Foglio 3 - da consegnare mercoledì 28 ottobre File - E

Corso di Laurea in Matematica – Geometria 2
Foglio di esercizi n. 3 – a.a. 2015-16
Da consegnare mercoledı̀ 28 ottobre
Gli esercizi sono presi dal libro di Manetti. Per svolgere questi esercizi,
studiare con cura i paragraﬁ 4.4, 4.5 (gli enunciati, non le dimostrazioni che
dipendono dal teorema di Wallace), 4.6 del libro.
È consigliato svolgere tutti gli esercizi del libro. Riportiamo qui il testo per
chi non ha il libro. Sul libro ci sono (a volte) suggerimenti sulllo svolgimento.
Esercizio 1. Dimostrare il seguente enunciato, senza leggere la dimostrazione che c’è sul libro:
Corollario 4.52. Sia f : X → Y una funzione continua, con X compatto
e Y di Hausdorﬀ. Allora f è una funzione chiusa. Se f è biunivoca, allora f è
un omeomorﬁsmo.
Questo è un enunciato classico, utile in molte occasioni.
l’esercizio 1 non va consegnato.
Naturalmente
Esercizio 4.21. Sia A un ricoprimento aperto di uno spazio topologico X
e sia B la famiglia degli aperti di X data da
B = {B aperto di X | ∃A ∈ A : B ⊆ A}
Dimostrare che B è una base della topologia.
Esercizio 4.25. Sia X un insieme e A una famiglia di sottoinsiemi di X.
Si dice che la famiglia A ha la proprietà dell’intersezione
finita se per ogni
∩
sottofamiglia ﬁnita e non vuota F ⊆ A si ha A∈F A ̸= ∅.
Dimostrare che uno spazio topologico X è compatto se e solo se ogni famiglia di chiusi con la proprietà dell’intersezione ﬁnita ha intersezione non vuota.
(Osservazione: sul libro c’è lo svolgimento di questo esercizio. Scrivere con cura
tutti i dettagli e imparare la deﬁnizione di proprietà dell’intersezione ﬁnita).
Esercizio 4.26. Siano X uno spazio topologico compatto, U ⊆ X un
sottoinsieme aperto e {Ci }i∈I una famiglia di chiusi di X tale che
∩
Ci ⊆ U
i∈I
Dimostrare che esiste un insieme ﬁnito di indici i1 , . . . , in ∈ I tale che
Ci1 ∩ · · · ∩ Cin ⊆ U
Esercizio 4.28. Sia X un insieme con la topologia descritta nell’esercizio
3.3 (primo foglio di esercizi). Dimostrare che X è compatto di Hausdorﬀ.
Esercizio 4.34. Dimostrare che una funzione tra due spazi compatti di
Hausdorﬀ è continua se e solo se il graﬁco è chiuso nel prodotto.
Osservazione: una implicazione è l’Esercizio 3.60 (secondo foglio di esercizi).
Esercizio 4.39. Dimostrare che la funzione
φ : SU(2) × U(1) → U(2)
data da
φ(A, z) = A ·
(
z
0
)
0
1
è un omeomorﬁsmo. Potete usare (senza dimostrazione) il fatto che SU(n) e
U(n) sono spazi compatti (proposizione 4.61). Suggerimento: SU(n) e U(n) sono
2
2
spazi di Hausdorﬀ, in quanto sottospazi dello spazio di Hausdorﬀ Cn = R2n .
Esercizio 4.48. Dimostrare che:
1. Ogni sottogruppo G discreto del gruppo additivo dei reali (R, +) è del tipo
G = Za, per qualche a ∈ R, cioè è formato da tutti e soli i multipli interi
di a e quindi è ciclico inﬁnito (oppure nullo).
2. Ogni sottogruppo discreto di U(1) è ciclico ﬁnito.
Osservazione: dire che G è discreto vuol dire che la topologia indotta è la
topologia discreta.