Materia: MATEMATICA
ARGOMENTI: DI LOGICA
Classe:
TEORIA in SINTESI
DEGLI ENUNCIATI (DELLE PREPOSIZIONI )
A.S.
2009/2010
I C/ I D Liceo Linguistico
1. CONCETTO DI ENUNCIATO (PROPOSIZIONE)
Consideriamo le seguenti frasi:
1. Il 25 Dicembre è Natale
2. Manzoni ha scritto i “Promessi Sposi”
3. 5 è minore di 7
4. Roma è la capitale della Spagna
5. 10 è multiplo di 4
6.
7.
8.
9.
Sandro l’anno prossimo sarà promosso
Questo film è molto noioso
Che ora è?
Scrivi a Paolo!
Delle prime tre frasi possiamo senz’altro dire che sono vere, le successive due che sono false, per le ultime cinque
frasi non ha senso chiedersi se sono vere o false:
la frase 6) è una previsione, non possiamo dire con certezza se è vera o falsa
la frase 7) esprime una valutazione personale, la sua verità dipende dal soggetto che l’ha formulata
la frase 8) è una domanda
la frase 9) è un’esortazione
Si chiamano enunciati o proposizioni tutte quelle affermazioni alle quali si può attribuire un valore di verità (vero o
falso). Non sono proposizioni le domande, le esclamazioni, le frasi senza senso, i giudizi soggettivi.
Consideriamo la proposizione "Il cavallo e' un quadrupede". Non possiamo scomporla in "Il cavallo e'" e "un
quadrupede" perché tali espressioni non hanno senso e pertanto "il cavallo e' un quadrupede" e' detta enunciato
elementare o proposizione atomica.
Possiamo costruire anche proposizioni composte come:
“6 e' pari ed e' divisibile per 3”
“un triangolo isoscele ha due lati uguali e due angoli uguali”
“se un numero e' pari allora e' divisibile per due”
“vado al mare e nuoto”
“mangio un cornetto o bevo un caffè” ecc.
Se prendiamo ad esempio il primo enunciato, si può scomporla in "6 e' pari" e "6 e' divisibile per 3" che risultano
entrambi enunciati elementari. Abbiamo diversi esempi di enunciati composti e questo ci suggerisce di analizzarne lo
scheletro per individuare la diversa composizione. Analizziamo piu' attentamente le forme di alcuni enunciati:
1) Se Giovanni si alza presto allora prende il treno in orario;
2) Lanciando un dado regolare ,l'esito e' pari oppure dispari;
3) Studio e guardo la televisione;
4) Un numero e' pari se e solo se e' divisibile per due;
5) Non mangio;
Se sostituiamo agli enunciati elementari "Giovanni si alza presto”, “Giovanni prende il treno in orario”, “l'esito e' pari”,
ecc.., con delle lettere, si arriva alle forme proposizionali seguenti:
1)Se p allora q;
2) p o q;
3) p e q;
4) p se e solo se q;
5) non p.
e useremo i seguenti simboli: 1) p q; 2) p q; 3) p q; 4) p q; 5) p Chiameremo connettivi logici cio' che lega
le variabili proposizionali.
2. LA TAVOLA DI VERITA’ DELLA FORMA P Q.
La tavola mette in evidenza che la forma proposizionale P Q e' vera se almeno una delle
variabili e' vera, ed e' falsa se entrambe sono false
Esempio: p: ” 23 è maggiore di 7 o è divisibile per 1”, è vera perché l’ enunciato elementare
“3 è divisibile per 1” è vero.
P
V
V
F
F
PQ
V
V
V
F
Q
V
F
V
F
Alcune proprietà della disgiunzione.
1) proprietà commutativa: P Q è logicamente equivalente a Q P ;
2) proprietà associativa: P (Q R) è logicamente equivalente a ( P Q) R ;
Il modo per decidere se due forme proposizionali sono logicamente equivalenti e' quello di confrontare le rispettive
tavole di verità.
3. LA TAVOLA DI VERITA’ DELLA FORMA P Q .
PQ
V
F
F
F
A
V
V
F
F
B
V
F
V
F
La tavola mette in evidenza che la forma P Q e' vera se entrambe le variabili sono vere
ed e' falsa in ogni altro caso,
Esempio: date le proposizioni a: “ 5 è un numero primo” , b: “ Roma è la capitale d’Italia,
l’enunciato a b : 5 è un numero primo e Roma è la capitale d’Italia
è vero perché a e b sono entrambe vere
(E’ ovvio che non ha molto significato fare una simile affermazione nel linguaggio comune
ma in logica si considera il valore di verità di una proposizione composta prescindendo dal significato).
Alcune proprietà della congiunzione.
