se X è infinito o un punto.
b) Sia An una successione di sottoinsiemiSconnessi di X tale che An ∩ An+1 6= ∅,
per tutti n ∈ N. Dimostrare che l’unione An è connesso.
3. Dimostrare che Rl (topologia del limite inferiore su R) é first countable, ma non
second countable.
4. Sia U un sottoinsieme di R2 stellato. Dimostrare che U è semplicemente connesso.
5. a) Dimostrare che, se r : X → Y è una retrazione, allora l’applicazione indotta r∗
è suriettiva, e i∗ è iniettiva, dove i denota l’inclusione di Y in X.
b) Dimostare che non esiste una retrazione r : D2 × S 1 → S 1 × S 1 dal toro solido
al toro.
c) Dimostrare che, se un’applicazione continua f : S 1 → X estende ad un applicazione continua F : D2 → X allora l’applicazione f∗ indotta sui gruppi fondamentali
è banale.
Q
6. Sia xn = (xni )i∈I una successioneQ
nello spazio prodotto
Xi . Dimostrare che la
successione xn converge verso x ∈ Xi se e solo se πi (xn ) converge verso πi (x), per
ogni i ∈ I. Questo vale anche per la topologia box? (giustificando la risposta)
7. Sia f : X → R una funzione differenziabile su una varietà X. Dimostrare che
d2 f = d(df ) = 0.
8. a) Dimostrare che ogni 1-forma su R è esatta.
b) Dimostrare che ogni n-forma su Rn è esatta.
Prova scritta di Geometria II, 2 luglio 2003
1. Dimostrare che ogni sottoinsieme stellato di Rn è semplicemento connesso.
2. Se r : X → Y ⊂ X è una retrazione, dimostrare che l’applicazione indotta r∗ è
suriettiva, e che i∗ è iniettiva, dove i : Y → X denota l’inclusione. Dimostrare che
non esiste una retrazione r : D2 → S 1 (dal disco alla circonferenza).
3. Sia f : X → Y un’applicazione continua. Definire l’applicazione indotta f∗ sui
gruppi fondamentali e dimostrare che è ben definita. Enunciare e dimostrare le
proprietà funtoriali del gruppo fondamentale. Dedurre che, se f è un omeomorfismo,
allora f∗ è un isomorfismo.
4. a) Dimostrare che lo sottospazio {0} ∪ {1/n, n ∈ N} di R è compatto.
b) Sia X un insieme con la topologia del complemento finito. Dimostrare che ogni
sottoinsieme di X è compatto.
5. Dimostrare che Rl (i reali con la topologia del limite inferiore) è first countable, ma
non second countable.
6. Dimostrare che uno spazio X è di Hausdorff se e solo se la diagonale {(x, x), x ∈ X}
è chiusa in X × X.
7. a) Per un rivestimento p : E → B, dimostrare che ogni fibra p−1 (b), b ∈ B, ha la
topologia discreta.
b) Se B è connesso, dimostrare che ogni fibra ha la stessa cardinalità.
Prova scritta di Geometria 4
24 marzo 2004
1. Stabilire se i seguenti spazi hanno queste proprietà: Hausdorff, first e second countable, connesso, connesso per archi, compatto, limit point compact (giustificando le
risposte).
a) Rl (i numeri reali con la topologia del limite inferiore);
b) Un insieme X infinito e numerabile, con la topologia del complemento finito.
2. Siano X e Y spazi connessi per archi.
a) Se X e Y sono omeomorfi, dimostrare che i loro gruppi fondamentali sono isomorfi.
b) Se X e Y sono omotopi (equivalenza di omotopia), dimostrare che i loro gruppi
fondamentali sono isomorfi.
3. Sia p : E → B un rivestimento. Dimostrare che ogni fibra p−1 (b), b ∈ B, è uno
spazio discreto.
Prova scritta di Geometria 4
15 aprile 2004
1. Sia X un insieme (finito o infinito, numerabile o non-numerabile) con la topologia
del complemento finito. Stabilire se X ha le seguenti proprietà: Hausdorff, connesso,
compatto, first countable (giustificando le risposte).
