La sfera come modello
di geometria ellittica
e conclusioni
A cura di Luigi Tomasi
[email protected]
CURVATURA = 0
CURVATURA > 0
CURVATURA < 0
2
1
La sfera come
modello di
geometria
ellittica
B. Riemann (1826(1826-1866)
3
Andare diritto sulla sfera
4
2
Eq. Sfera con centro O: x2 + y2 + z2 = R2
Che cos’è una linea “diritta” sulla sfera?
Esperienze varie su di un pallone: elastico,
simmetria locale, passi lunghi uguali, …
Una retta su una sfera è una circonferenza
massima.
5
Una ‘retta’ sulla sfera = rotta aerea
6
3
Due idee:
Andare diritto
Linea più corta
7
La lunghezza di una circonferenza rispetto al
raggio varia con la superficie:
r
r
L = 2π
πr
L < 2π
πr
8
4
Le geodetiche
9
• In generale occorre fare riferimento alla
nozione di curvatura gaussiana di una
superficie.
• La definizione funziona per cilindri, coni, sfere
(anche per il piano iperbolico): si ottengono
davvero tutte le geodetiche.
10
5
Le geodetiche
PROPRIETA’
PIANO
SFERA
Per ogni geodetica esiste una riflessione
globale rispetto a questa
SI
SI
Ogni geodetica può essere estesa
indefinitamente
SI
SI
Ogni coppia di punti distinti individua una
geodetica che li congiunge (non necess.
unica)
SI (1)
≥ 2)
SI (≥
Due geodetiche non coincidenti possono
avere in comune al più n punti, con n = …
1
2 (sempre)
11
La curvatura di una
superficie e le geodetiche
12
6
Il concetto di
curvatura
13
Le triangolazioni in geodesia permettono di fare mappe precise,
14
conoscendo la forma della Terra.
7
Gauss fu un esperto geodeta e perfezionò le misure
relative alla triangolazione. Ad esempio, su una sfera
muovendosi verso Nord, la direzione verticale cambia
della stessa quantità ovunque, non così su
un’ellissoide: verso il polo varia di meno, perché la
superficie è più piatta.
piatta
15
L’idea geniale di Gauss fu di rovesciare il problema:
non come la forma della Terra influisca sul rilievo
geodetico, ma come risalire da un rilievo geodetico
alla forma della Terra (e in generale di una superficie);
quindi senza ‘vederla dal di fuori’ ma restandovi
immersi.
Esempio: dal rilievo geodetico si può dimostrare che
la Terra non è piatta, né perfettamente sferica ma
ellissoidale
(le due crf equatore e meridiano di Greenwhich misurano
rispettivamente 40 067 km e 40 000 km).
16
8
La nozione di curvatura per
una curva è molto semplice
POCO CURVA
MOLTO CURVA
17
Su di una circonferenza
R
R
R
CURVATURA = 1/R
18
9
La lunghezza di una circonferenza rispetto al
raggio varia con la superficie:
r
L = 2π
πr
r
r
L > 2π
πr
L < 2π
πr
Quindi l’area del
cerchio sulla
superficie può
essere minore
(maggiore) di πr2
19
r
r
20
10
L’esempio del frutticultore: nel piano piantando in
verticale le piante a partire dalla riga di base si ottiene
sempre la stessa spaziatura.
Se si immagina la stessa operazione con un enorme
frutteto a partire dall’equatore, la spaziatura diminuisce
procedendo verso nord.
21
Qui i filari di alberi si
allontanerebbero
all’opposto di quello
che capita sulla
sfera.
La curvatura è
‘opposta’ a quella
della sfera.
22
11
La geometria sferica permette di calcolare le formule
per il variare della spaziatura degli alberi sulla sfera.
Gauss trovò le formule per una superficie qualsiasi:
gli alberi sono tanto più vicini quanto più la
superficie è curva, nel piano (superficie piatta)
hanno distanza costante, mentre nel caso della sella
si allontanano fra di loro.
Egli quantificò la curvatura di una superficie in ogni
suo punto a partire dalle equazioni della superficie
23
stessa.
Forma fondamentale di
una superficie
Gauss riuscì a calcolare la
curvatura (e molti altri dati)
rimanendo sulla superficie, cioè
senza doverla ‘vedere dal di fuori’:
l’idea fu di fare il conto del difetto o
dell’eccesso dell’area del cerchio
di raggio r intorno al punto rispetto
a quello (sempre di raggio r) su di
una superficie piana
(Theorema egregium)
24
12
CURVATURA
=0
CURVATURA
=0
CURVATURA > 0
CURVATURA < 0
25
Il concetto di curvatura è inestricabilmente
intrecciato con quello di linea ‘che va diritta’
sulla superficie (i filari del frutteto ‘vanno
diritti’ sul piano come sulla sfera).
