n-1

Funzioni algebriche
intere razionali
… cioè la funzione polinomiale
y  Pn (x)


È continua e derivabile in tutto R
Non ha asintoti
Semplici esempi … da sapere
y
La funzione potenza con
esponente dispari

yx
n
x




… e ancora
y
La funzione potenza con
esponente pari

yx
n

x



In generale cosa si può dire ?
Teorema fondamentale
dell’algebra
Un’equazione di grado n
ha al massimo n soluzioni reali.
Quindi…
Una funzione polinomiale
di grado n ha al massimo
•n intersezioni con l’asse delle ascisse
•n-1 punti stazionari
(essendo la derivata prima un polinomio di grado n-1)
•n-2 flessi
(essendo la derivata seconda un polinomio di grado n-2 )
… per esempio
Il grafico di un polinomio di terzo grado, cioè
una cubica è caratterizzato da:
• un punto di flesso (eventualmente a tangente orizzontale)
• due estremanti (max e min) oppure nessun estremante
• tre intersezioni con l’asse delle ascisse (eventualmente 2
coincidenti) oppure una sola intersezione
cubica.wp2
Il grafico di un polinomio di quarto grado è
caratterizzato da:
• due punti di flesso o nessuno
• tre estremanti oppure uno
• due intersezioni con l’asse delle ascisse (al limite
coincidenti) oppure quattro intersezione (al limite due
coincidenti)
quarto.wp2
Funzioni algebriche
fratte razionali
… cioè la funzione del tipo
N ( x)
y
D( x)
dove numeratore e denominatore sono polinomi



Ha punti di discontinuità di 2° specie e quindi
asintoti verticali,dove si annulla il denominatore
Ha asintoti orizzontali se il grado del numeratore
è minore o uguale a quello del denominatore
Ha asintoti obliqui se il numeratore è di 1 grado
superiore al denominatore
nel caso in cui non è possibile semplificare la frazione
Semplici esempi … da sapere
y
1
y n
x


x







con esponente dispari

… e ancora
y
1
y n
x



x






con esponente pari

…un caso notevole
Polinomio di 2 grado
y
Polinomio di 1 grado
È un’iperbole


Ha un asintoto verticale
Ha un asintoto obliquo
(orizzontale se il numeratore è di 1° grado)


Non ha flessi
Ha un minimo e un massimo, oppure non ha
estremanti
iperbole.wp2
nel caso in cui non è possibile semplificare la frazione