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Analisi
Classe quinta
FRAMMENTI DI TEORIA
1)
Concetto di funzione.
2)
La funzione è una legge (o una relazione) che associa ad un elemento x di un
insieme un solo elemento y f (x) di un altro insieme.
Classificazione delle funzioni.
ALGEBRICHE
RAZIONALI
TRASCENDENTI
(NON ALGEBRICHE)
IRRAZIONALI
Trigonometriche y senx
Logaritmiche y log x
INTERE
y x2
3)
Si dice algebrica quando la sua equazione ha la forma polinomiale, se non è
algebrica si dice trascendente.
Si dice razionale quando la variabile x non è sotto il “segno di radice”, se
non è razionale si dice irrazionale.
Funzione intera.
6)
y 2x
Funzione razionale.
5)
Esponenziali
Funzione algebrica.
4)
FRATTE INTERE FRATTE
x1
1
y x
y
y
x
x
Si dice intera quando la variabile x si trova solo al numeratore, se non è
intera si dice fratta o frazionaria.
Campo di esistenza.
C.E. o dominio di una funzione è l’insieme X di tutti i valori reali che si
possono attribuire alla variabile x per determinare i valori corrispondenti
della y .
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7)
Campo della variabilità.
8)
C.V. o codominio di una funzione è l’insieme Y dove i suoi elementi sono
tutte le immagini degli elementi di X .
Definizioni di funzioni pari e dispari.
La funzione è pari quando è simmetrica rispetto all’asse delle ordinate, ossia
f ( x) f ( x) .
Un esempio di funzione pari è la parabola di equazione: y x 2 .
La funzione è dispari quando è simmetrica rispetto all’origine degli assi, ossia
f ( x ) f ( x ) .
Un esempio di funzione dispari è la parabola cubica di equazione: y x 3 .
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9)
Funzioni Monotone.
Classificazione:
in senso stretto
crescente
in senso largo
decrescente
non decrescente
non crescente
Definizioni:
Funzione monotona crescente
x1 , x 2 x1 x 2 f (x1 ) f (x 2 )
Funzione monotona decrescente
x1 , x 2 x1 x 2 f (x1 ) f (x 2 )
Funzione monotona non decrescente x1 , x 2 x1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 )
Funzione monotona non crescente
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x1 , x 2 x1 x 2 f (x1 ) f (x 2 )
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10) Reciproche posizioni tra una retta ed una curva.
Per esempio, consideriamo una retta ed una parabola:
1)
La parabola è esterna alla retta, viceversa, la retta è esterna alla parabola (non si
intersecano).
2)
La parabola è secante alla retta, viceversa, la retta è secante alla parabola (si
intersecano in due punti distinti).
3)
La parabola è tangente alla retta, viceversa, la retta è tangente alla parabola (si
intersecano in due punti coincidenti).
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11) Convessità di una curva.
Una curva si dice CONVESSA VERSO IL BASSO ( CONCAVA VERSO
L’ALTO) in un punto se la tangente passante per quel punto si trova al di
sotto della curva
12) Punto di flesso.
Il punto di flesso è un punto dove la curva cambia di concavità, la retta che
passa per quel punto è una tangente.
Punto di flesso
13) Classificazione dei punti di flesso.
Flesso ascendente a tangente
orizzontale
Flesso ascendente a tangente
obliqua
Flesso discendente a tangente
orizzontale
Flesso discendente a tangente
obliqua
14) Massimi e minimi relativi.
Si dice che la funzione f ha in x 0 un punto di massimo [rispettivamente
minimo] relativo se esiste un intorno di x 0 tale che per ogni x del dominio in
tale intorno si ha che f ( x) f ( x 0 ) [rispettivamente f ( x) f ( x 0 ) ].
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L’ascissa x 0 , in generale, si chiama estremante. Se è l’ascissa del punto di
massimo si dice massimante, invece se è l’ascissa del punto di minimo si dice
minimante.
15)
Funzione continua in un punto
Una funzione si dice continua in un punto di ascissa x 0 se si verifica la
seguente uguaglianza:
lim xx f ( x) f ( x 0 ) .
