Reti elettriche
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TEORIA DELLE RETI ELETTRICHE - Santomauro Mauro - E-mail: [email protected] Bibliografia: Chua Leon O., Kuh Ernest S., Desoer Charles A., Fondamenti di Teoria dei Circuiti, McGraw-Hill, 1987 Modalità d’Esame: Due Prove in itinere contenenti anche domande di teoria Prova scritta seguita da un colloquio Redattore: Marone Alessandro Aiuto alla redazione: Balbo Elisa CIRCUITI DINAMICI CIRCUITI RESISTIVI CIRCUITI LINEARI BIPOLI CIRCUITI NON LINEARI DOPPI BIPOLI INDICE Introduzione ai Bipoli Lineari ..................................................... 5 Leggi di Kirchhoff e Ohm ........................................................................ 5 Metodi di Risoluzione ............................................................................ 14 Teorema di Tellegen .............................................................................. 19 Doppi Bipoli ................................................................................ 20 Generatori Pilotati .................................................................................. 22 Proprietà dei Doppi Bipoli ..................................................................... 23 Direzionalità ......................................................................................................... 23 Reciprocità ............................................................................................................ 26 Simmetria.............................................................................................................. 29 Passività ................................................................................................................ 30 Collegamento di Doppi Bipoli ............................................................... 32 Analisi Nodale Modificata ..................................................................... 38 Generatore Ideale Di Corrente.............................................................................. 39 Generatore Ideale Di Tensione ............................................................................. 39 Generatore Di Tensione Pilotato In Tensione ...................................................... 40 Generatore Di Corrente Pilotato In Tensione ....................................................... 40 Generatore Di Tensione Pilotato In Corrente ....................................................... 41 Generatore Di Corrente Pilotato In Corrente ....................................................... 42 Metodi di risoluzione ............................................................................. 45 Doppi bipoli particolari .......................................................................... 49 Trasformatore ideale ............................................................................................. 49 Giratore ................................................................................................................. 50 1 Dispositivi Non Lineari .............................................................. 52 Metodo Risolutivo Grafico per Doppi Bipoli Non Lineari .................... 58 BJT........................................................................................................................ 58 MOSFET .............................................................................................................. 61 Caso di Doppio Bipolo Lineare ............................................................................ 62 Proprietà dei Bipoli Non Lineari ............................................................ 63 Analisi di Piccolo Segnale .......................................................... 67 Amplificatore Operazionale ................................................................... 71 Circuiti Dinamici ........................................................................ 75 Metodo delle Equazioni di Stato ............................................................ 77 Degenerazioni Topologiche e Parametriche .......................................... 79 Maglie di soli condensatori .................................................................................. 79 Maglie di condensatori e generatori di tensione................................................... 79 Insieme di taglio di superfici chiuse di induttori .................................................. 80 Ιnsieme di taglio di superfici chiuse di induttori e generatori di corrente ........... 80 Esempi di degenerazioni parametriche................................................................. 81 Teorema di Sostituzione......................................................................... 82 Soluzioni delle Equazioni di Stato ......................................................... 89 Circuiti Lineari ........................................................................... 93 Circuiti Lineari del Io Ordine ................................................................. 93 Circuiti Lineari del IIo Ordine ................................................................ 97 Analisi Grafica al variare delle Autosoluzioni ..................................... 105 Circuiti Dinamici Non Lineari ................................................ 118 Circuiti Dinamici Non Lineari del Io Ordine........................................ 118 Circuiti Dinamici Non Lineari del IIo Ordine ...................................... 125 2 Circuiti Dinamici Lineari nel Dominio delle Trasformate ... 126 Calcolo delle Frequenze Naturali ......................................................... 130 Applicazione della Trasformata di Laplace ......................................... 134 Funzione di Rete .................................................................................. 136 Legame tra la Funzione di Rete e la Risposta in Frequenza ................ 141 Procedimento grafico per l’analisi di H(jω) ......................................... 144 Sintesi Passiva RLC ................................................................. 149 Come realizzare un fisicamente realizzabile ............................... 155 Espansione in Frazioni Parziali (Sviluppo di Hermite o nei poli) ..................... 155 Espansione in Funzione Continua (Lunga Divisione)........................................ 156 Impedenze con solo LC........................................................................ 160 Sviluppo in Funzioni Parziali ............................................................................. 162 Sviluppo di Funzioni Continue........................................................................... 167 Realizzazione di RC e RL .................................................................... 172 Realizzazione delle e delle ........................................................ 182 Tabella Finale ..................................................................................................... 186 Processo di Normalizzazione o Scaling................................... 188 Appendice .................................................................................. 191 Esercizio 1 ............................................................................................ 191 Esercizio 2 ............................................................................................ 193 Esercizio 3 ............................................................................................ 195 Esercizio 4 ............................................................................................ 197 Esercizio 5 ............................................................................................ 200 Esercizio 6 ............................................................................................ 202 Esercizio 7 ............................................................................................ 204 Possibili Domande Di Teoria ............................................................... 204 3 Esercizio 8 ............................................................................................ 205 Esercizio 9 ............................................................................................ 206 Esercizio 10 .......................................................................................... 207 Ia Prova in Itinere del 23 Novembre 2007............................................ 210 Esercizio 1 .......................................................................................................... 210 Esercizio 2 .......................................................................................................... 211 Esercizio 3 .......................................................................................................... 213 Esercizio 4 .......................................................................................................... 215 Esercizio 5 .......................................................................................................... 216 IIa Prova in Itinere del 28 Gennaio 2007.............................................. 217 Esercizio 1 .......................................................................................................... 217 Esercizio 2 .......................................................................................................... 220 Esercizio 3 .......................................................................................................... 221 Esercizio 4 .......................................................................................................... 223 Esercizio 5 .......................................................................................................... 224 4 Introduzione ai Bipoli Lineari Leggi di Kirchhoff e Ohm I principali metodi di analisi si basano sulle Leggi di Kirchhoff e Ohm. Legge di Kirchhoff per le Correnti (KCL) Vi sono due formulazioni equivalenti: 1. “Per ogni superficie gaussiana S di un circuito concentrato qualsiasi, in un istante arbitrario t, la somma algebrica di tutte le correnti che fuoriescono dalla superficie gaussiana S nell’istante t è uguale a 0” 0 Dove S è perciò una superficie chiusa che contiene al proprio interno un numero determinato di nodi del circuito. 2. “Per qualsiasi circuito concentrato, la somma algebrica delle correnti uscenti da un nodo è nulla in ogni istante” Quest’ultima formulazione prende il nome di Legge di Kirchhoff per le Correnti in un nodo. Risulta quindi conveniente rappresentare il circuito con un grafo: 7 A 2 1 B 4 C 3 5 6 D , , , sono i Nodi del grafo 1,2, … ,7 sono i Lati del grafo, che corrispondono ai bipoli 5 Grafo: 7 A B 2 S’ 4 3 1 C 5 6 S D È necessario indicare per ogni lato il verso della corrente (da stabilire in modo arbitrario). Quando si parla di superfici chiuse si intende delle superfici che racchiudono uno o più nodi separandoli dal resto del grafo. Ad esempio, S è una superficie chiusa che contiene solo D dentro, mentre contiene A, B e C fuori. S’ contiene invece A e B. Si introduce la nozione di insieme di taglio per rappresentare una superficie chiusa S nei grafi come un insieme di lati tolti i quali il grafo risulta suddiviso in due grafi separati. Esempio: S S’ A B A C B C D D La Legge di Kirchhoff per le correnti è quindi: ∑ 0 Dove C è il cut set (insieme di taglio). Esempio: M N Si scrive la KCL per il nodo M e per il nodo N; si ottiene che la legge di Kirchhoff relativa ad una superficie chiusa che ha all’interno un certo numero di nodi (ad esempio M e N) è la somma delle Leggi di Kirchhoff dei singoli nodi. 6 Tornando al caso in esame, per ottenere una formulazione compatta delle Leggi di Kirchhoff per ogni nodo, si può descrivere il grafo come una matrice con tante colonne quanti i lati e tante righe quanti i nodi: A B C D 1 2 3 4 5 6 7 +1 0 0 -1 +1 -1 0 0 0 +1 0 -1 0 +1 -1 0 0 0 +1 -1 0 0 -1 +1 +1 0 -1 0 Nota: è stata usata la convenzione +1 per le correnti uscenti dal nodo, -1 per le correnti entranti e 0 per indicare che il nodo non ha correnti entranti o uscenti provenienti dal ramo corrispondente. Questa convenzione è stata scelta a priori. Si osserva che, scrivendo la KCL per A, B e C, la KCL al nodo D è linearmente dipendente dalle altre; infatti, la Legge di Kirchhoff al nodo D è la somma di quelle precedenti cambiata di segno. Si possono quindi scrivere N-1 relazioni indipendenti e la matrice risulta ridondante, in quanto una riga può essere cancellata e ottenuta dalla combinazione delle tre righe precedenti: A B C D 1 2 3 4 5 6 7 +1 0 0 -1 +1 -1 0 0 0 +1 0 -1 0 +1 -1 0 0 0 +1 -1 0 0 -1 +1 +1 0 -1 0 La matrice che si ottiene prende il nome di matrice di incidenza e, nel caso in esame, risulta formata da sette colonne e tre righe. · Si può quindi esprimere la KCL in forma matriciale nel seguente modo: Dove con I si intende il vettore delle correnti dato da: 0 … Questa è la formulazione implicita per la KCL, ovvero è nella forma del tipo F(x,y) = 0, con matrici e vettori delle seguenti dimensioni: Un esempio di una funzione in forma implicita è: 1, , 1 ,1 0 1,1 0 La formulazione esplicita è invece del tipo y = f(x), in cui y è la variabile dipendente e x è la variabile indipendente. 7 Legge di Kirchhoff per le Tensioni (KVL) Essa afferma che: “La somma delle tensioni lungo una maglia è uguale a 0”. 7 A 1 B 2 C 4 3 5 6 D Una maglia è un percorso chiuso che inizia da un nodo qualsiasi, passa attraverso elementi a due terminali e termina al nodo di partenza. Di solito si utilizza la stessa convenzione per tensioni e correnti per non scrivere più grafi per lo stesso circuito. Convenzione degli Utilizzatori Convenzione dei Generatori L’importante è che tutti i bipoli abbiano la stessa convenzione. 8 Si vuole ora scrivere un numero di equazioni alle maglie che sia linearmente indipendente, e ciò si fa attraverso la definizione di albero che è legata al grafo. Un albero è un insieme di lati che godono delle seguenti proprietà: 1. Il grafo albero è connesso (cioè da un nodo vi è sempre un cammino verso ogni altro nodo) 2. Il grafo albero NON ha maglie Esempio: C B A D In nero si ha l’esempio di un albero. Il lato tratteggiato in rosso NON fa parte dell’albero e forma una maglia, poiché sta tra due nodi tra i quali, per definizione, c’è già un cammino. Vale la regola generale che se si prende un qualsiasi lato non facente parte dell’albero considerato si ottiene sempre una maglia. Si può scrivere la KVL per ogni maglia così ottenuta. 7 A 1 B 2 3 C 4 5 6 D Si costruisce una matrice mettendo nelle colonne, vicini tra loro, i lati che formano l’albero e poi gli altri lati in posizioni arbitrarie. Nelle righe si posizionano le maglie, che si formano con l’aggiunta di un lato specifico, nello stesso ordine di come sono stati posizionati i lati nelle colonne. Le maglie sono tante quante i lati che non sono di albero. 9 Lati di Albero Maglie M1 M7 M5 M6 Lati di Coalbero 2 3 4 1 7 5 6 -1 -1 0 0 -1 0 -1 +1 0 -1 +1 -1 +1 0 0 0 0 +1 0 0 0 0 +1 0 0 0 0 +1 Matrice Unitaria Ogni maglia si indica con Mx, dove x è il lato di coalbero (unico) che forma la maglia stessa. Il verso di percorrenza è quello fissato dal lato di coalbero che forma la maglia (+1). La matrice formata dalle prime 3 colonne e dalle 4 righe è relativa all’albero, la matrice quadrata formata dalle restanti colonne con le righe corrispondenti è relativa al coalbero e si può osservare che questa matrice è di rango massimo e risulta unitaria per costruzione. Indicando con , matrice delle maglie fondamentali, la matrice formata dall’unione di albero e coalbero, si ottiene: · 0 che risulta essere la formulazione implicita della KVL. La dimensione è data dal numero di lati del coalbero, che sono tutti i lati (L) meno quelli che formano l’albero stesso, i quali sono pari al numero di nodi (N) meno uno: 1 Numero di lati dell’albero = Numero di lati del coalbero = – 1 La somma da L come ci si aspettava. Perciò per trovare tutte le soluzioni di un insieme di L bipoli si hanno 2*L incognite. La metà delle relazioni cercate (L) si ottengono, come finora ricavato, con le Leggi di Kirchhoff per Tensioni e Correnti. · 0 · 0 L’altra metà delle relazioni (L) è data dalle Leggi di Ohm. 10 Si può osservare che: • Una matrice con rango massimo ha le righe linearmente indipendenti. Il rango di una matrice rettangolare, al più è pari al più piccolo tra il numero di righe e colonne. Poiché il coalbero è una matrice unitaria 4x4 (che per definizione ha rango massimo), la matrice B formata da 4x7 ha rango massimo ( rango = 4 ). Per scrivere le KVL occorre prendere un albero e fra tutti gli alberi che si possono ottenere vi è l’albero Lagrangiano, la cui particolarità è di avere la forma a stella, cioè da un nodo che fa da centro si raggiungono tutti gli altri. Questo nodo prende il nome di nodo di riferimento (terra, massa, ground). Mettendo il “-“ del voltmetro sul nodo di riferimento si possono ricavare N-1 tensioni, che possono essere assegnate al nodo e prendono il nome di potenziali o tensioni di nodo. e2 + e1 + e3 + + 0 Nodo di riferimento e4 - Proprietà: e1, e2, e3 e e4 sono tensioni indipendenti in quanto si trovano sull’albero. Si può osservare che una tensione è la differenza di due potenziali ed è definita sul lato in funzione dei potenziali che stanno ai nodi estremi di quel lato. Tutte le tensioni di lato possono essere espresse mediante le tensioni indipendenti: , , , 0 è la forma implicita. Dove g è un vettore (g1, g2) : · · · · · · · · 0 0 La forma esplicita si ottiene risolvendo il sistema: da un sistema lineare a 4 incognite e 2 equazioni, si può ottenere una soluzione dipendente da 2 variabili indipendenti: , e , . I potenziali sono un particolare insieme di tensioni indipendenti (a qualsiasi albero si consideri corrisponde un insieme di tensioni indipendenti). Si può scrivere perciò · 0 come: · , dove sono i potenziali (le tensioni indipendenti). 11 ,1 Dimensionalmente, poiché pari a , 1,1 e , la matrice deve avere dimensioni 1. La matrice lega i potenziali alle tensioni di lato; è la matrice di incidenza nodo-lato. Questa è solo una delle possibili soluzioni, che dipendono dall’albero scelto. · La KVL in forma esplicita è quindi data da: Si ottiene quindi: · · 0 Il vantaggio di questa formulazione è che la topologia del circuito è data dalla sola matrice che è molto facile da ricavare. Confronto con la teoria dei campi elettromagnetici: • · 0 0 corrisponde a , indica cioè che non vi sono pozzi o sorgenti di corrente. • · corrisponde a , indica cioè che la tensione tra due punti è indipendente dal cammino e dipende solo dagli estremi. Nota: Si ricorda che la divergenza e il gradiente sono l’uno l’operatore aggiunto dell’altro. Leggi di Ohm Per arrivare a un metodo di analisi bisogna descrivere la struttura dei bipoli tramite le Leggi di Ohm. Con bipoli lineari si intendono quei bipoli la cui caratteristica o rappresentazione geometrica è data da una retta. In forma implicita: · · I · Formulazioni esplicite: Chiamando: 0 V · , , e 12 Si ottiene: · · Analisi dei casi particolari: Se 0: Se 0: Se 0e Se 0: Se 0: Se 0e · R resistore (R) generatore ideale di tensione 0: 0 , corto circuito · G conduttanza (G) generatore ideale di corrente 0: 0 , circuito aperto Si può vedere che mentre il resistore ideale ammette sia la formulazione serie che parallelo, i generatori ideali ammettono o la sola formulazione serie o la sola formulazione parallelo. La formulazione implicita è ammessa da tutti. · In notazione matriciale: La matrice di · è diagonale. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Osservazione importante: Non è detto che le due matrici siano invertibili, ciò è possibile solo se: , Formulazione matriciale implicita: · 0 · 0 13 Metodi di Risoluzione Metodo di Analisi tramite Tabella Sparsa (STA) E’ un approccio di risoluzione delle reti a tabella sparsa. Consiste semplicemente nell’utilizzare: KCL implicita, KVL esplicita e Ohm implicita Le incognite sono: le correnti I, le tensioni V e i potenziali e. Vettore delle incognite Termini noti 0 0 N-1 I1 L 0 N-1 0 L IL 0 L 1 V1 L VL 0 L N-1 e1 L eN-1 L N-1 L Nota: L è il numero di lati mentre N è il numero dei nodi. 1 è la matrice identità di dimensioni L · 0 · · · 0 Questa tabella prende il nome di Tabella Sparsa (Sparse Tableau) in quanto contiene pochi numeri diversi da 0. 