Bella dentro
di Enrico Colognesi
(Gennaio 2011)
Chi è la più bella ?
E chi può dirlo? Miss Italia del ....? L’attrice che, negli ultimi tempi, è contesa da numerose
trasmissioni televisive? La ragazza conosciuta la scorsa estate? O forse proprio quella che ti ha colpito ... al
punto che hai deciso di dividere la tua vita con lei? O quella che .. ?
Ci sono anche forme di bellezza ben più astratte ...
C’è più arte pittorica in ‘Monna Lisa’ o in ‘Guernica’ ? C’è più stile poetico in Ovidio o in Dante? Più
ricchezza nell’’Offerta musicale’ di Bach o nei ‘Preludi’ di Debussy? Impossibile stabilirlo ...
Unica cosa che si può dire con certezza è che la bellezza esiste.
Anche il matematico si lascia fortemente guidare, nella sua attività, da criteri di bellezza. Una teoria
è talvolta preferita ad un’altra per motivi di ‘eleganza’, una formula giudicata ‘bella’ per le sue doti di
concisione o per la sua capacità di creare dei ponti tra oggetti o argomenti apparentemente lontani.
Chi potrebbe negare la bellezza e l’eleganza della Teoria di Galois sulle equazioni, o più
semplicemente non assegnare la palma della più bella alla celebre identità di Eulero
݁ గ + 1 = 0
che intreccia i 5 numeri più celebri (0, 1, i, e, ߨ), l’operazione più elementare e il segno di eguaglianza?
In molti casi, però, la bellezza non si manifesta in modo diretto ed immediato, ma solo ad una
conoscenza più approfondita. Succede spesso, lo sappiamo, con le persone. Allo stesso modo, l’arte
profonda presente nell’’Offerta musicale’ di Bach si manifesta solo nel tempo e con ripetuti ascolti.
Sono le cosiddette ...
...belle dentro.
Le ‘belle dentro’ esistono anche in matematica e di una di queste vorrei qui parlare. La presento:
ܲே ሺݖሻ =
݁ ሺேାଵሻ௭ − 1
݁௭ − 1
Tecnicamente è una ‘famiglia di funzioni analitiche’. N è un numero naturale, z una cosiddetta
variabile complessa, ossia una variabile che assume come valori i numeri complessi. Come tutte le funzioni
analitiche, anche i suoi valori sono complessi: una sua rappresentazione visiva completa potrebbe essere
fatta solo in uno spazio a 4 dimensioni. Per questo motivo non è possibile, per la nostra mente, raffigurarsi
il ‘grafico’ complessivo di tale funzione, ma solo di alcune parti.
Perché ‘bella dentro’ ?
Perché, analizzata dalla giusta prospettiva, rivela informazioni inattese. E la prospettiva giusta è
quella dello sviluppo in serie.
Tutte le funzioni analitiche possono essere sviluppate in serie (in un adeguato cerchio di
convergenza):
ஶ
݂ሺݖሻ = ܽ ݖ
ୀ
∈ ݖℂ ,ℎ ∈ ℕ
I coefficienti ܽ dello sviluppo in serie sono talvolta molto interessanti. Si pensi al caso della funzione
esponenziale
ஶ
݁ =
௭
ୀ
ܼ
ℎ!
∈ ݖℂ ,ℎ ∈ ℕ
ஶ
ݖ
ݖ
=
ܤ
݇!
݁௭ − 1
in cui i coefficienti sono i reciproci dei numeri fattoriali. Oppure alla
ୀ
che introduce, come coefficienti, i Numeri di Bernoulli.
Nel nostro caso, come scopriremo, i coefficienti dello sviluppo in serie sono di gran lunga più
interessanti!!!
E come nella realtà, in cui succede di scoprire per caso le qualità nascoste di una persona, anche in
questo caso, affrontando direttamente il problema è difficile percepire qualcosa di interessante. Potremmo
ad esempio cercare di calcolare direttamente i coefficienti dello sviluppo in serie della nostra funzione
usando la formula integrale di Cauchy. Potremmo cioè calcolare gli integrali
ܽே, =
1
ර
2ߨ݅
ܲே ሺݐሻ
1
݁ ሺேାଵሻ௧ − 1
ିିଵ
݀ݐ
=
ර
ݐ
݀ݐ
ݐାଵ
2ߨ݅
݁௧ − 1
lungo un percorso chiuso C che include l’origine. La strada è impervia ...