1) proprietà commutativa: P Q è logicamente equivalente a Q P .
2) associativa: P (Q R) è logicamente equivalente a ( P Q) R .
Proprieta' distributive: 3) P (Q R) è logicamente equivalente a ( P Q) ( P R) ;
4) P (Q R) è logicamente equivalente a ( P Q) ( P R) .
Esercizio: Calcolare i valori di verità della proposizione ( A B ) A
4 LA TAVOLA DI VERITA’ DELLA NEGAZIONE
Bisogna aggiungere qualcosa di importante da cui scaturisce la tavola che costruiremo. La logica comune, cioe' la nostra
logica, e' basata su due principi fondamentali:
1) Principio del terzo escluso: Un enunciato o e' vero o e' falso e non altrimenti;
2) Principio di non contraddittorieta': Un enunciato vero non puo' essere contemporaneamente anche falso.
Ecco allora la tavola della negazione logica:
P
V
F
P
F
V
Esempio: considerata p: “ il rettangolo ha 4 angoli retti” (che è vera), la negazione “il
rettangolo non ha 4 angoli retti” è falsa.
Esempio: p: “10 è divisibile per 3” (che è falsa), la negazione “10 non è divisibile per 3” è
vera.
Alcune proprietà. Valgono le importanti leggi di De Morgan (come in insiemistica):
1) non(nonA) è logicamente equivalente a A. (cioè la doppia negazione afferma!!)
2) non(AeB) è logicamente equivalente a nonA o nonB (cioè la negazione della congiunzione è l’alternativa tra le
negazioni)
3) non(AoB) è logicamente equivalente a nonA e nonB (Cioè la negazione di A oppure di B equivale alla congiunzione
delle negazioni)
Esempi: 1) Affermare che "non è vero che non piove" equivale ad affermare che piove!!
2) Negare che "oggi piove o c'è il sole" equivale a dire che "non piove e non c'è il sole";
Esercizio: verifica i fatti 1) 2) 3) con le tavole di verità e formalizzali nella teoria degli insiemi.
5. LA TAVOLA DI VERITA’ DELL’IMPLICAZIONE A B .
La forma condizionale "se ... allora ..." e' forse la forma piu' usata nel linguaggio comune. E' necessario osservare pero' in
quale contesto e' usata.
Diciamo ad esempio: 1) Se piove allora prendo l’ombrello;
2) Se un numero e' pari allora e' divisibile per due;
3) Se un triangolo ha due soli lati uguali allora e' isoscele.
Non ci sogneremmo di dire invece:
4) Se il cavallo e' un quadrupede allora la farfalla vola;
5) Se Dante ha scritto la Divina Commedia allora la terra gira intorno al sole.
Gli enunciati 4) e 5) potranno farci sorridere pero' anche essi hanno senso di esistere, mentre per tutti hanno senso i
rimanenti enunciati. Per questo distingueremo tra implicazione logica e implicazione materiale.
Gli esempi 1) 2) 3) li diremo implicazioni logiche in quanto, il verificarsi della prima proposizione che e' detta premessa,
porta al verificarsi della seconda proposizione, che e' detta conseguenza. Diremo implicazioni materiali gli enunciati degli
esempi 4) e 5).
Noi usiamo comunemente il condizionale quando vogliamo stabilire un rapporto di causa-effetto tra due enunciati
Dovendo esaminare la forma proposizionale indipendentemente dai valori di verita' delle variabili proposizionali, dovremo
fare riferimento all’implicazione materiale, che e' la forma piu' generale con cui si puo' porre il condizionale.
Per costruire la tavola di verita' dell’implicazione partiamo da un semplice esempio: consideriamo proposizione “se il sole
tramonta allora fa buio”. E’ chiaro che se A è vera, dovrà essere vera anche B (1° riga della tavola di verità). Ma se A non
è vera, nulla si potrà dire di B. Infatti l’effetto può non verificarsi o verificarsi perché prodotto da un’altra causa come in
occasione di un’eclissi totale di sole (fa buio anche se il sole non è tramontato). Perciò nella 3° e 4° riga troviamo il valore
vero indipendentemente dal valore di verità di B. L’unico caso in cui il nesso di causalità viene smentito, si ha quando al
verificarsi della causa non segue l’effetto (2° riga).