14 Esempio: I1 0 1 0 IL 0 x 0 1 x x VL 0 x 0 e1 0 x 0 0 V1 … 0 0 x eN-1 Perciò con L = 10 e N = 6 la tabella contiene 625 elementi in totale, di cui al massimo 70 (20+20+10+10+10) elementi possono essere diversi da zero. Vantaggio: non è necessaria alcuna pre-elaborazione per ottenere la matrice. Metodo di Analisi Nodale (NA) A differenza del metodo della tabella sparsa che usa la formulazione implicita per la legge di Ohm, il metodo dell’analisi nodale richiede che tutti i bipoli devono essere in formulazione parallelo. L’equazione definitiva dell’analisi nodale si ottiene dalle Leggi di Kirchhoff e dalla Legge di Ohm in formulazione parallelo: · · 0 · Sostituendo la ricavata dalla KVL esplicita nella Legge di Ohm e poi sostituendo la ricavata dalla Legge di Ohm nella KCL implicita si sono così unificate le tre equazioni in una sola: · La matrice · · dove · · deve essere quadrata e coerente con le dimensioni di : 1, · · · , · , 1 1, 1 è il vettore dei termini noti Vi è il vincolo che non possono esserci generatori ideali di tensione (è necessaria la formulazione parallelo). Tutto è descritto da generatori ideali di corrente e resistori. 15 Se un generatore ideale di tensione ha una resistenza in serie, si può fare l’equivalente Norton, altrimenti non può essere usato questo metodo. Nei bipoli è quasi sempre ottenibile, nei doppi bipoli è più complesso, e non è detto che esista la formulazione parallelo. Esempio: 5 2 A 4 B 1 C 6 3 0 ∑ è una matrice 3x3: ∑ A A B C B C 0 0 È una matrice simmetrica nel caso dei bipoli. Il metodo di Analisi Nodale è adottato nei simulatori circuitali, in quanto la matrice è direttamente ottenibile dai dati in ingresso che descrivono il circuito (vedi P-Spice). Esempio: Nome R1 R2 … N+ A A … N0 B … Valore R1[Ω] R2[Ω] … Il programma legge ogni riga e scrive informazioni sulla matrice fino a completarla. 16 Questo metodo prende il nome di Stamp Method: B A 1 A 1 1 1 1 B … C … C … … … Si individuano le 4 caselle di intersezione tra i due nodi e si mettono le transconduttanze in ognuna di esse: se gli indici sono uguali si mette il +, altrimenti si mette il . Se ci sono altri elementi già presenti si sommano. Se uno dei due nodi è il nodo di riferimento (indicato con zero), l’unica casella interessata è quella con indici uguali (di volta in volta AA, BB, CC…) Il vettore è dato dai generatori di corrente che entrano od escono dai nodi. Considerando con il + il nodo da cui esce (si è scelta una convenzione): 0 A B C N+ A 0 Nome I5 I6 · In P-Spice si ha perciò una matrice: NC C Valore I5[A] I6[A] facilmente risolvibile dal programma Proprietà: utilizzando l’analisi nodale, si può dimostrare che un circuito che abbia resistori e generatori di corrente e tensione accompagnati (cioè con resistori rispettivamente in parallelo e serie) comunque lo si costruisca, con valori di R e G > 0, ammette sempre una e una sola soluzione. R,G>0 R R Bisogna dimostrare che la matrice · · è non singolare per qualsiasi valore. Ma poiché diagonale e definita positiva, moltiplicata per e è rimane definita positiva e ha determinante diverso da 0. 17 Per avere più soluzioni o nessuna soluzione bisogna avere generatori di tensione o corrente non accompagnati. Esempio: Circuito che ha una e una sola soluzione: R R R R R R Circuito che ha zero o infinite soluzioni: V1 V2 V3 Se, nel secondo caso, i generatori hanno valori non coerenti ( posto e non si hanno soluzioni. Se la maglia funziona ( soluzioni. ), allora il circuito è mal ), allora vi sono infinite Un’altra possibilità per avere nessuna o infinite soluzioni è avere solo generatori di corrente entranti o uscenti da un nodo. In conclusione, condizione necessaria e sufficiente che un circuito di questo tipo ammetta una ed una sola soluzione è che i generatori siano accompagnati. 18 Teorema di Tellegen Se si considerano due circuiti aventi come unico vincolo di avere la stessa topologia, si ha: · · 0 Cioè i vettori di tensioni e correnti tra i due circuiti sono ortogonali tra loro: · · Sostituendo · : Si osserva che si è portata la matrice · · · 0 · del circuito 1 al circuito 2 e in quanto i due circuiti hanno la stessa topologia: Concludendo: · · 0 · 0 Nota: · e · sono chiamate potenze virtuali. Se i due circuiti hanno anche gli stessi bipoli allora sono potenze e da ciò deriva la legge che la sommatoria delle potenze in un circuito è pari a 0. Esempio di due circuiti con la stessa topologia: 19 Doppi Bipoli Si considerino doppi bipoli lineari caratterizzati dalla convenzione degli utilizzatori a entrambe le porte: I1 I2 V1 V2 , , , , , , 0 0 Se si considera la linearità si può scrivere: · · · · · · · · 0 0 I termini c1 e c2 tengono conto di eventuali generatori indipendenti contenuti all’interno del doppio bipolo, ma questi possono essere tirati fuori e quindi si ottiene la formulazione implicita stretta (con 0): · · In maniera compatta: · · · · · · · · 0 0 0 Formulazione esplicita serie (anche detta formulazione controllata in corrente): · · Affinché sia possibile scriverla, · deve essere una matrice non singolare: Si possono ottenere quattro formulazioni: serie ibrida · · , parallelo , prima ibrida · e seconda , che prendono il nome di formulazioni cardinali. Queste hanno le due variabili indipendenti una per porta. · · · · 20 Vi sono inoltre le due formulazioni con le matrici di trasmissione: · · I1 I2 V1 V2 Bisogna porre attenzione al fatto che è stata utilizzata la configurazione dei generatori a destra, degli utilizzatori a sinistra. Si può infine osservare che, per le formulazioni cardinali, le variabili dipendenti sono gli strumenti che misurano, le variabili indipendenti sono i generatori che forzano. Proprietà: Le quattro formulazioni cardinali hanno la proprietà di avere una variabile indipendente e una dipendente per porta. Le variabili indipendenti (cause) si rappresentano con generatori equivalenti, le variabili dipendenti con misuratori (voltmetri e amperometri). Esempi: · · + I1 · · + R · · I2 · · + + I1 H V2 21 Generatori Pilotati Generatore di tensione controllato in corrente CCVS I1 V2 0 0 0 0 0 0 0 · Generatore di corrente controllato in tensione VCCS V1 I2 0 · Generatore di corrente controllato in corrente CCCS I1 I2 0 0 0 0 0 0 0 · Generatore di tensione controllato in tensione VCVS V1 V2 0 · Ogni formulazione cardinale ha perciò un generatore pilotato caratteristico. 22 Proprietà dei Doppi Bipoli 1. Direzionalità 2. Reciprocità 3. Simmetria 4. Passività 1. Direzionalità La direzionalità può essere dalle porte 1 alle 2 o viceversa: i doppi bipoli possono essere sia unidirezionali che bi-direzionali. Un bipolo unidirezionale è tale da non presentare variazioni sulla porta 1 a fronte di variazioni sulla porta 2 mentre presenta variazioni sulla porta 2 a fronte di variazioni sulla porta 1. Di conseguenza la unidirezionalità si può vedere dall’elemento della Ia riga IIa colonna della matrice. Zero direzionali sono due bipoli completamente separati. Si considerino le matrici di trasmissione: I1 I2 V1 V2 · · · · I parametri si ottengono facendo il rapporto tra la grandezza che si misura e, al denominatore, il generatore forzante (la grandezza impressa). In quanto non si può fare il rapporto tra due generatori si può ricorrere ad artifici e ricavare 1 , vi è tuttavia un metodo migliore per il quale bisogna prima introdurre il bipolo nullore. Nel piano I/V si consideri il bipolo che si trova nell’origine degli assi ed ha contemporaneamente I = 0 (circuito aperto) e V = 0 (cortocircuito). Tale bipolo degenere prende il nome di nullatore. 0 23 Il circuito che contiene un nullatore risulta avere troppi vincoli e non è perciò risolvibile: V R 0 Vdd I Nel piano I/V si consideri il bipolo che comprende tutto il piano e ha V = qualsiasi e I = qualsiasi. Tale bipolo si chiama noratore. ∞ Il circuito che contiene un noratore risulta avere infinite soluzioni in quanto ha troppi pochi vincoli: V R Vdd ∞ I Si è pensato di creare un doppio bipolo comprendente sia un noratore sia un nullatore, quest’ultimo prende il nome di nullore: 0 ∞ 0 0 24 0 0 Il nullore è caratterizzato da una matrice 0 ed è l’unica formulazione esistente. 0 Il nullore è il doppio bipolo caratteristico della matrice di trasmissione . Esempio: Si consideri un generatore pilotato in tensione: V1 V2 0 0 1 · 0 0 0 Perciò, oltre alla formulazione cardinale unica ammessa, permette anche la matrice di trasmissione. Il termine diverso da zero si trova in posizione diversa per ognuno dei generatori pilotati e si può infine osservare che il nullore può essere visto come il limite per un generatore pilotato quando il suo parametro caratteristico tende a ∞. Esempio di utilizzo del nullore per ricavare la matrice : · · 1A 1 · · 1 0 2V 1V ∞ 1V 1V 2 e Permette di calcolare: 2A 3V 1 ∞ Permette di calcolare: In questo caso si ottiene perciò: V2 1S 1 1 2V 1 1V 3 2 1 e 1A 0 I2 2 3 2 25 Il nullore viene anche utilizzato come modello per l’amplificatore ideale: I1 I2 V1 V2 Nota: Di solito si rappresenta con un VCVS con guadagno elevato ∞ , ma in realtà può essere rappresentato da uno qualunque dei generatori pilotati con il valore del suo parametro ∞. 2. Reciprocità Un doppio bipolo si può schematizzare nel seguente modo: Cause Doppio Bipolo Effetti Con una causa C1 applicata al doppio bipolo si ottiene l’effetto E1; applicando una causa C2, compatibile con la misura dell’effetto E1, dove prima si era ottenuto l’effetto E1 si ottiene un effetto E2. Se C1= C2 e E1= E2 , allora il doppio bipolo è reciproco. Se la causa C1 è un generatore di corrente e l’effetto E1 è un segnale di tensione, allora la causa C2 deve essere un generatore che quando è spento funziona come un generatore di tensione (effetto E1). Lo stesso ragionamento è valido per E2. Esempio: I1 I2 C1 E1 V1 V2 E1 C2 26 Utilizzando la convenzione degli utilizzatori per entrambi i bipoli, cioè: I1’ I1’’ I2’ V1’ V1’’ V2’ · Definendo quindi la potenza come: I2’’ V2’’ · · E le potenze virtuali (o incrociate) come: · Si ha che un doppio bipolo si definisce reciproco se · e · . Si può ricavare la relazione di reciprocità nel modo seguente: si inseriscono due bipoli uno a sinistra e uno a destra di ognuno dei due doppi bipoli (α’, β’ e α’’, β’’). Si fa ciò per poter utilizzare il teorema di Tellegen che si può applicare solo a circuiti chiusi. Iα’ Vα’ α’ V1’ V2’ Iα’’ Vα’’ α’’ I β’ I2’ I1’ V1’’ Vβ’ β’’ Vβ’’ Iβ’’ I2’’ I1’’ β’ V2’’ Per il teorema di Tellegen è necessario utilizzare la stessa convenzione: · · · · 0 0 e perciò: Per la condizione di reciprocità · · · · Si possono quindi ottenere le condizioni di reciprocità per le matrici cardinali. 27 Esempio: Si ricavano le condizioni di reciprocità per la matrice : ’’ ’ Iα’ = I1’ Vα’ = V1’ Iβ’ = I2’ = 0 Vβ’ = V2’ Iα’’= I1’’ = 0 Vα’’ = V1’’ Iβ’’ = I2’’ Vβ’’ = V2’’ Si ottiene: · · Con lo stesso procedimento si ottiene: Invece, applicando lo stesso procedimento alle matrici ibride si ottiene: , Perciò per le matrici G e R la matrice deve essere simmetrica, per H e K gli elementi dell’antidiagonale devono essere uguali in valore ma opposti in segno. Si può osservare che il bipolo lineare (resistore) è reciproco per definizione e anche un doppio bipolo contenente solo resistori è perciò reciproco. Nota: Un doppio bipolo può essere reciproco anche se non contiene solo resistori. Per le matrici di trasmissione si deve avere determinante unitario affinché siano reciproche: | | 1 Esempio: Il bipolo caratterizzato dalla matrice determinante di 2 1 3 , ricavata in un esempio precedente, è reciproco (il 2 è uguale a 1). 28 3. Simmetria La simmetria ha come requisito la reciprocità (tranne che in un unico caso). Un doppio bipolo si definisce simmetrico quando sostituendo alla porta 2 la porta 1 e viceversa non cambia niente: · · · · · · · · · · · · Si invertono gli indici a V e I: Si ottiene perciò: Il primo e il terzo sistema sono uguali quando: e Nota: Vi è contenuta la relazione di reciprocità. Per la matrice parallelo, la relazione è sempre: Per le matrici ibride si ricava che deve valere: e Per le matrici di trasmissione: e | | | | 1 e 1 Esempio: 2 1 Il bipolo caratterizzato dalla matrice (il determinante di è uguale a 1 e 3 , ricavata in un esempio precedente, è simmetrico 2 ). Vi è un caso in cui un doppio bipolo può essere simmetrico ma non reciproco: 1· 1· 29 Riscrivendolo come: 0 1 e si può osservare che non è reciproco (gli elementi sulla diagonale sono 1 0 uguali ma non opposti in segno, mentre la condizione è ) e quindi non si può applicare la definizione di simmetria vista precedentemente per la prima matrice ibrida ( | | 1) in quanto presuppone la reciprocità. Infatti: Si ha che | | | | La condizione | | | | | | 1 si otteneva dalle precedenti supponendo Invece nel caso in esame si ha | | 1 come effettivamente è. . e quindi affinché la matrice sia simmetrica deve valere 4. Passività · · 0 0 0 0 0 , , , 0 Tutti i generatori pilotati fanno parte della quarta categoria. Per i doppi bipoli passivi si può scrivere: · Perciò se · · · 0 · , 0 è definita positiva allora il doppio bipolo è strettamente passivo. Per determinare se è definita positiva si può separare nella sua parte simmetrica ed emisimmetrica: 2 2 Esempio: 2 8 4 3 2 6 6 3 0 2 2 0 La parte emisimmetrica di una matrice non contribuisce alla forma quadratica associata. 30 Teorema di Sylvester (per matrici 2x2): Una matrice simmetrica (per questo è necessario prima simmetrizzarla) è definita positiva se 0 e il determinante è maggiore di 0. Esempi: 2 6 6 3 8 3 3 12 2 8 0 ok; 2 · 3 36 0 ok; 8 · 12 9 0, non è positiva e perciò il bipolo non è passivo. 0, è positiva e perciò il bipolo è strettamente passivo. Nota importante: Per determinare la passività della matrice se non si hanno le matrici cardinali non si può applicare la regola vista precedentemente. Tuttavia l’unica formulazione che ammette 0 0 solo la matrice è il nullore ed esso non è passivo. 0 0 Nota: Per gli induttori mutuamente accoppiati Dividendo · per · si deve avere 0e · 0. : · · · Si ottiene: 0 Quando · 1 1 gli induttori sono fortemente accoppiati. Al diminuire di , l’accoppiamento diventa lasco. Per 0 gli induttori sono disaccoppiati. 31 Collegamento di Doppi Bipoli Si possono collegare le porte 1 e 2 tra di loro in serie o in parallelo. Ci sono 4 possibili configurazioni: A A B B Serie/Serie Parallelo/Parallelo A A B B Serie/Parallelo Parallelo/Serie Le porte collegate in serie sono percorse dalla stessa corrente mentre le porte collegate in parallelo possiedono la medesima differenza di potenziale. Vi è inoltre il collegamento in cascata: A B Nota: Nel collegamento in cascata si può collegare anche prima B e poi A. In totale vi sono perciò 6 possibili combinazioni (erano solo 2 per i bipoli). 32 Proprietà dei bipoli: Nel collegamento in serie dei bipoli si sommano i parametri serie, nel collegamento in parallelo si sommano i parametri parallelo. Si suppone inizialmente che questa proprietà sia valida anche per i doppi bipoli e si dimostra come in realtà essa sia sottoposta ad un vincolo. Esempio: 1 1 2 1 1 A Serie 1 1 Serie 1 B 3,5 … Si ottiene tuttavia: … , che non è la somma di … 1 2 2 1 1 2 . Nota: le resistenze sono state prese di valore unitario per facilità di calcolo. Se invece si considerasse: A Serie Serie B 33 Si ottiene: 4 2 2 , che è la somma di 4 . Esiste un test che permette di capire se vale la sommabilità dei parametri o no, prende il nome di test di Brűne: a) Si fa il collegamento della porta 1. b) Si mette il generatore opportuno alla porta 1 (se sono collegate in serie ci vuole un generatore di corrente, di tensione se sono collegate in parallelo). c) Le porte 2 si devono porre aperte o in corto circuito a seconda della configurazione esaminata (aperte per serie, chiuse per parallelo) d) Si calcola la tensione V. e) Se la tensione è V = 0, allora vale la sommabilità dei parametri. Esempi: S/S P/P A A V V B B f) Il test va completato mettendo il generatore alla porta 2 e la tensione V alla porta 1. Esempio: Æ P/P Æ 34 Un altro esempio di doppi bipoli (stelle) collegati in parallelo: In questi due casi è sempre soddisfatto il test di Brűne grazie alla topologia del circuito. Osservazione: Il test di Brűne serve a verificare che è conservata l’identità dei doppi bipoli. Si vuole ora ottenere posizione. 4 2 partendo dalle due stelle viste precedentemente senza modificarne la 2 4 Si consideri il trasformatore ideale con 1: 1:1 Il doppio bipolo rimane invariato e collegando un altro doppio bipolo in qualunque configurazione si mantiene comunque l’identità del doppio bipolo e pertanto la sommabilità dei parametri. 35 Si consideri ora la cascata di due doppi bipoli: I1A I2A I1B V1A I2B V2B V2A V1B · · · · La matrice di trasmissione si ottiene dal prodotto delle matrici dei singoli doppi bipoli e si può osservare che in questo caso non serve il test di Brűne in quanto i doppi bipoli mantengono la loro identità. Nota importante: V1 V3 V2 Si ha che, mentre la matrice di trasmissione è sempre il prodotto delle due, tale proprietà non si può tuttavia sempre applicare alle singole funzioni di trasferimento. Esempio: I1 R V1 I2 R · R V2 R V3 · Le funzioni di trasferimento singolo tra V1 e V2 e tra V2 e V3 sono: Tuttavia si ha: · · · … … e perciò è necessario che … · · e o siano zero affinché: 36 Si può provare che per il seguente circuito, disaccoppiando i bipoli, si ha sempre: · V2 · Esempio: R V1 R R V2 V2 R V3 C La matrice di trasmissione di C è: 0 1 0 0 0 Perciò se si disaccoppiano i due bipoli impedendo che il secondo circuito carichi il primo si può · fare Se si inserisce un nullore in cascata, il prodotto delle matrici è sempre zero. 37 Analisi Nodale Modificata Questa tecnica è usata soprattutto nei simulatori circuitali e l’idea che sta alla base è la seguente: l’analisi nodale esamina tutte le correnti che entrano in un nodo e poi le tensioni espresse con i potenziali. 2 3 3 1 4 2 1 4 5 0 6 5 Si consideri che i lati tratteggiati in rosso non permettano formulazioni parallelo: vengono chiamati bad-branches e ai potenziali bisogna aggiungere le correnti passanti in quei rami: I I I I I 0 I 0 Le correnti I4 e I6 si aggiungono al vettore delle incognite. In quanto vi sono due incognite in più, vi devono anche essere due equazioni in più affinché il problema sia risolvibile: termine noto incognite I4 I6 1 0 0 e1 … 2 +1 0 e2 … 0 0 e3 … 4 -1 0 5 0 +1 e1 3 e2 e3 e4 e5 GN X e4 = … e5 … I4 Leggi di I4 … I6 Ohm I6 … Dove la matrice GN si costruisce normalmente applicando il processo Stamp come la matrice nodale pura e le colonne I4 e I6 si ricavano considerando solo il grafo ridotto alle linee rosse e indicando con -1 una corrente entrante e con +1 una corrente uscente da un nodo (indicati sulla sinistra con i numeri che vanno da 1 a 5). Infine, la parte sottostante della tabella si ricava applicando le Leggi di Ohm ai rami considerati. 38 Si effettua ora un’analisi dei vari generatori di corrente e tensione pilotati e non e si stabilisce caso per caso quali introducono una o più variabili e quali non introducono nuove variabili. 