Problemi

Liceo Scientifico ”A.Einstein”, Teramo
II Gara a Squadre, 11 febbraio 2014
Primo allenamento Regione Abruzzo
Durata: 90 minuti
i.it
1. Sappiamo che 162013 = ab , dove a e b sono interi positivi. Quanti sono i possibili valori di a?
2. Gli interi positivi a e b sono tali che esistono esattamente 10 interi maggiori di a e minori di b,
esattamente 1000 interi maggiori di a2 e minori di b2 . Determinare il valore di b.
√
3. Supponiamo che 2 − 99 sia una soluzione dell’equazione x2 + ax + b dove b è un numero reale
negativo e a è un numero intero. Qual è il più grande valore possibile di a.
pitt
4. Le lunghezze dei lati del triangolo ABC sono tre numeri interi consecutivi. Sia D il punto medio di
b Determinare il prodotto delle lunghezze dei
BC e AD perpendicolare alla bisettrice dell’angolo C.
tre lati.
5. Dire in quanti modi si può riempire una scacchiera 3 × 3 con i numeri 1, 2, e 3, in
2 1 3
1 3 2
modo che nessun numero compaia due volte nella stessa riga o nella stessa colonna?
3 2 1
Un esempio è mostrato nella figura a lato.
6. Dire con quanti zeri termina il numero 100! scritto in base 8.
otu
C
7. Un numero n di quattro cifre è formato scegliendo a caso ognuna delle sue cifre nell’insieme {4, 6}.
Detta p la probabilità che n sia divisibile per 11, dire quanto vale 1000p.
b = 100◦ . Sia D il punto su BC tale che AC = DC,
8. Sia ABC un triangolo con AB = AC ed B AC
b
e sia F il punto su AB tale che DF è parallelo ad AC. Determinare la misura dell’angolo DCF
(espressa in gradi).
w.r
9. Per ogni intero n ≥ 1 definiamo Sn = 2 + 2 · 22 + 3 · 23 + 4 · 24 + · · · + n · 2n . Determinare la somma
delle cifre di S21 .
10. Alberto scrive sulla lavagna tutti i numeri aventi tre cifre distinte che non sono quadrati perfetti e
le cui cifre sono 1, 2, 3, 4, o 5. Detta S la somma dei numeri scritti sulla lavagna dire quanto vale il
numero formato dalle prime 4 cifre di S (leggendo da sinistra).
11. Trovare la somma delle soluzioni dell’equazione
ww
log7 x2 = (log7 x)2
12. Quante sono le coppie ordinate (m, n) tali che m + n è pari, m < n e m, n ∈ {1, 2, 3, . . . , 20}.
13. Un insieme A di numeri interi è detto ricco se per ogni a, b ∈ A risulta che a − b 6= 3 e a − b 6= 5.
Qual è la massima cardinalità di un sottoinsieme ricco di {1, 2, 3, . . . , 1000}.
14. Sia dato un quadrilatero ABCD con AB = CD, AD = 2, BC = 6 e AD k BC. La distanza del
punto A dalla
√ retta BC è 8cm. Determinare il raggio R del più piccolo cerchio che ricopre ABCD e,
posto R = a/b con a, b numeri interi positivi ed a libero da quadrati, dire quanto vale a + b. (Un
numero intero n si dice libero da quadrati se non esiste nessun numero primo p tale che n è divisibile
per p2 ).
15. Siano m ed n due numeri interi positivi tali che 11 divide m + 13n e 13 divides m + 11n. Qual è il
minimo valore di m + n?
A
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E
B F
ww
w.r
otu
pitt
i.it
16. A, B e C sono tre punti di un cerchio Ω di raggio 1. Si considerino tre
cerchi tangenti internamente a Ω e tangenti ai segmenti BC, CA, AB nei
loro rispettivi punti medi D, E, F . Se i raggi di due di questi cerchi sono
2/3 e 2/11 qual è l’inverso del raggio del terzo cerchio?
C
D
Ω