Si chiama geodetica; la sua non rettilinearità
è dovuta solo al contributo della superficie:
non ci mette niente di suo.
È (localmente) il percorso più breve tra due
punti.
Nel piano: geodetica = retta.
26
13
Una geodetica (‘retta’) sulla sfera = rotta aerea
27
A
B
AB è un ‘segmento’
Le ‘rette’ sono le crf max.
28
14
β
γ
α
Un triangolo è fatto di geodetiche
29
Quanto vale la curvatura
30
15
Su di una sfera
2
Curvatura = 1/R•1/R= 1/R
31
32
16
Problemi sulla sfera
33
• Triangoli sulla sfera e i triedri al centro
corrispondenti.
• Relazioni tra angoli e lati (misure in radianti):
a = Rα ; b = Rβ; c = Rγ;
gli angoli δ, η, σ del triangolo sono quelli dei
diedri relativi al triedro al centro.
34
17
• Tenendo conto delle relazioni tra angoli e
lunghezza dei lati è immediato dimostrare la
disuguaglianza triangolare: a < b + c.
• Inoltre, osservando che in un angolo diedro
l’angolo intercettato da un piano secante è
massimo quando il piano è ortogonale alla retta
che individua l’angolo diedro stesso,
considerando il triangolo piano ABC e i suoi
angoli (NB: si assume qui che sul piano la loro
somma valga π) si ha che la somma degli angoli
di un triangolo sferico è maggiore di π:
• δ + η + σ > π.
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Si può quindi definire l’ECCESSO di un
triangolo sferico come la differenza
(δ
δ + η + σ) - π, che risulta sempre positiva.
Si osserva, con esempi, che l’eccesso è
additivo.
36
18
Area di un triangolo sferico usando le lunule
L α , Lβ , Lγ :
L
α
= α2;
π 2πR
Lα = 2αR 2 ;
C
A
2 Lα + 2 Lβ + 2 Lγ =
4πR 2 + 4 A(∆ )
Da cui: A(∆) = (α +β + γ − π)⋅⋅R2
Cioè: A(∆) = ECCESSO ⋅ R2
Ang = 3/2 π
Area = 1/2 π
B
37
Ang = 7/6 π
Area = 1/6 π
Area sfera = 4π
π
(raggio = 1)
Ang = 5/3 π
Area = 2/3 π
5/3 π
Ang = 2 π
Area = π
38
19
Parallelismo e trasporto parallelo
39
• Euclide definisce come parallele nel piano
(Def. 23) “rette che non si incontrano se
prolungate indefinitamente in entrambe le
direzioni”.
• Il concetto di parallelismo sul piano è però
multiforme: ad esempio comprende anche
la nozione di TRASPORTO PARALLELO,
che ha senso per tutte le superficie che
abbiamo visto.
40
20
IL TRASPORTO PARALLELO SULLA SFERA
41
A
C
B
IL TRASPORTO PARALLELO SUL PIANO
42
21
• Nel piano se si considera il trasporto parallelo di
una retta r lungo una retta l le diverse posizioni
di r individuano le rette parallele ad r (l essendo
una trasversale). Sulla sfera si può fare il
trasporto parallelo ma non ci sono parallele.
• Nel piano se due rette r, s sono trasporto
parallelo di una retta lungo l, lo sono anche
lungo una qualsiasi retta che le intersechi.
Nemmeno questa proprietà vale sulla sfera.
43
• Esplorare ora che cosa succede se si fa il
trasporto parallelo di un segmento orientato s
lungo i lati di un triangolo sulle nostre
superficie, in particolare sulla sfera.
• Si trova che sulla sfera dopo un giro lungo i lati
del triangolo il segmento s forma con quello di
partenza un angolo α (detto OLONOMIA del
triangolo). NB: il verso di α è antiorario).
44
22
β
γ
α
AREA· K = (α + β + γ − π)
45
GEOM. EUCLIDEA
Rette trasportate - Non si intersecano
parallelamente - Sono equidistanti
- Sono TP lungo
tutte le trasversali
Rette che non si Sono TP lungo tutte
incontrano
le trasversali
QPE
Lo si assume
GEOM. SFERICA
- Si intersecano sempre
- Sono TP lungo le trasversali
che passano per il loro centro
di simmetria
Non esistono
È dimostrabile in senso forte
senza ipotesi
PPP
2 punti
Lo si assume
Individuano un
unico segmento
È falso
Individuano almeno due
segmenti
Σα
Teor. angolo
esterno
Vale π
Vale
>π
Non vale neanche per triangoli
piccoli
46
23
GEOM.
