1. RETTE E PIANI NELLO SPAZIO
1.1 Gli assiomi dello spazio
Assioma 1: Se due punti appartengono ad un piano, la retta che passa per essi appartiene al piano.
Assioma 2: Tre punti distinti e non allineati appartengono ad uno ed un solo piano.
Teorema 1: Per una retta ed un punto non appartenente ad essa passa uno ed un solo piano.
Teorema 2: Due rette incidenti determinano uno ed un solo piano.
Teorema 3: Due rette parallele determinano uno ed un solo piano.
Assioma 3: Un piano è un sottoinsieme proprio dello spazio
Teorema 4: Lo spazio contiene infiniti piani ed infinite rette.
Assioma 4: ( di partizione dello spazio) Ogni piano divide l’insieme dei punti dello spazio che non gli
appartengono in due sottoinsiemi tali che:
1. se due punti qualsiasi appartengono ad uno stesso sottoinsieme, allora il segmento
che ha per estremi tali punti non ha punti comuni con il piano;
2. se due punti qualsiasi appartengono a sottoinsiemi diversi, allora il segmento che
ha per estremi tali punti ha un punto in comune con il piano.
Definizione: Dato un piano α, si chiama semispazio l’insieme costituito da α e da uno dei due sottoinsiemi in cui lo spazio è diviso dal piano α. Il piano α si chiama origine del semispazio.
1.2 I piani e le rette nello spazio
Se una retta ha due punti che appartengono al piano α, essa giace su α. Se una retta non giace su di
un piano può avere in comune con esso al massimo un punto. Si può concludere che:
una retta ed un piano sono incidenti se hanno un solo punto comune: r ∩ α = { A}
una retta ed un piano sono paralleli se non hanno punti comuni: r ∩ α = ∅ , oppure se la retta
appartiene al piano: r ∩ α = r ∈ α .
1.3 Le rette nello spazio
Se due rette appartengono allo stesso piano si dicono complanari.
Nello spazio due rette possono essere:
incidenti, se hanno un solo punto comune; due rette incidenti come conseguenza dell’assioma 2
sono sempre complanari;
parallele, se sono complanari e non hanno punti comuni o coincidono;
sghembe, se non sono complanari. Due rette sghembe non si intersecano.
1
1.4 I piani nello spazio
Teorema 5: Se due piani distinti hanno un punto comune, allora hanno comune una retta che passa per quel punto.
Nello spazio due piani possono essere:
secanti, se hanno una retta comune. Tale retta è detta intersezione dei due piani;
paralleleli, se coincidono o non hanno punti comuni.
Fissata una retta r, esistono infiniti piani che contengono r.
Definizione: Un fascio proprio di piani è l’insieme di tutti i piani che hanno una retta comune,
detta asse o sostegno del fascio.
Definizione: Una stella di piani è l’insieme di tutti i piani che contengono il punto P, detto centro della stella.
1.5 Perpendicolarità tra rette e piani
Teorema 6: Se una retta, che interseca un piano in un punto, è perpendicolare a due rette del piano che passano per quel punto, allora è perpendicolare a tutte le rette del piano che passano per quel punto.
Teorema 7: Le perpendicolari ad una retta data in un suo punto appartengono tutte allo stesso piano.
Definizione: Una retta r ed un piano α di dicono perpendicolari se si intersecano in un punto P e se la retta è perpendicolare a tutte le rette del
piano che passano per P, in simboli r ⊥ α .
Il punto P è detto piede della perpendicolare.
Definizione: Una retta r si dice obliqua a un piano α se interseca il piano in un punto P e non è perpendicolare ad esso.
2
Teorema 8: DELLE TRE PERPENDICOLARI: se dal piede di una
retta r perpendicolare ad un piano si conduce la perpendicolare s ad una
qualunque retta del piano t, quest’ultima è perpendicolare al piano determinato dalle prime due rette.
Teorema 9: Per un punto dello spazio è possibile condurre una ed una
sola retta perpendicolare ad un piano dato.
Teorema 10: Fissati una retta r ed un punto P, esiste ed è unico il piano
perpendicolare a r passante per P.
Teorema 11: Il segmento che congiunge un punto P esterno ad un piano
con il piede della perpendicolare condotta da P al piano è minore di ogni
altro segmento che congiunge il punto P con un qualsiasi altro punto del
piano.