E allora? Alla soluzione si arriva per caso, seguendo altri flussi di pensiero. Ad essa sono arrivati in
passato eminenti personaggi della matematica ...
Se qualcuno vorrà seguirmi, proverò nelle pagine seguenti a descrivere tali flussi. E soprattutto
svelerò il mistero della bellezza di tali coefficienti. Ora, per il momento, non voglio svelare nulla ... spero
che tutti vogliano seguirmi fino alla fine ...
Cosa ci serve per partire ?
Inevitabilmente per proseguire servono alcune nozioni di base di Teoria dei Numeri, per le quali si
rimanda a qualsiasi testo elementare di Teoria dei Numeri o ad alcuni ottimi riferimenti online.
In particolare la definizione di coefficiente binomiale (http://it.wikipedia.org/wiki/Coefficiente_binomiale)
݊
݊!
ܶ, ≝ ቀ ቁ ≝
݇
݇! ሺ݊ − ݇ሻ!
e la conseguente formula additiva e recursiva di Stiefel:
o, espressa in forma più abituale:
ܶ, ≝ ܶିଵ,ିଵ + ܶ,ିଵ
݊
݊−1
݊
ቀ ቁ= ൬
൰+ ቀ
ቁ
݇
݇−1
݇−1
da cui le note proprietà del Triangolo di Tartaglia (http://it.wikipedia.org/wiki/Triangolo_di_Tartaglia).
Inoltre il teorema del Binomio di Newton (http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_binomiale):
݊
ሺܽ + ܾሻ = ቀ ቁ a୧ ܾ ି
݅
ୀ
Altri argomenti di interesse sono i Numeri di Bernoulli (http://it.wikipedia.org/wiki/Numeri_di_Bernoulli) e i
Polinomi di Bernoulli (http://it.wikipedia.org/wiki/Polinomio_di_Bernoulli).
Somme di potenze: una formula recursiva ...
Dimenticando per il momento la nostra funzione analitica, affrontiamo lo studio delle somme delle
potenze k-me dei primi N interi successivi
ஶ
ܵே, ≝ ݅
݅, ݇, ܰ ∈ ℕ
ୀ
Si tratta di un problema classico, già da tempo affrontato e risolto secondo varie tecniche.
Prima di tutto cerchiamo di trovare una formula recursiva per il calcolo di tali somme.
Partendo dal Teorema del binomio di Newton:
ሺ݅ + 1ሻ୩ାଵ
otteniamo
ାଵ
ୀ
ୀ
k+1 ୦
k+1 ୦
= ൬
൰ i = i୩ାଵ + ൬
൰i
h
h
k+1 ୦
ሺ݅ + 1ሻ୩ାଵ − i୩ାଵ = ൬
൰i
h
ୀ
da cui
ே
ሺሺ݅ + 1ሻ୩ାଵ − i୩ାଵ ሻ = ා ൬
ୀ
ୀ
Il primo membro, fatte le dovute eliminazioni, vale ሺN + 1ሻ୩ାଵ .
ୀ
k+1 ୦
൰i
h
Nel secondo è possibile scambiare le sommatorie ed applicare la definizione di ܵே, , da cui (*)
୩
୩
k+1
k+1
ሺN + 1ሻ୩ାଵ = ා ൬
൰ i୦ = ൬
൰ ܵே,
h
h
Separando il termine con h=k
ୀ
ୀ
ୀ
୩ିଵ
k+1
ሺN + 1ሻ୩ାଵ = ሺ݇ + 1ሻܵே, + ൬
൰ ܵே,
h
ୀ
da cui si conclude che
ܵே,
୩ିଵ
1
k+1
=
൰ ܵே, ൪
൦ ሺN + 1ሻ୩ାଵ − ൬
k+1
h
ୀ
Abbiamo ottenuto una formula recursiva, che ci permette di calcolare progressivamente le espressioni di
ܵே, per valori crescenti di k.
