frazioni algebriche 2

LE FRAZIONI ALGEBRICHE
Moltiplicazione, divisione e potenza
Per eseguire ognuna di queste operazioni occorre per prima cosa scomporre in fattori sia i
numeratori sia i denominatori e fare le opportune condizioni di esistenza. Quindi:
a) moltiplicazione: semplificare in croce (ossia un numeratore con un denominatore) i fattori
uguali e poi svolgere i calcoli
Esempio
x 2 − 4 x 2 − 1 ( x + 2 )( x − 2 ) ( x + 1)( x − 1)
⋅
=
⋅
= ( x + 2 )( x − 1)
x +1 x − 2
x +1
x−2
C. E.
x + 1 ≠ 0 → x ≠ −1
x−2≠0→ x ≠ 2
b) divisione: 1. invertire la seconda frazione, fare la nuova condizione di esistenza, e
trasformare l’operazione in una moltiplicazione
2. semplificare in croce i fattori uguali e svolgere la moltiplicazione
Esempio
x+3 x+3
x + 3 x +1 1
:
=
⋅
=
2
x + x x + 1 x( x + 1) x + 3 x
x≠0
x + 1 ≠ 0 → x ≠ −1
nuova C. E. x + 3 ≠ 0 → x ≠ −3
C. E.
c) potenza: 1. semplificare gli eventuali fattori comuni a numeratore e denominatore
2. elevare a potenza tutti i fattori che compaiono sia a numeratore sia a denominatore
Esempio
3


1
x +1
 x +1 
 1 
 = 
 2
 = 
 =
(x − 1)3
 x −1
 x −1
 ( x + 1)( x − 1) 
3
3
ESERCIZI
Dal libro di algebra:
Esercizi: p. C180 n° 560, 561, 562
p. C186 n° 622, 623
p. C191 n° 672, 673
p. C194 n° 715, 716, 717
C. E.
x + 1 ≠ 0 → x ≠ −1
x −1 ≠ 0 → x ≠ 1
Risolvere i seguenti esercizi con le frazioni algebriche:
2a + b
3x 2
⋅
x2
4a 2 − b 2
x2 − y2
x 2 + xy
y−x
⋅ 2
⋅
2
2
2
x
x + 2 xy + y x − 2 xy + y
x 2 −1 6x3
12
⋅
⋅
15 x x − 1 x + x 2
a 2 + 5a + 4 a 2 − a + 1 a 2 − 8a + 16
⋅ 2
⋅
6
a3 +1
a − 16
 ab + b 


 a +1 
2
3
 a 2 − b2   a + b 

 ⋅  2
2 
 a+b  a −b 
a3 −1 a2 + a +1
:
a2 −1 a2 + a
8a 3
4a 2 b
2a
:
:
3
3
2
2
a − b a + ab + b ab − b 2
a 2 − 6a + 9 3a + a 2
9 − a2
⋅
:
a 2 + 3a a 2 − 5a + 6 a − 2
1 
1  2 1 

a + ⋅a −  : a − 2 
a 
a 
a 

a+b a−b a−b 
−
− 1

:
a−b a+b a+b 
4