Corso di Matematica I - Anno 2002-03 Spazi topologici e spazi metrici 271. Si verifichi che la famiglia di insiemi (a, b), [−∞, a), (a, +∞], dove a, b ∈ R, costituiscono la base di una topologia sulla retta reale estesa R = R ∪ {−∞, +∞}. (a) Verificare che l’inclusione R ,→ R è un omeomorfismo con l’immagine. (b) Dimostrare che R è omeomorfo a [0, 1]. b = R ∪ {∞} si consideri la topologia determinata dalla prebase 272. Sull’insieme R (a, b), (−∞, a) ∪ (b, +∞) ∪ {∞}, a, b ∈ R. b è un omeomorfismo con l’immagine. (a) Verificare che l’inclusione R ,→ R b è omeomorfo al cerchio {z ∈ C | |z| = 1}. (b) Dimostrare che R 273. Dato uno spazio metrico (X, d) e una funzione f : [0, +∞) → [0, +∞), trovare delle condizioni che assicurano che f ◦ d è una distanza su X che induce la stessa topologia. Trovare una distanza su X che abbia valori in [0, 1). 274. Sia (X, d) uno spazio metrico e sia A ⊂ X. Dimostrare che la funzione dA : X → R, dA (x) = inf d(x, a), a∈A è continua. Determinare d−1 A ({0}). 275. Sia A ⊂ R compatto, privo di punti isolati, non contenente alcun intervallo aperto. Dimostrare che A è omeomorfo all’insieme di Cantor. 276. Si consideri l’insieme U di sottoinsiemi di C cosı̀ definito: un insieme A appartiene ad U se e solo se gli elementi di A sono tutte e sole le radici comuni ad un insieme di polinomi in C[x]. L’insieme U può costituire l’insieme degli aperti di una topologia di C? E dei chiusi ? 277. Esiste un omeomorfismo dall’intervallo [0, 1] su S 1 = {z ∈ C | |z| = 1} ? E da S 1 sul disco chiuso D = {z ∈ C | |z| ≤ 1}? 278. Si definiscano gli insiemi X = {0, 1}N , C(a0 , a1 , . . . , an ) = {x ∈ X | x(h) = ah ∀h = 0, 1, . . . , n}. (a) Verificare che la famiglia di insiemi C(a0 , . . . , an ), al variare di n ∈ N, (a0 , . . . , an ) ∈ {0, 1}n+1 , costituiscono la base di una topologia su X. 1 (b) Trovare una distanza su X che induca la topologia definita sopra. (c) Dimostrare che le applicazioni L : X → X, (Lx)(n) = x(n + 1) per n ∈ N, R : X → X, (Rx)(0) = 0, (Rx)(n) = x(n − 1) per n ≥ 1, sono continue, discuterne l’iniettività e la surgettività, e determinare L ◦ R, R ◦ L. 279. Sia X lo spazio topologico definito nell’esercizio 278. Si verifichi che l’applicazione A : X → [0, 1], ∞ X A(x) = x(n)2−n−1 , n=0 è ben definita. (a) Discutere la continuitá, la surgettività e l’iniettività di A. (b) Costruire un’inversa destra di A, cioè un’applicazione B : [0, 1] → X tale che A ◦ B = id. (c) Esiste un inversa destra continua di A? 280. Dimostrare che lo spazio topologico X = {0, 1}N con la topologia definita nell’esercizio 278 è omeomorfo all’insieme di Cantor. 281. Sia U una famiglia di aperti che copre un sottoinsieme A chiuso e limitato di R. Dimostrare che si può trovare un numero positivo r tale che, preso un qualunque punto x di A, l’intervallo (x − r, x + r) è tutto contenuto in uno degli aperti di U. Spazi vettoriali normati. Sia X uno spazio vettoriale reale o complesso. Una norma su X è un applicazione X → [0, +∞), x 7→ kxk, tale che kxk = 0 se e solo se x = 0, kλxk = |λ| kxk per ogni λ in R (o C) e per ogni x ∈ X, e kx + yk ≤ kxk + kyk per ogni x, y ∈ X. Ogni norma induce una distanza su X, d(x, y) = kx − yk. Uno spazio vetoriale normato si dice spazio di Banach se rispetto a questa distanza è uno spazio metrico completo. 282. Dimostrare che due norme k · k1 e k · k2 sullo spazio vettoriale (reale o complesso) inducono la stessa topologia se e solo se sono equivalenti, cioè se esiste una costante c > 0 tale che 1 ckxk1 ≤ kxk2 ≤ kxk1 ∀x ∈ X. c 283. Dimostrare che se X è uno spazio vettoriale (reale o complesso) di dimensione finita, tutte le norme su X sono equivalenti. Dare un esempio di spazio vettoriale di dimensione infinita con due norme non equivalenti. 2 284. Si considerino gli spazi vettoriali `∞ = {x ∈ RN | sup |x(n)| < +∞}, n∈N 0 ` = {x ∈ R | ∃ lim x(n) ∈ R}, N n→∞ c0 = {x ∈ R | lim x(n) = 0}. N n→∞ Dimostrare che |x|∞ = supn∈N |x(n)| è una norma su tali spazi, che li rende spazi di Banach. 285. Dato p ∈ [1, +∞), si consideri lo spazio vettoriale ( ) ∞ X `p = x ∈ RN | |x(n)|p < +∞ . n=0 P p 1/p Dimostrare che |x|p = ( ∞ è una norma su questo spazio, che lo rende n=0 |x(n)| ) uno spazio di Banach. 3