1. GENERATORE IDEALE DI CORRENTE Non introduce nuove variabili. Il suo contributo deve essere posizionato nella colonna del termine noto. 2. GENERATORE IDEALE DI TENSIONE Introduce una variabile IK. Il suo contributo deve essere inserito nella colonna del termine noto corrispondentemente alla riga introdotta da IK. N+ IK VS NSi dovranno fornire i dati al simulatore circuitale nel seguente modo: VS N+ N- VS Dove VS è l’etichetta con cui viene indicato il generatore, mentre VS è il valore numerico del generatore stesso. Il simulatore leggendo VS aggiunge una colonna IK alla matrice nodale pura. … N+ … N- … IK … 0 e1 … + -1 … … N GN … N- 0 +1 … IK 0 +1 0 -1 0 X … … = … … 0 eN-1 … 0 IK VS Leggendo N+ e N- il programma posiziona eventuali 1 nell’intersezione tra le righe corrispondente ai nodi e la colonna di IK. In quanto posizioni e il valore di si posizionano nella riga, aggiunta sotto la matrice , ±1 nelle rispettive nella colonna dei termini noti. 39 3. GENERATORE DI TENSIONE PILOTATO IN TENSIONE Il lato di comando essendo un circuito aperto ammette formulazione parallelo e perciò non introduce nuove variabili. Il lato comandato necessita invece dell’introduzione della variabile IK. NC+ IK VJ N+ · VK N- NC- Si dovranno fornire i dati al simulatore circuitale nel seguente modo: FXX N+ N- NC+ NC- β + + - - Dove N e N sono i nodi pilotati, NC e NC sono i nodi pilotanti e β è il fattore di pilotaggio. · Si ha: · … N+ NC+ NC- N… + N NC GN + NC - 0 e1 … +1 … … 0 N IK IK 0 - 0 +1 -β +β -1 0 X … … … = … -1 eN-1 … 0 IK 0 4. GENERATORE DI CORRENTE PILOTATO IN TENSIONE Questo generatore ammette formulazione in parallelo e perciò non introduce nuove variabili NC+ N+ VJ N- NCSi ha: · IK · 40 5. GENERATORE DI TENSIONE PILOTATO IN CORRENTE Sia il lato di comando che il lato comandato non ammettono formulazione parallelo e perciò bisogna aggiungere due variabili. NC+ Ik IN VN IJ NC- N+ Vk · N- Si dovranno fornire i dati al simulatore circuitale nel seguente modo: Hxxx N+ N- VN Rm VN NC+ NC- (0) La seconda riga di comando è dovuta al fatto che è necessario mettere un nodo aggiuntivo con un generatore di tensione nullo VN=0 per distinguere il ramo di comando da eventuali altri rami posti in parallelo. In Spice è necessario inoltre che la corrente si consideri uscente dal generatore nullo di tensione VN, ma ciò non modifica in alcun modo l’analisi del circuito. · Si ha: … N+ NC+ 0 NC- 0 e N- IK IJ … 0 0 e1 … N+ +1 0 … … 0 +1 … 0 -1 -1 0 GN NC+ NC- N IK 0 +1 0 0 -1 0 -Rm IJ 0 0 +1 -1 0 0 0 X … eN- … = … … 1 IK 0 IJ 0 41 6. GENERATORE DI CORRENTE PILOTATO IN CORRENTE Sia il lato di comando che il lato comandato non ammettono formulazione parallelo e perciò bisogna aggiungere due variabili. NC+ N+ IN VN IJ NC- IK · N- Si dovranno fornire i dati al simulatore circuitale nel seguente modo: Gxxx N+ N- VN α VN NC+ NC- (0) · Si ha: 0 0 e … N+ NC+ NC- N- IK IJ … 0 0 e1 … N+ +1 0 … … 0 +1 … … 0 -1 -1 0 eN-1 … NC GN + NC - N- X … … = IK 0 0 0 0 0 +1 -α IK 0 IJ 0 0 +1 -1 0 0 0 IJ 0 Nota importante: Il circuito seguente è lineare in quanto quando i generatori forzanti sono spenti, tutti gli elementi al suo interno sono lineari. A INPUT V OUTPUT CIRCUITO LINEARE 42 Esempio (numerico): 5 1 2 3 V3 · · 0 4 · Nei lati che non ammettono formulazione parallelo sono presenti dei generatori cerchiati in rosso. Bisogna inserire il generatore nullo tra i nodi 1 e 5 (e il più si pone verso il nodo 5) per rappresentare l’amperometro e misurare che pilota il generatore di corrente (nota: uscire dal nodo + del generatore fittizio di tensione) 1 - 2 1 - 0 0 0 + 0 0 0 0 3 0 0 0 0 4 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 bipolo * bipolo 6 1 0 1 bipolo 7 bipolo 9 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 deve 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 43 I vettori delle incognite e dei termini noti sono dati da: Vettore dei Termini Noti = Generatori Indipendenti Vettore delle incognite Il generatore pilotato β · V è pari a: e β· e Il generatore di corrente pilotato in corrente La matrice 0 e è pari a: 0 0 0 0 0 0 0 · 0 segnata con i contorni in verde è data da: 5 1 2 3 0 La matrice 4 è quella che si ottiene dalle Leggi di Ohm per i membri che non ammettono formulazione parallelo. Non ha le proprietà di simmetria dell’analisi nodale, tuttavia la diagonale continua ad essere dominante e la matrice è sparsa (in questo caso solo 25 elementi su 81 sono diversi da 0). 44 Metodi di risoluzione · Vi sono metodi diretti e indiretti per risolvere . I metodi diretti ottengono la soluzione esatta in un numero finito di passi (considerando eventuali approssimazioni). I metodi indiretti hanno un numero di passi variabile a seconda della forma della matrice e portano a verificare se la soluzione e convergente tramite iterazione. I metodi diretti sono quelli più utilizzati nei programmi; uno di questi metodi è quello a eliminazione gaussiana: da un sistema di partenza si tende a risolvere una variabile in funzione delle altre fino ad ottenere un’unica equazione. Risolta quest’ultima si procede con sostituzione inversa a determinare le rimanenti variabili. · Scomposizione: è inferiormente triangolare, è superiormente triangolare = A Scrivendo · · e chiamando U L · si ottiene: · Ma questo sistema è direttamente risolvibile con il metodo di eliminazione gaussiana. Il processo di costruzione di e avviene su : U L U A L A Sulla diagonale non c’è conflitto in quanto si può dimostrare che esistono N gradi di libertà pari al grado N della matrice (quindi la diagonale di U può essere riempita di 1 ad esempio) Il tempo impiegato si può dimostrare essere pari a: costo è dell’ordine di : · · · e perciò si indica che il Il tempo impiegato risulterebbe essere enorme. Analizzando matrici si evidenzia come esse siano piene di 0. Ciò implica inutili moltiplicazioni per zero e somme con zero come addendi. Se si tiene conto della sparsità della matrice si ricava sperimentalmente che in realtà il costo è compreso tra , , . È un risultato sperimentale. 45 Tecniche ad hoc vengono utilizzate per l’immagazzinamento dei dati, utilizzando strutture dati lineari (liste) anziché matrici. Un possibile inconveniente è il seguente: 1 2 3 4 5 6 1 x x x x x x 2 x x 0 0 0 0 3 x 0 x 0 0 0 4 x 0 0 x 0 0 5 x 0 0 0 x 0 6 x 0 0 0 0 x Se la matrice è sparsa in questa configurazione, dopo la prima sostituzione diventa piena. Se si cambiasse invece l’ordine dei nodi: 6 5 4 3 2 1 6 x 0 0 0 0 x 5 0 x 0 0 0 x 4 0 0 x 0 0 x 3 0 0 0 x 0 x 2 0 0 0 0 x x 1 x x x x x x La matrice rimane sparsa anche dopo la prima sostituzione. È necessario quindi utilizzare un algoritmo aggiuntivo che preservi la sparsità. Nota: Cambiando il termine noto non è necessario ricavare nuovamente la scomposizione LU di e perciò la risoluzione è più veloce. Tutto quello che è stato fatto può essere riutilizzato per i circuiti non lineari risolvendo N circuiti lineari. Un circuito non lineare dinamico potrà essere risolto tramite la risoluzione di K circuiti non lineari (resistivi). 46 Riassunto ed Esempi delle Proprietà Reciprocità Simmetria Matrice R Passività Reciprocità + Matrice G Reciprocità + | | 1 oppure Reciprocità + | | Anti-reciprocità + 1 Matrice reciproca: | | | | Matrice H | | • Eccezione: doppio bipolo simmetrico ma non reciproco 0 1 1 0 … 1 Matrice T | | Per le 4 cardinali: -Strettamente passivo 0 -Passivo 0 -Inerte 0 Nullore Non passivo Esempio di bipolo passivo: V I • Esempio di doppio bipolo strettamente passivo: R R 0 R 2 2 È strettamente passivo, reciproco e simmetrico. 47 • Esempio di doppio bipolo non passivo: R R 0 0 Non è passivo, ma è reciproco e simmetrico. • Esempio di doppio bipolo passivo ma non strettamente passivo: I1 R I1 Se si mette un generatore di corrente qualsiasi da un lato e lo stesso dall’altro lato invertito di segno, risulta che in R non scorre corrente. Calcolando la forma quadratica associata: · Se allora 0 · · · · . 48 Doppi bipoli particolari A. Trasformatore ideale Ammette solo quattro formulazioni (con le matrici ibride H T Dalla matrice V I K·V K·I V K·V 1 ·I K I , e con le matrici di trasmissione , 0 0 0 0 1 si ricava che è reciproco, ma non è simmetrico in quanto È bidirezionale e poiché: P V V ·I K · ) K·I | | 1. 0 è inerte. Se si posiziona una resistenza tra i morsetti 2: R · · La resistenza viene perciò vista in ingresso moltiplicata per . Prende il nome di Convertitore positivo di impedenza (PIC). Nota: Per 1 è come una prolunga che effettua tuttavia anche un disaccoppiamento elettrico tra le due porte; è reciproca ed anche simmetrica. Se la matrice H ha la seguente forma: H Per V I K·V K·I 0 0 1 è simmetrico, non è mai reciproco, non è passivo. Se si posiziona una resistenza tra i morsetti 2 si ottiene: · · Prende il nome di Convertitore negativo di impedenza (NIC). 49 B. Giratore Ammette formulazione tramite matrice R: 0 · · 0 Non è reciproco né simmetrico, è anti-reciproco. È bidirezionale e poiché P = 0 è inerte. Si rappresenta nel seguente modo: Se si posiziona una resistenza tra i morsetti 2: R · · La resistenza risulta invertita e moltiplicata per Un giratore può essere costruito tramite amplificatori operazionali e resistori. Prende il nome di Invertitore positivo di impedenza (PII). Nota importante: Un’induttanza può essere creata utilizzando un giratore dove al posto di R si posiziona un condensatore C. C L 50 Analizzando una stella con la resistenza centrale negativa si osserva che: R R 0 0 È reciproco e simmetrico. Non è passivo. Se si posiziona una resistenza tra i morsetti 2: R · · Prende il nome di Invertitore negativo di impedenza (NII). Riassumendo: PIC (Convertitore Positivo di Impedenza): NIC (Convertitore Negativo di Impedenza): PII (Invertitore Positivo di Impedenza): NII (Invertitore Negativo di Impedenza): 0 0 0 0 0 0 0 0 51 Dispositivi Non Lineari · Diodo: 1 ID ID VD VD IS Se si utilizza il modello Sparse Tableau, · 0 e · 0 rimangono invariate, mentre le leggi di Ohm variano e sono quelle dei componenti non lineari. Se si utilizza l’analisi nodale e l’elemento non lineare ammette la formulazione parallelo, la formulazione è la stessa vista precedentemente, se non l’ammette si deve utilizzare l’analisi nodale modificata. Ciò che cambia è che non si ha più un sistema di equazioni lineari da risolvere, ma sono equazioni non lineari e varia perciò il metodo risolutivo. 0 scalare, non lineare. ID ID RS VD VS IS · VD VS · 1 · Sostituendo : · · 1 0 0 La soluzione si può o ricavare graficamente dall’intersezione tra le due curve oppure risolvendo la funzione 0. 52 Si osserva tuttavia che la funzione risultante non può essere risolta analiticamente. F(VD) VD soluzione Si adoperano perciò delle tecniche numeriche: si cerca di trovare una serie di valori per l’incognita che tende a convergere alla soluzione. Si determinano iterativamente dove e la soluzione asintotica. Il metodo utilizzato è il Metodo di Newton: si sostituisce all’elemento non lineare la sua linearizzazione (cioè la tangente alla curva nel punto considerato). ID gm0 gm1 P2 P1 x2 x1 x0 VD I S1 · Dove m è la derivata calcolata in x0: VD 1 · IS · e V VT V 53 Dal punto di vista circuitale si risolve il seguente circuito lineare: ID RS I S0 gm0 VD VS Dove gm0 e IS0 cambiano ad ogni iterazione mentre la struttura circuitale rimane la stessa. Considerando 0: x2 Lo sviluppo in serie di Taylor di x1 x0 è: 0 · Vale perciò la regola: · 0 Si ottiene: · 54 Nota importante: Il procedimento non funziona in alcuni casi, ad esempio nel caso seguente: ID x0 VD x1 Teorema: Il metodo di Newton converge se si considera x0 sufficientemente vicino alla soluzione. Nella simulazione circuitale questa richiesta non è fortunatamente molto limitante. Inoltre si può osservare che un altro problema è la presenza di esponenziali che possono causare un over-flow dei dati. Anche per risolvere questo problema è necessario far partire l’iterazione da soluzioni vicine a quella cercata. Esempio: ID x0 VD x1 In realtà la formulazione utilizzata dal calcolatore è: · In questo modo non si deve invertire la matrice formata da . L’iterazione è stabilito che debba proseguire fino a che la funzione non assuma un valore scelto dall’utente: ; oppure che la variabile valga un certo valore: ∆ stabilito dall’utente a seconda del processo in esame. È infine stabilito un numero massimo di iterazioni superato il quale il programma deve segnalare la presenza di un problema. Nota: ∆ viene anche chiamato residuo, quando è zero, si è arrivati alla soluzione. 55 0: Interpretazione vettoriale considerando · · Dove è lo Jacobiano e consiste nella derivata di rispetto ad ogni variabile, è una matrice di numeri. In realtà non si prende il circuito non lineare e gli si applica il procedimento, che è una linearizzazione; ma, a partire da un certo punto di lavoro si costruisce non il circuito linearizzato, ma il circuito formato con gli elementi linearizzati: Circuito base: L NL NL L L L L L Companion Network: L L Il circuito che sostituisce gli elementi non lineari con gli equivalenti linearizzati è il Companion Network ed è costituito da Companion Models. Non è dunque necessario calcolare le derivate parziali dello Jacobiano; ma, bastano le derivate scalari dei singoli elementi calcolate nel punto di lavoro. 56 Per evitare errori dovuti a scorrette approssimazioni è meglio avere un’idea di dove dovrebbe collocarsi il punto di lavoro e partire con il processo iterativo da un punto il più prossimo possibile ad esso. Esame del caso in presenza di Doppi Bipoli: R1 R2 Doppio Bipolo e1 e2 Questo è un circuito elementare di un doppio bipolo con sia alla porta uno che alla porta due, due bipoli rappresentati da un equivalente o Thevenin o Norton. Equazioni implicite di un doppio bipolo non lineare: , , , , , , 0 0 Nota: Esistono Doppi Bipoli non lineari che permettono tutte e sei le rappresentazioni. Si può scrivere: · · E quindi ottenere: , , , 0 e risolverlo numericamente con il metodo di Newton. 57 Metodo Risolutivo Grafico per Doppi Bipoli Non Lineari • BJT I2 = IC B C I1 = IB V2 = VCE V1 = VBE E E , , I1 0 e R 0,1 0,2 0,3 VCE = V2 V1 e I2 IB = I1 e R 0,4 0,3 0,2 0,1 e V2 Osservazione: Normalmente la variabile dipendente V1 dovrebbe essere messa sull’asse delle ordinate, ma per similitudine con la caratteristica del diodo si rappresenta in questo modo. Le rette che passano per R ed e e per R ed e sono determinate dal vincolo sui resistori. 58 Le intersezioni sono a prima vista numerose: prendendo un punto a caso nel grafico ⁄ si determinano specifici , e ; tuttavia il corrispondente punto nel grafico ⁄ può non trovarsi sulla retta corrispondente al carico sui morsetti 2 e non essere quindi una soluzione accettabile: I1 e R A M B C P’ N O V1 e I2 e R O N P A M B e C V2 Si costruisce l’immagine della retta filtrata dal doppio bipolo nel secondo grafico ottenendo una curva (non una retta in quanto il doppio bipolo è non lineare). Il punto P è la soluzione cercata: , , , Si può fare anche l’inverso portando la retta di carico dei morsetti 2 nel piano si ottiene che il punto P’ è il trasposto del punto P. ⁄ ; in questo caso Bisogna inoltre porre attenzione al fatto che talvolta i doppi bipoli sono unidirezionali e perciò non è la stessa cosa partire dal piano ⁄ o dal piano ⁄ . Per un BJT ad emettitore comune si può trascurare la dipendenza da V2 e perciò si possono risolvere due problemi scalari di primo ordine al posto di un problema vettoriale di secondo ordine: 59 I1 I V1 Si riporta I sul grafico V ⁄I e si ottiene la soluzione cercata. In alcuni casi possono esserci più soluzioni possibili o nessuna soluzione. Esempio di più soluzioni possibili: I1 V1 Il metodo di Newton nel caso di più soluzioni possibili trova la soluzione più vicina al punto di partenza. Esempio di nessuna soluzione: I1 V1 60 • MOSFET I2 G D I1 V2 V1 S S I1=IG V1 = VGS ID = I2 VGS = V1 e R 2 1 0 VDS = V2 e Si può osservare che è inutile porre una resistenza in serie al generatore del morsetto 1 in quanto 0. I Il punto di lavoro è dato dall’intersezione tra la retta e il grafico del MOS. Inserendo una resistenza non lineare in uscita al secondo morsetto questo funziona da inverter. ID = I2 VGS = V1 2 1 0 VDS = V2 0 Nota: è un doppio bipolo in formulazione parallelo. 61 • Caso di Doppio Bipolo Lineare R1 R2 e2 | | e1 V1 e I2’’’ I2’’ R11 I2’ I1 e R V2 I1’’’ e I1’’ I1’ R22 e R · · I2 · · · · Essendo il doppio bipolo lineare, la retta di carico rossa del grafico ⁄ rimane una retta (blu nel ⁄ (viceversa per il passaggio inverso) e l’intersezione è la soluzione disegno) nel grafico cercata. Nota: Se i termini R12 e R21 sono nulli significa che il bipolo non è bidirezionale. 62 Proprietà dei Bipoli Non Lineari Proprietà della Passività: Un bipolo è strettamente passivo solo se 0e 0 se e solo se , 0, con la convenzione degli utilizzatori; è passivo se 0 (ad esempio il circuito aperto e il corto circuito). Esempio di grafico di un circuito strettamente passivo: I V La caratteristica l’origine degli assi. , è interamente contenuta nel primo e nel terzo quadrante e passa per Due esempi di grafici di circuiti passivi: V I Tipo diodo I Si può osservare come i grafici siano nulli anche per valori di , V 0. Ha senso di introdurre la proprietà di passività solo se vale la Proprietà di Chiusura, in quanto grazie ad essa si può affermare che un bipolo che abbia al proprio interno, collegati in qualunque maniera, solo bipoli strettamente passivi è strettamente passivo. Proprietà di Non-Amplificazione: Se un circuito è alimentato con una tensione E ed è formato da bipoli lineari e non lineari ma tutti strettamente passivi, allora il modulo di qualunque tensione interna è inferiore a E: | | E Di conseguenza, se si pone il nodo “ ” del generatore a massa, si ha che: 0 è il potenziale più basso, mentre E è il potenziale più alto. | | , cioè lo zero 63 Dimostrazione per assurdo della proprietà di non-amplificazione: Tesi: Esistono uno o più potenziali maggiori di E (è il contrario di quanto si vuole dimostrare) Ipotesi: Si considera il nodo del circuito con potenziale e Tutte le tensioni dei bipoli che finiscono nel nodo M devono avere il verso segnato in figura, ma perciò, essendo tutti i bipoli strettamente passivi, allora tutte le correnti sono uscenti. Per rispettare la Legge di Kirchhoff delle Correnti, la somma delle correnti entranti e uscenti dal nodo deve essere nulla: 0, ed essendo le correnti nel caso in esame tutte positive devono perciò essere nulle. Di conseguenza tutti i nodi adiacenti devono avere potenziale e iterando il procedimento si arriva ad affermare che ; ma questo nega la tesi di partenza ed è ciò che si voleva dimostrare. Uno stesso identico ragionamento può essere effettuato per determinare che il potenziale nullo è il limite inferiore. Questo teorema vale con qualunque componente purché sia strettamente passivo, quindi devono essere tutti bipoli la cui caratteristica passi per l’origine e stia nel 1° e 3° quadrante. 64 Un’altra categoria (o classe) di bipoli non lineari che gode della proprietà di chiusura sono i bipoli monotoni (crescenti o decrescenti): V I. II. V’’ V’ I’ I I’’ I I. Strettamente Monotono (Crescente): · 0 II. Monotono: · 0 Un bipolo monotono ha una caratteristica che cresce sempre o decresce sempre. Un bipolo costituito da soli bipoli strettamente monotoni da luogo a un bipolo strettamente monotono, cioè una classe chiusa. Sono interessanti solo i bipoli strettamente monotoni crescenti: ∆ · ∆ monotoni decrescenti hanno ∆ · ∆ 0) 0 (i bipoli strettamente Proprietà: Se il bipolo è strettamente monotono crescente, allora vi è unicità della soluzione (che può tuttavia non esistere, ma se esiste è unica). Esempio di unicità della soluzione in bipoli strettamente crescenti: Diodo: · 1 ID 1 2 3 VD IS 4 Mentre per la retta 4 non vi è nessuna intersezione e quindi la soluzione non esiste, per le rette 1-2-3 vi è un’unica intersezione e quindi la soluzione esiste ed è unica. 65 Se si vuole che la soluzione esista, oltre che sia unica, bisogna imporre che quando una delle due grandezze tende in modulo all’infinito anche l’altra grandezza tenda all’infinito: se | | ∞, allora si deve anche avere che | | ∞. Strettamente monotono e strettamente passivi non sono la stessa cosa. Esempi: 1. Bipolo Strettamente Passivo e Strettamente Monotono I V 2. Bipolo NON Strettamente Passivo, ma Strettamente Monotono I V 3. Bipolo Strettamente Passivo, ma NON Strettamente Monotono I V 4. Bipolo NON Strettamente Passivo e NON Strettamente Monotono I V 66 Analisi di Piccolo Segnale RS vS(t) NL E I Strettamente passivo v(t) NL t V E è la polarizzazione (costante) che porta il dispositivo non lineare a lavorare nella zona di interesse. Tramite questo circuito si può ottenere un’amplificazione di vs(t) (tensione di segnale variabile). Nota: Rimane sempre valida la proprietà per cui essendo il dispositivo non lineare strettamente passivo, allora . Si può osservare che si può avere un dispositivo localmente non passivo: un bipolo può essere localmente strettamente passivo se la proprietà vale in un intorno del punto di lavoro considerato. Esempio: B A Il punto A è localmente strettamente passivo, mentre il punto B non lo è. Per determinare se un bipolo è localmente strettamente passivo in un punto bisogna perciò calcolare la sua resistenza (conduttanza) differenziale in quel punto: 0 0 Si può infine osservare che un bipolo strettamente monotono crescente è anche localmente strettamente passivo in ogni punto della sua caratteristica. 