Ad esempio, sapendo che ܵே, = ܰ + 1 , si ricava facilmente che
ܵே,ଵ = 1 + 2 + 3 + . . . + N =
ܰሺܰ + 1ሻ
2
La celebre formula di Gauss ! Quella con cui, si dice, quel genio umiliò la sua insegnante che voleva tenere
impegnata la classe ...
E così via per ogni potenza superiore ...
... ed ora riproviamo con tecniche analitiche.
Affrontiamo nuovamente il problema immergendo, come di consueto nella Teoria Analitica dei
Numeri, l’insieme discreto ℕ nel campo complesso ℂ, trasformando cioè la nostra serie in una funzione
analitica. L’idea più elementare è considerare i termini della serie come coefficienti dello sviluppo in serie di
una funzione analitica. Introduciamo pertanto la seguente funzione analitica tramite il suo sviluppo in serie
(all’interno del cerchio di convergenza):
ஶ
ܼ
ሺݖሻ
ܲே
≝ ܵே,
ℎ!
∈ ݖℂ
ୀ
ܵே, ≝ ݅
ୀ
Verifichiamo ora che ܲே ሺݖሻ coincide, nel cerchio di convergenza della serie, esattamente con la funzione
analitica introdotta sopra, appunto la nostra ‘bella dentro’:
ܲே ሺݖሻ =
݁ ሺேାଵሻ௭ − 1
݁௭ − 1
Infatti, utilizzando lo sviluppo in serie della funzione esponenziale complessa
ሺ݁ ௭
dove
ஶ
ஶ
ஶ
ܼ
ܼ
ܼ
− 1ሻܲே ሺݖሻ = ൭ ൱ ൭ ܵே, ൱ ≝ ܿ
ℎ!
ℎ!
݉!
ୀଵ
ୀ
ିଵ
݉
ܿ ≝ ቀ ቁ ܵே,
݅
d’altra parte, dalla formula recursiva (*) si ha che
ୀ
ୀଵ
ିଵ
݉
ܿ = ቀ ቁ ܵே, = ሺܰ + 1ሻ
݅
ୀ
Sostituendo
ሺ݁ ௭
ஶ
ஶ
ܼ
ሺܼሺܰ + 1ሻሻ
− 1ሻܲே ሺݖሻ = ሺܰ + 1ሻ
=
− 1 = ݁ ሺேାଵሻ௭ − 1
݉!
݉!
ୀଵ
da cui la formula cercata.
ୀ
Ecco lo spettacolare risultato!!!!
I coefficienti di sviluppo in serie della nostra funzione analitica sono niente meno che le somme di
potenze k-me dei primi N interi consecutivi. Non lo trovate straordinario ? Non è forse una formula ‘bella
dentro’ ?
S,ଵ = 1ଵ + 2ଵ + 3ଵ +. .. + Nଵ =
ܵே,ଶ = 1ଶ + 2ଶ + 3ଶ +. .. + ܰ ଶ =
ܵே,ସ
NሺN + 1ሻ
2
ܰሺܰ + 1ሻሺ2N + 1ሻ
6
ܵே,ଷ = 1ଷ + 2ଷ + 3ଷ +. .. + ܰ ଷ =
ܰ ଶ ሺܰ + 1ሻଶ
4
ܰሺܰ + 1ሻሺ2N + 1ሻሺ3N ଶ + 3N − 1ሻ
= 1 + 2 + 4+. .. + ܰ =
30
ସ
ସ
ସ
...e così via all’infinito ...
Abbiamo ora a disposizione gli strumenti per ricavare la formula esplicita di ܵே, .
... da qui la formula esplicita di Fauhalber.
ܲே ሺݖሻ =
݁ ሺேାଵሻ௭ − 1
݁ ሺேାଵሻ௭ − 1
ݖ
=
ቁ=
ቆ
ቇቀ ௭
௭
݁ − 1
ݖ
݁ − 1
ஶ
ஶ
ሺܰ + 1ሻ ݖିଵ
ݖ
= ൭
൱ ൭ ܤ ൱ =
ℎ!
݇!
