NUMERI RAZIONALI
Definizione. Siano a e b due numeri interi (o relativi) con b
diverso da 0, si chiama frazione il simbolo a/b, che indica il
quoziente tra a e b.
N.B.
Non hanno significato scritture come:
1/0, 8/0, 140/0,
qualsiasi numero/0
Osservazione.
• Cosa significa dividere per 1? Cioè che significato ha il
simbolo a/1? Il risultato è il numeratore.
• Sia b un numero intero diverso da zero, cosa significa 0/b? Il
risultato è 0.
Problema. Come stabilire un ordine nell'insieme delle frazioni?
Definizione. Due frazioni a/b e c/d si dicono equivalenti se si
verifica
ad=bc
Definizione. Una frazione si dice ridotta ai minimi termini se
numeratore e denominatore sono numeri primi tra loro. (Si ricordi
che due o più numeri sono primi tra loro se ammettono come unico
divisore comune solamente l'unità).
PROPRIETA' INVARIANTIVA
Moltiplicando numeratore e denominatore di una frazione per uno
stesso numero, diverso da zero, si ottiene una frazione equivalente
a quella di partenza. Analogamente, dividendo numeratore e
denominatore di una frazione per uno stesso numero diverso da
zero, si ottiene una frazione equivalente a quella data.
Regoletta utile: per ridurre una frazione ai minimi termini è
sufficiente dividere numeratore e denominatore per il loro MCD.
Come confrontare due o più frazioni:
1. si scrivono le frazioni equivalenti che hanno il medesimo
denominatore e poi si confrontano i numeratori;
2. siano a/b e c/d due frazioni, per confrontarle è sufficiente
confrontare il prodotto a d con il prodotto b c. Precisamente
• a/b > c/d se a d > b c;
• a/b = c/d se a d = b c;
• a/b > c/d, se a d > b c
OPERAZIONI IN Q
SOMMA. La somma di due numeri razionali concordi (cioè
dello stesso segno) è il numero razionale che ha segno uguale
a quello degli addendi e valore assoluto uguale alla somma
degli addendi. La somma di due numeri razionali discordi è
il numero razionale che ha segno uguale a quello
dell'addendo che ha valore assoluto maggiore e valore
assoluto pari alla differenza tra il maggiore e il minore dei
valori assoluti dei due numeri.
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•
Ricordiamo, prima, come si effettua la somma tra frazioni
dello stesso segno. Per semplicità consideriamo due frazioni
positive. Due frazioni si possono sommare SOLAMENTE
quando hanno lo stesso denominatore e in questo caso la
somma è data da quella frazione che ha:
denominatore: lo stesso denominatore;
numeratore: la somma dei numeratori.
Domanda. Cosa accade se le due frazioni non hanno lo
stesso denominatore?
Dobbiamo ridurre questo caso al precedente, cioè,
utilizzando frazioni equivalenti, scrivere due frazioni con lo
stesso denominatore in cui la prima sia equivalente alla prima
originaria e la seconda equivalente alla seconda originaria.
Lo stesso denominatore, detto denominatore comune, è il
minimo comune multiplo tra i denominatori!!!
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PRODOTTO. Il prodotto di due numeri razionali è il
numero razionale che ha:
segno positivo se i due fattori sono concordi, segno negativo
se sono discordi;
valore assoluto uguale al prodotto dei valori assoluti dei due
fattori.
(Ricordiamo che il prodotto di due numeri razionali è quel
numero razionale che ha per numeratore il prodotto dei
numeratori, per denominatore il prodotto dei denominatori e
per segno la regola del segno appena indicata.)
QUOZIENTE. Il quoziente di due numeri razionali, di cui il
secondo non nullo, è uguale al prodotto del primo per il
reciproco del secondo.