A
A
V
V
F
F
A B B
V
F
V
V
B
V
F
V
F
Altro esempio: supponiamo che vi chieda di prendermi un libro in biblioteca e vi dica: vorrei un libro dalla biblioteca pero',
se e' di matematica allora deve trattare di logica. E' chiaro che porteremo un libro quando riterremo vera la proposizione
che ho assegnata .Vediamo allora caso per caso come ci dobbiamo comportare. Poniamo: A = il libro è di matematica e
B = il libro è di logica. Perché abbiamo posto “vero” nel 4° caso? Ho posto la condizione che se il libro era di matematica
doveva trattare di logica quindi, se non è di matematica, può essere qualunque cosa. Ecco perché ho posto “vero” anche
nel 3° caso. Passiamo al 2° caso: se il libro è di matematica ma non tratta di logica allora non lo prendiamo perché
contraddice ciò che vi ho chiesto. Infine il 1° caso è banale e cioè se il libro è di matematica e di logica verrà preso.
Dunque l’implicazione materiale è falsa solo nel caso in cui l’antecedente è vero e il conseguente è falso. In ogni altro
caso l’implicazione materiale è vera.
Altro esempio: sia “se corro sudo”. Se A non è vera, nulla si potrà dire di B. Infatti posso non sudare oppure sudare per
altri motivi (3° e 4° riga).
Tuttavia, come già detto, il calcolo degli enunciati prescinde dal significato dei singoli enunciati, e perciò dobbiamo
considerare vera l’implicazione A B tutte le volte che così afferma la sua tavola di verità, anche se le proposizioni A e
B non sono legate da un rapporto di causa-effetto. Pertanto:
esempio: la proposizione “Se il 35 dicembre è Natale, allora i triangoli hanno 3 lati” è vera perché le proposizioni
componenti sono entrambe vere.
5.1. Una forma logicamente equivalente dell’implicazione. L’implicazione ha una sua forma logicamente equivalente
molto importante che cercheremo di ricavare. Partiamo dal voler negare la forma A B ; costruendo la tavola di verità
della proposizione
A B osserviamo che
( A B) è logicamente equivalente a A B
(1)
Esempi:
La negazione di "Se corro allora sudo" e' "Corro e non sudo".
La negazione di "Se un numero e' pari allora e' divisibile per due" e' "Un numero e' pari e non e' divisibile per due".
La negazione di “se mangio allora mi sazio” è “mangio e non mi sazio”.
Ora, il nostro scopo è trovare una forma logicamente equivalente a A B :
negando la (1) si ha:
(( A B)) è logicamente equivalente a ( A B) che è (applicando le leggi di De Morgan) logicamente equivalente
aAB
ricordando che la doppia negazione afferma, si ha che
Dunque
A B (( A B)) A B .
A B è logicamente equivalente a A B
(2)
Esempi: dire "se corro allora sudo" e' equivalente a dire "non corro oppure sudo";
dire "se mangio allora mi sazio" e' equivalente a dire "non mangio oppure mi sazio".
5.2 L’implicazione inversa. l’implicazione non gode della proprietà commutativa. Cioè dalla verità di
affermare la verità di B A (implicazione inversa).
A B non si può
Esempio 1: L'affermazione: "se abito a Firenze allora abito in Toscana" e' vera. L'inverso :"se abito in Toscana allora
abito a Firenze" e' falso
Esempio 2: “Se si ha 6 in tutte le materie allora si è promossi” è un’implicazione vera ma da ciò non segue che
l’implicazione inversa sia vera.
Esempio 3: Vi sono comunque dei casi in cui è vera sia l’implicazione A B sia l’implicazione inversa B A .
L'affermazione: “se un numero e' pari allora e' divisibile per due" e' vera. L'inverso: "se un numero e' divisibile per due
allora e' pari" e' ancora vero. In tal caso vale la doppia implicazione A B (vedi paragrafo 7)
Esercizio: verificare attraverso la tavola di verità che A B e la sua inversa non sono logicamente equivalenti.
5.3 L’implicazione contronominale. Possiamo osservare che se
A B e' vero lo e' anche il contronominale B A .
Esempio: Le affermazioni: "se abito a Firenze allora abito in Toscana" e "se non abito in Toscana allora non abito a
Firenze" sono entrambe vere.
Esercizio: “Se Tom è un gatto, allora Tom è un felino”. Qual è la sua inversa? E qual è la contronominale?
5.4 Tautologia e contraddizione. Una proposizione sempre vera (qualunque sia il valore di verità assunto dalle
proposizioni componenti) è detta tautologia. Una proposizione sempre falsa (qualunque sia il valore di verità assunto
dalle proposizioni componenti) è detta contraddizione.
6. LA DOPPIA IMPLICAZIONE
Abbiamo visto che l’implicazione A B e la sua inversa B A non sono entrambe vere o entrambe false (in
generale). Vi sono pero' dei casi in cui cio' accade .
