Frammenti di Teoria

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Analisi
Classe quinta
FRAMMENTI DI TEORIA
1)
Concetto di funzione.

2)
La funzione è una legge (o una relazione) che associa ad un elemento x di un
insieme un solo elemento y  f (x) di un altro insieme.
Classificazione delle funzioni.

ALGEBRICHE
RAZIONALI
TRASCENDENTI
(NON ALGEBRICHE)
IRRAZIONALI
Trigonometriche y  senx
Logaritmiche y  log x
INTERE
y  x2
3)
Si dice algebrica quando la sua equazione ha la forma polinomiale, se non è
algebrica si dice trascendente.
Si dice razionale quando la variabile x non è sotto il “segno di radice”, se
non è razionale si dice irrazionale.
Funzione intera.

6)
y  2x
Funzione razionale.

5)
Esponenziali
Funzione algebrica.

4)
FRATTE INTERE FRATTE
x1
1
y x
y
y
x
x
Si dice intera quando la variabile x si trova solo al numeratore, se non è
intera si dice fratta o frazionaria.
Campo di esistenza.

C.E. o dominio di una funzione è l’insieme X di tutti i valori reali che si
possono attribuire alla variabile x per determinare i valori corrispondenti
della y .
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7)
Campo della variabilità.

8)
C.V. o codominio di una funzione è l’insieme Y dove i suoi elementi sono
tutte le immagini degli elementi di X .
Definizioni di funzioni pari e dispari.
 La funzione è pari quando è simmetrica rispetto all’asse delle ordinate, ossia
f ( x)  f (  x) .
Un esempio di funzione pari è la parabola di equazione: y  x 2 .
 La funzione è dispari quando è simmetrica rispetto all’origine degli assi, ossia
f ( x )  f (  x ) .
Un esempio di funzione dispari è la parabola cubica di equazione: y  x 3 .
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9)
Funzioni Monotone.
Classificazione:
in senso stretto
crescente
in senso largo
decrescente
non decrescente
non crescente
Definizioni:

Funzione monotona crescente
x1 , x 2   x1  x 2  f (x1 )  f (x 2 )

Funzione monotona decrescente
x1 , x 2   x1  x 2  f (x1 )  f (x 2 )

Funzione monotona non decrescente x1 , x 2   x1  x 2  f (x 1 )  f (x 2 )