Definizione: La distanza di un punto P da un piano α è il segmento che ha
per estremi il punto P e il punto A, piede della perpendicolare condotta dal
punto P al piano.
Il punto A è detto proiezione di P su α.
Sia r una retta che interseca il piano α in un punto Q e sia S il piede
della perpendicolare condotta da un qualunque punto di r ad α. Tutte
le proiezioni di r su α appartengono ad una stessa retta, detta proiezione di r.
Tra tutti gli angoli acuti che una retta r, obliqua a un piano α, forma
con tutte le rette del piano che passano per il loro punto di intersezione, quello che la retta forma con la sua proiezione su α è il minore.
Definizione: L’angolo acuto che una retta r obliqua ad un piano forma
con la sua proiezione sul piano si dice angolo della retta con il piano.
1.6 Parallelismo tra rette nello spazio
Per il teorema 1 sappiamo che per una retta ed un punto al di fuori di essa passa uno ed un solo piano, perciò, visto l’assioma di Euclide, si deduce che esiste ed è unica nello spazio una retta parallela ad una retta assegnata passante per un punto assegnato.
Teorema 12: Se due rette sono parallele ogni piano che interseca l’una interseca anche l’altra.
3
Teorema 13: Due rette perpendicolari ad uno stesso piano sono parallele.
Teorema 14: Se due rette sono parallele, allora ogni piano perpendicolare ad una è perpendicolare
anche all’altra.
Definizione: Si definisce stella di rette parallele l’insieme di tutte le rette parallele ad una retta
assegnata.
Date due rette sghembe a e b, da un punto O dello spazio conduciamo due rette
r ed s parallele rispettivamente ad a ed a b. Le rette r ed s determinano un piano. L’angolo acuto o retto che esse formano si dice angolo delle due rette
sghembe. Se tale angolo è retto le due rette sghembe si dicono perpendicolari.
1.7 Parallelismo tra rette e piani
Teorema 15: Se una retta è parallela ad una retta di un piano, allora è parallela al piano.
Teorema 16: Se una retta è parallela ad un piano, ogni piano che passa per
essa e incontra il piano dato interseca il piano lungo una retta parallela alla
retta data.
Teorema 17: Assegnati una retta ed un piano tra loro paralleli, due rette parallele, incidenti la retta e il piano dato, intercettano su quella retta e su quel
piano segmenti congruenti.
Definizione: La distanza di una retta parallela ad un piano è la distanza di un punto qualunque
della retta dal piano stesso.
1.8 Parallelismo tra piani
Definizione: Due piani sono paralleli se non hanno punti comuni oppure se
coincidono.
Teorema 18: Se due rette si intersecano e sono parallele ad un piano, allora il
piano da esse determinato è parallelo al piano dato.
Teorema 19: Due piani perpendicolari alla stessa retta sono paralleli.
4
Teorema 20: Due piani paralleli sono intersecati da uno stesso piano secondo rette parallele.
Teorema 21: Nell’insieme dei piani la relazione di parallelismo è una relazione di equivalenza.
Definizione: Un fascio di piani paralleli è l’insieme di tutti e soli i piani
paralleli ad un piano assegnato.
Definizione: La distanza tra due piani paralleli è la distanza di un qualsiasi punto di un piano dall’altro piano.
1.9 Il teorema di Talete
Teorema 22: Un fascio di piani paralleli determina su due
rette trasversali segmenti direttamente proporzionali.
1.10 I diedri
Definizione: Un angolo diedro è ciascuna delle due parti di spazio delimitata da due
semipiani che hanno la stessa origine, compresi i due semipiani. I semipiani sono detti
facce del diedro e l’origine spigolo del diedro.
I punti che appartengono al diedro ma non alle sue facce si dicono interni, quelli che
non appartengono al diedro e alle sue facce si dicono esterni. In figura A è interno e B è
esterno.
Se i due semipiani aventi la stessa origine r coincidono determinano due diedri, il primo costituito
dal solo semipiano di origine che è il diedro nullo e il secondo costituito da tutti i punti dello spazio
che è il diedro giro.
Un diedro si dice piatto se le due facce sono una il prolungamento dell’altra.