2. Stabilire se SΩ ha le seguenti proprietà: Hausdorff, connesso, compatto, limit point
compact, first and second countable (giustificando le risposte).
3. Sia p : E → B un rivestimento, B connesso. Dimostrare che ogni fibra p−1 (b), b ∈
B, ha la stessa cardinalità (lo stesso numero di elementi).
Prova scritta di Geometria 4
23 giugno 2004
1. Sia X un insieme con la ”topologia del complemento numerabile”, cioé con la topologia T = {U ⊂ X | X − U è finito o numerabile, oppure U = ∅}.
i) Dimostrare che T è una topologia su X.
ii) Caratterizzare quando X è di Hausdorff.
iii) Caratterizzare quando X è connesso.
iv) Caratterizzare quando X è compatto.
2. i) Dimostare che ogni spazio contrattile è connesso per archi.
ii) Dimostare che Rn è contrattile, e che R2 − 0 non è contrattile.
3. i) Dimostare che su Rω la topologia prodotto e la topologia box non coincidono.
ii) Dimostare che I ω , I = [0, 1], con la topologia uniforme non è limit point compact,
e non è second countable.
4. Sia p : E → B un rivestimento. Dimostrare che ogni fibra p−1 (b), b ∈ B, è uno
spazio discreto e, se B è connesso, ha la stessa cardinalità.
5. Sia π : S n → RPn la proiezione canonica. Dimostare che non esiste un’applicazione
continua σ : RPn → S n tale che π ◦ σ = idRPn (distinguere i casi n = 1 e n > 1).
Prova scritta di Geometria 4
21 settembre 2004
1. i) Dimostrare che in uno spazio di Hausdorff X ogni punto {x} è chiuso. Vale anche
il contrario? (giustificare la risposta)
ii) Sia E un sottoinsieme di uno spazio di Hausdorff X. Dimostare che
\
{U ⊂ X : U aperto e E ⊂ U } = E.
Questa proprietà vale anche se X non è di Hausdorff? (giustificare la risposta)
2. i) Sia xn = (an,m )m∈N una sucessione in Rω , con la topologia prodotto. Dimostrare
che xn → x = (am )m∈N se e solo se an,m → am , per ogni m (”convergenza puntuale”).
ii) La proprietà in i) vale anche per la topologia box su Rω ? (considerare tutte e
due le direzioni e giustificare le risposte)
3. i) Dimostare che un sottoinsime connesso non-vuoto dei numeri razionali Q ⊂ R
consiste di un unico punto.
ii) Dimostare che l’intervallo [0, 1] in Rl (topologia del limite inferiore) non è compatto.
iii) Dimostrare, usando solo la definizione di compatezza, che l’intervallo [1, ω] è
compatto in SΩ (1 denota l’elemento più piccolo di SΩ , ω il primo elemento con
sezione numerabile non finita).
4. i) Dimostrare che, se h, h0 : X → Y sono applicazioni omotope e k, k 0 : Y → Z sono
omotope, allora anche k ◦ h e k 0 ◦ h0 sono omotope.
ii) Sia f : S 1 → R2 −0 un’applicazione continua. Dimostrare che f e g : S 1 → R2 −0,
g(x) := f (x)/kf (x)k sono omotope.
Prova scritta di Geometria 4, 10 gennaio 2005
1. a) Se r : X → Y ⊂ X è una retrazione, dimostrare che l’applicazione indotta r∗ è
suriettiva, e che i∗ è iniettiva, dove i : Y → X denota l’inclusione. Dimostrare che
non esiste una retrazione r : D2 → S 1 (dal disco alla circonferenza).
b) Sia π : S n → RPn la proiezione canonica. Dimostare che non esiste
un’applicazione continua σ : RPn → S n tale che π ◦ σ = idRPn (distinguere i casi
n = 1 e n > 1).
2. a) Dimostrare che lo sottospazio {0} ∪ {1/n, n ∈ N} di R è compatto.
b) Sia X un insieme con la topologia del complemento finito. Dimostrare che ogni
sottoinsieme di X è compatto.
3. Dimostrare che Rl (i reali con la topologia del limite inferiore) è first countable, ma
non second countable.