Funzione monotona non crescente
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x1 , x 2   x1  x 2  f (x1 )  f (x 2 )
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10) Reciproche posizioni tra una retta ed una curva.
Per esempio, consideriamo una retta ed una parabola:
1)
La parabola è esterna alla retta, viceversa, la retta è esterna alla parabola (non si
intersecano).
2)
La parabola è secante alla retta, viceversa, la retta è secante alla parabola (si
intersecano in due punti distinti).
3)
La parabola è tangente alla retta, viceversa, la retta è tangente alla parabola (si
intersecano in due punti coincidenti).
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11) Convessità di una curva.
 Una curva si dice CONVESSA VERSO IL BASSO ( CONCAVA VERSO
L’ALTO) in un punto se la tangente passante per quel punto si trova al di
sotto della curva
12) Punto di flesso.
 Il punto di flesso è un punto dove la curva cambia di concavità, la retta che
passa per quel punto è una tangente.
Punto di flesso
13) Classificazione dei punti di flesso.
Flesso ascendente a tangente
orizzontale
Flesso ascendente a tangente
obliqua
Flesso discendente a tangente
orizzontale
Flesso discendente a tangente
obliqua
14) Massimi e minimi relativi.
 Si dice che la funzione f ha in x 0 un punto di massimo [rispettivamente
minimo] relativo se esiste un intorno di x 0 tale che per ogni x del dominio in
tale intorno si ha che f ( x)  f ( x 0 ) [rispettivamente f ( x)  f ( x 0 ) ].
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 L’ascissa x 0 , in generale, si chiama estremante. Se è l’ascissa del punto di
massimo si dice massimante, invece se è l’ascissa del punto di minimo si dice
minimante.
15)
Funzione continua in un punto
 Una funzione si dice continua in un punto di ascissa x 0 se si verifica la
seguente uguaglianza:
lim xx f ( x)  f ( x 0 ) .
0
Ossia quando si verificano le tre condizioni:
I. Esiste il valore della funzione nel punto di ascissa x 0 ;
II. Esiste il limite finito della funzione per x che tende ad x 0 ;
III. Il limite coincide con il valore della funzione nel punto di ascissa x 0 .
Cioè:
I.  f (x 0 ) ;
II.  lim xx f ( x)  lim xx f ( x)  lim xx f ( x)   ;
0
0
0
III.   f ( x 0 ) .
16)
Funzione continua in un intervallo
 Una funzione si dice continua in un intervallo se è continua in tutti i punti
dell’intervallo.
17)
Punto di discontinuità
 Si definisce punto di discontinuità quel punto di ascissa x 0 dove la funzione
non risulta continua.
18)
Classificazione dei punti di discontinuità
 Si dice di prima specie quando in x 0 esistono finiti i limiti desto e sinistro e
sono fra loro distinti, ossia:
lim xx f (x)   1   2  lim xx f (x)
0
0
 Si dice di seconda specie quando in x 0 o non esiste almeno uno dei due
limiti, destro e sinistro, oppure quando almeno uno di questi due limiti vale
infinito, in quest’ultima ipotesi si dice che la funzione ha, in x 0 , un punto di
infinito.
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 Si dice di terza specie, se esiste finito il lim xx f ( x) ma il valore di f ( x) o
non esiste in x 0 , oppure esiste ma risulta: f ( x0 )  lim xx f (x) . In questo caso
si dice anche che nel punto si presenta per la funzione una discontinuità
eliminabile.
0
0
19)
Asintoto
 L’asintoto è una retta che risulta essere tangente ad una curva nel suo punto
all’infinito. Se la tangente è parallela all’asse delle ordinate allora l’asintoto si
dice verticale, se la tangente è parallela all’asse delle ascisse allora l’asintoto
si dice orizzontale, se la tangente risulta essere inclinata rispetto agli assi
cartesiani allora l’asintoto si dice obliquo.
20)
Asintoto verticale
 Si dice che la retta di equazione x  x o è un asintoto verticale per il grafico
della funzione y  f ( x) se lim xx f ( x)   .
0
21)
Asintoto orizzontale
 Si dice che la retta di equazione y  a è un asintoto orizzontale a destra per il
grafico della funzione y  f ( x) se lim x  f ( x)  a .
 Si dice che la retta di equazione y  a è un asintoto orizzontale a sinistra per il
grafico della funzione y  f ( x) se lim x  f ( x)  a .
22)
Asintoto obliquo
 Si dice che la retta di equazione y  mx  n è un asintoto obliquo a destra per
il grafico della funzione y  f ( x) se esistono finiti i seguenti limiti:
f ( x)
lim x
 m con m  0 e lim x [f ( x)  mx ]  n
x
 Si dice che la retta di equazione y  mx  n è un asintoto obliquo a sinistra
per il grafico della funzione y  f ( x) se esistono finiti i seguenti limiti:
f ( x)
lim x
 m con m  0 e lim x [f ( x)  mx ]  n
x
23)
Rapporto incrementale
 Si dice rapporto incrementale della funzione y  f (x) relativo al punto di ascissa
x 0 e all’incremento h la quantità:
y
x

f ( x 0  h)  f ( x 0 )
h
E precisamente si chiama rapporto incrementale destro se h  0 , mentre si dice
rapporto incrementale sinistro se h  0 .
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24)
Significato geometrico di rapporto incrementale
 Il rapporto incrementale di una funzione nell’intorno di un suo punto è il
coefficiente angolare della retta secante passante per il punto dato e per il punto
di ascissa incrementata.
25)
Derivata di una funzione
 Chiamasi derivata della funzione y  f (x) nel suo punto di ascissa x 0 il limite,
se esiste ed è finito, del rapporto incrementale al tendere a zero dell’incremento h
della variabile, ossia: lim h0
f ( x 0  h)  f ( x 0 )
. La derivata della funzione
h
y  f (x) nel punto di ascissa x 0 si suole indicare con una qualunque delle
seguenti notazioni: y ( x 0 ) , f ( x 0 ) oppure f ( x 0 ) .
26)
Significato geometrico della derivata di una funzione
 La derivata di una funzione in un suo punto è uguale al coefficiente angolare
della tangente alla curva in quel punto.
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