EUCLIDEA
- Non si
Rette
intersecano
trasportate
parallelamente - Sono
equidistanti
- Sono TP lungo
tutte le
trasversali
Rette che non Sono TP lungo
si incontrano tutte le
trasversali
QPE
Lo si assume
PPP
2 punti
Σα
Teor. angolo
esterno
Criteri
congruenza
GEOM.
EUCLIDEA
Lo si assume
GEOM. SFERICA
GEOM.
IPERBOLICA
- divergono in
entrambe le
direzioni
- Sono TP lungo le
trasversali che
passano per il
loro centro di
simmetria
Non esistono
A volte risultano
da trasporti non
paralleli
È dimostrabile in È falso
senso forte
senza ipotesi
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- Si intersecano
sempre
- Sono TP lungo
le trasversali che
passano per il
loro centro di
simmetria
GEOM.
SFERICA
È falso
GEOM. IPERBOLICA
Per un punto passano
più rette non intersecanti
una retta data
Individuano un Individuano Individuano un unico
unico
almeno due segmento
segmento
segmenti
Vale π
>π
<π
Vale
Non vale
Vale
Cfr. § 12
Cfr. § 12
Valgono LAL, ALA, LLL,
AAA.
Non vale ALL.
AAA: non esistono
triang. simili.
48
24
γ
β
g. iperbolica
A·K= π - (α + β + γ)
α
62
TORINO 13-02-02
β
A·K= π - (α + β + γ)
g. ellittica
γ
α
49
La geometria
dell’universo
50
25
E il nostro universo?
Qual è la sua geometria?
51
B. Riemann nel 1854
estende la nozione di
curvatura a spazi di
dimensione superiore a 2
B. Riemann (1826(1826-1866)
52
26
• La nozione riemanniana della curvatura dello
spazio va intesa come la descrizione del modo
in cui le distanze misurate si discostano da
quelle che si avrebbero se lo spazio fosse
euclideo.
• La geometria euclidea funziona a piccola scala.
Non c’è nessuna ragione per supporre che
valga a scala maggiore (uno spazio localmente
euclideo non è detto lo sia anche in grande).
53
• Riemann inventò l’idea dello spazio curvo (e
spiegò come calcolarne la curvatura) e propose
un modello radicalmente diverso da quello
euclideo per l’intero universo.
• Spiegò come sarebbe apparso l’Universo se
avesse presentato una curvatura costante
positiva (1854).
54
27
ds2 = Σ gmndxmdxn
Le idee di Riemann
sullo spazio curvo
sono geniali.
Esse hanno ispirato
il calcolo tensoriale,
che è alla base del
lavoro di Einstein
sulla Relatività
Generale.
55
La matematica fornisce i
modelli fondamentali per
descrivere la geometria
dell’Universo:
lo Spazio - Tempo
(x, y, z, t)
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28
Se l’universo abbia una
geometria iperbolica,
euclidea o ellittica
dipende dalla densità di
materia in esso presente.
Le masse dicono allo
spazio-tempo come
incurvarsi e lo spaziotempo dice alle masse
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come muoversi.
Modelli per l’Universo:
ρ > 3H2/(8π
πG) (ellittico: U.chiuso)
πG) (euclideo: U.piatto)
ρ = 3H2/(8π
ρ < 3H2/(8π
πG) (iperbolico: U.aperto)
H = cost. di Hubble
G = cost. gravitazionale
ρ = densità media di materia (ed energia)
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29
I RISULTATI PIÙ RECENTI SEMBRANO
IPOTIZZARE QUALE SIA LA
GEOMETRIA DELL’UNIVERSO:
COBE (1992)
BOOMERANG (1999)
WMAP (2000)
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Il risultato dipende dall’analisi fatta in
questi ultimi anni della cosiddetta
radiazione cosmica di fondo a microonde
(predetta nel 1948, osservata nel 1965).
Fino a circa 379 000 anni dopo il Big Bang
la materia era così densa che non lasciava
scappare nessuna radiazione.
60
30
Dal Big Bang al presente: 13,7x109 anni
61
62
31
Sembra corroborata l’ipotesi che la
geometria dell’Universo sia quasi
euclidea, cioè con curvatura quasi nulla
o nulla.
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La matematica ha una doppia natura: sia una
sua bellezza interna sia il potere di rivelare
la struttura nascosta del mondo esterno
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32
A quelli che non conoscono la matematica
è difficile farsi un’idea precisa della bellezza - la
profonda bellezza - della natura.
65
CONCLUSIONE DEL
NOSTRO INCONTRO:
Ci sono più geometrie
tra cielo e terra di
quante ne possa
immaginare la tua
filosofia !
66
33