Ponendo i=h-1
ୀଵ
ୀ
ஶ
ஶ
ஶ
ሺܰ + 1ሻାଵ ݖ
ݖ
ݖ
= ൭
൱ ൭ ܤ ൱ ≝ ܵே,
ሺ݅ + 1ሻ!
݇!
݇!
ୀ
ୀ
Calcolando, per moltiplicazione diretta, si desume che
essendo i ܤ i Numeri di Bernoulli.
ୀ
ሺܰ + 1ሻାଵି
݇
ܵே, = ൬ ൰ ܤ
݅
ሺ݇ + 1 − ݅ሻ
ୀ
Sviluppando direttamente per k=0, 1, 2, ... si ottengono le note formule nei casi particolari.
Nel 1631 Johann Faulhaber fu il primo ad interessarsi delle espressioni generali delle somme delle potenze
k-me dei primi N interi consecutivi; nel corso dell’800, Jacobi dimostrò l’espressione generale, ottenuta
sopra, conosciuta oggi come formula di Faulhaber.
... e per concludere una congettura.
La più bella è forse quella che si fa conoscere solo gradualmente, e che ad ogni incontro rivela nuovi
volti ... E spesso non si fa mai conoscere del tutto, anzi, per quanto la si conosca, lascia sempre dietro di sé
qualche mistero ...
Anche la nostra è una di quelle. Al punto che analizzandola bene, fa sorgere un’ipotesi, una
congettura.
Congettura? Lo è solo per me, e lo sarà per poco, solo fintantoché qualcuno di voi lettori non mi
fornirà la soluzione, certamente già esistente. Vi aspetto!!!
Ecco la congettura.
Come si verifica facilmente per i piccoli valori di k, S,୩, come polinomio in N, ammette sempre zeri che
valgono -1/2 o sono coppie reali simmetriche rispetto a -1/2:
Zeri൫S, ൯ ∶ −1
Zeri൫S,ଵ ൯ ∶ 0, −1
1
Zeri൫S,ଶ ൯ ∶ 0, − , −1
2
Zeri൫S,ଷ ൯ ∶ 0, 0, −1, −1
1
7
1 1
7
Zeri൫S,ସ ൯ ∶ 0, − ቌ1 + ඨ ቍ , − , − ቌ1 − ඨ ቍ , −1
2
3
2 2
3
Si congettura: gli zeri di ۼ܁, ܓvalgono -1/2 oppure sono coppie di valori reali simmetrici rispetto a -1/2.
Ho fatto le prove: per i successivi valori di k, la congettura è sempre vera.
E’ elementare osservare (ad esempio analizzando la formula esplicita) che la somma delle radici,
che come noto sono di numero N+1, è pari a
Zeri൫S,୩ ൯ = −
୧ୀ
ሺk + 1ሻ
2
per cui passando da k a k+1 la somma degli zeri cresce di -1/2. Da qui a concludere che la congettura è vera,
però, ne passa di acqua ...
Ricorda nulla tutto questo? Non vi fa pensare agli zeri della mitica funzione Zeta di Riemann, centro
focale di gran parte delle attuali ricerche matematiche?
ஶ
ζሺzሻ ≝
୦ୀଵ
1
h
z ∈ ℂ
In fin dei conti, non è forse vero che le nostre somme S,୩ sono le somme parziali della ζሺzሻ
calcolate per z intero negativo?
Innanzitutto invito gli interessati a leggere il saggio spettacolare di Luca Palmioli, su questo stesso
sito. Dal suo articolo, che getta dei ponti robusti tra S,୩ e ζሺzሻ, non sono riuscito, sicuramente a causa dei
miei limiti, ad intravedere una risposta alla mia congettura ...
Che sia anche possibile gettare dei ponti tra la sublime ζሺzሻ e la nostra, ben più umile ‘bella
dentro’?
Attendo che qualcuno di voi lettori, che ringrazio in anticipo, mi trasmetta la soluzione ...
Ringrazio tutti per l’attenzione.
... allora, chi ha detto che in matematica la bellezza non esiste ?
Enrico Colognesi
(disponibile per chiunque ami la matematica all’indirizzo [email protected] )