67 0: Tornando al circuito in esame, si consideri il caso in cui I I0 V0 Quando E V 0 la retta si sposta mantenendo tuttavia la sua pendenza che è data da RS: I I0 V0 La tensione v t e la corrente E si leggono sul grafico al variare di V . Se si suppone che abbia una piccola escursione (vari di poco), si può sostituire alla curva non lineare la sua tangente in quel punto, come già visto nello studio del metodo di Newton. I ID I0 V0 E V 68 Circuitalmente equivale ad avere: RS vS(t) GD ID E Il punto di lavoro si muove lungo la linea blu e non più lungo la traiettoria originaria in linea spessa. Se ci si sposta di poco la linearizzazione e la vera traiettoria non lineare sono pressoché uguali. Se si considera il circuito lineare equivalente si può applicare la sovrapposizione degli effetti: e mantenendo ID ed E accesi si ottengono i I0 e V0 precedenti. spegnendo Spegnendo i generatori ID ed E si ottiene: RS GD (RD) vS(t) Questo è il circuito per piccoli segnali nell’intorno di I0 e V0 e fornisce v t . Tale circuito è un circuito lineare in quanto costituito da soli elementi lineari. La sovrapposizione degli effetti è permessa solo per vS(t) molto piccoli in modo da non allontanarsi troppo dal punto di lavoro I0, V0. · prende il nome di coefficiente di amplificazione. Nota: Se il valore di è negativo, il coefficiente di amplificazione può diventare in modulo maggiore di 1 (è necessaria cioè una pendenza negativa della curva). Più il valore di (negativo) si avvicina al valore in modulo di , minore è il segnale che si può amplificare, in quanto il punto di lavoro esce dalla zona in cui la curva non lineare e la sua linearizzazione differiscono di poco. 69 Esempio: I 2 V 1 Vi sono tre linearizzazioni possibili (indicate con le linee tratteggiate rosse). Se la retta di carico (in blu) è quasi coincidente con l’andamento della curva caratteristica (retta 1): deve essere Ci si può perciò spostare di pochissimo senza uscire dall’amplificazione ( piccolo), mentre se la retta è molto diversa (retta 2) ci si può spostare molto di più (sono ammessi cioè segnali maggiori). Nota: Essendo il dispositivo strettamente passivo il valore massimo raggiungibile dalle tensioni al suo interno è , si ha pertanto: v(t) t 70 Amplificatore Operazionale È un dispositivo globalmente passivo. E+ IN+ OUT INEVi sono cinque morsetti principali. Per funzionare, E+ deve essere collegato ad una sorgente di tensione positiva, mentre E- a una sorgente di tensione negativa. Di solito i generatori di tensione collegati ad E+ e ad E- si inseriscono all’interno dell’operatore che diventa così un dispositivo attivo. + IN IN+ E+ OUT INE- Vd OUT IN- VOUT Il morsetto di ground nel secondo disegno dell’amplificatore operazionale si può anche sottintendere. Graficamente il trasferimento Vd, VOUT è il seguente: VOUT Vd 71 Dove la zona cerchiata in blu prende il nome di zona di saturazione ed il legame è non lineare, mentre la zona cerchiata in rosso prende il nome di zona lineare ed è a pendenza elevata. 0 Si può interpretare come fosse un doppio bipolo. Quando Vd è molto piccola, l’amplificazione è elevata (la retta è molto pendente), quando Vd è grande l’amplificazione è minima. Se il guadagno µ dell’amplificatore operazionale tende a ∞, allora: VOUT Vd Se V Se ESAT , 0 (corto circuito virtuale) la tensione è compresa tra ESAT e ESAT ∞ l’operazionale non satura mai (è ideale) e si ottiene che (si è cioè ottenuto il nullore). 0, 0 e che Nota: Il morsetto di terra si inserisce nel disegno per ricordarsi che la corrente di uscita è prodotta dalle alimentazioni interne all’operatore amplificazionale ed è quindi soddisfatta la legge di Kirchhoff delle correnti. Se si considera l’operazionale ideale (senza saturazione) la posizione dei segni + e – sui morsetti può essere invertita senza alcun problema (la caratteristica cambia invece se è presente il fenomeno della saturazione). 72 Esempio di Giratore realizzato con amplificatori operazionali e resistenze: V2 I2 R3 R2 I1 R1 ∞ ∞ R4 V1 Il simbolo ∞ indica che l’amplificatore operazionale è ideale, senza saturazione; mentre se il guadagno fosse stato finito si sarebbe indicato con il simbolo µ. Considerando tutti gli operazionali ideali, su tutti i morsetti di ingresso si ha V1. Considerando inoltre tutte le resistenze uguali R operazionale ha una corrente pari a V R R R R nel ramo di reazione e in uscita un potenziale perciò pari a 2 · V . Di conseguenza nella resistenza R2 scorre una corrente pari a Si può osservare che V R, il secondo amplificatore V R V e dunque: R R · I è la prima relazione del giratore. La seconda relazione del giratore si ricava facilmente osservando che la corrente I1 entra tutta in R1 R·I e si ottiene: V Se si inserisce tra i morsetti 2 un condensatore si ottiene un induttore integrato. Questi circuiti prendono il nome di filtri RC attivi o RC + op.amp. (attivi poiché contengono l’amplificatore operazionale che a sua volta contiene i generatori di tensione delle alimentazioni). I2 I1 V1 R V2 R V1 ∞ V1 R V1 V1 R 2V R V1 V1 ∞ V1 V1 R R R·I 73 Esercizio: Calcolare il valore massimo di in modo che l’OP-AMP funzioni in zona lineare · R2 R1 VIN VIN VOUT · R2 non può essere tuttavia troppo grande in quanto vi è il vincolo: Il vincolo può essere trasferito sulla tensione di ingresso dividendolo per il guadagno dell’operazionale: Supponendo · , si ha la relazione di congruenza: | | · Vi è perciò il limite dato dalla tensione di saturazione dell’amplificatore operazionale. 74 Circuiti Dinamici I circuiti dinamici contengono condensatori e/o induttori. , Un condensatore è caratterizzato da 0 , dove q è la carica accumulata e V è la tensione. Sono possibili la formulazione serie: e la formulazione parallelo · Se lineare corrispondono rispettivamente a: · e In forma differenziale: , Un induttore è caratterizzato da 0 , dove Sono possibili due formulazioni: e · Se lineare corrispondono rispettivamente a: • è il flusso e i la corrente. e · Se si considera il metodo STA bisogna aggiungere ai termini già presenti: i v e q φ KCL (implicite) KVL: · i 0 X Leggi di Ohm (R) v e q Leggi di Ohm (dinamiche) φ = T e r m i n i n o t i Sono state inserite le due nuove variabili q e φ. La dimensione della matrice è pari a: 2 · 1 Il tipo di equazioni contenute è misto: algebriche (lineari e non lineari) e differenziali. 75 • Se si considera l’analisi nodale (NA) si vuole che vi siano le espressioni parallelo equivalenti: · Per il condensatore: Per l’induttore: · Il tipo di equazioni contenute è misto: algebriche, differenziali ed integrali. • Se si considera l’analisi nodale modificata (MNA) si ottiene: · Per il condensatore: Per l’induttore: · In quanto l’induttore non ammette formulazione parallelo, si aggiunge la variabile . Il tipo di equazioni contenute è misto: algebriche e differenziali. La dimensione della matrice è pari a: presenti nel circuito. 1 , dove x è il numero di induttori indipendenti 76 Metodo delle Equazioni di Stato Questo metodo ha come variabili solo delle grandezze legate agli elementi dinamici, vi è perciò un insieme di N equazioni differenziali di primo ordine in forma normale, che prende il nome di equazione di stato: , Nota: La forma non normale è la seguente: , , 0 Se x fosse un vettore si avrebbe: … , , , Ci sono situazioni in cui non tutte le grandezze legate ad elementi dinamici possono essere variabili di stato, si parla perciò di candidate. Per il condensatore le variabili possibili sono: v o q Per l’induttore le variabili possibili sono: i o φ Se il condensatore o l’induttore sono lineari allora una variabile vale l’altra. Se il condensatore o l’induttore non sono lineari allora la scelta tra le due variabili dipende caso per caso. Considerando condensatori e induttori lineari si considerano per comodità i e v come candidate variabili di stato. Affinché siano effettivamente variabili di stato devono valere due proprietà: 1. Indipendenza Dinamica: tra le variabili di stato non vi deve essere alcun legame algebrico, deve cioè essere possibile assegnare arbitrariamente le condizioni iniziali 2. Completezza Dinamica: ogni altra variabile si deve poter ottenere dalle variabili di stato (e dagli ingressi) con legami algebrici Accanto all’equazione di stato vi è perciò la seguente equazione che prende il nome di equazione di uscita: , Dove sono le variabili di stato, mentre sono gli ingressi. 77 Nel caso di elementi lineari si ha: e hanno dimensione Se gli ingressi sono R, Se le uscite Nel caso sono S, ,1 , · · · · ha dimensione , ha dimensione ,1 e deve aver dimensione . , . deve essere , ha dimensione , e . 1 il sistema è SISO (Single Input, Single Output). Il sistema a volte si può trovare anche scritto nel seguente modo: · · · In questo caso le uscite non hanno la dipendenza diretta dagli ingressi. Il motivo per cui nella teoria dei circuiti compare già modellati (condensatori ed induttori). è dovuto al fatto che si utilizzano strumenti Il secondo sistema agisce come filtro passa-basso e rispetta di più alcuni fenomeni fisici. Tuttavia nell’analisi delle reti i condensatori e gli induttori sono modellati in maniera non fisica ed inoltre vi è una risposta istantanea fisicamente impossibile. Per questo è necessaria la presenza di · che considera la presenza di elementi non dinamici. A volte è anche presente il termine della derivata dell’ingresso. 78 Degenerazioni Topologiche e Parametriche I tipi di legame possono essere topologici o parametrici. I primi dipendono dalla struttura del collegamento, mentre i secondi dai valori assunti dagli elementi. Il fenomeno di degenerazione, che consiste nel passaggio dal legame differenziale ad uno algebrico, può essere puro se coinvolge solo elementi dinamici, ibrido se coinvolge anche generatori indipendenti. Si esaminano i casi principali di degenerazione: • Maglie di soli condensatori È un esempio di degenerazione topologica pura. V2 C V1 C C V3 0 Vi è un legame algebrico tra le tre tensioni e perciò al massimo due di esse possono essere variabili di stato per la proprietà di indipendenza dinamica. • Maglie di condensatori e generatori di tensione È un esempio di degenerazione topologica ibrida. V2 C V1 C C V3 VS 0 Vi è un legame algebrico tra le quattro tensioni e perciò al massimo due tra le tre tensioni dei condensatori possono essere variabili di stato per la proprietà di indipendenza dinamica. 79 • Insieme di taglio di superfici chiuse di induttori È un esempio di degenerazione topologica pura. I2 I1 L I3 L L 0 Vi è un legame algebrico tra le tre correnti entranti nel nodo centrale e perciò al massimo due di esse possono essere variabili di stato per la proprietà di indipendenza dinamica. • Insieme di taglio di superfici chiuse di induttori e generatori di corrente È un esempio di degenerazione topologica ibrida. I2 I1 L L IS I3 L 0 Vi è un legame algebrico tra le quattro correnti e perciò al massimo due tra le tre correnti degli induttori possono essere variabili di stato per la proprietà di indipendenza dinamica. Il numero di equazioni di stato è perciò pari a: Questo vale se vi sono solo , , . . e generatori non pilotati. 80 • Esempi di degenerazioni parametriche 1. C C C Se | | | | vi è di nuovo la maglia di condensatori. 2. C V1 V2 L · · È un giratore, ma perciò l’induttore L è visto come un condensatore e si ha una maglia. Le degenerazioni parametriche non sono immediatamente visibili, ma compaiono solo quando si fanno i conti con le variabili candidate. 81 Teorema di Sostituzione Supponendo non vi siano degenerazioni, le variabili di stato sono x, dove si hanno le tensioni per i condensatori e le correnti per gli induttori. All’interno del rettangolo sono presenti solo elementi resistivi e generatori. Si utilizza la convenzione degli utilizzatori: Vettore delle variabili di stato: · Leggi di Ohm: · · · Si può usare il Teorema di Sostituzione: se un circuito ha una e una sola soluzione si può sostituire ogni elemento con una tensione ai suoi capi V con un generatore di tensione pari a V. Se alla fine vi è sempre una e una sola soluzione, allora i due circuiti sono equivalenti. Esempio: R R L C R C R L R 82 Si sostituiscono perciò a induttori e condensatori i rispettivi generatori di tensione e corrente: Le variabili di stato sono perciò i nuovi generatori inseriti, mentre gli ingressi sono i generatori preesistenti. Esempi di applicazione del Teorema di Sostituzione su circuiti non degeneri 1. R L R 1 1 C · · Per il Teorema di Sostituzione: R R 1 1 · · R 1 1 · · 83 Si ottiene perciò la seguente equazione di stato: · 0 · 0 · · · Se si considera come uscita la corrente nel resistore: Si ottiene la seguente equazione di uscita: 0 · 0 · · · 2. Si consideri un circuito dove gli elementi dinamici sono stati messi in evidenza nel seguente modo (due condensatori e un induttore): Resistori e Generatori Si applichi il Teorema di Sostituzione, mettendo un generatore di tensione al posto di ogni condensatore e un generatore di corrente al posto dell’induttore: VC Resistori e Generatori I VC Se si suppone che non vi siano degenerazioni strutturali topologiche o parametriche, il circuito che ne risulta è puramente passivo e ammette una ed una sola soluzione. 84 Se si scrive il legame costitutivo degli elementi dinamici usando la convenzione degli utilizzatori sui bipoli si ottiene: C · VC IC f VC , VC , IL , u C · VC IC f VC , VC , IL , u L · IL VL f VC , VC , IL , u Le variabili complementari (che non sono variabili di stato per l’elemento dinamico) possono essere espresse in funzione di tutti i generatori che ci sono nel circuito e si ha perciò la dipendenza di f(…) oltre che dalle variabili di stato anche dai generatori eventualmente presenti (u). Esempi di applicazione del Teorema di Sostituzione su circuiti degeneri 1. Teorema di Sostituzione applicato ad una maglia di condensatori: C C C 2. Considerando ora lo stesso tipo di degenerazione strutturale topologica inserita all’interno di un circuito: IS R3 VC R VC C C C VC R1 Si esamina prima il caso in cui non vi siano generatori di tensione nella maglia, ovvero, il caso in cui la degenerazione sia pura (o omogenea). Essendovi una evidente degenerazione topologica non si possono usare contemporaneamente VC , VC e VC come variabili di stato, in quanto non è rispettata la proprietà di indipendenza dinamica (non si possono assegnare arbitrariamente le condizioni iniziali). Bisogna perciò togliere una delle tre tensioni dalle candidate variabili di stato. 85 Se si elimina VC dalle candidate variabili di stato, cioè non si sostituisce al condensatore C3 un altro generatore di tensione evitando così di formare una maglia di soli generatori di tensione e avere di conseguenza infinite soluzioni, si applica il teorema di sostituzione inserendo un generatore di corrente: IS R3 IC IC R VC VC R1 IC C · VC IC f VC , VC , IC , IS C · VC IC f … Dove VC e VC sono le variabili di stato, IC e IC sono due variabili in un circuito puramente resistivo e l’equazione della degenerazione permette di trovare IC : VC VC VC Si deriva rispetto al tempo e si moltiplica per C3: C · VC VC VC ·C IC f VC , VC , VC , VC , IS Si è ottenuto un sistema di due equazioni in due incognite del primo ordine differenziale lineare a coefficienti costanti. Infine, affinché sia in forma normale, bisogna spostare tutte le variabili con la derivata a sinistra della funzione, cioè bisogna passare alla seguente formulazione: VC VC Per far ciò bisogna considerarlo come se fosse un sistema in forma implicita ed esplicitarlo in funzione di VC e VC Il risultato finora ottenuto è valido quando ci sono degenerazioni strutturali topologiche omogenee pure, cioè maglie di condensatori o insiemi di taglio di induttori senza generatori indipendenti. 86 Si considera ora il caso in cui la degenerazione topologica sia ibrida (non pura / non omogenea), cioè quando vi siano maglie di condensatori che contengano anche generatori indipendenti di tensione: IS R3 VC3 C R VC1 VC C C R1 Scrivendo sempre l’equazione della degenerazione: VC VC VC VS Effettuando quindi la sostituzione immaginando di far uscire dall’insieme delle variabili di stato VC , si scrivono le due equazioni dinamiche: C · VC IC f VC , VC , IC , IS , VS C · VC IC f VC , VC , IC , IS , VS Si deriva rispetto al tempo e si moltiplica per C3 l’equazione della degenerazione: C · VC VC VC VS · C IC Si può osservare, che facendo il generatore parte del legame algebrico nell’equazione della degenerazione, quando si deriva quest’ultima per eliminare una delle candidate variabili di stato si deriva anche il termine noto. Sostituendo quindi IC : C · VC IC f VC , VC , VC , VC , IS , VS , VS C · VC IC f VC , VC , VC , VC , IS , VS , VS È necessaria un’elaborazione per scriverlo in forma normale. Una volta scritto in forma normale: x t A·x t B·u t B·u t 87 Vi è perciò la dipendenza dallo stato tramite la matrice A, dal termine noto tramite la matrice B e dalla derivata dal termine noto tramite la matrice B. Quest’ultimo contributo è causato dal fatto che si utilizzano modelli pre-costruiti per rappresentare condensatori ed induttanze. Per l’uscita si ha: y t C·x t D·u t … In conclusione si può osservare che, nelle equazioni di stato nel caso di degenerazioni strutturali non omogenee (o ibride) che contengono anche generatori, viene fuori la derivata dell’ingresso. Commento: La derivata dell’ingresso in termini di funzione di trasferimento significa moltiplicare per “s”, dove “s” è l’operatore derivata. Considerando ad esempio il legame tensione/corrente in un induttore, viene fuori un termine legato alla derivata dell’ingresso: V t L· dI t dt V s s·L·I s Z s s·L Il sistema descritto da equazioni di stato in cui siano presenti le matrici A B C D con D chiama improprio, mentre con D 0 si 0 si chiama proprio (questo è dovuto al fatto che il denominatore della funzione di trasferimento risulta di grado maggiore del numeratore). 88 Soluzioni delle Equazioni di Stato A·x t B·u t È un problema di Cauchy e la soluzione ha la seguente forma: A· A· · · · · A· Dove prende il nome di Matrice di Transizione, il cui calcolo può essere effettuato in vari modi, ad esempio con lo sviluppo in serie dell’esponenziale: 1 Il primo termine, ad ingressi nulli. A· · A· Il secondo termine, 2! 3! , dipende solo dalle condizioni iniziali e prende il nome di risposta · · · , è l’integrale di convoluzione tra la matrice di transizione e gli ingressi, dipende solo dagli ingressi e prende il nome di risposta con condizioni iniziali nulle. x t prende il nome di movimento e sono necessari della funzione. 1 assi per rappresentarlo dove è l’ordine Esempio: x 1 2 x1 t t x2 Si chiama traiettoria la proiezione del movimento nello spazio di stato, cioè nello spazio a dimensioni. 89 Nel caso a 3 dimensioni la traiettoria viene proiettata sul piano x1/x2 che prende il nome di spazio di stato o di fase: x1 x01 x02 x2 0 o è costante, sono perciò ammessi generatori di Un circuito si definisce autonomo se corrente e tensione costanti. L’insieme di traiettorie per diverse condizioni iniziali prende il nome di ritratto di fase: x1 x2 Si definisce Punto di Equilibrio ogni punto del piano di stato per cui valga A·x t In un circuito autonomo: 0 B·U • Se U • Se • Se U • | | 0 : vi è sempre un unico punto di equilibrio che è tuttavia localizzato fuori Se dall’origine degli assi e che vi può essere riportato tramite un cambiamento di variabile. Esempio: 0: | | A·x t 0:x t costante e i punti di equilibrio soddisfano la relazione A · x t 0 0 è punto di equilibrio unico 0 : i punti di equilibrio soddisfano la relazione ·B·U x2 x20 x10 x1 90 Considerando le variabili: Si ottiene: • | | 0 : ha infinite soluzioni e il numero di infinità è dato dalla differenza tra il rango Se massimo e il rango di . Esempio: Se 2 e il rango di è uguale a 1 esistono ∞ soluzioni. Se 2 e il rango di è uguale a 0 esistono ∞ soluzioni. Esempio di rango 0: V1 C1 · · Il circuito è del secondo ordine 0 0 2 , il rango di V2 C2 0 0 0 0 è uguale a 0 e perciò tutti i punti sono punti di equilibrio. 91 Esempio di rango 1: R I2 I1 V1 C1 C2 V2 Si suppongono: 0 0 0 In quanto si ha che: Si ottengono: · · 1 · 1 · · · 1 · 1 · La matrice risulta essere singolare ed ha rango 1. I punti di equilibrio sono dati da una retta: V1 V2 La bisettrice del primo/terzo quadrante è, in questo caso, l’insieme dei punti di equilibrio. A partire da una qualunque condizione iniziale i punti tenderanno ad andare sulla retta. Si può infine osservare che se il circuito è lineare si possono avere uno, nessuno o infiniti punti di equilibrio, mentre in un circuito dinamico non lineare i punti di equilibrio possono essere un numero qualsiasi. 