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Il nostro percorso
POLIGONI REGOLARI:
COSTRUIBILITÀ
CON RIGA-COMPASSO
E
CON ORIGAMI
Numeri costruibili
Si dice che un numero reale α è costruibile, se è possibile
costruire con riga e compasso un segmento avente lunghezza
|α|. Naturalmente, ciò ha senso solo se si è fissato nel piano
un segmento di lunghezza unitaria.
Un punto è costruibile con riga e compasso se è ottenibile
mediante intersezione di rette e cerchi.
Un segmento è costruibile se i suoi estremi sono punti
costruibili.
Una retta è costruibile se passa per due punti costruibili.
Una circonferenza è costruibile se ha per centro un punto
costruibile e per raggio un segmento (o un segmento
congruente) costruibile.
Un punto si dice costruibile se è uno degli estremi del
segmento unitario, o si ottiene per intersezione di:
 due rette costruibili;
 un cerchio e una retta costruibili;
 due cerchi costruibili.
Costruibilità con riga e
compasso
1.
Se due segmenti α e β sono numeri
reali costruibili con riga e compasso,
allora i numeri α+β, α-β, α*β, e, se
β≠0, α/β, sono costruibili.
2. Se il numero positivo reale α è
costruibile, allora lo è anche √α.
Estensione quadratica di un
campo numerico
Se il numero reale positivo α è costruibile, allora lo è anche √α.
Dimostrazione: Data una retta passante per il punto A, si costruiscano, sulle
due semirette uscenti da
A, rispettivamente un punto B tale che AB abbia lunghezza 1 ed un punto C
tale che AC abbia
lunghezza α . Si costruisca il punto medio M del segmento BC e si costruisca
una circonferenza di
centro M passante per B (e quindi avente BC come diametro). Si conduca la
perpendicolare a BC
per A, e sia P un suo punto d’intersezione con la circonferenza.
Allora, per il Teorema di Talete, il triangolo BPC ha un angolo retto in P. Dal
Secondo Teorema di
Euclide segue allora che la lunghezza di AP è α .
Supponiamo ora di aver fissato nel piano un sistema di coordinate cartesiane,
e che il segmento di lunghezza unitaria sia quello di estremi (0,0) e (1,0). Si
tratta di costruire un punto che abbia da
esso distanza α dall’origine. Il procedimento con riga e compasso prevede, in
generale, di pervenire a questo punto attraverso una serie di punti intermedi,
ottenuti intersecando rette e circonferenze.
All’inizio è possibile costruire solo le circonferenze che hanno (0,0) come
centro e passano per (1,0) (o viceversa), e la retta congiungente (0,0) e (1,0).
Queste circonferenze e questa retta hanno equazioni cartesiane con
coefficienti tutti razionali. Il punto d’intersezione di due rette aventi
equazioni a coefficienti razionali è un punto avente coordinate razionali,
poiché queste sono le soluzioni di un sistema lineare 2×2 a coefficienti
razionali. Le coordinate dei punti di intersezione di una retta e di una
circonferenza (equivalentemente, di due circonferenze) a coefficienti in Q
sono soluzioni di equazioni quadratiche, e quindi appartengono ad
un’estensione 2-radicale di Q.
Pertanto, le coordinate dei punti costruibili con riga e compasso appartengono
ad un’estensione 2- radicale di Q. Lo stesso vale per le distanze tra due punti
siffatti. Quindi ogni numero reale positivo costruibile appartiene ad
un’estensione 2-radicale di Q.
Teorema :
Un numero reale è costruibile se e solo se
appartiene ad un’estensione 2-radicale di Q.
Un esempio di estensioni quadratiche si ha dal passaggio dai numeri
reali ai numeri complessi: C=R(√-1), dove:
i = √-1
Criteri di insolubilità di
Wantzel
Primo criterio
Un numero trascendente non è costruibile.
Dim: Sia
x=a+b√c
un elemento di un’estensione quadratica dei razionali,
cioè in particolare un numero costruibile. Allora si
ottiene:
da cui segue .
Eliminando le radici una ad una a partire da quelle più
esterne, si ha per induzione che un numero costruibile
appartenente ad un’ estensione di ordine 2n dei
razionali è soluzione di un’equazione di grado 2n a
coefficienti razionali. In particolare un numero
costruibile è algebrico.
c.v.d.
Secondo criterio
Le radici di un’equazione cubica a coefficienti razionali e
senza radici razionali non sono costruibili.
