Geometria euclidea dello spazio
Presentazione n. 6
Solidi di rotazione
Prof. Daniele Ippolito
Liceo Scientifico “Amedeo di Savoia” di Pistoia
Solidi di rotazione
Un solido di rotazione è generato dalla rotazione di una figura
piana attorno ad una retta, detta asse di rotazione. In genere,
l’angolo di rotazione è un angolo giro.
Cilindro
Si dice cilindro (retto) il solido generato dalla rotazione
completa di un rettangolo attorno ad una retta passante per un
suo lato.
Un cilindro può essere visto anche
come il solido a cui tende un prisma
la cui base è un poligono regolare
con un numero infinito di lati.
L’asse di rotazione è detto asse del cilindro.
I due cerchi generati dalla rotazione si
dicono basi del cilindro.
I due lati del rettangolo perpendicolari
all’asse sono detti raggi del cilindro.
La superficie descritta dalla rotazione del
segmento di partenza si dice superficie
laterale.
La distanza tra le due basi è detta altezza del cilindro.
h=2r
Un cilindro si dice equilatero se l’altezza è pari
al diametro di base.
Posizioni tra un piano e un cilindro
Dati un cilindro e un piano parallelo al suo asse, il piano può
essere:
b) tangente (ha
in comune una
generatrice)
a) esterno (non ha
punti comuni)
c) secante (ha
in comune un
rettangolo)
Cono
Si dice cono il solido generato dalla rotazione completa di un
triangolo rettangolo attorno ad una retta passante per uno dei
suoi cateti.
L’asse di rotazione è detto
asse del cono.
Il cerchio generato dalla
rotazione si dice base del
cono.
La superficie descritta dal
segmento in rotazione è
detta superficie laterale.
Il cateto attorno al quale avviene la
rotazione è detto altezza del cono.
L’ipotenusa del triangolo in rotazione
è detta apotema del cono.
L’intersezione tra l’apotema
l’altezza è detta vertice del cono.
Vale la relazione:
e
h2 + r2 = a2
L’angolo delimitato dall’altezza e dall’apotema è detto
semiapertura del cono.
a=2r
Un cono si dice equilatero se l’apotema è pari
al diametro di base.
Posizioni tra un piano e un cono
Dati un cono di semiapertura e un piano passante per il suo
vertice, formante un angolo b con l’asse del cono, allora:
b
a) b > → nessuna
intersezione oltre al
vertice
b
b
b) b = → il
piano è
tangente (ha in
comune una
generatrice)
c) b < → il piano è secante
(ha in comune un triangolo)
Tronco di cono
Un tronco di cono si ottiene
sezionando un cono con un piano
parallelo alla base.
Può essere visto anche come la
rotazione di un trapezio rettangolo
attorno alla sua altezza.
La distanza tra le due basi è detta altezza del tronco.
Il lato obliquo del trapezio è detto apotema del tronco.
Sfera
Si dice sfera il solido generato dalla rotazione di un semicerchio
attorno al suo diametro.
Una superficie sferica si può
definire come un luogo di punti
nello spazio equidistanti da un
punto detto centro.
La distanza dei punti della
superficie dal centro è detta
raggio della sfera.
Posizioni tra una retta e una sfera
Date una retta e una sfera, la retta può essere:
a) esterna (non ha
punti comuni)
.P
c) secante (ha
in comune un
segmento)
b) tangente (ha
in comune un
punto)
Posizioni tra un piano e una sfera
Dati un piano e una sfera, il piano può essere:
b) tangente (ha
in comune un
punto)
a) esterno (non ha
punti comuni)
.
P
c) secante (ha
in comune un
cerchio)
Parti della sfera e della superficie sferica
Dall’intersezione con un piano, la superficie
sferica è divisa in due calotte sferiche; la
sfera in due segmenti sferici.
La porzione di superficie sferica compresa
tra due piani paralleli è detta zona sferica;
la porzione di sfera è detta segmento
sferico a due basi.
Dato un diedro avente origine su una retta
passante per il centro di una sfera, si dice
fuso sferico la porzione di superficie sferica
interna al diedro; la porzione di sfera
interna al diedro è detta spicchio sferico.
(a)
(b)
Si dice settore sferico il solido generato dalla rotazione di un
settore circolare attorno (a) ad uno dei suoi raggi o (b) attorno
ad una retta passante dal centro del settore e non avente altri
punti in comune con esso.
Solidi inscritti e circoscritti a solidi di rotazione
Alcuni esempi (non esaustivi)
Prisma circoscritto (a) o inscritto (b) in
un cilindro: le basi del prisma sono
circoscritte/inscritte
alle basi del
cilindro.
(a)
(b)
Piramide circoscritta (a) o inscritta (b)
in un cono: i vertici coincidono e la
base della piramide è circoscritta/
inscritta alla base del cilindro.
Cilindro circoscritto ad una sfera: la sfera è
tangente alle basi e alla superficie laterale del
cilindro.
Cilindro inscritto in una sfera: il cilindro e la
superficie sferica hanno in comune le
circonferenze di base del cilindro.
Cono circoscritto ad una sfera: la sfera è
tangente alla base e alla superficie laterale
del cono.
Cono inscritto in una sfera: il vertice del
cono è sulla superficie sferica; il cono e la
superficie sferica hanno in comune la
circonferenza del cono.