92 Circuiti Lineari Circuiti Lineari del Io Ordine I circuiti del primo ordine sono quelli con un solo elemento reattivo o con più elementi che sono tuttavia degenerati a una sola equazione. Si può osservare che, mentre la forma dell’equazione del primo ordine è equivalente alla forma dell’equazione di stato, per il secondo ordine questo non è più vero: Primo ordine: equazione del primo ordine forma dell equazione di stato · · Secondo ordine: 2· · · · · equazione del secondo ordine forma dell equazioni di stato · · Per un circuito del primo ordine si può sempre fare un equivalente Thevenin o Norton: R C · Chiamando e · , si ottiene la forma: R L · Chiamando e · , si ottiene la forma: 93 Bisogna quindi considerare la condizione iniziale: (si pone uguale a 0 per semplicità). La soluzione si ottiene scrivendo il polinomio caratteristico: 1 1 0 · Dove si determina dalle condizioni iniziali, è la costante di tempo, è la frequenza naturale ed è un integrale particolare che soddisfa l’equazione e dipende dal termine noto, cioè dal generatore indipendente (molte volte ha la stessa forma del termine noto, ma non, ad esempio, se si ha un’onda quadra). È interessante studiare i circuiti autonomi, nei quali il termine noto è costante: se è nullo, il punto di equilibrio è l’origine, altrimenti vi è una semplice traslazione d’assi nel piano di stato. 0 (risposta libera del sistema): Per semplicità si pone il termine noto uguale a 0 e perciò · Il punto di equilibrio è Se 0 0, infatti: 0 0 0 0 : x traiettorie t Punto di Equilibrio Asintoticamente Stabile Ritratto di Fase Un punto di equilibrio si definisce stabile se allontanandosi di poco le traiettorie non divergono. Un punto di equilibrio si definisce asintoticamente stabile se per un qualsiasi spostamento le traiettorie tendono a tornare nel punto di equilibrio. Se 0 0 : x traiettorie t Punto di Equilibrio Instabile Ritratto di Fase 94 Esempio: Si consideri un condensatore con entrambi i morsetti aperti, esso ha asintoticamente stabile in quanto il suo punto di equilibrio è indifferente. 0 ed è stabile, ma non è Esempio: Asintoticamente Stabile Indifferente Instabile Quando il termine noto non è zero ma è costante, x t si scrive: 0 Dove ∞ · ∞ ∞ è il valore del punto di equilibrio a cui tende la soluzione e dipende dal generatore : V R 0 Se C t Si può osservare che vi è solo una traslazione d’assi. Se 0, ∞ prende il nome di punto di equilibrio virtuale e consiste nel punto a cui si arriva percorrendo l’asse dei tempi all’indietro ∞ . È, di conseguenza, il punto da cui provengono tutte le traiettorie. 0 (stabile) e per Un’altra osservazione è che le curve per ribaltate rispetto all’asse delle ordinate. Se si vuole trovare 0 (instabile) sono le stesse ma a partire da è immediato: 0 ∞ · ∞ x x0 x t x ∞ t t 95 Se si vuole invece trovare a partire da ∞ 0 : ∞ · 0 ∞ ∞ Si ottiene: · 0 ∞ ∞ Questo è applicabile anche a circuiti non lineari la cui componente resistiva è esprimibile con una curva lineare a tratti (spezzata) e la componente dinamica è lineare. Esempio: Diodo Tunnel I V 96 Circuiti Lineari del IIo Ordine I circuiti lineari del secondo ordine possono essere descritti in modo equivalente da una delle due seguenti forme: A·x t B·U 0 2· · · 0 0 Nota: Le condizioni iniziali nella seconda espressione devono arrivare fino alla derivata di ordine pari all’ordine N della funzione meno 1. Esempio: Studio del comportamento del circuito risonante RLC IC IR IS(t) R IL C L Si scrive la Legge di Kirchhoff per le correnti: · Si ottiene: · Ponendo · 2· e · · · si ottiene: 2· · · Si possono scrivere in alternativa le due equazioni di stato: · 97 In forma matriciale: 1 · 1 La traccia della matrice è pari a: 1 · 2· | | · 0 0 · Il determinante della matrice è pari a: 1 e prende il nome di smorzamento. e prende il nome di pulsazione di · risonanza. Si può quindi riscrivere la funzione come: | |· · Si consideri ora il comportamento libero: 0 R 0 C L V Si scrive il polinomio caratteristico: 2· · 0 Le soluzioni λ1 e λ2 si chiamano frequenze naturali, naturali poiché descrivono il comportamento in assenza di generatori, libero. La soluzione per è: · · · · In generale, se le frequenze naturali sono distinte, la soluzione si può sempre scrivere come sommatoria di esponenziali: se l’ordine è N si hanno N esponenziali. 98 Le soluzioni e possono essere reali, complesse coniugate e immaginarie pure: , 1. Se e sono due radici reali distinte 2. Se e sono due radici reali coincidenti 3. Se e sono due radici complesse coniugate 4. Se 0 e sono due radici immaginarie pure · Nel caso 2 si scrive: · Nel caso 3 si scrive: 0, cioè se Se · · · cos · · 0: 1 Sovra-smorzato 2 Smorzamento Critico 3 Sotto-smorzato 4 Senza Perdite si può cambiare Dal punto di vista elettrico, mantenendo costante resistenza: per avere grande è necessario avere piccola. Per ∞, modificando il valore della 0 e perciò il circuito si riduce a un semplice CL. 99 Considerando il piano complesso: Im 3 4 ω Re 1 2 1 3 4 diventa una semicirconferenza In rosso è indicato il luogo delle radici al variare di . Per di raggio . Quando vi è la parte immaginaria vale la relazione: Quando le singolarità sono nel semipiano sinistro il circuito è asintoticamente stabile, se sono sull’asse delle ordinate con molteplicità 1, allora il circuito è stabile: 0 0 Si vuole ora ricavare la soluzione tramite le equazioni di stato: questo metodo risolutivo fornisce due variabili e permette di tracciare il ritratto di fase. · 0 Gli autovalori di sono le soluzioni del polinomio: · 0 Dove è la matrice identità. Gli autovalori di prendono il nome di frequenze naturali, in quanto il polinomio che si ottiene è lo stesso che per la funzione del secondo ordine: · 1 · 1 1 1 · · 1 · 2· · 0 100 La soluzione si esprime attraverso una combinazione lineare di autovettori. Se si moltiplica un generico vettore per la matrice si ottiene un vettore qualunque: · x2 x1 Quando un vettore rimane allineato con il vettore di partenza, quello prende il nome di autovettore, cioè la moltiplicazione per la matrice è uguale alla moltiplicazione per uno scalare: · · x2 x1 Si può applicare a spazi di qualunque dimensione. Esempio: Nello spazio funzionale, rispetto all’operatore derivata gli esponenziali sono autovettori dello spazio. Se gli autovalori sono distinti, cioè modo: Dove e , la soluzione · · sono gli autovettori relativi a e · si può perciò scrivere nel seguente · · · Per controllare se la soluzione è corretta, si può inserire nell’equazione di partenza e vedere se essa è verificata: · · · · · · · · Le due espressioni sono uguali in quanto: · · · · · · · · · · · per definizione di autovettore. 101 Si può osservare che l’autovettore non è altro che una direzione e quindi nel piano è una retta. x2 x1 Questa affermazione vale se gli autovettori sono reali. Scrivere la funzione in questo modo rappresenta lo stato · non più x1 e x2: · secondo una base formata da , dove il segno sopra e e e indica che sono considerati ad un determinato istante di tempo t. È semplicemente un cambiamento di base. 0 vi è Se si considera come condizione iniziale un punto che si trova sull’autovettore: all’istante solo una delle componenti. Se si trova su un autovettore, la sua traiettoria non può uscire dall’autovettore. Gli autovettori sono perciò particolari traiettorie che passano per l’origine che è punto di equilibrio. 0e Si considerino 0 reali: x2 Im x1 Re Dove il punto indica la condizione iniziale, le frecce blu la sua proiezione su tratteggiate in rosso sono le parallele rispettivamente a e e le linee e (nel caso in esame) indica una costante di tempo grande e dà origine a un autovettore lento. (nel caso in esame) indica una costante di tempo piccola e dà origine a un autovettore veloce. Perciò esse hanno peso diverso in istanti di tempo diversi: • Per ∞ il contributo dell’autovettore veloce è praticamente nullo e perciò le traiettorie tendono ad adagiarsi su 102 • Per 0 (o per gli istanti di tempo che provengono da su , l’autovettore lento è trascurabile x2 ∞) le traiettorie tendono ad adagiarsi veloce lento x1 Esempio: 2· 3· 1,1 3· x2 P x1 Nel punto P: 1 2 aumenta, mentre diminuisce La traiettoria si può ottenere prendendo numerosi punti. Tra i punti che si prendono si considerano quelli che hanno direzione parallela agli assi: 0 0 2· 3· 3· 0 0 Si sono ottenute due rette con traiettorie parallele agli assi e che si incontrano nell’origine. Nel caso lineare sono delle rette e si chiamano null-cline (nel caso non lineare sono curve). Quando le due frequenze naturali sono reali e negative, l’origine prende il nome di nodo stabile e corrisponde al caso sovra-smorzato. 103 Nota Importante: Cambiando il segno a ea gli autovettori veloce e lento si scambiano di ruolo e le frecce cambiano direzione. Il punto si dice di equilibrio instabile e per crearlo con un RLC bisogna implementare una resistenza negativa. 104 Analisi Grafica al variare delle Autosoluzioni La conoscenza della matrice permette di costruire il ritratto di fase. Si procede con la determinazione degli autovalori di · : 0 , Da λ e λ si possono determinare i rispettivi autovettori η e η e si può scrivere: · · · · · · 1. Se λ e λ sono reali negativi, l’origine è un punto di equilibrio e prende il nome di nodo stabile. Im Re L’autovalore vicino all’asse immaginario λ prende il nome di autovalore lento, mentre l’autovalore lontano dall’asse immaginario λ prende il nome di autovalore veloce. Esempio: 2 1 1 2 Si ricavano i punti di equilibrio: · 0 0 Si ottiene che l’origine è l’unico punto di equilibrio. · 2 1 1 2 Si ottengono perciò i due autovalori 2 1e 1 2 1 · 2 1 0 3 Si può osservare che: 4· 3 · 0 105 Parentesi storica: Il polinomio si chiama “secolare” perché questa tecnica è stata utilizzata nella meccanica celeste per calcolare la parte principale delle orbite dei pianeti, è il movimento lento dei pianeti che si sviluppa nel corso dei secoli. Tornando all’esempio: Im associato all’autovalore λ L’autovettore Re 1 3 prende il nome di autovettore lento, mentre associato all’autovalore λ prende il nome di autovettore veloce. l’autovettore Calcolo degli autovettori: 2 1 1 · 2 1 · · λ · 2 1 1 · 2 3 · · λ · Per ogni autovettore è sufficiente risolvere solo una delle due equazioni, in quanto forniscono la stessa informazione sulla direzione, perciò: 2· 2· L’autovettore 2°-4° quadrante: 1· 1· 1· 3· è perciò la bisettrice del 1°-3° quadrante, mentre l’autovettore è la bisettrice del x2 lento x1 veloce Se la condizione iniziale è su un autovettore, la traiettoria rimane sull’autovettore stesso, se è su un qualunque punto del piano, le componenti sono date dalla regola del parallelogramma. Per ∞ le traiettorie tendono ad adagiarsi sull’autovettore lento. Si può infine osservare che le traiettorie non possono intersecare gli autovettori. 106 ; 1 ; per sapere l’andamento delle traiettorie Si consideri ad esempio il punto di coordinate bisogna calcolare la derivata nel punto: Poiché 0 3 1 1 2 · 2 1 2 1 0, la traiettoria deve essere tangente all’asse 0 e decrescente 3 2 0: Può essere utile trovare il luogo dei punti dove 0 2· 2 2· Tutti i punti della retta sono punti in cui la traiettoria è tangente a passa per l’origine degli assi. x2 e si può osservare che la retta lento 1 1 x1 2 veloce Metodo di Jordan: Se la matrice è 2x2 si può moltiplicare a destra e a sinistra con due matrici create con gli autovettori e si ottiene la matrice diagonalizzata: 1 0 0 che presenta gli autovettori sulla 3 diagonale. Nel nuovo sistema di coordinate i due nuovi assi sono gli autovettori. 2. Se λ e λ sono reali positivi gli autovettori si scambiano (l’autovettore veloce diventa quello lento e viceversa), l’origine è sempre un punto di equilibrio e prende il nome di nodo instabile e le frecce sono direzionate verso l’esterno. 107 3. Se λ e λ sono reali di segno opposto, ad esempio λ · · · 0eλ · 0, allora si ha che: · · Le condizioni iniziali che si trovano sull’autovettore stabile tendono ad andare nell’origine per ∞ in quanto non vi è il contributo dell’autovettore instabile, viceversa per le condizioni iniziali che si trovano sull’autovettore instabile. Per che va da ∞ a ∞ inizialmente domina l’autovettore stabile e poi quello instabile: le traiettorie risultano essere delle iperboli. x2 instabile stabile x1 Si può osservare che nei casi lineari vi è simmetria centrale. L’origine in questo caso è un punto di sella: La pallina è stabile se e solo se si trova esattamente sull’autovettore stabile. Numericamente non è possibile ricavare direttamente la traiettoria stabile con un risolutore, poiché basta una piccola perturbazione affinché diventi instabile. Bisogna partire dal punto di sella (l’origine) e proseguire all’indietro nel tempo (verso ∞) per ottenere l’autovettore stabile. 108 4. Se λ e λ sono complessi coniugati, λ · Gli autovettori e α , · j · β , allora si ha che: · · · · risultano a loro volta complessi coniugati: Con passaggi matematici si possono ottenere sinusoidi smorzate, dove α è lo smorzamento e β è il periodo di oscillazione. Se 0 il punto di equilibrio 0,0 prende il nome di fuoco stabile: x2 x1 Le spirali sono del tipo logaritmico. Se 0 il punto di equilibrio 0,0 prende il nome di fuoco instabile: x2 x1 Si ricorda sempre che le traiettorie non si intersecano mai. 109 5. Se λ e λ sono immaginari puri, λ j · β , allora si ha che: , · Gli autovettori e · · · · · risultano a loro volta immaginari puri e si possono ricavare seni e coseni. Graficamente si ottengono delle ellissi che sarebbero delle circonferenze nel caso in cui fossero con la stessa fase e la stessa ampiezza. Il verso di percorrenza delle elissi stesse dipende dalla convenzione utilizzata nella definizione dei parametri del circuito. Si possono sempre determinare i punti a tangente orizzontale e quelli a tangente verticale: x2 x1 Vi è perciò una soluzione periodica che dipende dal punto iniziale. L’origine è un punto di equilibrio e prende il nome di centro, è stabile ma non asintoticamente stabile, in quanto basta una piccola perturbazione per finire su una delle ellissi. Esempio: Circuito LC C L L’oscillatore lineare è caratterizzato dal fatto che l’ampiezza dell’oscillazione dipende dalle condizioni iniziali, mentre il periodo dell’oscillazione dipende dal valore di LC. 110 6. Se λ e λ sono coincidenti allora si ha che: · · · · Vi sono due autovettori coincidenti, deve inoltre valere che non vi sia interazione tra le due variabili. Esempio: Se 0 0 : · 0 0 0 λ , La soluzione è: · · · · Si può osservare che il punto di equilibrio è sempre l’origine. Da e bisogna ricavare equazione per la seconda si ottiene: da una e sostituirlo nell’altra, dividendo la prima · Ne consegue che tutte le rette del piano passanti nell’origine sono traiettorie e il verso di percorrenza dipende se è maggiore o minore di zero. x2 x1 Se 0 è la forma canonica di Jordan che ha sicuramente come autovalori due valori identici. I due autovettori tendono a coincidere ed è perciò sufficiente determinarne uno solo. I due sistemi non sono disaccoppiati, bensì sono unidirezionali. 111 · · · · · … Si riscrive quindi la seconda equazione come: · · · · Si può osservare che, scritta in tal modo, è un’equazione differenziale non omogenea. La soluzione è quella dell’omogenea associata più un’integrale particolare. Perciò, in questo caso, si ottiene: · E la dipendenza del tempo da 1 7. Se λ ∞ · 0 la matrice · si ricava dalla soluzione della prima equazione differenziale: · 0eλ · 1 · · risulta singolare e i punti di equilibrio sono infiniti e pari a: , dove N è il rango massimo della matrice e r è il rango effettivo. · 0 0 si ha: Quando · è della forma · 0 , · , cioè una riga è proporzionale all’altra. I punti di equilibrio sono dati da: · 0 · · 0 · x2 È una retta di punti di equilibrio · x1 112 Il primo autovettore è dato da: · · 0 La retta dei punti di equilibrio è anche l’autovettore legato all’autovalore nullo 0 Il secondo autovettore è dato da: · · · · · · · · · · · Si ottiene perciò: · Le traiettorie risultano quindi parallele all’autovettore : x2 0 x1 Esempio Circuitale: V C 1 2 C R 1 1 t Se inizialmente vi è una diversità di carica sui due condensatori vi è una corrente in R che li porta ad avere la stessa carica a regime. Il punto di equilibrio dipende dalla carica accumulata sui condensatori all’istante iniziale: in quanto la carica non può uscire dal circuito è sempre vero che vi è un punto di equilibrio diverso da zero (uguale a zero se e solo se i due condensatori sono precaricati esattamente con carica opposta). 113 Nota Importante: La presenza di insiemi di Taglio (superfici chiuse) di soli condensatori rivelano la presenza di una frequenza naturale nulla. C1 C2 R Si scrivono le equazioni di stato: 2· 2 1 2 , In questo caso si hanno: 2 e 2 1 e di conseguenza: · 0 3 1 · 2 · x2 0 x1 3 La soluzione è data da: · · · · · · 1 1 1 1 · · · · · · 1 · 2· 2 · · · · 2· · 114 Dividendo la seconda equazione per la prima si ottiene: 1 2 1 · 2 Si è ottenuto un insieme di rette con coefficiente angolare 1 precedentemente. Infine, se è negativo tutte le traiettorie convergono, se 2 come si era affermato è positivo divergono. x x 0 0 x x 0 0 8. Se λ , 0, cioè entrambi gli autovalori sono nulli, tutti i punti del piano sono punti di equilibrio. Esempio: 0 0 0 0 0 0 Vi sono due insiemi di taglio di condensatori e quindi λ piano e ha rango 0. Se 0 invece fosse: , 0, le traiettorie sono tutti i punti del 0 0 0 · 0 λ 0 , Tuttavia il rango della matrice non è 0, ma è 1. Si ha che: · 0 0 · · · 115 Prendendo un qualsiasi punto iniziale, seconda del segno di e di . rimane costante, mentre cresce e decresce sempre a Punti di equilibrio x2 x1 Es. di condizione iniziale Esempio Circuitale: V1 hV1 1 1 Vi è un ulteriore caso da esaminare, quando · 1 1 1 : 1 1 1 0 λ , 0 Si determinano i punti di equilibrio: 0 È un caso di due autovettori coincidenti ed uguali a zero. . Le traiettorie risultano perciò come quelle del caso x2 0 0 , ma ruotate: 0 x1 116 Grafico riassuntivo: Im , . . , 0 , 0 , . . 0 0 , Re 0 , , . . 0 , . . 0 , Il termine esponenziale legato ad un autovettore prende il nome di modo naturale del sistema. Quando ci si posiziona su un autovettore come condizione iniziale, vuol dire che si eccita solo quel particolare modo del sistema, mentre se il punto iniziale è fuori dagli autovettori allora si eccitano tutti i modi. La forma d’onda legata ad un modo naturale del sistema è un esponenziale puro. 117 Circuiti Dinamici Non Lineari Circuiti Dinamici Non Lineari del Io Ordine Si consideri il caso quando si ha un elemento dinamico e qualcosa di resistivo dove risiede la non linearità. I NL V La non linearità deve essere espressa come essendoci collegato un condensatore; si utilizza di solito la convenzione degli utilizzatori per il bipolo non lineare. 0 I Caratteristica resistore non lineare V2 V1 V V0 Il movimento del punto iniziale può avvenire solo sulla curva del resistore e prende il nome di percorso dinamico. Per sapere il verso delle frecce bisogna esaminare la derivata di V: finché la corrente è positiva la tensione decresce (a causa del segno meno), viceversa quando la corrente è negativa. Proiettando sul piano di stato (che al primo ordine è una retta): V V=0 I punti di equilibrio sono dati da: 0 Si può quindi osservare che il punto 0 0 è un punto di equilibrio stabile. 118 La corrente varia a seconda dell’andamento di V: V V1 V2 t t2 t1 I t1 t t2 Esempio di un’altra caratteristica non lineare: I V0 P3 P2 V P1 Vi sono più punti di equilibrio, sia stabili che instabili: V , 119 Tornando al caso di partenza, si può linearizzare a tratti la curva non lineare: I V2 V1 V V0 Si possono così ricavare le soluzioni analitiche del seguente circuito: I V GM IS Dopo l’istante nel quale si è raggiunto si considera non più la soluzione precedentemente ottenuta, ma si deve ricavare la soluzione analitica del nuovo circuito con la nuova retta e quindi diversi e . Esempi: 1. I M V O N Per rappresentare una curva di questo tipo è necessario avere non solo resistenze ma anche generatori; infatti essendo la caratteristica presente nel secondo/quarto quadrante vi è generazione di potenza e non solo dissipazione. È necessario utilizzare operazionali con la rete di polarizzazione. 120 I NL V Equazione dinamica del condensatore: Se 0 decresce, se 0 , dove il meno è dovuto alla convenzione scelta. cresce. 