Dim: Basta provare che se un’equazione cubica a coefficienti
in un campo F ha radici in un’estensione quadratica di F ha
già radici nel campo. Segue allora che se un’equazione cubica
a coefficienti razionali ha radici costruibili, ha già radici
razionali.
Data un’equazione cubica, possiamo supporre che sia
monica:
z3+a2z2+a1z+a0=0,
se z1, z2, e z3 sono le radici complesse l’equazione è
equivalente a:
(z-z1)(z-z2)(z-z3)=0,
da cui segue:
z3-(z1+z2+z3)z2+(z1z2+z1z3+z2z3)z–z1z2z3= 0,
ma allora:
-(z1+z2+z3)=a2.
Sia z1 una soluzione in F(√c), cioè:
z1=a+b√c, allora per la proposizione precedente anche
z1=a-b√c è soluzione, quindi:
-(a+b√c+a-b√c+z3)=a2
e dunque:
z3 = a2 + 2a. Pertanto c’è una soluzione in F.
c.v.d.
Numeri complessi
Un esempio di estensioni quadratiche si ha dal
passaggio dai numeri reali ai numeri complessi:
C=R(√-1), dove:
i = √-1
Cos’è il piano di Gauss?
I numeri complessi possono essere rappresentati come
vettori sul piano cartesiano che viene, per questo uso
particolare, chiamato piano di Gauss. Questa modello
geometrico è utilissimo e fa sì che il campo complesso
(un altro modo di chiamare l'insieme dei numeri
complessi), le sue proprietà e le sue operazioni siano
visualizzabili in modo semplice ed efficace.
Rappresentazione algebrica
Un numero complesso si rappresenta
nella forma a + bi.
Rappresentazione geometrica
Per rappresentare un numero
complesso z = a + bi bisogna usare il
piano di Gauss, in cui a è il valore delle
ascisse e b quello delle ordinate.
Radice dell'unità
Le radici n-esime dell'unità sono
tutti i numeri (reali o complessi) la
cui n-esima potenza è pari a 1, ovvero
le soluzioni dell'equazione:
xn=1
Dimostrazione:
L’equazione xn – 1 = 0 fu studiata da molti matematici del XVIII secolo,
tra cui anche Lagrange, che la studiò con n primo. Vandermonde (17351796) risolse l’equazione nel caso n = 11 con un metodo che dichiarava
essere estendibile per i primi maggiori di 11. Waring (1734- 1798) per
primo introdusse la nozione di radice primitiva dell’unità. Il contributo
più importante è dato da Gauss che nella sua opera “Disquisiziones
Arithmeticae” nel 1801 analizzò in modo completo l’equazione
xn – 1 = 0 dando il metodo di risoluzione per radicali per ogni n e
trattando esplicitamente il caso n = 17 e n = 19. In particolare dimostrò
per quali valori di n l’equazione è risolubile per radicali quadratici, cioè
quanti possono essere i lati di un poligono regolare perché sia costruibile
con riga e compasso. Egli dimostrò che l’equazione xn – 1 = 0 è risolubile
per radicali quadratici se e solo se n è della forma:
n = 2u (2h + 1)….( 2m + 1),
con i numeri tra parentesi primi, cioè della forma dei primi di Fermat.
Mostriamo in breve l’equivalenza del problema risoluzione della
l’equazione ciclotomica xn – 1 = 0 con la costruibilità con riga e
compasso dei poligoni regolari.
Dividere in n parti uguali una circonferenza significa dividere l’angolo di
2π in n parti, cioè vuol dire che bisogna saper costruire cos(2πn / n) e
sin(2πn / n) , cioè se si sa costruire un numero ε = cos(2πn / n) + isin(2πn
/ n) . Questo numero è una radice primitiva dell’unità e le sue potenze ε,
ε2, …, εn-1, εn = 1 sono ancora radici dell’unità. Infatti:
εn = cos(2πn / n) + isin(2πn / n) = 1 + i0 = 1
(ε2)n = ε2n = (εn)2 = 1
Le radici n-esime di 1 si dispongono nel
piano di Gauss nei vertici di un
poligono regolare di n lati inscritto
nella circonferenza che ha centro
nell’origine e raggio unitario.