5
Due diedri sono consecutivi se hanno lo stesso spigolo ed una faccia comune, mentre le altre due sono opposte rispetto alla faccia comune.
Due diedri sono adiacenti se sono consecutivi e le facce non comuni appartengono
allo stesso piano.
Un diedro si dice convesso se non contiene il prolungamento delle sue facce, concavo in caso contrario.
Due diedri sono congruenti se esiste un movimento rigido che li sovrappone punto per punto.
Definizione: La sezione normale di un diedro è l’angolo che costituisce l’intersezione di un piano perpendicolare allo spigolo del
diedro e il diedro stesso.
Teorema 23: Le sezioni normali di uno stesso diedro sono congruenti.
Teorema 24: Condizione necessaria e sufficiente affinché due diedri siano congruenti è che le loro
sezioni normali siano congruenti.
Definizione: Due diedri si dicono supplementari se la loro somma è un diedro piatto.
Definizione: Due diedri si dicono complementari se la loro somma è un diedro retto.
Definizione: Due diedri sono opposti allo spigolo se le facce di uno sono il prolungamento di
quelle dell’altro.
Due diedri opposti allo spigolo sono congruenti perché hanno sezioni normali congruenti (angoli opposti al vertice).
6
1.11 Piani perpendicolari
Definizione: Due piani α e β si dicono perpendicolari se si intersecano formando quattro diedri.
Definizione: Due piani α e β si dicono obliqui se si intersecano e non sono perpendicolari.
Teorema 25: Se una retta è perpendicolare ad un piano, allora ogni piano che passa per essa è perpendicolare al piano dato.
Hp: r ⊥ α
Th: α ⊥ β
r∈β
Teorema 26: Se due piani sono perpendicolari ogni retta, che appartenga ad uno dei due piani e sia
perpendicolare alla retta intersezione dei due piani, è perpendicolare all’altro piano.
Hp: α ⊥ β α ∩ β = t
r∈β
Th: r ⊥ α
r ⊥t
Teorema 27: Se due piani sono perpendicolari e da un punto di essi si conduce la perpendicolare
all’altro, tale perpendicolare appartiene al primo piano.
Teorema 28: Se una retta non è perpendicolare ad un piano esiste ed è unico il piano che contiene
la retta ed è perpendicolare al piano dato.
1.12 Distanza tra due rette sghembe
Teorema 29: Date due rette sghembe esiste ed è unica una retta perpendicolare ad entrambe.
Il segmento intercettato sulla retta perpendicolare dalle stesse rette
sghembe si dice distanza tra le due rette. In figura il segmento DQ è la
distanza tra le rette sghembe r ed s.
7
1.13 Angoloidi
Definizione: È dato nello spazio un numero n ≥ 3 di semirette aventi
la stessa origine V e tali che, considerate in un certo ordine:
tre semirette consecutive non appartengono allo stesso piano,
il piano individuato da ogni coppia di semirette consecutive lasci
le altre in uno stesso semispazio.
La figura formata dagli angoli individuati dalle coppie di semirette
consecutive si chiama superficie piramidale convessa indefinita.
Il punto V è detto vertice della superficie piramidale convessa.
Le semirette si dicono spigoli della superficie piramidale convessa.
Gli angoli sono detti facce della superficie piramidale convessa.
Definizione: L’angoloide convesso è la figura formata da una superficie piramidale convessa indefinita e dai suoi punti interni.
Il vertice della superficie piramidale convessa è il vertice dell’angoloide.
Gli spigoli della superficie piramidale convessa sono gli spigoli dell’angoloide.
Le facce della superficie piramidale convessa sono le facce dell’angoloide.
I diedri formati da due facce consecutive si dicono diedri dell’angoloide.
Un angoloide si dice regolare se ha tutti i diedri congruenti e tutte le facce congruenti.
Possiamo classificare un angoloide secondo il numero delle sue facce; una classificazione è presente
nella seguente tabella:
Teorema 30: In ogni triedro una faccia è minore della somma delle altre
due e maggiore della loro differenza.
8
Teorema 31: In ogni angoloide una faccia è minore della somma delle altre.
Teorema 32: In ogni angoloide la somma delle facce è minore di un angolo giro.
9