0 Si determinano i punti di equilibrio: sono i punti in cui: Perciò: 0, 0 0 è punto di equilibrio instabile. M ed N non sono punti di equilibrio, ma quindi non si può rimanere in loro. Servirebbe un modello che introduca effetti che sono stati trascurati. Con il modello correntemente utilizzato si può sfruttare la proprietà di un condensatore sua tensione è una grandezza continua nel tempo (purché la corrente sia limitata). per cui la Il percorso dinamico, mantenendo la continuità nella tensione, può passare da M a M’, con tuttavia un salto della corrente. La stessa situazione si ripropone nel passaggio da N a N’. I N’ G IS M V O VV N M’ I punti M ed N prendono il nome di punti di vicolo cieco o “empasse”. Si consideri di trovarsi nel punto N’, nel primo tratto il suo andamento è schematizzabile come: V C G · · IS 121 V VN’ t t VM VV Dopo che è arrivato a VM passa in VM’ VM e così via. L’andamento totale è perciò il seguente: V VN = VN’ t t t t VM = VM’ È un oscillatore e prende il nome di multivibratore astabile. Può essere fatto con due BJT collegati in maniera opportuna ed è un circuito autonomo che necessita anche di alimentazioni. L’andamento della corrente si ricava dalla curva precedente considerando la presenza del condensatore: I t t t t Si è costruito un oscillatore con un circuito del Io ordine, purché la caratteristica resistiva sia non lineare e siano presenti generatori. Si suppone che il passaggio da VM a VM’ sia istantaneo, cosa fisicamente impossibile ma che rende accettabile il circuito. 122 Si sono trascurati gli effetti induttivi: se si inserisce un’induttanza il circuito diventa del IIo ordine ed il passaggio tra VM e VM’ non è più istantaneo, infatti più è piccolo l’induttore, maggiore è la velocità del passaggio da VM a VM’. V 2. I V L NL I È un circuito equivalente al precedente. Si sono cambiati sia gli assi che l’elemento dinamico. 3. I P I V L M NL V O N Q Si è presa la stessa caratteristica iniziale, ma si è cambiato l’elemento dinamico. Si scrive quindi l’equazione di stato per l’induttore: Se 0 decresce, se 0 cresce. Si determinano i punti di equilibrio, sono i punti in cui: 0 0 Perciò i punti P, O e Q sono punti di equilibrio: P e Q sono punti di equilibrio stabile, mentre O è un punto di equilibrio instabile. 123 Questo circuito, avendo due punti di equilibrio stabile, prende il nome di bistabile. Se si è in uno dei due punti di equilibrio stabile, per passare nell’altro è necessario agire dall’esterno con un generatore di tensione: E da P a Q I V L ΔT NL t ΔT da Q a P Il segnale (l’onda quadra) per passare da P a Q e viceversa prende il nome di segnale di Trigger. L’induttore vede sia il dispositivo non lineare, sia il generatore di tensione Corrisponde a spostare a destra di un’ampiezza pari a . la caratteristica. Si vuole che , in questo modo si ottiene un punto di equilibrio che non è Q, ma poi spegnendo il Trigger il punto si sposta in Q, essendo un punto di equilibrio stabile. Il Trigger deve avere ES VM e durata ΔT sufficiente a far attraversare l’asse delle ascisse. I P ES V Q’ 124 Circuiti Dinamici Non Lineari del IIo Ordine , , Uguagliando a zero e si ottengono tutti i punti di equilibrio. x2 x1 Si considera ogni punto di equilibrio e si studia il suo contorno scrivendo lo Jacobiano e il circuito linearizzato corrispondente. Si ottiene così: · Si verifica quindi l’intorno di ciascuno dei punti di equilibrio risolvendo i circuiti del secondo ordine equivalenti. Si tentano poi di collegare le traiettorie ottenute nell’intorno di ogni punto di equilibrio tra loro. 125 Circuiti Dinamici Lineari nel Dominio delle Trasformate Lo studio dei circuiti dinamici lineari avviene applicando la trasformata di Laplace a tutto il circuito oppure applicandola al singolo elemento considerando la legge di Ohm e la condizione iniziale del componente stesso. Esempio: · Per un’induttanza: 0 Trasformata di Laplace: · · · Si ricorda che l’operatore di Laplace è un operatore lineare. L’operazione di derivata nel dominio delle trasformate di Laplace avviene moltiplicando per la variabile e tenendo conto della condizione iniziale. Esempi: Per un’induttanza: · · Per un condensatore: · · Per un resistore: · 0 0 Tutte le leggi valide nel dominio del tempo sono applicate nel dominio della trasformata di Laplace. Esempio: Analisi Nodale 1 2 2 1 3 3 Per il condensatore: · · · 126 Per l’induttore nell’analisi nodale bisogna esprimere I s in funzione di V s . 1 · · · · . · · · . · Scrivere l’analisi nodale in trasformata di Laplace corrisponde perciò a: · Dove: • è la matrice dell’analisi nodale • è il vettore che contiene la trasformata di Laplace delle incognite • è il vettore che contiene la trasformata di Laplace del termine noto • è il vettore che contiene le condizioni iniziali degli elementi dinamici, è un numero costante Vi sono sia i termini forzanti dovuti a sia le condizioni iniziali contenute in Si può scrivere: · · Dove: • · è la risposta del circuito con condizioni iniziali nulle e può servire per ricavare la funzione di trasferimento • · è la risposta del circuito con forzanti nulle e serve per ricavare le frequenze naturali della rete Quando vale · 0 si parla di comportamento autonomo del circuito. Perciò, nel dominio delle trasformate di Laplace, forzanti e condizioni iniziali compaiono nella stessa equazione e si può considerare il circuito equivalente con condizioni iniziali nulle inserendo un generatore costante nel dominio della trasformata; equivalente ad un generatore impulsivo nel dominio del tempo. 127 Esempio: Si consideri una rete RC con il condensatore inizialmente carico: R C Nel dominio del tempo: · · 0 0 Nel dominio della trasformata di Laplace: · · · 0 · · · · In questo caso si ha come un impulso di corrente che fornisce istantaneamente la carica condensatore: 0 R C · al Se si vuole fare l’equivalente Thevenin, si spegne il generatore e si valuta la resistenza e quindi la tensione di uscita a vuoto: C · · · Si ottiene quindi: 128 Nel tempo è perciò un gradino di ampiezza . 129 Calcolo delle Frequenze Naturali Vi sono diversi metodi per esprimere l’equazioni risolutive di un circuito: Sparce Tableau: · Dove: • è una matrice di operatori lineari contenente l’operatore di derivata • è il vettore delle incognite • è il vettore dei termini noti Analisi Nodale: · Dove: • è una matrice di operatori lineari contenente l’operatore di derivata. • è il vettore delle incognite • è il vettore dei termini noti Equazioni di Stato: · · · Dove: • Se • Se gli ingressi sono R, e hanno dimensione ,1 , ha dimensione ha dimensione ,1 e , . ha dimensione , . 130 Si vogliono calcolare le frequenze naturali della rete, quelle per cui sono nulli i termini noti. Si cerca se sono ammesse come soluzioni particolari degli esponenziali puri, cioè delle soluzioni che si trovano su un autovettore. Se ciò è verificato, vale la proprietà che la sua derivata corrisponde all’esponenziale puro moltiplicato per il suo esponente (senza la variabile): · · · Perciò: 0 , dove · · · è un esponenziale puro. 0 La soluzione è diversa da zero se e solo se: Questo vale per ogni metodo e lo si ritrova nelle equazioni di stato: · 0 Si determinano in questo modo gli autovalori di stesso polinomio caratteristico e si può osservare che tutti i metodi hanno lo a meno di una costante. Esempio: 1 1 1 2H 2 5Ω 8 0 Si vogliono trovare le frequenze naturali del circuito. Si applica il metodo della Equazioni di Stato. Le variabili di stato sono e : 1 8 1 2 · · · 2 , 5 · · 0 2 5· 8 3 10 · 10 16 8 10 0 2 8 Questo circuito ha perciò due frequenze naturali reali e negative. 131 Se si applicasse invece il metodo MNA: Nodo 1: · Nodo 2: · 0 0 · Legge di Ohm per L: 0 · Sostituendo la derivata rispetto al tempo con 0 si ottiene: 1 1 · 8 2 0 0 1 1 5 1 · 1 1 · 2 1 Le frequenze naturali sono date da: 1 1 · · · 8 5 0 1 · 2 0 1 ·1·1 5 0 1 1 · · 8 1 · 0 0 Si ottiene: 1 · 80 10 · 16 0 2; È il risultato precedente moltiplicato per una costante 8 . Nota importante: Per calcolare il determinante si è utilizzato il metodo seguente: Se si ha una matrice data da: Il suo determinante è dato da: · · · · · · · · · · · · 132 Un altro metodo consiste nel considerare direttamente l’unica maglia delle tensioni fornita dal circuito. Derivando e sostituendo l’unica corrente incognita si ottiene: 0 Sostituendo · · 0 alla derivata: 2 5· 8 · 0 Da cui si ottengono nuovamente le frequenze naturali. Si può osservare che vi è la frequenza naturale nulla se nel circuito vi è un insieme di taglio di condensatori (o una maglia di induttori). L C C N L L C ∞ si hanno delle Fisicamente: le cariche si possono spostare ma non scaricare e perciò per tensioni finite e 0 Matematicamente: Applicando la KCL al nodo N vi è una riga dove comparare in ogni elemento diverso da zero. Quindi il calcolo del determinante si può fare calcolando lo sviluppo lungo quella riga. … 0 … 1 · 2 · … … 1 … 0 … 3 · … … 2 … 0 … 0 … … 3 … 0 Dove si sono presi i singoli elementi della riga e si sono moltiplicati per il determinante della matrice ottenuta eliminando la riga e la colonna corrispondente a quell’elemento e poi si sono sommati insieme tutti i risultati così ottenuti e il risultato è stato posto uguale a 0. 133 Applicazione della Trasformata di Laplace Si consideri il circuito seguente: Con le condizioni iniziali date da: 0 0 0 Si rappresentano i generatori di tensione e corrente come e : · Dove: • • sono dei numeri che tengono conto delle condizioni iniziali (trasformata della funzione impulso nel dominio del tempo) è il vettore dei termini noti Si ottiene: · · Il risultato è, naturalmente, in trasformata di Laplace. Sia al denominatore che al numeratore vi è un polinomio nella variabile . Ma quindi ogni variabile è rappresentata da un rapporto tra due polinomi nella variabile : Questa non è la soluzione del circuito ma la sua trasformata e per tornare nel dominio del tempo bisogna anti-trasformare. 134 Il metodo usato è scrivere la funzione come moltiplicazione di trasformate note: 1 1 1 1 · Del rapporto di polinomi bisogna perciò scrivere lo sviluppo in frazioni parziali nel seguente modo: 1. Se è di grado superiore o uguale a bisogna effettuare la divisione. Esempio: Si consideri di un grado maggiore di : · Una frazione con di grado superiore a prende il nome di propria. 2. Bisogna fattorizzare il denominatore: 1 · · ·… Si può osservare che si sta considerando il caso in cui le radici siano semplici. Si scrive quindi lo sviluppo di Hermite o in frazioni parziali: , , prendono il nome di residui e si possono calcolare in due diversi modi: a. Con il principio di identità dei polinomi · · ·… · · ·… b. Con il metodo dei residui lim · Ottenuti i residui si ottiene la soluzione come somma di esponenziali che possono essere sia reali · · · che immaginari: · · · 135 Funzione di Rete Si definisce matrice di funzioni di rete il rapporto tra la trasformata di Laplace delle uscite e la trasformata di Laplace degli ingressi con le condizioni iniziali nulle. In generale con R uscite e M ingressi si ha: · · Si può scrivere: · · · · · Le dimensioni sono: ,1 , ,1 ,1 , Si vuole ricavare la funzione di rete, cioè · · in funzione di solo · · , di dimensioni 1 , allora : · · Si osserva che se , · Si definisce quindi una matrice , · · · · : · · è uno scalare. ingresso generatore uscita lettore G S Quando generatore e lettore sono sullo stesso ramo si parla di impedenze e ammettenze, su due rami diversi di trans-impedenze e trans-ammettenze. · · · · 136 Si chiamano zeri di le radici del numeratore e poli di le radici del denominatore. Per le frequenze naturali le soluzioni sono dove è l’ordine dinamico del sistema, mentre in questo caso vi può essere il fenomeno di cancellazione tra numeratore e denominatore. Ma quindi i poli o sono coincidenti con le frequenze naturali o ne sono un sottoinsieme. Esempio: Considerando il circuito precedente, se la funzione di rete è presa in modo corretto, allora vi sono due poli: 2e 8 1 1 1 2H 2 5Ω 8 0 Prendere in maniera corretta la funzione di rete corrisponde a non avere modifiche nel circuito a generatori spenti: CORRETTO CORRETTO NON CORRETTO L’ultimo circuito non è corretto in quanto il generatore di tensione spento è un corto circuito e il circuito risultante non è più corretto. Nota importante: Il generatore di corrente e il voltmetro devono essere posizionati in parallelo, il generatore di tensione e l’amperometro devono essere posizionati in serie. 137 Esempi di casi in cui i poli siano un sottoinsieme: 1. 1 frequenze naturali: 2 8 2. V gmV Il circuito ha sicuramente due frequenze naturali non essendoci degenerazioni. Se si eccitasse con un generatore di corrente e si leggesse con un voltmetro si avrebbero due poli: V gmV Se si invertono generatore e lettore si elimina la funzione di trasferimento 0 : V gmV Se si mettono sullo stesso ramo vi è un solo polo: V gmV Si può quindi osservare che il problema della cancellazione è legato ai fenomeni di osservabilità e controllabilità. 138 Ritornando a considerare la funzione di trasferimento e considerando per semplicità il caso in cui è uno scalare: · · · Se non ci sono degenerazioni ibride (cioè non compare la derivata dell’ingresso): a. Se 0 il grado del numeratore è strettamente minore del grado del denominatore: | | | | b. Se 0 il grado del numeratore è minore o uguale al grado del denominatore, in quanto vi è un legame diretto tra uscita ed ingresso: | | | | Se ci sono degenerazioni ibride, il grado del numeratore può essere superiore di un’unità al grado del denominatore, in quanto la derivata nel tempo dell’uscita è esprimibile nella trasformata di Laplace come l’operatore : | | | | 1 Esempio: I(s) V(s) L · · · Se la funzione di rete è un’impedenza o un’ammettenza propria (cioè è quella di un bipolo) vale la condizione necessaria per cui il grado del numeratore e quello del denominatore possono differire al massimo di un’unità: | | | | 1 0 1 2· 3 Esempio: 1 Non può essere un’impedenza o un’ammettenza in quanto | | | | 2 139 Considerando ora due bipoli con la stessa struttura e stessi valori dei componenti: 1Ω I 1Ω 1Ω 1F 1F V 1Ω 1F 1F I bipoli si definiscono equivalenti se vale la relazione Questi due circuiti hanno tuttavia frequenze naturali diverse, infatti, considerando la rete spenta, (generatori posti a zero) si ottengono due reti diverse: 1Ω 1Ω 1Ω 1F 1Ω 1F 1F 1F Pertanto i poli di sono diversi dai poli di . Ciò è ovvio se si osserva che i poli di risultano essere uguali agli zeri di Y e viceversa. Se si considerano invece i due seguenti bipoli (ai nodi A e B): 1Ω A I 1Ω V 1Ω 1F I 1F 1Ω 1Ω 1Ω 1F A 1F V B B I due circuiti spenti sono uguali e perciò le frequenze naturali del primo sono le stesse del secondo. Se del primo si considera stessi di e del secondo si ha che i poli di sono gli (se non ci sono cancellazioni). Di conseguenza e i due bipoli non sono equivalenti. Si può osservare che qualsiasi sia la funzione di trasferimento i poli sono sempre selezionati tra le frequenze naturali del circuito. 140 Legame tra la Funzione di Rete e la Risposta in Frequenza R VIN VOUT C La funzione di rete è data da: · Si supponga che 1 1 · 1 1 · · sia un generatore sinusoidale: · · Si può dimostrare che la conoscenza della funzione di rete valore di a regime. valutata in permette di trovare il Dimostrazione: · Si supponga di voler trovare · a regime quando l’ingresso è di tipo sinusoidale. I passaggi da svolgere sono i seguenti: • Si trasforma in • Si moltiplica per • Si antitrasforma con la trasformata di Laplace e si ottiene in questo modo e si fa il suo limite per ∞ 141 Si scrive come somma di esponenziali complessi: 1 · 2 · Dove: · · · 1 · 2 · · · 1 · 2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · è un numero complesso e è un numero complesso coniugato. Poiché il sistema è lineare, si applica la sovrapposizione degli effetti valutando prima separatamente e e poi sommando i risultati ottenuti. Si effettua quindi la trasformata di Laplace di : 1 · 2 Si ricava 1 · · utilizzando la funzione di trasferimento del circuito 1 · 2 · Si sviluppa il prodotto · · 1 · : · · nei suoi poli: 1 · 2 · · Si osserva che non serve calcolare i , in quanto, nel dominio del tempo, risultano moltiplicati per · e, in quanto il circuito è asintoticamente stabile per ∞ per costruzione, il loro contributo a regime è nullo. , che si può calcolare con il metodo dei residui: L’unico termine di interesse è dunque lim · 1 · · · è perciò il residuo della funzione · lim · calcolata in . Ma quindi: 1 · 2 · · Antitrasformando: 1 · 2 · · · · 142 Per , con conti analoghi, si ottiene: 1 · 2 · · · · Ricordando che vale la proprietà per cui: Si ottiene: ·| |· · Quindi l’ampiezza risulta moltiplicata per il modulo di | |· · e sua fase, infatti indicando con: ·| |· mentre vi è uno sfasamento pari alla · | |· , si ottiene: · 143 Procedimento grafico per l’analisi di H(jω) ∏ ∏ · · · è un vettore che parte dagli zeri e si congiunge all’asse immaginario nel punto · è un vettore che parte dai poli e si congiunge all’asse immaginario nel punto Se si avessero tre poli ed uno zero: Im d2 jω d1 l1 Re d3 | | | · |·| · | · | |·| · # | | · · # | Il massimo si ottiene dove il denominatore è minimo. 144 Se vi fossero poli e/o zeri sull’asse immaginario: Im Re zero poli c.c. Esempio: Im d1 Im d1 l l Re Re z1 z1 p1 Si ha che: | | | p1 |, ma anche che: Si può inoltre osservare che 90°. è sempre maggiore di · Nota: | | 1e essendo il suo supplementare ed essendo · è uguale a due volte la fase introdotta dallo zero. ha sempre perciò fase maggiore di sfasamento minimo. che pertanto prende il nome di funzione di rete a aggiunge solo uno sfasamento e prende perciò il nome di sfasatore puro. Ma quindi se una funzione ha uno zero nel semipiano destro si può sempre scrivere come una funzione con lo zero nel semipiano sinistro moltiplicata per lo sfasatore puro. Nota importante: Condizione necessaria per ammettenze ed impedenze e che sia i poli che gli zeri si devono trovare nel semipiano sinistro. In quanto i poli degli uni sono gli zeri degli altri. 145 Esempio di calcolo delle frequenze naturali di un circuito: 2 1 3 · 0 Si considerino tutte le resistenze e le capacità di valore unitario per facilità di calcolo. Per risolvere il circuito, bisogna scegliere un metodo di analisi, ricavare la matrice relativa e porre il suo determinante uguale a zero. Metodo delle Equazioni di Stato: Si scrivono le equazioni di stato: 1 · · · · Per ricavare si impone il bilancio di correnti al nodo 0: · Considerando tutte le resistenze uguali e di valore unitario come per ipotesi si ottiene: 2· 3 Considerando anche le capacità uguali e di valore unitario, come per ipotesi, si ricava la matrice e si calcolano i suoi autovalori: 2 3 1 3 1 · 3 2 · 3 · 3 3 1 3 4· · 3 1 3 1 3 · 2 · 2 · 3 2 3 1 4 3 2 3 · 4 1 3 3 0 3 3 3 · 4· 1 0 146 Si ottiene in conclusione che gli autovalori sono dati da: 2 , 4 3 3 Si può osservare che gli autovalori sono coincidenti per: 4 3 0 1 In questo caso gli autovalori valgono entrambi: 1 2 , Metodo dell’Analisi Nodale: Si ottiene una matrice 3x3: 1 2 3 1 1 0 1 2 2· 1 3 Si calcola quindi il suo determinante: 1 1 2· 2· · 1 · 2· 0 4· 3 0 2· · 4· 1 · · 1 1 2· · 2· 0 0 0 È lo stesso risultato calcolato con il metodo delle Equazioni di Stato a meno della costante moltiplicativa 3 . 147 Metodo delle correnti di maglia: Il circuito da esaminare equivale al seguente: 2 1 3 I · · · 0 Nota importante: Se in un bipolo è presente un generatore pilotato si può scrivere l’equivalente Thevenin a meno che il comando del generatore pilotato non risulti interno al bipolo stesso. e Considerando le correnti di maglia : 1 · · · · 2· 1 1 · 0 1 · · 1 2· 1 · · 0 0 0 · Le frequenze naturali si ottengono calcolando il determinante: 4· 4· 1 1 · 3 · 4· 1 0 È lo stesso risultato calcolato con il metodo dell’Analisi Nodale ed è lo stesso risultato calcolato con il metodo delle Equazioni di Stato a meno della costante moltiplicativa 3 . 