Equazioni
Le equazioni sono uguaglianze fra due espressioni di cui almeno una contenente delle lettere (espressione letterale).
Le lettere che vi compaiono si chiamano incognite dell’equazione.
Struttura dell’equazione
L’espressione a sinistra dell’uguale si chiama primo membro; quella a destra secondo membro. Se un membro è
vuoto si mette 0.
Tipi di equazioni
Le equazioni si classificano per il numero di incognite presenti e per il grado massimo delle incognite (l’esponente
delle lettere). Ad esempio avremo:
Equazioni di primo grado ad una incognita Æ contengono solo la x
Equazioni di secondo grado ad una incognita Æ contengono la x2 e la x
Equazioni di terzo grado ad una incognita Æ contengono la x3, la x2 e la x
Equazioni di primo grado a due incognite Æ contengono la x e la y.
Quante soluzioni?
Teorema generale dell’algebra:
ogni equazione ammette tante soluzioni quanto è il suo grado.
Per cui l’equazione di primo grado ha una soluzione, quella di secondo grado due, eccetera.
Equazioni equivalenti
Si chiamano equivalenti due equazioni che ammettono le stesse soluzioni.
Principi di equivalenza delle equazioni
1° principio
Se si aggiunge o si toglie uno stesso numero o una espressione in entrambi i membri dell’equazione
allora si ottiene una equazione equivalente.
Il primo principio è importante perché ci permette di:
spostare un termine qualsiasi da un membro all’altro cambiandogli il segno (Legge del trasporto)
eliminare due termini uguali quando sono presenti in membri diversi.
2° principio
Se si divide o si moltiplica ogni membro dell’equazione per lo stesso numero allora si ottiene una
equazione equivalente.
Il secondo principio è importante perché ci permette di:
eliminare lo stesso mcm da entrambi i membri
trasformare la forma normale in soluzione dell’equazione.
Risolvere le equazioni
Risolvere le equazioni vuol dire trovare quei valori che, sostituiti alle incognite, rendono vera l’uguaglianza.
Le soluzioni delle equazioni si chiamano anche radici dell’equazione.
Forma normale di una equazione
Si chiama forma normale una equazione nella quale nel primo membro compare solo un monomio in x e nel
secondo membro solo un numero (senza la x).
Forma normaleÆ ax = b (con a e b numeri relativi interi)
Dalla forma normale si ottiene la soluzione facendo x=b/a
Esempi: se 3x=6 allora x=6/3=2
se 4x=-1 allora x=-1/4 se 5x=0 allora x=0/5=0
Discussione dell’equazione
Riducendo una equazione a forma normale ax = b si possono avere i seguenti 4 casi:
esempio soluzione
valore di a
valore di b
INDETERMINATA (sempre vera=IDENTITA’)
0
0
0x=0
0
Diverso da 0
0x=-4 IMPOSSIBILE (sempre falsa)
Diverso da 0
Diverso da 0
0
Diverso da 0
3x=0
2x=-7
x=0 (determinata nulla)
x=a/b (determinata)
Risolvere le equazioni di primo grado con termini interi:
1.
2.
3.
4.
5.
liberare da tutte le parentesi
trasportare tutti i termini con la x nel primo membro
trasportare tutti i termini noti nel secondo membro
scrivere la forma normale ax=b
trovare la soluzione
Risolvere le equazioni di primo grado con termini frazionari:
1.
2.
3.
4.
5.
liberare da tutte le parentesi
calcolare un unico mcm per tutti i termini
trasformare i termini con l’mcm
eliminare l’mcm
risolvere ora l’equazione con i termini interi (vedi sopra)
Verifica dell’equazione.
Verificare l’equazione significa sostituire alla incognita, in entrambi i membri, il valore trovato; si ottengono due
espressioni numeriche che – risolte - devono dare il medesimo risultato. Ciò vuol dire che per quel valore
l’uguaglianza esiste. In caso contrario non si ottiene una uguaglianza ed il valore sostituito non è la soluzione giusta.
Problemi risovibili con equazioni
Le equazioni sono un potente mezzo per risolvere innumerevoli problemi di aritmetica, geometria e scienze.
Per riuscire a risolvere un problema con una equazione è necessario analizzare bene il testo del problema per trovare le
informazioni che ci permettono di “costruire” l’equazione risolvente. In generale bisogna fare due cose:
1. Trovare nel testo una informazione che ci permetta di indicare l’incognita o le incognite x.
2. Trovare nel testo il modo di costruire una uguaglianza che sarà la struttura dell’equazione.
Una informazione può essere usata solo una volta. Se la costruzione è esatta, la soluzione dell’equazione restituirà una
risposta corretta.
Trucchi:
se devi trovare due numeri la cui somma è 20 alloraÆ uno lo chiami x e l’altro (20-x)
se devi trovare due numeri interi consecutivi allora Æ il minore lo chiami x e l’altro (x+1)
se devi trovare due numeri tali che uno sia i ¾ dell’altro allora Æ il maggiore lo chiami x e l’altro ¾ x
se devi trovare due numeri che sono in rapporto di 2 a 7 allora Æ il primo lo chiami 2x e l’altro 7x
Esempio trova 2 numeri sapendo che la loro somma è 64 ed il loro rapporto è di 3 a 5.
Chiamo i due numeri: il minoreÆ3x
il maggioreÆ5x
So che la loro somma è UGUALE a 64; costruisco con questa uguaglianza l’equazione: 3x + 5x = 64
La risolvo.
8x = 64
x=8
la x vale 8 per cui Æ Il primo numero che era 3x, sarà 24 Æ il secondo che era 5x, sarà 40.
I numeri cercati sono 24 e 40.
2
