Liceo Scientifico ”A.Einstein”, Teramo II Gara a Squadre, 11 febbraio 2014 Primo allenamento Regione Abruzzo Durata: 90 minuti i.it 1. Sappiamo che 162013 = ab , dove a e b sono interi positivi. Quanti sono i possibili valori di a? 2. Gli interi positivi a e b sono tali che esistono esattamente 10 interi maggiori di a e minori di b, esattamente 1000 interi maggiori di a2 e minori di b2 . Determinare il valore di b. √ 3. Supponiamo che 2 − 99 sia una soluzione dell’equazione x2 + ax + b dove b è un numero reale negativo e a è un numero intero. Qual è il più grande valore possibile di a. pitt 4. Le lunghezze dei lati del triangolo ABC sono tre numeri interi consecutivi. Sia D il punto medio di b Determinare il prodotto delle lunghezze dei BC e AD perpendicolare alla bisettrice dell’angolo C. tre lati. 5. Dire in quanti modi si può riempire una scacchiera 3 × 3 con i numeri 1, 2, e 3, in 2 1 3 1 3 2 modo che nessun numero compaia due volte nella stessa riga o nella stessa colonna? 3 2 1 Un esempio è mostrato nella figura a lato. 6. Dire con quanti zeri termina il numero 100! scritto in base 8. otu C 7. Un numero n di quattro cifre è formato scegliendo a caso ognuna delle sue cifre nell’insieme {4, 6}. Detta p la probabilità che n sia divisibile per 11, dire quanto vale 1000p. b = 100◦ . Sia D il punto su BC tale che AC = DC, 8. Sia ABC un triangolo con AB = AC ed B AC b e sia F il punto su AB tale che DF è parallelo ad AC. Determinare la misura dell’angolo DCF (espressa in gradi). w.r 9. Per ogni intero n ≥ 1 definiamo Sn = 2 + 2 · 22 + 3 · 23 + 4 · 24 + · · · + n · 2n . Determinare la somma delle cifre di S21 . 10. Alberto scrive sulla lavagna tutti i numeri aventi tre cifre distinte che non sono quadrati perfetti e le cui cifre sono 1, 2, 3, 4, o 5. Detta S la somma dei numeri scritti sulla lavagna dire quanto vale il numero formato dalle prime 4 cifre di S (leggendo da sinistra). 11. Trovare la somma delle soluzioni dell’equazione ww log7 x2 = (log7 x)2 12. Quante sono le coppie ordinate (m, n) tali che m + n è pari, m < n e m, n ∈ {1, 2, 3, . . . , 20}. 13. Un insieme A di numeri interi è detto ricco se per ogni a, b ∈ A risulta che a − b 6= 3 e a − b 6= 5. Qual è la massima cardinalità di un sottoinsieme ricco di {1, 2, 3, . . . , 1000}. 14. Sia dato un quadrilatero ABCD con AB = CD, AD = 2, BC = 6 e AD k BC. La distanza del punto A dalla √ retta BC è 8cm. Determinare il raggio R del più piccolo cerchio che ricopre ABCD e, posto R = a/b con a, b numeri interi positivi ed a libero da quadrati, dire quanto vale a + b. (Un numero intero n si dice libero da quadrati se non esiste nessun numero primo p tale che n è divisibile per p2 ). 15. Siano m ed n due numeri interi positivi tali che 11 divide m + 13n e 13 divides m + 11n. Qual è il minimo valore di m + n? A ................................................... ........... ...... . ........ ......... .... ........... .. .... .. ........... ................... .. ..... . .... . . ......... .... . ........ .. . . . . . ... . . . ............. .. ... ............ . . . . . . . . . . . . ................ ... ......... ............ ... . .......... ...... . . . . .......... .... ....... ......... .. . ....................................................................................................................................................... . . . . . .......... . .. ...... ...... .. ........ ... ..... .... .. .... .... .. ... ... ... ..... ... .... ... . . . .. .... .. . ... . .. .. .. .. .... . ... .. ... . .. . . .. .. . . . . . . .. . .. .. .... ... .. .. ... ... .. ... .. .. ... ... .. ... ... .. . .. . . ... . .. .. ... ... .. .... ... ... ... .... .... ... .... ..... ..... ... ..... ..... ............. . . . . ............. .................. .............. .. ................................................. E B F ww w.r otu pitt i.it 16. A, B e C sono tre punti di un cerchio Ω di raggio 1. Si considerino tre cerchi tangenti internamente a Ω e tangenti ai segmenti BC, CA, AB nei loro rispettivi punti medi D, E, F . Se i raggi di due di questi cerchi sono 2/3 e 2/11 qual è l’inverso del raggio del terzo cerchio? C D Ω