148 Sintesi Passiva RLC Si consideri , si vuole determinare quando è possibile realizzare con solo componenti passivi RLC (e al massimo trasformatori M), cioè senza generatori pilotati né operazionali, una impedenza o una ammettenza con tali poli e zeri. Si possono individuare alcune condizioni necessarie e sufficienti ricavate per la prima volta da Otto Brűne. Teorema 1: Sia una funzione complessa in variabile complessa. Condizione necessaria e sufficiente affinchè positiva reale (PR). Una funzione I. sia fisicamente realizzabile è che sia si definisce positiva reale (PR) se e solo se valgono le seguenti due condizioni: reale per s reale Vuol dire che tutti i coefficienti che compaiono in Im devono essere numeri reali. Im Re II. 0 per Re 0 Cioè un punto del primo semipiano destro finisce sempre nel secondo semipiano destro. Im Im Re Di conseguenza se un bipolo è composto solo da RLC consegue che PR allora il bipolo corrispondente è composto solo da RLC. Re è un PR e se è un 149 Dimostrazione RLC è un PR: Si ricorda che il teorema di Tellegen afferma che: · 0 Se si considera un bipolo: convenzione dei generatori convenzione degli utilizzatori Si ha che: · · · · · · · · · · Dove si sono evidenziati i contributi delle resistenze, degli induttori e dei condensatori contenuti all’interno del bipolo. In quanto si può anche scrivere: · · ·| · | Allora si ha: 1 | | · · · Dove: • ∑ ·| • ∑ · • ∑ ·| • · , dove | è reale e maggiore di zero è reale e maggiore di zero | è reale e maggiore di zero è la parte reale e è la parte immaginaria Valutando la parte reale: 1 | | · · · 150 0 se Ma quindi si è ottenuto che: 0 come volevasi dimostrare. Nella definizione di una funzione PR sono nascoste le proprietà di passività e stabilità del circuito. La seconda condizione necessaria affinchè sulla passività e stabilità del circuito. sia PR può quindi essere sostituita da condizioni Teorema 2: 1. reale per s reale 0 2’. condizione sulla passività 2’’. Poli e zeri, cioè le singolarità, devono trovarsi nel semipiano sinistro aperto; se si trovano sull’asse immaginario devono essere semplici e con il residuo maggiore di zero (condizione sulla stabilità) Si definiscono polinomi di Hurwitz quei polinomi con parte reale delle radici negativa. Si dice che sono strettamente di Hurwiz se le singolarità sono nel semipiano sinistro aperto. Metodo per determinare quando : Si scompongono dapprima numeratore e denominatore nelle parti pari e dispari: · · · · · Si osserva che: 0; 0; 0; 0; … Di conseguenza è formato da soli termini pari che vengono poi elevati al quadrato e anch’esso reale e maggiore di zero; · · è reale, mentre · · immaginario. è è Si ottiene infine la formula cercata: · · 0 151 Esempio: 2 4· 3 Applicando la formula ricavata: · · 2· 3 4· 2· 3 4· 6 2· In quanto si verifica essere maggiore di zero per ogni , allora la condizione sulla passività espressa dal test 2’: 0 è verificata. Per la condizione sulla stabilità si sfruttano i polinomi di Hurwitz. 0 · 0 la radice è negativa se: 0 condizione necessaria e sufficiente affinchè le radici siano negative è che: 0 e 0 Determinare se le radici sono negative è più complicato quando l’ordine del polinomio è maggiore o uguale al terzo. Ad esempio: · · · 0 Infatti la condizione che i coefficienti siano tutti maggiori di zero è sempre necessaria ma non più sufficiente. Esempio: 6· 6· 25 · 25 0 Ha le radici: 1 1 1 2· 2· Im Re 152 La condizione che i coefficienti siano tutti positivi è perciò necessaria ma non sufficiente. Infatti si può osservare che: Im Zona Proibita Re Zona Proibita Dove N è l’ordine della funzione. Di conseguenza la condizione che i coefficienti siano positivi e sufficiente per Im 1 1 e per 2: Im 2 Re Re Una volta fattorizzati, i polinomi di Hurwitz hanno i seguenti contributi: ; ; ; · Affinchè un polinomio sia di Hurwitz, condizione necessaria ma non sufficiente è che deve essere completo, cioè contenere tutte le potenze di fino all’ordine considerato. Vi sono due possibili casi di incompletezza in cui comunque il polinomio è di Hurwitz: I. II. Non vi è il termine di grado zero. Mancano tutti i termini pari o tutti i termini dispari Esempio: 1 0 0 non è un polinomio di Hurwitz poiché manca può essere un polinomio di Hurwitz 153 L’ultimo test consiste dunque nel sommare numeratore e denominatore e verificare che il polinomio ottenuto sia strettamente di Hurwitz. Questa condizione è automaticamente verificata se numeratore e denominatore hanno grado massimo 2. 1Ω 1 Riassumendo, le tre condizioni affinchè 1. 2. 3. sia fisicamente realizzabile sono: reale per s reale 0 , con · · è un polinomio di Hurwitz 154 Come realizzare un fisicamente realizzabile Vi sono delle tecniche che possono permettere di arrivare al risultato finale: Espansione in Frazioni Parziali (Sviluppo di Hermite o nei poli) 2· · · Dove: • · • • · corrisponde a un resistore e vi è solo quando: • 1 corrisponde a un induttore e vi è solo quando il grado del numeratore è: ha corrisponde al parallelo di un condensatore e di un resistore · · corrisponde al parallelo di un condensatore e di un induttore Si osserva che non si può avere il grado del numeratore più di due volte maggiore di quello del denominatore ( 2), in quanto si stanno trattando impedenze. La presenza dello zero corrispondente ai poli complessi coniugati è dovuta alla scrittura adottata: · · · · · · · 2· · · Dove nell’ultima eguaglianza si è posto: Se , , e sono tutti positivi allora la funzione è fisicamente realizzabile in quanto si ha una sua realizzazione. Questo è dovuto al fatto che ai vari termini corrispondono R, L e C. Tuttavia se vengono dei numeri negativi può essere realizzabile ma non si hanno sufficienti informazioni. 155 Espansione in Funzione Continua (Lunga Divisione) Dato si può effettuare la divisione se il grado del numeratore è maggiore o uguale al grado del denominatore: : 1 In quanto per definizione, si può ripetere la divisione, ottenendo: 1 1 1 Il processo può essere continuato iterativamente: 1 1 1 1 … Si ottiene perciò una rete a scala: Se gli scatolotti così ottenuti hanno coefficienti positivi, allora la funzione è fisicamente realizzabile, tuttavia non vale l’inverso. 156 Esempi: 1. Realizzare, se possibile, con un bipolo la seguente funzione: 3 2· 3 1 1 Im Re 1 3 Si può osservare che la condizione che sia un polinomio di Hurwitz è automaticamente soddisfatta, essendo il grado massimo del numeratore e del denominatore minore o uguale a 2. 0 Si verifica quindi se è valida la condizione 3· 1 : 2· 3 3 Si può osservare che non è maggiore o uguale a zero realizzabile. e quindi non è fisicamente 2. Realizzare, se possibile, con un bipolo la seguente funzione: 2 1 Im 2 In questo caso si ottiene fisicamente realizzabile: 2 Re 1 ed è sempre maggiore o uguale a zero, quindi 1 2· 2· 1 2 è 1 2 2· 1 157 Si ottiene quindi: 1 1 2 La cui realizzazione circuitale e diagramma di Bode sono i seguenti: | | 1H 1F 2Ω ω 1 2 3. Realizzare, se possibile, con un bipolo la seguente funzione: 2· 3· 4 4 3 · Im 2 Re 3 4 3 2 I poli sono: 3 2· · 2· · ; √23 4 √23 4 mentre gli zeri sono: · √ · √ Si può osservare che il metodo di sviluppo in frazioni parziali è pratico quando si possono individuare facilmente i poli. In questo caso si ottiene quindi: 2· 3· 3 · · 4· · 4 4 · 3 ·3· 4 2· 2 4· 3· 4 3 3· 4 2 1 1 158 Essendo e in parallelo: positivi, è realizzabile con due bipoli in serie, ognuno formato da due bipoli 1 1 3 4 1 3 4 Realizzazione circuitale: 1 1F 3Ω 1F 1 4H Questa può non essere l’unica soluzione possibile. 159 Impedenze con solo LC Di tutte le realizzabili si studia ora un sottoinsieme che consiste nella realizzazione usando solo coppie LC, RC o RL e ci si concentrerà in particolare sullo studio di LC. RL RC LC Le funzioni che sono realizzabili solo con induttori e condensatori (LC) prendono il nome di funzioni reattanza Ψ . Si può dimostrare che i poli e gli zeri si trovano sull’asse immaginario. Dimostrazione: Si ricorda che il teorema di Tellegen afferma che: · 0 Se si considera un bipolo: convenzione dei generatori convenzione degli utilizzatori Si ha che: · · 1 · · · · · · · Dove si sono evidenziati i contributi degli induttori e dei condensatori contenuti all’interno del bipolo. 160 In quanto si può anche scrivere: · · ·| · | Allora si ha: 1 | Dove sia Si ottiene che che | · 1 · · sono maggiori di zero. si annulla per: 1 · · 0 Quindi gli zeri si trovano sull’asse immaginario come si voleva dimostrare. Lo stesso ragionamento si può fare per gli zeri della anche quest’ultimi si trovano sull’asse immaginario. Concludendo, le funzioni reattanza ΨLC , ma essendo questi i poli di hanno tutte le singolarità sull’asse immaginario. · · rappresenta la parte reale di Ricordando che: non vi è una resistenza , il termine in parentesi deve essere uguale a zero. Se , allora , che è nulla in quanto 0, allora 0, altrimenti il numeratore sarebbe nullo. Di conseguenza 0, altrimenti sarebbe nullo il denominatore. 0 e allora Si ottiene che: ΨLC 0 Con lo stesso ragionamento, se: 0 0 0 Si ottiene che: ΨLC Perciò si ha sempre un rapporto tra funzioni di diversa parità e i termini contenuti possono essere solo o . Sia un polinomio di grado A · , si hanno perciò quattro casi possibili: B · C · D · 161 Esempi: · A 4 B 1 1 · C 4 1 · 9 4 · Nel caso A, per ∞ la funzione va all’infinito, perciò Nel caso B, per ∞ la funzione va a zero, perciò · D 1 · ∞ è un polo, mentre ∞ è uno zero, mentre Nel caso C, per ∞ la funzione va all’infinito, perciò funzione va all’infinito, perciò anch’esso è un polo. Nel caso D, per ∞ la funzione va a zero, perciò funzione va a zero, perciò anch’esso è uno zero. 4 9 0 è uno zero. 0 è un polo. ∞ è un polo, ed anche per 0 la ∞ è uno zero, ed anche per 0 la In conclusione si può affermare che lo zero e l’infinito sono sempre delle singolarità (o zeri o poli). Per le funzioni ΨLC si può ricavare un’ultima proprietà: poli e zeri sono semplici e sono alternati sull’asse immaginario. Im B Im · A · Re Re Sviluppo in Funzioni Parziali · 2· · Dove: • · • • indica la presenza di un polo in ∞ indica la presenza di un polo in 0 ∑ · · è la somma dei contributi dei poli al finito 162 , e sono i residui calcolati nel polo e devono essere positivi affinché si possa dire che è fisicamente realizzabile utilizzando questo metodo. · · · · è un modo equivalente per scrivere 2 · Dove: Per disegnare il grafico dell’impedenza si studia il segno della derivata di · Si può osservare che 2· è sempre positiva e quindi · rispetto a : · risulta monotona crescente. Esempio: A · Si può osservare che poli e zeri sono necessariamente alternati. NON Possibile L’insieme di queste condizioni è necessario e sufficiente affinché come reattanza. NON Possibile sia fisicamente realizzabile 163 Teorema: Condizione necessaria e sufficiente affinché un polinomio Ψ s Hurwitz è che sia verificato che: sia strettamente di senza che vi siano cancellazioni. Si può osservare che una funzione del secondo ordine: · · · 0 0 · È sempre una funzione reattanza Ψ s . Si consideri il caso in cui: · · Possono essere rappresentati come degli elementi in serie tra loro: 1 1 Questa forma prende il nome di Ia Forma Canonica di Foster. Si chiama canonica poiché non è possibile realizzare La stessa con un numero minore di elementi. può essere sintetizzata come ammettenza: · · Possono essere rappresentati come degli elementi in parallelo tra loro: 1 1 Questa forma prende il nome di IIa Forma Canonica di Foster. 164 Esempio: 1 · 9 4 · Si vuole realizzare . Poiché il grado del numeratore è maggiore del grado del denominatore numeratore per il denominatore: 10 · 9 , si divide il 4· 4· 9 6· Si ottiene: 6· · · 9 4 · 4· · 4 ·4 6· 9 9 4 15 4 9 6 9 4 15 · 4 1 4 · 9 4 1 4 · 15 1 15 · 16 Realizzazione circuitale: 4 F 15 2 1 1H 4 F 9 15 H 16 Poiché vi è un insieme di taglio di induttori e generatori di corrente (1) vi è una degenerazione e il sistema risulta essere del terzo ordine. Poiché vi è un insieme di taglio di condensatori e generatori di corrente (2) vi è la frequenza naturale nulla. 165 Se si scrive la , questa ha due coppie di poli, quattro frequenze naturali, al finito: Questi due bipoli sono equivalenti; non hanno le stesse frequenze naturali. si sintetizzerebbe un circuito diverso: Se si considerasse: 2 1 1F 4 9 4 15 15 16 Poiché vi è una maglia di condensatori e generatori di tensione (1) vi è una degenerazione e il sistema risulta essere del terzo ordine. Poiché vi è una maglia di induttori e generatori di tensione (2) vi è la frequenza naturale nulla. Questo circuito ha un polo e uno zero all’infinito ed è equivalente al seguente circuito: e si definiscono duali se hanno la stessa F . In tal caso dove in un circuito vi è un condensatore nell’altro vi è un’induttore e viceversa, dove vi è una serie in uno vi è un parallelo nell’altro e viceversa. 166 Sviluppo di Funzioni Continue 1 · 9 · 10 · 4· 4 9 È più semplice il metodo tramite Foster se vi è la fattorizzazione del denominatore, altrimenti si procede con la lunga divisione: 10 · 9 4· 4· 6· 9 10 · 4· 9 Devono sempre risultare numeri positivi. 1 · 6· 4 9 Si procede nuovamente con la lunga divisione: 4· 3 2· 5 2· 1 1 1 · 6· 6· 4 9 1 · 6 6· 1 5 · 2 9 6· 1 · 9 1 1 · 6 1 12 · 5 1 5 18 · I coefficienti nei riquadri devono risultare positivi affinchè il metodo sia applicabile. 167 Realizzazione circuitale: 12 H 5 1H 5 F 18 1 F 6 Questa forma prende il nome di Ia Forma Canonica di Cauer. ha un polo all’infinito: non ha un polo all’infinito, ma ha uno zero all’infinito essendo il grado del suo denominatore maggiore del grado del suo numeratore per costruzione. La lunga divisione ha quindi estratto il polo all’infinito da . Se ha uno zero all’infinito, ha un polo all’infinito. Si procede quindi all’estrazione del polo tramite lunga divisione: l’estrazione di un polo all’infinito da forma un induttore, da un condensatore. La Ia Forma Canonica di Cauer procede quindi estraendo di volta in volta i poli all’infinito da e alternativamente. Si può infine osservare che la configurazione è quella “naturale”, cioè i condensatori si trovano sul lato parallelo (verticale) mentre gli induttori si trovano sul lato serie (orizzontale). Se la funzione che si vuole sintetizzare ha un polo nello zero si può estrarre, se avesse uno zero in ). zero bisognerebbe invertire la funzione ( Estrazione del polo nello zero: · Si applica il cambiamento di variabile 1 : 1 10 · 1 1 4· 9 1 9· 10 · 1 4· 168 Si può osservare che i poli sono diventati zeri e viceversa. Ma quindi estrarre un polo in zero in equivale ad estrarre un polo in infinito in : 9· 10 · 9· 9 4· 31 4· 9· 1 4· 9 1 10 · 1 4· 9 · 4 1 4· 31 · 4 1 31 4· 4· 9 · 4 4· 16 31 · 15 31 · 1 4· 31 · 4 1 4· 16 31 · 9 · 4 1 16 1 31 · 961 · 60 1 1 15 · 31 Tornando alla variabile si ottiene: 9 1 · 4 1 16 31 · 1 961 1 · 60 1 31 · 15 Realizzazione circuitale: 4 F 9 60 F 961 31 H 16 31 H 15 Questa forma prende il nome di IIa Forma Canonica di Cauer. Si può osservare che la configurazione è quella non “naturale”, cioè i condensatori si trovano sul lato serie (orizzontale) mentre gli induttori si trovano sul lato parallelo (verticale). 169 Avendo sintetizzato tramite una impedenza corrente per poterla valutare. bisogna inserire tra i morsetti un generatore di 1 2 2 1 Ia Forma di Cauer IIa Forma di Cauer Si osserva che nelle forme di Cauer vi è un insieme di taglio di generatori di corrente ed induttori (1) e quindi vi è una degenerazione. Vi è anche un insieme di taglio di condensatori e generatori di corrente (2) e quindi vi è la frequenza naturale nulla. Si può osservare che dalle funzioni si ricava che per ∞ è un polo ed infatti per ∞ i condensatori sono dei cortocircuiti e gli induttori sono dei circuiti aperti e dalla rappresentazione del circuito si ottiene la stessa soluzione. In conclusione, per: 1 · · 9 4 Vi sono quattro realizzazioni possibili: 1. La Ia Forma Canonica di Foster espressa come 2. La IIa Forma Canonica di Foster espressa come 3. La Ia Forma Canonica di Cauer espressa come 4. La IIa Forma Canonica di Cauer espressa come Sono tutte le forme canoniche possibili. Le forme di Foster coincidono con quelle di Cauer per un numero di elementi pari o inferiore a tre. 170 Si consideri: 0 | · | | | Im 3 2 1 Re 0 1 0 1 2 3 2 3 In una nelle frequenze pari agli zeri, il bipolo equivalente è un corto circuito, per le frequenze pari ai poli è un circuito aperto. L’inverso avviene per la . Poiché non c’è la parte reale, il modulo della risposta in frequenza è pari a: | | | | 0 | | | 1 2 3 | | 0 1 2 3 | 1 1 1 1 approssimata 171 Realizzazione di RC e RL Si valuta ora come è possibile passare alla realizzazione di reti RC partendo dalle proprietà delle reti LC. Si consideri un bipolo composto da un resistore R e da un condensatore C: RΩ CF Dove è l’impedenza di questo bipolo nella variabile complessa : 1 · Si consideri ora il seguente bipolo: RH CF Dove all’induttore si associa un valore in Henry pari a R. Risulta quindi che: · in Si valuta ora la 1 · : | 1 · Moltiplicando il risultato per , si ottiene: · · 1 · Ritornando infine nella variabile : Si può perciò trasformare in sostituendo e dividendo per 172 Esempio: Si consideri la seguente : 1 Questa funzione presenta uno zero nell’origine e due poli in : Im 1 Re 0 1 Si calcola ora la relativa : 1 1 · 1 1 La presenta quindi un solo polo in 1: questa è una regola generale. Ogni coppia di poli immaginari puri della diventa un unico polo reale negativo, avente lo stesso modulo, ed ogni coppia di zeri immaginari puri della diventa un unico zero reale negativo avente come modulo Im Re Di conseguenza la reale negativo. ha la caratteristica di presentare poli e zeri singoli e alternati sull’asse 173 Si può ricavare che la singolarità più bassa è sempre un polo. Si consideri infatti l’espressione generale della Ia Forma Canonica di Foster per una · · Calcolando da questa la rispettiva 1 : risulta che: · · · Dove: • indica la presenza di una resistenza • indica la presenza di un condensatore • indica la presenza di una resistenza in parallelo ad un condensatore Si può osservare che, in quanto Dall’espressione di è positivo, i poli si trovano sull’asse reale negativo. si possono ricavare le seguenti informazioni: 1. Se 0 allora 0 è un polo, e quindi poiché l’origine è la singolarità più bassa, la singolarità più bassa è un polo. 2. Se 0, valutando: ∑ 0 0 si ricava che l’origine non è uno zero. Per verificare che effettivamente la singolarità più bassa è un polo, si studia la reale negativo: sull’asse | Si valuta ora la derivata rispetto a : Quindi è sempre negativa: è monotona decrescente. 1. Se 0 allora l’origine è un polo ed è anche la singolarità più bassa. 2. Se 0, in questo caso 0 ∑ 0 : la funzione deve per forza arrivare dall’alto, altrimenti sarebbe crescente, quindi arriva necessariamente da un polo. 174 Le godono inoltre della seguente proprietà: la singolarità più alta è sempre uno zero. Infatti ∞ 1. 2. e si possono avere due casi: 0 : lo zero è ∞ ed è il più alto 0 : allora la tende a per ∞ e, poiché è positivo e sempre decrescente, prima di arrivare ad un polo deve incontrare l’asse delle ascisse. è Caso: 0 0 Caso: 0 0 0 La singolarità più bassa è quindi sempre un polo, la singolarità più alta uno zero e poli e zeri risultano sempre alternati sull’asse reale negativo. 175 valgono anche per le Tutte le considerazioni fatte finora per le Si consideri infatti una . formata da una conduttanza G e da un induttore L: LH GS 1 · Si consideri ora il seguente bipolo: LH GF Dove al condensatore si associa un valore in Farad pari a G. Risulta quindi che: · Si valuta ora la in 1 · : | 1 · Moltiplicando il risultato per , si ottiene: · · 1 · Ritornando infine nella variabile : Data quindi la classe delle funzioni reattanza, sintetizzabili cioè come o come , effettuando la sostituzione e dividendo il risultato per , si ottiene la classe di funzioni o come , che godono delle stesse tre proprietà: sintetizzabili come 1. Poli e zeri sono semplici e alternati sull’asse reale negativo 2. La singolarità più bassa (con il modulo minore) è sempre un polo (eventualmente in zero) 176 3. La singolarità più alta (con il modulo maggiore) è sempre uno zero (eventualmente in ∞) Se si considera ora la realizzazione, questa può essere sviluppata seguendo una delle due forme canoniche di Foster o una delle due di Cauer. Esempio: Si consideri la seguente : 2 1 · 3 Questa presenta uno zero in 2 e due poli in 1e 3. La singolarità più bassa è un polo e le singolarità sono tutte semplici e sull’asse reale negativo: questa è realizzabile come o come . Si realizza prima come • : Ia Forma Canonica di Foster 2 1 · 3 Dove: • è pari a: • è il residuo dell’eventuale polo nell’origine. Non essendoci in questo caso, si ha ∞ 0 0 0 Quindi: 2 1 · 3 1 · 3· 1 · 3 3 Per il principio di identità dei polinomi: 1 2 1 2 1 3· 2 Quindi: 1 2 1 1 2 1 3 2· 1 2 2· 6 177 Il relativo bipolo è quindi: 2F 2F 1 Ω 2 1 Ω 6 Si può effettuare qualche controllo: 9 0 e dal circuito si ottiene lo stesso risultato sostituendo i condensatori con dei circuiti aperti; si può osservare che non vi è il polo in zero 9 ∞ 0 e dal circuito si ottiene lo stesso risultato sostituendo i condensatori con dei cortocircuiti • IIa Forma Canonica di Foster In quanto richiede la conoscenza di • sarà trattata in seguito. Ia Forma Canonica di Cauer 2 4· 1 4· 3 2 3 Si procede con la lunga divisione: 4· 2 3 4· 2· 1 4· 2 3 1 2· 3 2 3 1 1 2 3 1 2· 2· 2 2 1 2 3 3 2 178 1 1 1 2· 2 1 1 1 2 3 2· 1 2 1 1 2 3 1 1 1 6 4· Il relativo bipolo è quindi: 1 Ω 2 1 Ω 6 1F 4F Si può osservare che i condensatori sono sul ramo verticale e i resistori sul ramo orizzontale, in configurazione “naturale”. • IIa Forma Canonica di Cauer : Si sostituisce 1 2 4· 1 3 2 4· 1 2· 4· 3· 3 3· 1 2· 1 4· 1 Si procede con la lunga divisione: 3· 4· 3· 3 5 3· 2· 1 4· 1 2· 3 2· 2· 2 1 1 1 3 2 5 · 2 2· 1 1 3 2 2· 5 · 2 1 1 179 5 2· 2· 4 5· 1 5· 1 3 2 2· 5 · 2 1 2· 4 ·t 5 1 1 3 2 1 1 1 · 5 5 1 2· 4 · 5 1 3 2 4 · 5 1 25 2 1 1 5 Ritornando a questo punto in si ottiene: 1 3 2 1 5 · 4 1 25 2 1 5· Il relativo bipolo è quindi: 5 F 4 2 Ω 3 5F 2 Ω 25 Si può osservare che i condensatori sono sul ramo orizzontale e i resistori sul ramo verticale, in configurazione “non naturale”. In questo modo si sono realizzati tre bipoli equivalenti aventi la stessa . : si ottengono dei bipoli non equivalenti ai precedenti, Si può realizzare ora la come anche perché bipoli RC possono essere equivalenti solo a bipoli RC e viceversa per quelli RL. Si ottengono invece dei bipoli duali. 