Principi di Statistica
a.a. 2014-2015
Dr. Luca Secondi
02 Distribuzioni di probabilità per
variabili casuali discrete:
Distribuzione di Poisson
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Variabile casuale di Poisson
La Poisson è una variabile casuale discreta particolarmente
interessante. E’ importante comprendere lo schema logico in
cui trova applicazione la Poisson. Si fa generalmente
riferimento al numero di eventi registrati in ambiti circoscritti,
temporali o spaziali.
Seguono la distribuzione di Poisson:
• il numero di auto che si presentano in entrata ad un casello autostradale in un certo lasso
temporale;
• il numero di telefonate che giungono ad un centralino telefonico in un minuto o un’ora ecc.;
• il numero di fulmini che possono colpire una certa superficie (ad esempio un kmq durante
un’ora di temporale);
• il numero di incidenti che si possono verificare su un certo percorso autostradale durante
una settimana,..
• Il numero di mutuazioni in ogni individuo in una popolazione
• Il numero di salmoni catturati in un dato giorno dai pescatori sportivi
• Il numero di semi che riescono a germinare per ogni pianta madre
Si noti che in tutti questi esempi, gli eventi si possono presentare 0 volte, 1 volta, 2 volte, .....
senza che sia possibile prefissare a priori un limite massimo teorico
In ambito biologico, la distribuzione di Poisson rappresenta un modello di come i successi
possono essere distribuiti nel tempo e nello spazio in natura.
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Variabile casuale di Poisson
La v.c. di Poisson, quindi, è discreta e può assumere
un’infinità numerabile di valori: 0,1,2,3,.......
La distribuzione di probabilità della v.c. di Poisson indicata
X ∼ Poisson(λ )
con
è data da:
λ x −λ
P(x) =
⋅e
x!
x = 0,1, 2,.....
0<λ<∞
La Poisson dipende da un solo parametro, λ,che
coincide con la sua media e varianza
E(X ) = λ
V (X ) = λ
Variabile casuale di Poisson
La distribuzione è sempre asimmetrica positiva. Tende
alla simmetria al crescere di λ.
0,40
Poisson(1)
0,35
0,30
Poisson(3)
0,25
0,20
Poisson(7)
0,15
0,10
0,05
0,00
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
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Proprietà:
•La somma di v.c. di Poisson indipendenti è ancora una
v.c. di Poisson
•Si può dimostrare che la Poisson è il limite a cui tende
la binomiale quando, fissata la media nπ ,si fa tendere
n ad infinito
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Esempio distribuzione Poisson (tempi
di attesa)
Si contano gli arrivi di pazienti in uno studio
medico nell’orario di ricevimento pomeridiano.
λ=3 numero medio di pazienti in arrivo in un
intervallo di 15 minuti (si suppone noto)
X~Poisson(3)
Qual è la probabilità che in un quarto d’ora
arrivi 1 solo paziente?
31 −3
P(X = 1) =
e = 0,15
1!
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Altre applicazioni della
distribuzione Poisson
•numero mensile di errori umani commessi in
un esperimento in laboratorio
•numero di pazienti che arrivano al pronto
soccorso di un ospedale in un turno lavorativo
•In biologia la distribuzione di Poisson trova il
suo impiego principale nella formulazione di
un’ipotesi nulla per verificare se i successi
siano distribuiti «casualmente» nel tempo o
nello spazio
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Ipotesi alla base della distribuzione Poisson
(postulati di Poisson)
Sia X una v.c. che rappresenta il numero di
realizzazioni di un evento aleatorio in un dato
intervallo.
L’intervallo considerato deve poter essere
suddiviso in tanti sottointervalli tali che in
ognuno di essi:
• la prob. del verificarsi di un evento è
costante
• la prob. del verificarsi di più di un evento è
pari a zero
• il verificarsi di un evento in un sottointervallo
è indipendente dal verificarsi dell’evento in un
altro sottointervallo
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