4. Dimostrare che uno spazio X è di Hausdorff se e solo se la diagonale {(x, x), x ∈ X}
è chiusa in X × X.
5. a) Per un rivestimento p : E → B, dimostrare che ogni fibra p−1 (b), b ∈ B, ha la
topologia discreta.
b) Se B è connesso, dimostrare che ogni fibra ha la stessa cardinalità.
Prova scritta di Geometria 4, 17 marzo 2005
1. Sia A ⊂ X e f : A → Y continua, Y spazio di Hausdorff. Dimostrare che, se f
estende ad un’applicazione continua g : A → Y , allora g è unicamente determinata
da f .
2. Sia π : S n → RPn la proiezione canonica. Dimostare che non esiste un’applicazione
continua σ : RPn → S n tale che π ◦ σ = idRPn (distinguere i casi n = 1 e n > 1 e
considerare gruppi fondamentali).
3. Dimostrare che uno spazio contrattile è connesso per archi.
4. Sia A un retratto del 2-disco B 2 . Dimostrare che ogni applicazione continua f :
A → A ha un punto fisso.
5. Sia f : S 1 → S 1 continua tale che f (x) 6= −x, per ogni x ∈ S 1 . Argomentare che
f è omotopa all’applicazione identica idS 1 di S 1 . Dedurre che, se un’applicazione
continua g : S 1 → S 1 è omotopa ad un’applicazione costante, allora esiste x ∈ S 1
tale che g(x) = −x.
6. Spiegare le proprietà di connessione (connesso, connesso per archi, semplicemente
connesso) dei seguenti spazi:
R − x, R2 − x, R3 − x, R3 − R, R3 − P , dove x denota un punto, R una retta e P
un piano.
Prova scritta di Geometria 4, 4 aprile 2005
1. Sia A ⊂ X e f : A → Y continua, Y spazio di Hausdorff. Dimostrare che, se f
estende ad un’applicazione continua g : A → Y , allora g è unicamente determinata
da f .
2. Sia π : S n → RPn la proiezione canonica. Dimostare che non esiste un’applicazione
continua σ : RPn → S n tale che π ◦ σ = idRPn (distinguere i casi n = 1 e n > 1 e
considerare gruppi fondamentali).
3. Dimostrare che uno spazio X è di Hausdorff se e solo se la diagonale D = {(x, x) ∈
X × X : x ∈ X} è chiusa in X × X.
4. a) Ragionare se l’intervallo [0, 1] è compatto in Rl (i reali con la topologia del limite
inferiore), o se non lo è.
b) Decidere se il sottospazio [0, 1]ω di Rω , con la topologia box, è limit point compact
(giustificando la risposta).
5. Computare i gruppi fondamentali di Rn − B n e di B n − 0.
6. Dimostare che gli unici sottoinsiemi connessi dei razionali Q hanno un’unico punto
(Q è totalmente sconesso). È vero che Rl è totalmente sconnesso? (giustificare la
risposta)
Prova scritta di Geometria 4
5 luglio 2005
1. Sia X un insieme con la topologia del complemento finito.
a) Dimostrare che ogni sottoinsieme di X è compatto.
b) Supponiamo che X abbia più di un punto. Dimostrare che X è connesso se e
solo se X è infinito.
2. a) Se r : X → Y ⊂ X è una retrazione, dimostrare che l’applicazione indotta r∗ è
suriettiva, e che i∗ è iniettiva, dove i : Y → X denota l’inclusione. Dimostrare che
non esiste una retrazione r : D2 → S 1 (dal disco alla circonferenza).
b) Sia π : S n → RPn la proiezione canonica. Dimostare che non esiste
un’applicazione continua σ : RPn → S n tale che π ◦ σ = idRPn (distinguere i casi
n = 1 e n > 1).
3. a) Dimostare che ogni spazio metrico è di Hausdorff.
b) Dimostare che ogni spazio ordinato è di Hausdorff.
4. Dimostrare che uno spazio X è di Hausdorff se e solo se la diagonale {(x, x), x ∈ X}
è chiusa in X × X.
5. Dimostrare che Rl (lower limit topology su R) è first countable, ma non second
countable.
