Esame di stato 2015
Tema di matematica
Quesito 2
Dimostrare che il volume del tronco di cono è espresso dalla formula:
1
V = 3 r $ h $ ^ R2 + r2 + R $ rh ,
dove R ed r sono i raggi e h l’altezza.
La soluzione
Un tronco di cono può essere visto come il solido ottenuto dalla rotazione di un segmento attorno
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all’asse delle x (come mostrato nella seguente figura).
y
R
r
O
x=h
x
Il segmento passa per i punti ( 0 , r ) e ( h , R ). L’equazione della retta che lo contiene è quindi:
y-r
x-0
R-r
R-r = h-0 " y = h $x+r.
Usando la formula per calcolare il volume dei solidi di rotazione, possiamo ora passare alla dimostrazione:
1
Esame di stato 2015
Tema di Matematica
h
V=r
h
# y dx = r # a R h- r x + r k dx =
2
0
2
0
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3 h
h
h
a R - r x + rk E = r
6R 3 - r 3@ =
= r;
h
h
^
3^ R - rh
3
R
r
0
rh ^
=
R - r h^ R 2 + rR + r 2h =
3 (R - r )
rh
V = 3 ^ R 2 + rR + r 2h .
2