180 Si realizza quindi • come : Ia Forma Canonica di Foster In quanto richiede la conoscenza di • sarà trattata in seguito. IIa Forma Canonica di Foster 2 1 · 1 3 2· 1 2 2· 6 Il relativo bipolo è quindi: • 2Ω 6Ω 2H 2H Ia Forma Canonica di Cauer 1 1 2 1 1 4· 1 1 6 Il relativo bipolo è quindi: 1H 4H 2Ω 6Ω 181 • IIa Forma Canonica di Cauer 1 3 2 1 5 · 4 1 25 2 1 5· Il relativo bipolo è quindi: 3 Ω 2 25 Ω 2 5 H 4 Realizzazione delle e delle 5H Si consideri un bipolo composto da un resistore R e da un induttore L: RΩ LH · Si consideri ora il seguente bipolo: 1 F R LH Dove al condensatore si associa un valore in Farad pari a . 182 Risulta quindi che: · Si valuta ora la in : | · Dividendo il risultato per , si ottiene: · · Ritornando infine nella variabile : · Un risultato analogo si può ricavare anche per la Si consideri infatti il seguente bipolo composto da una conduttanza G e da un condensatore C: C GS · Si consideri ora il seguente bipolo: 1 H G CF Dove all’induttore si associa un valore in Henry pari a . Risulta quindi che: · Si valuta ora la in : | · 183 Dividendo il risultato per , si ottiene: · · Ritornando infine nella variabile : · In modo analogo a quanto visto per le seguenti proprietà: e per le , le e le godono delle 1. Poli e zeri sono semplici e alternati sull’asse reale negativo 2. La singolarità più bassa (con il modulo minore) è sempre uno zero (eventualmente in zero) 3. La singolarità più alta (con il modulo maggiore) è sempre un polo (eventualmente in ∞) Nota importante: Si ricorda che per le e le mentre la singolarità più alta è sempre uno zero. Per le Per quanto riguarda poi la realizzazione delle artificio. la singolarità più bassa è sempre un polo, e le è perciò l’inverso. e delle Si consideri ad esempio la Ia Forma Canonica di Foster per le : · · Da questa si ricava la corrispondente espressione per le · · , bisogna ricorrere ad un : · · · · Quindi: · · Dove: • indica la presenza di un resistore • · indica la presenza di un induttore 184 • · indica la presenza di un resistore in parallelo ad un induttore Si può notare che questa espressione non è uno sviluppo in frazioni parziali, poiché i residui dei poli in quanto compare una moltiplicativa al numeratore. Se però si considera la non sono i , si ottiene: E ora si possono calcolare i coefficienti. Una volta determinati , e basta moltiplicare per e trovare la o la esatta. Esempio: Realizzazione della seconda forma canonica di Foster per: 1 · · 3 2 1, mentre quella più alta è il polo Come si può osservare, ora la singolarità più bassa è lo zero ∞. Per determinare i coefficienti si deve lavorare su 1 · · : 3 2 2 Quindi: 1 · · 3 · · 2 2 · · · 2 · 2 2· · · 2· 2 Per il principio di identità dei polinomi: 1 2· 2· 4 3 1 1 2 3 2 In definitiva: 185 1 3 1 · 2 1 2 3 2 2 2· 3 2 4 1 2 4 Il relativo bipolo è quindi: 2 Ω 3 2Ω 1F 1 F 4 Tabella Finale Condizioni necessarie per la fisica realizzabilità sono: • Tutti i coefficienti devono essere reali positivi • I gradi massimi del numeratore e del denominatore devono differire al più di 1. Stessa cosa per i gradi minimi • I poli e gli zeri immaginari puri devono essere semplici • Non devono mancare termini, a meno che manchino tutti i pari o tutti i dispari Condizione necessaria e sufficiente per la fisica realizzabilità e che sia verificato che: sia reale per reale 1. 2. 3. sia strettamente di Hurwitz 0 186 187 Processo di Normalizzazione o Scaling Si supponga di voler calcolare l’impedenza di un circuito del seguente tipo: 3 H 75Ω 200 F 200 F 75Ω Si può applicare un processo di normalizzazione o scaling per poter trattare con grandezze più facili da comparare: Dove è il valore normalizzato dell’impedenza secondo il fattore di scala Si può osservare che le quantità normalizzate si scrivono in minuscolo se le quantità non normalizzate si scrivono in maiuscolo e viceversa. Ω Le normalizzazioni non possono essere però scritte indiscriminatamente, ma devono valere le stesse regole che valevano per le quantità non normalizzate: 1 · · 1 ·Ω·c · · ·Ω· 1 1 Perciò: · 1 ·Ω·c·ω ·C 1 · · Si deve avere: ·ω ·C 1 188 Imponendo lo stesso vincolo sull’induttore si ottiene: ω ·L 1 Si ottiene il vincolo: ·C · 1 Concludendo, si possono scegliere solo due fattori di normalizzazione. Scegliendo: 75Ω e · 200 : 3 H 1,125 · H 1,125 · 10 H 8 H 3 8 3 1 1 1 1 Si ottiene quindi: 8· 8· 75 · Si controlla se realizzazione): 8· 8· 16 · 8· 16 · 8· 14 · 6· 14 · 6· 6 3 6 3 · è fisicamente realizzabile (lo deve essere in quanto si ha già una sua 16 · 6 · 8· 3 128 · 96 · 64 · 32 · 8· 14 · · 8 · 18 64 · 160 · 12 · 18 6· 84 · 189 Per controllare che sia maggiore o uguale a zero calcolatore. in questo caso è necessario l’ausilio di un Si controlla se è di Hurwitz: 16 · 24 · 20 · 9 2 · · 3 3 8 5 4 Im 3 3 4 8 0 3 3 Re 8 4 190 APPENDICE Qui di seguito vi è una raccolta degli esercizi svolti durante il corso e la risoluzione delle due prove in itinere. ESERCIZIO 1 Problema: Scrivere le equazioni di stato con α =1 e α=2 V2 1 V1 I2 I1 V1/1Ω 1F 1Ω 2 (V1+V2)/1Ω 1F V1+V2 1Ω αI1 0 Nota importante: Vengono utilizzati valori normalizzati ottenuti con regole di scaling per i vari componenti, in modo da rendere più semplici i calcoli. Risoluzione: Questo circuito non ha degenerazioni topologiche. Si lascia indicato il parametro numerico. e solo quando si vuole ottenere il risultato si sostituisce il valore Per prima cosa bisogna trovare e : Si scrive la somma delle correnti al nodo “0”: · · 1 Se 1Ω 1Ω 0 2· 2· 1 2 , si può scrivere la prima equazione di stato come: 2· · 2· La seconda equazione di stato (ricavata al nodo 2) è: · 2· 2· 3· Il risultato finale è perciò: 2 1 · 3 1 191 Se 1 , risulta esserci un’equazione degenere per cause parametriche: 0 2· Una delle due tensioni deve perciò uscire dall’insieme delle candidate variabili di stato. Eliminando la tensione relativa alla capacità al posto della capacità si ottiene: I2 1 V1 ed inserendo nel circuito un generatore di corrente 2 αI1 1Ω 1Ω 0 · Perciò dall’equazione degenere si ha: · 2· · Si ottiene: · · 2· · Sostituendo quindi i valori per resistenze e capacità si ottiene la seguente equazione di stato: 1 · 3 Si può osservare che per particolari valori nell’ambito delle tolleranze può avvenire questo tipo di errore e il circuito non funziona. 192 ESERCIZIO 2 Problema: Determinare graficamente il punto di lavoro con il metodo delle rette trasposte Il dispositivo non lineare assegnato è il seguente: 1Ω 1Ω 2V 1V Dove il dispositivo Non Lineare ha i seguenti grafici tensione/corrente: V1 3 I2=2 2 I2=1 1 I2=0 -1 0 1 -1 I1 I2=-1 -2 V2 3 I1=2 2 I1=1 1 I1=0 -1 0 -1 1 I2 I1=-1 -2 193 Risoluzione: V1 I2=2 2 D I2=1 P 1 1 I2=0 A 2 I1 I2=-1 Retta di carico Bipolo 1 V2 I1=2 I1=1 P A D I1=0 1 -1 0 1 I2 I1=-1 2 Retta di carico Bipolo 2 La soluzione è cerchiata nel grafico. , , Si prende il punto 2,0 che si trova sulla curva conoscendo dal primo grafico che 0: 1 D A P 2 0 1 0 2 1 2 e si ricava di conseguenza 1 1 1 2 -1 0 194 ESERCIZIO 3 Problema: Determinare con l’analisi nodale modificata la matrice I a·V b·V V A V B C G4 G2 I e determinare lo Jacobiano di GM · V I I V V h·V k·V 0 Risoluzione: Gli elementi cerchiati in rosso non aggiungono ulteriori variabili, V è invece un generatore di tensione pilotato in tensione ed aggiunge perciò una variabile I Le variabili sono perciò: eA , eB , eC e I Scrivendo il bilancio di corrente al nodo A si ottiene: G · eA eB a · eA eC b · eA eC GM e B e 0 Con lo stesso procedimento si possono fare i bilanci di corrente agli altri due nodi. La legge di Ohm per il bipolo 5 è: e È un F x h · eB k · eB 0 0 (4 variabili, 4 equazioni) Si calcola ora lo Jacobiano di G eA a 3 · b · eA … … … : eB G GM … … … a eC 3 · b · eC … … … Lo Jacobiano calcolato nel punto iniziale si ottiene ponendo eA eB I 0 … … … GM eC I 0 Bisogna quindi ricostruire il circuito con gli elementi linearizzati nel punto di lavoro: 0,0,0,0 195 La linearizzazione di I in 0,0,0,0 è: a La linearizzazione di 3 · b · eA eC a in 0,0,0,0 è: 3· · Il circuito linearizzato è uguale al circuito degli elementi linearizzati e quindi la matrice degli elementi linearizzati corrisponde alla matrice Jacobiana nel punto di lavoro scelto. 196 ESERCIZIO 4 Problema: Disegnare lo schema circuitale di un doppio bipolo lineare avendo a disposizione resistori lineari e un giratore, in modo che sia: a. Reciproco; Simmetrico; Strettamente Passivo b. Reciproco; Simmetrico; Non Strettamente Passivo c. Reciproco; Non Simmetrico; Strettamente Passivo d. Reciproco; Non Simmetrico; Non Strettamente Passivo e. Non Reciproco; Non Simmetrico; Strettamente Passivo f. Non Reciproco; Non Simmetrico; Non Strettamente Passivo Risoluzione: a. Reciproco; Simmetrico; Strettamente Passivo R R R b. Reciproco; Simmetrico; Non Strettamente Passivo R R R c. Reciproco; Non Simmetrico; Strettamente Passivo 2R R R 197 d. Reciproco; Non Simmetrico; Non Strettamente Passivo 4 5 3 e. Non Reciproco; Non Simmetrico; Strettamente Passivo 2R R R f. Non Reciproco; Non Simmetrico; Non Strettamente Passivo 4 5 3 198 Nota: Aggiungere il giratore serie/serie non cambia la proprietà di passività essendo trasparente per quanto la riguarda, cambia invece la proprietà di reciprocità. Il test di Brűne è automaticamente verificato se uno dei due doppi bipoli è disaccoppiato. 199 ESERCIZIO 5 Problema: Due doppi bipoli sono collegati in cascata: I3 V1 DB1 DB1: V3 V2 DB2: R R R β ·V V β ·V V R Determinare sotto quali condizioni vale: · Risoluzione: Si ha che: · Inoltre: Si ricava : · 1 · · 1 · 1 β 1 · · · · · · 200 I parametri di si ricavano nello stesso modo e risultano essere gli stessi con indice diverso: 1 β 1 · · 1 · · Si ricava perciò: · · … … … In conclusione: 1 · Affinché valga la condizione iniziale: · · · è necessario che: 0 . . Oppure ∞ . . 201 ESERCIZIO 6 Problema: Scrivere le equazioni di stato e determinare i punti di equilibrio del seguente circuito · · · NL Risoluzione: Si scrivono le equazioni per le candidate variabili di stato: · · · · · · · · · · · · · In quanto la seconda e la terza equazione risultano uguali (la dipendenza si poteva anche vedere prima dal legame · ) vi è una degenerazione parametrica e bisogna togliere una delle due variabili. Equazione della degenerazione: · Si effettua la derivata e si moltiplica ambo i membri per · · : · Si ottiene che il generatore di tensione equivalente che deve essere sostituito all’induttore vale: · 202 Perciò: · · · · · · · In conclusione: · · 1 · 0 · · 0 · · 0 Si può osservare che il circuito è disaccoppiato e vi sono ∞ punti di equilibrio. In generale: · · Se 0: Se 0: · · 0 0 203 ESERCIZIO 7 e determinare se è reciproco, simmetrico e passivo Problema: Calcolare R RS I ∞ R V I V RS Risoluzione: Si calcola: 1 1 1 1 1 1 Non è reciproco: Non è simmetrico: Se 0e 0 0 è passivo ma non strettamente passivo. Perciò esistono valori delle variabili indipendenti 0 che danno zero come potenza dissipata. POSSIBILI DOMANDE DI TEORIA 1. Provare esistenza ed unicità della soluzione di circuiti adinamici lineari con solo resistenze e generatori di corrente. 2. Descrivere il metodo di Newton 204 ESERCIZIO 8 Problema: Linearizzare il circuito seguente V NL I X 1 0.5 I1 β·I 0,8A 0 · 1 Risoluzione: Il valore di x non serve per la linearizzazione del bipolo non lineare. Bisogna sostituire la linearizzazione nel punto di lavoro: ID I V GD · · 1 , · · Dove: · · · · 1 · 0,5 I I* V* Si può osservare che il verso di V deve essere coerente con il verso di I. 205 ESERCIZIO 9 Problema: Calcolare le traiettorie del seguente sistema: 2 3 1 · 1 Risoluzione: Si calcolano le frequenze naturali per determinare la natura del punto/i di equilibrio: 2 3 · 1 1 3· 1 0 Le frequenze naturali sono quindi: 3 , Essendo 0e √13 3,25 ; 0,125 2 0 allora l’origine è l’unico punto di equilibrio ed è punto di sella. · Si calcolano gli autovettori come: · 2· 3,25 · 1,25 · 2· 0,125 · 2,125 · Si cercano i punti in cui la tangente alla traiettoria è parallela agli assi: La soluzione è del tipo: 0 2· 0 2· 0 3· 0 3· · , · · , · Grafico: instabile stabile 206 ESERCIZIO 10 Problema: Determinare se la seguente funzione Z è fisicamente realizzabile e con quanti elementi. Se è fisicamente realizzabile fornire una sua realizzazione 2· 12 · 3· 7· 1 1 Risoluzione: Si determinano poli e zeri: 3 7 √9 4 √49 24 8 1 ; 1 2 48 1 ; 4 1 · 2 1 · 4 2· 12 · 1 3 1 1 3 Im 1 2 1 1 3 Re 1 4 Non essendo poli e zeri immaginari puri, non si può realizzare con un LC. Non essendo poli e zeri alternati, non si può realizzare con RC o RL. Si verifica la realizzabilità: 1. I coefficienti sono tutti positivi e ciò verifica la prima condizione 2. Sostituendo condizione 2· 1 · 12 · si ottiene: 1 24 · 21 · 24 · 7· 1 7· 1 0 e ciò verifica la seconda 3. Si può osservare che il polinomio è sicuramente di Hurwitz in quanto il grado del numeratore e del denominatore è in entrambi i casi pari a due Perciò la funzione risulta fisicamente realizzabile tramite un RLC. 207 Esempio di una possibile realizzazione: 3· 2· 7 6· 1 11 6· 5 2· 2· 12 · 3· 7· 1 1 1 6 12 · 1 12 · 7· 1 6 1 6 6 11 6 · 7· 5 6 1 1 6 12 · 11 6 · 1 7· 5 6 1 Controllo realizzabilità: 5 · 12 · 6 77 · 6 1 12 · 17 · 6 7· 12 · 60 11 · 17 11 · 1 17 11 · 85 12 · 11 6 · 1 7· 5 6 72 1 0 condizione verificata 6· 5 11 · s 102 11 1 36 1 6 5 6 6 121 121 121 1 6 1 72 · 11 Realizzazione circuitale: 1 121 102 1331 · 216 1 605 216 72 F 11 121 Ω 102 1 Ω 6 605 Ω 216 1331 H 216 208 209 Ia Prova in Itinere del 23 Novembre 2007 Esercizio 1 Problema: Scrivere le equazioni di stato, considerando ideali gli Op-Amp 1Ω IL VC 1Ω 1Ω 1Ω Risoluzione: Il circuito è equivalente al seguente: Vi è una degenerazione parametrica. 1 · 2 0 1 1 2 0 210 Esercizio 2 Problema: Determinare graficamente il (i) punto(i) di lavoro con il metodo della linea trasposta, sia da 1 2 che da 2 1. Verificare analiticamente la correttezza del risultato trovato graficamente. 1Ω 1V · 1V Risoluzione: V1 I2=1 I2=1/2 I2=0 I2= 1/2 I2= 1 Q 1 P 0 I1 1 V2 I1= 2 I1=2 I1= 1 I1=1 I1=1/2 I1= 1/2 1 1 2 I2 1 P’ Q’ 211 Graficamente si ottengono due punti di lavoro: P Q 0 3/2 1 1/2 1 1 1 2 Analiticamente: 1 · 1 · 2 1 · 2 212 Esercizio 3 Problema: , scrivere le equazioni risolutive (non lineari) dell’analisi nodale. a. Con b. Partendo dalle condizioni iniziali (passo 0) 0 ed un’iterazione del metodo di Newton, calcolando (passo 1) ed 0, effettuare (passo 0) (passo 1). c. Linearizzare nel punto 0, 0 il circuito e risolverlo. Confrontare il risultato con (passo 1) ed (passo 1) calcolati al punto precedente. 1A V A I1 1 ⁄2 Ω 10A B NL 3V 1 ⁄2 Ω Risoluzione: e a. Si scrivono le KCL ai nodi A e B in funzione dei potenziali 2· : 11 3· 2· 1 b. Per applicare il metodo di Newton è necessario calcolare lo Jacobiano nel punto considerato: 3 2 2· 2· 1 2· 2· , 3 2 1 0 Poiché si ha: 0,0 11 1 E valendo la relazione: ·∆ 213 Si ottengono: 1 2 25 2 c. Il circuito linearizzato è il seguente: 1A V B A 1Ω I1 1 ⁄2 Ω 10A 3V Dalle KCL ai nodi A e B in funzione dei potenziali 1 1 2 3 1 1 2 e 3 · 1 ⁄2 Ω si ottiene la seguente matrice: 11 1 Si ottengono quindi: 1 2 25 2 Si può osservare che è lo stesso risultato che si era ottenuto con il metodo di Newton. 214 Esercizio 4 Problema: Disegnare un circuito di cui il sistema di equazioni sopra mostrato è la formulazione delle equazioni risolutive con il metodo dell’analisi nodale modificata (MNA). Evidenziare nodi, lati, variabili di lato ed elementi circuitali. Giustificare passo per passo i risultati trovati. 5 -2 0 0 +1 e 0 -2 6 0 -1 0 e 0 0 0 1 +1 -1 +1 0 -1 0 0 I 20 -3 -1 +1 0 0 I 0 * e = 10 Risoluzione: Il circuito risultante è il seguente: 20V 1 2S I2 3V 2 3 I1 3S 4S 1S 10A 0 Nota importante: Le Leggi di Ohm sono posizionate in un ordine qualsiasi. 215 Esercizio 5 Domanda di Teoria: Trattare sinteticamente il problema della passività dei Doppi Bipoli Lineari, corredando la trattazione con esempi. Risoluzione: Guardare le pagine 30-31. 216 IIa Prova in Itinere del 28 Gennaio 2007 Esercizio 1 Problema: • Scrivere le equazioni di stato • Calcolare i punti di equilibrio con • Calcolare le frequenze naturali dalle equazioni di stato • Calcolare le frequenze naturali con un altro metodo 0 VR 1Ω 1 I 1F V 2 I IR VR IR 1F V I 1Ω 1F IS 3 V 0 Risoluzione: Si scrivono le equazioni di stato per i tre condensatori: · · · Sostituendo alle capacità e alle resistenze i rispettivi valori si ottiene: 2· Ponendo 0 si possono calcolare i punti di equilibrio ponendo a zero le derivate: 217 0 0 0 0 2· 0 0 0 0 Si ottiene quindi il seguente insieme di rette di punti di equilibrio: Calcolo delle frequenze naturali dalle equazioni di stato: 1 1 0 1 2 1 1 · 1 0 2· 0 1 · 1 2· 1 1 1 · 0 1 2 1 1 2 2· · 2 2 2· 4· 3· 1 0 Si ottengono quindi le seguenti frequenze naturali: 0; 1; 3 Quest’ultime si possono ricavare anche con il metodo delle maglie di corrente o con il metodo dell’analisi nodale. Metodo dell’Analisi Nodale: Nodo 1: Nodo 2: Nodo 3: · · · · · · Sostituendo la derivata rispetto al tempo con · · · · 0 0 si ottiene: 218 1 1 1 2· 1 2· 1 · 1 4· 2· 8· 4· 0 0 1 0 Le frequenze naturali sono date da: 2· · 2· 5· 3· 1 1 · · 2· 4· 1 2· 3 · 2· 1 3· 0 1 2· Si può osservare che la relazione ottenuta è la stessa che si era ricavata partendo dalle equazioni di stato. 219 Esercizio 2 Problema: a) Determinare i punti di equilibrio specificandone la natura (stabile, instabile, indifferente) b) Determinare qualitativamente e c) Calcolare analiticamente l’espressione di 1 0 per 2e 0 per 0 5 da 5 0 V I IL 1 2H N L V 3 2 1 1 2 3 IA 1 Risoluzione: 220 Esercizio 3 Problema: Calcolare l’impedenza del bipolo ai morsetti A-B e realizzarla nelle quattro forme canoniche (I e II di Foster, I e II di Cauer) A 1F 1F 1F 1F 1H B Risoluzione: Si ricava che al bipolo corrisponde la seguente 5· 3· : 3 2· Si ricavano la Ia Forma di Foster e la IIa Forma di Cauer (che coincidono, essendono il numero di elementi pari a 3). 1 5· · 3 • 3 2 · 3 1 3 · 2 3 Ia Forma di Foster IIa Forma di Cauer 1 · 2 1 2 3 2 · 3 1 6· 1 1 · 4 6F 2 F 3 • 9 1 2 · 3 1 H 4 2 F 3 6F 1 H 4 221 Si ricavano la IIa Forma di Foster e la Ia Forma di Cauer (che coincidono, essendono il numero di elementi pari a 3). 3· 5· • 2· 3 3 · 5 5· 1 · 5 1 25 · 1 1 · 15 IIa Forma di Foster 25H 3 F 5 • 3 3 · 5 1 F 15 Ia Forma di Cauer 25H 3 F 5 1 F 15 222 Esercizio 4 nelle forme canoniche di Cauer gli ultimi Domanda di Teoria: Nella realizzazione di una elementi della scala (un L e un C) sono in serie oppure in parallelo. 1) Quale deve essere la distribuzione di poli e zeri di ultimi due elementi siano in serie affinchè nella Ia Forma di Cauer gli 2) Quale deve essere la distribuzione di poli e zeri di ultimi due elementi siano in serie affinchè nella IIa Forma di Cauer gli Risoluzione: 1) 0 deve essere un polo 2) ∞ deve essere un polo 223 Esercizio 5 Domanda di Teoria: Mostrare come si può ottenere graficamente modulo e fase di distribuzione nel piano complesso di poli e zeri di . dalla Tale rappresentazione grafica è unica? Risoluzione: Guardare le pagine 144-145. La rappresentazione grafica non è unica, in quanto la posizione dei poli e degli zeri rimane invariata al variare del guadagno di . 224