0
Ossia quando si verificano le tre condizioni:
I. Esiste il valore della funzione nel punto di ascissa x 0 ;
II. Esiste il limite finito della funzione per x che tende ad x 0 ;
III. Il limite coincide con il valore della funzione nel punto di ascissa x 0 .
Cioè:
I. f (x 0 ) ;
II. lim xx f ( x) lim xx f ( x) lim xx f ( x) ;
0
0
0
III. f ( x 0 ) .
16)
Funzione continua in un intervallo
Una funzione si dice continua in un intervallo se è continua in tutti i punti
dell’intervallo.
17)
Punto di discontinuità
Si definisce punto di discontinuità quel punto di ascissa x 0 dove la funzione
non risulta continua.
18)
Classificazione dei punti di discontinuità
Si dice di prima specie quando in x 0 esistono finiti i limiti desto e sinistro e
sono fra loro distinti, ossia:
lim xx f (x) 1 2 lim xx f (x)
0
0
Si dice di seconda specie quando in x 0 o non esiste almeno uno dei due
limiti, destro e sinistro, oppure quando almeno uno di questi due limiti vale
infinito, in quest’ultima ipotesi si dice che la funzione ha, in x 0 , un punto di
infinito.
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Si dice di terza specie, se esiste finito il lim xx f ( x) ma il valore di f ( x) o
non esiste in x 0 , oppure esiste ma risulta: f ( x0 ) lim xx f (x) . In questo caso
si dice anche che nel punto si presenta per la funzione una discontinuità
eliminabile.
0
0
19)
Asintoto
L’asintoto è una retta che risulta essere tangente ad una curva nel suo punto
all’infinito. Se la tangente è parallela all’asse delle ordinate allora l’asintoto si
dice verticale, se la tangente è parallela all’asse delle ascisse allora l’asintoto
si dice orizzontale, se la tangente risulta essere inclinata rispetto agli assi
cartesiani allora l’asintoto si dice obliquo.
20)
Asintoto verticale
Si dice che la retta di equazione x x o è un asintoto verticale per il grafico
della funzione y f ( x) se lim xx f ( x) .
0
21)
Asintoto orizzontale
Si dice che la retta di equazione y a è un asintoto orizzontale a destra per il
grafico della funzione y f ( x) se lim x f ( x) a .
Si dice che la retta di equazione y a è un asintoto orizzontale a sinistra per il
grafico della funzione y f ( x) se lim x f ( x) a .
22)
Asintoto obliquo
Si dice che la retta di equazione y mx n è un asintoto obliquo a destra per
il grafico della funzione y f ( x) se esistono finiti i seguenti limiti:
f ( x)
lim x
m con m 0 e lim x [f ( x) mx ] n
x
Si dice che la retta di equazione y mx n è un asintoto obliquo a sinistra
per il grafico della funzione y f ( x) se esistono finiti i seguenti limiti:
f ( x)
lim x
m con m 0 e lim x [f ( x) mx ] n
x
23)
Rapporto incrementale
Si dice rapporto incrementale della funzione y f (x) relativo al punto di ascissa
x 0 e all’incremento h la quantità:
y
x
f ( x 0 h) f ( x 0 )
h
E precisamente si chiama rapporto incrementale destro se h 0 , mentre si dice
rapporto incrementale sinistro se h 0 .
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24)
Significato geometrico di rapporto incrementale
Il rapporto incrementale di una funzione nell’intorno di un suo punto è il
coefficiente angolare della retta secante passante per il punto dato e per il punto
di ascissa incrementata.
25)
Derivata di una funzione
Chiamasi derivata della funzione y f (x) nel suo punto di ascissa x 0 il limite,
se esiste ed è finito, del rapporto incrementale al tendere a zero dell’incremento h
della variabile, ossia: lim h0
f ( x 0 h) f ( x 0 )
. La derivata della funzione
h
y f (x) nel punto di ascissa x 0 si suole indicare con una qualunque delle
seguenti notazioni: y ( x 0 ) , f ( x 0 ) oppure f ( x 0 ) .
26)
Significato geometrico della derivata di una funzione
La derivata di una funzione in un suo punto è uguale al coefficiente angolare
della tangente alla curva in quel punto.
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