A Data la parabola y = x2 − 2x, siano P1 e P2 i punti di intersezione della parabola con
l’asse delle ascisse e sia V il vertice.
A1 Determinare l’equazione della retta r1 passante per P1 e V e della retta r2 passante per P2 e V ;
Soluzione I punti di intersezione della parabola con l’asse delle ascisse si ottengono risolvendo il sistema
(
y = x2 − 2x
y=0
da cui
P1 = (0, 0) ,
P2 = (2, 0)
Il vertice V ha coordinate
∆
b
, − ) = (1, −1)
2a 4a
Usando la formula per determinare l’equazione di una retta passante per due
punti assegnati si ottengono le seguenti equazioni
x
y
r1 :
=
⇒ y = −x
1
−1
y
x−2
=
⇒ y = x−2
r2 :
−1
−1
A2 Determinare la retta parallela ad r1 e tangente alla parabola;
Soluzione Una retta parallela a r1 ha equazione y = −x + q. Per determinare quella
tangente alla parabola basta imporre che la retta y = −x + q intersechi la
parabola in due punti coincidenti, ovvero che il sistema
(
y = x2 − 2x
y = −x + q
V = (−
abbia due soluzioni coincidenti. Per sostituzione si ottiene l’equazione
x2 − x − q = 0
la quale ha due soluzioni coincidenti se
1
4
Quindi la retta cercata ha equazione y = −x − 1/4.
A3 Determinare i punti P sulla retta di equazione x = 1 tali che d(P, P1) =
d(P, P2) = 2.
Soluzione Il generico punto sulla retta x = 1 ha coordinate P = (1, y). Segue che
p
p
d(P, P1) = 1 + y 2 , d(P, P2) = 1 + y 2
∆ = 1 + 4q = 0
⇒
q=−
Quindi la condizione d(P, P1) = d(P, P2) = 2 diventa
p
√
1 + y2 = 2 ⇒ y2 = 3 ⇒ y = ± 3
√
√
I punti cercati sono (1, 3) e (1, − 3).
1
B1 Disegnare il grafico della funzione y = f (x) sapendo che: C.E. = {x ∈ R : x ≤ 2}
- limx→−∞ f (x) = ∞ - limx→−∞ f (x)/x = −1 - limx→−∞ f (x) + x = 0 - f (2) = 0
- f(0)=0 - il punto Pm = (−1, −1) è l’unico minimo locale - il punto PM = (1, 1) è
l’unico massimo locale;
Soluzione
C1 10 giocatori di tennis decidono di giocare un torneo di doppio. Quante coppie distinte
si possono formare? Una volta formate le 5 coppie, quante distinte partite (coppia
contro coppia) si possono giocare?
Soluzione Il numero delle coppie è dato da
10 · 9
10!
10
=
= 45
=
8! · 2!
2
2
Una volta formate le 5 coppie queste possono giocare
5·4
5!
5
=
= 10
=
3! · 2!
2
2
partite distinte.
2
−1)
D1 Determinare l’insieme di esistenza della funzione y = ln(x
(x−2)
Soluzione Devono essere soddisfate le seguenti condizioni:
(
(
x2 − 1 > 0
x ∈ (−∞, −1) ∪ (1, ∞)
⇒
x − 2 6= 0
x 6= 2
da cui
E = (−∞, −1) ∪ (1, 2) ∪ (2, ∞)
2
E Data la funzione y = x(2x − 3) e−x
E1 determinare l’insieme di esistenza ed il comportamento agli estremi;
Soluzione La funzione è definita per tutti i valori reali, quindi E = R.
∞
x(2x − 3)
=
=0
lim x(2x − 3) e−x = lim
x
x→∞
x→∞
e
∞
dove nell’ultimo passaggio si è utilizzato che l’esponenziale è un infinito di ordine superiore del polinomio. Quini la retta y = 0 è un asintoto orizzontale.
Diversamente
lim x(2x − 3) e−x = (+∞)(+∞) = +∞
x→−∞
inoltre
x(2x − 3) e−x
lim
= −∞
x→−∞
x
quindi non esistono asintoti obliqui e il grafico cresce più velocemente di una
retta.
E2 calcolare i massimi, i minimi e gli eventuali flessi a tangente orizzontale;
Soluzione Si ha
y ′ = e−x −2x2 + 7x − 3
I valori che annullano la derivata prima si ottengono risolvendo l’equazione
−2x2 + 7x − 3 = 0
⇒
x = 1/2, x = 3
Siccome e−x è sempre positivo il segno della derivata prima dipende dal segno
della quantità (−2x2 + 7x − 3), da cui
y
1
2
′
3
b
b
√
Si deduce che m = (1/2, −1/ e) è un minimo locale mentre M = (3, 9/e3 ) è un
massimo locale.
E3 disegnare il grafico della funzione.
Soluzione
y
M
1/2
b
3
b
m
3
x
F1 Dato il vettore X = {3, α, 3} determinare α in modo tale che la media aritmetica di
X sia uguale alla sua media armonica;
Soluzione Si ha
α+6
3
9α
X=
Xa = 1 1 1 =
,
3
2α + 3
+α+3
3
da cui
9α
2(α − 3)2
α+6
=
⇒
=0 ⇒ α=3
X = Xa ⇒
3
2α + 3
6α + 9
F2 Se la tabella a doppia entrata è
X ↓ Y → J1 J2
I1
4 0
I2
0 3
calcolare con che fiducia le variabili sono dipendenti.
Soluzione Completando la tabella a doppia entrata con le distribuzioni marginali si ottiene
X ↓ Y → J1 J2
I1
4 0 4
I2
0 3 3
4 3 7
da cui
(4 · 3 − 0 · 0)2
=7
4·3·4·3
Essendo df = 1 segue dalla tabella del test del χ2 che α = 0.01. In conclusione le
due variabili sono dipendenti con una fiducia F = 100(1 − 0.01) = 99%
χ2 = 7
4
