Programma Matematica per Chimica (aa 2008/9) - M

Programma Matematica per Chimica (a.a. 2008/9) - M.Cailotto M.Candilera
Nozioni di base. Insiemi (appartenenza, inclusione, unione, intersezione, differenza, prodotto cartesiano, potenza), insiemi numerici: naturali, interi (combinatorica, principio di induzione, coefficienti binomiali e formula (del binomio) di Newton), razionali (nozione di campo ordinato, massimi e minimi, maggioranti e minoranti), reali (estremi superiori e inferiori, completezza; radici, potenze, esponenziali, logaritmi,
trigonometria). Richiami su equazioni e disequazioni reali. Funzioni tra insiemi (iniettività, suriettività,
biiettività, funzioni identiche, composizione di funzioni e funzioni inverse, (de)crescenza in senso lato e
stretto).
Successioni. Definizione e nozione di limite (proprietà dei limiti, retta reale estesa con i simboli ∞, ±∞,
forme indeterminate). Successioni limitate, monotone, convergenti, divergenti, indeterminate. Successioni
geometriche e esponenziali. Definizione di e (via disuguaglianza medie geom./aritm.). Confronto di infiniti
e infinitesimi, stime asintotiche (casi notevoli: logaritmi/potenze/esponenziali).
Calcolo in una variabile reale. Funzioni di una variabile reale: dominio di esistenza, grafico; funzioni
simmetriche, antisimmetriche, limitate, monotone, periodiche. Funzioni elementari: potenze, esponenziali,
logaritmi, trigonometriche sia circolari che iperboliche, trigonometriche inverse (archi e settori). Nozione
di limite, sia tramite successioni che tramite intorni; proprietà e calcolo dei limiti, confronto, cambio di
variabile; limiti notevoli; stime asintotiche. Asintoti (orizzontali, verticali, obliqui). Nozione di continuità
e proprietà fondamentali (permanenza del segno, proprietà degli zeri, di Weierstrass, dei valori intermedi),
prolungamento per continuità. Nozione di derivata (limite del raporto incrementale), notazioni (Lagrange,
Leibnitz, Cauchy, Newton) e derivate successive. Regole di derivazione (prodotto, composizione, inversa),
derivate di funzioni elementari. Proprietà della derivazione (punti estremali e stazionari, teoremi di Fermat,
Lagrange, monotonia, De L’Hôpital). Derivata seconda e convessità (per tangenti e per corde). Studio del
grafico di una funzione. Nozioni di integrale di Riemann (somme di Cauchy-Riemann, proprietà di
calcolo: linearità, addittività sugli estremi, monotonia, teorema della media). Nozione di primitiva, funzione
integrale e teorema fondamentale del calcolo integrale. Primitive elementari; primitive di funzioni razionali,
trigonometriche. Metodi per la ricerca di primitive: sostituzione di variabile, sostituzioni notevoli, calcolo
per parti. Applicazioni: calcoli di aree, lunghezze. Funzioni non elementarmente integrabili: esponenziale
integrale, logaritmo integrale, seno integrale, integrali ellittici.
Serie. Nozione di serie, somme parziali, carattere, somma. Serie geometrica, armonica, di Mengoli,
telescopiche. Serie convergenti hanno termine generale infinitesimo. Serie a termini positivi: criteri di
confronto, confronto asintotico, rapporto, radice. Serie a segno variabile: convergenza assoluta, criterio di
Leibniz. Criterio integrale. Serie di potenze, raggio di convergenza. Approssimazione di funzioni tramite
polinomi e serie: sviluppi di Taylor e Mac Laurin con i resti di Peano (notazione di o piccolo) e Lagrange.
Sviluppi in serie delle funzioni elementari (potenze, esponenziali, trigonometriche, iperboliche, logaritmi) e
applicazioni al calcolo di limiti.