Dimostrazione:
Il numero 1 ha in C la rappresentazione trigonometrica:
1 = 1(cos2kπ + isin2kπ)
Una radice n-esima dell’unità è un numero
z = r(cosα + i*sinα) per il quale deve valere:
Zn = 1, uguaglianza dalla quale, ricordando la formula di De
Moivre, si ottiene l’identità:
rn (cos(nα) + i*sin(nα)) = 1(cos2kπ + isin2kπ)
Che conduce alle equazioni in r e in α:
rn = 1
cos(nα) + i*sin(nα) = cos2kπ + isin2kπ
La prima equazione deve essere risolta in R+ in quanto
corrisponde a un confronto tra moduli: si ottiene il valore r =
1.
La seconda, invece, è posta in C, e può essere risolta
uguagliando gli argomenti delle funzioni trigonometriche,
ottendendo: nα = 2kπ, ovvero:
α = 2kπ / n
Nell’intervallo [0; 2π] si ottengono per α, al variare di k tra 0
e n-1, n valori distinti che si dispongono secondo multipli
dell’anomalia 2π / n.
La costruzione
dell’ettagono regolare
I vertici dell’ettagono sono dati dalle radici dell’equazione:
z7 -1 = 0
(9)
con z = x + iy . Le soluzioni di questa equazione sono:
z = 7√1 = cos(k*3600/7)+ i*sin(k*3600/7), k=0,1,...,6
(10)
La prima ( k = 0 ) è z = 1. Le altre derivano da:
(z7-1)/(z-1) = z6+z5+z4+z3+z2+z+1=0.
Dividendo per z3, si trova:
z3+(1/z3)+z2 +(1/z2 )+z+(1/z)+1=0,
che si può trasformare facilmente in:
(z+1/z)3 - 3(z+1/z) + (z+1/z)2 - 2 + (z+1/z) + 1 = 0 ->
-> x3 + x2 + x + 1 = 0
(11)
avendo posto x = z+ 1/z.
Le soluzioni di questa equazione sono espresse dalla (10), però con
k ≠ 0.
Osserviamo che, per una proprietà dei numeri complessi, risulta:
1/z= cos(k*3600/7)- i*sin(k*3600/7),
e quindi:
z+ 1/z = x = 2cos(k*3600/7).

Che cos’è l’origami?
Con il termine origàmi si intende l'arte di piegare la carta ( termine
derivato dal giapponese, ori piegare e kami carta) e, sostantivato,
l'oggetto che ne deriva.
Esistono tradizioni della piegatura della carta anche in Cina (Zhe
Zhi" ), tra gli Arabi ed in occidente.
La tecnica moderna dell'origami usa pochi tipi di piegature
combinate in un'infinita varietà di modi per creare modelli anche
estremamente complicati. In genere, questi modelli cominciano da
un foglio quadrato, i cui lati possono essere di colore differente e
continua senza fare tagli alla carta.
Tra le numerose applicazioni dell’origami, vi sono anche le
costruzioni di poligoni regolari.
Grazie a questa arte, infatti, è possibile creare ettagoni, ennagoni e
tutti gli altri poligoni che, con riga e compasso, sono impossibili da
ottenere con assoluta precisione.
Origami: assiomi
Assioma 1
Dati due punti p1 e p2, esiste un'unica piegatura che passi per
entrambi.
Assioma 2
Dati due punti p1 e p2, esiste un'unica piegatura che porti p1 su p2.
Assioma 3
Date due linee rette l1 e l2, esiste sempre una piegatura che
porti l1 su l2.
Assioma 4
Dati un punto p1 e una retta l1, esiste un'unica piegatura
perpendicolare a l che passi per il punto p.
Assioma 5
Dati due punti p1 e p2 e una retta l, esiste sempre una piegatura
passante per p2 che porti p1 su l.
Assioma 6
Dati due punti p1 e p2 e due rette l1 e l2, esiste sempre una piegatura
che porti p1 su l1 e p2 su l2.
Assioma 7
Dati un punto p e due rette l1 e l2, esiste sempre una piegatura
perpendicolare a l2 che porti p su l1.
Si può notare che l'assioma 5 può avere una o due soluzioni, mentre
l'assioma 6 può averne una, due o tre. In questo modo, le costruzioni
geometriche che ne risultano sono più forti delle costruzioni con riga
e compasso, dove il numero massimo di soluzioni di un assioma è
due. Per questo motivo le costruzioni con riga e compasso possono
risolvere al massimo equazioni di secondo grado, mentre le
costruzioni per mezzo di origami possono risolvere anche equazioni
di terzo grado.