6. a) Dimostrare che R e Rn non sono omeomorfi, per n > 1.
b) Computare il gruppo fondamentale di Rn − {0}.
c) Dimostrare che R2 e Rn non sono omeomorfi, per n > 2.
Prova scritta di Geometria 4
20 settembre 2005
1. i) Dimostrare che in uno spazio di Hausdorff X ogni punto {x} è chiuso. Vale anche
il contrario? (giustificare la risposta)
ii) Sia E un sottoinsieme di uno spazio di Hausdorff X. Dimostare che
\
{U : U aperto in X, E ⊂ U } = E.
Questa proprietà vale anche se X non è di Hausdorff? (giustificare la risposta)
2. i) Sia xn = (xn,m )m∈N una successione in Rω , con la topologia prodotto. Dimostrare
che xn → y = (ym )m∈N se e solo se xn,m → ym , per ogni m (”convergenza puntuale”).
ii) La proprietà in i) vale anche per la topologia box su Rω ? (considerare tutte e
due le direzioni e giustificare le risposte)
3. i) Dimostare che un sottoinsime connesso non-vuoto dei numeri razionali Q ⊂ R
consiste di un unico punto.
ii) Dimostare che l’intervallo [0, 1] in Rl (topologia del limite inferiore) non è compatto.
4. i) Dimostrare che, se h, h0 : X → Y sono applicazioni omotope e k, k 0 : Y → Z sono
omotope, allora anche k ◦ h e k 0 ◦ h0 sono omotope.
ii) Sia f : S 1 → R2 −0 un’applicazione continua. Dimostrare che f e g : S 1 → R2 −0,
g(x) := f (x)/kf (x)k sono omotope.
5. a) Per un rivestimento p : E → B, dimostrare che ogni fibra p−1 (b), b ∈ B, ha la
topologia discreta.
b) Se B è connesso, dimostrare che ogni fibra ha la stessa cardinalità.
Prova scritta di Geometria 4, 1/2/2006
1. Sia π : S n → RPn la proiezione canonica. Dimostare che non esiste un’applicazione
continua σ : RPn → S n tale che π ◦ σ = idRPn (distinguere i casi n = 1 e n > 1).
2. a) Dimostrare che lo sottospazio {0} ∪ {1/n, n ∈ N} di R è compatto.
b) Sia X un insieme con la topologia del complemento finito. Dimostrare che ogni
sottoinsieme di X è compatto.
3. Dimostrare che SΩ è first countable, ma non second countable.
4. Dimostrare che uno spazio X è di Hausdorff se e solo se la diagonale {(x, x), x ∈ X}
è chiusa in X × X.
5. a) Per un rivestimento p : E → B, dimostrare che ogni fibra p−1 (b), b ∈ B, ha la
topologia discreta.
b) Se B è connesso, dimostrare che ogni fibra ha la stessa cardinalità.
6. Dimostrare che Rl (i reali con la topologia del limite inferiore) è completamente
sconnesso (ogni sottoinsieme connesso ha solo un punto).
Prova scritta di Geometria 4, 22/2/2006
1. Sia π : S n → RPn la proiezione canonica. Dimostare che non esiste un’applicazione
continua σ : RPn → S n tale che π ◦ σ = idRPn (distinguere i casi n = 1 e n > 1).
2. a) Dimostrare che il sottospazio {0} ∪ {1/n, n ∈ N} di R è compatto.
b) Sia X un insieme con la topologia del complemento finito Dimostrare che ogni
sottoinsieme di X è compatto.
c) Dimostrare che l’intervallo [0, 1] non e limit point compact in Rl (topologia del
limite inferiore).
3. Dimostrare che SΩ è first countable, ma non second countable.
4. Sia A ⊂ X e f : A → Y continua, Y spazio di Hausdorff. Dimostrare che, se f
estende ad un’applicazione continua g : A → Y , allora g è unicamente determinata
da f .
5. a) Per un rivestimento p : E → B, dimostrare che ogni fibra p−1 (b), b ∈ B, ha la
topologia discreta.
b) Se B è connesso, dimostrare che ogni fibra ha la stessa cardinalità.
6. Sia X first countable e A ⊂ X. Dimostrare che x ∈ A se e solo se esiste una
successione in A che converge ad x.