Numeri Complessi. Notazione algebrica con i (i2 = −1), operazioni, struttura di campo (non ordinabile). Parti reale e immaginaria, coniugato, modulo (disuguaglianza triangolare) e inversi. Piano di
Gauss. Forma trigonometrica, versore e argomento; interpretazione geometrica del prodotto. Potenze e
radici di numeri complessi (formule di De Moivre); radici complesse dell’unità. Teorema fondamentale
dell’algebra (polinomi irriducibili complessi e reali). Forma esponenziale dei numeri complessi (esponenziale
e trigonometria complesse; formule di Eulero). Logaritmi complessi (logaritmo principale). Potenze con base
ed esponente complessi (potenza principale).
Equazioni Differenziali (una variabile). Problemi che portano ad equazioni differenziali. Nozione
di equazione differenziale, ordine, curva integrale, integrale generale, problema di Cauchy. Equazioni del
prim’ordine: forma normale (significato geometrico e teorema di esistenza ed unicità), variabili separate e
separabili, lineari (struttura generale dell’integrale, equazioni omogenee, soluzioni particolari). Equazioni del
second’ordine: lineare, forma normale, coefficienti costanti (equazione caratteristica, integrale della omogenea
associata, ricerca di un integrale particolare tramite variazione delle costanti e metodi di somiglianza).
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Algebra e geometria degli spazi Rn . Somma di vettori e prodotto per scalari (nozione di spazio
vettoriale), combinazioni lineari di vettori. Vettori generatori, linearmente indipendenti, basi. Dimensione.
Sottospazi vettoriali: equazioni parametriche e cartesiane. Prodotto scalare in Rn : definizione, proprietà
(bilineare, simmetrico, positivo, disuguaglianze di Cauchy-Shwartz e triangolare); significato geometrico
(norma di vettori, misura di coseno dell’angolo tra vettori, ortogonalità tra vettori, significato dei coefficienti
delle equazioni cartesiane), proiezioni ortogonali. Basi ortogonali e ortonormali. Prodotto vettore in R3 :
definizione, proprietà (bilineare, antisimmetrico, ortogonale agli argomenti, teorema di Lagrange); significato
geometrico (misura dell’area del parallelogramma); prodotto misto (misura del volume del parallelepipedo).
Sottospazi affini: appoggio e direzione, equazioni parametriche e cartesiane, incidenza e parallellismo, distanze e punti di minima distanza. Formulario per R2 e R3 .
Algebra e geometria delle matrici. Spazio vettoriale delle matrici, base canonica. Prodotto
matrici-vettori e appplicazioni lineari (nucleo, immagine, formula delle dimensioni), prodotto tra matrici
e composizione di applicazioni lineari. Rango e determinante di matrici (sviluppi di Laplace, multilinearità,
alternanza). Matrici invertibili e ortogonali. Sistemi di equazioni lineari: terminologia, teorema di RouchéCapelli, metodo di riduzione di Gauss (operazioni elementari sulle righe), formula di Cramer per sistemi
quadrati invertibili. [Matrici simili e diagonalizzabilità (autovettori, autovalori, polinomio caratteristico,
molteplicità e nullità di autovalori). Forme quadratiche, matrici congruenti (metodo di completamento dei
quadrati).] Matrici simmetriche reali (enunciato e significato del teorema spettrale). [Applicazioni a coniche
e quadriche.]
Calcolo in più variabili reali. Curve: limiti, continuità, vettore e retta tangenti, lunghezza d’arco,
integrali curvilinei. Funzioni di più variabili: limiti, continuità (Weierstrass e zeri), derivate parziali e
direzionali, gradiente; differenziabilità e formula del gradiente; derivate seconde, teorema di Schwartz, matrice
Hessiana; ricerca di punti estremali, liberi e vincolati (Fermat, metodo dei moltiplicatori di Lagrange); calcolo
integrale per funzioni di più variabili (volumi, baricentri, integrali su superficie, teoremi di Guldino per
figure di rotazione). Funzioni di più variabili a valori vettoriali: limiti, continuità, differenziabilità (matrici
Jacobiane e composizione). Trasformazioni di coordinate ed elementi di volume: cambiamento di variabile
negli integrali multipli (coordinate cartesiane, cilindriche, polari). [Campi vettoriali: curve integrali, lavoro,
divergenza, rotore; campi conservativi (o con potenziale), irrotazionali, con potenziale vettore, solenoidali;
flussi di campi attraverso superficie, teoremi della divergenza e del rotore.]
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