Risoluzione equazione
o
di 3 grado con origami
Si inizia da un generico punto O del piano tracciando un segmento
OU di lunghezza 1 che costituirà l’unità di misura per l’intera
costruzione. Si traccia un segmento UA di lunghezza UA=b’
ortogonale a OU che prosegue verso sinistra o verso destra a seconda
che il coefficiente del termine di secondo grado sia positivo o
negativo. Da A si traccia un segmento AB di lunghezza AB=c’
ortogonale ad UA procedendo verso sinistra o verso destra a seconda
che il coefficiente del termine di primo grado abbia lo stesso segno
del coefficiente precedente o segno opposto. Da B si traccia un
segmento BC = d’ con i precedenti accorgimenti.
A questo punto si prolungano i lati UA, BA e BC. Si traccia una retta
che parte da O con coefficiente angolare a piacere andando così ad
individuare un punto A’ sul prolungamento OA, successivamente si
traccia la normale alla retta OA’ passante per A’ , tale retta incontra il
prolungamento dio BA in un punto; si continua con tale procedura
fino ad arrivare sul prolungamento di BC. Quando tale “percorso”
passa per C, la lunghezza del segmento A’U rappresenta una
soluzione reale dell’equazione cubica. Di tali percorsi in generale ne
possono esistere al massimo 3, pari al grado dell’equazione.
Dalla similitudine dei triangoli rettangoli OA’U e AA’B’ si ha che
OU=1 ,
A’U = x = ,
AA’= AU+UA’ = b’+ x
AB’ / AA’ = x
Allora :
AB’ = x^2 + b’x
Dalla similitudine dei triangoli A’AB’ e BB’C si ha che
BB’= BA+AB’ = x^2 + b’x + c’
BC = x^3 + b’x^2 + c’x
BC = d’
Da ciò segue che :
x^3 + b’x^2 + c’x = d’
BC / BB’= x
Costruzioni a confronto
Triangolo equilatero – riga e compasso
Il triangolo equilatero dato il lato AB si può costruire con riga e compasso in
questo modo:
 Si punta il compasso in A con apertura AB e si traccia una circonferenza;
 Si punta il compasso in B con apertura BA e si traccia una circonferenza;
 Il punto d'incontro delle circonferenze C è il terzo punto cercato;
 Unendo A, B e C si ottiene un triangolo equilatero.
 La dimostrazione è semplice: essendo, per definizione, tutti i punti della
circonferenza equidistanti dal centro, il segmento AB è congruente ad AC,
e AB è congruente a BC. Ma allora per la proprietà transitiva della
congruenza, AB = AC = BC e il triangolo è equilatero.
Triangolo equilatero – origami
Pentagono regolare – riga e compasso
 Traccia una linea orizzontale, e denominala "a". Questa
rappresenterà il diametro della circonferenza in cui dovrai
costruire il pentagono. Individua il centro della circonferenza, ed
in corrispondenza ad esso costruisci la perpendicolare ad "a".
Nomina il punto di intersezione come "O".
 Traccia quindi un semicerchio che incontri la circonferenza nei
punti 1 e 2. Unisci questi punti mediante una retta, ed individua
il punto 3, ovvero quello in cui si incontrano la retta stessa e la
retta "a". Nomina inoltre il punto"D".
 Punta, adesso, il compasso in "D" con apertura D4 e traccia una
curva sino ad incontrare la circonferenza nel punto "E“e dal lato
opposto nel punto "C".
Con la
medesima apertura, punta in "E" ed individua il punto "A", e
punta in "C" individuando il punto "B".
 Hai così ottenuto i 5 punti del tuo pentagono (ABCDE). Non ti
rimane che unirli ed evidenziarli.
Pentagono regolare – origami (metodo di Roberto Morassi)
Pentagono regolare – origami (disegni di Francesco Decio)
Costruzione dell’ ettagono
regolare con l’origami
Bibliografia
Dentice Eva Ferrara
Problemi classici dell’antichità
(appunti dalle lezioni del corso di perfezionamento)
Barra Mario, Polidoro Maria Grazia
La geometria della carta piegata
(Progetto Alice n. 35, Vol. XII, Anno 2011-II)
Caserta Antonio
Matematica e geometria con un foglio di carta
(Progetto Alice n. 34, Vol. XII, Anno 2011-I)
Romano Pietro
I problemi classici della geometria non risolubili con
riga e compasso
Andreini Mara, Manara Raffaella, Prestipio
Francesco
Matematica controluce 2