E' possibile pertanto costruire un nuovo enunciato, la doppia implicazione, che risulta vera o falsa a seconda che siano
entrambi vere o false le due implicazioni. Scriveremo A B e leggeremo “A se e solo se B” per esprimere il fatto che
A B e B A sono entrambe vere o entrambi false. La doppia implicazione è allora logicamente equivalente a
( A B ) ( B A ) e la tavola di verita' e':
A
B B B
A
V
V
V
F
V
F
F
F
V
V
F
F
A
A B è logicamente equivalente a ( A B) ( A B )
Esercizio: Costruisci la tavola di verità della proposizione ( A B ) C . (Quanti casi dobbiamo analizzare?)
Esercizio: Dimostra che
ESERCITAZIONE DI LOGICA DELLE PREPOSIZIONI
1. Nella classe 1X alla conclusione del primo periodo di attività didattica (fine novembre) ad alcuni alunni è stato
attribuito una segnalazione nella disciplina Y rispettando la seguente regola:
P: “ Gli alunni che hanno avuto segnalazione nella disciplina Y nel periodo (settembre_novembre) hanno riportato
almeno due valutazioni nella disciplina.”
Analizzare ciascuna delle seguenti proposizioni e stabilire il loro valore di verità. Trova inoltre la proposizione contro
nominale di P
A): “ Tutti gli alunni che non hanno avuto il debito formativo hanno ricevuto nel periodo di riferimento più di una
valutazione nella disciplina Y.”
B): ” Gli alunni che hanno avuto meno di due valutazioni nella disciplina Y non hanno avuto assegnato il debito
formativo.”
C): ” Se un alunno ha avuto tre valutazioni nella disciplina Y allora non ha avuto il debito formativo.”
D): ” Tutti gli alunni che non hanno avuto il debito formativo hanno ricevuto al massimo una valutazione.”
E): ” Tra gli alunni che hanno ricevuto il debito formativo nessuno ha ricevuto meno di due valutazioni”.
2. Considerata la seguente proposizione
P: “ Se c’è il sole allora annaffio il giardino e mi diverto. Non annaffio il giardino, allora non c’è il sole.”
2.1 Individuare le proposizioni atomiche contenute e formalizzare la proposizione con i simboli della logica.
2.2 Compilare la tabella di verità della proposizione assegnata e precisare se trattasi di una tautologia.
3. Analizzare la seguente proposizione:
P: “ Se un numero naturale x è divisibile per 6 ma non per 15 allora non è divisibile per 10” (N.B. Si consiglia di utilizzare i
seguenti predicati: a(x): “ x N è divisibile per 2”; b(x): “x N è divisibile per 3” e c(x): “x N è divisibile per 5”.
4. Consideriamo le seguenti proposizioni
a: “Io vado a scuola.”
b: ” Io apprendo nuove conoscenze”
c:” Io mi faccio fregare”
Enunciare la proposizione di seguito formalizzata e studiarne il valore di verità compilando la relativa tabella.
(( a b) (b c )) (c a )
5. Considerate le seguenti frasi: p “Anna lavora all’uncinetto” , q: “Anna è felice”. Esprimere con il linguaggio della
logica i seguenti enunciati
a) Se Anna lavora all’uncinetto allora è felice.
b) Esprimere l’enunciato della proposizione inversa di quella riportata in a).
c) Enunciare la contronominale della proposizione riportata in a).
6. Sono assegnate le seguenti proposizioni:
p: “ Oggi piove”,
q: “ Oggi ho già fatto i compiti per domani “,
r: “ Oggi uscirò per una passeggiata”.
a) Enunciare la proposizione rappresentata dal seguente codice: ( p q ) r
b) Costruire la tabella di verità della proposizione enunciata nel precedente punto a).
c) Enunciare la contronominale della proposizione riportata in a) e costruire la sua tabella di verità.
d) Confrontare i valori di verità delle tabelle costruite in b) e c).
7. 7.1. Costruire a tabella di verità delle seguenti proposizioni
(( p q) q ) p (modus tollens) e (( p q) q ) p (modus tollendo ponens)
7.2. Stabilisci per ciascuna delle seguenti regole di deduzione se si fonda sul modello modus tollens o modus
tollendo ponens o nessuna delle due.
a) Esco con il/la mio/ ragazza o scarrozzo in giro con gli amici. Ma non scarrozzo in giro con gli amici; quindi esco
con il/la mio/ ragazza.
b) Se vedo quel film mi metto a piangere. Ma non piango, dunque non vedrò il film.
c) Sono antipatico; se fossi simpatico allora sarei pieno di amici. Dunque non sono pieno di amici.
d) O mi piace o non lo mangio. Lo mangio, dunque mi piace.
e) Non si può stare tutti i pomeriggi “ a zonzo” e avere la media del sei a scuola. Ho la media del sei, quindi non è
vero che passo tutti i pomeriggi “ a zonzo”.
7.3. Trova delle regole di deduzione che si basano su due modelli sopra indicati.
